利用函数中间变量等价无穷小代换求极限

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等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换在求极限过程中的应用
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3 6
高 等 数 学 研 究
S TU DI ES N I CO LLEGE AT HEM A TI M CS
V o1 .5。 o.3 N Se p., 2 002
等 价 无 穷 小 代 换 在 求 极 限 过 程 中 的 应 用
价 。
推 论 设 a , , y是 自变 量 同 一变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量 , a 且 ~a , ~ , 则
() 1 当 与 不 等 价 时 , l 则 i m :l i m .
( ) a与 等 价 时 , 式 极 限未 必 成 立 。 2当 上
i m Sl
(。 )。 cs
解 c1 12i )( 去 ( ) 以 o —( 去 s ) 去 s = s ,n ~ , n i 所 原式 一 l( 2去)一i( )]一一 i1 ・ ! 1 { m— 。 m 一 。 j .


例 5 求
解 c ~一 + ~一 { 暑,以 。 等 寿, 暑+ ・ 所 s 一


利 用 定 理 2 于 是 ,

收 稿 E期 : O 1 O — 1 。 l 2 O 一 6 2
维普资讯
第 5卷 第 3期
李 秀 敏 、 灵 色 : 价 无 穷 小 在 求 极 限 过 程 中 的 应 用 王 等
3 7
原 式 =
一 1 。
— O+
( )i ( 一 ) 一 2l m 1
— O一
( l ( + l x) 1 3) i 1 n 一 一 m x
一 1
( ) i ( + ) 一 0 4 lm 1
一 O 一
( )1 A

求极限的普通10法

求极限的普通10法

求极限的普通10法1、利用定义求极限。

较难掌握,这里就不必写了!2、利用各种初等变形或消去零因子等来求!3、利用极限的运算性质及已知的极限来求!4、利用不等式即:夹挤定理!较难掌握,这里就不必写了!5、利用变量替换求极限!例如nmy y xy x x nm y nmx =--==--→→11lim 1:11lim 1111。

6、利用两个重要极限来求极限。

7、利用左、右极限来确定分段函数在分段点处的极限。

8、利用函数连续性质求极限。

9、用洛必达法则求,这是用得最多。

即,如果极限()lim()f xg x 为“00”型或“∞∞”未定式极限,且()lim()f xg x ''存在或为∞,则()lim()f x g x =()lim ()f xg x ''。

10、用泰勒公式来求,也就是等价量替换法求极限,这用得也很经常。

但要注意:若得到的值是0,则无效。

例如61)6(limsin lim 6;sin 330303=--=-⇒-≈→→x x x x x x x x x x x x x ,前者无效。

例题例1 求下列数列的极限 (1)lim )n n n →+∞;(2)12lim ()2n n nn →+∞+++- 。

解:(1)原式=limn=22limn=limnlimn n=12。

(2)原式=n +11lim ((1))22n n n n →∞+- =n +1lim ()222n n →∞+-=12。

例2 求下列函数的极限(1)cos limsin x x xx x→∞++;(2)322(1)(2)lim23x x x x x →∞+--+-;(3)201cos limx xx →-;(4)22sin(4)lim 2x x x →--。

解:(1)原式=cos 1lim1sin 1x xx x x→∞+=+;(2)原式=22999lim 923x x x x x →∞-+=+-; (3)方法一:利用洛必达法则,()lim()f x g x 为“00”型未定式极限,且()lim ()f xg x ''存在。

等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红

等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
80
自然就有一个疑问, 不能随意替代是不是有些情况下可以替 代? 那么在什么情况下可以代换呢? 还有对复合函数的内函
∞ 00
数, 以及求未定式极限1 ,∞ ,0 各 位 置 上 的 无 穷 小 量 等 情 况,求极限时能否用无穷小量代换 ? 文献 [1]、[2]并未作详细 论述。 笔者拟对此问题作进一步探析,说明其在具体求函数 极限中的应用。
1.等 价 无 穷 小 量 代 换 定 理 利用等价无穷小量定义和极限的运算性质,可推证等价 无 穷 小 量 代 换 求 函 数 极 限 的 重 要 结 论 , 下 面 给 出 文 献 [1]、 [2] 中的结论,称之为等价无穷小量代换定理。 定 理 [1]: 设 函 数 f,g,h在 U0 (x0 ) 内 有 定 义 , 且 有 f (x)~g (x) (x→x0)。
下面找到一些特殊且容易满足的条件, 使等价无穷小量
代换可以适合于极限的同一极限过程中的无穷小量 ,若
f(x),g(x)为同阶无穷小,且f(x)~f′(x),g(x)~g′(x),当lim g(x) f(x)
≠-1,则f(x)+g(x)~f′(x)+g′(x)。
f(x)
f(x)
推论1:设f(x),g(x)是在同一极限过程中的无穷小量 ,若f
(x),g (x) 为 同 阶 无 穷 小 , 且 f (x) ~f′ (x),g (x) ~g′ (x), 当 lim =
g(x) ≠1,则f(x)-g(x)~f′(x)-g′(x)。 f(x)
推 论2:设fi(x),gi(x)(i=1,2,… ,n)是 在 同 一 极 限 过 程 中
(包括口头的和书面的)和撰写小论文等情况综合评定。 在“初等数学研究”课程的教学中,对于学生的课中参与,

