高中数学一轮复习课件：线面平行的判断与性质汇总
高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直 线平行.
错解 如图，连接C1E，并延长至G点，使GE= C1E，， 连接在 C1D1G 中，F是 D1C1 的中点，E是 C1G 的中点，
所以EF∥ ，D1而G EF 平面 BB1D1D,
D1G 平面 BB1D1D, 故EF∥平面 BB1D1D.
错解 分析上述证明中，“D1G 平面BB1D1D ”这一结论没有根据，只是主
平面A1C1 / /平面AC
A1C1 / / AC A1C1 / /平面AB1C
A1C1 平面AB1C 同理A1D//平面AB1C
AC 平面AB1C
A1C1 A1D A1
平面AB1C//平面A1C1D
学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其 推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
又∵c β,b β,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′
空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习
【命题说明】
考向 考法
预测
高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断 和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现. 2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出 现,难度中档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α__没__有__公__共__点__,则称直线l与平面α平行.
角度2 平面与平面平行的性质 [例4](2023·承德模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F 在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1, 连接CN,EN,则AE=DN=1.CF=ND1=2, 因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN. 同理四边形DNEA是平行四边形, 所以EN∥AD,且EN=AD, 又BC∥AD,且AD=BC, 所以EN∥BC,EN=BC, 所以四边形CNEB是平行四边形, 所以CN∥BE,所以D1F∥BE, 所以E,B,F,D1四点共面;
对点训练 如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面
PDC∩平面PBE=l.证明:
(1)DF∥平面PBE;
如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面 PDC∩平面PBE=l.证明:
(2)DF∥l. 【证明】(2)由(1)知DF∥平面PBE, 又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l, 所以DF∥l.
解题技法 1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作 辅助平面确定交线.
第03讲 直线、平面平行的判定与性质(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
求证：1 //平面1 ；
【解析】连接、1 1 ，由, 分别为, 的中点，则//，
又 ⊄平面1 1 ， ⊂平面1 1 ，故//平面1 1 ，
1
正四棱台 − 1 1 1 1 中，1 1 //且1 1 = 2 = ，
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型突破·考法探究
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条
不同的直线．若⋂ = , ⋂ = , ⋂ = , //,则下列说法正确的是（
中点，是棱PA上一点，且 = 3．
求证：//平面MCD；
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，
因为为PB的中点，
所以//，又//，
所以//，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故//，
又 ⊂平面, ⊂平面MCD，因此��//平面MCD；
若点为的中点，证明：//平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
∵ 为矩形
∴ 为的中点
在△ 中，M，N分别为PA，PC的中点
∴ //，
因为 ⊂平面, ⊂平面，
所以//平面．
题型突破·考法探究
题型三：线面平行构造之平行四边形法
∵ 为△ 1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
∵ 为梯形1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
7.3直线平面平行的判定与性质课件高三数学一轮复习
易错点睛：(1)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件． (2)对面面平行性质定理理解不深致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 直线与平面平行的判定与性质 角度 1：直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
2．(角度 2)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°， AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E 为 PB 的中点，F 是 PC 上的点．
(1)若 EF∥平面 PAD，证明：F 为 PC 的中点； (2)求点 C 到平面 PBD 的距离．
【解】 (1)证明：因为 BC∥AD，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD. 因为 P∈平面 PBC，P∈平面 PAD，所以可设平面 PBC∩平面 PAD＝PM， 又因为 BC⊂平面 PBC，所以 BC∥PM， 因为 EF∥平面 PAD，EF⊂平面 PBC， 所以 EF∥PM，从而得 EF∥BC. 因为 E 为 PB 的中点，所以 F 为 PC 的中点．
【解析】 根据面面平行的判定定理可知 A 错误，D 正确；根据面面平行的定义可 知 B 错误，C 正确．故选 BC.
4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位 置关系为__平__行____．
【解析】 连接 BD，则 AC∩BD＝O，连接 OE(图略)，则 OE∥BD1，OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE.
3．(多选)下面命题中正确的是( BC ) A．若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
新高考一轮复习北师大版83直线平面平行的判定与性质课件(47张)
6．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点， 过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则下列 说法正确的是( )
A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE
答案：B
7．已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则a∥β，b∥β是α∥β的 ()
题型三 面面平行的判定与性质 [例4] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1， AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证 明 ： (2)∵ 平 面 ABC∥ 平 面 A1B1C1 ， 平 面 A1C1G∩ 平 面 A1B1C1 ＝ A1C1 ，平 面 A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH， 得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
直线，那么这两个平面平行．
基本技能、思想、活动经验 题组一 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这 个平面．( × ) 2．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) 3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面 平行．( × ) 4．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或 异面．( √ )
证明：AF∥平面BCE.
