12.6(1)双曲线的性质
双曲线知识点与性质大全
【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=；l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS=定值2ab.【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是y x =，双曲线过点()6,6P .（1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的性质与应用
双曲线的性质与应用【正文】双曲线（hyperbola）是数学中的一种特殊曲线，其性质与应用广泛而深远。
本文将对双曲线的性质进行阐述，并探讨其在不同领域中的应用。
一、双曲线的基本性质双曲线可以通过以下两种方式的定义：准线法和焦点法。
准线法是通过定义两条与双曲线相切的直线，而焦点法是通过定义焦点和直角平分线来确定双曲线的位置。
1. 双曲线的准线准线是与双曲线相切于其两个分支的直线。
对于双曲线，两条准线分别对应两个分离的无穷远点。
2. 双曲线的焦点双曲线有两个焦点，位于曲线的近点和远点之间，并分别与曲线的两条分支关联。
3. 双曲线的定义方程双曲线在直角坐标系中的定义方程如下：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别代表相应坐标轴上的半轴长度。
4. 双曲线的对称性双曲线是关于x轴、y轴和原点对称的。
当双曲线的焦点在y轴上时，其对称轴为y轴；当焦点在x轴上时，对称轴为x轴；当焦点在原点时，对称轴为原点。
5. 双曲线的渐近线双曲线还有两条渐近线，分别与曲线的两个分支无限接近但永不相交。
这两条线的方程为y = (b/a) * x 和 y = -(b/a) * x。
二、双曲线的应用双曲线由于其特殊的形状和性质，在数学和其他学科中具有广泛的应用。
1. 物理学中的应用双曲线常用于描述电磁波的传播路径和粒子在加速器中的运动轨迹。
对于电磁波的折射和反射现象，双曲线可以帮助我们解释和预测光线的弯曲和聚焦。
2. 工程学中的应用双曲线在无线通信和抛物面天线设计中起到关键作用。
通过合理地选择双曲线的几何参数，我们可以实现信号的聚焦和辐射，从而提高通信系统的性能。
3. 经济学中的应用双曲线模型在经济学中有着广泛的应用。
例如，在供求关系中，当需求和供应分别满足双曲线方程时，市场均衡的价格和数量可以通过双曲线的交点得到。
4. 生物学中的应用生物学研究中常利用双曲线模型来描述生物体的生长曲线。
在这种情况下，双曲线可以帮助我们理解生物体的增长速率以及其与环境因素之间的关系。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
双曲线高考知识点
双曲线高考知识点双曲线是高中数学中的一个重要内容，涉及到曲线的方程、性质以及应用等方面。
下面，我们将详细介绍双曲线的相关知识点。
一、双曲线的定义与基本性质双曲线是一种独特的曲线，它和椭圆、抛物线以及直线构成了二次曲线的四个基本类型。
双曲线的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1（以中心为原点的情况）。
1. 双曲线的焦点与准线双曲线与焦点和准线密切相关。
焦点是双曲线上的一点，可以用来确定双曲线的形状和位置。
准线是双曲线的一条渐近线，具有特殊的性质。
双曲线两个焦点之间的距离为2c，准线与中心的距离为ae。
2. 双曲线的对称性双曲线具有与坐标轴相关的对称性。
双曲线关于x轴和y轴分别对称，也关于原点对称。
二、双曲线的图像与分类通过选择不同的参数，双曲线可以呈现出不同的形状。
根据双曲线的方程，我们可以将其分为以下几种类型：1. 水平方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1时，a^2 > b^2，双曲线的长轴与x轴平行。
2. 垂直方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1时，a^2 < b^2，双曲线的长轴与y轴平行。
三、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理学等领域，特别是在电磁学和光学中有重要的应用。
1. 超越双曲函数双曲函数是双曲线的重要应用之一。
它包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x)以及双曲正切函数tanh(x)等。
这些函数在数学和物理中都有着广泛的应用。
2. 焦点和准线的应用双曲线的焦点和准线在物理光学中有着重要的应用。
例如，双曲线反射镜就是基于双曲线的焦点和准线性质来设计的，可以用来改变光线的方向和聚焦光线。
四、双曲线的解析几何在解析几何中，双曲线与直线、圆等几何图形之间存在着密切的关系，可以通过解析几何的方法来研究双曲线的性质。
