10有压管中的非恒定流

5
a
Δp γ p0 γ v0 B v=0
l 0<t< a
H0 A
但 dl 层上游液体未停止流动， 层上游液体未停止流动，
仍以速度v0向 仍以速度
前流动。当碰到静止液层时， 前流动。当碰到静止液层时，也象碰到阀门一样速 度立即变为零，压强升高 ，液体压缩，管壁膨胀。 度立即变为零，压强升高∆p，液体压缩，管壁膨胀。
26
n p0 p0 v0 a
a
m p0+∆p x
v ∆l
p0 ρ A v0
p0 + ∆p ρ + ∆ρ A + ∆A v
n
m
∆K = ( ρ + ∆ρ )( A + ∆A)∆lv − ρAlv 0
则沿管轴方向动量变化为
考虑到
a=
∆l ∆t
，展开后并略去二阶微量，则 展开后并略去二阶微量，
∆K = ρAa∆t (v − v0 )
a ∆H = υ 0 g
上式常称为儒可夫斯基（ЖYKOBCKИЙ）公式，可用 来计算阀门突然关闭或开启时的水击压强。
29
四、水击波传播速度
n p0 p0 v0 a v a m p0+∆p
∆l n m 应用质量守恒定律可导出水击波传播速度的计算公式 以m-n断面间水体为研究对象 断面间水体为研究对象
流动一经开始，水击波向阀门断面传播， 流动一经开始，水击波向阀门断面传播，压强立即恢复至 p0，膨胀的液体及收缩的管壁也相应恢复至原状。 膨胀的液体及收缩的管壁也相应恢复至原状。
16
H0 v0 B 到
t= 4l a
p0 γ A
时，全管恢复至常态，但仍有一个冲向阀门 全管恢复至常态，
的流速，遇到关闭的阀门后，流速要要从 变为0,水 的流速，遇到关闭的阀门后，流速要要从v0变为 水 击波将重复上述四个阶段。若不计损失时， 击波将重复上述四个阶段。若不计损失时，水击波将 会周期性的循环下去。实际上， 会周期性的循环下去。实际上，由于摩阻损失的存在 水击压强将逐渐衰减 以至最终停止下来。 逐渐衰减， ，水击压强将lt; t < a
水击波 压强 流向 传播方向 流速变化
B→A A→ B →
v0 → 0
阶段末液体 和管壁状态 液体压缩 管壁膨胀
1
p0 →( p0 + ∆p )
增压逆波
8
2、阀门突然关闭水击的第二阶段 、 Δp γ a H0 v0 B v=0
l 2l <t< a a
p0 γ A
B 断面开始 水体产生反向流速 vo 断面开始, 水体产生反向流速原因： 产生的， 原因：第一阶段压强增量 ∆ p 是由流速差 (v0 → 0) 产生的， 根据动量守恒原理， 根据动量守恒原理，在同样 ∆ p 作用下所产生的 但方向相反。 流速也应等于v 流速也应等于 o ，但方向相反。
3
1、阀门突然关闭水击的第一阶段
设水击波的传播速度为a 设水击波的传播速度为a，由于忽略摩阻影响， 故水击波速在传播过程中速度大小保持不变。 已知管长为L，则阀门处产生的水击波由A 已知管长为L，则阀门处产生的水击波由A端传 到B端所要的时间为
t = l a
，时段 0 < t <
l a
称为
水击波传播的第一阶段。第一个阶段的特点：
∆l
的控制体
25
n p0 p0 v0 a
a
m p0+∆p v
∆l n m 当阀门部分关闭而发生水击时，水击波向上游传播， 当阀门部分关闭而发生水击时，水击波向上游传播，则 液体压强由p 液体压强由 0 增加为 p0 +△ p △ 液体密度由ρ增加为 液体密度由 增加为 △ρ+ ρ 过流断面由 A 增加为 △A+ A
v0 v=0
为使水流适应闸门处流速等于零的要求， 为使水流适应闸门处流速等于零的要求，水流压强 必须降低。 必须降低。
12
Δp γ H0 a B
2l 3l <t< a a
元层： 元层：
t p0 γ p0 A v = -v0 t+∆t v=0 ∆mv = F∆t 0-(-mv0)= -∆pA∆t ∆p < 0 p0+∆p x
17
阶段 时 程
3L 4L <t < c c
水击波 压强 流向 传播方向 流速变化
B→ A →
B→ A
阶段末液体 和管壁状态 恢复正常
0 → v0
4
( p0 −∆p) → p0
增压顺波
18
从阀门关闭 由 因
t=
t=0
t= 4L c
算起， 算起，到
t=
2L c
称为第一相; 称为第一相
t=
2L c
到
v0 v=0
紧邻阀门断面流速变为零，压强降低，液体膨胀， 紧邻阀门断面流速变为零，压强降低，液体膨胀， 密度减小，管壁收缩，流动随即停止。 密度减小，管壁收缩，流动随即停止。
