1.6一元一次不等式(组)2
一元一次不等式
一元一次不等式在数学中，不等式是一种数学表达式，用于描述两个数或两个表达式之间的大小关系。
一元一次不等式是一种常见的不等式形式，其中仅包含一个未知数，并且未知数的最高次项为一次。
一元一次不等式的一般形式为：ax + b > 0（或≥ 0、< 0、≤ 0），其中a和b为已知实数。
这样的不等式可以理解为一条直线上的所有点组成的集合，分为两个部分：使不等式成立的部分和使不等式不成立的部分。
在图形上，不等式表示两个部分之间的分界线。
首先，我们来看如何解一元一次不等式。
为了解不等式，我们可以通过一系列的代数操作来求解未知数的取值范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 0，我们可以先将常数项移到右侧，得到2x > -3。
然后，再将系数2除到未知数x上，得到x > -3/2。
最后，我们得到解集{x | x > -3/2}，表示所有大于-3/2的实数为不等式的解。
除了求解不等式，我们还可以对一元一次不等式进行一些常见的运算，如加减乘除、取倒数等。
这些运算与求解方程的方法相似，但需要注意不等号方向的变化。
举个例子，对于不等式3x - 2 > 4，我们可以进行如下的操作来解题：1. 将常数项移到右侧，得到3x > 6。
2. 除以系数3，得到x > 2。
我们将得到解集{x | x > 2}，表示所有大于2的实数为不等式的解。
在解一元一次不等式时，我们也需要注意些特殊情况。
当不等式中存在分数、绝对值、平方等特殊函数时，我们需要根据具体情况采取相应的处理方法。
例如，对于不等式|x + 1| > 3，我们需要将绝对值拆解成两个不等式：x + 1 > 3 或 x + 1 < -3。
然后，我们分别解这两个不等式，得到解集{x |x > 2}和{x | x < -4}。
最后，我们得到整个不等式的解集是{x | x < -4 或x > 2}，表示所有小于-4或大于2的实数为不等式的解。
一元一次不等式组(2)全面版
务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能
提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？
解：设每个小组原先每天生产x件产品,
根据题意，得 310x500 ①
310(x1)500 ②
由不等式①得 x 16 2
3
由不等式②得 x 15 2
3
因此，不等式组的解集为
152 x162
归 纳:课本140页
（1）对于具有多种不等关系的问题，可 通过不等式组解决。 （2）解一元一次不等式组时，一般先求 出其中各个不等式的解集，再求出这些 解集的公共部分。 （3）利用数轴可以直观地表示不等式组 的解集，再结合实际问题求出符合实际 问题的解。
三、巩固训练，熟练技能
1、在方程组2xxyym6中， 已知x 0, y 0,求m的取值范.围
– 解不等式3≤2x－1≤5，你觉得该
怎样思考这个问题，你有解决的
办法吗？
• •
求出不等式组 3x 7 2 的解集中的正整数3x。 7 8
课本140页练习1
2、某工厂工人经过第一次改进工作
方法，每人每天平均加工的零件比原来多 10个，因而，每人在8天内加工的零件超 过200个，第二次又改进工作方法，每人 每天平均又比第一次改进方法后多做27个 零件，这样只做了4天，所做的件数就超 过前8天所做的数量。试问每个工人原来 每人平均做几个零件？
思考： 你觉得列一元一次不等式组解
应用题与列二元一次方程组解应用 题的步骤一样吗？
设
列 解（结果） 答
一元一次 不等式组
二元一次 方程组
一个未知 数
两个未知 数
找 一个范围 不等关系
找
一组数
等量关系
根据题意 写出答案
初中数学《一元一次不等式和一元一次不等式组》单元教学设计以及思维导图
一元一次不等式和一元一次不等式组
主题单元学习目标
知识与技能：
1、经历将一些实际问题抽象成不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型进一步发展符号感。
2、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
3、掌握不等式的基本性质。
4、理解不等式组的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会解一元一次不等式组并会在数轴上确定其解集，初步体会数形结合的思想。
其他：纸、笔
学习活动设计
活动一、
如下图，正方形的边长和圆的直径都是acm。
1、如果要使正方形的周长不大于25cm,那么 a 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的周长不小于100cm，那么a 应满足怎样的关系式？
3、当 a= 8 时，正方形和圆的周长哪个大？a = 12 呢？
4、你能得到什么猜想？改变a的取值再试一试。
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
由4a 4a4a≤25, πa ≥100 ,3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式
活动二、。
八年级一元一次不等式(教师讲义带答案).
