湖北省八校2014届高三第一次联考数学(理)试卷

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湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则

湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）5.函数32()(0,)f x ax bx cx d a x=+++≠∈R有极值点，则（）A.23b ac≤ B. 23b ac≥C.23b ac<D. 23b ac>6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.13B.23C.2D.17. △ABC中，角,,A B C成等差数列是sin sin)cosC A A B=+成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律F kl=计算.今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J）A.0.196B.0.294C.0.686D.0.98正（主）视图侧（左）视图俯视图第6题图9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（）A .点F 的轨迹是一条线段B .1A F 与1D E 不可能平行C . 1A F 与BE 是异面直线 D.tan θ≤12. 已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是_________. 13. 将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为________.14. 无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a L 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++L 是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥ *3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m ρθ+=的距离等于2，则______m =.1三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2)3x πω=+a ，(2cos ,0)x ω=b (0)ω>，函数()f x =⋅a b 的图象与直线23y =-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112n n nc c c a b b b ++++=L 成立，求122013c c c +++L ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠=o ，D 为棱1BB 上一点，且平面1DAC ⊥平面11AA C C . (Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60o .20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC ，已知石塔的高度为a .（Ⅰ）若以,B C 为观测点，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β，用,,a αβ表示山的高度h ；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD 上，其中D 是塔顶B 在地面上的射影. 已知石塔高度20a =,当观测点E 在AD 上满足6010DE =时看BC 的视角(即BEC ∠)最大，求山的高度h .ABCA 1B 1C 1D 第19题图第20题21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-=L (0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.（本小题满分14分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L .湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共10小题） 1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 二．填空题（每小题5分，共5小题）11. 2π 12. 14r h = 13. 6π14.{}45,15,9； {}6 第一个空2分，第二个空3分16. 2m =±三、解答题（共5小题，共75分） 17. （Ⅰ）2()4sin()cos 3f x x x πωω=+1分14sin ()cos cos 22x x x ωωω⎡=⋅-+⋅⎢⎣⎦22sin cos x x x ωωω=-cos 2)sin 2x x ωω=+-2cos(2)6x πω=+5分由题意，T π=，2,12ππωω∴==6分（Ⅱ）()2cos(2)6f x x π=++[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦故[]2,26x πππ+∈或[]23,46x πππ+∈时，()f x 单调递增9分即()f x 的单调增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12分18. （Ⅰ）由题意24317742187()7912a a a a a S a +==⎧⎪⎨+===⎪⎩得349,13a a ==，则43n a n =- 2分211k k b b b b -=Q ，1,k b b ∴方程2661280x x -+=的两根，得12,64k b b ==4分111(1)12611k k k b b qb q S q q ---===--Q ，12,64k b b ==代入求得2q =，2n n b ∴=6分（Ⅱ）由12112n n nc c c a b b b ++++=L112121(2)n n n c c c a n b b b --+++=≥L 相减有1nn n nc a a b +=-4=22,42n n n n c b +∴≥==， 9分又121c a b =，得110c = 210(1)2(2)n n n c n +=⎧=⎨≥⎩122013c c c ∴+++=L 45201520161022226++++=-L12分19．解：（Ⅰ）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE⊥面11ACC A3分又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ，∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知：DE∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA 1，又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1＝ 21BB 1，即D 为1BB 的中点 6分（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0) 所以，),,0(),,0,(1b a DC b a DA -==设面DA 1C 的法向量为),,(z y x n =则 00,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax可取),,(a b b n--= 8分又可取平面AA 1DB 的法向量)0,,0(a BC m ==A 1C 1B 1ACBADHEFGcos ,m n u r r222222200ab b aa b a ba b +-=⋅+⋅--⋅==据题意有：21222=+a b b 解得：AB AA 1＝22=ab12分 (Ⅱ)解法2：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； 9分设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；在直角三角形A 1A G 中，易知AB ＝ BG . 在∆Rt DBG 中，BH ＝DGBGBD ⋅ ＝22ba ab +⋅，在∆Rt CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC ＝ bb a 22+，据题意有：bb a 22+ ＝ tan 600＝3 ，解得：22=a b 所以 ABAA112分20. 解：（1）在△ABC 中，BAC αβ∠=-,90BCA β∠=+o ,由正弦定理得：sin sin BC ABBAC BCA=∠∠ sin(90)cos sin()sin()a a AB ββαβαβ+∴==--o则cos sin sin sin()a hAB a a βαααβ=⋅-=--=cos sin sin()a αβαβ⋅- 4分（2）设DEx =，20tan h BED x +∠=Q ，tan hCED x∠= tan tan tan 1tan tan BED CEDBEC BED CED∠-∠∴∠=+∠⋅∠ 6分22020(20)(20)1x h h h h x x x ==++++≤当且仅当(20)h hx x+=即x =tan BEC ∠最大，从而BEC ∠最大=180h = 12分21. （Ⅰ）设12()1n n n f x x x x x --=++++-L ，则'12()(1)21n n f x nx n x x --=+-+++L显然'()0f x >，()f x ∴在R +上是增函数(1)10(2)f n n =->≥Q11(1())122()11212n f -=--1()02n =-< ()f x ∴在1(,1)2上有唯一实根，即112n a << 4分假设1n n a a +≥，*1()k k n n a a k N +∴≥∈则1()n f a +=111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ++-+++++++-≥++++-L L11n n n n n a a a ->+++-L ()n f a =1()()0n n f a f a +==Q ，矛盾，故1n n a a +<8分（Ⅱ）111111()()1()()()12222n n n n n n n n f a f a a a --⎡⎤-=+++--+++-⎢⎥⎣⎦L L11111(())(())()222n n n n n n n a a a ---+-++-L 12n a >- （12n a >Q ）()0n f a =Q ，11()()22n f =-11()22n n a ∴<+13分方法二：121n n n n n n a a a a --=+++Q L由（Ⅰ）1na -=12n n n n n a a a -+++L 12111()()()222n n ->+++L =11()22n -11()22n n a ∴<+22 （Ⅰ）'()x f x e a =-1分 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。

湖北省八校联考高三上学期第一次联考(12月)数学(理)试题-含答案

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中高三第一次联考数学试题（理）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1.已知集合1{,},(),3x M y y x x x R N y y x R ⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭，则（。

）A ．M N =B ．N M ⊆C ．R M C N =D ．R C N M Ø 2. 复数(12)(2)z i i =++的共轭复数为（）A ．－5iB ．5iC ．15i +D ．15i - 3. 将函数()3sin(2)3f x x π=-的图像向右平移(0)m m >个单位后得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是（）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π4. 已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（）A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,3)(1,)-∞-+∞ C ．(3,1)(1,1)--- D ．(1,1)(1,3)-5. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b >，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<.下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（）7. 下列说法错误的是（）A ．“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.B ．已知A BC 、、不共线，若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心. C ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”.D ．命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知103010,130S S ==，则40S =（） A ．－510 B ．400 C ． 400或－510 D ．30或409. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知2172()2018201721f x xx =+++，下列程序框图设计的是求0()f x 的值，在“ ）A ．n i =B ．1n i =+C ．n =2018i -D ．n =2017i - 10. 已知34πθπ≤≤+=θ=（）A ．101133ππ或 B ．37471212ππ或 C ．131544ππ或 D ． 192366ππ或11. 已知△ABC 中，,,a b c 为角,,A B C 的对边，(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=，则△ABC 的形状为（）A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形； 5:P 奇函数都是太极函数； 6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C.4D.5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==若a 与b 的夹角为θ，且(2)()a b a b +⊥-，则x = ________ .14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为 .16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=不等式()l n )0l n ()x f x e<+≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖北省八校2014届高三第一次联考理科综合试卷及参考答案

