【2013门头沟一模】北京市门头沟区2013届高三3月抽样测试 文科数学 Word版含答案

门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合B A 等于（A ）{}12x x ≤≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}2x x ≤ （D ）R {}-2x x ≥2．在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是 （A ）15（B ）30（C ）31（D ）643．为得到函数sin (π-2)y x =的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位4．如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(1)l g 3l g 2f =-，(2)lg 3lg 5f =+，则(3)f 等于（A ）1 （B ）lg3-lg2 （C ）-1（D ）lg2-lg32013.35．如图所示，为一几何体的三视图， 则该几何体的体积是（A ）1 （B ）21 （C ）13 （D ）656．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(，且C =60°，则a b 的值为（A ）348-（B ）1（C ）34 （D ）327. 已知函数22,()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是（A ）()02，(B)(]02，(C)()-2∞， (D)()2+∞，8．点P 是以12F F ，为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M 点，则点M 的轨迹是 （A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）圆主视图左视图第Ⅱ卷（非选择题110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11i-在复平面内对应的点到原点的距离是 ．10．在给定的函数中：① 3-y x =；②x y -2=；③sin y x =；④1y x=，既是奇函数又在定义域内为减函数的是 . 11．用计算机产生随机二元数组成区域-11-22x y <<⎧⎨<<⎩，对每个二元数组(,)x y ，用计算机计算22y x +的值，记“(,)x y 满足22y x + <1”为事件A ，则事件A 发生的概率为________.12．如右图所示的程序框图，执行该程序后 输出的结果是 ．13．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学 分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点， 分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查， 并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙 三个组所调查数据的标准差分别为321,,s s s ，则它们的大小关系为 ．（用“>”连结）14．设向量a ()21,a a =，b ()21,b b =，定义一种向量积：a ⊗b =()21,a a ⊗()21,b b =()2211b a b a ，．已知m=⎪⎭⎫⎝⎛3,21，n =⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在xy sin =甲乙丙的图象上运动，点Q 在)(x f y =的图象上运动，且满足OQ =m ⊗OP +n （其中O 为坐标原点），则)(x f y =的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=．（Ⅰ）求)3π(f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域.16. （本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．17. （本小题满分13分）如图，已知平面α,β，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥ 是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．PCDBβα18. （本小题满分13分）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．19. （本小题满分14分）已知椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若PB AP 2=，求AO B ∆的面积．20. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22x x x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）门头沟区2013年高三年级抽样测试评标及参考答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．四、解答题：本题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=．（Ⅰ）求)3π(f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域. 解：（I ）由已知，得2πππππ()sincoscos()33323f =+-……2分π313()=34224f +=+⨯ ……5分（II ）2()sin cos sin fx x x x =+1cos 2sin 222xx -=+111sin 2cos 2222x x =-+π1sin(2)242x =-+函数)(x f 的最小正周期T π=……11分值域为[22……13分16．（本小题满分13分）2013.3已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．解：（Ⅰ）222()()b xf x x b -'=+． ……2分依题意，由(1)0f '-=，得1b =． ……4分 经检验，1b = 符合题意．……5分（Ⅱ）① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ……6分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+．令()0f x '=，得1x =，2x =……8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．……11分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．……13分17. （本小题满分13分）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥ 是垂足．（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．（Ⅰ）证明：因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥． 同理PD AB ⊥． 又PC PD P = ，故AB ⊥平面PCD ．……5分（Ⅱ）平面α与平面β垂直证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ． 因为α⊥PC ，所以CH PC ⊥， ……8分在PCD ∆中，1,PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=． ……11分 在平面四边形PCHD 中，CH PC PD PC ⊥⊥,，所以CH PD //又β⊥PD ，所以β⊥CH ，所以平面α⊥平面β． ……13分18. （本小题满分13分）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率解：设高中部三名候选人为A1，A2，B ．初中部三名候选人为a,b1,b2 （I ）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有 （A1，a ），（A1，b1），（A1，b2）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2），（B ，a ），（B ，b1），（B ，b2），共9种 ……2分设“2名同学性别相同”为事件E ，则事件E 包含4个基本事件，概率P(E)=94所以，选出的2名同学性别相同的概率是94．……6分（II ）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有（A1 ，A2），（A1，B ），（A1，a ），（A1，b1），（A1，b2），（A2，B ）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2），（B ，a ），（B ，b1），（B ，b2），(a ，b1)，（a ，b2），（b1，b2） 共15种 ……8分 设“2名同学来自同一学部”为事件F ，则事件F 包含6个基本事件，概率P(F)=52516=所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是25．……13分19. （本小题满分14分）已知椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若PB AP 2=，求AO B ∆的面积．解：（I ）设椭圆方程为12222=+by ax ，0>>b a ，由2=c ，可得2=a ，2222=-=c a b既所求方程为12422=+yx……5分（II ）设),(11y x A ，),(22y x B ，由PB AP 2=有⎩⎨⎧-=-=-)(12122121y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得0241222=-++kx x k )(……8分解得 1228222++±-=k k k x ……10分若12282221++--=k k k x ，12282222+++-=k k k x则 122822122822222++--⋅=++---k k k k k k 解得1412=k……12分又AOB ∆的面积81261228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S答：AOB ∆的面积是8……14分20. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22x x x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．解：（I ）由题意22nn n a a S +=……2分当2≥n 时2212121---+-+=-=n n nn n n n a a a a S S a 整理，得0111=--+--))((n n n n a a a a……5分又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a01=+-n n a a 时，11=a ，11-=-n n a a ，得11--=n n a )(，211nn S )(--=……7分 011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，得n a n =，22n n S n +=……9分（II ）证明：01=+-n n a a 时，))(,)((21111nn n P ----5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P……11分011=---n n a a 时，),(22n n n P n +22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n 222222121112*********)()()()()()(||||++++++--++=++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n22112132)()(++++++=n n n ……13分- 11 - 因为11122122+>+++>++n n n n )(,)( 所以 1112132022<++++++<)()(n n n综上 10121<-≤+++||||n n n n P P P P ……14分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。