第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的题型，也是学习代数的基础内容之一。
它是由一个一次式与一个数的关系构成的，其中包含了未知数x的不等式。
本文将介绍一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
一、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或ax + b > c），其中a、b、c为给定的实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，需要找出使不等式成立的x的取值范围。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法通过移项可以将一元一次不等式转化为形如x < d（或x > d）的不等式，其中d为一个实数。
移项的过程如下：（1）如果不等式中含有加法或减法运算，可以通过加减法逆元的变换，将不等式转化为x < d或x > d的形式。
（2）如果不等式中含有乘法或除法运算，可以通过乘除法的变换，将不等式转化为形如ax < b（或ax > b）的形式。
注意乘除的时候需要考虑a的正负性。
2. 分情况讨论法当一元一次不等式中存在绝对值、分数等特殊情况时，可以采用分情况讨论法来求解。
需要根据不同情况的实际意义，分别列出对应的不等式并求解。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个典型问题为例，介绍一元一次不等式的应用。
1. 生活中的应用假设某市公交车票价为2元，同时发行了一种优惠卡，每次乘车只需支付1元。
现假设一人每月乘坐公交车次数不少于12次，求这人每月乘坐公交车所需的费用范围。
解：设这人每月乘坐公交车的次数为x次，则有不等式x ≥ 12。
因为每次乘车需支付的费用范围为1元至2元，所以还可得出不等式1 ≤ x ≤ 2。
因此，这人每月乘坐公交车的费用范围为12元至24元。
2. 经济学中的应用某的家庭年收入I万元，每年花费C万元。
已知为了正常生活，家庭应至少储蓄S万元。
写出家庭年收入与花费的不等关系，并求解I的范围。
解：根据题目可以得出不等式 I - C ≥ S。
数学资源与评价答案
聚沙成塔：甲同学说的意思是：如果每5人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于50人，有些同学就没有球玩．
乙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足6人．
丙同学说的意思是：如果每6人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每6人玩一个球，还有几个（不足6人）玩另外一个篮球．
∴7.5＜x＜12，∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60－3y=3（20－y） ∴2x应是3的倍数
∴x只能取9，y = = 14
答：白球有9个，红球有14个．
1．4一元一次不等式（1）
1．B；2．C；3．D；4．B；5．B；6．D；7．A；8．A；9．x＝0，－1，－2，－3，－4 ；10．x＜－3；11．R＞3；12．－6；13．2；14．2≤a＜3； 15．x≥ ．
1．2 不等式的基本性质
1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．A； 7．C； 8．D； 9．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜；10．（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜；11．a＜0； 12．（4）；
13．0，1，2，3，4，5； 14．＜ ； 15．＜2 ＜0； 16．＞ ．
16．第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数．
17．（1）得x≥1；（2）x＞5；（3）x≤1；（4）x＜ 3；
18．（1）解不等式 ，得
所以当 时， 的值是非负数．
（2）解不等式 ，得
所以当 时，代数式 的值不大于1
19．p＞－6． 20．－11．
如果下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000
1.6一元一次不等式组
张崾先镇学校八年级数学导学案执笔人：陈菊审核人：时间：集体备课备注课题：§1.6 . 一元一次不等式组(一）学习目标：1．理解一元一次不等式组及其解的意义。
2. 总结解一元一次不等式组的步骤及情形.3.通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力.重点：1. 利用数轴，正确求出一元一次不等式的解集2．巩固解一元一次不等式组.难点：讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点.内容设计：一、课前准备：预习作业：1、 1.关于________________________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
1、 2.一元一次不等式组里各个不等式的解集的___________________，叫做这个一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组解集的过程叫做_____________________。
