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2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用

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高中数学课时跟踪检测十七数学归纳法新人教A版选修2_2

高中数学课时跟踪检测十七数学归纳法新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十七） 数学归纳法层级一 学业水平达标1．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋… ＋12k，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n ＞2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对解析：选B 由n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋2时命题也成立，又n ＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式 n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( ) A．2 B．4C．8 D．16解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.答案：107．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2＞12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2＞12－1k＋38．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：59．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n ＋3)．证明：(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k ＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．则当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k ＋3)2＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋(2k ＋2)[(2k ＋1)(2k ＋2)－(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7) ＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]， 即当n ＝k ＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *结论成立．10．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．层级二 应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1C ．f (k ＋1)＝f (k )＋kD ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4．若命题A (n )(n ∈N *)n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：选C 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为____________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2. 答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1.则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n ∈N *，等式成立． 上述证明中的错误是________．解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案：没有用归纳假设7．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明：(1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22，∴a 2＝22. ∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1)2.∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2k 2＝(k ＋1)2k 2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2.这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2(n －1)2.∴这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，n 2(n －1)2(n ≥2).。

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(三) 排列与排列数公式 Wor

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(三) 排列与排列数公式 Wor

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（三）排列与排列数公式层级一学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2，3，4，5中选2个数组成集合解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A．6 B．4C．8 D．10解析:选B 列树形图如下:丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．若A错误!＝132,则n等于( ）A．11 B．12C．13 D．14解析：选B 因为A2n＝132，所以n(n－1）＝132，n2－n－132＝0，所以n＝12或n＝－11(舍去）．4．已知A错误!－A错误!＝10，则n的值为（)A．4 B．5C．6 D．7解析：选B 因为A错误!－A错误!＝10,则（n＋1)n－n（n－1）＝10,整理得2n＝10，即n ＝5.5．从1,3，5,7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是（）A．9 B．10C．18 D．20解析：选C lg a－lg b＝lg错误!,从1,3,5,7，9中任取两个数分别记为a,b,共有A错误!＝20种，其中lg错误!＝lg错误!，lg错误!＝lg错误!，故其可得到18种结果．6．计算：错误!＝__________。

解析：因为A错误!＝7×6×A错误!，A错误!＝6×A错误!，所以原式＝错误!＝36.答案：367．从a，b，c，d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列．解析:画出树形图如下：可知共12个．答案：128．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．解析:将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来．分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有A错误!种不同方法;第2类，挂2面旗表示信号，有A错误!种不同方法;第3类，挂3面旗表示信号,有A错误!种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A错误!＋A错误!＋A错误!＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．答案：159．（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本,共有多少种不同的送法？（2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学,每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A错误!＝7×6×5＝210种不同的送法．(2）从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理,共有不同的送法7×7×7＝343种．10．（1）解关于x的方程：错误!＝89；(2）解不等式:A错误!>6A错误!.解：（1）法一：∵A错误!＝x(x－1）(x－2)（x－3)（x－4)·(x－5）（x－6)＝（x－5）(x －6）·A错误!，∴错误!＝89。

2017-2018学年高中数学(选修2-3)课时跟踪检测(三)排列(习题课)含答案

2017-2018学年高中数学(选修2-3)课时跟踪检测(三)排列(习题课)含答案

课时跟踪检测（三)排列（习题课）一、选择题1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种解析：选A 分类完成,甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A错误!种安排方法；甲排周二,乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排,有A错误!种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A错误!种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A错误!＋A错误!＋A错误!＝20种不同的安排方法．2．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（)A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B 利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列,有A错误!种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入,有A2，6种排法，所以共有A错误!·A错误!＝3 600种排法．3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（)A．324 B．328C．360 D．648解析：选B 若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位,有A29种排法；若个位数不是0, 先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数（不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数(包括0）中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A错误!＋256＝328.4．直线Ax＋By＝0的系数A,B可以在0,1，2，3，5，7这六个数字中选取,则这些方程所表示的不同直线有（)A．30条B．23条C．22条D．14条解析：选B 当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0;当A＝0,B≠0时，表示直线y＝0；当A≠0,B＝0时,表示直线x＝0;当A≠0，B≠0，A≠B时有A错误!条直线，故共有1＋1＋1＋A错误!＝23条直线．5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有( ）A．210个B．300个C．464个D．600个解析：选B 个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有错误! A错误!A错误!＝300个．二、填空题6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A错误!＝30种情形．答案：307．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________．（用数字作答）解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A1，3种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课,有A1，4种安排方法；其余4节课无约束条件，有A错误!种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A错误!·A错误!＝288。

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(七)函数的最大(小)值与

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课时跟踪检测（七） 函数的最大(小)值与导数层级一 学业水平达标1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1D ．不确定解析： 选A 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A. 2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 3．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.5．函数y ＝ln xx的最大值为( ) A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln xx 2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x －1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：147．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________．解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x ＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0. 答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ，∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1，由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.2．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 因为f (x )的图象始终在g (x )的上方，所以|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，设h (x )＝x 2－ln x ，则h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝2x 2－1x ＝0，得x ＝22，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以当x ＝22时有最小值，故t ＝22.4．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3.5．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0.答案：(－∞，0)6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解之得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.8．已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在 (a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