里里
8
SO42
里
开始应的离子方程式 HCO3 + Ba2++OH = BaCO3 + H2O
里
9
A 真胞中 a 过程要发生在胞中需 DNA 聚的催化 B 蛋白质和 tRNA 组形关 C 的形方式是脱水缩脱去的水中的只来自羧 D 据表中信所示携带的酸是赖酸列关物质应用的说法错误的是 A CCl4 曾用作灭火剂但因水在高温应会生毒物质已被禁用 B 厂中常用的静电除尘装置是据胶体带电个性质而设计的 C Li 是最轻的金属也是活动性极的金属是制电的理想物质 D 了延长果实或花朵的熟期用浸过高锰酸钾溶液的硅土吸收水果或花朵生的乙烯列关物质性质的说法确的是 A 乙醇以发生的应类型代应去应应 B 乙酸和苯酚的水溶液都酸性都能和小打应放出气体 C 将 Cl2 和 SO2 的混气体通入到品红溶液中颜色肯定褪去 D 向氢化铁胶体中滴稀酸开始沉淀生而会溶解据报道以硼氢化物 NaBH4(B 元素的化 3 )和 H2O2 作原料的燃料电负极材料采用作空通信卫星电源作原理如图所示列说法确的用 Pt/C 极材料采用 MnO2 是
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C 通过过化氢溶液在 90℃ 右水浴热化学应所需的活化能 D 绿色植物 2 A 真 B C D 3 常胞癌胞的原因是原癌因或抑癌胞凋亡于多胞生物体因发生突数分裂的个胞周期中染色体复制次胞分裂两次胞原胞相比胞更大物质运输效率更高内部境的稳定起着非常关键的作用生活动离开胞列关胞生活动和生历程的述确的是作用中生的[H] 胞吸过程中生的[H] 质相入鲜肝脏研磨液的实验比

【全国名校】2014届湖北省黄冈中学等八校高三第一次联考理科数学试卷

【全国名校】2014届湖北省黄冈中学等八校高三第一次联考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.方程的一个根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由求根公式可得,故选A.考点：1.方程求根公式；2.复数范围内方程的解2.集合，，若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由可知，得，，所以,,故，选C.考点：集合的运算3.下列命题，正确的是（）A.命题:，使得的否定是：，均有.B.命题：若,则的否命题是：若，则.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：，则的逆否命题是真命题.【答案】B【解析】试题分析：命题:，使得的否定是：，均有，A不对；菱形的四边相等但不一定是正方形，C不对；当时，D不对，故选B.考点：1.全称命题和特称命题；2.四种命题的相互关系；3.命题的真假判断4.已知满足，则关于的说法，正确的是（）A.有最小值1B.有最小值C.有最大值D.有最小值【答案】B【解析】试题分析：如图所示，可行域为及内部，则表示点到可行域内的点的距离的平方，由图可知点O到直线AB的距离最小，到点C（2，3）的距离最大，故，，故选B.考点：简单的线性规划问题5.函数有极值点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由函数有极值点可知有异号零点，则，故，选D.考点：1.函数的极值；2.零点存在性6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是一底面为如俯视图的菱形，高为1的四棱锥，则，故选B.考点：1.三视图；2.几何体的体积7.△中，角成等差数列是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由可得，化简得，所以,或，则角成等差数列是成立的充分不必要条件，故选A.考点：1.三视图； 2.基本不等式；3.几何体的体积8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：）A. B. C.0.686 D.0.98【答案】A【解析】试题分析：已知每压缩1cm需0.49N的压缩力，所以由得，则把这根弹簧从压缩至，外力克服弹簧的弹力做功为，选A.考点：定积分在物理上的应用9.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且∥平面，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（）A.点的轨迹是一条线段B.与不可能平行C.与是异面直线D.【答案】B【解析】试题分析：由已知可取的中点,的中点,连结，易证平面∥平面，故可知点的轨迹是一条线段，与是异面直线，A、C对；当点与重合时与平行，B不对；在上取点F,连结，可证为与平面所成的角，当点F在MN的中点时最大，此时,则，D对，故选B.考点：1.直线与平面平行的性质与判断；2.直线和平面的夹角；3.空间两直线的位置关系10.若直线与曲线有四个公共点，则的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由是偶函数，考察的情形，，作图：时，直线与曲线有四个交点，满足题意；时，若直线与相切，由，得，△="0,"，直线绕（0,1）逆时针旋转，开始出现5个交点顺时针旋转，3个交点，符合题意.根据对称性，也满足题意.故为，选A.考点：1.函数的图像；2.函数的零点；3.数形结合法处理函数问题二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.平面向量满足，且，则向量的夹角为．【答案】【解析】试题分析：由，得，可得向量的夹角为.考点：1.向量的数量积；2.向量的夹角12.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是．【答案】【解析】试题分析：由，可得.考点：1.类比推理；2.锥体的体积13.将函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为.【答案】【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位后得到的函数为：，图象关于点成中心对称，可得：，解得，故当时. 考点：1.三角函数的图像变换；2.三角函数图像的性质14.无穷数列中，是首项为10，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并且对于任意的，都有成立.若，则m的取值集合为____________.记数列的前项和为,则使得的的取值集合为____________.【答案】；【解析】试题分析：由知等比数列部分最少6项，即,由，得时，；,，=，时，即时，最大，,故，则考点：1.等比数列的定义；2.等比数列的前项和15.已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半径为.【答案】【解析】试题分析：由切线定理和割线定理可知：,所以可得,连结,由可得为直角三角形，故意.考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理16.在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2，则.【答案】【解析】试题分析：曲线可化为：，曲线可化为为：，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2可知圆心到直线的距离为2，即：，所以.考点：1.直线的参数方程；2.圆的极坐标方程；3.点到直线的距离公式三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调增区间为和.【解析】试题分析：（Ⅰ）先由向量数量积坐标运算得，再由图象与直线的相邻两个交点之间的距离为得，从而求得；（Ⅱ）由得，再由余弦函数的单调性可得的单调增区间为和.试题解析：（Ⅰ）1分5分由题意，，6分（Ⅱ），时，故或时，单调递增9分即的单调增区间为和12分考点：1.向量的数量积；2.三角恒等变换；3.三角函数的单调性18.设等差数列的前项和为，满足：．递增的等比数列前项和为，满足：．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设数列对，均有成立，求．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)【解析】试题分析：(Ⅰ)先由等差数列的性质得出从而求出，再结合求出，从而得出；由，可构造方程，从而求出,由求出，故；(Ⅱ)当时，求得；当时由，，作差可得，故，从而可求. 试题解析：（Ⅰ）由题意得，则2分，方程的两根，得4分，代入求得，6分（Ⅱ）由，两式相减有，9分又，得考点：1.数列的通项公式的求法；2.数列的前项和19.如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面⊥平面.(Ⅰ)求证：为棱的中点；（Ⅱ）为何值时，二面角的平面角为.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)＝【解析】试题分析：(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA1，又点F是AC的中点，则DB =BB 1，即为的中点；或者先证,再证得. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系，然后求出两平面DA1C和ADA1的法向量分别为和，由二面角的平面角为可知，得据题意有：，从而＝.或者利用几何法可求.试题解析：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C故直线面3分又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA 1，又点F是AC的中点，所以DB ＝EF ＝AA1＝BB1，即为的中点.6分(Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝2b，AB＝BC ＝，则D（0,0,b）,A1 (a,0,2b), C (0,a,0)所以，设面DA1C的法向量为则可取8分又可取平面AA1DB的法向量:据题意有：解得：＝12分过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A －A1D －C的平面角；9分设AA1＝2b，AB＝BC ＝；在直角三角形A1A G中，易知AB ＝BG.在DBG中，BH ＝＝，CHB中，tan∠CHB ＝＝，据题意有：＝tan600＝，解得：所以＝12分考点：1.平面和平面垂直的性质定理；2.直线和平面平行的判定和性质；3.用空间向量处理二面角20.如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.（Ⅰ）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影.已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由正弦定理可得，从而，故时看的视角(即)最大可先求出，然后由基本不等式求出及最值取到的条件得出.试题解析：（Ⅰ）在△中，,,由正弦定理得：则=4分（Ⅱ）设，，6分当且仅当即时，最大，从而最大, 由题意，，解得.考点：1.正弦定理的应用；2.三角恒等变换；3.基本不等式的应用21.已知是关于的方程的根，证明：（Ⅰ）;（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）构造函数，通过导函数可知函数在上是增函数，而，，故在上有唯一实根，即，然后利用函数的单调性，用反证法证明；（Ⅱ）先证，再由，可得．注意放缩法的技巧.试题解析：（Ⅰ）设，则显然，在上是增函数在上有唯一实根，即4分假设，则，矛盾，故8分（Ⅱ）（），13分方法二：由（Ⅰ）=考点：1.函数的零点；2.函数的单调性的应用；3.放缩法证明不等式22.已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；（Ⅲ）求证：.【答案】（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转化为证.试题解析：（Ⅰ）1分时，，在上单调递增。