第7节 利用等价无穷小量代换求极限

第7节 利用等价无穷小量代换求极限

常用等价无穷小量: 常用等价无穷小量: 当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小量可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小量可给出函数的近似表达式 β α−β Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
例如, 例如 sin x = x +o( x ),
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
tan x ln(1 + x ) 例1 求 lim x→0 sin x 2

当x → 0时, sin x 2 ~ x 2 , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x .
tan x ln(1 + x ) x⋅ x = lim 2 = 1. 2 所以 lim x→0 x→0 x sin x
tan 2 x 例2 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
2
(2 x )2 原式 = lim =8 x →0 1 2 x 2
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
定理(等价无穷小量替换定理) 定理(等价无穷小量替换定理)
β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β ′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′

β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim α β′ α′ β′ = lim . α′

等价无穷小替换极限的计算

等价无穷小替换极限的计算

等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法,它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式,从而更容易求解。

在处理极限问题时,我们常常会遇到无穷小的概念,无穷小是指当自变量趋于一些值时,函数值趋于零,且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。

而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。

等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小,从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。

具体来说,我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。

1.正比无穷小替换:如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件:-当x趋于一些值c时,f(x)和g(x)的极限都为零;-存在一个非零常数k,使得当x趋于c时,f(x)和g(x)的比值趋于k那么,我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

2.同阶无穷小替换:如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件:-当x趋于一些值c时,f(x)和g(x)的极限都为零;-当x趋于c时,f(x)和g(x)的比值趋于1那么,我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

3.高阶无穷小替换:如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件:-当x趋于一些值c时,f(x)和g(x)的极限都为零;-存在一个正整数n,使得当x趋于c时,f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么,我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。

通过使用等价无穷小替换,我们可以简化极限的计算过程。

例如,对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限,我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x,从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。

同理,对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限,我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x,从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。

需要注意的是,等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小,要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。

利用等价无穷小代换法求极限札记

利用等价无穷小代换法求极限札记
stitution method are used,an d the proof and application examples a re given. Keywords mathematics analysis;infinitesimal;equivalent substitution;limit;L。Opida Rule
故有
n ) )为 o时 的无 穷 小 量 且有
口( )~p(x)( — x0)
(1)若 lim (x)_厂( )=A  ̄IIlim fl( ),( )一 ;



= 1+ lim
X-- ̄ X 0
定 理 1说 明对 于 无 穷 小量 的差 情 形 使 用 等 价 无 穷 小代 换
tion to by using the equivalent infinitesimal m inimum limit”is studied in depth,a n d several limits on the addition,subtraction,
multiplication and division of infnitesimal quantities and compou n d functions are given.The conditions ofthe equivalent in—
by the majority ofstudents.However,this method cannot be used under any circumstances,and a slight mistake in use can pro-
duce unexpected errors.In this paper,the discussion topic ofthe tutor in the classroom,”W hat problem s should be paid atten—

用等价无穷小代换求极限的两个误区

用等价无穷小代换求极限的两个误区

用等价无穷小代换求极限的两个误区
等价无穷小替换的误区:代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换;复合函数的中间变量不能做等价无穷小替换。

在一个变化过程中,a趋于0的速度和b趋于0的速度一样快,而且,在这个变化过程中它们比值的极限为1,比值的极限是1。

用等价无穷小替换原则是:整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换,而加减时一般不能用等价无穷小替换。

