三角形角度的计算专题
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算三角形是一个由三个线段构成的图形，其中三个线段相交的点称为顶点，而线段则称为边。
三角形中的角是指由两条边所构成的角，三角形共有三个内角。
在三角形中，角度的大小是由其对应的边的长度所决定的。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和总是等于180度。
在计算三角形中的角度时，我们可以利用不同的方法，如正弦定理、余弦定理和正弦定理等。
一、正弦定理正弦定理是用来计算任意一个三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\[\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\]其中，a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角度。
例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用正弦定理来计算三角形中的一个角度：\[\frac{6}{sinA}=\frac{8}{sinB}=\frac{10}{sinC}\]我们可以先计算角度A的大小，通过移项得到：利用反正弦函数我们可以求得角度A的大小。
二、余弦定理余弦定理是用来计算三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\(c^2=a^2+b^2-2ab*cosC\)通过这个定理，我们可以计算出三角形中的一个角度。
例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用余弦定理来计算三角形中的一个角度：通过移项我们可以得到：利用反余弦函数我们可以求得角度C的大小。
三、正弦定理正弦定理是用来计算三角形中的一个角度的方法，其基本公式为：\(\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}\)例如，已知一个三角形的边长分别为a=6，b=8，c=10，我们可以利用正弦定理来计算三角形中的一个角度：\(\frac{sinA}{6}=\frac{sinB}{8}=\frac{sinC}{10}\)我们可以先计算角度A的大小，通过移项得到：利用反正弦函数我们可以求得角度A的大小。
三角形的角度关系如何利用三角形的角度关系进行计算
三角形的角度关系如何利用三角形的角度关系进行计算三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，角度关系是十分重要的，它们不仅可以帮助我们理解三角形的性质，还可以用于计算各种未知的角度。
在三角形中，角度的总和是180度。
也就是说，三角形的三个内角的和等于180度。
这一关系被称为三角形内角和定理。
利用这一定理，可以求解三角形内各个角的大小。
除了内角和定理之外，还有许多其他与角度相关的定理和公式可以用于计算三角形的角度。
例如，直角三角形中的两个锐角是互补的，即它们的和等于90度。
这就是直角三角形的特性之一，可以用于求解未知的角度。
此外，根据三角形的形状和角度关系，我们还可以利用三角函数来计算三角形的角度。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切等。
例如，在一个已知两边长度的三角形中，我们可以利用正弦定理来计算其角度。
正弦定理表达了三角形的一个角的正弦值与其对应的边长之间的关系。
具体而言，正弦定理可以表示为：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c，其中A、B、C分别表示三个角的大小，a、b、c表示与它们相对应的边长。
除了正弦定理，余弦定理和正切定理也可以用于计算三角形角度的关系。
余弦定理表示了三角形的一个角的余弦值与其对应的边长之间的关系，可以表示为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)。
正切定理则表达了三角形一个角的正切值与其对应边长之间的关系，可以表示为：tan(A) = a/b。
利用这些三角函数定理，我们可以根据已知的边长来计算三角形的角度，或根据已知的角度来计算三角形的边长。
这些定理不仅适用于普通三角形，也适用于特殊三角形，如等腰三角形和等边三角形。
总结起来，三角形的角度关系是进行计算的重要基础。
通过运用内角和定理、三角函数定理以及特殊三角形的性质，我们可以方便地计算三角形中各个角度的大小。
在实际应用中，了解和掌握这些角度关系定理对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
人教版初中八年级上册数学方法技巧专题练习：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX 的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90604．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD －∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，即3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.8．D9.C10.C11．解：(1)150°90°(2)不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.12．C13.70°14.C15．C解析：因为∠1＝180°－∠AMN，∠2＝180°－∠ANM，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN)．又因为∠ANM＋∠AMN＝180°－∠A＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40°解析：由折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.因为∠1＋∠A′EA＝180°，∠2＋∠A′DA＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，所以∠AED＋∠ADE＝140°，所以∠A＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
三角形角度公式大全
三角形角度公式大全
在平面几何中，三角形是指由三条线段所构成的图形。
三角形具有一些特殊的属性和角度公式，下面列出了一些常见的三角形角度公式大全：
1. 内角和公式：三角形的三个内角之和总是等于180°，表示为：A + B + C = 180°，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
2. 外角和公式：三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和，表示为：D = A + B 或 D = B +
C 或
D = A + C，其中D表示一个外角。
3. 直角三角形的角度公式：直角三角形的两个小角相加等于直角，表示为：A + B = 90°或 A +
C = 90°或 B + C = 90°，其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
4. 等边三角形的角度公式：等边三角形的三个内角都等于60°。
5. 等腰三角形的角度公式：等腰三角形的两个底角相等，表示为：A = B 或 A = C 或 B = C，
其中A、B、C分别表示三角形的三个内角。
6. 锐角三角形的角度公式：锐角三角形的三个内角都小于90°。
7. 钝角三角形的角度公式：钝角三角形的一个内角大于90°。
这些是一些常见的三角形角度公式大全，根据具体的三角形形状和条件，可以应用不同的公式进行角度计算。
任意三角形角度计算公式
任意三角形角度计算公式在初中数学中，我们学习了关于三角形的多个重要的角度计算公式。
这些公式可以帮助我们计算任意三角形中的角度大小。
下面我将介绍一些常见的角度计算公式。
1.三角形内角和公式：三角形的三个内角的和为180度。
这个公式在计算三角形中任意一个角度时非常有用。
例如，如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度，那么第三个内角就是180度减去这两个角度的和，即180度-60度-80度=40度。
2.直角三角形中有关角度的公式：直角三角形是一个内含有一个直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，我们可以使用特殊的三角函数（正弦、余弦和正切）来计算角度。
- 正弦函数公式：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ表示直角三角形中的一个非直角的角度。
对边指的是与这个角度相对的边，斜边则是直角三角形的斜边。
例如，如果我们知道一个直角三角形的斜边长和对边长，我们可以使用正弦函数来计算出角度大小。
- 余弦函数公式：cosθ = 邻边 / 斜边在余弦函数中，邻边指的是与角度θ相邻的边。
- 正切函数公式：tanθ = 对边 / 邻边3.三角形外角和公式：三角形的一个外角等于其他两个内角的和。
这个公式在和已知两个内角的情况下，计算第三个内角时非常有用。
4.等腰三角形内角计算公式：等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，底角（顶点处的角）和两腰角（底边两侧的角）是相等的。
因此，在一个等腰三角形中，我们只需要知道一个角的大小，就可以计算出其余两个角的大小。
例如，如果一个等腰三角形底角为60度，那么另外两个角也是60度。
5.三角形外接圆角度计算公式：如果一个三角形的三个顶点在一个圆的圆周上，那么这个圆就被称为三角形的外接圆。
根据外接圆的性质，三角形的任意一个内角是其对应弧所对应的圆心角的一半。
根据这个性质，我们可以使用以下公式来计算三角形的内角：-圆心角的度数=2×弧度的度数-圆心角的度数=360度×弧度的长度/圆周的长度这些是一些常见的三角形角度计算公式。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 三角形角度计算常考模型(原卷版)
三角形角度计算常考模型【考点1 “8字”模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【考点2飞镖模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考点3 “风筝”模型】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（3）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC 交AB于点E若∠A＝45°∠P＝40°则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1-3】（2022春•渝中区校级期中）如图五角星的五个角之和即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果不必证明）．【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形像我们常见的学习用品一圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系并说明理由；（2）请你直接利用以上结论解决以下问题：①如图（2）把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C若∠A＝40°则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3）DC平分∠ADB EC平分∠AEB若∠DAE＝40°∠DBE＝130°求∠DCE的度数．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图△ABC中∠A＝30°D为CB延长线上的一点DE⊥AB于点E∠D＝40°则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图∠BDC＝98°∠C＝38°∠A＝37°∠B 的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图点C是∠BAD内一点连CB、CD∠A＝80°∠B＝10°∠D＝40°则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线BE与CF交于G如果∠BDC＝140°∠BGC＝110°则∠A＝．【考点3 “风筝”模型】（2020秋•五华区期末）如图在三角形纸片ABC中∠A＝60°∠B＝70°将【典例3】纸片的一角折叠使点C落在△ABC外若∠2＝18°则∠1的度数为（）A．50°B．118°C．100°D．90°【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图在△ABC中将△ABC沿直线m翻折点B落在点D的位置若∠1﹣∠2＝60°则∠B的度数是（）A．30°B．32°C．35°D．60°【变式3-2】（2018•聊城）如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC 外的A'处折痕为DE．如果∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【典例4】（2021春•高州市期末）如图小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后再将纸片沿着BA′对折一次使得点C落在BN上的C′处已知∠CMB＝68°∠A＝18°则原三角形的∠C的度数为（）A．87°B．84°C．75°D．72°【变式4-1】（2021春•济南期中）如图△ABC中∠B＝40°∠C＝30°点D为边BC上一点将△ADC沿直线AD折叠后点C落到点E处若DE∥AB则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示将△ABC的∠C沿DE折叠点C 落在点C'处若设∠C＝α∠AEC′＝β∠BDC'＝γ则下列关系成立的是（）A．2α＝β+γB．α＝β+γC．α+β+γ＝180°D．α+β＝2γ【变式4-3】（2021春•通许县期末）如图所示将△ABC沿着DE折叠使点A与点N重合若∠A＝65°则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°1．（2021秋•广州期中）如图三角形纸片ABC中∠A＝65°∠B＝75°将∠C沿DE对折使点C落在△ABC外的点C′处若∠1＝20°则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°2．（2022春•晋江市期末）如图把三角形纸片ABC沿DE折叠当点A落在四边形BCDE 外部时则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠23．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．4．（2021秋•海珠区校级期中）如图则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．5．（2020•开福区校级开学）如图∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为．6．（2020春•昌黎县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．7．（2017秋•磴口县校级期中）如图∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°则∠BDC ＝度∠BOC＝度．8．（2021春•江都区校级期末）如图三角形纸片ABC中∠A＝63°∠B＝77°将纸片一角折叠使点C落在△ABC的内部若∠2＝50°则∠1＝．9.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示按规定∠A应等于90°∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°根据李叔叔量得的结果你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．10．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：（1）如图1 已知△ABC为直角三角形∠A＝90°若沿图中虚线剪去∠A则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2 已知△ABC中∠A＝40°剪去∠A后成四边形则∠1+∠2＝（3）如图2 根据（1）与（2）的求解过程请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是（4）如图3 若没有剪掉而是把它折成如图3形状试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．11．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1 三角形ABC求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°证明：过点A作EF ∥BC．（2）如图2 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N得到图3 请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系并说明理由．12．（2021春•邗江区月考）如图1 已知线段AB、CD相交于点O连接AC、BD则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示∠1＝130°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3 若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P且与CD AB分别相交于点M N．①若∠B＝100°∠C＝120°求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB”试直接写出∠P与∠B∠C之间存在的数量关系并证明理由．。
三角形的角度计算练习题
三角形的角度计算练习题1. 已知一个三角形的两个角分别为60度和80度，求第三个角的度数。
解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。
第三个角的度数 = 180度 - (60度 + 80度) = 40度2. 已知一个三角形的一个角为75度，另外两个角的度数互补，求这两个角各自的度数。
解析：由于两个角的度数互补，即它们的和为90度，则可设其中一个角的度数为x度，那么另一个角的度数为90度减去x度。
根据已知角度的信息，我们得到方程x + (90度 - x) = 75度，解这个方程可以得到第一个角的度数为45度，第二个角的度数为90度 - 45度 = 45度。
3. 已知一个三角形的两个角分别为55度和65度，求第三个角的度数。
解析：与第一题类似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。
第三个角的度数 = 180度 - (55度 + 65度) = 60度4. 已知一个三角形的一个角为30度，另外一个角为120度，求第三个角的度数。
解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。
第三个角的度数 = 180度 - (30度 + 120度) = 30度5. 已知一个三角形的两个角分别为45度和60度，求第三个角的度数。
解析：与第一题和第三题相似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。
第三个角的度数 = 180度 - (45度 + 60度) = 75度通过以上题目的解析，我们可以进一步加深对三角形角度计算的理解和应用。
三角形的角度计算是数学中的基础知识，掌握了角度计算的方法，对于解决与三角形相关的问题将会更加游刃有余。
通过不断练习解答类似的题目，我们可以提高解决问题的能力和角度计算的准确性。
总结：本篇文章通过五道三角形的角度计算练习题，介绍了解决该类问题的思路和方法。
专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度讲课文档
度数是( B )
A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
[解析] 因为∠B＝45°，所以∠BAC＝45°，所以∠EAF＝ 135°，所以∠AFD＝135°＋30°＝165°，所以∠BFD＝180°－ ∠AFD＝15°.故选 B.
