深圳市2012届高三年级第二次调研考试数学(文科)试题及答案WORD

深圳市2012届高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=．若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =． 若球的半径为r ，则球的体积为34π3V r =．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}0,2{=A ，}2,1{=B ，则集合()A BA B =A ．∅B ．}2{C ．}1,0{D ．}2,1,0{2. i 为虚数单位，则复数i (1i)⋅-的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．1-3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为A ．240B ．160C ．80D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A ．1xy =B ．y ⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x d ,0,1)(78频率组距重量（kg ）0.090.070.040.020.01747066625458第3题图C ．321x y -=D ．2sin3y x =-5. tan 2012︒∈A. 3(0,)3B. 3(,1)3C. 3(1,)3--D. 3(,0)3-6． 若对任意正数x ，均有21a x <+，则实数a 的取值范围是A. []1,1-B. (1,1)-C. 1,1x x ⎡⎤-++⎣⎦D. (1,1)x x -++7．曲线1()2x y =在0x =点处的切线方程是A. ln 2ln 20x y +-=B. ln 210x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y +-=8．已知命题p ：“对任意,a b *∈N ， 都有lg()lg lg a b a b +≠+”；命题q ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“p q ∧”为真命题B. 命题“p q ∨”为假命题C. 命题“()p q ⌝∧”为真命题D. 命题“()p q ∨⌝”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A ．4π33cm B ．8π33cm C ．4π 3cm D ．20π33cm10. 线段AB 是圆221:260C x y x y ++-=的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PA PB +=A. 22B. 42C. 43D. 62二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少要经过______道加工和检验程序，导致废品的产生有_____种不同的情形． 12. 已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a =.第11题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm13. 无限循环小数可以化为有理数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ， 请你归纳出0.017= （表示成最简分数,,N )m n m n*∈．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆的直径，弦A C 和弦BD 相交于点P ，且3A B D C =，则sin A P D ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在A B C ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小； （2）若7,3a c ==，求A B C ∆的面积S ．17．（本小题满分12分）设函数c bx x x f ++=2)(，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率.(1) 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{}10≤≤x x , ,b c 是算法语句4Rand()b =*和4Rand()c =*的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)PDCBA第15题图18．（本小题满分14分）如图，四棱柱1111A B C D A B C D -的底面A B C D 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB D D 上，且1A F E C ．（1）求证：1AE FC ；（2）若1A A ⊥平面A B C D ，四边形1AEC F 是边长为6的正方形，且1BE =，2D F =，求线段1C C 的长, 并证明：1.AC EC ⊥19．（本小题满分14分）已知二次函数()f x 的最小值为4,-且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()4ln f x g x x x=-的零点个数.20．（本小题满分14分）如图，,M N 是抛物线21:4C x y =上的两动点（,M N 异于原点O ），且O M N ∠的角平分线垂直于y 轴，直线M N 与x 轴，y 轴分别相交于,A B .(1) 求实数,λμ的值，使得O B O M O N λμ=+；第18题图A 1ABCDC 1B 1D 1FE(2）若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆2C 经过,A M . 求椭圆2C 焦距的最大值及此时2C 的方程.21．（本小题满分14分）定义数列{}n a ： 121,2a a ==，且对任意正整数n ，有122(1)(1)1nn n n a a ++⎡⎤=+-+-+⎣⎦. