2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习新人教A版选修2_3
2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理例题与探究新人教A版选修
2019-2020年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理例题与探究新人教A 版选修典题精讲【例1】 用二项式定理展开(2x-)5.思路分析:可以直接看作2x 与()的二项式展开，也可先化简，再利用二项式定理展开. 解法一：直接展开（2x-)5=(2x)5+(2x)4()+…+(2x)()4+()5=32x 5-120x 2+1074322438450135180xx x x -+-. 解法二：(2x-)5=［ (4x 3)5+ (4x 3)4·(-3)+ …+ (4x 3)·(-3)4+ (-3)5］=［1 024x 15-3 840x 12+5 760x 9-4 320x 6+1 620x 3-243］=32x 5-120x 2+1074322438450135180x x x x -+-. 绿色通道：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.变式训练1 求(2x-)5的倒数第二项.解:T 5=(2x)·(-)4=.变式训练2 在(2x-)5的展开式中是否存在常数项.若有，请求出;若没有，请说明理由.解：T r+1= (2x)5-r (-)r =(-1)r ·25-2r ·3r x 5-3r .若存在常数项，必存在r∈N *，使得5-3r=0，但5-3r=0,r=N *.∴展开式中不存在常数项.【例2】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余数.思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，如本例的第（1）小题，可以利用1110=（10+1）10展开式进行证明，第（2）小题则可利用9192=(100-9)92展开式,或利用(90+1)92展开式进行求解.（1）证明：∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+·109+…+·10+1)-1=1010+·109+·108+…+102=100(108+·107+·106+…+1).∴1110-1能被100整除.(2)解法一：(100-9)92=.10092-.10091.9+.10090.92- (992)展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.∵992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,故9192被100除可得余数为81.解法二:(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81. 绿色通道：利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.黑色陷阱：出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100).变式训练1 11100-1末尾连续零的个数为( )A.7B.5C.4D.3解：11100-1=(10+1)100-1=10100+1099+…+10+-1.答案:D变式训练2 求证：n n-1-1能被(n-1)2整除(n≥3,n∈N *).证明：∵n≥3,n∈N *，故［(n-1)+1］n-1-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+…+(n-1)2+(n-1)+-1= (n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)2+(n-1)2.由于上式各项都能被(n-1)2整除，所以当n≥3,n∈N *时，n n-1-1能被(n-1)2整除.【例3】 (1)求二项式()6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求()9的展开式中x 3的系数.思路分析:利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解，同时注意某一项的二项式系数与系数的区别.解:（1）∵T 6=()()5=,∴第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为·2·(-1)=-12.(2)设展开式中的第r+1项为含x 3的项,则T r+1=x 9-r ()r =(-1)r x 9-2r ,∴9-2r=3.∴r=3,即展开式中的第4项含x 3,其系数为(-1)3=-84.绿色通道：求某项的二项式系数、系数或展开式中含x r 的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的内容.黑色陷阱：某项二项式系数与系数两者概念出现混淆.变式训练 求(1-x)6(1+x)4的展开式中x 3的系数.解法一：(1-x)6(1+x)4=［(1-x)(1+x)］4(1-x)2=(1-x 2)4(1-x)2=(1-x 2+x 4-x 6+x 8)(1-x)2,∴x 3的系数为-·(-2)=8.解法二：∵(1-x)6的通项为T r+1=(-x)r =(-1)r ·x r ,r∈{0,1,2,3,4,5,6},(1+x)4的通项为T k+1=x k ,k∈{0,1,2,3,4}.令r+k=3,则⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==;0,3;1,2;2,1;3,0k r k r k r k r ∴x 3的系数为-+-=8.【例4】 (1)求(x+2y)7展开式中系数最大的项;（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项.思路分析:要使第r 项系数最大，则应该满足T r+1的系数≥T r 的系数, ⎩⎨⎧≥≥+++的系数的系数的系数的系数211,r r r r T T T T 成立，同时还要注意各项系数的符号. 解:（1）设r+1项系数最大，则有即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙--+≥∙-∙+--≥∙-+-.313,316,1271,812,2)!17()!1(!72)!7(!!7,2)!17()!1(!72)!7(!!711r r r r r r r r r r r r r r r r r r 解得 又∵0≤r≤7,∴r=5.∴系数最大项为T 6=x 2·25y 5=672x 2y 5.（2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较T 5和T 7的大小即可.14)2()2(173766744775>∙=-∙-∙=C C C C T T 系数系数. ∴系数最大项为第五项,T 5=C 47(-2y)4x 3=560x 3y 4.绿色通道：T r+1与T r+2、T r 系数的大小关系是研究求系数最值的有效方法，它利用的是增减性.变式训练 求(x-2y)7的展开式中系数最小的项.解:因为在(x-2y)7的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第四项T 4=x 4(-2y)3，第五项T 5=x 3(-2y)4,所以系数最小的项的系数为(-2)3=-280.【例5】已知(1-2y)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7,(1)a 1+a 2+a 3+…+a 7;(2)a 1+a 3+a 5+a 7;(3)a 0+a 2+a 4+a 6.思路分析:求恒等式的系数间的关系，一般采用赋值法，且常赋特殊值0，1，-1等，再注意适当组合.解: (1)令x=0,则a 0=1;令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 7=-1. ① ∴a 1+a 2+…+a 7=-1-1=-2.(2)令x=-1,则a 0-a 1+a 2-…+a 6-a 7=37.②由(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7==-1 094.（3）由（①+②）÷2，得a 0+a 2+a 4+a 6==1 093.绿色通道：一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,g(x)的各项的系数和为g(1);g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(-1)］;g(x)的偶数项的系数和为［g(1)-g(-1)］.