2018年高中数学人教A版选修2-3模块综合检测习题含解析

2018年高中数学人教A版选修2-3模块综合检测习题含解析

人教A版2018-2019学年高中数学选修2-3习题模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同走法的种数是()A.9B.24C.3D.1解析:由分步乘法计数原理得,不同走法的种数是3×2×4=24.答案:B2.设随机变量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)等于()A pC.1-2pB.1-pD-p解析:∵P(ξ>1)=p且对称轴为ξ=0,知P(ξ<-1)=p,∴P(-1<ξ<0)=--p.答案:D3.用数字1,2,3和减号“-”组成算式进行运算,要求每个算式中包含所有数字,且每个数字和减号“-”只能用一次,则不同的运算结果的种数为()A.6B.8C.10D.12答案:D4.在一次独立性检验中,得出列联表如下:A合计B合计200180380800a800+a1000180+a1180+a且最后发现,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是()A.200B.720C.100D.180解析:A和B没有任何关系,也就是说,对应的比例和基本相等,根据列联表可得和基本相等,检验可知,B选项满足条件.答案:B5.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状、质地都相同)的盒子中随机摸出3个球,用ξ表示摸出的黑球个数,则P(ξ≥2)的值为()A B C D解析:根据条件,摸出2个黑球的概率为,摸出3个黑球的概率为,故P(ξ≥2)=答案:C6.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是()A.[0.4,1)C.(0,0.4]B.(0,0.6]D.[0.6,1)解析:设事件A发生一次的概率为p,则事件A的概率可以构成二项分布,根据独立重复试验的概率公式可得p(1-p)3p2(1-p)2,即可得4(1-p)≤6p,p≥0.4.又0<p<1,故0.4≤p<1.答案:A7.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是()A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)解析:由曲线X的对称轴为x=μ1,曲线Y的对称轴为x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;由图象知σ1<σ2,且均为正数,∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;对任意正数t,由题中图象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错.答案:C8.小明、小光、小亮、小美、小青和小芳6人排成一排拍合影,要求小明必须排在从右边数第一位或第二位,小青不能排在从右边数第一位,小芳必须排在从右边数第六位,则不同的排列种数是() A.36 B.42 C.48D.54解析:若小明排在从右边数第一位有种排法;若小明排在从右边数第二位,则有种排法.所以不同的排列种数是=42.答案:B9.设a为函数y=sin x+cos x(x∈R)的最大值,则二项式-的展开式中含x2项的系数是()A.192C.-192B.182D.-182解析:由已知 a=2,则 T k+1=(a )6-k -=(-1)ka 6-k · x 3-k .令 3-k=2,则 k=1,含 x 2 项的系数为- 25=-192.答案:C10.某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁 中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 s .如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是( )A.1 205 s C.1 195 sB.1 200 sD.1 190 s解析:共有=120 个闪烁,119 个间隔,每个闪烁需用时 5 s,每个间隔需用时 5 s,故共需要至少120×5+119×5=1 195(s).答案:C11.某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是 构造数列{a n },使 a n =S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,则 S 2=2,且 S 8=2 时的概率为()AB CD当第 次出现正面时- 当第 次出现反面时记解析:当前 2 次同时出现正面时,S 2=2,要使 S 8=2,则需要后 6 次出现 3 次反面,3 次正面,相应的概率为P=答案:D12.用四种不同颜色给图中的 A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )A.288 种 C.240 种B.264 种D .168 种解析:先涂 A ,D ,E 三个点,共有 4×3×2=24 种涂法,然后再按 B ,C ,F 的顺序涂色,分为两类:一类是 B 与E 或 D 同色,共有 2×(2×1+1×2)=8 种涂法;另一类是 B 与 E 与 D 均不同色,共有 1×(1×1+1×2)=3 种涂法.所以涂色方法共有 24×(8+3)=264 种.答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产出一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期可获利元.解析:50×0.6+30×0.3-20×0.1=37(元).答案:3714.已知随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=4,η=2ξ+3,D(η)=3.2,则P(ξ=2)=.解析:由已知np=4,4np(1-p)=3.2,∴n=5,p=0.8,∴P(ξ=2)=p2(1-p)3=答案:15.设二项式-(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=16A,则a的值是.解析:由T k+1=x6-k-=(-a)k-,得B=(-a)4,A=(-a)2.∵B=16A,a>0,∴a=4.答案:416.1号箱中有同样的2个白球和4个红球,2号箱中有同样的5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出1球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出1球,则从2号箱中取出红球的概率是.,解析:“从2号箱中取出红球”记为事件A,“从1号箱中取出红球”记为事件B,则P(B)= P()=1-P(B)=,P(A|B)=,P(A|)=故P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.(12 分)已知(a 2+1)n 展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,且(a 2+1)n 的展开式中系数最大的项等于 54,求 a 的值.分析首先根据条件求出指数 n ,再使用二项式展开的通项公式及二项式系数的性质即可求出结果 解: 的展开式的通项为T k+1=- - -令 20-5k=0,得 k=4, 故常数项 T 5==16.又(a 2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2n ,由题意知 2n =16,得 n=4.由二项式系数的性质知,(a 2+1)4 展开式中系数最大的项是中间项 T 3,故有a 4=54,解得 a=±18.(12 分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心),给 50 个患者服用此药,给另外 50 个患者服 用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表:服用药物 服用安慰剂 合计有恶心15 4 19无恶心 35 46 81合计 50 50 100试问此药物有无恶心的副作用?分析根据列联表中的数据代入公式求得 K 2 的观测值,与临界值进行比较判断得出相应结论.解:由题意,问题可以归纳为独立检验假设 H 1:服该药物(A )与恶心(B )独立.为了检验假设,计算统计量K 2 的观测值 k=-7.86>6.635.故拒绝 H 1,即不能认为药物无恶心副作用,也可以说,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 该药物有恶心的副作用.19.(12 分)某 5 名学生的总成绩与数学成绩如下表:学生 总成绩 x/分 数学成绩 y/分A 482 78B 383 65C 421 71D 364 64E 362 61(1)画出散点图;(2)求数学成绩对总成绩的回归方程;(3)如果一个学生的总成绩为 450 分,试预测这个学生的数学成绩(参考数据:4822+3832+4212+3642+3622=819 794,482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760). 分析利用回归分析求解.解:(1)散点图如图所示:(2)设回归方程为x+,--0.132,---0.132=14.6832,所以回归方程为=14.6832+0.132x.(3)当x=450时,=14.6832+0.132×450=74.0832≈74,即数学成绩大约为74分.20.(12分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和均值.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为X123P所以E(X)=1+2+321.(12 分)为振兴旅游业,某省面向国内发行总量为 2 000 万张的优惠卡,向省外人士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到该省旅游,其中 是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银卡.(1)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率;(2)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及均值E (ξ).分析先计算出省外、省内的游客人数,及持有金卡、银卡的人数,再运用概率知识求解.解:(1)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”,事件 A 1 为“采访该团 3 人 中,1 人持金卡,0 人持银卡”,事件 A 2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”.P (B )=P (A 1)+P (A 2)=所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.P (ξ=0)= ,P (ξ=1)=P (ξ=2)= ,,P (ξ=3)=所以 ξ 的分布列为ξ0 1 2 3P所以 E (ξ)=0 +1 +2 +3 =2.22.(14 分)袋子 A 和 B 中均装有若干个大小相同的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 ,从 B中摸出一个红球的概率为 p.(1)从 A 中有放回地摸球,每次摸出 1 个,有 3 次摸到红球即停止. ①求恰好摸 5 次停止的概率;②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列及均值.(2)若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.解:(1)①恰好摸5次停止的概率为②随机变量X的可能取值为0,1,2,3.∵P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=1-∴随机变量X的分布列为X0123PE(X)=0+1+2+3=,故随机变量X的均值为(2)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由题意得,解得p=。

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(三)几个常用函数的导数和

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课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( )A ．10B ．－5x 23C ．5D ．－10 解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D. 4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. 6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e.∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1ex －e y ＝0 7．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x ，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1. 答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)．答案：(0，－a 2)9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .(5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为() A.12523 B.110523C.25523 D.110523解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时， s ′＝15·1544＝110523.2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x 2＝－1，所以x ＝±1， 则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1 D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B. 5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2.故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0.答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a(x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测（一）两..

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测（一）两..