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；（2）问是否存在正整数,m n ，使得221n n S m S -=？若存在，则求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，则加以证明.参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCADBABCCD二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中第20题图NM AOB C 1xyC 2第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分． 11．4, 3（第一空3分，第二空2分） 12．2 13.1799014．1 15．223三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力． 解：（1）22cos sin 1,A A =+= m 22cos (sin )1,A A =+-=n∴⋅⋅m n=m n π1cos.32⋅=···················3分 22cos sin cos 2A A A ⋅-= m n=，1cos 2.2A ∴=5分π0,02π,2A A <<<<ππ2,.36A A ∴== 7分（2）(法一) 7,3a c == ,π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b = ··············· 10分故1sin 3.2S bc A == ························· 12分(法二) 7,3a c ==,π,6A =及sin sin a c AC=,sin 3sin 27c A C a∴==. ························ 7分a c > , π02C ∴<<,25cos 1sin 27C A =-=π132sin sin(π)sin()cos sin 6227B AC C C C =--=+=+=sin 4sin a B b A∴==. 10分 故1sin 3.2S bc A ==12分17．（本小题满分12分）【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力．解：由c bx x x f ++=2)(知，事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”，即4.3b c c +≤⎧⎨≤⎩ 1分(1) 因为随机数,{1,2,3,4}b c ∈，所以共等可能地产生16个数对(,)b c ，列举如下：443O(1,3)cbE FO 1O D 1B 1C 1DC BAA 1(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).···················· 4分 事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩包含了其中6个数对(,)b c ，即：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1). ················ 6分 所以63()168P A ==，即事件A 发生的概率为3.8·········· 7分(2) 由题意，,b c 均是区间[0,4]中的随机数，产生的点(,)b c 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积16)(=ΩS . ············· 8分事件A ：43b c c +≤⎧⎨≤⎩所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：115()(14)322S A =⨯+⨯=. ············· 10分所以15()152()()1632S A P A S ===Ω，即事件A 的发生概率为15.32················· 12分18．（本小题满分14分）【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．证明：（1） 四棱柱1111ABC D A B C D -的底面A B C D 是平行四边形，第18题图A 1ABCDC 1B 1D 1FE11,AA D D ∴ .AB CD 1分 1,D D C D ⊂平面11,C D D C 1,AA AB ⊄平面11,C D D C ∴1AA 平面11,C D D C AB 平面11,C D D C ················3分 1,AA A B ⊂平面11,ABB A 1AA AB A = ， ∴平面11ABB A 平面11.C D D C4分 1AF EC ，∴1,,,A E C F 四点共面.5分 平面1AEC F 平面11ABB A AE =,平面1AEC F 平面111C D D C FC =, 1.AE FC ∴ 7分（2） 设11,,AC BD O AC EF O ==四边形ABCD ,四边形1AEC F 都是平行四边形，O ∴为A C ，BD 的中点，1O 为1AC ，EF 的中点. ············· 8分连结1,O O 由(1)知BE DF ,从而1111()22O O C C B E D F ==+.1BE = ，2D F =，1 3.C C ∴= 10分1A A ⊥平面A B C D ,四边形1AEC F 是正方形, ∴1AC C ∆，ABE ∆，A D F ∆均为直角三角形,得11121293ACAC C C AE C C =-=-=-=,222615,AB AE BE =-=-= 222264 2.BC AD AF DF ==-=-=2225AC BC AB ∴+==，即A C B C ⊥. 12分1BB ⊥ 平面,ABCD A C ⊂平面,ABCD1AC BB ∴⊥. 1,BC BB ⊂ 平面11,BB C C A C ∴⊥平面11.BB C C 13分 1EC ⊂ 平面11,BB C C 1.AC EC ∴⊥14分19．（本小题满分14分）【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．