2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题

第二十届“希望杯”数学邀请赛高一试题（第1试）
一、选择题（每题4分，40分）
1、已知集合2{(,)|233},{(,)||430}M x y x y N x y x x y =+==+++=，则集合M N 中元素的个数是（ ）
（A ）0 (B) 1 (C) 2 (D)无穷多
2、若函数f （x ）＝35x +，则它的反函数的值域为（ ） （A ）(0,)+∞ (B) (5,)+∞ (C) (8,)+∞ (D) (,)-∞+∞
3、Let 200920092009200920092222324262x =++++ ，the value of x is （ ） （A ）2012 (B) 2013 (C)2014 (D)2015
4、已知平行四边形1234A A A A 顶点的坐标(,)(1,2,3,4)i i i A x y i =，则A 4的坐标为（ ） （A ）123123(,)x x x y y y +-+- (B) 231231(,)x x x y y y +-+- (C) 123123(,)x x x y y y ++++ (D) 132132(,)x x x y y y +-+-
5、已知方程2
()01f x x
=
=-的解集为A ，方程2
2
2()log 0x g x x
+==的解集是B ，那么
()()f x g x 的解集是（ ）
（A ）{1}- (B) {1,1}- (C) {1,2}- (D)空集
6、若数列*
11(1)(),0,n n n a na n N a ++=∈≠则{}n a （ ）
（A ）是等比数列但不是等差数列 (B) 是等差数列但不是等比数列 (C)是等差数列也是等比数列 (D)不是等差数列也不是等比数列
7、已知()1,()2,()6x
f x x
g x
h x x =+==-+设函数()m
i n {(),(),()F x f x g x h x =，则
()F x 的最大值为（ ）
（A ）1 (B) 2 (C)
72
(D)4
8、等差数列前p 项的和为q ，前q 项的和为p ，()p q ≠则前p ＋q 项的和为（ ） （A ）p ＋q (B) p －q (C) －p ＋q (D) －p －q
9、若sin
sin 3
,sin cos sin
cos
3
3
x x A B x x x x
==
++，3(0,)4
x x ππ∈≠
且，则（ ）
（A ）A>B (B) A<B (C) A=B (D)A,B 的大小关系与x 的取值有关。

10、n 是整数，p
(,)n p （ ）
（A ）不存在 (B) 只有一个 (C) 多于两个但不超过10个 (D)多于10个 二、A 组填空题（每题4分，40分，13题每空2分，17题答对一个2分） 11、
122320072008
20082009
+
+
=+
+
+
+
.
12、已知f （x ）是定义在R 上的函数，f （2）＝2，且对任意的x ∈R 都有
(9)()9,(3)()f x f x f x f
x +≥++
≤+，则(2009)f = .
13、Let the function 2()4,14f x x x x =-+≤≤,The maximum value of the function ()f x is ;the minimum value of the function ()f x is .
14、科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时的相对能量程度，则里氏震级量度（r ）可定义为r ＝lgI 。

2008年四川省汶川地区发生里氏8.0级地震，同1976年的唐山大地震（里氏7.8级）比较，汶川地震的相对能量程度是唐山大地震的 倍。

15、函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ωφω=+>≠∈是偶函数的充要条件是 ； 16、已知梯形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，CD=5，BC ⊥AB ，AB ∥CD ，动点P 由B 点出发，沿BC 、CD 、DA 运动到A 点，若用x 表示点P 运动的路程，表示△ABP 的面积，则
()f x ＝ ;
17、方程2
66log (67)
log 13
13
2
x x -+=的解x ＝ ；
18、Ten players took part in round-robin touynament (i.e every player must play against every other player exactly once). There were no draws in this tournament. Suppose that the first player won x 1 games,the second player won x 2 games , the third player won x 3 games and so on .The value of x 1+x 2+…+x 10 is= . 19、在边长为1的菱形ABCD 中（如右图），
|EA|=3|ED|,|AF|=|FB|,|BC|=3|BG|,DA AB
=m ，则F E F G = ； 20、函数()2s i n
()s i n 24
f x x x π=--的值域为 ；
三、B 组填空题（每题8分，共40分，24题答对一个2分）
21、对于方程3
2
918910x x x +++=，给出以下四个命题：①在区间(3,1)-上必有实根；②在区间(0,)+∞上没有实根；③在区间(2,0)-上恰有1个实根；④在区间(3,0)-上存在3个
A
D
C
B
E
F G
实根。

其中正确的命题序号是 ；
22、函数()f x 满足()()2()cos f x y f x y f x y ++-=，写出满足此条件的两个函数解析式：
()f x ＝ ，()f x ＝ ；
23、用3个2（不加任何运算符号）可以组成形如2
2222222,22,2,2的四个数，那么用4个2可以组成类似形式的数 个，其中最大的是 ；
24、设(2,3),(1,)
AB AC k ==
，在三角形ABC 中，A=90°，则k ＝ ，若B ＝90°，则
k ＝ ；若C ＝90°，则k ＝ .
25、设数列｛a n ｝的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…，（1个1，2个2，…，k 个k ，…）则数列的第100项等于 ；前100项之和等于 。

参考答案
一、选择题
二、A 组选择题。