变式训练 已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7,求a 5.解：(1-2x)7的通项为T r+1=(-2x)r ，令r=5，可得a 5=(-2)5=-480.问题探究问题1:二项式定理(a+b)n =+…+a n-r b r +…+b n ，从左到右是展开式，由简变繁，从右到左则是由繁变简，为什么要把二项式展开，化简为繁呢？导思:一般地，化繁为简是我们解题的基本思路，但有时候，化简为繁也是一种创举； 探究:由简变繁可以判断二项式系数的关系，如=等，可以更深刻地理解组合数的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征，比较二项式系数之间的大小关系，如n 是偶数，则中间一项二项式系数最大等，如果给左边赋值的话，会出现更有趣的一些结论，如2n = ++=+++++312010,n n n n n n n n C C C C C C C .从这个角度看，二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.问题2:在二项式定理这一节中，研究了二项式系数的三个性质，那么研究二项式系数的意义是什么呢？导思:理解研究二项式系数的意义，应从二项式定理的应用这一点进行考虑，它会涉及到今后学习的内容.探究:研究二项式系数的意义在于：一是有助于研究二项式展开式的性质.例如当a=b=时，二项式展开式的各项依次是(r=0,1,2, …,n)，而它正是概率论中最重要的随机变量的分布之一——二项分布的一个特例，可见研究二项式系数的性质对研究概率中的二项分布有着重要意义；二是由于二项式系数是一组特定的组合数，它对我们进一步认识组合数，进行组合数的计算和变形也有一定作用.。
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2_3
1．3.1 二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；05n＋1项．(3)共有□2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________． 答案 (1)－560x 10(2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4 (3)10解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.(3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．[解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x＋32－12x ＋116x2. [答案] (1)0 (2)见解析 拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .解 (1)解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x2(1＋3x )4＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝3n.探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·xn －103， 又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r10·x 10－2r 3，令10－2r3＝2，得r ＝2.∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454.含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z .∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0， 或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6， 得r ＝5或r ＝2或r ＝8. ∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2，T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________． 答案 (1)1 (2)7解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )．令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3] (1)求证32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数． 解 (1)证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋C nn ＋1·8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除． (2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C 010710＋C 11079＋…＋C 9107＋C 1010－3 ＝7×(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析 因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________． 答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数．由T r＋1＝C r10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.。
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课后课时精练课件新人教A版
解析 512020＋a＝(52－1)2020＋a＝522020＋C12020×522019×(－1)＋…＋ C22001290×52×(－1)2019＋(－1)2020＋a 能被 13 整除，只需(－1)2020＋a＝1＋a 能被 13 整除即可．
∵0≤a＜13，∴a＝12，故选 D.
答案
解析
答案
解析
三、解答题 9．求(1＋x)2(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
解 ∵(1＋x)2 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr2xr，(1－x)5 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－1)kC5kxk，
其中 r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}． 令 k＋r＝3，则有kr＝＝21， 或kr＝＝12， 或kr＝＝03，， ∴x3 的系数为－C22C51＋C21C25－C02C53＝5.
的展开式中常数项为(
)
35 A.16
35 B. 8
35 C. 4
D．105
答案 B
解析
Tr＋1＝Cr8(
x)8－r2
1
xr＝21rCr8x4－r，令
4－r＝0，得
r＝4，展开式的
第 5 项为常数项，∴T5＝214·C48＝385，故选 B.
答案
解析
4．对任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的 值为( )
二、填空题 6．已知ax－
x9 2
的展开式中
x3
的系数为49，则常数
a
的值为________．
答案 4
答案
解析 Tr＋1＝Cr9a9－r·(－1)r·2－2rx32r－9， 令32r－9＝3，得 r＝8.依题意，得 C98(－1)8×2－4·a9－8＝94，解得 a＝4.
2019-2020高中数学第一章计数原理1-3二项式定理1-3-1二项式定理优化练习新人教A版选修2_3
答案：180
9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C ×109＋…＋C ×10＋1)－1
＝1010＋C ×109＋C ×108＋…＋102
＝101)，
A．2B.
C．1D.
解析：Tr＋1＝C ·(2x)7－r· r＝27－rC ar· .令2r－7＝3，则r＝5.由22·C a5＝84得a＝1.故选C.
答案：C
2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( )
A．6B．7
C．8D．9
解析：二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C 1n－r·(3x)r＝C ·3r·xr.依题意得C ·35＝C ·36，即 ＝3× (n≥6)，得n＝7.
