[原创]2011年高考文(理)科数学热点数列解答题命题趋势预测

2011年高三冲刺阶段解答题训练题集5 ——数列部分一、 理科数列解答题及参考答案1、已知实数列是}{n a 等比数列,其中71,a =且4561a a a +，，成等差数列. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …). 1、解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，由6711a a q ==，得61a q -=，从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==． 因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+， 即3122(1)q q q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．所以12q =．故116111642n n n n a a q q q ----⎛⎫=== ⎪⎝⎭．（Ⅱ）116412(1)1128112811212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．2．（本小题满分12分）数列)(2,1,}{*11N ∈==+n S a a S n a n n n n 项和为的前 （I ）求数列n n a a 的通项}{；（II ）求数列.}{n n T n na 项和的前解：（I ）解法一：n n S a 21=+ ，.1.3,21111===∴=-∴++a S S S S S S nn n n n 又).(3,3,1}{*1N ∈=∴+n S S n n n 的等比数列公式为是首项为数列当)2(322,221≥⋅==≥-+n S a n n n n 时， ⎩⎨⎧≥⋅==∴-2,321,12n n a n n解法二：n n S a 21=+ ① )2(21≥=-n S a n n ②∴当2≥n 时，①－②得2223211211====∴=-++a S a a a a a a nn nn n 又)2(322≥⋅=∴-n a n n故⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n12323n n T a a a na =++++ ，当1,11==T n 时；当0122,1436323n n n T n -≥=+⋅+⋅++⋅ 时，…………① 12133436323n n T n -=+⋅+⋅++⋅ ， …………② ①－②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-⋅2113(13)2223131(12)3n n n n n ----=+⋅-⋅-=-+-⋅ ).2(3)21(211≥-+=∴-n n T n n又111==a T 也满足上式， ).(3)21(21*1N n n T n n ∈-+=-3、设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：(I)2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥ ∴1113(2).333n n n n a n --=-=≥ 1(2).3n n a n =≥ 验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈ (II) 3n n b n =⋅，23132333...3nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅2312333...33n n n S n +-=++++-⋅11332313n n n S n ++--=-⋅-， 111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅4、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1） 求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）（理）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ， 232,591a b a a b b +==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩解得， )12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， n n nn n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ②①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(2522252)()1(1<+≤++=++=+=++n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m ………………9分 （3）（理）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则12(1)())(1)(1)n F n F n a a a +===+++ 1>………………12分)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p . 5、数列{}n a 中，3a =1，12n a a a +++= 1n a +（n=1,2,3…）． （Ⅰ）求1a ，2a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； 解：（Ⅰ）∵12a a =，123a a a +=，∴1321a a ==，∴1a =21，2a =21. （Ⅱ）∵n S =1n a +=n 1n S S -+,∴2n S =1n S +,n1n S S +=2， ∴{n S }是首项为1112S a =＝，公比为2的等比数列.∴n S =12⋅1n 2-=2n 2-. 6、已知数列{}n a满足1n na a -=0n a > （1）求数列{}n a 的通项公式；(2)证明1nii a=<∑（3）数列{}n a 是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

解：（1）由1n na a -=210n n a +-=由一元二次方程求根公式得n a ==∵0n a >∴n a = (2)∵n a ∴121nin i aa a a ==+++∑1)=+++111=-0<∴1nii a=<∑（3）解法1：∵n a∴1n n a a +===∵n N *∈,∴11n na a +<，∵0n a > ∴1,n n a a n N *+<∈即1231n n a a a a a +>>>>>> ∴数列{}n a有最大项，最大项为第一项11a .〔解法2：由n a ={}n a各项满足函数()f x =∵'()f x =当0x ><∴当0x >时'()0f x <，即函数()f x =(0,)+∞上为减函数即有1231n n a a a a a +>>>>>>∴数列{}n a有最大项，最大项为第一项11a =.7、已知数列{}n a 是首项为41=a ，公比1≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且3512,,4a a a -成等差数列。