图 7－ZT－1
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算
——全方位求角度
类型四 与截取或折叠有关的角度计算
14．如图 7－ZT－14，在△ABC 中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去 ∠C，则∠1＋∠2 等于( B )
A．360° B．250° C．180° D．140°
图 7－ZT－14
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专题训练七与三角形中内外角有关的计算全方位求角度
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专题训练(七) 与三角形中内、外角有关的计算 ——全方位求角度
类型一 利用三角形内角和定理与外角定理求角度
1．一副分别含有 30°和 45°角的两个三角尺，拼成如图 7－ZT
－1 所示图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD 的
图 7－ZT－6
1
1
解：∠AEC＝180°－(∠ECA＋∠EAC)＝180°－(2∠DAC＋2∠ACF)
1
1
＝ 180 ° － 2 [(∠B ＋ ∠BCA) ＋ (∠B ＋ ∠BAC)] ＝ 180 ° － 2 (∠B ＋ ∠BCA ＋
∠BБайду номын сангаасC＋∠B)
＝180°－12(180°＋∠B)＝70°.
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三角形中角度计算压轴小题精选30道(必考点分类集训)(人教版)(解析版)24-25学年八年级数学上册
三角形中角度计算压轴小题精选30道1．（2024春•沛县校级期末）如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）A．15°B．20°C．25°D．35°【分析】根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，∵∠1＝95°，∴∠AEF=12（180°﹣95°）＝42.5°，∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，∴∠2＝25°，故选：C．2．（2024春•管城区校级期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB 重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（ ）A．38B．39C．40D．41【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数．【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，∵∠AEO+∠BEO＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°，∴∠ADE+∠BFE＝128°，∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°，∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°，∴∠A+∠B＝142°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°．故选：A．3．（2024春•仪征市期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D∠E的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E应（ ）A．增加10°B．减少10°C．增加20°D．减少20°【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而图中∠D＝20°，∴∠D应减少10°．故选：B．4．（2024春•内江期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（ ）A．120°B．130°C．150°D．180°【分析】根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答即可．【解答】解：如图，设BF与CG交于点O，AD与CG交于点P，CG与BE交于点M，AD与BE交于点N，∴∠PNM ＝∠A +∠E ，∠MPN ＝∠D +∠G ，∠BOM ＝∠C +∠F ，∠PMN ＝∠B +∠BOM ．∵∠PNM +∠MPN +∠PMN ＝180°，∴∠PNM +∠MPN +∠PMN ＝∠A +∠E +∠D +∠G +∠B +∠BOM ＝∠A +∠E +∠D +∠G +∠B +∠C +∠F ＝180°．故选：D ．5．（2024春•靖江市校级月考）如图，△ABC 中，∠ABC ＝3∠C ，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，∠EDC ＝20°，∠ADE ＝3∠AED ，∠ABC 的平分线与∠ADE 的平分线交于点F ，则∠F 的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°【分析】根据题意可知∠FBC =32∠C ，设∠C ＝x ，表示出∠ADE ，根据角平分线的定义，可得∠EDF 的度数，根据∠FDC ＝∠F +∠FBC 列方程，即可求出∠F 的度数．【解答】解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBC =12∠ABC ，∵∠ABC ＝3∠C ，∴∠FBC =32∠C ，设∠C ＝x ，则∠FBC =32x ，∵∠EDC ＝20°，∴∠AED ＝∠C +∠EDC ＝x +20°，∵∠ADE ＝3∠AED ，∴∠ADE ＝3x +60°，∵DF 平分∠ADE ，∴∠EDF =32x +30°，∵∠FDC ＝∠F +∠FBC ，∴32x +30°+20°=∠F +32x ，∴∠F ＝50°．故选：A ．6．（2024春•太康县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）A．90°B．100°C．110°D．120°【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB，∵∠BA'C＝120°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，故选：D．7．（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．【解答】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2=12∠ABD=12（2x+y）＝x+12y，∴x+20＝x+12y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故选：C．8．（2024春•内丘县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上的动点（不与点B，C重合），点E在边AC上，始终保持∠ADE＝∠AED．当∠CDE的度数每增加1°时，∠BAD的度数（ ）A．增加3°B．减小3°C．增加2°D．减小2°【分析】因为ABD+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠EDC，∠ADE＝∠AED，所以∠ABD+∠BAD＝∠C+2∠CDE，因为∠B＝∠C，所以∠BAD＝2∠CDE，可得当∠CDE的度数每增加1°时，∠BAD的度数变化．【解答】解：∵∠ABD+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠EDC，∠ADE＝∠AED，∴∠ABD+∠BAD＝∠C+2∠CDE，∵∠B＝∠C，∴∠BAD＝2∠CDE，∴当∠CDE的度数每增加1°时，∠BAD的度数增加2°，故选：C．9．（2024春•成华区期末）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（ ）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据三角形内角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根据三角形的内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可．【解答】解：在△ABC和△CGF中，∵∠ACB＝∠GCF，∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；在△ABC和△ANM中，∵∠BAC＝∠MAN，∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；在△ABC和△BDE中，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）＝2×180°＝360°．故选：B．10．（2024春•裕华区期末）如图，∠A＝100°，∠D＝80°，则∠1+∠2等于（ ）A．100°B．200°C．180°D．210°【分析】根据三角形内角和定理，对顶角以及三角形外角的性质进行解答即可．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠BMC，∠2＝∠F+∠FNE，∴∠1+∠2＝∠B+∠BMC+∠F+∠FNE，∵∠BMC＝∠AMN，∠FNE＝∠ANM，∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝∠B+∠F+∠AMN+∠ANM＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠A）＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣100°﹣80°＝180°．故选：C．11．（2023秋•新民市期末）如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由平角的定义可得∠5＝180°﹣（∠1+∠2），∠6＝180°﹣（∠3+∠4），再由三角形的内角和可得∠2+∠3＝110°，再利用三角形的内角和即可求∠β．【解答】解：如图，由题意得：∠5＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2∠3，∵∠α＝70°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，∵∠β＝180°﹣（∠5+∠6）∴∠β＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2×110°﹣180°＝220°﹣180°＝40°．故选：C．12．（2024春•南京期末）如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC 的平分线交BD于点E．若∠MBA＝α，∠AEB＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（ ）A．2α+2γ﹣β＝180°B．2β+2γ﹣α＝180°C．α﹣2γ+β＝180°D．β﹣2γ+α＝180°【分析】根据三角形外角的性质定理得出∠DCN＝∠D+∠DBC，∠ACN＝∠BAC+∠ABC，结合角平分线的定义证得2γ＝∠BAC，由角平分线的定义得出∠BAC＝2∠1，于是推出γ＝∠1，在△ABE中根据三角形内角和定理得出β+γ+∠2＝180°，变形为2β+2γ+2∠2＝360°，根据邻补角的性质得出α+2∠2＝180°，从而得出答案．【解答】解：∵∠DCN是△DBC的一个外角，∴∠DCN＝∠D+∠DBC，∵∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∴∠DCN=12∠ACN，∠DBC=12∠ABC，∴12∠ACN=∠D+12∠ABC，即∠D=12∠ACN―12∠ABC，∴2γ＝∠ACN﹣∠ABC，∵∠ACN是△ABC的一个外角，∴∠ACN＝∠BAC+∠ABC，即∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC，∴2γ＝∠BAC，如图，∵∠BAC的平分线交BD于点E，∴∠BAC＝2∠1，∴2γ＝∠1，∴γ＝∠1，在△ABE中，∠AEB+∠1+∠2＝180°，∴β+γ+∠2＝180°，即2β+2γ+2∠2＝360°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠2，∵∠MBA+∠ABC＝180°，∴α+2∠2＝180°，即2∠2＝180°﹣α，∴2β+2γ+180°﹣α＝360°，∴2β+2γ﹣α＝180°，故选：B．13．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC=1 3∠ABC，∠ECB=13∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）A．3∠E﹣2∠D＝180°B．3∠D﹣2∠E＝180°C．3∠E﹣2∠D＝90°D．3∠D﹣2∠E＝90°【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，由∠EBC =13∠ABC ，∠ECB =13∠ACB ，可得∠DBC =32∠EBC ，∠DCB =32∠ECB ，由三角形内角和定理可得∠D +∠DBC +∠DCB ＝180°，由三角形外角的性质可得∠E +∠EBC +∠ECB ＝180°，从而可求得∠D 与∠E 的数量关系．【解答】解：∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，∴∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ∵∠EBC =13∠ABC ，∠ECB =13∠ACB ，∴∠DBC =32∠EBC ，∠DCB =32∠ECB ，∵∠D +∠DBC +∠DCB ＝180°，∴∠D +32∠EBC +32∠ECB =180°，∵∠E +∠EBC +∠ECB ＝180°，∴∠EBC +∠ECB ＝180°﹣∠E ，∴∠D +32(180°―∠E)=180°，整理得3∠E ﹣2∠D ＝180°，故选：A ．14．（2024春•沙坪坝区期中）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 上，点E 在AC 上，连接AD ，DE ，∠ADE ＝∠AED ，若∠BAD ＝m °，则∠CDE 等于（ ）A ．45°+12m°B ．45°―12m°C ．90°―12m°D ．12m°【分析】利用三角形内角和定理，可求出∠ADB 及∠BAC 的度数，结合∠BAD ＝m °，可求出∠CAD 的度数，在△ADE 中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE 的度数，再结合∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠ADE ，即可求出∠CDE =12m °．【解答】解：在△ABD 中，∠B ＝45°，∠BAD ＝m °，∴∠ADB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAD ＝180°﹣45°﹣m °＝135°﹣m °．在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣m°．在△ADE中，∠DAE＝90°﹣m°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADE=12[180°﹣（90°﹣m°）]＝45°+12m°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣（135°﹣m°）﹣（45°+12m°）=12m°．故选：D．15．（2024•凉州区三模）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C 落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【解答】解如图，∵△ABC沿BE BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．16．（2023秋•忻州期末）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）A．45°B．47°C．55°D．78°【分析】延长EC交AB于点H，由三角形的内角和可求得∠ECF＝60°，再由平行线的性质可得∠BHE＝∠ECF＝60°，∠BHE＝∠A，从而可得解．【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示：∵∠E＝78°，∠F＝47°，∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，∵AB∥CF，AD∥CE，∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，∴∠A＝55°．故选：C．17．（2023秋•宝安区期末）如图，三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB，AC上，连接DE，DF，将△BDE、△CDF分别沿DE、DF对折，使点B、C落在点B'、C'处，若B'D恰好平分∠EDC'，且∠EDF＝99.5°，则∠EDC'的度数为（ ）A．37°B．38°C．39°D．40°【分析】设∠BDE＝x，∠CDF＝y，则∠B′DE＝∠BDE＝2x，∠FDC′＝∠CDF＝y，根据B'D恰好平分∠EDC'可知∠B′DE＝∠B′DC′＝x，根据∠EDF＝99.5°及平角的定义得出关于x，y的方程组，求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：设∠BDE＝x，∠CDF＝y，∵△B′DE由△BDE翻折而成，△C′DF由△CDF翻折而成，∴∠B′DE＝∠BDE＝2x，∠FDC′＝∠CDF＝y，∵B'D恰好平分∠EDC'，∴∠B′DE＝∠B′DC′＝x，∵∠EDF＝99.5°，∠BDE+∠B′DE+∠B′DC′+∠C′DF+∠CDF＝180°，∴2x+y=99.5°3x+2y=180°，解得x＝19°，∴∠EDC'＝2x＝38°．故选：B．18．（2024春•盐城期末）如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝ 52° ．【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出∠E，利用三角形内角和定理求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解．