这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式,一般取了前面的1到3项。

如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数。

用得较多的是泰勒公式在x =0处的展开式。

在出现加减的式子中,如果要使用等价无穷小,就需要注意了,否则易算错。

对于f(x)/g(x)型:在使用等价无穷小替换时,如果分母(分子)是x的k次方,本着上下同阶的原则,应把分子(分母)展开到x的k次方。

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换在求极限过程中的应用极限计算是数学研究和计算中的重要方法,用于研究函数的变化趋势以及解决科学问题,可以在很多方面得到广泛的应用,包括物理学,化学,生物学,工程学,航空航天学等。

极限的求取是一个关键实践,等价无穷小是求取极限的一种重要方法。

等价无穷小是指在一定条件下,用更小而等价的量来取代原有无穷量,以不断增大拐点位置范围中的拐点个数,用极限函数表示终极趋势。

可以理解为,等价无穷小就是在一定条件下使用更小而相当于无穷大的量来求解极限。

极限的应用广泛,等价无穷小在求极限中常常用到。

比如,计算函数f(x)在某一点处的极限值,把x的值改变的量记作dx,可以利用等价无穷小来求解,即,假定dx是一种等价无穷小,把f(x)的值变成f(x+dx),那么对x的极限为:lim f(x)=f(x)+f`(x)dx,其中f`(x)是函数f(x)的导函数。

等价无穷小可以明确极限在某点存在的条件,以上例子即表明函数f(x)趋于f(x)在x处的极限值需要满足:f(x+dx)=f(x)+f`(x)dx,即f成线性函数关系,而且系数f`(x)当dx趋于0时不断减少到0,从而极限趋近某值。

从上面的例子可以看出,等价无穷小是一个相对有用的概念,它可以用来近似表达无穷大,在求解极限过程中,等价无穷小可以提供重要线索,让求极限更加容易,比如可以来分析函数的变化趋势,比如函数正常变化,函数趋于某一常数,函数趋于正无穷大或负无穷大等。

由此可见,等价无穷小在求取极限中是非常有用的。

总之,等价无穷小是一种实用的方法,可以用来求取极限。

它能够模仿无穷大,有助于我们更好的理解函数的变化趋势,更容易求取极限,从而让数学计算更加方便。

极限的计算方法无穷小代换和换元法

极限的计算方法无穷小代换和换元法

极限的计算方法无穷小代换和换元法极限的计算方法-无穷小代换和换元法极限是数学分析中的重要概念,用来描述函数在某一点趋近于某个值的过程。

在求解极限的过程中,无穷小代换和换元法是常用的计算方法。

本文将介绍这两种方法的基本原理和具体应用。

一、无穷小代换无穷小代换是一种基于极限的计算方法,利用无穷小量在极限运算中的性质来求解复杂的极限问题。

无穷小量是指在某一点的附近取值非常接近于零的量。

当函数在某一点存在极限时,可以利用与其极限等价的无穷小量来替换原函数,从而简化计算过程。

无穷小代换的基本原理是将原函数中的无穷小量替换为与之等价的无穷小量,并通过极限运算中的性质进行计算。

常见的无穷小代换包括以下几种:1. 高阶无穷小代换:当极限问题中存在多个无穷小量相乘或相除时,可以将其中的高阶无穷小量进行代换。

例如,当$x$趋近于零时,$x^2$相对于$x$来说是一个高阶无穷小量,可以将其替换为$x$进行计算。

2. 无穷大代换:当函数在极限点处趋于正无穷或负无穷时,可以将其替换为与之等价的无穷大量进行计算。

例如,当$x$趋近于正无穷时,可以将$\frac{1}{x}$替换为零进行计算。

通过使用无穷小代换,可以将复杂的极限问题简化为简单的代数运算,从而更容易求解极限的值。

二、换元法换元法是一种基于函数替换的计算方法,通过引入新的变量来简化复杂的极限问题。

通过选择合适的变量替换,可以将原函数转化为形式更简单的函数,从而求解极限。

换元法的基本原理是通过引入新的变量,改变原函数的形式,使其在极限运算中更易于计算。

常见的换元方法包括以下几种:1. 代数换元:通过引入新的代数变量,将原函数转化为更简单的代数表达式。

例如,在计算$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$时,可以引入新的变量$t=x$,将原函数转化为$\lim_{t\to 0}\frac{\sint}{t}$,进而求解极限的值。

