关于推导麦克斯韦速度分布律教学线索的分析研究_高永年

N
; 其次 , 概率也 仅仅是对
概然判断程度的陈 述而 已 , 不涉及 所论 对象 的任 何行 为机制 . 由于这两 个问 题不 属于 数学 研究 领域 , 因 此 , 在任何一本数学教程中从来都不 予阐述 . 然而 , 在基础 物理教学中 , 倘若对此问题不 予以明确 , 那么就 有可能 出现将可能性当成所论物理对象的 一种物理 性质看待 的误导[ 6] . 在处置 完概率问题之后 , 下面将要 回到使用 概率计算处理分子 运动 的问 题了 . 这里 的教 学线 索主 要是向学生明确传 递如 何实 施这一 计算 的信 息 , 主要 要求是关系明确 , 阐述清晰 . 从物理上看 , 所 论对 象是 活动 于一 定空 间范 围且 处于热平衡态的一 定质 量的 理想气 体分 子群 体 . 我们 的目标就是 借助于概率计算求得 v 的表示式 . 因此 , 首 先应该提出对所论 对象 实施 概率计 算的 门径 . 由 于从 实验上无法测出每个分子的速度 , 因此 , 我们对 分子的 速度就无法作出肯定判断 . 既 然如此 , 我们不妨 变更视 点 , 不说分子具有某个速度 , 而说分 子可能具有 某个速 度 , 这就是说 , 把分子具有某个速度 量值看作是 概然事 件 , 我们变更视点 就把 分子 速度测 定这 一物 理操 作转 移到分析研究概然 事件 概率 的领域 中了 . 分 子数 目再 大也有限度 , 这就是数学上的 所谓有界 , 分子的 速度范 围同样也是有界的 , 而 且分 子速度 的数 值一 定取 这一
v2 i 2 i 的 分子数 是 n i , 总共 有 m 组, 即 N =
∑
i
ni . 此时平 均值表 示式 将由 此而改 写成
以下形式 , 即 : v2 = 或
i= 1
∑n iv i/ N ;
2
m
v2=
∑
i
m
ni 2 v N i
ni 2 对于比值 既 可以说 是具有 同一 v i 的分 子数在 分子 N 总数中所占的比例 , 也可以说是具 有同一 v2 i 的分子出 现的概率 . 倘若能够设法找出这一 概率和 v2 i 的数值关 系 , 这样 就提供 了借助 于数学 分析计 算出 v 2 的可 能途 径. 这也就是提出使用概率计算的切入点 . 尽管如此 , 但这 里并 不是 要进 行概 率计 算的 系统 教学 . 我们的做法 是从 数学 教程中 摘引 有关 内容 进行 教学 . 比如摘引 物理 类专业 使用 的《 高等 数学》 第 三册 第三篇中概率定义 , 古典模型 , 事件 的独立性等 进行简 要阐述 . 不过这里 有两 个原则 必须 加以 明 确 . 首先 , 概 率是对概然 判断程度的陈述
收稿日期 : 1999 -04 -19 作者简介 : 高永年( 1939 ) , 女 , 山东蓬莱人 , 宁夏大学物理与电气信息工程系教授 , 主要从事基础物理教学研究 .
度分布律的教学线索进行陈述 . 由于这一段教学线索的基 本精神是 通过传递教 学 信息向学生显示情况 , 因此要求各 个环节连 接紧密 , 而 且要选择好恰 当的教 学切 入点 . 这个 切入 点就 是落 实 理想气体分子 平均动 能中 速率方 均值 的计 算 . 即落 实 对 ω= 1 m v 2中 v 2 的计算 . 2 对速度方均值的计算只能 借助于概 率论中对随 机
2
N
i= 1
∑v 2i/ N
这里 , N 是总分子数 , v i 是第 i 个分 子速 度的平 方 . 这 个表示式给出 了数学 平均 值的定 义及 其计 算方 法 , 适 用于包括物理有关问题在内 的任何需要 计算平均 值的 场合 , 在我们这里就 是分 子速 度平 方的 平均 值 . 因此 , 只要我们能够查点出 所论 系统的 分子 数 N , 通 过实 验 测定再计算出每一个 分子速 度的平 方值 v 2 i , 由此就 可 实现 v 2 的计算 . 但由于我 们无法借 助实验 获取全 体 v 2 i
DOI : 10 . 16854 / j. cnk i . 1000 0712 . 2000 . 07 . 015
第 19 卷第 7 期 2 0 0 0年 7 月
大 学 物 理 CO LL EG E PHYSICS
Vo l . 19 N o . 5 July .2000
教学经验 交 流
[ 5]