湖北省八校2014届高三第一次联考理科综合试卷及参考答案

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中湖北省八校2014届高三第一次联考理科综合试题★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

可能用到的相对原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64第I 卷选择题（共21小题，每小题6分，共126分）一、选择题（本大题共13小题，每小题6分。

四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列有关生物学现象和原理的叙述中正确的是A ．在观察根尖分生组织细胞的有丝分裂实验中，可在显微镜下看到细胞板由细胞中央向四周扩展形成新细胞壁B ．萤火虫尾部发出荧光的过程通常伴随着A TP 的水解C ．通过过氧化氢溶液在90℃左右水浴加热与加入新鲜肝脏研磨液的实验对比，可以看出酶能降低化学反应所需的活化能D ．绿色植物光合作用中产生的[H]，与细胞呼吸过程中产生的[H]本质相同 2．生命活动离不开细胞，下列有关细胞生命活动和生命历程的叙述正确的是 A ．真核细胞与原核细胞相比，细胞更大，物质运输效率更高 B ．减数分裂的一个细胞周期中染色体复制一次，细胞分裂两次 C ．细胞凋亡对于多细胞生物体维持内部环境的稳定起着非常关键的作用 D ．正常细胞变成癌细胞的原因是原癌基因或抑癌基因发生突变3．下列有关实验的叙述，正确的是A ．利用染色排除法，被台盼蓝染成蓝色的细胞是活细胞，体现出细胞膜的选择透过性B ．可利用淀粉、蔗糖、淀粉酶和碘液验证酶的专一性C ．在纸层析法分离叶绿体中色素的实验结果中，滤纸条上蓝绿色的色素带最宽，原因是叶绿素a在层析液中溶解度最高D ．用32P 标记噬菌体的侵染实验中，上清液存在少量放射性可能是保温时间不足或者过长所致 4．对下列示意图的相关描述，正确的是A ．图甲细胞处于质壁分离状态，该细胞失水过程中①内溶液的浓度高于②内溶液的浓度B ．对应图乙（b ）所示的过程来维持细胞内外浓度差异的物质是（a ）中的Na +C ．图丙曲线1为最适温度下反应物浓度对酶促反应速率的影响，如果将反应温度略微升高，变化后的曲线最可能是3D ．图丁中的①是mRNA ，该过程最终形成的②③④⑤具有不同的结构5．如图甲乙丙是某高等动物体内发生的细胞分裂模式图，图丁为某一时刻部分染色体行为的示意图，下列说法正确的是A ．若丁发生在丙细胞形成的过程中，最终产生的子细胞基因组成有4种B ．若A 基因在图甲1号染色体上，不发生基因突变的情况下，a 基因在染色体5上C ．乙细胞表示次级精母细胞或极体，乙细胞内无同源染色体D ．若丁图表示发生在减数第一次分裂的四分体时期，则①和②都发生了染色体变异 6．如图为蛋白质合成过程的示意图，表中为部分氨基酸对应的密码子，有关分析正确的是A．真核细胞中a过程主要发生在细胞核中，需DNA聚合酶的催化B．③由蛋白质和tRNA组成，其形成与核仁有关C．④的形成方式是脱水缩合，脱去的水中的氧只来自羧基D．根据表中信息所示⑤上携带的氨基酸是赖氨酸7．下列有关物质应用的说法错误的是A．CCl4曾用作灭火剂，但因与水在高温下反应会产生有毒物质，现已被禁用B．工厂中常用的静电除尘装置是根据胶体带电这个性质而设计的。

2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ．【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题．（3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题．（4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ．【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ．【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等．（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ．【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．（12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ．【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=．【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题．（13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ．【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．（14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______．【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==．【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．（2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温．（18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ，故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=．故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．（20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点．（ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间；（2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<．由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >．综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。

2014年湖北省八市高三3月联考理科数学试题(含答案)(高清扫描版)

18.（Ⅰ）设公差为d.由已知得 ………………………………3分
解得，所以 ………………………………6分
（Ⅱ），
… ……………………………9分
对恒成立，即对恒成立
又
∴ 的最小值为 ……………………………………………………………12分
19．(Ⅰ)在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．………………………………2分
设平面ABE的一个法向量为．
则，即，
取，则，，则．………………………………8分
显然为平面ADE的一个法向量，
所以．………………………………………………10分
二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分
20.解法1：
（Ⅰ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为( )2＋( )2＝ .………4分
当 ,即时, , 有两个解, 有个解;
当 ,即时, 且 , 有个解;………………………………………………………………………11分
当 ,即时, , 有个解;
当 ,即时, , 有个解.……13分
综上所述:
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解.……………………………………………………14分
＝4( )2( )2＝，…………………………………………7分
∴ξ的分布列为
ξ
2
4
6
P
………9分
（Ⅱ）Eξ＝2× ＋4× ＋6× ＝ .…………………………………………12分

2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析

2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。

湖北八校高三年级第一次联考数学(理)试题

湖北八校高三年级第一次联考数学（理）试题2008 届高三第一次联考数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，则复数321i i在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在（） A ．x 轴上 B ．y 轴上C ．直线yx 上D ．直线yx 上3．已知函数1()1log (0,1),()a f x x aa fx 且是()f x 的反函数，若1()yfx 的图象过点（3，4），则a 等于（）A 2B 3C ．33D ．24．在△ABC 中，“cos 2sin sin A B C ”是“△ABC 为钝角三角形”的（） A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a b 、为非零实数，且a b ，则下列不等式成立的是（）A ．22a bB ．11abC ．2211ab a bD ．11a ba6．定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a . 将函数3sin ()1cos xf x x的图象向左平移n （0n ）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）湖北省八校黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学孝感高中襄樊四中襄樊五中鄂南高中A ．6B ．3C ．56D ．237．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q na(n N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是（） A ．(2,4)B ．14(,)33C ．1(,1)2D ．(1,1)8．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P ，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ，再过二分钟后，该物体位于R 点，且60QOR ，则2tan OPQ 的值等于（）A ．49B ．23C ．427D ．以上均不正确9．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x，且(1)1,f (0)2f ，则(1)(2)(3)(2008)f f f f 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0D ．110．如果有穷数列12,,,(n a a a nN *)，满足条件：1211,,,,n n n a a a a a a 即1(1,2,,)ini a a i n ，我们称其为“对称数列”.例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”.已知数列{}n b 是项数为不超过*2(1,)m m mN 的“对称数列”，并使得1，2，22，…，12m 依次为该数列中前连续的m 项，则数列{}n b 的前2008项和2008S 可以是： ①200821；②20082(21)；③1220093221m m；④122008221mm.其中命题正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上。