二、课内探究：（一）创设情境：1.填表：不等式组⎩⎨⎧<+<-21xx⎩⎨⎧>+<-21xx⎩⎨⎧<+>-21xx⎩⎨⎧>+>-21xx数轴表示解集（二）、交流展示：4．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.设a＜b,那么（1）不等式组⎩⎨⎧>>bxax的解集是x＞b; 同大取较大（2）不等式组⎩⎨⎧<<bxax的解集是x＜a; 同小取较小（3）不等式组⎩⎨⎧<>bx ax 的解集是a ＜x ＜b ; 大小小大中间找（4）不等式组⎩⎨⎧><b x a x 的解集是无解. 大大小小找不着这是用式子表示，也可以用语言简单表述为： 同大取较大； 同小取较小； 大小小大中间找；大大小小找不到。
（三）、巩固提升：例1：解下列不等式组,把解集在数轴上表示出来，并求出其整数解（1） ⎩⎨⎧-≥+-<+-114754)1(2x x x （2） ⎪⎩⎪⎨⎧-<++≥+51221)1(315x x x x例2：已知方程组⎩⎨⎧-=-+=+172652y x m y x 的解为非负数，求m 的取值范围。
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第二章 方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b
C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集 不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______
一元一次不等式
一元一次不等式一．基本概念1．不等式用表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解：与方程类似，使不等式成立的叫做不等式的解．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴表示．3．解不等式求不等式的解集的过程，叫做．4．不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个数，不等号的方向改变．不等式的其他性质：(1)若a＞b，则b＜a；(2)若a＞b，b＞c，则a＞c；(3)若a≥b，b≥a，则a＝b；(4)若a2≤0，则a＝0．5．一元一次不等式类似于一元一次方程，含有个未知数，未知数的次数是的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式为ax＋b＞0(a≠0)或ax＋b＜0(a≠0)．6．一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法，但要特别注意不等式两边都乘以(或除以) 同一个数时，不等号的方向改变．二．例题例1．用不等式表．用不等式表示：(1)m－3是正数______；(2)y＋5是负数______；(3)x不大于2______；(4)a是非负数______；(5)a的2倍比10大______；(6)y的一半与6的和是负数______；(7)x的3倍与5的和大于x的______；(8)m的相反数是非正数____例2．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．(A)－2＜x＜4 (B)－2＜x≤4(C)－2≤x＜4 (D)－2≤x≤4例3．a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a＞b，则a2＞b2(B)若a2＞b2，则a＞b(C)若a≠b，则｜a｜≠|b|(D)若｜a｜≠|b|，则a≠b例4．解关于x的不等式(1)ax＞b(a≠0)．(2) mx＋1< m＋2x例5．求不等式361336x x--->-的非负整数例6．已知关于x的方程2233x m xx---=的解是非负数，m是正整数，求m的值．例7．已知方程组⎧⎨⎩2x+y=1+3m,x+2y=1-m的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．例8．(1)已知x＜a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是______；(2)已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．例9. 适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：(1)x只有一个整数解；(2)x一个整数解也没有．。
1.6一元一次不等式组(2)
2 5
解不等式组3+x＜4+2x 5x-3＜ 4x-1
7+2x＞ 6+3x
作业
3x+4 1。求-1＜ 5 2。求不等式组 6x-1≤4 ≤2的整数解 的负整数解
1-x ≤x+6 3x-1＞ x+9 x+4 3。已知关于x的不等式组 3 1 2 x+1的解集为x＜2
＞
x+a＜0 求a 的取值范围。源自 一元一次不等式组的四种类型
• 设a＞b • X＞a • X＞b • X＜a
X＞b
X＞a
x＜a
X＜b
b＜x＜a X＞a
X＜b
空集
X＜b
例题分析
• 例1若不等式组x＜a的解集是x＜a，则 a b x＜b
变式；若 X＞a ≤b
X＞-2
的解集是 x＞-2
则a ≤-2
例2若 X＞a
X＜b
的解集为a＜ x＜ b
≤3
，则a ＜ b
变式。若 2y＞6 无解，则m
y≤m
例3。求不等式组 3X+13＞X+3② 的负整数解
• 解:由①得x≤-1 • 由②得x＞-5 • 不等式组的解集为-5＜x≤-1 负整数解为-4,-3,-2,-1.
练习.