解：（1） ()f x 是二次函数, 且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,()2(1)(3)23f x a x x ax ax a ∴=+-=--, 且0a >.4分()20,(1)44a f x a x ⎡⎤>=--≥-⎣⎦,且()14f a =-,min ()44, 1.f x a a ∴=-=-= 6分 故函数()f x 的解析式为()22 3.f x x x =--(2) 2233()4ln 4ln 2(0)x x g x x x x x xx--=-=---> ,2234(1)(3)()1x x g x xxx--'∴=+-=. ··················· 8分,(),()x g x g x '的取值变化情况如下：····························· 11分当03x <≤时, ()()140g x g ≤=-<； ················· 12分 又()55553ee 202212290eg =--->--=>. ·············· 13分故函数()g x 只有1个零点,且零点50(3,e ).x ∈ ··············· 14分20．（本小题满分14分）【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想． 解: (1) 设2212121212(,),(,),0,.44x x M x N x x x x x ⋅≠≠由O M N ∠的角平分线垂直于y 轴知，直线O M 与直线M N 的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即2221211214440,x x x x x x -+=-化简得212x x =-. 3分由点221111(,),(2,)4x M x N x x -知直线M N 的方程为2111()44x x y x x -=--.分别在其中令0y =及0x =得211(2,0),(0,)2x A x B . 5分x(0,1)1(1,3)3 (3,)+∞()g x '+ 0 -+()g x 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加第20题图NM AOB C 1xyC 2将,,B M N 的坐标代入O B O M O N λμ=+ 中得112221110(2)24x x x x x λμλμ=+-⎧⎪⎨=⋅+⋅⎪⎩, 即242λμλμ=⎧⎨+=⎩, 7分 所以21,.33λμ==8分(2) 设椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>,将1(2,0)A x ,211(,)4x M x 代入,得22411122241,116x x x aab=+=, ··········9分 解得4222114,12x a x b ==, 由22a b >得21048x <<. ············ 10分椭圆2C 的焦距2222221111(48)3322(48)83332x x c a b x x +-=-=-≤⨯=（或22222111333(48)(24)242483333x x x -=--+≤⨯=）····· 12分 当且仅当22211148,2448x x x =-=<时,上式取等号, 故max (2)83c =,···· 13分此时椭圆2C 的方程为221.9648xy+= ··············· 14分21．（本小题满分14分）【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．解：（1）对任意正整数k ， 2122121212(1)(1)12k k k k k a a a -+--⎡⎤=+-+-+=+⎣⎦， 22122222(1)(1)13kk k k k a a a ++⎡⎤=+-+-+=⎣⎦.················· 1分 所以数列{}21k a -是首项11a =,公差为2等差数列；数列{}2k a 是首项22a =,公比为3的等比数列. ······················· 2分对任意正整数k ,2121k a k -=-,1223k k a -=⨯. ················ 3分11 所以数列{}n a 的通项公式121,21,.23,2n k k n k a k n k *--=-⎧⎪=∈⎨⨯=⎪⎩N 或12,21,.23,2N n n n n k a k n k*-=-⎧⎪=∈⎨⎪⨯=⎩ ······················ 4分 对任意正整数k ,21321242()()k k k S a a a a a a -=+++++++ (121)2(13)213k k k +--=+-231k k =+-.··················· 5分 21122122312331k k k k k k S S a k k ---=-=+--⨯=+- ·············6分 所以数列{}n a 的前n 项和为12231,21,31,2k n k k n k S k k n k-*⎧+-=-⎪=∈⎨+-=⎪⎩N . 或 12222233,214,31,24N nn n n n n k S k n n k -*⎧+-+=-⎪⎪=∈⎨⎪+-=⎪⎩ ················ 7分 (2) 21222131(31)n n n n S m S n m n --=⇔+-=+-123(3)(1)(1)n m m n -⇔-=--, 从而3m ≤,由m *∈N 知1,2,3.m = ····················· 8分 ①当1m =时, 123(3)0(1)(1)n m m n -->=--,即221n n S m S -≠； ······· 9分②当3m =时, 22(1)0,1n n -==,即213S S =； ············· 10分③当2m =时, 1231(1)(1)n n n n -=-=-+,则存在1212,,N k k k k ∈<,使得121213,13,1,k k n n k k n -=+=+=-从而21121333(31)2k k k k k --=-=,得12131,312k k k -=-=, 1210,1k k k =-=，得2n =,即432S S =. ················ 13分 综上可知,符合条件的正整数对(,)m n 只有两对：(2,2)与(3,1). ········ 14分。