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C ，
∴x2y7的系数为C －C ＝8－28＝－20.
答案：－20
7．在(x＋ y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
解析：二项展开式的通项公式Tk＋1＝C x20－k·( y)k＝C ( )kx20－kyk(0≤k≤20)．要使系数为有理数，则k必为4的倍数，所以k可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．
答案：D
4．使 n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4B．5
C．6D．7
解析：Tr＋1＝C (3x)n－r r＝C 3n－rx ，当Tr＋1是常数项时，n－ r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
答案：B
5．(x2＋2)( －1)5的展开式的常数项是( )
A．－3B．－2
部编版2020学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析新人教A版选修20
1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除． 故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k nx 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4， 所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数， 即(1＋x )7的展开式中第4项的系数， 即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9， 所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项， 且T 2＝－192x 2.11 11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。
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1.3.1 二项式定理
【基础练习】
1．在x (1＋x )6
的展开式中，含x 3
项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10
【答案】C
2.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 9展开式中的常数项是( )
A ．－36
B ．36
C ．－84
D ．84
【答案】C
3．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2
＋5(2x ＋1)－1，则f (x )等于( )
A ．(2x ＋2)2
B ．2x 5
C ．(2x －1)5
D ．(2x )5
【答案】D
4．已知⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －
a x 5的展开式中含x 3
2的项的系数为30，则a ＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6
【答案】D
5．若()x ＋a 5
的展开式中的第四项是10a 3
(a 为大于0的常数)，则x ＝________.
【答案】1 6.⎝
⎛⎭⎪⎫x y
－y x 8的展开式中x 2y 2
的系数为________．(用数字作答) 【答案】70
7．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中
的常数项．
【解析】T 5＝C 4
n ()
x n －424x －8
＝16C 4
n x
n －20
2
，
T 3＝C 2
n ()x n －222x －4
＝4C 2
n x
n －10
2.由题意知，16C 4
n 4C 2n ＝563
，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10()x 10－k 2k x
－
2k
＝2k C k
10·x 10－5k 2，令10－5k 2＝0，解得k ＝2.
∴展开式中的常数项为C 2
1022
＝180.
8．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *
)． (1)求f (x )展开式中x 2
的系数的最小值；
(2)当f (x )展开式中x 2
的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7
的系数． 【解析】(1)由题设条件，得m ＋n ＝19. ∴m ＝19－n ，x 2
的系数为 C 2
m ＋C 2
n ＝C 2
19－n ＋C 2n ＝
19－n
18－n
2
＋
n n －1
2
＝n 2
－19n ＋171＝⎝
⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.
∵n ∈N *
，∴当n ＝9或n ＝10时，
x 2的系数取最小值⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＋323
4
＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2
的系数取最小值，此时x 7
的系数为C 7
10＋C 7
9＝C 3
10
＋C 2
9＝156.
【能力提升】
9.(2019年河南模拟)(2x 2
-x-1)5
的展开式中x 2
的系数为( ) A.400
B.120
C.80
D.0
【答案】D
【解析】(2x 2
-x-1)5
表示5个相同的多项式2x 2
-x-1相乘，当其中1个选2x 2
,4个选-1，或其中2个选-x,3个选-1，都可以得到x 2
项，故展开式中x 2
项为C 51
(2x 2
)(-1)4
+C 52
(-x)2
(-1)3
=0，即x 2
的系数为0.故选D.
10.(2019年西藏模拟)若(x+2)(a x -x)5
展开式的常数项等于-80，则a=( )
A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
【答案】A
【解析】(a x -x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r (a x )5-r (-x)r =(-1)r a 5-r C 5r x 2r-5
，此展开式中无常数项，
令r=2得，x -1项为T 3=10a 3x -1,所以(x+2)(a x -x)5展开式的常数项等于1×10a 3
=-80，解得a=-2.
故选-2.故选A.
11．(2017年太原校级联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表
达式的展开式中常数项为______．
【答案】－20
【解析】当x >0时，f (x )＝－x <0，所以f (f (x ))＝⎝
⎛
⎭
⎪⎫－x ＋
1x 6
，其展开式的通项公式
为T r ＋1＝C r 6·(－x )6－r
·⎝
⎛⎭
⎪⎫1x r ＝(－1)6－r ·C r 6·(x )6－2r
.由6－2r ＝0得r ＝3，所以常数项为(－1)3
·C 3
6＝－20.
12．在二项式⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫3x －123x n 的展开式中，前三项的系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式中的常数项；
(2)这个展开式中是否存在x 2
项？若不存在，说明理由；若存在，请求出来．
【解析】前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，从而有C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝
0.∴n ＝8或n ＝1(舍去)．
∴T r ＋1＝C r
8⎝⎛⎭⎫3
x 8－r ⎝ ⎛
⎭
⎪
⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12r C r 8x
8－2r 3(r ＝0,1,2，…，8)． (1)令8－2r
3＝0，得r ＝4.
故常数项为T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝358
. (2)令8－2r 3＝2，得r ＝1.从而该展开式中含x 2项且该项是T 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－121C 18x 2＝－4x 2
.。