课时跟踪检测（一） 两个计数原理及其简单应用层级一 学业水平达标1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )A．24种 B．9种C．3种 D．26种解析：选B 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9种，从其中任选一本阅读，共有9种选法． 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9解析：选D 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( ) A．30个 B．42个C．36个 D．35个解析：选C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a 有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种 B．20种C．25种 D．32种解析：选D 每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32种．5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60 B．48C．36 D．24解析：选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)． 6．已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，能组成log a b>1的对数值有________个．解析：分四类，当a＝2时，b取3,5,7,9四种情况；当a＝4时，b取5,7,9三种情况；当a＝6时，b取7,9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又log23＝log49，所以对数值有9个．答案：97．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 解析：由题意知本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328个没有重复数字的三位偶数．答案：3288.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：139．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．解：分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个．由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15个“渐降数”．10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．层级二 应试能力达标1.由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为( )A．12 B．24C．48 D．32解析：选D 依据分步乘法计数原理，由数字1,2,3,4组成有重复数字的三位奇数共有2×4×4＝32个．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B 由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．3．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有( )A．81 B．64C．14 D．12解析：选B 对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种放法．4．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．34 B．43C．12 D．以上都不对解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．5．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．解析：先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形． 答案：2n(n－1)6．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种方法．所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880种．答案：2 8807．某校高二共有三个班，各班人数如下表.男生人数 女生人数 总人数高二(1)班 30 20 50高二(2)班 30 30 60高二(3)班 35 20 55(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．8．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法．(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4种取法．。

【高中同步】2018人教A版选修2-3：课时检测：模块综合检测 Word版含解析

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模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的有()①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B．2．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有() A．24种B．52种C．10种D．7种解析：选A因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．3．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则(D(X))2(E(X))2等于()A．p2B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不对解析：选B因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以(D(X))2 (E(X))2＝[np(1－p)]2(np)2＝(1－p)2．故选B．4．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是() A．1 B．－1C．0 D．2解析：选A令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4．所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1．5．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④解析：选B ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大．6．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4]解析：选C 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．7．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0．9,0．8,0．7，那么此系统的可靠性为( )A ．0．504B ．0．994C ．0．496D ．0．06解析：选B A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P ＝1－(1－0．9)×(1－0．8)(1－0．7)＝1－0．1×0．2×0．3＝0．994．8．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0．02．设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于( )A ．0．2B ．0．8C ．0．196D ．0．804解析：选C 因为由题意知该病的发病率为0．02，且每次试验结果都是相互独立的，所以ξ～B (10,0．02)，所以由二项分布的方差公式得到D (ξ)＝10×0．02×0．98＝0．196．故选C ． 9．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )A ．141B ．191C ．211D ．241解析：选B 由题意，x ＝－1＋3＋8＋12＋175＝7．8，y ＝3＋40＋52＋72＋1225＝57．8，因为回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，所以57．8＝6×7．8＋a ^，所以a ^＝11，所以y ^＝6x ＋11，所以x ＝30时，y ^＝6×30＋11＝191，故选B ． 10．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )A ．72B ．96C ．108D ．120解析：选B 颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可能是1,3或1,5或2,5或3,5．对每种情况涂色有A 44＝24种，所以一共有96种．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C ．⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0， 13 解析：选B 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1． 12．(全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1．不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫342＝916． 所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2次试验中成功次数E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32．法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32．答案：3214．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表根据列联表数据，求得K 2≈__________．解析：由计算公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7．469． 答案：7．46915．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析：十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16．答案：1616．某射手射击1次，击中目标的概率是0．9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0．9；②他恰好击中目标3次的概率是0．93×0．1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0．14．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0．9，正确；②恰好击中目标3次的概率应为C 34×0．93×0．1；③4次射击都未击中的概率为0．14； 所以至少击中目标1次的概率为1－0．14． 答案：①③三、简答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r2， 令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16． 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n＝16，得n＝4．由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有C24a4＝54，解得a＝±3．18．(本小题满分12分)(全国甲卷)某险种的基本保费为a(单元：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝1－(0．30＋0．15)＝0．55．(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0．1＋0．05＝0．15．又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311．因此所求概率为3 11．(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0．85a×0．30＋a×0．15＋1．25a×0．20＋1．5a×0．20＋1．75a×0．10＋2a×0．05＝1．23a．因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1．23．19．(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)岁的人为“中年人”，[60,80]岁的人为“老年人”．(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01)×10＝0．2， 故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0．2＝120，故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%＝12 000．所调查的600人的平均年龄为25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(岁)． (2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为15，所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15，分析可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125． 所以X 的分布列为EX ＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35．⎝⎛⎭⎫或EX ＝3×15＝3520．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i ．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0．2y －x ．根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u ．解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6．8＝100．6， 所以y 关于w 的线性回归方程y ^＝100．6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100．6＋68x ． (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100．6＋6849＝576．6，年利润z 的预报值z ^＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0．2(100．6＋68x )－x ＝－x ＋13．6x ＋20．12．所以当x ＝13.62＝6．8，即x ＝46．24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．21．(本小题满分12分)PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2．5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)从这15天的PM2．5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率．(2)从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望．(3)以这15天的PM2．5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．解：(1)记“从15天的PM2．5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，P (A )＝C 15C 210C 315＝4591．(2)依据条件，ξ服从超几何分布：ξ的可能值为0,1,2,3， 其分布列为：P (ξ＝k )＝C k 5C 3－k10C 315(k ＝0,1,2,3)．则E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1，(3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P ＝1015＝23， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η， 则η～B ⎝⎛⎭⎫360，23， 所以E (η)＝360×23＝240，所以一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级．22．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)由分层抽样得收集的女生样本数据为300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得2×(0．150＋0．125＋0．075＋0．025)＝0．75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0．75．(3)由(2)知，300名学生中有300×0．75＝225人的每周平均体育运动时间超过4个小时．75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2的观测值k＝300×(－2 250)275×225×210×90≈4．762>3．841．在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．。

[学习资料]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(七)二项式定理-含解析

[学习资料]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(七)二项式定理-含解析

课时跟踪检测（七） 二项式定理层级一 学业水平达标1．(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．8解析：选C ∵(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n 的展开式共有12项，∴n ＝11．故选C ．2．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )A ．－210B ．210C ．－120iD ．－210i解析：选A 由通项公式得T 7＝C 610·(－i)6＝－C 610＝－210．3．已知⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A ．17B ．－17C ．7D ．－7解析：选B T 4＝C 37x 4⎝⎛⎭⎫－1x 3＝5，∴x ＝－17． 4．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( ) A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C ∵T 5＝C 4n (x )n －4·⎝⎛⎭⎫－2x 4＝24·C 4n x n －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12． 5．(湖南高考)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A ．6．(全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r 2． 令5－r 2＝3，得r ＝4． 故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10． 答案：107．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞1，C 162x ＞C 26(2x )2.解得112＜x ＜15． 答案：⎝⎛⎭⎫112，158．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______．(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12． 答案：129．若二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．解：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－3r 2， 令6－3r 2＝3，则r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2； 令6－3r 2＝0，则r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4． 由B ＝4A 可得a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2．10．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1 ，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171＝⎝⎛⎭⎫m －1922＋3234． ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156．层级二 应试能力达标1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．207解析：选D x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207．2．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r ．依题意得 C 5n ·35＝C 6n ·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，得n ＝7． 4．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D ．5．x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答) 解析：x 4的系数，即⎝⎛⎭⎫x －2x 7展开式中x 3的系数， T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r ， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84．答案：846．在⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项数为________． 解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ．∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r 3均为有理数， ∴r 能被2整除，且20－k 能被3整除．故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20,∴r ＝2,8,14,20．答案：47．记⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m ． (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项；(3)若b 3＝2b 4，求n ．解：(1)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为 C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝⎛⎭⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m ，所以b m ＝2n ＋1－m ·C m －1n ． (2)当n ＝6时，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r ． 依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160．(3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ， 从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5．8．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n －1 ＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．。