2. 三角换元:当极限问题中涉及三角函数时,可以通过引入新的三角变量,将原函数转化为更简单的三角函数表达式。

等价无穷小替换公式常用

等价无穷小替换公式常用

等价无穷小替换公式常用在我们学习数学的漫漫长路中,等价无穷小替换公式可是个相当有用的“利器”。

咱先来说说啥是等价无穷小。

比如说,当 x 趋近于 0 的时候,sin x 和 x 就是等价无穷小。

这就好比两个好兄弟,在特定的情况下表现得几乎一模一样。

那等价无穷小替换公式常用在啥地方呢?我给您举个例子。

就说咱算极限的时候吧,有时候那式子复杂得让人头疼。

比如求当 x 趋近于 0 时,(sin x) / x 的极限。

这要是直接算,可不好弄。

但因为 sin x 和 x 是等价无穷小,咱就可以把 sin x 替换成 x ,那这式子一下子就变成了 x / x ,结果不就一目了然,是 1 嘛!再比如说,求当 x 趋近于 0 时,(1 - cos x) / (x^2) 的极限。

这时候,因为 1 - cos x 和 (x^2) / 2 是等价无穷小,咱们把 1 - cos x 替换成 (x^2) / 2 ,式子就变成了 [(x^2) / 2] / (x^2) ,约分一下,答案就是 1/2 。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个小家伙一脸迷茫地看着我,问:“老师,这东西到底有啥用啊?”我就笑着跟他说:“孩子,你想想啊,假如你要跑一段很长的路,是不是得找条近道儿能快点到达终点?这等价无穷小替换公式啊,就是咱数学解题里的近道儿!”那孩子似懂非懂地点点头。

后来做作业的时候,这孩子一开始还是不太会用,总是出错。

我就坐在他旁边,一点点给他讲,“你看啊,这就像你搭积木,得找到合适的那块才能搭得稳,这等价无穷小啊,就是那块合适的积木。

”慢慢地,他开始掌握了,作业做得越来越顺,脸上也露出了开心的笑容。

在考试的时候,这道题还真出现了。

这孩子一看到,眼睛都亮了,刷刷刷几下就做出来了。

后来成绩出来,他专门跑过来跟我说:“老师,多亏了您教的这个方法,我这次考得可好了!”所以说啊,等价无穷小替换公式就像是一把神奇的钥匙,能帮咱们打开很多难题的大门。

数学极限的求法

数学极限的求法

数学极限得求法常见:夹逼准则, 无穷小量得性质,两个重要极限,等价无穷小,洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式。

后四种不常见。

另外求代数式极限可参见课本P48上。

证明极限用定义证。

1:利用等价无穷小代换求极限当x 趋于0时等价,例如x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x ~1xexnx ax x x x x x x x x x na1~,~1)1(,21~cos 1,~arcsin ,~tan ,~sin 2当上面每个函数中得自变量x 换成)(x g 时(0)(x g ),仍有上面得等价关系成立,例如:当0x时,13xe~x3;)1ln(2x ~2x。

例:求4303lim (sin )2x xxx 解:Qsin22x x :4303lim (sin )2x xx x =4303lim ()2x x x x =4330lim 8x x x x=82:利用极限得四则运算性质求极限进行恒等变形,例如分子分母约去趋于零但不等于零得因式;分子分母有理化消除未定式;通分化简;化无穷多项得与(或积)为有限项。

例;求极限(1)2211lim21x x xx (2)312lim 3x x x(3)3113lim()11x x x(4) 已知111,1223(1)nx n n L L求lim nnx 解:(1)2211lim 21x x xx =1(1)(1)lim (1)(21)x x x x x =11lim21xx x =23(2)(2)=3(12)(12)lim(3)(12)xxxx x=33lim (3)(12)x x x x=14(3)3113lim ()11xx x=2312lim 1x xx x=21(1)(2)lim (1)(1)xx x x xx =212lim1xx xx =-1(4) 因为111,1223(1)nx n n L L 111111111122334411L Ln n n11n所以1lim lim(1)1nn nx n 3:利用两个重要极限公式求极限(1)sin 1lim lim sin 1x xx x x xg (2)11lim(1)lim(1)xxxxx ex例:求下列函数得极限[4](1)230lim lim cos cos cos cos 2222n n nx x x xL L (2)22lim(1)mmnm(3))1,0(,)(lim 10a a a x xxx解:(1)23cos cos cos cos 2222nx x x xL L =231sin cos cos cos cos sin 222222sin 2n nnxxxxxx x L L =1sin 2sin2nnxx 23lim cos cos cos cos 2222nnxx x xL L =1limsin 2sin2nnnx x sin =lim 2sin 2nnnx x =sin xx230lim lim cos cos cos cos 2222nx nx x xxL L =limxsin x x=1(2)22lim(1)mmnm=22222()2lim(1)mnmnmmnmg g =2222()2lim(1)mnm nmnmg =0e =1(3)xxxxa a 10)1(lim xxaxaxxxa a 10)1(lim xxxaxaxxxa a 0lim 1])1(lim [ae ea 1、4、利用两个准则求极限。