求同时满足6x+ 5 7 ＞4x+7和 2 3 X25 6 ＜ 1 3 X1 4 的整数解
0.5(X+3)≤1①
例4 不等式组 解集是x＜2,求a
• 练习
4（x-a）＜0.5x+5.8① 1+2x ＞x-1 ② 3
的
已知不等式组 30x-a≥0 的整数解为1，2，3。求适合 8x-a＜0
1.6一元一次不等式组2
D.
-5
-2
解不等式组:
① 1 ② x 3 2 1 解:解不等式①得 x 3 解不等式②得 x<6 在同一条数轴上表示不等式① ②的解集,如图:
｛
2x 1 x
1 因此,原不等式组的解集为: 3 x 6
-5 -4 -3 -2 -1 0
1 3
1 2 3 4 5 6 7
解下列不等式组:
(1) 2x+3<5 3x-2>4
5X-2>3(X+1) (2) 1 3 X-1<7- X 2 2
小结：
1. 由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做 一 元一次不等式组
2. 几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它 们所组成的一元一次不等式组的解集.
x ≥-2, (4)不等式组 的解集在数轴上表示为 ( B ) x x 0 .2 5 x ≥2 (2) 不等式组 的整数解是 ( ( C C ) )( x 5 的负整数解是 (3) 不等式组 (5) 如图 , 则其解集是 ) C (1) 不等式组 的解集是 ( ) x 3 D x 1 2.5 4 -1 0 x ≤2
同大取大 同小取小
X≤a
a≤x≤b
无解
大小、小大取中间
小小、大大无解答
x≥b
a
b
例1 不等式组
2x-3a＜7b ① 6b-3x＜5a ② 的解集是5＜x＜22，求a、b的值.
解： 解不等式① 得，
解不等式② 得，
又不等式组的解集是： 5＜x＜22，
∴
3a 7b x 2 6b 5a x 3
1.6 一元一次不等式组(2)教学案
1.6 一元一次不等式组（2）【学习目标】1．能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题【学习重点】1．用一元一次不等式组的知识去解决实际问题【学前准备】1．解不等式组（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325 （2）⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x2．列方程解应用题的一般步骤是什么？【师生探究合作交流】例1．甲以5km /h 的速度进行有氧体育锻炼，2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定，乙最快不早于1h 追上甲，最慢不晚于1h 15min 追上甲。
乙骑车的速度应当控制在什么范围？分析：设乙车的速度为xkm /h ，由乙最快不早于1h 追上甲列不等式__________________由最慢不晚于1h 15min 追上甲列不等式___________________解：例2：一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
问：可能有多少间宿舍、多少名学生？（1）、设有X间宿舍，则学生人数表示为；（2）、学生住X间宿舍，可以列出不等式；（3）、学生住(X－1)间宿舍，可以列出不等式；（4）、组成不等式组：（5）、得出结果：；【议一议】1．课本p31做一做你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1．某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？2．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？【课堂小结】运用不等式组解决实际问题的基本过程。
八年级下册《1.6 一元一次不等式组》教案
第一课时一、教学目标：1. 知识目标:①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法．②会利用数轴较简单的一元一次不等式组③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况．2. 能力目标：①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力．3. 情感目标：将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。
二、教学重难点：教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。
教学难点：借助数形结合的方法找出不等式的解集。
三、教学过程设计：1.回顾旧知，探索发展回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（1）2x+3＞5 （2）6x—5≤1 （让学生上台演示，注意指导其解题的规范性）探索：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为30x吨。
由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，因此，应有1200≤30x≤1500（通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。
学生在研究这一具体问题时，自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。
这样引入不等式组比较自然）上式实际上包括了两个不等式30x≥1200 和30x≤1500它说明要这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。
学生可以通过列表、画数轴图的方法，寻求不等式组的解。
要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方法。
）分别求这两个不等式的解集，得同时满足①②的未知数x应是个不等式的解集的公共部分。
1.6一元一次不等式组的应用 共12页
解题后的归纳
某自行车厂今年生产销售一种新型自行 车,现向你 提供以下信息: ①该厂去年已备用这种自行车车轮10000 只,车轮车间今年平均每月可生产车轮 1500只,每辆自行车装配2只车轮. ②该厂装搭车间(最后一道工序)每月至少 可装搭这种自行车1000,但不超过1200 辆. ③该厂已收到各地客户今年订购的这 种自行车14500辆的定货单. ④这种自行车出厂销售单价为500元/辆.