2018年新人教A版高中数学选修2-3全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修2-3全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修2-3全册同步检测目录第1章1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1章1.1第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用第1章1.2-1.2.1第1课时排列与排列数公式第1章1.2-1.2.1第2课时排列的综合应用第1章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式第1章1.2-1.2.2第2课时组合的综合应用第1章1.3-1.3.1二项式定理第1章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1离散型随机变量第2章2.1-2.1.2第1课时离散型随机变量的分布列第2章2.1-2.1.2第2课时两点分布与超几何分布第2章2.2-2.2.1条件概率第2章2.2-2.2.2事件的相互独立性第2章2.2-2.2.3独立重复试验与二项分布第2章2.3-2.3.1离散型随机变量的均值第2章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差第2章2.4正态分布第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1第1课时线性回归模型第3章3.1第2课时线性回归分析第3章3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章章末复习课第3章章末评估验收(三) 模块综合评价(一)模块综合评价(二)第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有() A．1种B．2种C．3种D．4种解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3(种)．故选C.答案：C2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2 160 B．720 C．240 D．120解析：第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步乘法计数原理得分法共有10×9×8＝720(种)．答案：B4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16 C．13 D．10解析：分两类情况讨论．第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，8＋5＝13(个)，即共可以确定13个不同的平面．答案：C5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：712三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类．第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步．第一、第二、第三、第四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．解：按出场位置顺序逐一安排：第一位置有3种安排方法；第二位置有7种安排方法；第三位置有2种安排方法；第四位置有6种安排方法；第五位置有1种安排方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用A级基础巩固一、选择题1．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有()A．1×2×3 B．2×3×4C．34D．43解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.答案：D2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为() A．2 B．4C．6 D．8解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．答案：D3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为()A．12 B．11C．24 D．23解析：先在{1，2，3}中取出1个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23(个)．答案：D4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy可表示不同的值的个数是() A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9解析：x，y在各自的取值集合中各选一个值相乘求积，这件事可分两步完成．第一步，x在集合{2，3，7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，不同值有3×3＝9(个)．答案：D5．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是()A．20 B．16C．14 D．12解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．答案：C二、填空题6．3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法．解析：分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法4×4×4＝43＝64(种)．答案：647．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．答案：318．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．解析：分三类．若甲在周一，则乙、丙的排法有4×3＝12(种)；若甲在周二，则乙、丙的排法有3×2＝6(种)；若甲在周三，则乙、丙的排法有2×1＝2(种)．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20(种)．答案：20三、解答题9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5 292(种)．10．8张卡片上写着0，1，2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排百位数字，从1，2，…，7共7个数字中选一个，有7种选法；再排十位数字，从除去百位数字外，剩余的7个数字(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位数字，从除前两步选出的数字外，剩余的6个数字中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理得，共可以组成的不同三位数有7×7×6＝294(个)．B级能力提升1．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A．6种B．12种C．18种解析：因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．结果共有2×3＝6(种)，故选A.答案：A2．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．解析：分四类：第一个箱子放入1个小球，将剩余的8个小球放入2，3号箱子，共有4种放法；第一个箱子放入2个小球，将剩余的7个小球放入2，3号箱子，共有3种放法；第一个箱子放入3个小球，将剩余的6个小球放入2，3号箱子，共有2种放法；第一个箱子放入4个小球则共有1种放法．根据分类加法计数原理共有10种情况．答案：103．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( )A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A．12 B．24 C．30 D．36解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以A67－A56A45＝36A45A45＝36.答案：D3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为()A．3 B．6 C．9 D．12解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()A．180种B．360种C．15种D．30种解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)．答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________.解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值：(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2.解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)．所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12.所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)．答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1.方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6B．24C．48D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A23＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有() A．24种B．36种C．48种D．72种解析：分类完成．第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理得，不同的安排方案共有A24＋2A24＝36(种)．答案：B二、填空题6．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：A25－1＝19.答案：197．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A44＝48(种)．又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A33＝12(种)．故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A28＝448(个)．答案：448三、解答题9．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析：(1)法一7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又已知甲、乙、丙排序一定，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840(种)．法二(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左边”的7人排列数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有12A77＝2 520(种)．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．B级能力提升1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有() A．24种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A12＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有A44A22＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：243．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A34种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有A34A44＝576(个)．(3)1和2的位置关系有A22种，在1和2之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法，所以共有A22A13A55＝720(个)．第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合第1课时组合与组合数公式A级基础巩固一、选择题1．从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题，属于组合的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为减法、除法运算中交换位置，对结果有影响，所以属于组合的有2个．答案：B2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4 C．12 D．24解析：C34＝C14＝4.答案：B3．集合A＝{x|x＝C n4，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．B AC．A∩B＝{1，4} D．A⊆B解析：依题意，C n4中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B ＝{1，4}．答案：C4．下列各式中与组合数C m n(n≠m)相等的是()A.nm Cmn－1B.nn－mC m n－1C．C n－m＋1n D.A m n n！解析：因为nn－m C m n－1＝nn－m·（n－1）！m！（n－m－1）！＝n！m！（n－m）！，所以选项B正确.答案：B5．C22＋C23＋C24＋…＋C216＝()A．C215B．C316C．C317D．C417解析：原式＝C22＋C23＋C24＋…＋C216＝C34＋C24＋…＋C216＝C35＋C25＋…＋C216＝…＝C316＋C216＝C317.答案：C二、填空题6．化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________．解析：C9m－C9m＋1＋C8m＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.答案：07．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有C49＝126(个)．答案：1268．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人．解析：设有学生n 人，则A 2nC 4n ＝213，解之得n ＝15.答案：15 三、解答题9．解不等式：2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1. 解：因为2C x －2x ＋1＜3C x －1x ＋1，所以2C 3x ＋1＜3C 2x ＋1.所以2×（x ＋1）x （x －1）3×2×1＜3×（x ＋1）x 2×1.所以x －13＜32，解得x ＜112.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3x ＋1≥2，所以x ≥2.所以2≤x ＜112.又x ∈N *，所以x 的值为2，3，4，5.所以不等式的解集为{2，3，4，5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线． (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ (2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ (3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝10×9×83×2×1＝120(个)．B级能力提升1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120 B．84 C．52 D．48解析：用间接法可求得选法共有C38－C34＝52(种)．答案：C2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．解析：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C35＝10(种)．答案：103．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？解：(1)从5名男司机中选派3名，有C35种方法，从4名男司机中选派2名，有C24种方法，根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为C35C24＝C25C24＝5×42×1×4×32×1＝60(种)．(2)分四类：第一类，选派2名男司机，3名女司机的方法有C25C34＝40(种)；第二类，选派3名男司机，2名女司机的方法有C35C24＝。