∵BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，∴2∠F＝∠E＝32°，∵BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12(∠MBC+∠NCB)，∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝32°，∴∠5+∠6+∠1＝148°，∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝296°，∵BD，CD分别平分∠ABC，ACB，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝64°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠DBC+∠DCB）＝52°，故答案为：52°．19．（2024春•成武县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 180° ．【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180°．20．（2024•凉州区校级三模）如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP ＝130°，则∠APB＝ 40° ．【分析】过P点分别作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，由角平分线的性质及判定可得CP平分∠BCE，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质可推知∠ACB＝2∠APB，进而可求解．【解答】解：过P点分别作AC，PF⊥BC，PG⊥AD，分别交AC的延长线于E，交BC于点F，交AD于点G，∵AP平分∠BAC，∴PE＝PG，∠BAC＝2∠BAP，∵BP平分∠CBD，∴PF＝PG，∠CBD＝2∠DBP，∴PE＝PF，∴CP平分∠BCE，∴∠BCP＝∠PCE，∵∠ACP＝130°，∴∠PCE＝180°﹣∠ACP＝50°，∴∠BCP＝50°，∴∠ACB＝∠ACP﹣∠BCP＝130°﹣50°＝80°，∵∠DBC＝∠BAC+∠ACB，∠DBP＝∠BAP+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，∴∠APB＝40°．故答案为40°．21．（2024•陆丰市一模）如图，∠ADC＝130°，∠BCD＝140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB ＝ 45° ．【分析】先根据角平分线的性质得出∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB，再由四边形内角和定理得出∠DAB+∠ABC的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣130°﹣140°＝90°．又∵∠AFB+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB=12∠CBE―12∠DAB=12（∠CBE﹣∠DAB）=12（180°﹣∠ABC﹣∠DAB）=12×（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45°．22．（2024春•香坊区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC上的点，ED⊥AB于点D，∠CED的平分线交AC于点F，连接BF交ED于点H，∠AFB的角平分线交ED的延长线于点P，若∠CFH＝∠EHF，∠ABF=12∠CFE，则∠P＝ ．【分析】设∠ABF＝α，则∠CFE＝2α，由四边形内角和定理得180°﹣4α+2（90°﹣α）+90°＝360°，求得α＝15°．进一步计算即可求解．【解答】解：设∠ABF＝α，则∠CFE＝2α，∵ED⊥AB，∴∠HDB＝90°，∴∠BHD＝90°﹣α，∴∠EHF＝90°﹣α，∵∠CFH＝∠EHF，∴∠CFH＝90°﹣α，∵∠ACB＝90°，∴∠CEF＝90°﹣∠CFE＝90°﹣2α，∵EF平分∠CED，∴∠CEH＝2∠CEF＝180°﹣4α，由四边形内角和定理得180°﹣4α+2（90°﹣α）+90°＝360°，解得α＝15°．∴∠CFH＝∠EHF＝90°﹣α＝75°，∴∠EFH＝75°﹣2α＝45°，∠CEF＝60°＝∠FEP，∠AFB＝180°﹣∠CFH＝105°，∵PF平分∠AFB，∴∠HFP=12∠AFB=52.5°，∴∠P＝180°﹣60°﹣45°﹣52.5°＝22.5°，故答案为：22.5°．23．（2024春•南岗区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D是△ABC外的一点，连接AD、CD、BD，∠ACD＝∠ADC，∠ABD＝∠ADB，若∠BDC＝36°，则∠ACB＝ 度．【分析】运用方程思路联立等式，设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ACD＝∠ADC＝y，再根据三角形内角和性质列式计算，进行解答即可．【解答】解：如图：依题意，设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ACD＝∠ADC＝y∵∠BDC＝36°∴∠ABD＝∠ADB＝y﹣36°则∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝x﹣（y﹣36°）∵在△BCD中，∠BCD+x+y+∠BDC＝180°∴x﹣（y﹣36°）+x+y+36°＝180°则2x+72°＝180°解得x＝54°则∠ACB＝54°故答案为：54．24．（2024春•吴江区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若∠BEG＝29°，则∠BDE的度数为 ．【分析】设∠BED＝x，则∠G＝∠DEG＝x+29°，再根据三角形的内角和定理可得∠EDG＝122°﹣2x，根据三角形的外角性质可得∠B＝∠DFB＝122°﹣x，然后在△BDE中，根据三角形的内角和定理即可得．【解答】解：设∠BED＝x，∵∠BEG＝29°，∴∠G＝∠DEG＝∠BED+∠BEG＝x+29°，∴∠EDG＝180°﹣∠G﹣∠DEG＝122°﹣2x，∴∠B＝∠DFB＝∠BED+∠EDG＝122°﹣x，∴∠BDE＝180°﹣（∠BED+∠B）＝180°﹣（x+122°﹣x）＝58°，故答案为：58°．25．（2023秋•新民市期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，②当点F在BC的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．【解答】解：①当点F在AB的上方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°；②当点F在BC的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°；∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°综上所述，∠BDE的度数为25°或115°．故答案为：25°或115°．26．（2023秋•宝丰县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝ ．【分析】连接BE，GE，FG，根据三角形内角与外角的性质可得，∠1＝∠A+∠D，∠1+∠G＝∠2，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可．【解答】解：连接BE，GE，FG，∵∠1是△ADH的外角，∴∠1＝∠A+∠D，∵∠2是△JHG的外角，∴∠1+∠G＝∠2，∴在四边形BEFJ中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF＝360°…①，在△BCE中，∠EBC+∠C+∠BEC＝180°…②，①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC＝360°+180°＝540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°，∴n =540°90°=6．∴n ＝6．故答案为：6．27．（2023秋•蓬江区校级月考）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…∠A 3BC 的平行线与∠A 3CD 的平分线交于点A 4，设∠A ＝θ，则∠A 4＝ ．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD ＝∠A +∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，然后整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12，然后表示出∠A n ，即可得到∠A ．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A +∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，∴∠A 1+∠A 1BC =12（∠A +∠ABC ）=12∠A +∠A 1BC ，∴∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1=θ4=θ22，…，∠A n =θ2n ．∴∠A 4=θ24．故答案为：θ24．28．（2023春•汉源县校级期中）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝120°，∠BGC＝100°，则∠A＝ ．【分析】连接BC，根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB＝60°，∠GBC+∠GCB＝80°，所以∠GBD+∠GCD ＝20°，再根据角平分线的定义求出∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝20°，然后根据三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：连接BC，∵∠BDC＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°，∵∠BGC＝100°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠GBD+∠GCD＝80°﹣60°＝20°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝20°，在△ABC中，∠A＝180°﹣60°﹣20°﹣20°＝80°．故答案为：80°．29．（2023春•栖霞市期中）如图，E，F是△ABC的边AB、AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝64°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为 ．【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题．【解答】解：连接EF，∵∠B+∠C＝64°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝116°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝64°．∵∠D＝70°，∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°．∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣64°＝46°．故答案为：46°．30．（2024秋•颍州区期末）如图1，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．（1）若∠B＝45°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为 ．（2）如图2，AD平分∠BAC，点P是AD延长线上一点，过点P作PF⊥BC于点F，则∠P与∠B，∠C的数量关系是 ．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，即可求出∠EAD的度数；（2）在△PFD中，由三角形内角和定理得出∠P+∠PFD+∠PDF＝180°，在△ABD中，由三角形内角和定理得出∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，再根据对顶角相等得出∠PDF＝∠ADB，即可得出∠P+∠PFD＝∠B+1 2∠BAC，在△ABC中，由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，由此计算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，∵AE是△ABC的高，∴∠BEA＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°；（2）∵PF⊥BC，∴∠PFD＝90°，在△PFD中，∠P+∠PFD+∠PDF＝180°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，即∠B+12∠BAC+∠ADB＝180°，∵∠PDF＝∠ADB，∴∠P+∠PFD＝∠B+12∠BAC，∴∠P+90°＝∠B+12(180°―∠B―∠C)，∴∠P+90°=∠B+90°―12∠B―12∠C，∴∠P=12∠B―12∠C，故答案为：∠P=12∠B―12∠C．。
角度计算的综合大题专项训练(30道)(含答案)
专题11.7 角度计算的综合大题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，渗透角度计算由一般到特殊的思想！1．（2021春•平顶山期末）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝21度时，∠ADC＝∠C．【解题思路】（1）利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出∠DAE；（2）利用三角形的内角和定理及推论，用含∠C的代数式表示出∠BAC、∠ADC，根据∠C＝∠ADC得到关于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度数．【解答过程】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∠AED＝90°．（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD=12×64°＝32°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD ＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD=12×（153°﹣∠C）＝76.5°−12∠C．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°−12∠C＝103.5°−12∠C．∵∠ADC＝∠C，∴103.5°−12∠C＝∠C．∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案为：21．2．（2021春•长春期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．解决问题：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝60°；（直接写出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．【解题思路】（1）由角平分线的定义可求出∠CBA和∠CAB的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ACG的度数即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB的度数，然后再根据角平分线的定义求出∠CBA+∠CAB的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．【解答过程】解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．故答案为：60°．（2）∵∠MON＝100°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=12×80°＝40°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．3．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB ＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．【解答过程】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB＝25°，∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．4．（2021春•海陵区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．【解答过程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝25°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝∠BCD＝25°，∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2x﹣68°，∵DE∥CB，∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴97°＝x+2x﹣68°，∴x＝55°，∴∠A＝55°．5．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．【解题思路】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD ＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解答过程】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．