湖北省八校2014届高三数学第一次联考试题理(含解析)新人教A版

湖北省八校2014届高三数学第一次联考试题理（含解析）新人教A版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程2250x x -+=的一个根是（） A.12i +B.12i -+C.2i +D.2i -2.集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =,则P Q =（）A.{3,0}B.{3,0,2}C.{3,0,1}D.{3,0,1,2}3.下列命题，正确的是（）A.命题:x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.4.已知,x y 满足220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则关于22x y +的说法，正确的是（）A.有最小值1B.有最小值45C.有最大值13D.有最小值2555.函数c bx ax x f ++=23)('2有极值点，则（） A. 23b ac ≤ B. 23b ac ≥ C. 23b ac <D. 23b ac >6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.13B.23C.2D.17.△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3sin )cos C A A B =+成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】11111正（主）视图侧（左）视图俯视图第6题图8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J ） A.0.196B.0.294C.0.686D.0.989.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（） A.点F 的轨迹是一条线段 B.1A F 与1D E 不可能平行 C. 1A F 与BE 是异面直线 D.tan 22θ≤【答案】B 【解析】11D 1B B1F第9题图10.若直线1y kx=+与曲线11||||y x xx x=+--有四个公共点，则k的取值集合是（）A.11{0,,}88- B.11[,]88- C.11(,)88- D.11{,}88-第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）(一)必考题（11—14题）11.平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为．12.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是．13.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为 .14.无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥*3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4—1：几何证明选讲）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M是⊙O 2上的一点，若PE =2，EA =1，45AMB ∠=，那么⊙O 2的半径为 .考点：1.切线定理；2.割线定理；3.圆周角定理16.（选修4—4：坐标系与参数方程）ABC DP MEO 1O 2在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m πρθ+=的距离等于2，则______m =.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2)3x πω=+a ，(2cos ,0)x ω=b (0)ω>，函数()f x =⋅a b 的图象与直线23y =-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求122013c c c +++．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠=，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AA C C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60.ABCA 1B 1C 1D 第19题图A1 C1B1ACBDy OxZ20.（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.（Ⅰ）若以,B C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用,,aαβ表示山的高度h；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影. 已知石塔高度20a=,当观测点E在AD上满足6010DE=时看BC的视角(即BEC∠)最大，求山的高度h.第20题21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-=(0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.(本小题满分14分)已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）当0a>时，若()0f x≥对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln1ln1ln12(31)(31)(31)nn⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.。

湖北省八市2014届高三下学期3月联考数学(理)试题

湖北省八市2014届高三下学期3月联考数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3．填空题和解答题用0．5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A πB 2πC ．2πD ．π6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a=A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放． A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为A +1B ．2CD －110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．CD ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版