高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含解析

高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含解析

课时跟踪检测（十七）回归分析的基本思想及其初步应用层级一学业水平达标1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①解析：选D对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①，故选D．2．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．3．下图是根据变量x，y的观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．②③D．③④解析：选D 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x ，y 具有相关的关系． 4．(重庆高考)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A ．y ^＝0．4x ＋2．3B ．y ^＝2x －2．4 C ．y ^＝－2x ＋9．5 D ．y ^＝－0．3x ＋4．4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D ．且直线必过点(3,3．5)代入A ，B 得A 正确．5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0．76，a ＝y －b x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0．76×10＝0．4，∴当x ＝15时，y ^＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)． 6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：或“不具有”)解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．答案：不具有7．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1． 答案：18．下列说法正确的命题是________(填序号)． ①回归直线过样本点的中心(x ，y )；②线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； ④在回归分析中，R 2为0．98的模型比R 2为0．80的模型拟合的效果好． 解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误． 答案：①④9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y ＋20x ＝80＋20×8．5＝250, 故y ^＝－20x ＋250．(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361．25，所以当x ＝334＝8．25时，z max ＝361．25(元)．即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．10．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ^＝6．5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0．82．若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． 解：(1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6．5x ＋a ^． x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∵y ^＝6．5x ＋a ^经过(x ，y )， ∴50＝6．5×5＋a ^，∴a ^＝17．5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6．5x ＋17．5． (2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000．所以R 21＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1551 000＝0．845． 由于R 21＝0．845，R 2＝0．82知R 21>R 2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．层级二 应试能力达标1．在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R 2如表，则其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型4解析：选B 线性回归分析中，相关系数为r ，|r |越接近于1, 相关程度越大； |r |越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好． 故选B ．2．如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0．8，a ＝2，|e |≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿B ．9亿C ．10．5亿D ．9．5亿解析：选C ∵x ＝10时，y ＝0．8×10＋2＋e ＝10＋e ， 又∵|e |≤0．5，∴y ≤10．5．3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程y ＝－2x ＋a ．当气温为－4 ℃时，预测销售量约为( ) A ．68 B ．66 C ．72D ．70解析：选A ∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68．4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和i ＝1n (y i －y ^i )2如下表：哪位同学的试验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2的表达式中 i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D ．5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx＋a的周围，令z ^＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0．25x －2．58，则该模型的回归方程为________．解析：因为z ^＝0．25x －2．58，z ^＝ln y ，所以y ＝e 0．25x －2．58． 答案：y ＝e 0．25x －2．586．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0．254x ＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0．254(x ＋1)＋0．321，与y ^＝0．254x ＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．答案：0．2547．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．解：设x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的平均价格，作出散点图．由散点图可以看出y 与x 具有指数关系， 令z ＝ln y ，变换得作出散点图：由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程： z ^＝8．166－0．298x ．因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为y ^＝e 8．166－0．298x．8．某公司利润y (单位：千万元)与销售总额x (单位：千万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为24千万元时的利润． 解：(1)散点图如图：(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．于是b ^＝346.3－7×21×2.13 447－7×212≈0．104．a ^＝2．1－0．104×21＝－0．084， 因此回归直线方程为y ^＝0．104x －0．084．(3)当x ＝24时，y ＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．。

高中数学 课时跟踪检测(十七)数学归纳法 新人教A版选修22

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课时跟踪检测(十七) 数学归纳法一、选择题1．某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )A ．当n ＝4时命题不成立B ．当n ＝6时命题不成立C ．当n ＝4时命题成立D ．当n ＝6时命题成立解析：选A 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立，所以假设当n ＝4时命题成立，那么n ＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n ＝4时命题不成立．2．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1B ．k －1C ．kD ．2k解析：选D 当n ＝k 时，不等式左端为1＋12＋13＋14＋…＋12k －1；当n ＝k ＋1时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋…＋12k ＋1－1项，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项．3．已知数列{a n }的前n 项之和为S n 且S n ＝2n －a n (n ∈N *)，若已经算出a 1＝1，a 2＝32，则猜想a n 等于( )A.2n －1nB.n ＋1nC.2n －12n －1 D.2n－12n －1 解析：选D ∵a 1＝1，a 2＝32，S 3＝1＋32＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝74.同理可得a 4＝158.观察1，32，74，158，…，猜想a n ＝2n－12n －1⎝⎛⎭⎪⎫或a n ＝2－12n －1.4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：选D 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C 应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立”．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，那么a ，b 的值为( )A ．a ＝12，b ＝14B ．a ＝b ＝14C ．a ＝0，b ＝14D ．a ＝14，b ＝12解析：选A 法一：特值验证法，将各选项中a ，b 的值代入原式，令n ＝1,2验证易知选A.法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，∴当n ＝1,2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝a －b ＋14，1＋2×3＝32a －b ＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.二、填空题6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．解析：f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋27．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________________．解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了1k ＋2这一项．答案：122＋132＋…＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋38．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________________． 解析：当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.答案：25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2三、解答题9．平面内有n (n ≥2，n ∈N *)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．证明：交点的个数f (n )＝n n －2.证明：(1)当n ＝2时，两条直线有一个交点，f (2)＝1，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立， 即f (k )＝k k －2.那么，当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条直线均有一个交点，即新增k 个交点，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝k k －2＋k ＝k 2＋k2＝k ＋k ＋－1]2，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n ≥2，n ∈N *都成立．10．设数列{}a n 的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 1，a 2；(2)求{}S n 的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0， 有一根S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0， 解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0，有一根S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0， 解得a 2＝16.(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.(*) 由(1)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由(*)可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． ①n ＝1时已知结论成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由(*)得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2. 故n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．。