05 第5讲利用等价无穷小量的代换求极限

05 第5讲利用等价无穷小量的代换求极限
2

1 2 1 lim x sin lim x x x x x
2
lim x
x
例4
ln 1 x 2 sin x 求 lim x 0 tan x
ln 1 x 2 sin x lim x 0 tan x 1 ln(1 x) 2 sin x 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x
3
x 1 cos x ~ 2
2
x 1 x 1 ~ m
其中 , m , n N , a > 0 .
二. 计算例子
tan 3 x 求 lim x 0 sin 5 x
例1

tan 3 x 3x 3 lim lim x 0 sin 5 x x0 5 x 5
例2
tan x sin x 求 lim 3 x sin x
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsin x ~ x
tan x ~ x
arctan x ~ x
ln(1 x) ~ x
x 1 x 1 ~ 2
m
e 1 ~ x
x
(1 x) 1 ~ nx
n
a x 1 ~ x ln a
x tan x sin x ~ 2
1 设 lim z , 则 lim 0, z 1 0 , 故 lim z = . 由定理 1, 得 lim z
综上所述, lim z lim z .
3. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , ~ , 则 ~ .
传递性
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.

第六节 利用等价无穷小量因子代换求极限

第六节 利用等价无穷小量因子代换求极限

x0
a 1 b 1 c 1 lim lim lim x
x0
x
x
e
ln a ln b ln c
e
ln abc lim
a 1
x
x0
x
lim abc x0

x ln a
1

x
ln a lim
e
x ln a
1

x0
x ln a
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
elim g ( x )ln f ( x )
e
lim g ( x )ln 1 f ( x ) 1
elim g ( x ) f ( x )1
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
x 3x 1 (3) lim 2 x x 7
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
2.7 利用等价无穷小量因子代换求极限
lim f ( x) g ( x )
证明
e
lim g ( x ) f ( x ) 1
lim f ( x) g ( x ) lim e g ( x )ln f ( x )
x x x 3 x

等价无穷小替换公式的使用条件

等价无穷小替换公式的使用条件

等价无穷小替换公式的使用条件1.被替换的函数以及其无穷小量的关系:被替换的函数应该是无穷小量的高阶部分。

例如,当$x$趋向于无穷大时,如果函数$f(x)$在无穷大范围内,$f(x)$的高阶无穷小项比较占主导地位,那么可以将$f(x)$用高阶无穷小项替换。

2. 无穷小量的定义:无穷小量是当$x$趋向于一些特定值时,函数的变化量趋近于0的数量。

在等价无穷小替换中,我们常使用一些常见的无穷小量,如$dx$代表$\Delta x$或$\frac{1}{\sqrt{x}}$,$dt$代表$\Delta t$或$\frac{1}{\sqrt{t}}$等。

3.被替换函数的极限存在:在使用等价无穷小替换时,需要确保被替换的函数极限存在。

只有当函数在其中一点的极限存在时,才能进行等价无穷小替换。

4.右极限和左极限的一致性:在使用等价无穷小替换时,需要确保函数的右极限和左极限是一致的。

如果函数在无穷小区间内的右极限和左极限不一致,那么等价无穷小替换就不能使用。

5.对称性:等价无穷小替换公式通常满足函数的对称性。

例如,当$x$趋向于0时,$f(x)$的无穷小量与$f(-x)$的无穷小量的替换公式是相同的。

需要注意的是,在使用等价无穷小替换时,一定要慎重。

因为替换过程可能会引入误差,从而导致得到的结果不准确。

因此,在进行等价无穷小替换时,需要仔细分析被替换函数的特点,确保替换后的结果能够保持原来的性质。

此外,等价无穷小替换公式的使用条件还与具体的情况有关。

不同的函数可能需要不同的替换方法,因此在具体问题求解时,需要根据具体情况进行分析和判断。

掌握了等价无穷小替换公式的使用条件,可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识,提高问题求解的效率。