1. 双曲线的判别式确定一个二次曲线是否是双曲线可以使用双曲线的判别式D=b^2-a^2，其中a和b分别是双曲线的参数。
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线的性质总结
双曲线的性质总结双曲线，是数学中一种重要的曲线类型。
它与椭圆、抛物线一起构成了经典的圆锥曲线家族。
双曲线具有独特的特点和性质，本文将对其性质进行总结和探讨。
一、基本定义和形状特征双曲线是通过圆锥曲面与一个平面相交而得到的曲线。
它的定义是平面上到两个给定焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线的形状与焦点距离大于常数的椭圆相似，但焦点距离小于常数的部分则向无穷远处延伸，呈现出两个分离的曲线臂。
二、双曲线的方程双曲线的方程有多种表示形式，常见的有标准方程和参数方程。
标准方程是最常见和常用的表示形式，形如x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a和b是与焦点距离相关的常数。
参数方程将双曲线定义为曲线上各点的x和y坐标由参数t决定的函数关系。
三、对称性和中心与椭圆和抛物线不同，双曲线具有许多特殊的对称性。
双曲线关于x轴、y轴、原点的对称轴，这些对称性使得我们可以更容易地分析和计算双曲线的性质。
双曲线还具有中心对称性，即如果点(x, y)在双曲线上，则(-x, -y)也在双曲线上。
这种对称性使得我们可以更方便地绘制双曲线的图形。
四、焦点、顶点和准线像椭圆和抛物线一样，双曲线也有焦点和顶点。
焦点是双曲线的两个特殊点，它们与双曲线上的每个点的距离之差等于常数。
顶点是双曲线最接近原点的点，也是双曲线的中心。
与椭圆不同的是，双曲线还定义了准线，它是与双曲线的渐近线相切的直线。
准线的斜率等于平面与圆锥曲面相交的直线的斜率。
五、渐近线和极限性质双曲线具有两条对称的渐近线。
这些渐近线与双曲线近似平行，随着曲线向无穷远处延伸，与双曲线的臂趋于无限远。
这一性质使得双曲线具有特殊的极限性质，它们在曲线上的每个点附近都有两个渐近线。
六、离心率和焦距双曲线的离心率是一个重要的参数，它表征了双曲线形状的独特性。
离心率等于焦点距离除以准线距离。
离心率大于1，表明焦点距离大于准线距离，曲线形状狭长；离心率等于1，表明焦点距离等于准线距离，曲线形状圆形；离心率小于1，表明焦点距离小于准线距离，曲线形状胖短。
双曲线的基本性质与应用
双曲线的基本性质与应用双曲线是数学中的重要概念，它具有许多独特的属性和广泛的应用。
本文将介绍双曲线的基本性质，并讨论其在不同领域的应用。
一、双曲线的定义与公式双曲线是平面解析几何中的一个曲线，其定义可以通过平面上的点到两个不相交焦点的距离之差等于常数的规律来描述。
双曲线的标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别是双曲线的焦点到中心的距离，决定了双曲线的形状和大小。
二、双曲线的基本性质1. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是通过双曲线的两个焦点，并且垂直于双曲线的主轴。
2. 双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，位于双曲线的对称轴上，与双曲线的中心点等距离。
3. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线两侧的两条直线，它们与双曲线的距离趋近于零，且呈无限延伸的趋势。
4. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是一个常数，表示双曲线焦点之间的距离与中心到焦点距离的比值。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在物理学中广泛应用于描述光的折射、反射和干涉现象。
例如，光学器件中的双曲面镜能够将入射光聚焦到一个点上，起到集光和成像的作用。
2. 工程学中的应用：双曲线在工程学中有着广泛的应用，特别是在无线通信中的天线设计和信号处理中。
双曲线的特殊形状使得它能够有效地扩大天线的覆盖范围，提高无线信号的接收和传输质量。
3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中被用来描述某些经济现象的增长过程。
例如，双曲线的增长曲线可以用来描述飞速增长的市场和产业，以及经济现象中的细微波动。
4. 数学研究中的应用：双曲线是数学中一个重要的研究对象，许多数学家将其作为研究的基础。
双曲线的性质和变换为其他数学领域的研究提供了重要的工具和理论基础。
总结：双曲线作为数学中的一个重要概念，具有许多独特的性质和广泛的应用。
通过了解双曲线的定义与公式，掌握其基本性质，我们可以在物理学、工程学、经济学和数学研究等领域中应用双曲线，从而深化我们对这一概念的理解和应用能力。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