2018年高中数学全一册课时跟踪检测(打包21套)新人教A版选修2_2

2018年高中数学全一册课时跟踪检测(打包21套)新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（一）变化率问题导数的概念层级一学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率li m△x－0ΔyΔx＝li m△x－0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：选A ΔyΔx＝f 1.1 －f 11.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝li m△x－0f x0＋Δx －f x0Δx＝li m△x－0(a＋b²Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18C．54 D．81解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3²32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴li m△x－0ΔsΔt＝li m△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0解析：选C f′(0)＝li m△x－0 0＋Δx 2－3 0＋Δx －02＋3³0Δx＝li m△x－0 Δx 2－3ΔxΔx＝li m△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m △x －0 f 1＋Δx －f 1Δx＝li m △x －0a 1＋Δx ＋4－ a ＋4Δx＝a ，∴a ＝2.答案：27.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π³23－43π³13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ³22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x －0ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)²f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋2.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋2. ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0124＋Δx 4＋Δx ＋2 ＝12³4³ 4＋2 ＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f －1＋Δx －f －1Δx＝1＋ －1＋Δx 2－1－ －12Δx ＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)²f ′(－1)＝116³(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1 Δx ＝2 1＋Δx 2－4＋2Δx ＝2 Δx 2＋4ΔxΔx ＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f 0＋Δx －f 0 Δx ＝li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m △x －0f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵ΔyΔx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt ＝7 t 0＋Δt 2＋8－ 7t 20＋8 Δt ＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0³105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6³10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0³105m/s 2，t 0＝1.6³10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx；(2li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0＋5ΔxΔx.解：(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx＝－mf ′(x 0)．(2)原式 ＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0 －[f x 0＋5Δx －f x 0 ]Δx＝li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0 Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0Δx ＝4li m Δx →0f x 0＋4Δx －f x 0 4Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0 5Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 x ＋Δx 3－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋x Δx ＋13 Δx 2＝x 2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a 1＋Δx 2－a ³12Δx＝ li m Δx →0 2a Δx ＋a Δx2Δx ＝li m Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋Δx －sinπ2Δx＝li m Δx →0 cos Δx －1Δx . 当Δx →0时，cos Δx →1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点． 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →01＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－3 x 0＋Δx －x 20＋3x 0Δx ＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋ Δx 2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2， y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 2)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝ x 0＋Δx 3－2 x 0＋Δx 2＋3－ x 30－2x 20＋3 Δx ＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4³2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选 D Δy ＝2(1＋Δx )3－2³13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0f 1 －f 1－2Δx2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →0 f 1 －f 1－2Δx2Δx＝li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x＝1＝3，由条件知，3³a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →0f 1＋Δx －f 1 Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′ 0的最小值为________．解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0f Δx －f 0Δx＝li m Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －cΔx＝li m Δx →0 (a ²Δx ＋b )＝b . 又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f 1f ′ 0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 a x ＋Δx 2＋1－ ax 2＋1Δx ＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋b x ＋Δx － x 3＋bx Δx ＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝ x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是 (－∞，2)．课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( ) A ．10 B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5³223³23＝－10，故选D.4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2³(－1)＝－2适合条件．故应选A. 5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝07．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1.解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1.答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15²1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1²x 2²…²x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1²x 2²…²x n ＝12³23³34³…³n －1n ³n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12²a2²a ＝2，∴a ＝4.答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)， 即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12²⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0²|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.课时跟踪检测（四） 导数的运算法则层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)²(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝l n x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3³12－1＝2. ∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 2－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 2＝3，所以x 0＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：19．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；(3)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(4)y ＝cos x ²sin 3x .解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ²2sin x ²(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x .(2)y ′＝ e x ＋1 ′ e x －1 － e x ＋1 e x－1 ′e x －1 2＝－2e xe x －12 . (3)y ′＝ x ＋cos x ′ x ＋sin x － x ＋cos x x ＋sin x ′x ＋sin x 2＝ 1－sin x x ＋sin x － x ＋cos x 1＋cos xx ＋sin x 2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1x ＋sin x2. (4)y ′＝(cos x ²sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x ＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.层级二 应试能力达标1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 2．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝ex －1＋x ex －1＝(1＋x )ex －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＞0，整理得 x ＋1 x －2 x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________． 解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2， 解之得a ＝12ln 2.答案：12ln 26．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．解析：y ′＝－12x －12，则y ′| x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14， 或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1. 解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1.所以f n ′(2)＝1＋2³2＋…＋(n －1)2n －2＋n ²2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2³22＋…＋(n －1)2n －1＋n ²2n，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ²2n＝1－2n1－2－n ²2n ＝(1－n )²2n－1， 所以f n ′(2)＝(n －1)²2n＋1. (2)因为f (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，因为x ≥0，n ≥2.所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1为增函数，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23.所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12³⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2n 3n ＋1.课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e.∴函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4³(－4)³a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ －1 ＝－4，f ′ 1 ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3； 由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1， 令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e2 016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f ′ x e x －f x e xe x2＝f ′ x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f 2 e2<f 0e，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1. 答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x ＞－1时，f ′(x )＞0， 则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方． 解：(1)已知函数f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立． 但当x ∈(－1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a ≥3， 即当a ≥3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． (2)证明：取x ＝－1，得f (－1)＝a －2＜a ，即存在点(－1，a －2)在f (x )＝x 3－ax －1的图象上，且在直线y ＝a 的下方． 即f (x )的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.解析：∵f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.答案：－237．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a处有极值，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ²1a＋b ＝0，即b ＝－2.答案：－28.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )，无极大值．10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e解析：选A ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a .令y ′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.4．已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π1－e 2 018πe 2π－1B.e π 1－e 2 016π1－e 2πC.e π 1－e 1 008π1－e2πD.e π1－e 1 008π1－eπ解析：选 B f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π，∴0≤k <1 008，k ∈Z. ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2。

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(三)排列与排列数公式-含解析

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(三)排列与排列数公式-含解析

课时跟踪检测（三） 排列与排列数公式层级一 学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B 列树形图如下： 丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20． 4．计算：A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选DA 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36．5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A ．6种 B ．30种 C ．360种D ．A 56种解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56． 6．计算：5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348． 答案：3487．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个． 答案：128．由1,4,5，x 四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x ＝________．解析：当x ≠0时，有A 44＝24个四位数， 每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x ， 即24(1＋4＋5＋x )＝288． 解得x ＝2，当x ＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x ＝0不合题意，∴x ＝2． 答案：29．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长． 解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是： 甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲； 丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲； 丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29．解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89．∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90． 故x ＝－4(舍去)，x ＝15．法二：由A 7x －A 5xA 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！．∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15． (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N *．化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13． 又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A ．n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ．3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．24解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 5．满足不等式A 7nA 5n>12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10． 答案：106．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．解析：画出树形图，如下：由树形图可知，共有11种不同的试种方案． 答案：117．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． (1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 －∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33．。