6．（2021春•镇江期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．【解题思路】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度数可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA＝90°，再根据折叠可得出∠ADE＝45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．【解答过程】解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．7．（2021春•常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；（2）求∠DAE的度数．【解题思路】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答过程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，∴∠HAC＝∠C＝40°，∵∠F AH＝∠GAB＝60°，∴∠CAF＝∠HAC+∠F AH＝100°；（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．8．（2020秋•红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【解题思路】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答过程】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=12∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．9．（2020秋•涪城区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）证明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答过程】（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．10．（2021春•苏州期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD 于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．【解题思路】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【解答过程】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．11．（2020秋•恩施市期末）已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．【解题思路】（1）根据三角形的外角性质即可得出结论；（2）根据三角形内角和和互余进行分析解答即可．【解答过程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．12．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【解题思路】（1）作射线OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．【解答过程】解：（1）作射线OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．13．（2021春•新蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解题思路】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答过程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．14．（2020春•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．（1）求∠EOF的度数．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．【解题思路】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；（2）先根据垂直的定义及三角形内角和可得到∠CAD的度数，再求出∠1的度数，最后根据三角形内角和即可求解．【解答过程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠EAB=12∠BAC，∠FBA=12∠ABC，∴∠EAB+∠FBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°−12∠C，∴∠AOB＝180°﹣（90°−12∠C）＝90°+12∠C，∵∠C＝40°，∴∠AOB＝110°，∴∠EOF＝∠AOB＝110°．（2）∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD＝50°，∵∠AFB＝80°，∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．15．（2021春•海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝12β−12α；（用α、β表示）（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．【解题思路】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠ACB），∵CF ∥AD ，∴∠CFE ＝∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD ＝90°﹣∠B −12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ）=12（∠ACB ﹣∠B ）=12β−12α， 故答案为：12β−12α； （3）（2）中的结论成立．∵∠B ＝α，∠ACB ＝β，∴∠BAC ＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =12∠BAC ＝90°−12α−12β，∵CF ∥AD ，∴∠ACF ＝∠DAC ＝90°−12α−12β，∴∠BCF ＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，∴∠ECF ＝180°﹣∠BCF ＝90°+12α−12β，∵AE ⊥BC ，∴∠FEC ＝90°，∴∠CFE ＝90°﹣∠ECF =12β−12α．16．（2021春•市北区期末）阅读并填空将三角尺（△MPN ，∠MPN ＝90°）放置在△ABC 上（点P 在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM 、PN 恰好经过点B 和点C ．我们来探究：∠ABP 与∠ACP 是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A ＝50°，则∠PBC +∠PCB ＝ 90 度；∠ABP +∠ACP ＝ 40 度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案为：90，40；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：设AB交PC于O，如图2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．17．（2021春•东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为65°；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是α+β−12∠A＝90°；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．【解题思路】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．【解答过程】解：（1）如图1，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECD）=12×230°＝115°，∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，故答案为65°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECB）=12×（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，故答案为：α+β−12∠A＝90°；（3）①α+β−12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°−12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α−12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°−12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β−12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α−12∠A＝90°或α﹣β−12∠A＝90°．18．（2021春•宽城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1，点P在斜边AB上运动．①若∠α＝70°，则∠1+∠2＝160度．②写出∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．（2）如图2，点P在斜边AB的延长线上运动（CE＜CD），BE、PD交于点F，试说明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如图3，点P在△ABC外运动（只需研究图③的情形），直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系．【解题思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得结论．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．连接PC，利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理证明即可．（3）利用基本结论∠C+∠3＝∠P+∠4，构建关系式，可得结论．【解答过程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，故答案为：160．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．理由：如图1中，连结CP．∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α．（2）如图2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．∵∠ACB＝90°，∴∠1＝90°+∠2+∠α．∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）结论：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．理由：如图3中，∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．19．（2021春•延庆区期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【解题思路】（1）结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．【解答过程】（1）解：结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵ED∥BC，∴ED∥FH．∴∠EDF＝∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．（2）证明：如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∴∠ABC＝∠AFH．∴∠ABC＝∠1+∠3．∴∠3＝∠ABC﹣∠1．∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠BFG+∠3＝90°．∴∠3＝90°﹣∠BFG．∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．（3）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE 交FG 于J ．∵DE ∥BC ，∴∠BGF ＝∠FJE ，∵∠FJE ＝∠DEJ +∠EDF ，∠DEJ ＝90°，∴∠BGF ﹣∠EDF ＝90°20．（2021春•中山市期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，求∠FQG 的大小；（3）如图3，点P 是线段AD 上的动点（不与A ，D 重合），连接PF 、PG ，∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．【解题思路】（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°，故∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°，得∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°，故∠1+∠CGN ＝90°．因为∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，所以∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1，∠GQC ＝90°−12∠CGN ．那么，∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC﹣∠ACB ＝135°．（3）由题意知：DF ∥EG ，得∠FOG ＝∠EGO ，故∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1．【解答过程】解：（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．∠β+∠α＝90°，理由如下：由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°．∴∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．∵∠EGB 和∠CGM 是 对顶角，∴∠β＝∠CGM ．∴∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°．∴∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°．∴∠1+∠CGN ＝90°．∵QF 平分∠DFC ，∴∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1．同理可得：∠GQC ＝90°−12∠CGN ．∵四边形QFCG 的内角和等于360°．∴∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC ﹣∠ACB ＝360°﹣（90°−12∠1）﹣（90°−12∠CGN ）﹣90°． ∴∠FQG ＝135°．（3）如图3，由题意知：DF ∥EG ．∴∠FOG ＝∠EGO ．∴∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1． ∴∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值不变．21．（2021春•禅城区期末）△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系；（3）拓展：如图3，四边形ABDC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，DA 是∠BDC 的角平分线，猜想：∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系是否改变．说明理由．【解题思路】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC ＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD 的度数，利用三角形的高线可求∠CAE 得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE=12∠BAC﹣（90°﹣∠C）=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C=12∠C−12∠B，即∠DAE=12∠C−12∠B；（3）不变，理由：连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，∴∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，∴∠MAD＝∠ADN，∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN=12（∠ACB﹣∠ABC）+12（∠BCD﹣∠CBD）=12（∠ACD﹣∠ABD）．22．（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝90°+12（∠B+∠D）；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝180°−12（∠B+∠D）．