（1）求公比q 的值；（2）设n n S S S S A ++++= 321，求n A 。

解：（1）3512,,4a a a - 成等差数列， ),2(42315a a a -+=∴ ,,213415q a a q a a == .24221141q a a q a ⋅-=∴ ,01≠a.0224=-+∴q q（舍去）或2122-==∴q q .1,1-=∴≠q q（2）.)1(22)1(1])1(1[4n n n S -⋅-=----=n n S S S S A ++++=∴ 321])1(22[])1(22[])1(22[])1(22[321n -⋅-++-⋅-+-⋅-+-⋅-= ])1()1()1()1[(2232n n -++-+-+-⋅-=)1(1])1(1[122----⋅--=n nn n )1(12--+=8、已知数列}{n a 的各项均为正数，且满足*)( 22,5212N n na a a a n n n ∈+-==+，推测并证明n a 的通项公式。

解：由2211225a a a =-+=得，211230a a --= )(1311舍去或-==∴a a7220252222223=+-=+⨯-=a a a ，推测.12+=n a n下面用数学归纳法证明之： 10 当3,2,1=n 时，已证明成立。

20 假设当:,1,12,有时则当成立时+=+==k n k a k n k2212222(21)2(21)2(441)(42)2232(1)1k k k a a ka k k k k k k k k k +=-+=+-++=++-++==++＋所以，当1n k =+时，结论也成立 综上所述，对*n N " ，.12+=n a n9、已知S n 是数列}{n a 的前n 项和，且.2),2(211=≥+=-a n S a n n （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n n nn b b b T a b 2212,log 1+++==++ ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有12k T n >恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）当2n ≥时，由已知21+=-n n S a ………………①得 21+=+n n S a …………②②－①，得 )2(11≥-=--+n S S a a n n n n ∴2)2(211=≥=+a n a a n n 又 ∴112242a a a ==+= ∴)3,2,1(21 ==+n a a n n所以数列 }{n a 是一个以2为首项，2为公比的等比数列 ∴n n n a 2221=⋅=- ( *n N ∈) （Ⅱ）na b n n n 12log 1log 122===∴nn n b b b T n n n n 212111221+++++=+++=++ 221121213121)1(2321+++++++++=+++=++++n n n n n b b b T n n n n ∴)1)(12(2)12(212)1(2112211211+++-+++=+-+++=-+n n n n n n n n T T n n )1)(12(21++=n n∵n 是正整数， ∴n n n n T T T T >>-++110，即 ∴数列{T n }是一个单调递增数列，又2121==b T ∴211=≥T T n ， 要使 12k T n >恒成立，则61221<>k k，即 又k 是正整数，故存在最大正整数 k=5使 , 12kT n >恒成立10.在数列中{}n a 中，111222()n n n a a a n +*+==+∈N ，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． （1）解：由1122()n n n a a n +*+=+∈N ，可得11122n nn na a ++=+， 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为1，故2n n a n =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a n =⋅．（Ⅱ）解：设2341122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ， ① 3451222232(1)22n n n S n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①式减去②式， 得2123112(12)(12)2222212n n n n nS n n -++⋅--=+++-⋅=-⋅- ，1(1)24n n S n +=-⋅+．所以数列{}n a 的前n 项和为1(1)24n n S n +=-⋅+．（Ⅲ）证明：11(1)22(1)222n n n n a n n a n n n+++⋅+===+⋅ 是单调递减的， 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立11.在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． （Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． 以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．第 10 页 版权所有@中国高考志愿填报门（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 12．已知首项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的r 、t N ∙∈，都有2()r t S rS t=. （Ⅰ）判断{}n a 是否为等差数列，并证明你的结论；（Ⅱ）若111,3a b ==，数列{}n b 的第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥，求n b . （Ⅲ）求和1122n n n T a b a b a b =+++ . 解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，证明如下： ∵110a S =≠，令1,t r n ==，由2()r t S rS t =得21n S n S = 即21n S a n =. ∴2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且1n =时此式也成立.∴112()n n a a a n N ∙+-=∈，即{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列. （Ⅱ）11a =时，由（Ⅰ）知1(21)21n a a n n =-=-，依题意，2n ≥时，1121n n b n b a b --==-，∴112(1)n n b b --=-，又112b -=， ∴{1}n b -是以2为首项，2为公比的等比数列，1122n n b --=⋅ 即21n n b =+. （Ⅲ）∵ (21)(21)(21)2(21)nnn n a b n n n =-+=-+-∴ 2[1232(21)2][13(21)]nn T n n =⋅+⋅++-⋅++++- 即 22[1232(21)2]nn T n n =⋅+⋅++-⋅+ 23122[1232(21)2]2n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+两式相减，可以求得12(23)26n n T n n +=-⋅++13、设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=， 即22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（n N *∈） （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=． 14、已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{。