类题通法 证明线面平行的两种常用方法
角度2 直线与平面平行的性质 [例3] [2022·湖北武汉模拟]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 E在线段CD1上，CE＝2ED1，点F为线段AB上的动点，AF＝λFB，且 EF∥平面ADD1A1.求λ的值．
高考数学大一轮复习.3直线平面平行的判定与性质课件
判定 垂直于同一条直线的两个平面平行
定理
符号语言
a
b
a b P
a
b
⇒α∥β
l ⇒α∥β
l 2Leabharlann 判定 平行于同一个平面的两个平面平
定理 行
3
⇒α∥γ
性质
如果两个平面平行,那么在一个平面
定理
内的所有直线都平行于另一个平面
点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明
(1)连接B1D1.
∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
1
2
∴EF∥B1D1且EF= B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD B1D1.
那么PM∥平面BCE,
∵PM∥BE,∴ = ,
AP
PE
AM
MB
又AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,又MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩
MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
1.利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法来证
明,这
时“平行〞的否认应是“在平面内〞或“相交〞两种,只有排除这
两种
位置关系后才能得出“直线a与平面α平行〞这一结论.
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
新课程2021高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件
2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个 平面内的两条直线是相交直线.
(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1.设 M，N 分别为 PD， AD 的中点.
2．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，则 GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与平面平行的判定与性质
角度 1 线面平行判定定理的应用 1．(2019·全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱 形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中 点．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
(1)试确定点 E 的位置，并说明理由； 解 (1)如图，在棱 C1D1 上取点 N，使 D1N＝A1M＝1.
又 D1N∥A1M， ∴四边形 A1MND1 是平行四边形，∴MN∥A1D1∥AD. ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴AM∥DN. 过 C1 作 C1E∥DN 交 CD 于点 E，连接 BE， ∴DN∥平面 BC1E，AM∥平面 BC1E，∴CE＝1.
线面面面平行的判定和性质
[例 3] 在三棱锥 P－ABC 中，E、F、G 分别在侧棱 PA、PB、PC 上，且PEEA＝PFFB＝GPGC＝12，求证平面 EFG∥平 面 ABC.
[解析] 在△PAB中， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， ∵EF∩FG＝F，且EF、FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABC.
证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 旳中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG，
EF⊂平面 EFG.
图4
于是 AC∥平面 EFG.
同理可证，BD∥平面 EFG.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
练习3. 如图，M、N为棱旳中点， 证明MN//面AC1．
第九章 第四节
简朴几何体（视图、面积与体积）
空间点、线、面位置关系
空间里旳平行与垂直 （鉴定与性质）
2.2 线面、面面平行的判定与性质
央美附中 kinaqiao 2023年10月19日星期四
新课导学
点与线 点与面 线与线
线与面
面与面
线面平行和面面平行旳鉴定（小推大）：
（图形语言
文字语言
符号语言）
平面外旳一条直线 与此平面内旳一条 直线平行，则该直 线与此平面平行．
①平面外直线与平面内旳一条直线平行，则直线与平面平
行；②直线与平面内旳两条直线平行，则直线与平面平行；③
直线与平面内旳任意一条直线平行，则直线与平面平行；④直
线与平面内旳无数条直线平行，则直线与平面平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第九章 第四节
典例讲练
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD
空间平行关系课件-2025届高三数学一轮复习
兹能
基础知识1：直线与平面平行的判定和性质
基础知识2：平面与平面平行的判定和性质
答案解析
【创新方案选题】如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1， A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明：（1）∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，∴GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． （2）∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
02 答案解析
(2014·安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均 为 2 7.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥ 平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.证明：GH∥EF； 证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC.同理可证：EF∥BC，因此 GH∥EF.
AP
03 答案解析
(2016·北京)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，
PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.在棱 PA 上是否存在点 M；
使得 BM∥平面 PCD？若存在，求AM的值；若不存在，说明理由. AP
解：设 M 是棱 PA 上一点，则存在λ∈[0，1]使得A→M＝λA→P，因此点 M(0，1－λ，
接 EH.
∵H 为 AB1 的中点，且 B1H＝1C1D，B1H∥C1D，而 EF＝1C1D，
高中数学精品课件：线面平行的性质定理
• 【错解】 在α内任取一点A，在α内过A点
作直线c，使c∥b.由a∥b(已知)可得a∥c(公
理4)．
a⊄α
c⊂α⇒a∥α(线面平行的判定定理)
a∥c
【错因分析】 证明没有用到条件“b∥平面 α”，若将
此条件去掉，结论显然不成立，因而证明是错误的．错误出
在“在 α 内过 A 作直线 c，使 c∥b”．这一作图没有依据，
• 又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
• 所以l∥AD∥BC.
例5.如图所示，a，b是异面直线，A、C与B、D分别是a，b上 的两点，直线a∥平面α，直线b∥平面α，AB∩α＝M，CD∩α＝ N，求证：若AM＝BM，则CN＝DN.