a x 7 6 77 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共 5 页，22 题。

全卷满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

注意事项：★祝考试顺利★1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1－i 21．[2014·湖北卷] i 为虚数单位， 1＋i ＝()A ．－ 1 C ．－i D ．i1－i 2 －2i1．A [解析] 1＋i ＝＝－1.故选 A.2i2x ＋a 7 12．[2014·湖北卷] 若二项式x 的展开式中的系数是 84，则实数 a ＝( ) x 3A ．2 5 B. 4C ．1 D. 241 5 1 2．C [解析] 展开式中含 C 522a 5＝84，解得 a ＝1.故选 C.的项是 T ＝C 5(2x )2 x 3 ＝C 522a 5x －3，故含的项的系数是 x 33． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ”是 “A ∩B ＝∅”的()y y A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，则可以推出 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在 C ＝A ，满足 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，故“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ” 是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选 C.4．[2014·得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <04．B [解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线^＝bx ＋a 的斜率 b <0，截距 a >0.故a>0，b <0.故选 B.5．[2014·湖北卷] 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选 D.－ 1－x 26．[2014·湖北卷] 若函数 f (x )，g (x )满足错误!f(x)g(x)d x ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1， 1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝ sin 1，g(x)＝ 2cos 1 2 ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6． C [ 解析] 由题意，要满足 f(x) ， g(x) 是区间[ － 1 ， 1] 上的正交函数，即需满足错误!f(x)g(x)d x ＝0.①错误!f(x)g(x)d x ＝错误!sin 1 2 1x cos 2x d x ＝1 错误!sin x d x ＝ 2－1cos x 2 11＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②错误!f(x)g(x)d x ＝错误!(x ＋1)(x －1)d x ＝上的正交函数；x 3－x 1 －1＝－4≠0，故第②组不是区间[－1，1] 3③错误!f(x)g(x)d x ＝错误!x ·x 2d x ＝x 41 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 4综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C .x ≤0，7．[2014·湖北卷] 由不等式组 y ≥0，y －x －2≤0x ＋y ≤1，确定的平面区域记为Ω1，不等式组确x ＋y ≥－2定的平面区域记为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω2 内的概率为()A.1 8B.1 4C.3 4 D.7 87．D [解析] 作出Ω1，Ω2 表示的平面区域如图所示，S 1＝S 1 AOB ＝ ×2×2＝2，S 1 1 1 BCE ＝ ×1× ＝，则 S AOEC ＝S Ω1－S BCE ＝2－1＝7.故由Ω △ △2 2 4 7四边形几何概型得，所求的概率 P ＝S 四边形 AOEC ＝4＝7.故选 D.S Ω1 2 88．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 V ≈ 1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式 V ≈363 x △4 43 e 2 Sh e 2L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75A.22 7B.25 8C.15750 D.355 1138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为 r ，底面积为 S ，则 L ＝2πr ，由题意得 1 L 2h ≈1，代入 S ＝πr 2 化简得π≈3；类比推理，若 V ＝ 2 L 2h ，则π≈25.故选 B.36 375 89．、[2014·湖北卷] 已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )3 A.4 3 3 B.2 3 3C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为 a 1，双曲线的实半轴长为 a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝ 2a 2，平方得 4a 2＝r 2＋r 2＋2r 1r 2，4a 2＝r 2－2r 1r 2＋r 2.又由余弦定理得 4c 2＝r 2＋r 2－r 1r 2，消去 r 1r 2，1 12 得 a 2＋3a 2＝4c 2，2 1 2 1 2121 3 1 12 1 ＋ 1 × 21 ＋ 3 1＋1 16 即＋＝4.所以由柯西不等式得 e 1e2 ＝ e 13 ≤ e 2 e 23 ＝ .2 21 22 3 所以1 ＋ 1 ≤4 3.故选 A.e 1 e 2 310．[2014·湖北卷] 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋|x2 －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为( )－1，1 － 6， 6 －1，1 － 3， 3 A. 6 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 3 310．B [解析] 因为当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋x －2a 2|－3a 2)，所以当 0≤x ≤a 2 时，f (x )21(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2) 2＝－x ；当 a 2<x <2a 2 时， f (x ) 1(x －a 2＋2a 2－x －3a 2) 2 ＝ 2 当 x ≥2a 2 时，＝－a ； f (x ) 1(x －a 2＋x －2a 2－3a 2) 2 ＝＝x －3a . 2－x ，0≤x ≤a 2，综上，f (x ) －a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x )在 R 上的大致图象如下，e ＝观察图象可知，要使∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－ 6≤a ≤ 6.6 6故选 B.11．[2014·湖北卷] 设向量 a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝． 11．±3 [解析] 因为 a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线 l 1：y ＝x ＋a 和 l 2：y ＝x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋y 2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a 2＋b 2＝ .12．2 [解析] 依题意得，圆心 O 到两直线 l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的1，即|a | ＝ |b | ＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故 a 2＋b 2＝2.4 2 2图 1-213．[2014·湖北卷] 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a )，按从大到小排成的三位数记为 D (a )(例如 a ＝815，则 I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图 1-2 所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ，输出的结果 b ＝．13．495 [解析] 取 a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693；由 a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594；由 a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；ab－a ab－b＝，由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c，0)，则称c 为a，b 关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得M f(a，b)＝c＝a＋b，即M f(a，b)为a，b2的算术平均数．(1)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的几何平均数；(2)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的调和平均数2ab.a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1) x (2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x，其中k1，k2 为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）0＋f（b）c－a0－f（a）0＋f（b）＝，c－b即＝.因为a>0，b>0，所以化简得f（a）af（b），故可以选择f(x)＝x(x>0)；b(2)依题意，c＝2ab，则0－f（a）0＋f（b）f（a），因为a>0，b>0，所以化简得f（b）a＋b 2ab －a2ab －b a b故可以选择f(x)＝x(x>0)．a＋b a＋b15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C，D 两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝．图1-315．4 [解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)＝t，已知曲线C13(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ＝2，则C1 与C2 交点的直角坐标为．＝＝3 （x ≥0），＝ 3，3 2＋y 2＝4，＝1. 故曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为( ，1).17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－ 3 π － π，t ∈[0，24)．cos t 12 sin t12(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于 11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为 f (t )＝10－π cos t ＋ 12 1sin 2 10－π π π 7π 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < 3 ，－1≤3 1.当 t ＝2 时，1；当 t ＝14 时， 1.于是 f (t )在[0，24)上取得的最大值是 12，最小值是 8.故实验室这一天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f (t )>11 时，实验室需要降温．由(1)得 f (t )＝10－故有 10－，1 即－ .2 又 0≤t <24，因此7ππ ＋π11π即 10<t <18.< t < ， 6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n}的公差为d，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4. 当 d ＝0 时，a n ＝2；当 d ＝4 时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2 或 a n ＝4n －2. (2)当 a n ＝2 时，S n ＝2n ，显然 2n <60n ＋800，此时不存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立．当 a n ＝4n －2 时，S n ＝n [2＋（4n －2）]＝2n 2.2令 2n 2>60n ＋800，即 n 2－30n －400>0，解得 n >40 或 n <－10(舍去)，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 a n ＝2 时，不存在满足题意的正整数 n ；当 a n ＝4n －2 时，存在满足题意的正整数 n ，其最小值为 41.19．、、、[2014·湖北卷] 如图 1-4，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，M ，N 分别是棱 AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1 的中点，点 P ，Q 分别在棱 DD 1，BB 1 上移动，且 DP ＝BQ ＝ λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1 时，证明：直线 BC 1∥平面 EFPQ .(2)是否存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图 1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接 AD 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，知 BC 1∥AD 1.当λ＝1 时，P 是 DD 1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以 FP ∥AD 1，所以 BC 1∥FP . 而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接 BD .因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，且 EF ＝1BD .2又 DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ ∥BD ，且 PQ ＝BD ，从而 EF ∥PQ ，且 EF ＝1PQ .22 2 在 Rt △EBQ 和 Rt △FDP 中，因为 BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是 EQ ＝FP ＝ 1＋λ2，所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形．分别取 EF ，PQ ，MN 的中点为 H ，O ，G ，连接 OH ，OG ，则 GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而 GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接 EM ，FN ，则由 EF ∥MN ，且 EF ＝MN 知四边形 EFNM 是平行四边形．连接 GH ，因为 H ，G 是 EF ，MN 的中点，所以 GH ＝ME ＝2.2 2 1 在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－ 2 ＝λ2＋， 22 1 OG 2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，2 由 OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2 1 λ2 1 4，解得λ＝1± 2，＋＋＋＝ 2 2 2 故存在λ＝1± 2，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角．2方法二(向量方法)：以 D 为原点，射线 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得 B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③ →BC 1＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1 时，FP ＝(－1，0，1)， → 因为BC 1＝(－2，0，2)，所以 → → BC 1＝2FP ，即 BC 1∥FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ . ·n ＝0， x ＋y ＝0， (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z ) 于是可取 n ＝(λ，－λ，1)．→ FP ·n ＝0－x ＋λz ＝0. 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1± 2 2.220．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年．入．流．量．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来 4 年中，至．多．有 1 年的年入流量超过 120 的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10＝0.2，50 p 2＝P (80≤X ≤120)＝35＝0.7，50 p 3＝P (X >120)＝ 5 ＝0.1.50由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝C 0(1－p )4＋C 1(1－p )3p ＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.4 3 4 3 3 (2)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)．①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y ＝5000，E (Y ) ＝5000×1＝5000.②安装 2 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－800＝4200，因此 P (Y ＝4200) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 X ≥80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2＝10 000，因此 P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装 3 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－1600＝3400，因此 P (Y ＝3400) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 80≤X ≤120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2－800＝9200，因此 P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当 X >120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝5000×3 ＝15 000，因此 P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得 Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1，0)的距离比它到 y 轴的距由②③解得－ 0<k < > 离多 1.记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1|x |＋1，化简整理得 y 2＝2(|x |＋x )．故点 M 的轨迹 C 的方程为y 2x ，x ≥0，，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 2＝4x ，C 2：y＝0(x <0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)．－1＝k （x ＋2），由方程组2＝4x ，可得 ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当 k ＝0 时，y ＝1.把 y ＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x ＝1. 故此时直线 l ：y ＝1 与轨迹 C当 k ≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x 0，0)，则由 y －1＝k (x ＋2)，令 y ＝0，得 x 0＝－2k ＋1.③k <0， (i)由②③解得 0<0，k <－1 或 k 1. 2 即当 k ∈(－∞，－1) l 与 C 1 没有公共点，与 C 2 有一个公共点．故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．(ii)＝0， 0<0， >0， 0≥0，由②③解得 k 11 1≤k <0.2 即当 k l 与 C 1 只有一个公共点．－1，当 k ∈ 2 l 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 没有公共点．故当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． >0， (iii)1<k <－1或 1 0<0， 2 2 1即当 kl 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．综上可知，当 k ∈(－∞，－1){0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点；当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k ∈1时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．.e π 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln x 的单调区间； x (2)求 e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3 这 6 个数中的最大数与最小数； (3)将 e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为 f (x )＝ln x ，所以 f ′(x ) 1－ln x . ＝ x x 2 当 f ′(x )>0，即 0<x <e 时，函数 f (x )单调递增；当 f ′(x )<0，即 x >e 时，函数 f (x )单调递减．故函数 f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为 e<3<π，所以 eln 3<eln π，πln e<πln 3，即 ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数 y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中，最小数在 3e 与 e 3 之中．由 e<3<π及(1)的结论，得 f (π)<f (3)<f (e)，即ln π π ln 3 3 ln e < . e ln π ln 3 3 π π 3 由 < ，得 ln π <ln3 π 3 ，所以 3 >π ；由ln 3 ln e e 3 e 3 < ，得 ln 3 <ln e ，所以 3 <e . 3 e 综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e . (3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln π π ln e < ，得π <e . e 故只需比较 e 3 与πe 和 e π与π3 的大小．由(1)知，当 0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1， e ln x 1 即 < . x e 在上式中，令 x ＝ e 2 ，又e 2 <e ，则 ln e 2 < e ，从而 2－ln π< e ，即得 ln π>2－ e .①ππ π π 由①得，eln π×(2－0.88)＝3.024>3，即 eln π>3，亦即 ln πe >ln e 3，所以 e 3<πe . 又由①得，3ln π>6－3e >6－e>π，即 3ln π>π，π所以 e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这 6 个数从小到大的顺序为 3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. <。

2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （）A.1-B. 1C. i -D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （）A.2B. 54C. 1D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