2020高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(七)二项式定理-含解析

2020高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(七)二项式定理-含解析
Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r．
依题意，6－2r＝0，得r＝3，
故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160．
(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，
从而C＝C，即n＝5．
8．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C＝84．
答案：84
6．在20的展开式中，系数是有理数的项数为________．
解析：Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r．∵系数为有理数，∴()r与2均为有理数，
∴r能被2整除，且20－k能被3整除．
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20,
2020高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测（七）二项式定理-含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
20xx最新高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测（七）二项式定理-含解析
层级一 学业水平达标
1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )
∴r＝2,8,14,20．
答案：4
7．记n的展开式中第m项的系数为bm．
(1)求bm的表达式；
(2)若n＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b3＝2b4，求n．
解：(1)n的展开式中第m项为
C·(2x)n－m＋1·m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C．
(2)当n＝6时，n的展开式的通项为
A．9B．10
C．11D．8
解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11．故选C．

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3练习：综合学业质量标准检测1 Word版含解析

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3练习：综合学业质量标准检测1 Word版含解析

综合学业质量标准自测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于导学号 51124742( A )A ．16 C ．2.2D ．2.3[解析] 由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A ．2．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是导学号 51124743( A )A ．1B ．－1C ．0D ．2[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.所以，(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.3．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于导学号 51124744( D )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫58238C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582[解析] “X ＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，∴P (X ＝12)＝C 911(38)9·(58)2·38 ＝C 911(38)10·(58)2，故选D ． 4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1、2、3、4)，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫94<X <134的值为导学号 51124745( D ) A ．23B ．34C ．45D ．516[解析] 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54.因为P ⎝⎛⎭⎫94<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516，故选D ． 5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为导学号 51124746( B )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. 6．(2019·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有导学号 51124747( B )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个[解析] 据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2×A 34个；若万位上排5，则有3×A 34个．所以共有2×A 34＋3×A 34＝5×24＝120个．选B ．7．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则导学号 51124748( C )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1[解析] 画散点图，由散点图可知X 与Y 是正相关，则相关系数r 1>0，U 与V 是负相关，相关系数r 2<0，故选C ．8．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于导学号 51124749( B )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以(D (X ))2(E (X ))2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2.故选B ．9．(2019·哈尔滨高二检测)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有导学号 51124750( D )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种[解析] 按第二天到第七天选择持平次数分类得C 66＋C 46A 22＋C 26C 24C 22＋C 06C 36C 33＝141种．10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系导学号 51124751( C ) A ．99%的可能性 B ．99.75%的可能性 C ．99.5%的可能性D ．97.5%的可能性[解析] 由题意可知a ＝16，b ＝28，c ＝20，d ＝8，a ＋b ＝44，c ＋d ＝28，a ＋c ＝36，b ＋d ＝36，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝72，代入公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得K 2＝72×(16×8－28×20)244×28×36×36≈8.42，由于K 2≈8.42>7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是导学号 51124752( B )A ．⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C ．⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0，13 [解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1.12．如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有导学号 51124753( C )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种[解析] 涂A 有6种涂法，B 有5种，C 有4种，因为D 可与A 同色，故D 有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有__1080__种(用数字作答).导学号 51124754[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C 26C 24A 22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22·A 44＝1 080种．14．(2019·山东理，11)观察下列各式：导学号 51124755C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝__4n －1__. [解析] 第n 个等式左边是n 项组合数的和，组合数C k m 的构成规律是下标为m ＝2n －1，上标k 的取值依次从0到n －1，即C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －12n －1，等式右边为4n －1. 故由归纳推理的思想得：C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1，所以答案应填4n －1. 15．给出如下四个结论：导学号 51124756①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16； ②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝－x 2－x ＋1e x－a 有三个零点；③设线性回归方程为y ^＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；以上四个结论正确的是__①③④__.(把你认为正确的结论都填上)[解析] 由正态分布曲线得P (ξ≤－2)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16，①正确；令g (x )＝－x 2－x ＋1e x ，得g ′(x )＝x 2－x －2e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(－1,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，得g (x )极大值＝g (－1)＝e ，g (x )极小值＝g (2)＝－5e －2，且g (－12±52)＝0，x →＋∞时，g (x )<0，∴g (x )的图象如图所示故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当x ＝0时，e 0>1错误，故p 为假命题，¬p 为真命题，④正确．16．(2019·烟台检测)平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定__36__条直线；共可确定__110__个三角形.导学号 51124757[解析] 设10个点分别为A 1、A 2、…、A 10，其中A 1、A 2、…、A 5共线，A i (i ＝1,2，…，5)与A 6、A 7、…、A 10分别确定5条直线，共25条；A 1、A 2、…、A 5确定1条； A 6、A 7、…、A 10确定C 25＝10条， 故共可确定36条直线．在A 1、A 2、…、A 5中任取两点，在A 6、A 7、…、A 10中任取一点可构成C 25C 15＝50个三角形；在A 1、A 2、…、A 5中任取一点，在A 6、A 7、…、A 10中任取两点可构成C 15C 25＝50个三角形；在A 6、A 7、…、A 10中任取3点构成C 35＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.导学号 51124758(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析](1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(x－2x)n的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等.导学号51124759(1)求n；(2)求展开式中x的一次项的系数．[解析](1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C3n＝C8n，解得n＝11.(2)由(1)知，展开式的第r＋1项为T r＋1＝C r11(x)11－r(－2x)r＝(－2)r C r11x11－3r2.令11－3r2＝1得k＝3.此时T3＋1＝(－2)3C311x＝－1320x，所以展开式中x的一次项的系数为－1320.19．(本题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].导学号51124760(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[解析](1)图中x所在组为[80,90]即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24，所以成绩不低于80分的学生有：50f＝50×0.24＝12人．成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3所以为ξ的取值为0、1、2P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19×C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122所以ξ的分布列为：所以为ξ的数学期望E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝1 2.20．(本题满分12分)(2019·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.导学号51124761(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))[解析] (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝7个，所以P ＝710. (2)K 2＝40×(6×6－14×14)20×20×20×20＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21．(本题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.导学号 51124762(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －，其中x －，y －为样本平均值．线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^. [解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i ＝n x －y －＝184－10×8×2＝24.由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．22．(本题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13、23.导学号 51124763(1)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N .而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故P (M )＝⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫233＝127＋827＝13， 从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，23. 故P (ξ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫134＝181， P (ξ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫231×⎝⎛⎭⎫133＝881，P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＝827， P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫131＝3281， P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫234×⎝⎛⎭⎫130＝1681. 则ξ的分布列为：故ξ的数学期望为E (ξ)＝4×23＝83.。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时跟踪检测：第1章 计数原理1.2.1 第三课时

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时跟踪检测：第1章 计数原理1.2.1 第三课时

姓名，年级：时间：第一章1．2.1 第三课时排列的应用（二）课时跟踪检测一、选择题1．把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为（）A.错误!B．A错误!·A错误!·A错误!·A错误!C．A错误!D．A错误!·A错误!解析：将15人排成三排，可按一排处理，共有A错误!种．答案：C2．将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C"或“C，B，A”(可以不相邻）,这样的排列有（)A．12种B．20种C．40种D．60种解析：5个字母排成一列A,B,C按照顺序“A，B，C”或“C，B,A”排列的有2错误!＝40种．答案：C3．2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟"）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（) A．5 040种B．4 800种C．3 720种D．4 920种解析：由题意可得A错误!－2A错误!＋A错误!＝5 040－1 440＋120＝3 720种，故选C。