【解题思路】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠P AD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠P AD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠P AD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠P AD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠P AB＝∠P AD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠P AB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠P AB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠P AD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠P AD，∴∠P＝∠P AD+∠B+∠PCB＝∠P AB+∠B+∠PCB，∴∠P AB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝90°+12（∠B+∠D）．（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠F AP＝∠P AO，∠PCE＝∠PCB，在四边形APCB中，（180°﹣∠F AP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四边形APCD中，∠P AD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°−12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝180°−12（∠B+∠D）．23．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝20°，∠3﹣∠1＝55°；（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．（3）∠3﹣∠1＝α+β3−30°．【解题思路】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根据角平分线的定义可得∠2＝∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°−12∠ACB−12∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，然后代入整理即可得解；（3）在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3﹣∠1=12∠A整理即可得解．【解答过程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC=12×30°＝15°，∵MN⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案为：20，55；（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∵MN⊥BC于点N，∴∠MNC＝90°，在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°−12∠ACB−12∠ABC，＝90°−12（∠ACB+∠ABC），∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°−12（180°﹣∠A）=12∠A；故答案为：∠3﹣∠1=12∠A ；（3）∵BD ，CE 是△ABC 的两条角平分线， ∴∠ABC ＝2∠1，∠ACB ＝2∠2，在△BCE 和△BCD 中，∠1+2∠2+β＝180°， ∠2+2∠1+α＝180°， ∴∠1+∠2＝120°−α+β3，∵∠1+∠2=12（∠ACB +∠ABC ）=12（180°﹣∠A ）， ∴120°−α+β3=12（180°﹣∠A ）， 整理得，12∠A =α+β3−30°，∴∠3﹣∠1=α+β3−30°． 故答案为：α+β3−30°．24．（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！ 【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝ 180° ；（2）将图1变形为图2，∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程； （3）将图1变形为图3，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程． 【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF ＝160°，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是 320° ．【解题思路】（1）根据三角形外角的性质，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根据三角形内角和等于180°即可求解．（2）根据三角形外角的性质，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可证明此结论．（3）根据三角形外角的性质，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可证明此结论；（4）根据三角形外角的性质，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到结论．【解答过程】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案为：180°；（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案为：320°．25．（2020春•蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝122°；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝119°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝29°．【解题思路】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）由角平分线得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答过程】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的定义），∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论：∠BQC＝90°−12∠A．理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB），＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．26．（2021春•鄂州期末）探究知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于180°，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：（1）如图2，在图1基础上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（2）如图3，在图1基础上作：过B作BG⊥AB，交CD于点F，且∠CDG=34∠CDE，求∠G∠E的值．【解题思路】（1）设∠BEF＝α，∠CDF＝β，根据角之间的比例关系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，进而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；（2）根据垂直可得∠CDG ＝90°﹣∠G ，再根据∠E +∠CDE ＝120°经过整理得3∠E ＝4∠G ，进而可得答案．【解答过程】解：（1）∵∠BEF =12∠DEF ， ∴∠DEF ＝2∠BEF ， 又∵∠CDE ＝3∠CDF ， ∴设∠BEF ＝α，∠CDF ＝β，∴∠DEF ＝2α，∠DEB ＝3α，∠CDE ＝3β，∠EDF ＝2β， ∵∠BED +∠CDE ＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°，∴∠EFD ＝180°﹣∠DEF ﹣∠EDF ＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD 的度数为100°； （2）∵BF ⊥AB ， ∴∠ABG ＝90°， ∵AB ∥CD ，∴∠ABG +∠BFC ＝180°， ∴∠BFC ＝∠GFD ＝90°，在△GFD 中，∠GFD +∠CDG +∠G ＝180°， ∴∠CDG ＝90°﹣∠G ，∵∠E +∠CDE ＝120°，∠CDG =34∠CDE ，∴∠E +43∠CDG =120°，∠E +43（90°﹣∠G ）＝120°， 整理得：3∠E ＝4∠G ， ∴∠G ∠E=34．27．（2020秋•南昌期中）【问题探究】将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处（1）如图1，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出∠A 与∠1之间的数量关系； （2）如图2，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A ；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．【解题思路】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题；（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；（3）运用三角形的外角性质即可解决问题；（4）根据三角形的内角和和四边形的内角和即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．28．（2021春•桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．【解决问题】如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；【变式探究】如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝10°；【拓展延伸】如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．【解题思路】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．（2）与（1）同理．（3）与（1）同理．【解答过程】解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=40°．∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．（3）拓展延伸：∠DFE=12x°−12y°，理由如下：∵∠B＝x°，∠C＝y°，∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=12∠BAC=12(180°−x°−y°)=90°−12x°−12y°．∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°−12x°−12y°=90°−12x°+12y°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°−12x°+12y°）=12x°−12y°．29．（2021春•庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是45°（直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）【解题思路】（1）根据垂直得到直角三角形，由直角三角形两锐角互余利用等量代换证明结论；（2）通过作FM∥AB∥CD可证∠DF A＝∠CDF+∠BAF，因为∠CDE+∠BAE＝90°和角平分线的定义可得∠F=12（∠CDE+∠BAE），继而得到答案；（3）根据角平分线的定义得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA ＝90°，在△AEG中，可证得∠EAG+∠AEG＝90°，从而证得结论．【解答过程】（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案为45°；过点F作FM∥AB，如图，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=12∠BAE，∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠CDE）＝45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠CED，∴∠BEG=12∠CED，∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．30．（2021春•崇川区期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．①用含α的式子表示∠AEF为180°﹣2α；②求证：BD∥ME；（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．。
3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC 等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90 604．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在△BDC 中，∠DBC ＝180°－90°－∠C ＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B ＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC 的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B .(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，即3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.8．D 9.C 10.C 11．解：(1)150° 90° (2)不变化．因为∠A ＝30°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝150°.因为∠X ＝90°，所以∠XBC ＋∠XCB ＝90°，所以∠ABX ＋∠ACX ＝(∠ABC －∠XBC )＋(∠ACB －∠XCB )＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠XBC ＋∠XCB )＝150°－90°＝60°.12．C 13.70° 14.C15．C 解析：因为∠1＝180°－∠AMN ，∠2＝180°－∠ANM ，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN )．又因为∠ANM ＋∠AMN ＝180°－∠A ＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40° 解析：由折叠的性质得∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE .因为∠1＋∠A ′EA ＝180°，∠2＋∠A ′DA ＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED ＋2∠ADE ＝360°，所以∠AED ＋∠ADE ＝140°，所以∠A ＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A ＝65°，∠B ＝75°，所以∠CEF ＋∠CFE ＝∠A ＋∠B ＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE ＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE )－∠1＝360°－280°－20°＝60°.。
【教育资料】专题训练(四) 与三角形有关的角度计算的四种方法学习专用