它具有独特的性质和特点，本文将详细介绍双曲线的基本概念与性质。
一、双曲线的定义与表示双曲线是平面上一组点的集合，这组点的到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数。
数学上，双曲线可以用以下方程表示： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (1)或者y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (2)其中，a和b都是正实数，决定了双曲线的形状和尺寸。
二、双曲线的基本性质1. 中心与焦点：双曲线的中心是坐标原点O(0,0)；双曲线的焦点是坐标轴上的两个点F1(-c,0)和F2(c,0)；2. 弦与渐近线：双曲线上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，都满足OA - OB = 2a；双曲线还有两条渐近线，与双曲线无交点但无限趋近于双曲线；3. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称；4. 弧长与面积：双曲线的弧长计算公式为s = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx；双曲线的面积计算公式为A = ∫(y * dx)；5. 双曲率：双曲线的曲率计算公式为k = |-2a^2 * y / (a^2 - x^2)^(3/2)|；三、不同双曲线的特点对于方程(1)和(2)，当参数a和b取不同的值时，双曲线呈现出不同的形状和特点。
1. a > b时：双曲线的轴线平行于x轴，焦点在x轴上方或下方，称为水平双曲线。
2. a < b时：双曲线的轴线平行于y轴，焦点在y轴的左侧或右侧，称为垂直双曲线。
3. a = b时：双曲线的轴线与对角线重合，形状接近于两个无限远的平行直线。
四、应用领域与示例双曲线在物理、工程和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线常用于描述电磁场、光学、天体物理等领域的运动和效应。
2. 工程学中，双曲线常用于建筑设计、交通规划等领域的结构和曲线优化。
3. 计算机科学中，双曲线广泛用于曲线拟合、数据可视化等领域的数学计算和图形绘制。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
双曲线的标准方程及性质
双曲线的标准方程及性质双曲线作为数学中的一个重要几何概念，有着广泛的应用和研究价值。
在本文中，我们将探讨双曲线的标准方程以及其性质。
双曲线是由两个分离的支线组成的曲线，其标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别代表双曲线的参数，a表示双曲线与x轴的横向距离，b表示双曲线与y轴的纵向距离。
在标准方程中，分子中的x^2与y^2的系数分别为1/a^2和-1/b^2。
那么，双曲线的性质又是如何呢？首先，双曲线是一个对称图形，含有两个对称轴。
其中，双曲线的中心点为坐标原点(0, 0)，而对称轴则分别为x轴和y轴。
对称轴与双曲线的交点称为焦点，有两个焦点分别位于对称轴的正负方向。
其次，双曲线还具有两个渐近线。
渐近线是双曲线与其两个支线无限延长后的交点。
根据双曲线的标准方程，我们可以计算得出渐近线的方程。
具体来说，当x趋于正无穷大时，即x→+∞，双曲线趋近于直线y = ±b/a；当y趋于正无穷大时，即y→+∞，双曲线则趋近于直线x = ±a/b。
另外，双曲线还有一个重要的参数称为离心率(e)。
离心率是双曲线焦点与中心之间的距离与焦点到双曲线的一点之间的距离的比值。
具体计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。
对于双曲线而言，离心率永远大于1。
双曲线的形状也会根据参数a和b的取值而有所变化。
当a > b时，双曲线的开口方向会沿着x轴；当a < b时，双曲线的开口方向则会沿着y轴。
而当a = b时，双曲线则特化为一组直线。
双曲线还与一些重要的数学概念密切相关，比如焦点、双曲线的顶点和极坐标方程等。
焦点是双曲线上的点，与离心率密切相关，距离中心越远的焦点，离心率越大；双曲线的顶点则是双曲线两支线的交点；而极坐标方程则可以将双曲线的参数方程转化为极坐标形式。
总结一下，双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线的参数。
双曲线的性质
双曲线的性质【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a ax a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是二次曲线的一种，具有以下几个性质：1. 对称性：双曲线关于两条渐近线对称。