【证明】 连接AD交平面α于E点，并连接ME，NE. ∵b∥α，ME⊂平面ABD，平面α∩面ABD＝ME，
ba
• 易错补练 如图所示，四边形ABCD是平行 四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平
面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
P
M G
D H
O
A
C B
例1、有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ 所画的线和面AC有什么关系？
正确的做法应该是在 α 内取一点 A 后，由点 A 与直线 b 确定
一个平面 β，β 与 α 交于直线 c，去证 a∥c，进而得出 a∥α.
• 【正解】 在平面α内任取一点P，∵b∥α，
∴P∉b
• ∴直线b与点P确定平面β， • ∵β与α有公共点P，∴β与α必相交，
• 设β∩α＝c，则b∥c • ∵a∥b，∴a∥c，又a⊄α，c⊂α ∴a∥α
高中数学课件- 线面平行的性质
2.2.3-2.2.4 直线与平面平行、 平面与平面平行的性质
复习1：直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行。
a b
a∥ b
a
a∥
b
线线平行 线面平行
复习2：平面与平面平行的判定定理
一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两 个平面平行．
AC 面A1C1B A1C1 面A1C1B
D1 A1
M D
C1
B1
P N C
A
B
AC // MN MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
练习.ABCD是平行四边形，点Ｐ是平面
ABCD外一点，Ｍ是ＰＣ的中点，在ＤＭ
上取一点Ｇ，过Ｇ和ＡＰ作平面交平面
ＢＤＭ于ＧＨ． 求证：ＡＰ//ＧＨ
三种平行关系的转化
线线平行
判定定理 线面平行
性质定理 性质定理
判定定理 性质定理
面面平行
a∥b．
a
b
3.面面平行判定定理: 线面平行
面面平行
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平 面平行。
4.面面平行性质定理: 面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
//
a a // b
b
a
b
二、数学思想方法：转化的思想
∵ MN 平面MEN， ∴MN∥平面α.
练习3.已知三个平行平面 , ,与两条直线l, m
分别相交于点 A, B,C 和点 D, E, F.
lm
求证: AB DE . BC EF
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面面平行的判定定理即可证明．
• 证明：△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点， • ∴EF∥BC. • 又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH， • ∴EF∥平面BCGH.
• 又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，
• ∴A1G綊FC.
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• ∴四边形A1FCG为平行四边形． • ∴A1F∥GC.
• 而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
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• 从本题中我们可以看出，解关于线面平行问题的
关键是：要在平面内找一直线与已知直线平行，将 问题转化为同一平面内的问题来解决.
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• 变式迁移 2
如下图，三棱锥A－BCD被一平面
所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面
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• 1．直线a∥α，则
• B．平面α内有无数条直线与直线a平行 • C．平面α内不存在与直线a垂直的直线
(
)
• A．平面α内有且只有一条直线与直线a平行
• D．平面α内有且只有一条直线与直线a垂直
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• 解析：如右图，在正方体中，直线BC∥平面A′C′ ，但是平面 A′C′内的直线 B′C′和 A′D′均平行于直线
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• (2)MN∥平面PAD. • 证明：取CD的中点E，连结ME、NE.
• ∵M、N分别为AB、PC的中点，
• ∴ME∥AD，NE∥PD. • 又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD， • ∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD， • 又ME∩NE＝E，
• ∴平面MNE∥平面PAD.
明你的结论．
• (2) 判断 MN 与平面 PAD 的位置关 系并证明你的结论．
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• 解：(1)BC∥l. • 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，
∴BC∥AD.
• 又 BC⊄平面 PAD， AD⊂平面 PAD， ∴ BC∥ 平面 PAD. • 又 BC⊂ 平 面 PBC ， 平 面 PBC∩ 平 面 PAD ＝ l.∴BC∥l.
• 又M是BC的中点，
• ∴NF綊MC，∴四边形NFCM为平行四边形．
AA1C1， • ∴MN∥平面 C1. 首 页 AA1 上一页
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• ∴ MN∥CF ， 又 CF⊂ 平 面 AA1C1 ， MN⊄ 平 面
• 【例 1】
如右图所示，已知 P
、 Q 是 单 位 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1 的 面 A1B1BA 和 面 ABCD的中心． • 求证：PQ∥平面BCC1B1.
BC，所以 A错；直线 A′B′⊥BC，直线 C′D′⊥BC，
即平面 A′C′内有两条直线垂直于BC，所以 C和 D错 ，应选B. • 答案：B
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• 2 ．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有几对 ？
• (
• A． 2 • C． 4 B． 3 D． 5
)
• 解析：当六棱柱的底面是正六边形时，互相平行 的面最多，侧面中有 3 对互相平行，两底面互相平
• 1．直线与平面平行的判定定理
• 平面外 一条直线与 此平面内
行，则该直线与此平面平行，
的一条直线平
.
