备考2011高考数学基础知识训练(18)

备考2011高考数学基础知识训练（18）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题（每题5分，共70分）
1 ．满足
{}{}d c b a M b a ,,,,⊆⊆的集合M 的个数为___________
2 ．已知复数1
1i z =-，121i z z =+，则复数2z =
3 ．若
3'0(),()3f x x f x ==,则0x 的值为_________________;
4 ．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的逆否命题是r ，则p 与r 的关系是＿＿＿＿.
5 ．观察下列等式：
13=12
13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 ………………
则第n （n ∈N *
）个式子可能为 .
6 ．程序框图如下：
如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 （注：框图中的符号“=”为赋值符号，也可以写成“←”或“:=”）
7 ．已知3
121311.1,9.0,9.0===c b a
，则c b a ,,按从小到大顺序排列为 .
8 ．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体
中任取一个，其中恰有两面涂有颜色的概率是____________ 9 ．有下列命题
①若b a >,则22bc ac >;
②直线01=--y x 的倾斜角为45°,纵截距为-1;
③直线111:b x k y l +=与直线112:b x k y l +=平行的充要条件是21k k =且21b b ≠;
④当0>x 且1≠x 时,2lg 1
lg ≥+
x
x ; ⑤到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为0=-y x ; 其中真命题的是_______________
10．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1，2，
3，则此球的表面积为 ．
11．命题①：关于x 的不等式(a －2)x 2
＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题②：f(x)=－
(1－3a －a 2)x
是减函数.若命题①、②至少有一个为真命题,则实数a 的取值范围是________.
12．已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a b 与的夹角为135°，b c 与的夹角为120°，
2c =，则b =______________；
13．在ABC ∆中,
2AC BC ==,60B = ,则∠A
的大小是
__________;AB =_________.
14．有n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学编号依次为：1,2,
,n ，在游戏中，除
规定第ｋ位同学看到的像用数对(,)()p q p q <（其中q p k -=）表示外，还规定：若编号为ｋ的同学看到的像为(,)p q ，则编号为ｋ＋１的同学看到的像为(,)q r ，(,,)p q r N *∈，已知编号为1的同学看到的像为（4,5）
，则编号为5的同学看到的像是 、编号为n 的同学看到的像为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知πθ
θ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛
+4sin πθ的值.
16．已知直线a,b 是异面直线, 直线c//a, c 与b 不相交,
求证: b,c 是异面直线.
17．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1
）？
(参考数据: sin41°
18．如图，设1F 、2F 分别为椭圆C ：22
221x y a b
+= (0a b >>)的左、右焦点.
（1）设椭圆C 上的点3
(1,)2
A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，求椭圆C 的方程和离心率；
（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程.
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，32n
n a S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式
北
20
10 A B •
•C
（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起18-<n T ？
20．已知：函数f (x )满足对任意实数x ，y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+xy +1,且f （－2）=
－2.
（1）求f （1）的值;
（2）证明:对一切大于1的正整数t ，恒有f （t ）>t ; （3）试求满足f （t ）=t 的整数的个数，并说明理由.
参考答案
填空题 1 ．4 2 ．1
3 ．1± '2000()33,1f x x x ===±
4 ．互为否命题
5 ．4
)1(3212
22
3
3
3
+=++++n n n
6 ．10?k ≤ 或11?k <
7 ．c a b <<
8 ．
49
9 ．②③
10．
11．(－3,2]
12． 1
13．45°1
14．（14,19）、2288
(
,)22
n n n n -+++ ；
解答题 15．解:
πθθ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
3
cos ,0,52, 54531cos 1sin 2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=∴θθ.
4sin cos 4cos sin 4sin πθπθπθ+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴
22532254⨯+⨯=
10
2
7=
.
16．反证法
17．解：连接BC,由余弦定理得BC 2
=202
+102
－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=107。

∵
7
10120sin 20sin ︒
=ACB ，∴sin ∠ACB=73， ∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援。

18．解：（1）24a =，
22
191
4a b +=. 24a =，2
3b =. 椭圆的方程为22143x y +=，因为2221c a b =-=. 所以离心率12
e =. （2）设1KF 的中点为(,)M x y ，则点(21,2)K x y +.
又点K 在椭圆上，则1KF 中点的轨迹方程为
22
(21)(2)143
x y ++=.
19．（Ⅰ）当16,11
==a n ，当32,1=+>n n S a n ，3211=+--n n S a 相减得12
1
-=
n n a a 数列}{n a 为首项为16，公比为
21的等比数列1
)2
1(16-⋅=∴n n a （Ⅱ）n a n -=5log 2，182
9
22-<+-
=n n T n ，12>n 从13项起。

20．（1）解：令x =y =0，得f （0）=－1.
令x =y =－1，因f （－2）=－2，所以f （－1）=－2.
令x =1，y =－1，得f （0）=f （1）+f （－1）， 所以f （1）=1.
（2）证明：令x =1，得f （y +1）－f （y ）=y +2， 故当y ∈N 时，有f （y +1）－f （y ）>0.
由f（y+1）>f（y），f（1）=1可知，
对一切正整数y都有f（y）>0.
当y∈N时，f（y+1）=f（y）+y+2=f（y）+1+y+1>y+1.
故对一切大于1的正整数，恒有f（t）>t.
（3）解：由f（y+1）－f（y）=y+2及（1）可知f（－3）=－1，f（－4）=1.
下面证明t≤－4时，f（t）＞t.
∵t≤－4，∴－（t+2）≥2＞0.
∵f（t）－f（t+1）=－（t+2）＞0，
∴f（－5）－f（－4）＞0，
同理可得f（－6）－f（－5）＞0，f（t+1）－f（t+2）＞0，f（t）－f（t+1）＞0. 将各不等式相加得f（t）＞f（－4）=1＞－4.
∵t≤－4，∴f（t）＞t.
综上所述，满足条件的整数只有两个：1和－2.。