答案：C4．(2019·邢台一中高二月考)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数"必须排在前三节，且“射”和“御"两门课程相邻排课．则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种解析：根据题意,“数"必须排在前三节，分3种情况讨论：①“数”排在第一节，有A22A错误!＝48种排法；②“数”排在第二节,有A错误!A错误!A错误!＝36种排法;③“数”排在第三节，当“射”和“御"两门课程排在第一、二节时，有A错误!A错误!＝12种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节时，有A错误!A错误!A错误!＝24种排法．所以满足条件的排法共有48＋36＋12＋24＝120（种）,故选A.答案:A5．用数字0,1，2,3，4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有( ）A．36个B．48个C．66个D．72个解析:可分两类，第一类：当此数为四位数字时，如图，最后一位只能是1或3，有两种取法，个位置有A错误!种排法,共有2×3×A错误!＝36（个）；第二类：任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A错误!＝36(个）；∴由分类加法计数原理知符合条件的四位数奇数和五位数奇数共有36＋36＝72个．答案:D6．（2019·合肥市质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F 六项不同的任务,要求是：任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻,则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，①当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○,余下四项任务,先全排D，F两项任务，然后将任务B,C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A2，2 A错误!种方法．②当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：a。

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课时跟踪检测（十七） 回归分析的基本思想及其初步应用层级一 学业水平达标1．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ； ③求线性回归方程； ④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够作出变量x ，y 具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：选D 对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①.2．下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：选B 由于线性相关系数|r |≤1，且当|r |越大，线性相关性越强，故r <0时，选项B 不正确．3．已知具有线性相关关系的变量x ，y 满足一组数据如下表所示．若y 关于x 的回归方程为y ^＝3x －1.5，则m 的值为( )A ．4B ．92C ．5D ．6解析：选A 由题意可知，样本点的中心⎝⎛⎭⎫32，8＋m 4一定在回归直线上，所以代入方程可得m ＝4.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表格提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A.产品的生产耗能与产量呈正相关 B ．t 的取值必定是3.15 C ．回归直线一定过点(4.5,3.5)D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产耗能约增加0.7吨解析：选B 由线性回归方程可知A 、D 正确．由表格可求出x ＝4.5，代入回归方程得y ＝3.5，所以回归直线一定过样本点的中心(4.5,3.5)，可知C 正确．回归直线不一定过样本点，所以B 错误．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据表格可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 根据题中数据可得样本中心点是(3.5,42)， 则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5. 6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．答案：不具有7．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1. 答案：18．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x (单位：小时)与物理成绩y (单位：分)之间有如下关系：若根据上表可得回归直线的斜率为3.53，则回归直线在y 轴上的截距为________．(结果精确到0.1)解析：由已知可得 x ＝110(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4， y ＝110(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9. 设回归方程为y ^＝3.53x ＋a ^，把(x ，y )代入，得74.9＝3.53×17.4＋a ^，解得a ^≈13.5，则回归直线在y 轴上的截距为13.5.答案：13.59．某公司的生产部门调研发现，该公司第二，三季度的月用电量与月份线性相关，且数据统计如下：但核对电费报表时发现一组数据统计有误． (1)请指出哪组数据有误，并说明理由；(2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测统计有误那个月份的用电量．(结果精确到0.1)解：(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7,55)离其他点所在区域较远，故(7,55)这组数据有误．(2)排除(7,55)这一组有误数据后，计算得 x ＝6.4，y ＝30.2.因为b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈9.98，a ^＝y －b ^x ≈－33.67，所以回归方程为y ^＝9.98x －33.67， 当x ＝7时，y ^≈36.2，即7月份的用电量大约为36.2千瓦时． 10．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． 解：(1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋a ^. x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∵y ^＝6.5x ＋a ^经过(x ，y )， ∴50＝6.5×5＋a ^，∴a ^＝17.5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.所以R 21＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1551 000＝0.845. 由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21>R 2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．层级二 应试能力达标1．若对于预报变量y 与解释变量x 的10组统计数据的回归模型中，计算R 2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么∑i ＝110(y i －y )2的值为( )A ．241.1B ．245.1C ．2 411D ．2 451解析：选C 由题意知残差平方和∑i ＝110(y i －y ^i )2＝120.55，又R 2＝1－∑i ＝110(y i －y ^i )2∑i ＝110 (y i －y )2＝0.95，所以∑i ＝110(y i －y )2＝2 411.2．若一函数模型为y ＝sin 2α＋2sin α＋1，为将y 转化为t 的回归直线方程，则需作变换t 等于( )A ．sin 2 αB ．(sin α＋1)2C ．⎝⎛⎭⎫sin α＋122 D ．以上都不对解析：选B 因为y 是关于t 的回归直线方程，实际上就是y 关于t 的一次函数，又因为y ＝(sin α＋1)2，若令t ＝(sin α＋1)2，则可得y 与t 的函数关系式为y ＝t ，此时变量y 与变量t 是线性相关关系．3．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如表数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，当某儿童的记忆能力为12时，预测他的识图能力为( )A ．9B ．9.5C ．10D ．11.5解析：选B 因为x ＝4＋6＋8＋104＝7， y ＝3＋5＋6＋84＝5.5， 所以5.5＝0.8×7＋a ^，所以a ^＝－0.1.当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.6－0.1＝9.5.4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和i ＝1n (y i －y ^i )2如下表：115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2的表达式中 i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx＋a的周围，令z ^＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为________．解析：因为z ^＝0.25x －2.58，z ^＝ln y ，所以y ＝e 0.25x －2.58. 答案：y ＝e 0.25x －2.586．已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于y ^＝a ^＋b ^x ，求得b ^＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则线性回归方程为__________．解析：因为a ^＝y －b ^x ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5， 所以y ^＝0.51x ＋6.647 5. 答案：y ^＝0.51x ＋6.647 57．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料.观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？ 解：设x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的平均价格，作出散点图．由散点图可以看出y 与x 具有指数关系， 令z ＝ln y ，变换得作出散点图：由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程： z ^＝8.166－0.298x .因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为y ^＝e 8.166－0.298x .8．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 012，z ＝y －5得到下表2：(1)求z 关于t (2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？解：(1)t －＝3，z －＝2.2，∑i ＝15t i z i ＝45，∑i ＝15t 2i ＝55，b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －－b ^t －＝2.2－1.2×3＝－1.4，∴z ^＝1.2t －1.4. (2)将t ＝x －2 012，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 012)－1.4，即y ^＝1.2x －2 410.8. (3)∵y ^＝1.2×2 020－2 410.8＝13.2，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元．。

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