专题训练(四)与三角形有关的角度计算的四种方法►方法一根据三角形的内角和定理及其推论直接计算角度1．如图4－ZT－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC 的度数为()图4－ZT－1A．25°B．50°C．65°D．70°2．如图4－ZT－2，已知∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE的度数为()图4－ZT－2A．120°B．115°C．110°D．105°3．2019·枣庄如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()图4－ZT－3A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．2019·岳西期中如图4－ZT－4，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足为E，则∠B 的度数为________．图4－ZT－45．2019·安徽绩溪期中如图4－ZT－5，已知a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3＝________°.图4－ZT－56．2019·安徽舒城月考如图4－ZT－6，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2＝________°.图4－ZT－67．2019·淅川县期末如图4－ZT－7，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F.(1)填空：∠AFC＝________°；(2)求∠EDF的度数．图4－ZT－78．探索与发现：在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．(1)在图4－ZT－8①中，若∠B＝20°，∠C＝50°，求∠EAD的度数；(2)在图②中，当∠ACB为钝角时，设∠B＝α，∠ACB＝β，请用含α，β的式子表示∠EAD，并说明理由．图4－ZT－8►方法二三角尺或直尺的组合放置中的角度计算9．将一副三角尺如图4－ZT－9放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的度数为()A．140°B．160°C．170°D．150°图4－ZT－910．2019·营口如图4－ZT－10，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为()图4－ZT－10A．85°B．70°C．75°D．60°11．将一把直尺与一块三角尺如图4－ZT－11放置．若∠1＝40°，则∠2的度数为()图4－ZT－11A．125°B．120°C．140°D．130°12．2019·枣庄将一副三角尺和一张对边平行的纸条按图4－ZT－12所示方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()图4－ZT－12A．15°B．22.5°C．30°D．45°►方法三与截取或折叠有关的角度计算13．如图4－ZT－13，小明将一张三角形纸片(△ABC)沿着DE折叠(点D，E分别在边AB，AC上)，并使点A与点A′重合，若∠A＝70°，则∠1＋∠2的度数为()图4－ZT－13A ．140°B ．130°C ．110°D ．70°► 方法四 与平行线的性质或判定综合的角度计算14．如图4－ZT －14所示，已知AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，且EG 平分∠FEB ，∠1＝50°，则∠2等于( )图4－ZT －14A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°15．2019·金华如图4－ZT －15，已知AB ∥CD ，BC ∥DE.若∠A ＝20°，∠C ＝120°，则∠AED 的度数是________.图4－ZT －1516．如图4－ZT －16，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠ADE ＝155°，求∠B 的度数．图4－ZT －1617．已知：如图4－ZT －17，AB ∥CD ，∠1＝∠2，求证：∠BEF ＝∠EFC.图4－ZT －17详解详析1．[解析] C ∵∠C ＝90°，∠B ＝40°，∴∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝25°，∴∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝40°＋25°＝65°.故选C.2．[解析] B ∠DFE ＝∠A ＋∠ADF ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＝32°＋45°＋38°＝115°.故选B.3．[解析] A ∵∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE .又∵∠DCE －∠DBE ＝∠D ，∠ACE －∠ABC ＝∠A ，∴∠D ＝12∠A ＝12×30°＝15°.故选A.4．25° 5.70 6.567．解：(1)∵△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∴∠BAD ＝∠DAF .∵∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，∴∠AFC ＝∠B ＋∠BAD ＋∠DAF ＝110°.故答案为110.(2)∵∠B ＝50°，∠BAD ＝30°，∴∠ADB ＝180°－50°－30°＝100°.∵△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∴∠ADE ＝∠ADB ＝100°，∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠BDA －∠BDF ＝100°＋100°－180°＝20°.8．解：(1)∵∠B ＝20°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－20°－50°＝110°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝55°.又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－20°＝70°.∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝70°－55°＝15°.(2)∠EAD ＝12β－12α.理由如下： ∵∠BAC ＝180°－α－β，AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝12(180°－α－β)． ∵∠BAD ＝90°－α，∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝(90°－α)－12(180°－α－β)，即∠EAD ＝12β－12α. 9．[解析] B ∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝90°＋90°－20°＝160°.10．C11．[解析] D在Rt △ABC 中，∵∠A＝90°，∠1＝40°，(已知)∴∠3＝90°－∠1＝50°，(三角形的内角和定理)∴∠4＝180°－∠3＝130°.(平角定义)∵EF∥MN，(已知)∴∠2＝∠4＝130°.(两直线平行，同位角相等)故选D.12．[解析] A如图，过点A作AB∥a，∴∠1＝∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.故选A.13．[解析] A∵△A′DE是由△ADE翻折而得，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝70°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－70°＝110°，∴∠1＋∠2＝360°－2×110°＝140°.故选A.14．[解析] D∵EG平分∠FEB，∴∠FEB＝2∠1＝2×50°＝100°.∵AB∥CD，∴∠2＋∠FEB＝180°，∴∠2＝180°－∠FEB＝180°－100°＝80°.故选D.15．[答案] 80°[解析] 延长DE交AB于点F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE＝∠B，∠B＋∠C＝180°. ∴∠AFE＋∠C＝180°. 又∵∠C＝120°，∠A＝20°，∴∠AFE＝60°，∴∠AED＝∠A＋∠AFE ＝80°.16．解：∵∠ADE＝155°，∴∠EDC＝25°.∵DE∥BC，∴∠C＝∠EDC＝25°.在△ABC中，∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝65°.17．证明：连接BC，如图．∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，(两直线平行，内错角相等)即∠1＋∠EBC＝∠2＋∠FCB.又∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，(内错角相等，两直线平行)∴∠BEF＝∠EFC.(两直线平行，内错角相等)。
三角形中角度的计算专题
三角形中角度的计算
MING XIAO KE TANG
类型 1 直接计算角度 1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD＝(B ) A.145° B.150° C.155° D.160°
MING XIAO KE TANG
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交边 BC 于点 D，DE∥AB 交边 AC 于点 E.若∠B＝46°，∠C＝54°，则∠ADE 的大小为(A ) A.40° B.45° C.50° D.54°
MING XIAO KE TANG
解：因为△A′DE 是△ABC 沿 DE 翻折变换而成， 所以∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°. 所以∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°. 所以∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.
MING XIAO KE TANG
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类型 3 学具问题中求角度 7.如图，将一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的 一组对边上，如果∠1＝30°，那么∠2 的度数为(D ) A.30° B.40° C.50° D.60°
MING XIAO CDE 按如图方式放置，其中直角顶点 C 重合，∠D＝45°，∠A＝30°.若 DE∥BC，则∠1 的度数为105°.
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类型 4 折叠问题中求角度 9.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 边上，将△CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处.若∠A＝25°，则∠CDE 的度数是(C ) A.45° B.65° C.70° D.80°
人教版数学八年级上册第十一章 三角形 习题课 角度计算的专项训练(含答案)
习题课角度计算的专项训练01 课堂精讲精练类型1 直接利用三角形的内、外角性质求角度【例1】(佛山顺德区期末)如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝.【变式1】如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于.类型2 借助三角形的角平分线、高的性质求角度【例2】如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分∠BAC.过点D作DE⊥AB 于点E，则∠ADE的度数是.【变式2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的外角的平分线，DE⊥AC，则∠γ＝.例1 变式1 例2 变式2类型3 借助平行线的性质求角度【例3】(葫芦岛中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE ＝165°，则∠B的度数为.【变式3】(重庆中考)如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B.若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，则∠BDC的度数为.类型4 借助学具的特征求角度【例4】(泰安中考)如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上.若∠2＝44°，则∠1的大小为.【变式4】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是 .例3 变式3 例4 变式4类型5 借助折叠的性质求角度【例5】如图，点D，E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC＝40°，∠A′DB＝110°，则∠A等于.【变式5】如图，将△ABC沿DE，HG，EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为.例5 变式502 分层检测A组1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为( )A.80°B.30°C.40°D.50°2.将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD 的度数是( )A.75°B.80°C.85°D.90°3.如图所示，将三角形ABC沿AB方向平移后，到达三角形BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠1的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°4.如图，已知四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝54°，现将其右下角向内折出△PC′R，恰使C′P∥AB，RC′∥AD，则∠C的度数是.5.如图，将三角尺ABC和三角尺DFF(其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°)摆放在一起，使得点A，D，B，E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于.第5题第4题B组6.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是( )A.110°B.120°C.130°D.140°7.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC相交于点F.(1)填空：∠AFC＝；(2)求∠EDF的度数.C组8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB，AD，AC及BC的延长线于点E，H，F，G.若∠B＝45°，∠ACB＝75°，则∠G的度数为.9.已知，如图，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，试探究∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系.。
几何知识 求直角三角形的角度
求直角三角形的角度从已知两边求角度若我们知道 直角三角形两条边的长度，我们便可以求三角形的未知角度。
例子梯子搁在墙上，如图。
梯子与墙之间的 角度 是多少？我们可以用 正弦、余弦或正切来做！但应该用哪个呢？我们可以这样做：一、看看已知的边是邻边（就是：我们想求的角的其中一边，但不是最长的边），对边（就是：对着我们想求的角的边），或斜边（就是：最长的边）例子：在这个梯子的例子，我们知道：角 "x" 的 对边的长度：2.5最长的边（斜边）的长度：5二、用以下的公式来决定用正弦、余弦 或 正切：正弦sin(θ) = 对边 / 斜边余弦cos(θ) = 邻边 / 斜边正切tan(θ) = 对边 / 邻边在这个例子，已知值是对边 和 斜边，所以我们用 正弦。
三、把已知值代入正弦方程：S in (x) = 对边 / 斜边 = 2.5 / 5 = 0.5在计算器上，按以下的键（视乎计算器的牌子）： '2ndF sin' 或 'shift sin'。
例子再看一些例子：例子求从地上的点 A 到飞机的仰角。
一、已知的边是 对边 (300) 和 邻边 (400)。
二、从上面的公式，我们知道应该用 正切。
三、计算 对边/邻边 = 300/400 = 0.75四、用计算器的 tan-1 键来求角度Tan x° = 对边/邻边 = 300/400 = 0.75tan-1 of 0.75 = 36.9° （保留一位小数）角度通常是舍入到一个小数位的。
例子求 角 a°的大小一、已知的边是 邻变 (6,750) 和 斜边 (8,100)。
二、从上面的公式，我们知道应该用 余弦。
三、计算 邻边/斜边 = 6,750/8,100 = 0.8333四、用计算器来算 cos-1(0.8333) ：cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333cos-1(0.8333) = 33.6° (保留一位小数）。
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题一、 选择题1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①EDC ABHFECAHFG4题 5题5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°二、填空题6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ；若∠BAC=120°，则∠DAE= . 12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是第10题 第11题A B C DEF12DACBM 第12题三、解答题1、已知，△ABC ≌△ADE,∠CAD=10°，∠BAE=120°∠B=∠D=25°，求∠ACB 的度数2、如图，△ABC ≌△AED ，∠E=∠B,∠C=∠ADE,若∠BAD=40°，∠EAC=4∠BAD,（1）求∠DAC 的度数 （2）求∠BDE 的度数3、 4、5．已知：如图，CF ⊥AB 于E ，且AE=EB ，已知 ∠B=40°，求∠ACD, ∠DCF 的度数．B D AE C第2题图 A B CD E 第1题图5．如图，已知AB=AC, ∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．6.如图，已知：在中，，.求：的度数.7．如图，已知：在 中，，，，求的度数.8．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB9.如图，已知△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，求∠BDC的大小．10.如图，AB=AC，DA=DE，BC=BE=BD，求∠A的度数；11.如图，AE=AC=AD，BD=BA，CB=CE，求∠ABD的度数；。
培优专题01 与三角形模型有关的角度计算-解析版