火车站有某公司待运的甲种货物1530吨, 乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两 种型号的车厢将这批货物运至北京，已知
每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B节货 厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种 货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25 吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按 此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几 种方案?请你设计出来;并说明哪种方案的运 费最少?
在方程组 2x xyym6中，已知x>0,y<0 求m的取值范围．
一变：在方程组
x 2
xyym6中，已知xy<0
求m的取值范围． 二变：在方程组 2xxyym6中，已知xy<0
且x,y都是整数，求m的值．
三变：
已知在方程组
x 2
xyym6中，xy<0
１．一堆玩具分给若干个小朋友，若 每人分２件，则剩余３件；若前面每人分 ３件，则最后一个人得到的玩具数不足２ 件．求小朋友的人数与玩具数
２．已知利民服装厂现有Ａ种布料７０米，Ｂ种 布料５２米，现计划用这两种布料生产Ｍ，Ｎ两 种型号的时装共８０套，已知做一套Ｍ型号时装 需Ａ种布料０．６米，Ｂ种布料０．９米；做一 套Ｎ型号时装需Ａ种布料１．１米，Ｂ种布料 ０．４米；若设生产Ｎ型号的时装套数为Ｘ，用 这批布料生产这两种型号的时装有几种方案
初中八年级数学 §1.6.2一元一次不等式组(二)教学设计
§1.6.2 一元一次不等式组（二）教学目标（一）知识认知要求1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程.2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.（二）能力训练要求通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力.（三）情感与价值观要求1.加强运算的熟练性与准确性.2.培养思维的全面性.教学重点巩固解一元一次不等式组.教学难点讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点.教学过程一、创设问题情境，导入新课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，本节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性，同时还要全面地对所有解的情况进行总结.二、讲授新课1.例题：解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧<->+xx x 987121 （2）⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x （3）⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325（4）⎩⎨⎧<>-621113x x 在做这组练习题之前，我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤.一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中不等号方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤为：分别求出两个一元一次不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而得出不等式组的解集.下面我们先自己独立完成这四个不等式组的求解.（让四个同学在黑板上板书过程）. ⑴⎪⎩⎪⎨⎧<->+xx x 987121 )2()1( ⑵⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x )2()1( ⑶⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-x x x x 237121)1(325)2()1( ⑷⎩⎨⎧<>-621113x x )2()1( 下面大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？2.讨论解的情况我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.⑴由⎩⎨⎧->>41x x 得x ＞1; ⑵由343423<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<x x x 得; ⑶由⎪⎩⎪⎨⎧≤>425x x 得25＜x ≤4;⑷由⎩⎨⎧<>34x x 得，无解. 由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字1和－4中取大数1，不等号取大于号.由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中不等号的方向取小于，而数字取比较小的数字34. 由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字25＜4，并且是 x ＞25,x ≤4，最后的结果中是x 取大于小数小于大数，即25＜x ≤4. 由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是x ＞4,x ＜3,因为4＞3，即x 应取大于4而小于3的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解.大家分析得非常精彩.基本上说明了情况，下面我再系统地给大家作一总结：两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.设a ＜b ,那么（1）不等式组⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是x ＞b ; （2）不等式组⎩⎨⎧<<bx a x 的解集是x ＜a ;（3）不等式组⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是a ＜x ＜b ; （4）不等式组⎩⎨⎧><bx a x 的解集是无解.这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解.三、课堂练习1.随堂练习：解下列不等式组（1）⎩⎨⎧>-<+81353x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<+523)1(212x x x x2.补充练习：解下列不等式组 1.⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x 2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<+33221)4(21x x x 四.课时小结本节课我们学习了如下内容.1.练习了解一元一次不等式组.2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况.五、.课后作业 习题1.9。
八年级数学下册 2.6 一元一次不等式组课件
2x 1
） 3 x 1＜8
1＜x＜3
1＜x＜7/3
2021/12/13
第五页，共二十页。
1.解下列(xiàliè)不等式组
2x 1
（1）
x
3 ＜0
x 2 1 （2） 3 x 1＜8
1＜x＜3
1＜x＜7/3
1
2021/12/13
3
1
第六页，共二十页。
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
5x2
x 1,
解:原不等式组的解集为
(11)x 4. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1x4
x 0,
解:原不等式组的解集为
(15)x 4. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
4x0
2021/12/13
第十页，共二十页。
例1. 求下列(xiàliè)不等式组的解集:
即:7-3 ＜ x＜7+3,也即 4＜ x＜10
2021/12/13
第十四页，共二十页。
x 3
是什x么若＞你吗3能一?,那确元定么((yqī你uyèudáìnn能)g一)一求元次一出不次a等的不等式取式组值组 范x 围a吗? 的的解解集集是
2021/12/13
第十五页，共二十页。
随堂练习 ： (liànxí)
例3.