这意味着如果曲线上有一点(x, y)，那么(−x, y)，(x, −y)和(−x, −y)也在曲线上。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
渐近线是曲线的边界线，它们是曲线无法触及但可以无限靠近的直线。
这两条渐近线分别靠近于曲线的两个极限点。
双曲线的渐近线一般仅存在有限的部分，而无法延伸到整个双曲线。
3. 焦点和直角双曲线：双曲线具有焦点和直角双曲线的特性。
焦点是一个点，位于双曲线的中心，离焦点的距离决定了曲线的形状。
直角双曲线是一个特殊的双曲线，其两条渐近线之间的夹角为90度。
4. 集束：双曲线是集束，也就是说它们拥有共同的焦点和渐近线。
所有的双曲线都可以通过调整双曲线方程中的参数来改变形状，但它们都具有相同的焦点和渐近线。
5. 曲率和拐点：双曲线在任何位置的曲率都是负的，因此它们没有拐点。
这意味着双曲线在任何位置都是向外弯曲的。
6. 方程和参数：双曲线的一般方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b是双曲线的常数。
通过改变a和b的值，可以改变双曲线的形状。
双曲线还可以用参数方程表示，例如x = asecθ和y = b tanθ。
7. 领域和渲染：双曲线存在于x和y的所有实数范围内，没有特定的定义域或值域。
它可以在二维平面上任意渲染，通过改变参数可以得到不同的外观。
8. 焦散和收敛：双曲线在焦点之外散开，而在焦点之内收敛。
这使得双曲线可以用于光学系统的设计和分析。
9. 应用领域：双曲线在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用。
例如，在椭圆方程和双曲线方程中，双曲线被用于描述行星和彗星的轨道。
在光学中，双曲线被用于描述透镜的形状。
双曲线还在电工学、航空航天学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。
总之，双曲线是一种独特的二次曲线，具有许多特殊的性质和应用。
对于数学和科学领域的研究者和应用者来说，了解双曲线的性质是非常重要的。
双曲线的新性质
双曲线的新性质
(1) 双曲线的对称轴是双曲线的几何线。
(2) 双曲线的几何形状是一个椭圆，有两个长轴和两个短轴，这两个长轴与对称轴垂直。
(3) 双曲线在对称轴上有两个焦点，椭圆的离心率是两个焦点的距离与椭圆的长轴之比。
(4) 双曲线的曲率在焦点处极大，在椭圆的长短轴上变化，且有方向性；在其它位置曲率不变。
(5) 双曲线的二阶导数是曲率的变化率，其值在椭圆的短轴上，是定值，且与椭圆的长轴无关。
(6) 双曲线的角度变化率，从焦点到椭圆两个顶点间，是一个线性函数，该函数斜率与椭圆的长轴比较无关，但与它的短轴比较有关系。
(7) 双曲线的切线与法线相交，且在与对称轴垂直的椭圆面上具有旋转对称性；
(8) 它的法线方向及曲率，将椭圆的两个焦点连接成直线，围绕此直线旋转对称；
(9) 这种旋转对称性，能够在双曲线上检测两个焦点，这种特性用于计算机图形学中的光照计算。
(10) 双曲线的展开图是一张包括双曲线上每个点的矢量图，它可以帮助我们了解双曲线的结构以及曲线上每个点的切线和法线的角度。
(11) 双曲线可以用于表征物体的外形，并且可以应用于形状分析算法，它可以帮助研究者从形状几何的角度分析复杂的物体。
几何中的双曲线性质
几何中的双曲线性质几何学是研究形状、大小、相对位置以及这些属性之间的关系的学科。
在几何学中，双曲线是一种特殊的曲线，具有一些独特的性质。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及在实际生活中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，其定义基于离心率。
对于给定的点F和直线L，定义双曲线为满足：从该点到直线上的任意一点的距离与该点到直线的垂直距离的比值始终大于1的点的轨迹。
双曲线是由两个分离的支线组成的。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：根据双曲线的定义可知，双曲线的离心率始终大于1。
离心率是一个量度焦点和直线之间的距离的标准，反映了曲线的扁平程度。
2. 曲线有两个分离的支线：双曲线由两个分离的支线组成，这意味着曲线在无限远的距离上趋近于这两个支线，但永远不会相交。
3. 曲线的渐近线：双曲线还具有渐近线的性质，即曲线在无限远的距离上趋近于两个特定的直线。
这两条直线称为渐近线，它们与曲线的两个支线相切。
4. 曲线的对称轴：双曲线具有对称轴，对称轴是与曲线的两个支线垂直且通过曲线的中心点的直线。
对称轴将曲线分为两个对称的部分。
5. 曲线的焦点：双曲线还具有焦点，焦点是与曲线的两个支线相关联的点。
焦点是双曲线的特定属性，它们是定义双曲线形状和大小的关键要素。