湖北省八校2014届高三数学第一次联考试题文

湖北省八校2014届高三数学第一次联考试题文一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列结论中成立的是（） A ．MN M =B ．M N N =C ．()U MC N =∅D ．()U C M N =∅2.命题“x ∀∈R ，2e x x >”的否定是（） A ．不存在x ∈R ，使2e x x > B ．x ∃∈R ，使2e x x < C ．x ∃∈R ，使e x ≤2xD ．x ∀∈R ，使e x ≤2x3.已知αβ、为锐角，3cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则tan β的值为（） A ．13B ．3C ．913D ．1394.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足6542a a a =+，则64a a 的值为（） A ．4 B ．2 C ．1或4 D ．15.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（） A ．1096π+ B ．996π+C ．896π+D ．980π+644214968S ππ=⨯⨯+⨯⨯=+，选C.考点：1.三视图；2.几何体的表面积6.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为（）44442正视图侧视图俯视图第5题图A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7.定义方程()()'=f x f x 的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ． b a c >>8.若,(0,2]x y ∈且2xy =,使不等式2a x y +（）≥(2)(4)x y --恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．a ≤12B ．a ≤2C ．a ≥2D ．a ≥129.已知集合{}(,)|()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（）A ．1{(,)|}M x y y x==B ．{(,)|cos }M x y y x ==C ．2{(,)|22}M x y y x x ==-+D ．2{(,)|log (1)}M x y y x ==-10.如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为(),()y f x y g x ==，定义函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，，．对于函数()y h x =，下列结论正确的个数是（）第10题图① (4)10h = ；②函数()h x 的图象关于直线6x =对称；OPP O③函数()h x 值域为013⎡⎤⎣⎦，；④函数()h x 增区间为05（，）． A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.） 11.如果复数1i 12im z -=-的实部与虚部互为相反数，则实数=m ．考点：1.复数的定义；2.复数的四则运算12.设,x y ∈R ，向量(,1)x =a ，(1,)y =b ，(3,6)=-c ，且⊥c a ，b ∥c ，则+⋅（）a b c = ．13.直线(1)y k x =+与曲线()ln f x x ax b =++相切于点(1,2)P ，则2a b +=________．14.在△ABC 中，cos cos =b C c Ba+ ．15．已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n ∈N 在直线3(6)y k x -=-上，则数列{}n a 的前11项和11S = ．16.设点(,)P x y 为平面上以(4,0)0,4),1,2A B C ,（（）为顶点的三角形区域（包括边界）上一动点，O 为原点，且OP OA OB λμ=+，则+λμ的取值范围为．17.用符号[)x 表示超过x 的最小整数，如4,1[)[ 1.5)π==--，记{}[)x x x =-．（1）若(1,2)x ∈，则不等式{}[)x x x ⋅<的解集为；（2）若(1,3)x ∈，则方程22cos sin 10[){}x x +-=的实数解为．三、解答题（本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分12分）已知函数2()2cos 23cos f x x x x x =+∈R ，. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间,64[]ππ-上的值域．【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）()f x 的值域为03⎡⎤⎣⎦，. 【解析】19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 12=2AA AC AB ==，且11BC AC ⊥．（Ⅰ)求证：平面1ABC ⊥平面1A C ；（Ⅱ)设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使DE ‖平面1ABC ；若存在，求三棱锥1E ABC -的体积．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 【解析】A 1C 1BAC第19题图DB 120.（本小题满分13分）若数列{}n A 满足21n n A A =+,则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，91=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 2)(2+=的图象上，其中n 为正整数． (Ⅰ)证明数列{1}n a +是“平方递推数列”，且数列{lg(1)}n a +为等比数列； (Ⅱ）设（Ⅰ)中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求lg n T ；(Ⅲ）在(Ⅱ）的条件下，记)1lg(lg +=n nn a T b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2014n S >的n 的最小值．又2014n S >，即112220142n n --+>，110082nn +>，21.（本小题满分14分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m ∈R ≤≤且个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中16048()154102x x f x x x ⎧⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，≤≤，，≤．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m 的最小值．22.（本小题满分14分）已知实数0,a >函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ)求函数()f x 的单调区间及最小值；（Ⅱ）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）证明：*12482ln(1)ln(1)ln(1)ln 1 1 ().233559(21)(21)n n n n -⎡⎤++++++++<∈⎢⎥⨯⨯⨯++⎣⎦N。

2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版(选择、填空题)纯Word版含解析

2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A ．-1B ．1C ．-iD ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 BC ．1 D【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722kk k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ，由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。

【答案】C .4．得到的回归方程为y =bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5．在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)，作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④. 【答案】D .6．若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2.其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰；【答案】C .7．由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L h ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B . 9．已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2 【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。

湖北省部分重点中学2014届高三数学上学期期中联考试题理新人教A版

12013年秋季湖北省部分重点中学期中联考高三数学试卷(理科)一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 2. cos48sin108cos42cos72+=A ．B ．12C ．sin114︒D ．cos114︒3．下列各组命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈>B ．2,(1)0x N x +∀∈->C ．,lg 1x R x ∃∈<D ．,tan 2x R x ∃∈= 4．右图是函数sin()(0,0,)2y A x A πωφωφ=+>><在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点 A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变5．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116aa =A ．2B ．3C ．6D ．3或66．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内6π-56π2C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内7．设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =, 121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c8．P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足2=++，若A B C ∆的面积为1，则A B P ∆ 的面积为 A. 1 B.2 C.12 D.139．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A ．2097B ．2264C ．2111D ．201210．我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln ()ln ()y x f x ϕ=，两边求导数，得()()ln ()()()y f x x f x x y f x ϕϕ'''=+，于是()()()()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'⎡⎤''=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法可以探求得函数1xy x =的一个单调递增区间是 A ．(),4e B ．11,e e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．(1,1)e e -+D ． (0,)e 二. 填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若()f x '为()f x 的导函数，且()f x =11()f x dx -'=⎰▲ .12．已知tan()35πα-=-22sin cos 3cos 2sin αααα-＝ ▲ .13．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=，30BDC ︒∠=，30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = ▲ 米.14．已知函数f (x )=|x +11x-|，则关于x 的方程2()6()0f x f x c -+= (c∈R)有6个不同实数解的充要条件是 ▲ ．15. (1)若指数函数xy a =的图象与直线y x =相切，则a = ▲ ;1 2 3 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31 32 33 34 3536 37 383940…3(2)如果函数()log x a f x a x =-不存在零点，则a 的取值范围为 ▲ . 三.解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分) 已知集合231{|1,[,2]},{|||1}22A y y x x xB x x m ==-+∈-=-≥；命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实得数m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知sin 2()sin xf x x x=+(1)求()f x 的最大值及取得最大值时x 的取值的集合;(2)在△ABC 中，a b c 、、分别是角A ，B ，C所对的边，若a =，且对()f x 的定义域内的每一个x ，都有()()f x f A ≤恒成立，求AB AC ⋅的最大值.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：121,(0).a a a a ==>数列{}n b 满足1(*)n n n b a a n N +=∈． (1)若{}n a 是等差数列，且312b =，求a 的值及{}n a 的通项公式； (2)若{}n a 是等比数列，求{}n b 的前项和n S ；(3)当{}n b 是公比为1a -的等比数列时，{}n a 能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．19．（本小题满分12分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(0,14]t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当。