x 1 7- 3
2
2
解:由(1)得:5x-2>3X+3 则 x>2.5
由(2)得x 4
用数轴(shù zhóu)表示:
(1)
x (2)
x 4
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第十三页，共二十页。
做一做
在什么条件下,长度为3cm,7cm,xcm的三条 (sān tiáo)线段可以围成一个三角形?
1.6 一元一次不等式组
C、
x 3 x 2
D、
x 3 x 2
）
2、在数轴上从左至右的三个数为 a，1＋a，－a，则 a 的取值范围是（ A、a＜ B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－
1 2
）
3、 （2007 年湘潭市）不等式组
x 1≤ 0， 的解集在数轴上表示为（ 2 x 3 5
)
x 2 x 2 0 C. , 2 x 0
3x y 0 D. . x y
2. 列不等式组解集正确的是(
检
x 2 A. 的解集是x 3, x 3 x 2 C. 的解集是 2 x 2, x 2
x 2 B. 的解集是x 2 , x 2 x 2 D. 的解集是 2 x 2. x 2
三、解答题 11.解下列不等式组： (1)
3x 1 x 2 3x 4 x 2
x 1 2x 5 3x 3x 2 4 2
(2)
12.如果关于 x 的方程 x+2m－3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数，求 m 的范围. 13.已知方程组
6、 （2007 年南昌市）已知不等式：① x 1 ，② x 4 ，③ x 2 ，④ 2 x 1 ，从这四个不等式中取两个，构成正 整数解是 2 的不等式组是（ A、①与② B、②与③ ） C、③与④ D、①与④ ） D.无解 ）
7、如果不等式组
x a 无解，那么不等式组的解集是（ x b
研
次
（ 4 x 5) 100
4( x 5) 68
讨
从上面的形式中， 大家能否根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的 有关概念呢?
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教学过程:一、创设情境,引入新课教师:上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法,请同学们尝试完成做一做.(课件展示)在什么条件下,长度为3cm,7cm,x cm 的三条线段可以围成一个三角形? 学生:读题,各自动脑思考.有的学生在练习本上尝试进行列不等式或不等式组！ 教师:下面有请同学到前面发表自己的解决方法.学生1:因为三角形任意两边之和大于第三边,所以可列不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+.37,73,73x x x 解这个不等式组可得104<<x .学生2:我认为他的这种列法可以简单一些,第三个不等式是一定成立的,完全可以去掉. 教师:为什么第三个不等式一定成立?学生2:光7cm 的线段就大于3cm 的线段了,故它是一定成立的.教师:两个同学的做法都是对的.特别是第2个同学注意了三条线段之间的大小关系,列出了简单的不等式组,求解更简单.那么,还有没有别的不同做法?学生3:我们知道三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,所以⎩⎨⎧<->+.37,73x x 解这个不等式组同样可以得到104<<x . 教师:对!你的解法很好.那么,我要问为什么列不等式组⎩⎨⎧<->+xx 37,73与⎩⎨⎧>+>+,73,73x x 求得的结果是相同的呢?(教室内鸦雀无声,同学们都在目视着两个不等式组静静的思考.)学生4:两个不等式组中的第2个不等式可以互相转化,对x 的限制是一样的.所以它们的解集是相同的.教师:同学们,他讲得对不对?如果对,是不是应该鼓励一下? (教室内响起热烈的掌声.)教师:很好!我们同学都已经学会了动脑思考.这就说明,只要我们仔细观察,认真分析,问题就一定会解决,能力也就会得到相应地提高.教师:这里列的不等式组比较简单,同学们很容易求解.如果遇到复杂的不等式组,应该如何求解呢?这节课我们就来进一步的学习——一元一次不等式组(板书课题).设计意图:利用这个做一做让学生进一步感受不等式组解的意义,同时通过对学生所列不等式进行分析、梳理,发展学生的化归能力. 二、合作探究,交流互动探究一教师:请同学们先尝试完成例2. (课件展示例2) 例2 解不等式组: ⎩⎨⎧+>++<-.145,123x x x x②①一名学生黑板板演,其余学生在练习本上完成,不会的同学可以几个同学之间讨论交流,也可以看黑板同学的解法.这时间,教师在下面巡视,给有困难同学以帮助.