常用的等价无穷小替换公式

常用的等价无穷小替换公式

常用的等价无穷小替换公式在微积分中,等价无穷小替换公式是一种常用的方法,用于求解极限问题。

通过将一个复杂的函数替换为一个等价的简单函数,可以简化计算过程并得到更加精确的结果。

本文将介绍一些常用的等价无穷小替换公式,并说明它们的应用场景。

1. sin(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时,可以使用sin(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。

这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) sin(x)/x 的极限问题。

通过将sin(x) 替换为 x,可以将原问题转化为求解常数的极限,简化计算过程。

2. tan(x) ≈ x当 x 趋向于 0 时,可以使用tan(x) ≈ x 进行等价无穷小替换。

这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) tan(x)/x 的极限问题。

通过将tan(x) 替换为x,可以将原问题转化为求解常数的极限,简化计算过程。

3. e^x - 1 ≈ x当 x 趋向于 0 时,可以使用 e^x - 1 ≈ x 进行等价无穷小替换。

这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) (e^x - 1)/x 的极限问题。

通过将e^x - 1 替换为x,可以将原问题转化为求解常数的极限,简化计算过程。

4. ln(1 + x) ≈ x当 x 趋向于 0 时,可以使用ln(1 + x) ≈ x 进行等价无穷小替换。

这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ln(1 + x)/x 的极限问题。

通过将 ln(1 + x) 替换为 x,可以将原问题转化为求解常数的极限,简化计算过程。

5. (1 + x)^n ≈ 1 + nx当 x 趋向于 0 时,可以使用(1 + x)^n ≈ 1 + nx 进行等价无穷小替换。

这个公式可以用于求解诸如lim(x→0) ((1 + x)^n - 1)/x 的极限问题。

通过将 (1 + x)^n 替换为 1 + nx,可以将原问题转化为求解常数的极限,简化计算过程。

6. sin(x) ≈ x - x^3/6当 x 趋向于 0 时,可以使用sin(x) ≈ x - x^3/6 进行等价无穷小替换。

常用的等价无穷小替换公式

常用的等价无穷小替换公式

常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中,我们常常会遇到无穷小的概念。

无穷小是指当自变量趋于某个值时,相应的函数值趋近于零的量。

在数学中,无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。

二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时,我们常常会用到等价无穷小替换公式,这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。

下面是一些常见的等价无穷小替换公式:1. 当x趋于零时,sin(x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。

例如,当x趋于零时,lim(x→0) sin(x)/x = 1。

2. 当x趋于零时,tan(x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。

例如,当x趋于零时,lim(x→0) tan(x)/x = 1。

3. 当x趋于零时,ln(1+x)与x等价。

这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。

例如,当x趋于零时,lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。

4. 当x趋于无穷大时,e^x与x^n等价。

这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。

例如,当x 趋于无穷大时,lim(x→∞) e^x/x^n = ∞,其中n为任意正整数。

5. 当x趋于无穷大时,sinh(x)与e^x等价。

这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。

例如,当x趋于无穷大时,lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。

6. 当x趋于无穷大时,(1+1/x)^x与e等价。

这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。

例如,当x趋于无穷大时,lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

以上只是一些常见的等价无穷小替换公式,它们在求极限的过程中起到了重要的作用。

通过使用这些公式,我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。

三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。

例一:求极限lim(x→0) sin(3x)/x。

根据等价无穷小替换公式1,我们知道sin(3x)与3x等价,所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。

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间变 量是 无穷 小 但 函数 本 身 并 不 是 无 穷 小 时 , 能 否 用其 等 价无 穷小 来代 替 , 还不 得 而知 . 先 来看 下 面两个 例 子.
用命题 2 对 无穷 小进 行 等价 代换 . 这里 , 仍使 用 洛必
达法 则进 行计 算 .
i m
一0 +
; l n x
命 题 2 文 献[ 1 ] 设a ~a , 卢 ~ , 且l i m