2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

20XX 普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕[20XXXX ，理1，5分]i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭〔〕〔A 〕1-〔B 〕1〔C 〕i -〔D 〕i [答案]A[解析]因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． [点评]本题考查复数的运算，容易题．〔2〕[20XXXX ，理2，5分]若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =〔〕〔A 〕2〔B 〕54〔C 〕1〔D 〕24[答案]D[解析]因为()77727722xrr r r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．[点评]本题考查二项式定理的通项公式，容易题．〔3〕[20XXXX ，理3，5分]设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅〞的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；若A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．[点评]本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题．〔4〕[20XXXX ，理4，5分]根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆybx a =+，则〔〕〔A 〕0a >，0b >〔B 〕0a >，0b <〔C 〕0a <，0b >〔D 〕0a <，0b < [答案]B[解析]依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． [点评]本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题．〔5〕[20XXXX ，理5，5分]在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔〕〔A 〕①和②〔B 〕③和①〔C 〕④和③〔D 〕④和② [答案]D[解析]在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．[点评]本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题．〔6〕[20XXXX ，理6，5分]若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是〔〕〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕3 [答案]C[解析]对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．[点评]新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．〔7〕[20XXXX ，理7，5分]由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔〕〔A 〕18〔B 〕14〔C 〕34〔D 〕78[答案]D[解析]依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．[点评]本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题．〔8〕[20XXXX ，理8，5分]《算数书》竹简于上世纪八十年代在XX 省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖〞的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔〕〔A 〕227〔B 〕258〔C 〕15750〔D 〕355113[答案]B[解析]设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．[点评]本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．〔9〕[20XXXX ，理9，5分]已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕〔A 〕433〔B 〕233〔C 〕3〔D 〕2[答案]B[解析]设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． [点评]本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理与用基本不等式求最值，难度中等．〔10〕[20XXXX ，理10，5分]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值X 围为〔〕〔A 〕11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔B 〕66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔D 〕33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ [答案]B[解析]依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a xx a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值X 围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． [点评]本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值与恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．〔一〕必考题〔11-14题〕〔11〕[20XXXX ，理11，5分]设向量()3,3a =，()1,1b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=． [答案]3±[解析]因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．[点评]本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题．〔12〕[20XXXX ，理12，5分]直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=．[答案]2[解析]依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． [点评]本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题．〔13〕[20XXXX ，理13，5分]设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a〔例如815a =，则()158I a =，()851D a =〕．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =． [答案]495[解析]当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．[点评]新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题．〔14〕[20XXXX ，理14，5分]设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b的算术平均数．〔1〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；〔2〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕[答案]〔1〕x 〔2〕x 〔或填〔1〕1k x 〔2〕2k x ，其中12,k k 为正常数均可〕[解析]设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．[点评]本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．〔一〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．〕〔15〕[20XXXX ，理15，5分]〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． [答案]4[解析]由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． [点评]本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．〔16〕[20XXXX ，理16，5分]〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为．[答案]()3,1[解析]由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．[点评]本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔17〕[20XXXX ，理17，11分]某实验室一天的温度〔单位：C ︒〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．〔1〕XX 验室这一天的最大温差；〔2〕若要XX 验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：〔1〕因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．〔2〕依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由〔1〕得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温．〔18〕[20XXXX ，理18，12分]已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-．〔2〕当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．〔19〕[20XXXX ，理19，12分]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．〔1〕当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；〔2〕是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：解法一：〔1〕如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得212λ=±，故存在212λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ．〔1〕当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由00FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得12λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．〔20〕[20XXXX ，理20，12分]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米〕都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：〔1〕依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．〔2〕记水电站年总利润为Y 〔单位：万元〕〔1〕安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．〔2〕安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =〔3〕安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y PX p ==>==，由此得所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．〔21〕[20XXXX ，理21，14分]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．〔1〕求轨迹为C 的方程；〔2〕设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值X 围．解：〔1〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x yx ≥⎧=⎨<⎩．〔2〕在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++=①〔1〕当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ 〔ⅰ〕若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．〔ⅱ〕若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．〔ⅲ〕若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．〔22〕[20XXXX ，理22，14分]π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．〔1〕求函数xxx f ln )(=的单调区间；〔2〕求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；〔3〕将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．〔2〕因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<与〔1〕的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<．由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e <，得3ln3ln e e <，所以33e e >．综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e ．〔3〕由〔2〕知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由〔2〕知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π与 3π的大小，由〔1〕知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2lne eππ<，从而2ln eππ-<，即得ln 2eππ>-①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333eee e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学(理)试题含解析

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学理科试题(含答案)一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则=B A （）. A. )2,21[-B. ]21,1(-- C. ),1(e - D. ),2(e2.若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（）A. 71-B. 7-C. 37- D. 1-3.已知命题p :所有素数都是偶数，则p ⌝是（）A.所有的素数都不是偶数B.有些素数是偶数C.存在一个素数不是偶数D. 存在一个素数是偶数4.设R a ∈，函数xx ae e x f --=)(的导函数为)(x f '，且)(x f '是奇函数，则=a （）A. 0B. 1C. 2D. 1-5.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（）A. 1B. 4C. 36D. 496.已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且.下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时，1-=y ；②将)(x f y =的图像补上点()0,5，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ )(x f y =是[)5,3-上的单调函数；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为（） A. 2-=q B. 1=q C. 12=-=q q 或 D.12-=-=q q 或8. 已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的偶函数，当0>x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2,22120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（）A. 4B. 6C. 8D. 109.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为（）A ．4:3:2B ．5:4:3C ．6:5:4D ．7:6:5 【答案】C 【解析】试题分析： C B A >>，∴c b a >>，又a 、b 、c 为连续的三个正整数，设1+=n a ，n b =，1-=n c ，（*∈≥N ,2n n ),由于C A 2=，则C A 2sin sin =，即C c a cos 2=，∴)1(2)1()1()1(21222+--++⋅-=+n n n n n n n ，解得5=n ，∴61=+n ，41=-n ，∴4:5:6::=c b a ，由正弦定理得4:5:6sin :sin :sin =C B A ，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.10.在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足P 410=，λ=，且对于任意实数λ，恒有≥∙P P 00∙，则（）A.︒=∠90ABCB. ︒=∠90A C BC.BC AC =D. AC AB =∴|||||)|||(0000B P DP x B P DP x ⋅-≥⋅++， ∴0|||||)||(|00002≥⋅+⋅++B P DP x B P DP x ，故需要0|)||(|||||4|)||(|20000200≤-=⋅-+=∆B P DP B P DP B P DP ，∴4||||||00AB B P DP ==，即||||AB DB =， ∴D 为AB 的中点，又是AB 边上的高， ∴ABC ∆是等腰三角形，故有BC AC =,选C.考点：共线向量，向量的数量积.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11.设球的半径为时间t 的函数)(t r ，若球的体积以均匀速度21增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 .12. 在△ABC 中，边，，2AB 1AC == 角32A π=，过A 作P BC AP 于⊥，且AC AB AP μλ+=，则=λμ .【答案】4910 【解析】试题分析：依题意1=AC ，2=AB ，由余弦定理得，7)21(2122122=-⨯⨯⨯-+=BC ，由三角形的面积公式得13.已知两个实数b a ,满足033=+-a a 且()033=+-b b ，则1,,b a 三个数从小到大的关系是（用“<”表示）.考点：函数x y -=3、与、3x y =及3x y =的图象性质.14.已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列{}n a 满足)(,121n n a f a a ==+，若1412a a =，则=+201413a a .15.已知函数)0,()(23≠∈-+=a R a ax x ax x f 且.如果存在实数(]1--，∞∈a ，使函数)()()(x f x f x g '+=，[]b x ,1-∈()1->b 在1-=x 处取得最小值，则实数b 的最大值为 . 【答案】21-17 【解析】试题分析：依题意，a x ax x f -+='23)(2，令a x a x a ax x f x f x h --+++='+=)2()13()()()(23， )1()(h x h ≥在区间],1[b -上恒成立，即0)]31()12()[1(2≥-++++a x a ax x ①三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数)4(2cos )12(212sin 3)(ππf x f x x f '+'+=. （1）求)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若不等式3|)(|<-m x f 对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈3,12ππx 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．且12,4224+==n n a a S S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12-=n a n ，数列{}nb 满足：,31=b 11+-=-n n n a b b )2(≥n ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nb 1的前n项和n T ．19.（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D 左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.（1）求能听到立体声效果的概率；（2）求听不到声音的概率.（结果精确到0.01）20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点F ，右顶点A ,右准线4=x 且1||=AF ．(1)求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l ：m kx y +=与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与右准线相交于点Q ，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值；（2）已知正数α，β满足1=+βα.求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知>i x ，正数iα满足11=∑=ni iα.证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．（2）构造函数)()()(11x x f x f x f x F βαβα+-+=）（，利用导数法证明)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.由于函数)(x F 的极大值为0)(1=x F ，1x x =当时，（3）利用数学归纳法证明如下： ① 当2,1=n 时，命题显然成立；② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时，)ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα 11121=++++++-k k k ααααα ，又假设≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα。