培优专题01 与三角形模型有关的角度计算◎模型一A字模型【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∠∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.1．（2022·湖北咸宁·七年级期中）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50°B．55°C．45°D．60°【答案】B【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：∠∠2＝100°，∠∠ACB ＝180°−100°＝80°， ∠∠A ＝45°，∠∠ABC ＝180°−45°−80°＝55°， ∠l 1∥l 2，∠∠1＝∠ABC ＝55°， 故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可． 【详解】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒， 360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若1120∠=︒，那么32∠-∠的度数为_________．【答案】60︒【分析】根据平角的定义求出4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图14180∠+∠=︒，1120∠=︒， 460∴∠=︒，324，32460∴∠-∠=∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．4．（2020·湖南·常德市第二中学九年级期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，D ，E 分别在AB 、AC 上，将ADE ∆沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，若A '为CE 的中点，则折痕DE 的长为__．DE BC ，故∆BC ．【详解】解：ABC ∆沿90DEA =∠'=︒，AED ∆∽，的中点，AE =∴=．ED2故答案为：2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“A ”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 5．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，DAE ∠的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A +∠=︒∠+∠．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：DBC ∠和ECB ∠是ABC 的外角， ,DBC A ACB ECB A ABC ∴∠=∠+∠∠=∠+∠．又180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，180DBC ECB A ACB ABC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠︒=+∠．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．◎模型二 8字模型【条件】AD 、BC 相交于点O.【结论】∠A +∠B =∠C +∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在∠ABO 中，由内角和定理：∠A +∠B +∠BOA =180°，在∠CDO 中，∠C +∠D +∠COD =180°， ∠∠A +∠B +∠BOA =180°=∠C +∠D +∠COD ，由对顶角相等：∠BOA =∠COD ∠∠A +∠B =∠C +∠D ，得证.6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∠∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∠∠B＝∠D，∠∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∠∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240°B．280°C．360°D．540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∠∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∠∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∠∠B+∠C=120°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∠6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，∠7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD 的度数为 °； （2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD 的度数；（3）如图3，当OCD 绕O 点任意旋转时，∠AMD 与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD ，并用图3进行证明；若不确定，说明理由． 【答案】（1）90；（2）120︒；（3）180α︒-【分析】（1）如图1，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得90AMK BOK ∠=∠=︒；（2）如图2，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得60AMK BOK ∠=∠=︒；（3）如图3，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKM AKO ∠=∠，可得BMK AOK α∠=∠=，可得180AMD α∠=︒-； 【详解】解：（1）如图1中，设OA 交BD 于K∠OA OB OC OD ==，，90AOB COD ∠=∠=︒ ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠BKO AKM ∠=∠ ∠90AMK BOK ∠=∠=︒ ∠90AMD ∠=︒ 故答案为90︒（2）如图2，设OA 交BD 于K ，∠OA OB OC OD ==，，60AOB COD ∠=∠=︒ ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠BKO AKM ∠=∠ ∠60AMK BOK ∠=∠=︒ ∠180120AMD AMK ∠=︒-∠=︒ 故答案为120︒（3）如图3，设OA 交BD 于K ，∠OA OB OC OD ==，，AOB COD α∠=∠= ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠AKO BKM ∠=∠ ∠BMK AOK α∠=∠=∠180180AMD BMK α∠=︒-∠=︒- 故答案为180α︒-【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．◎模型三 飞镖模型【条件】四边形ABDC 如上左图所示.【结论】∠D =∠A +∠B +∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD 并延长到E ，则：∠BDC =∠BDE +∠CDE =(∠B +∠1)+(∠2+∠C )=∠B +∠BAC +∠C.本质为两个三角形外角和定理证明. 11．（2022·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（ ）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数． 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∠180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∠180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠ 同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠ ∠360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒ ∠360BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠ 107,B C BAC =∠+∠+∠=︒ ∠72,BED ∠=︒∠180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒ ∠360DFO D DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∠180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒, 故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒-．12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的两条高，BE 和CF 相交于点H ，若△BAC=50°，则△BHC 为（ ）A ．115°B ．120°C ．125°D ．130°【答案】D【详解】∠BE 为∠ABC 的高，∠BAC=50°， ∠∠ABE=90°-50°=40°， ∠CF 为∠ABC 的高， ∠∠BFC=90°，∠∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若115∠+∠+∠+∠+∠+∠=EOC∠=︒，则A B C D E F____________．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∠∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠∠E+∠D+∠C=115°，∠∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∠∠A+∠B+∠F=115°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．14．（2022·山东德州·七年级期末）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．【答案】180°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．【详解】解：如图可知：∠∠4是三角形的外角，∠∠4＝∠A＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∠∠2＝∠D＋∠C，在∠BEG中，∠∠B＋∠E＋∠4＝180°，∠∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．15．（2022·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“BOC A B C 1BOC B A C B∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：∠如图2，60,20,30A B C∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC∠=__________︒；∠如图3，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：∠如图4，ABO∠、ACO∠的2等分线（即角平分线）1BO、1CO交于点1O，已知120BOC∠=︒，50BAC∠=︒，则1BO C∠=__________︒；∠如图5，BO、CO分别为ABO∠、ACO∠的10等分线1,2,3,,(,)89i=⋯．它们的交点从上到下依次为1O、2O、3O、…、9O．已知120BOC∠=︒，50BAC∠=︒，则7BO C∠=__________︒；∠如图6，ABO∠、BAC∠的角平分线BD、AD交于点D，已知120,44BOC C∠=︒∠=︒，则ADB=∠__________︒；∠如图7，BAC∠、BOC∠的角平分线AD、OD交于点D，则B、C∠、D∠之同的数量关系为__________．【详解】解：（1）∠∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；◎模型四双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∠∠B=∠D=∠ACE=90°；∠∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∠∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE=90°，且∠CED+∠DCE=90°；∠∠ACB=∠CED，得证.16．（2021·青海海东·八年级期中）如图，已知∠ABC∠∠CDE，∠B＝90°，点C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为（）A．94°B．92°C．90°D．88°【答案】C【分析】由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠CED，则可得出答案．【详解】解：∠∠ABC∠∠CDE，∠∠ACB＝∠CED，∠B＝∠D＝90°，∠∠CED+∠ECD＝90°，∠∠ACB+∠ECD＝90°，∠∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∠∠ACE＝90°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质；熟练掌握三角形全等的性质定理是解题的关键．17．（2020·河南·郑州市第八中学模拟预测）如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若16FGC ∠=︒，则AEF ∠等于（ ）A ．106︒B ．114︒C ．126︒D ．134︒【答案】D【分析】根据矩形的性质可得∠C=90°，AD∠BC ，利用直角三角形的两个锐角互余求出∠GFC ，从而求出∠EFB ，然后根据平行线的性质可得∠AEF ＋∠EFB=180°，从而求出结论． 【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形 ∠∠C=90°，AD∠BC ∠16FGC ∠=︒∠∠GFC=90°－∠FGC=74° 由三角尺可知：∠EFG=60° ∠∠EFB=180°－∠GFC －∠EFG=46° ∠AD∠BC∠∠AEF ＋∠EFB=180° ∠∠AEF=180°－∠EFB=134° 故选D ．【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形的性质和平行线的性质，掌握矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质是解决此题的关键．18．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．【答案】40 cm【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD∠DE，BE∠DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明∠ADC ∠∠CEB 即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ∠DE ，BE ∠DE ， ∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°， ∠∠BCE ＝∠DAC ， 在∠ADC 和∠CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝12cm ，DC ＝BE ＝28cm ， ∠DE ＝DC ＋CE ＝40（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为40cm ， 故答案为：40 cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，涉及到垂直的定义、直角三角形的性质和连个三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．19．（2021·江苏盐城·七年级期中）将含有30角的直角三角板（30A ∠=︒）和直尺按如图方式摆放，已知136∠=︒，则2∠=______︒．【答案】24【分析】过点B 作BC //MN ，由平行线传递性，可得BC //KL ，再由平行线的性质可得1=LBC ∠∠ ，2=ABC ∠∠ ，最后由在直角三角形中两锐角互余的关系，求出2=24∠︒ ．【详解】解：过点B 作BC //MN ，如图所示：MN //KH∴ BC //KL1LBC ∴∠=∠又1=36∠︒=36LBC ∴∠︒又 BC //MN2=ABC ∴∠∠又=30A ∠︒=60ABL ∴∠︒又=ABL LBC ABC ∠∠+∠603624ABC ∴∠=︒-︒=︒224∴∠=︒故答案为：24【点睛】本题考查了平行线的判定与性质(两直线平行，内错角相等)，平行线传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，直角三角形中两锐角互余，角的和差计算等综合知识点．难点是作已知直线的平行线．20．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为E ，D ．(1)猜想线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C 的直线绕点C 旋转到ABC ∆的内部，其他条件不变，如图2所示，∠线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；∠若 2.8AD =， 1.5DE =时，求BE 的长． 【答案】(1)DE AD BE =+，证明见解析 (2)∠发生改变，DE AD BE =-；∠1.3【分析】（1）证明ACD CBE ∆≅∆，可得AD CE =，CD ＝BE ， 即可求解；（2）∠证明ACD CBE ∆≅∆，可得AD CE =，CD ＝BE ， 即可求解；∠由∠可得DE AD BE =-，从而得到BE AD DE =-，即可求解．（1）解：DE AD BE =+， 理由如下： ∠BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直， ∠90BEC ADC ∠∠=︒＝， ∠90ACD CAD ∠∠+︒＝， ∠90ACB ∠=︒， ∠90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ACD ∆和CBE ∆中，ADC BECCAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，CD ＝BE ，∠ DE ＝EC ＋CD ，DE AD BE ∴=+；（2）解：∠发生改变．∠BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∠90BEC ADC ∠∠=︒＝，∠90ACD CAD ∠∠+︒＝， ∠90ACB ∠=︒， ∠90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ACD ∆和CBE ∆中，ADC BEC CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，CD ＝BE ，∠ DE ＝CE -CD ， ∠DE AD BE=-； ∠由∠知：DE AD BE =-， ∠ 2.8 1.5 1.3BE AD DE =-=-=， ∠BE 的长为1.3.