三、双曲线在实际生活中的应用双曲线在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些双曲线在现实生活中的具体应用：1. 卫星轨道：卫星绕地球运行的轨道通常是双曲线。
卫星运动的轨道恰好满足从卫星到地球中心的距离与到地球的直线距离的比值大于1的条件。
2. 天文学：双曲线也用于描述彗星的运动轨迹。
彗星通常在接近太阳时以双曲线的形式运动。
3. 光学：在光学中，双曲线被用来描述透镜的形状。
透镜通常采用双曲线形状，以便能够产生所需的光学聚焦效果。
4. 经济学：双曲线经常用来描述供求关系中的优化条件。
双曲线的性质使其成为描述经济学模型中的一些现象的理想工具。
总结：双曲线是几何学中一种独特的曲线，具有离心率大于1、两个分离的支线、渐近线、对称轴和焦点等性质。
12.6双曲线的性质
第十二章 圆锥曲线第六节 双曲线的性质知识梳理双曲线的方程及几何性质 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值.这说明从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是a 2.在方程12222=-by a x 中令x =0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。
但y轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用. 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异. 3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线.分析：要证明直线x a b y ±=（0=±bya x ）是双曲线12222=-b y a x 的渐近线，即要证明随着x 的增大，直线和曲线越来越靠拢.也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜.但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN ｜.最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质.22||||a x a b x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab -- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ）.4．等轴双曲线a =b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.结合图形说明：a =b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a (2b )，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.5.共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-b x a y ;（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （b a ≠）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①13422=-y x 、与②14322=-x y 、③13422=-x y 、④14322=-y x 、⑤23422=-y x 之间的关系.5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x . 6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图. 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.【典型例题分析】例1：判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。
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等轴双曲线的标准方程：
x2 y2 y2 x2 2 2 2 1或 2 2 1 x y k ( k 0) 2 a a a a
渐近线方程 : y x 渐近线互相垂直
共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的 双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。 y
1.双曲线与它的共轭双曲线 有相同的渐近线。
y
B2
b
A1
O
a
B1
A2
x
b y x a
y
b x a
双曲线图形的对称性 讨论第一象限的情况
2
y
B2
Q
N
M