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湖北省八校2014届高三第一次联考数学试题（理科）命题学校：黄冈中学命题人:尚厚家审题人：张卫兵考试时间：2013年12月13日下午15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.方程2250x x -+=的一个根是（）A .12i +B .12i -+C .2i +D .2i -2.集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q = ,则P Q = （） A .{3,0}B .{3,0,2}C .{3,0,1}D .{3,0,1,2}3.下列命题，正确的是（）A .命题:x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<B .命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠C .命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题D .命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题4.已知,x y 满足220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则关于22x y +的说法，正确的是（）A .有最小值1B .有最小值45C .有最大值13D .有最小值2555.函数32()(0,)f x ax bx cx d a x =+++≠∈R 有极值点，则（）A . 23b ac ≤B. 23b ac ≥ C . 23b ac <D . 23b ac >鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄阳四中、襄阳五中、孝感高中 11111正（主）视图侧（左）视图6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） A .13B. 23C .2D .17.△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin (3cos sin )cos C A A B =+成立的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算.今有一弹簧原长80cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从70cm 压缩至50cm （在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J ） A .0.196B .0.294C .0.686D .0.989．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（）A .点F 的轨迹是一条线段B .1A F 与1D E 不可能平行C . 1A F 与BE 是异面直线D .tan 22θ≤10.若直线1y kx =+与曲线11||||y x x x x=+--有四个公共点，则k 的取值集合是（）A .11{0,,}88-B .11[,]88-C .11(,)88-D .11{,}88-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11—14题）11.平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为______.12.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系：13r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是_________. 13.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为________14.无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++ 是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥ *3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分） 15.（选修4—1：几何证明选讲）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处ABC P EA1D 1C DC1B B1A EF第9题图的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE =2，EA =1，45AMB ∠= ，那么⊙O 2的半径为 16.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m πρθ+=等于2，则______m =三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知向量2(2sin(),2)3x πω=+a ，(2cos ,0)x ω=b (0)ω>，()f x =⋅a b 的图象与直线23y =-+的相邻两个交点之间的距离为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112n n nc c c a b b b ++++= 成立，求122013c c c +++ ．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠= ，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AAC C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60 .20.如图，山顶有一座石塔BC ，已知石塔的高度为a .（Ⅰ）若以,B C 为观测点，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β，用,,a αβ表示山的高度h ；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD 上，其中D 是塔顶B 在地面上的射影. 已知石塔高度20a =当观测点E 在AD上满足6010DE =时看BC 的视角(即BEC ∠)最大，求山的高度h .ABCA 1B 1C 1D 第19题第20题21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-= (0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+. 22.（本小题满分14分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）22222232323ln(1)ln(1)ln(1)2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<--- .湖北省八校2014届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共10小题）1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 10. 答案：110,,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭注意到11()f x x x x x=+--是偶函数，考察0x >的情形，2(01)2(1)x x y x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，作图0k =时，直线1y kx =+与曲线有四个交点，满足题意0k ≠时，若直线1y kx =+与2y x =相切，由21kx x +=得220kx x +-=，△=0, 18k =-直线绕（0,1）逆时针旋转，开始出现5个交点顺时针旋转，3个交点 18k =-符合题意. 根据对称性，18k =也满足题意. 二．填空题（每小题5分，共5小题）11.2π 12. 14r h = 13. 6π14. {}45,15,9； {}6 第一个空2分，第二个空3分15.32216. 2m =±14. 答案：{}45,15,9；{}665111()642a ==，等比数列部分最少6项，即6m ≥ 由6251m m k ++⋅=，得(21)45k m += 0,1,2k ∴=时，45,15,9m =；1285212564m m S S a a a +=++++ 26430m S =+2211112m m S m m =-++- ()g m =，x0 y(1)()g m g m +- =111022m m +-+，35m ∴≤≤时，(1)()g m g m +> 即6m =时，2m S 最大，128564(6)302013m S g +∴≤+=故12852013m S +=，则6m =三、解答题（共5小题，共75分）17. （Ⅰ）2()4sin()cos 3f x x x πωω=+1分134sin ()cos cos 22x x x ωωω⎡⎤=⋅-+⋅⎢⎥⎣⎦223cos 2sin cos x x x ωωω=-3(1cos 2)sin 2x x ωω=+- 2cos(2)36x πω=++5分由题意，T π=，2,12ππωω∴== 6分（Ⅱ）()2cos(2)36f x x π=++，[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦故[]2,26x πππ+∈或[]23,46x πππ+∈时，()f x 单调递增9分即()f x 的单调增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12分 18. （Ⅰ）由题意24317742187()7912a a a a a S a +==⎧⎪⎨+===⎪⎩得349,13a a ==，则43n a n =- 2分 211k k b b b b -= ，1,k b b ∴方程2661280x x -+=的两根，得12,64k b b == 4分111(1)12611k k k b b qb q S q q---===-- ，12,64k b b ==代入求得2q =，2n n b ∴=6分（Ⅱ）由12112n n nc c ca b b b ++++=112121(2)n n n c c c a n b b b --+++=≥ 相减有1n n n nc a a b +=-4=22,42n n n n c b +∴≥==，9分又121ca b =，得110c = 210(1)2(2)n n n c n +=⎧=⎨≥⎩122013c c c ∴+++= 45201520161022226++++=-12分19．解：（Ⅰ）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE ⊥面11ACC A3分又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ，∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知：DE ∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥AA 1，又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1 ＝ 21BB 1，即D 为1BB 的中点 6分（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)所以，),,0(),,0,(1b a DC b a DA -==设面DA 1C 的法向量为),,(z y x n = 则0,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax可取),,(a b b n --= 8分又可取平面AA 1DB 的法向量 )0,,0(a BC m ==cos ,m n u r r222222200ab b aa b a ba b mn m n +-=⋅+⋅--⋅=⋅⋅=据题意有：21222=+a b b解得： ABAA 1＝22=a b12分 (Ⅱ)解法2：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； 9分设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；A 1C 1B 1ACB DyOxZ A 1C 1 B 1 A C BD HE FG在直角三角形A 1A G 中，易知AB ＝ BG .在∆Rt DBG 中，BH ＝ DG BGBD ⋅ ＝ 22ba ab +⋅，在∆Rt CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC＝bb a 22+，据题意有：bb a 22+ ＝ tan 600 ＝ 3 ，解得：22=a b 所以ABAA 1＝ 2. 12分20. 解：（1）在△ABC 中，BAC αβ∠=-,90BCA β∠=+, 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC BCA=∠∠ sin(90)cos sin()sin()a a AB ββαβαβ+∴==--则cos sin sin sin()a h AB a a βαααβ=⋅-=--=cos sin sin()a αβαβ⋅- 4分（2）设DE x =，20tan h BED x +∠=，tan hCED x∠= tan tan tan 1tan tan BED CEDBEC BED CED∠-∠∴∠=+∠⋅∠ 6分 22020(20)(20)1x h h h h x x x==++++10(20)h h ≤+ 当且仅当(20)h hx x+=即(20)x h h =+时，tan BEC ∠最大，从而BEC ∠最大由题意，(20)6010h h +=，解得180h = 12分21. （Ⅰ）设12()1nn n f x x xx x --=++++- ，则'12()(1)21n n f x nx n x x --=+-+++显然'()0f x >，()f x ∴在R +上是增函数(1)10(2)f n n =->≥11(1())122()11212n f -=--1()02n =-< ()f x ∴在1(,1)2上有唯一实根，即112n a << 4分假设1n n a a +≥，*1()kkn n a a k N +∴≥∈则1()n f a +=111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ++-+++++++-≥++++-11n n n n n a a a ->+++- ()n f a =1()()0n n f a f a +== ，矛盾，故1n n a a +<8分（Ⅱ）111111()()1()()()12222n n n n n n nn f a f a a a --⎡⎤-=+++--+++-⎢⎥⎣⎦11111(())(())()222n n n n n n n a a a ---+-++- 12n a >- （12n a > ）()0n f a = ，11()()22n f =-11()22n n a ∴<+13分方法二：121nn n n n n a a a a --=+++由（Ⅰ）1n a -=12n n n nn a a a -+++ 12111()()()222n n ->+++ =11()22n -11()22n n a ∴<+22 （Ⅰ）'()xf x e a =-1分 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。

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