此我们不能下 数学定 义而 只能做 一些 解释 . 当 从问 题 的有关的各 个方面考 虑 ω 1, ω 2 , …, ω n 时 , 如果它们 完 全处于平等的地位 , 谁也不比谁特 别些 , 这时就可把 它 们看成是等可能的 . 下面的问题就是依据上述 要求首先 找出具有某 一 速度的分子数 , 然后除以分子总数 , 就可 以得到相应 概 率了 . 不过 这种思路 不可 实行 , 其 原因 如下 . 从 物理 上 看 , 分子可以具有的速度范围不但 很宽 , 而且分子具 有 相差不大的两个速度的可 能性不应有 显著差异 , 因此 , 反映在概率数值上不应有 什么显著差 异 . 此 外 , 这种 处 置方式也将无 法使用 数学 分析 . 倘若 我们 提出 具有 某 个不大的速度 范围内 的分 子数 , 则上 述不 利情 况就 可 以避免 . 为了从数值上确定速度范 围 , 可 采用以下表 示 方式 . 用 v x , vy , v z , 建立一个直角坐标系 , 此时 , 这一坐 标空间中的每 一个点 都将 和一个 速度 矢量 相对 应 . 对 于速度 v 来说 , 我 们取的 范围是 d v x , d vy , d vz , 在此 坐 标空间上 , 则是围绕 速度 矢量 终端点 的一 个小 的体 积 元. d N 是处于这一 小范 围内的 分子 数 . 依照古 典型 概 率的说法 , 分子取这一 速度范围的概率应是 d N/ N . 不 过这 种 表 示 方 式 有 缺 陷 , 它 直 接 受 到 体 积 元 大 小 d v x d v y d vz 的影响 , 从数 学上来 说 , 若使 用数学 分析 运 算 , 那么对这一体积元就不应有任 何其它限 制 . 为克 服 dN =f N d v x d v yd v z ( v) 作为表示 式 , 此时 其数 值就 与体 积元 的大 小无 关 这一障碍可 采用 以下 方式 处 置 , 即令 了. 从形式上 看 , f (v ) 可 以解 释为在 这一 速度 空间 中 的概率密度 , 反映在此速度空间中 之概率分 布状况 . 这 样一来 , 就可写出以下形式 : v = v
关于推导麦克斯韦速度分布律教学线索的分析研究
高永年
( 宁夏大 学 物理与电气信息工程系 , 宁夏 银川 750021) 摘要 : 依据当代教学理论提出麦克斯韦速度分布 律这一 教学课 题的教 学目标 , 根据 对教学 目标的分 析提出 进 行这一课题教学设计之教学线索 . 关键词 : 教学线索 ; 麦克斯韦速度分布律 ; 概率 中图分类号 : O 552 . 3; G 424 . 2 文献标识码 : B 文章编号 : 1000 -0712( 2000) 07-0044-03 在一些基础物理学的教材中给 出推导麦 克斯韦速 度分布律的内容 [ 1 , 2] , 不过这 部分 是选 修教学 内容 , 由 教师依照具体情况酌定是否讲授 . 笔者 认为 , 在 基础物 理学中还是讲授这 部分 为好 . 本文 只就 对这 一教 学课 题的 教 学 设计 原 则 , 主 要 是 教 学线 索 的 分 析进 行 阐 述. 众所周知 , 物理教学不同于 物理研究 , 差别 就在于 这是教学 . 因此 , 首先 必须 对基 础物 理学 教学 中 , 推导 麦克斯韦速度分布律进行教学定 位 , 即 明确教学目 标 , 也就是明确提出在完成这部分教学 内容之后 要求学生 有能力做的那些事情 . 我们提 出的教学 目标是 , 学生在 完成这一部分学习 之后 , 应 该有能 力陈 述麦 克斯 韦速 度分布律所论对象 ; 这一分布 律的特征 ; 推导该 分布律 的主要思路 . 教学线索是教学设计的重要环 节 . 简 要地说 , 所谓 教学线索就是教师 为实 现教 学目标 的工 作思 路 , 至于 更为详尽的阐述 , 则有专文与专著 [ 3 , 4] , 无庸赘述 . 推导 麦克斯韦速度分布律的教学线索就 是向学生 明确显示 如何分析研究气体 这一 物理 对象 , 并通 过分 析研 究提 出有效的处置办法 . 由 于气 体分子 运动 不像 宏观 物体 的机械运动可以直接用视觉观察 进行分析研 究 , 因 此 , 必须依据现有实验 事实 构建 恰当的 物理 模型 , 即 理想 气体模型才有可能 落实 研究 . 为了 尽可 能细 致地 描述 理想气体分子运动 , 数 学分 析应该 是我 们首 选的 描述 形式 . 借助于概率 计算 则是 实现这 一描 述要 求的 有效 途径 . 下面仅就如 何借 助于 概率计 算推 导麦 克斯 韦速
第 7 期 高永年 : 关于推导麦克斯韦速度分布律教学线索的分析研究 的数据 , 因而必须设法谋求计算 v 2 的其 它途径 . 又由于 分子数目极大 , 而且又处于平 衡态 , 从物理上看 应处于 一种动态稳定状 况 . 有 鉴于 此 , 我们可 以将
m
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速度范围中的 某一个 数值 , 只 是到底 取哪 个数 值我 们 不能作出肯定 判断而 已 , 因此 完全符 合使 用概 率计 算 的条件 [ 5] . 从数学上看 , 所谓 古典 型概 率是 指具 有以 下特 征 的随机事件的概率 [ 5] . 如果随机试验 E 具有以 下性质 : 1) 只有有限个不同的基本事件 ω 1, ω 2 , …, ω n; 2) 一切基本事件都是等可能的 . 对古典型的随机 试验 E , Ψ=(ω , 事件 A 1, ω 2, …, ω n) 是由 k( k ≤ n) 个不同 的基本 事件组 成 , 我们就 定义 随 机事件 A 的概率 P( A)= k . n 所谓基本事件等可能地 出现又是 什么意思 呢 ? 对
2 3 ( v 2 +v 2 +v 2 ) /α x y z