25平面向量应用举例

1.长方形对角线的长度 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 何关系？ A 2.类比猜想，平行四形有相似关系吗？ 类比猜想， 类比猜想 平行四形有相似关系吗？ B
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？ 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 三步曲” “三步曲”：
2.5平面向量应用举例
平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背景和 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后， 几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 量的运算就可以完全转化为“代数”的计算， 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大 的方便。 的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此， 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。 可以解决平面几何中的一些问题。
问题： 问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur DB = AB − AD, AC = AB + AD,
D C
猜想： 猜想：
例1。一条河的两岸平行，河宽d = 500m，一艘 船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度 ur uu r v1 = 10km / h，水流的速度 v2 = 2km / h， 问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
V
r ur uu r 分 析 ： 如 图 ， 已 知 v = v 1 + v 2， ur uu r v1 = 1 0 k m / h , v 2 = 2 k m / h， r uu r v ⊥ v 2， 求 t .
共线， 共线，
D E R F T B C
uuur uuur r 1r 所以设ER = m EB = m (a − b ) 2
u u ur u u ur u u ur 因为 A R = A E + E R
r 1 r r 1 r 所以 r = b + m ( a − b ) A 2 r r 2
r 1 r 1 r 因 此 n(a + b ) = b + m (a − b ) 2 2
解：由已知条件得 v ⋅ v2 = 0
r | v |= | v1 |2 − | v 2 |2 =
96 ( km / h ),
所以
d 0.5 t= = × 60 ≈ 3.1(min). |v| 96
【思考】日常生活中,我们有时要用同样长 的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的 最大拉力为F, F,物体受到的重力为G。你能否 F, G 用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大 F 小与两绳之间的夹角θ的关系？
2 2 2
( )( )
2
= a −b = a − b
= r2 − r2 = 0
即 AC ⋅ CB = 0 ，∠ACB=90°
小结： 小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 ）建立平面几何与向量的联系， 示问题中涉及的几何元素， 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 ）通过向量运算， 如距离、夹角等问题； 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 ）把运算结果“翻译”成几何元素。
1. θ逐渐增大时，1 的大小怎样变化，为什 么？ 当 逐渐增大时， 的大小怎样变化， F
2.θ为何值时，1 最小，最小值是多少？ F 为何值时， 最小，最小值是多少？ 3.θ为何值时，1 = G ？ 为何值时， F
小结: 小结:
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下 用向量中的有关知识研究物理中的相关问题 步骤如下
D E R
F T
Байду номын сангаас
C
B m −1 r r r )b = 0 即 ( n − m )a + ( n + 2
r r 由 于 向 量 a , b 不 共 线， n n − + m = 0 m − 1 = 2 0
A
1 解 得 ： n= m = 3
uuur 1 uuur uuu 1 uuur r uuur 1 uuur 所 以 AR = AC , 同 理TC = AC , 于 是 RT = AC 3 3 3
故AT=RT=TC
练习、 练习、证明直径所对的圆周角 是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC ⊥ CB，即 AC ⋅CB = 0 。
C
r a
r b
O
B
解：设 AO = a, OC = b
则 AC = a + b, CB = a − b ， 由此可得： ⋅ CB = a + b a − b AC
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 ）建立平面几何与向量的联系， 示问题中涉及的几何元素， 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 ）通过向量运算， 系，如距离、夹角等问题； 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 ）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
A
E
R
u u ur r uuur r uuur r r uuur r 解：设 A B = a , A D = b , A R = r , 则 A C = a + b uuur uuur r r r 共线， 由于 A R 与AC 共线，故设r = n(a + b ), n ∈ R
u u ur u u ur 又因为 E R 与 E B
如图， 例2 如图， ABCD中，点E、F分别 中 、 分别 边的中点， 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 边的中点 分别 交于R 两点， 与AC交于 、 T两点，你能发现 交于 两点 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 之间的关系吗？ 之间的关系吗
D F T B C
猜想： 猜想： AR=RT=TC
1.问题的转化 即把物理问题转化为数学问题 问题的转化,即把物理问题转化为数学问题 问题的转化 即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立 即建立以向量为主题的数学模型 模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型 模型的建立 即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得 即求出数学模型的有关解 参数的获得,即求出数学模型的有关解 理论参数值. 参数的获得 即求出数学模型的有关解------理论参数值 理论参数值 4.问题的答案 即回到问题的初始状态 解释相关的物理现象 问题的答案,即回到问题的初始状态 解释相关的物理现象. 问题的答案 即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象