• 用符号表示为 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
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• (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备
三个条件：①平面外一条直线；②平面内一条直线 ；③两条直线相互平行． • (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直 线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该
判定定理体现了空间问题平面化的思想．
• (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定 理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.
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• 2．平面与平面平行的判定定理
相交直线 与另一个平面平行 ， • 一个平面内的两条
则这两个平面平行．用符号表示为：
•
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
错； a∥α， α∩β＝ b，则 a∥b或 a， b异面， D错；
事实上，a∥c，b∥c，则a∥b，这是公理4，所以 C正确． • 答案：C
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• 4 ． (2009· 福建厦门模拟 )设 l ， m， n是三条不同 的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命
题：
• ①若l∥n且m∥n，则l∥m； • ②若l∥α且m∥α，则l∥m； • ③若n∥α且n∥β，则α∥β； • ④若α∥γ且β∥γ，则α∥β；
• 其中正确命题的序号是 ________ ． ( 把正确命题
的序号都填上)
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• 解析：根据平行的传递性，显然①④正确；如右 图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AD∥平
面 A′C′ ，直线 AB∥ 平面 A′C′ ，但是直线 AD与直线
AB 相交，所以②错；直线 AB∥ 平面 A′C′ ，直线 AB∥ 平 面 C′D ， 但 是 平 面 A′C′∩ 平 面 C′D 于 直 线 C′D′，所以③错． • 答案：①④
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(1)证明：连结 BM、EM、BE. ∵β∥γ，平面 ACF∩β＝BM，平面 ACF∩γ＝CF， AB AM ∴BM∥CF，∴ ＝ . BC MF AM DE AB DE 同理MF＝ EF ，∴BC＝ EF .
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• 【例 3】
如右图所示，正
三 棱 柱 ABC—A1B1C1 各 棱 长 为4，E、F、G、H分别是AB 、AC、A1C1、A1B1的中点， • 求 证 ： 平 面 A1EF∥ 平 面
BCGH.
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• 思路分析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内 的两条相交直线分别与平面 BCGH平行，然后根据
.
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• (1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线
是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理
不一定成立． • (2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证 线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到 平面．
• (3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线
面垂直的性质定理、定义． • (4)平面与平面的平行也具有传递性.
• 又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，
• ∴A1F∥平面BCGH. • 又∵A1F∩EF＝F， • ∴平面A1EF∥平面BCGH.
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• 变式迁移 3
正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F
分 别 为 A1A 和 C1C 的 中 点 ， 求 证 ： 面 EB1D1∥ 面
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• 【例4】
如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，
且 β 位 于 α 与 γ 之 间 ， 点 A 、 D∈α ， C 、 F∈γ ， AC∩β＝B，DF∩β＝E.
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上一页下一页末页来自AB DE (1)求证： ＝ ； BC EF (2)设 AF 交 β 于 M，AD 与 CF 不平行，α 与 β 间的 h′ 距离为 h′，α 与 γ 之间的距离为 h，当 的值是多少 h 时，S△BEM 的面积最大？
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• 5．如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、 N分别是BC和A1B1的中点．
• 求证：MN∥平面AA1C1.
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• 证明：设A1C1中点为F，连接NF，FC， • ∵N为A1B1中点， • ∴NF∥B1C1，且NF＝ B1C1，
• 又由棱柱性质知B1C1綊BC，
• 又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，
• ∴PQ∥平面BCC1B1. • 证法二：如右图②，连结AB1，B1C， • ∵△AB1C中，P、Q分别是AB1 • 和AC的中点，∴PQ∥B1C.
• 又PQ⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
• ∴PQ∥平面BCC1B1.
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• 3．直线与平面平行的性质定理 • 一条直线与一个 平面平行
交线 一平面与此平面的
，则过这条直线的任
直线平行 与该
．
• 用图形表示为：
• 用符号表示为： a∥α，a⊂β，α∩β＝b
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⇒a∥b.
• (1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径
． • (2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯 形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线 的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定
行，则此时有4对．
• 答案：C
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• 3 ．已知直线 a ， b ， c 及平面 α ， β ，下列条件中 ，能使a∥b成立的是 ( B． a∥ α ， b ∥ α D．a∥α，α∩β＝b
)
• A．a∥α，b⊂α • C． a∥ c， b∥ c
• 解析：a∥α，b⊂α，则a∥b或a，b异面，A错； a∥α ， b∥α ，则 a∥b 或 a ， b 异面或 a， b 相交， B
• 证明线面平行，直接应用线面平行的判定定理即
可，找出所需条件，图中有则就地取材，没有则选 取中点，以作平行线的方式添加辅助线解决.