然后请下面会做的同学给板演的同学批改,并给同学们讲解,教师同时要注意用彩笔把不等式①②的解集在数轴上标出,以使学生感到醒目,加深理解.这样彼此加深印象,体验不等式组的解法,感受数形结合思想的美妙.最后统一得到下面的正确答案:解:解不等式①,得23<x .解不等式②,得34<x .在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图.所以,原不等式组的解集是34<x .教师:通过本例的学习,哪位同学能总结出解一元一次不等式组的一般步骤?学生: 1.分别求出两个一元一次不等式的解集;2.在同一条数轴上确定它们的公共部分;3.写出不等式组的解集.教师:由解一元一次不等式组的步骤可以看出,准确、熟练地解不等式是解不等式组的基础,而运用数轴确定不等式组的解集(找公共部分)是关键.教师:在本例中,找两个不等式的解集23<x 与34<x 的公共部分,你发现了什么规律?小组同学之间交流讨论.学生:两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号,在不等式组的解集中不等号的方向取小于,而数字取比较小的数字.教师:答得好!我们用语言简单地说就是“同小取小”. 探究二教师:请同学们完成例3. (课件展示例3) 例3 解不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+>-.237121),1(325x x x x②① 一名学生黑板板演,其余学生在练习本上完成.教师在下面巡视,给有困难同学以帮助. 最后批改黑板的板演,统一正确答案: 解:解不等式①,得25>x .解不等式②,得4≥x .在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图.所以,原不等式组的解集是4≥x . 教师:在本例中,找两个不等式的解集25>x 与4≥x 的公共部分,你发现了什么规律?同学分小组交流讨论,并形成统一答案.学生:两个不等式的解集中不等号的方向都是大于(大于或等于)号,在不等式组的解集中不等号的方向取大于,而数字取比较大的数字.用语言简单地说就是“同大取大”.教师:好!数形结合,一目了然.探究三教师:请同学们合作完成议一议. (课件展示议一议)议一议 是否存在实数x ,使得53<+x ,且42>-x ? 学生:小组之间讨论交流(约1分钟).教师:要求的实数x ,需使得53<+x ,且42>-x ,那么请问这里“且”是什么意思? 学生:并且、同时.教师:对,那么可用我们学过的哪个数学模型去求满足条件的实数x 呢? 学生:不等式组.即列出⎩⎨⎧>-<+.42,53x x②①教师:能否求出这个不等式组的解集? 学生:解不等式①,得2<x .解不等式②,得6>x .在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图.所以,原不等式组的解集是________.教师:在这里找两个集合的公共部分,有的学生可能会遇到困难.教师可进行引导提问,两个集合有没有公共部分?学生:找不到、没有.学生:既然找不到,不就说明原不等式组无解吗!教师:有道理!原不等式组无解,这就说明不存在实数x ,使得53<+x ,且42>-x . 教师:在这里,找两个不等式的解集2<x 与6>x 的公共部分,你发现了什么规律? 学生:两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于,并且是6>x ,2<x ,即x 应取大于6而小于2的数,而这样的数根本不存在,所以原不等式组的解集为无解.简单说就是“大于大数小于小数无解”.教师:很好!简单易记,我们要理解来掌握.出一道题,考一考咱们同学是否真正理解. (课件展示)不等式组⎩⎨⎧><2,6x x 的解集是________.学生(齐声):填62<<x .这里也有规律,简单说就是“大于小数小于大数取中间”.教师:同学们既然都已经学会了,下面就来练习,提高自我的能力吧!设计意图:在学生已经会解简单不等式组的基础上,让学生通过三个探究,互相学习,互相交流,互相提高,不仅学会了解复杂的不等式组,而且总结出解不等式组的步骤以及找公共部分的四种情形的规律.这样做,能很好地培养学生全面系统的总结概括能力. 三、变式练习,巩固提高1.(1)(2012年北京中考)解不等式组:⎩⎨⎧-<+>-.124,34x x x x ②①(2)(2012年湖北黄冈中考)解不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+>+.3221312),34(2156x x x x ②① 2.(2012年湖北随州中考)若不等式⎩⎨⎧>+<-0,0a x b x 的解集为32<<x ,则a ,b 的值分别为( ).(A)3,2- (B)3,2- (C)2,3- (D)2,3-3.