b a b 2 2 x2 y b 2 1 a x a a x 1 x2 A1 O a A2 x a b 当x 时， y x B1 a b b b a2 y b x y x | MN | y N yM x x 1 a a 2 a a x ab b 2 2 x x a 0 2 2 a x x a
12.6(1) 双曲线的性质
名称
定义
椭圆
MF1 MF2 2a (2a | F1 F2 |)
双曲线
MF1 MF2 2a (| F1 F2 | 2a )
图形
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
标准 方程
焦点
a , b, c 关系
2
F1 ( c, 0), F2 (c, 0) F1 (0, c ), F2 (0, c )
a b c
2
2
c 2 a 2 b2
一、对称性：
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
双曲线关于x轴对称；
2 2
y
(-x,y)
-a (-x,-y) o a
y a
2.范围： y ( , a ] [a , ),
x R
3.顶点： (0, a )Байду номын сангаас(0, a)
-b
o -a
b
x
实轴的长 : 2a；虚轴的长 : 2b 2 2 y x a 4.渐近线 : y x 即： 2 2 0 a b b
等轴双曲线：
当双曲线的实轴长和虚轴长相等时, 即a b时, 双曲线称为等轴双曲线。
(x,y)
x (x,-y)
双曲线关于y轴对称；
双曲线关于原点对称；
双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形； 坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心 ( 双曲线的中心).
二、顶点：
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
A 双曲线的顶点： 1 ( a , 0) A2 (a , 0)
O
F1
2.双曲线与它的共轭双曲线 的四个焦点共圆。
F1
F2
x
F2
x2 y2 y2 x2 互为共轭双曲线： 2 2 1 或 2 2 1 a b a b
例1. 求双曲线16 x 9 y 144的顶点, 焦点, 渐近线,
2 2
实轴长, 虚轴长, 并作出简图。
x2 y2 1 9 16
作业： 习题12.6 : A组P 30 1, 2, 3, 4, 5, 6；
b
MQ || MN |, 当x 时，| MN | 0, | MQ | 0 |
五、几何意义：
A 1. 离中心距离最近的点： 1 , A2
y
2. 离F2距离最近的点：A2
3. 焦点的物理意义：
光线的入射与反射.
F1
A1 O
A2
F2
x
y2 x2 双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的性质 a b 1.对称性： 关于x，y轴和原点对称
例3. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 2 (1)顶点之间的距离为12, 渐近线方程为y x; 3 x2 y2 y2 x2 1 or 1 36 16 36 81
双曲线已知渐近线方程的标准方程设法：
x y 若渐近线方程为： 0 m n 2 2 x y 则双曲线方程为： 2 2 ( 0) m n
F1
y
B2 b
a
A1 O
c
A2 F2
x
双曲线的实轴 : 线段A1 A2；
|A1 A2 | 2a； a是双曲线的实半轴长.
B1 b
双曲线的虚轴 : 线段B1 B2 ; c 2 a 2 b2
|B1 B2 | 2b； b是双曲线的虚半轴长.
实 焦点一定在 ___ 轴上；
c 虚轴顶点到实轴顶点的距离为 ___ .
2 (2)一条渐近线方程为y x, 且过点( 6, 2)； 3 2 2 x y 1 27 12 x2 y2 (3)与 1有相同渐近线且一个焦点为(0， 2); 5 16 9 2 2 y x 1 18 32
(4)过经点(2, 3)且两条渐近线互相垂直。
y2 x2 1 5 5
三、范围：
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2
y
x , a a ,
F1
A1 O
A2 F2
x
y R
四、渐近线：
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b b 双曲线的渐近线：y x a x2 y2 即： 2 2 0 a b x y 或： 0 a b
y2 x2 练习:求双曲线 1的顶点, 焦点, 渐近线, 16 9 实轴长, 虚轴长, 并作出简图。
x2 y2 例2. 求双曲线 1渐近线夹角的大小。 9 25
y
B2
5
A1
O
8 方法一： arccos 17
A2
3
B1
x
4 y x 3
4 y x 3
5 方法二： 2arctan 3