对无 穷 小进 行等 价代 换. 这里 , 使用 洛必 达法 则进 行
计算 .
存在 , 则 l i m卫 一 l i m

i m
了 x e x

z一0 十 e 一 一

由命 题 2得 知 , 求 两个 无穷 小 之 比的极 限 时 , 分 子和 分母 都可 用相 应 的等 价 无 穷 小来 代 替 , 如 果 用
穷 小 的代 换 得 到 了极 限 的简 化 计 算 方 法 .
关 键 词
中 间 变量 ; 等价无穷小 ; 代换 ; 极 限
文献 标 识 码 A 文 章 编 号 1 0 0 8 — 1 3 9 9 ( 2 0 1 5 ) 0 5 — 0 0 0 5 — 0 2
中 图 分 类 号 O1 7 1
利 用 函 数 中 间 变 量 等 价 无 穷 小 代 换 求 极 限
倪 华, 田 立 新
( 江苏大 学 理 学院, 江苏 镇 江, 2 1 2 0 1 3 )

要 研 究 了 一 类 极 限 , 极 限 中 函 数 的 中 间变 量 是 无 穷 小 , 但 函数 本 身并 不是 无 穷 小 , 利 用 中 间变 量 等价 无
第 1 8卷 第 5期
2 0 1 5年 9 月
高 等 数 学 研 究
S T U DI ES I N C0 LLEGE M A T H EM A TI CS
Vo l _ 1 8 , No . 5 Se p.,201 5
d o i :1 0 . 3 9 6 9 / j . i s s n . 1 0 0 8 — 1 3 9 9 . 2 0 1 5 . 0 5 . 0 0 3
us es t he e qu i va l e nt i nf i ni t e s i ma l s ubs t i t ut i o n t O obt a i n a s i m pl i f i e d me t ho d o f l i mi t c om put at i o n.
Fi n di ng t he Li mi t b y Us i ng Fu nc t i o n a l I nt e r me d i a t e
Va r i a bl e Equ i v a l e nt I nf i n i t e s i ma l S u bs t i t u t i o n
则得 到 的结果 . 两 个例 子 中 , 分 子都 是 复 合 函数 , 中 间变量 都是 趋 向于 零 时 的无 穷小 , 但 函数 本 身并 不 是无 穷小 . 如果 对 复 合 函数 的 中 间变 量 能 用其 等

解 虽 然 当 z一 0 。 。 时, l n ( 1 + ) ~ z, 但 极 限
式中 i n ( 1 + ) 并不 是作 为相 乘或 相 除 的因式 , 而且 函数 本 身 I n i n ( 1 +z ) 并 不是 无穷 小 , 因此也 不 能利
无穷 小来 代 替. 尤 其对 于 复合 函数 , 当复合 函数 的 中
NI Hu a, TI A N Li xi n
( Sc h o o l o f s c i e n c e , J i a n g s u Un i v e r s i t y , Zh e  ̄i a n g 2 1 2 0 1 3,PRC)
Ab s t r a c t : Th i s p a p e r s t u d i e s a k i n d o f l i mi t s ,wh o s e i n t e r me d i a t e v a r i a b l e i s e q u i v a l e n t t O a n i n f i n i t e s i ma l ,a n d
= i m
+o + Ll 十 z
I n
l十
一 1
上述 两 个例 子 中 , 两个 极 限 都是 利 用 洛 必达 法
收 稿 日期 : 2 0 1 4 — 0 9 — 0 2 基金项 目: 江 苏 大 学 高 级 人 才 基 金 资 助 项 目( 1 4 J D G1 7 6 )
Ke y wo r d s : i n t e r me d i a t e v a r i a b l e ;e q u i v a l e n t i n f i n i t e s i ma l ;s u b s t i t u t i o n;l i mi t
关 于等 价无 穷小 , 有 下面 两个命 题 . 命题 1 文 献E l - ]
来 代 替 的无穷 小选 择适 当的话 , 可 以使计 算 简化 . 但 并 不 是所 有 的无 穷 小 都 可用 其 等价 无 穷 小 来 代 替 , 而 只能对 作 为相 乘或 相 除 的因式 的无穷 小用 其 等价x
l i m e 一 1
必要 条 件 为
一 a+ o ( 2 1 )
例1 l i m 掣
一 0 +
与 a是 等价 无穷 小 的充分
l nx

解 虽 然 当 x一 0 时 , e 一1 ~ x, 但 极 限式 中 e 一1 并 不是 作 为相 乘 或 相 除 的 因式 , 而 且 函数本 身 l n ( e 一1 ) 并 不是 无穷 小 , 因此并 不 能利用 命题 2
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