(2012年湖北孝感中考)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧->->-221,0x x a x 无解,则a 的取值范围是( ).(A)1≥a (B)1>a (C)1-≤a (D)1-<a4.(2012年山东日照中考)某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶,那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶,那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒,但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有( ).(A)29人 (B)30人 (C)31人 (D)32人5.(2012年湖南省张家界市中考)某公园出售的一次性使用门票,每张10元.为了吸引更多游客,新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起,可供持票者使用一年).年票分A 、B 两类:A 类年票每张100元,持票者每次进入公园无需再购买门票;B 类年票每张50元,持票者进入公园时需再购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时,购买A 类年票最合算?设计意图:这些中考题由易到难,适合各档次的学生,学习成绩一般的同学可以只做前三题,成绩优秀的同学在完成前三题的基础上进一步挑战自我,提升解题的能力.这里列出的题目涵盖了课本习题,课本习题可供学生课下完成,在后面的作业布置中将要用到. 四、总结归纳,拓展升华教师:通过本节课的学习你有哪些收获?1.会解复杂的一元一次不等式组.其主要步骤为: (1)分别求出两个一元一次不等式的解集; (2)在同一条数轴上确定它们的公共部分; (3)写出不等式组的解集.2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集共有四种情况. 两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形,设b a <,那么 (1)不等式组⎩⎨⎧>>b x a x ,的解集是b x >;(2)不等式组⎩⎨⎧<<bx a x ,的解集是a x <;(3)不等式组⎩⎨⎧<>b x a x ,的解集是a ＜x ＜b ;(4)不等式组⎩⎨⎧><bx a x ,的解集是无解.用语言简单表述为:同大取大;同小取小;大于小数小于大数取中间;大于大数小于小数无解.3.了解了数形结合的思想,掌握了用不等式模型解题的方法. 设计意图:通过小结帮助学生梳理本节课的知识点和数学思想方法.五、布置作业课本:34页习题1.9第1、2、4、5题;38页第4、7题. 能力提升:1. (2008年聊城市中考)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-01,0x a x 的整数解共有3个,则a 的取值范围是________.2.(2009年深圳市中考)迎接大运,美化深圳,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆,乙种花卉40盆;搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来.(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元,搭配一个B 种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?设计意图:分层布置作业,满足不同学生发展的需求.大多数学生只需完成课本上的题目,对于哪些需要升学的同学还需要研究提供的能力提升的题目.六、板书设计教后反思:本节课是在学生已经理解一元一次不等式组及其解的意义,并初步会解简单的一元一次不等式组的基础上展开教学的.所以对于做一做、两个例题以及议一议我都是放给学生先独立思考,然后再小组交流、互相学习.在解决了每个问题之后,我又注意了引导学生总结规律,发现结论.这样通过他们自己的努力,得出的结论,不仅使他们记忆犹新,还能建立自信心,提高能力.另外我从最新的中考试题中找出和课本相关的材料,让学生进行变式练习,拓宽了教材,锻炼了学生的解题能力,为一年后的中考作准备.课堂上,大多数学生发言非常积极,基本上不需要老师点名,大多是自觉地站起来争着发言,切实是激发了学生的学习兴趣,提高了学习效率,培养了他们自主探索的精神.在整个课堂教学过程中,教师围绕主题、围绕学生提问的多,给学生提问的时间和机会很少.在以后的教学中,要注意留时间让学生提出问题,然后师生共同讨论、交流,让学生的学习更富有主动性,真正做到是以学生为主体.。