13
Δp γ H0 c B
3l t= a
p0 γ A
v0
3l t= a
这个减压波传到了管道的进口B 断面， 当 时，这个减压波传到了管道的进口 断面， 管道进口压强比水库静水压强低，在此压强差作用下， 管道进口压强比水库静水压强低，在此压强差作用下， 水又以速度v 向阀门方向流动。 水又以速度 0 向阀门方向流动。开始了水击波传播的 第四个阶段。 第四个阶段。
1.5
p 0+Δ1 p
0.5
p0
0 -0.5
-1 p 0- Δp -1.5 0 2 4 6 8
t (L/c)
22
（2）进口 断面 ）进口B断面
1.5
p 0+Δp 1 p0
0.5 0 -0.5
p 0- Δp -1
-1.5 0 1 2 3 4 5 6 7
t (L/c)
23
（3）任意断面
1.5 1 p 0+Δp 0.5
27
沿管轴方向作用在m.n 段上作用力的变化 (不计摩擦阻力 为： 不计摩擦阻力) 沿管轴方向作用在 不计摩擦阻力
F = p0 A−( p0 + ∆p)(A+ ∆A) = p0 A−( p0 A+ p0∆A+ ∆pA+ ∆p∆A)
展开后并略去二阶微量， 展开后并略去二阶微量，并考虑到 ∆ A p<< ∆ p A 则
2(L -l )/c
距离阀门 l 的任意断面 阀门断面
p0
0 -0.5
l /c l /c
p 0- Δ-1 p
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (L /c )
24
三、水击压强的计算
阀门突然关闭，引起管道中流速变化， 阀门突然关闭，引起管道中流速变化，导致水流 动量改变。根据动量定理， 动量改变。根据动量定理，必然会产生一个力作用在 液体上，这个力表现为水击压强。因此， 液体上，这个力表现为水击压强。因此，可用动量定 计算公式。 理推求水击压强的 ∆ p 计算公式。 从发生水击的有压管流中取出长为 进行研究。 进行研究。
9
H0 v0 B 当
t= 2l a
p0 γ A
2l t= a
阀门断面， 时，水击波到达 阀门断面，结束了水击发
− v0
展的第二阶段, 展的第二阶段 此时整个管 路中的压强恢复到 p0 , 水体 和管壁也恢复至常态， 和管壁也恢复至常态，但整个管中的液体仍以 流动， 流动， 有脱离阀门断面的趋势， 有脱离阀门断面的趋势，与阀门关闭要求流速为零的条件 不一致，这就开始了水击波传播的第三个阶段。 不一致，这就开始了水击波传播的第三个阶段。
又经过了一相，称为第二相。 又经过了一相，称为第二相。
4L c
时，管内液体流速、压强及管壁都恢复至水 管内液体流速、
t=0
击发生前的状态， 击发生前的状态，所以把从 周期。 周期。
到
t=
4L c
称为一个
19
水击波传播的全过程： 水击波传播的全过程：
20
表10.1
水击过程的运动特征
距 速度 流动方 压强变化 弹性波的 运动特征 液体状态 过时 程 变化 向 传播方向 L 1 0 < t < a υ →0 B → A A→B 减速增压 压缩 增高
F = − ∆pA
根据动量定理得： 根据动量定理得： − ∆pA∆t = ρA∆l (v − v 0 ) 即
∆p = ρa (v0 − v)
∆p
若以水头表示压强增量， 若以水头表示压强增量，则
a ∆H = = (v 0 − v ) γ g
28
当阀门突然完全关闭时 υ = 0 ，则得相应的水头增 量
30
时段内，流入和流出该段控制体的质量差为： 在∆t 时段内，流入和流出该段控制体的质量差为：
ρAv0 ∆t − ( ρ + ∆ρ )( A + ∆A)v∆t
略去二阶微量得
[ρA(v0 − v) − v(ρ∆A + ∆ρA)]∆t
4
a
∆p γ p0 γ
H0 v0 B A
阀门突然关闭， 阀门突然关闭，紧靠阀门处的微小液层立即停止 流动，流速突然减小至零， 流动，流速突然减小至零，使该层水流的动量发生突 然变化，引起水流压强突然增大，水层压缩， 然变化，引起水流压强突然增大，水层压缩，密度增 水流压强突然增大 大，管壁膨胀。即流速为零的同时，压强升高∆p。 管壁膨胀。即流速为零的同时，压强升高 。
0
2 3 4
L 2L <t< a a
2L 3L <t< a a 3L 4L <t < a a