高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第36课数列求和教师用书

第36课 数列求和

[最新考纲]

内容 要求

A

B

C 数列求和

√

数列求和的常用方法 1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：

S n ＝n a 1＋a n 2

＝na 1＋n n －12

d ；

(2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q

＝a 11－q n

1－q ，q ≠1.

2．分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①1n

n ＋1＝1n －1n ＋1

； ②1

2n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1；

③

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．

5．倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．

6．并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n

f (n )类

型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002

－992

＋982

－972

＋…＋22

－12

＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1

1－q

.( ) (2)当n ≥2时，

1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )

(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3

＋…＋na n

之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n n ＋1

，则S 5等于____________。

5

6 [∵a n ＝1n

n ＋1＝1n －1

n ＋1

， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5

6

.]

3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n

＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 2

n ＋1

－2＋n 2

[S n ＝

2

1－2n

1－2

＋

n 1＋2n －1

2

＝2

n ＋1

－2＋n 2

.]

4．(2017·南京模拟)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n

(2n －1)，则该数列的前100项之和为________．

100 [由题意可知，S 100＝－1＋3－5＋7－…－197＋199 ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199) ＝2＋2＋…＋2 ＝2×50＝100.]

5．3·2－1

＋4·2－2

＋5·2－3

＋…＋(n ＋2)·2－n

＝__________. 4－

n ＋4

2n

[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×1

2

n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1

23＋…＋12n －n ＋22n ＋1.

∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1

2

2＋…＋12n －1－n ＋22n

＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12

－n ＋22n ＝4－n ＋42n .]

分组转化求和

(2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1

＝b 1，a 14＝b 4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．

[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝9

3

＝3，

所以b 1＝b 2q

＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1

(n ＝1,2,3，…)．

设等差数列{a n }的公差为d .

因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1

.

因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1

.

从而数列{c n }的前n 项和

S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1

＝

n 1＋2n －1

2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n

－12

. [规律方法] 分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．

(2)通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差

数列，可采用分组求和法求和．

易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．

[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，

a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N ＋.

(1)求通项公式a n ；

(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．

[解] (1)由题意得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 2＝4，

a 2＝2a 1＋1，则⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，

a 2＝3.