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．◎模型五 风筝模型【条件】四边形ABPC ，分别延长AB 、AC 于点D 、E ，如上左图所示. 【结论】∠PBD+∠PCE =∠A +∠P .【证明】如上右图，连接AP ，则：∠PBD =∠PAB +∠APB ，∠PCE =∠PAC +∠APC ，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB +∠APB+∠PAC +∠APC=∠BAC +∠BPC ，得证.21．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，将ABC 的一角折叠，若12130∠+∠=︒，则B C ∠+∠=（）A．50°B．65°C．115°D．130°【答案】C【分析】根据折叠性质证得∠3=∠4，∠5=∠6，再根据平角定义求得∠4+∠5=115°，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，由折叠性质得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠∠1+∠3+∠4=180°，∠5+∠6+∠2=180°，∠∠1+∠2+2∠4+2∠5=360°，∠∠1+∠2=130°，∠2∠4+2∠5=360°－130°=230°，∠∠4+∠5=115°，∠∠4+∠5+∠A=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∠∠B+∠C=∠4+∠5=115°，故选：C．【点睛】本题考查三角形折叠中的角度问题，熟练掌握折叠性质是解答的关键.22．（2022·海南海口·七年级期末）如图，把∠ABC纸片沿MN折叠，使点C落在∠ABC内部点C′处，若∠C=36°，则∠1+∠2等于（）A ．54°B ．62°C ．72°D ．76°【答案】C【分析】根据折叠可知∠C =∠'C ，四边形内角和为360°，即可求出'CMC ∠+'CNC ∠，用平角的定义即可求出∠1+∠2【详解】∠∠CMN 折叠得到'C MN ∠∠C =∠'C∠∠1=180°-'CMC ∠，∠2=180°-'CNC ∠∠∠1+∠2=180°-'CMC ∠+180°-'CNC ∠=360°-（'CMC ∠+'CNC ∠） ∠'CMC ∠+'CNC ∠=360°-∠C -'C ∠=360°-36°-36°=288° ∠∠1+∠2=360°-288°=72° 故选：C【点睛】本题主要考查了折叠问题，掌握三角形的内角和定理，四边形的内角和以及平角的定义是解题的关键．23．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，在三角形纸片ABC 中65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在∠ABC 内，若150∠=︒，则∠2的度数为_________.【答案】30°##30度【分析】根据题意，已知∠A =65°，∠B =75°，可结合三角形内角和定理和四边形内角和求解． 【详解】解：如图，设折痕为DE ；∠65A ∠=︒，75B ∠=︒，∠180180657540C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒（）（）， ∠180140CDE CED C ∠+∠=︒-∠=︒， 又∠150∠=︒，∠2360(1)36030030A B CED CDE ∠=︒-∠+∠+∠+∠+∠=︒-︒=︒， 故答案为：30°．【点睛】本题主要是考查了三角形、四边形内角和，即三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．24．（2022·湖北恩施·一模）图，把等边ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在'A 处，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】40︒【分析】先求出AED ∠的度数，再根据折叠得到AED A ED '∠=∠，即可求出2∠的度数． 【详解】∠等边ABC 沿直线DE 折叠 ∠60A ∠=︒，AED A ED '∠=∠ ∠150∠=︒∠180170AED A ∠=︒-∠-∠=︒ ∠70AED A ED '∠=∠=︒∠420180AED A ED ∠=︒-'∠-∠=︒ 故答案为：40︒【点睛】此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．25．（2022·江苏·扬州市竹西中学七年级期末）如图∠，把∠ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：(1)如果把∠ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图∠，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．(2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图∠，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）（1）解：如图所示，连接AA'，◎模型六 两内角角平分线模型【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I. 【结论】A I ∠+︒=∠2190 【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 26．（2022·山东东营·七年级期末）如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，CF 平分△ACB ，△BFC =125°，则△A 的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．70°D ．45°【答案】C【分析】先根据三角形内角和定理得出CBF BCF ∠+∠的度数，再由角平分线的性质得出ABC ACB ∠+∠的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∠125BFC ∠=︒， ∠18012555BCF CBF ∠+∠=︒︒=︒﹣． ∠BF 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∠()2110ABC ACB BCF CBF ∠+∠=∠+∠=︒， ∠180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∠18011070﹣．A∠=︒︒=︒故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．27．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝（ ）A ．90°﹣12α B ．12αC ．90°+12α D ．360°﹣α28．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知ABC 中，A α∠=．在图1中B 、C ∠的平分线交于点1O ，则可计算得11902BO C α∠=︒+；在图2中，设B 、C ∠的两条三等分角线分别对应交于2O 、3O ，则3BO C ∠=_______________．【详解】解：Aα∠=，180ACB=︒-B∠、C∠的两条三等分角线分别对应交于332 ( 3CBO BCO ABC ∴∠+=∠3(BO C CBO∴∠=-∠+故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三等分角线求解．29．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，在∠MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分线OB、OC交于点O，若∠O=m°，则∠A的度数是______________________________°（用含m的代数式表示）．【答案】（2m-180）【分析】先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∠OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠∠O+∠OBC+∠OCB=180°，∠∠OBC+∠OCB=180°-∠O=180°-m°，∠∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=360°-2m°，∠∠A=180°-∠ABC-∠ACB=2m°-180°，故答案为：（2m-180）．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．30．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在∠ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN∠BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．(1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °；(2)如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠BEC=α，∠BDC=β，用含α和β的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）∠BD平分∠ABD，【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的像这种，角平分线的定义，垂直的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．◎模型七 两外角角平分线模型【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O. 【结论】A O ∠-︒=∠2190. 【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴EBC ∠=∠212，∵CO 是∠FCB 平分线，∴FCB ∠=∠215 由△BCO 中内角和定理可知：∠O =180°-∠2 -∠5 =180°-EBC ∠21 -FCB ∠21 =180°-)180(21ABC ∠-︒ -)180(21ACB ∠-︒=)(21ACB ABC ∠+∠=)180(21A ∠-︒=A O ∠-︒=∠2190. 31．（2022·江苏·江阴市祝塘第二中学七年级阶段练习）如图，在△ABC 中，设∠A ＝x °，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2021BC 与∠A 2021CD 的平分线相交于点A 2022，得∠A 2022，则∠A 2022是（ ）度．A ．202012x B ．202112x C ．202212x D ．202312x∠∠A＝∠ACD−∠ABC，∠A1＝∠A1CD−∠A1BC，∠BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，32．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，ABC 中，56A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACE ∠，BD 、CD 交于点D ，则D ∠的度数（ ）A ．28︒B ．56︒C ．30D ．26︒BD 平分平分ABC 的外角DBC ∴∠=12DCE ACE =∠根据外角性质：DBC D +∠28D DCE α∴∠=∠-=︒．故选：A ．33．（2022·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图，在∠ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是∠ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为_____．∠34．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，在ABC中，ABC的内角CAB∠和外角CBD 的角平分线交于点P，已知42∠=︒，则CAPB∠的度数为____________．【答案】84︒##84度为ABC外角CBD=∠C+∠以求出答案．【详解】解：如下图，。
三角形角度计算相关模型
三角形角度计算相关模型
三角形角度计算是指计算三角形中各个角的度数。
常用的模型有
三角形内角和定理和三角形外角和定理。
三角形内角和定理指出，一个三角形中三个角的度数之和等于
180度。
因此，如果已知其中两个角的度数，可以求出第三个角的度数。
此外，如果已知三角形中一个角的度数，可以用180度减去这个角度
和已知的另外两个角的度数之和，即可求出另外两个角的度数。
三角形外角和定理指出，三角形中一个角的外角等于其它两个内
角的和。
因此，已知三角形中一个角的度数和另外两个内角的度数，
可以通过相减求出这个角的外角度数。
知道三角形的三个内角度数，
可以通过减去180度中的每个内角的度数，得到三个角的外角度数。
关于三角形有关角度的计算
关于三角形有关角度的计算三角形是平面几何中最基本的图形之一，研究三角形的角度计算是数学学习的重要一部分。
学习三角形的角度计算，既需要理解基本的三角函数概念和公式，也需要熟练应用这些知识去解决各种问题。
在三角形中，最基本的是三个内角之和等于180度的性质。
通过这个性质，我们可以推导出很多与角度相关的重要公式。
首先，我们先来看看三角形的类型。
根据边长和角度关系的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
等边三角形的三个内角都是60度；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形有一个内角是90度；普通三角形没有特殊的角度关系。
接下来，我们来了解一些关于三角函数的基本概念。
在三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。
正弦函数：对于一个任意角A，其对边长度与斜边长度的比值称为该角的正弦，用sin(A)表示。
余弦函数：对于一个任意角A，其邻边长度与斜边长度的比值称为该角的余弦，用cos(A)表示。
正切函数：对于一个任意角A，其对边长度与邻边长度的比值称为该角的正切，用tan(A)表示。
利用这些概念，我们可以推导出一些常用的角度计算公式：1.根据余弦定理，可以计算三角形的一个边长：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)2.根据正弦定理，可以计算三角形的三个内角：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c3.关于角度的和角公式：sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)4.角度的差角公式：sin(A - B) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B)cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)5.关于角度的倍角公式：sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2 * cos²(A) - 1 = 1 - 2 *sin²(A)tan(2A) = 2 * tan(A) / (1 - tan²(A))这些公式是解决三角形角度计算问题的基础，熟练掌握这些公式并能熟练应用到各种实际问题中，对于学习和应用数学具有重要意义。
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三角形角度的计算专题
一、 选择题
1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A ．100°
B ．100°或40°
C ．40°
D ．80°
2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°
3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A ．100°
B ．100°或40°
C ．40°
D ．80°
4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①
E
D
C A
B
H
F
E
D
C
A
B H
F
G
4题 5题
5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．108°
二、填空题
6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数
9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ； 若∠BAC=120°，则∠DAE= .
12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是
第10题 第11题
A B C D
E
F
12
D
A C
B
M 第12题
三、解答题
1、已知，△ABC ≌△ADE,∠CAD=10°，∠BAE=120°∠B=∠D=25°，求∠ACB 的度数
2、如图，△ABC ≌△AED ，∠E=∠B,∠C=∠ADE,若∠BAD=40°，∠EAC=4∠BAD,
（1）求∠DAC 的度数 （2）求∠BDE 的度数
3、 4、
5．已知：如图，
CF ⊥AB 于E ，且AE=EB ，已知 ∠B=40°，求∠ACD, ∠DCF 的度数．
B D A
E C
第2题图 A
B
C
D E 第1题图
5．如图，已知AB=AC, ∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC 的度数．
6.如图，已知：在中，，.求：的度数.
7．如图，已知：在中，，，，求
的度数.
8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD.
D C
A
B
9.如图，已知△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，求∠BDC的大小．
10.如图，AB=AC，DA=DE，BC=BE=BD，求∠A的度数；
11.如图，AE=AC=AD，BD=BA，CB=CE，求∠ABD的度数；。