高一数学绝对值不等式的解法
高一数学 含有绝对值的不等式解法(启东名师)
含有绝对值的不等式解法江苏省启东中学 王建彬知识精讲1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x ∈R ，a ∈R ＋，|x|≥0恒成立；a x a a x <<-⇔<||恒成立；a x a x >⇔>||或a x -<恒成立．2.理解不等式||||b a -≤||b a +≤||||b a +，正确应用||||b a -≤||b a ±≤||||b a +，重视“取等号”的条件．3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：)()()(|)(|x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<；)()()()(|)(|x g x f x g x g x f <<-⇔<；22)]([)]([|)(||)(|x g x f x g x f >⇔>．对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.典例精析不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 2233,0 的解集是（ ）(A) {x|0＜x ＜2} B ． {x|0＜x ＜2．5} C ． {x|0＜x ＜6} D ． {x|0＜x ＜3} 分析一 运用分类讨论求解解法一 因为x ＞0，故可分两种情形讨论第二个不等式的解．当0＜x ≤2时，得(2＋x)(3－x)＞(2－x)(3＋x)，即2x ＞0，故得0＜x ≤2 ．当x ＞2时，得(2＋x)(3－x)＞(x －2)(3＋x)，即x 2＜6，故得2＜x ＜6．综合，得不等式组的解集：{x|0＜x ＜6}，故选C ． ．分析二 运用等价转化法求解．解法二 由x x x x +->+-2233 可知033>+-xx ， 两边平方，原不等式组等价于60.0)6)(6(,0<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>⇔x x x x x ，故选C ． ． 分析三 运用特殊值验算法求解．解法三 由四个选项可知，只要代入2，2.5，6，3即可分晓，x=2代入不等式成立，选项(A)可排除；x=2.5代入得4.5＞5.5不成立，选项B 可以排除；x=3代入得510>不成立，同理排除D ，故C 正确 ．总结 解法一的去掉绝对值号分段讨论，解法二的平方转化法，虽然都是常规解法，但这样解与解答题无异，与选择题的快速、低分值是不相称的，尤其是运算量大的选择题，必须选择解答选择题的最佳方法，如利用选项提供的端点进行半估半算，逐一排除不正确的选项，这样比常规解法更快捷 ．实际上，6=x 代入时，使不等式对应的方程xx x x +-=+-2233成立，与6非常接近的数使得不等式成立，根据函数、方程、不等式三者间的特殊关系，可猜想C ．成立． 这比解法一的常规解法，去掉绝对值符号分类讨论，和解法二中的平方升次求解都简捷．解不等式|x ＋1|－|x －1|＞1．分析 本题含两个绝对值符号，可以通过讨论，或用平方的方法来去绝对值号加以解决． 解法一 （分段讨论）不等式左边有两个零值点x 1=－1，x 2=1，于是可分为三段进行讨论．（1）当x ＜－1时，原不等式可化为⎩⎨⎧>-++--<,11)1(,1x x x 解得 ∅∈x ．（Ⅱ）当－1≤x ≤1时，原不等式可化为解得 x <21≤1 ． （Ⅲ）当x ＞1时，即不等式可化为解得 x ＞1 ．综上，原不等式的解集为 }21|{>x x ． 总结 含两个或两个以上绝对值号的不等式，可先求出每个绝对值的零值点，这些零值点把数轴分为若干区间，可从左到右，对每个区间上的情况进行讨论，得出不等式在各区间上的解集，再把它们并起来，即为原不等式的解集．解法二 （平方法）1|1||1|1|1||1|+->+⇒>--+x x x x ，两边平方可得 1|1|2121222+-++->++x x x x x ，整理得 212|1|-<-x x ， 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-->--<-).212(1,2121x x x x解得 21>x ． ∴ 原不等式解集为 }21|{>x x ． 总结 移项后，不等式两边均非负，可以使用不等式的性质同解变形，去掉一个绝对值符号，整理后，即转化为已有固定模式而获解决．x 的等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ⊆的a 的取值范围．分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ⊆的a 的取值范围． 解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222a x a a --≤-+≤- 2222(1)(1)(1)(1)22a a a a x +--++-≤≤, ∴{}221A x a x a =≤≤+．由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤，当312,a +≥即13a ≥时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ⊆，只要222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩，得13a ≤≤． 当13a <时，若使A B ⊆，只要231212a a a +≤⎧⎨+≤⎩，得a ＝－1． 综上，使A B ⊆的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或．总结 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤，那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ⊆时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性．高考链接(2004年全国高考北京卷)某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
高一数学绝对值不等式的解法
学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】1．绝对值的意义是：⎩⎨⎧<-≥=)0x (x )0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．【思考导学】1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组一样．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．解法一：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>612327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)⎩⎨⎧≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)⎩⎨⎧≤-<<-7252052x x不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x －5≤7(Ⅱ)2＜5－2x ≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．［例2］解关于x 的不等式：(1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )；(2)｜2x ＋1｜＞x ＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 －24+a ＜x ＜22-a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为∅， 综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜22-a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是∅．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－32 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－32或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为∅． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1．解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1(1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1∴⎩⎨⎧-<+-<+⎩⎨⎧-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或 即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧-<≥021221x x x x 或均无解(2)由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1∴⎩⎨⎧+>+≥+112012x x x 或⎩⎨⎧+>+-<+1)12(012x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⎪⎩⎪⎨⎧>-≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－32或x ＞0}． 点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外〞向“里〞，反复应用解答绝对值根本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．【随堂训练】1．不等式|8－3x |＞0的解集是( )A ．∅B ．RC ．{x |x ≠38，x ∈R } D ．{38} 答案： C2．以下不等式中，解集为R 的是( )A ．｜x ＋2｜＞1B ．｜x ＋2｜＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞0答案： C3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A ．｛x ｜－2＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝解析： 所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集．答案： C4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( )A ．｛x ｜x ＜1}B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝解析： 由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2答案： B5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．解析： 由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，∴x ＞5或x ＜－13答案： ｛x ｜x ＞5或x ＜－13}6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________．解析： 由原不等式得｜ax －b ｜＜a ，∴－a ＜ax －b ＜a ∴a b－1＜x ＜a b＋1∴｛x ｜a b－1＜x ＜a b＋1}答案： ｛x ｜a b－1＜x ＜a b＋1｝【强化训练】1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋aB ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a }C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝解析： 由｜x ＋a ｜＜1得－1＜x ＋a ＜1∴－1－a ＜x ＜1－a答案： B2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝解析： 不等式等价于⎩⎨⎧≤-≤≥-63103x x 或⎩⎨⎧≤-≤<-63103x x 解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．答案： A3．以下不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )A ．｜x －2｜＞5B ．｜2x －4｜＞3C ．1－｜2x －1｜≤21 D ．1－｜2x －1｜＜21 解析：A 中，由｜x －2｜＞5得x －2＞5或x －2＜－5∴x ＞7或x ＜－3 同理，B 的解集为｛x ｜x ＞27或x ＜－1｝ C 的解集为｛x ｜x ≤1或x ≥3｝D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝答案： D4．集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，那么A ∩B 等于( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1|＞1的解为x ＜0或x ＞2．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}．答案： D5．不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，那么a ＋2b ＝．解析： 不等式｜x －2｜＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝＝｛x ｜－1＜x ＜b ｝∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=-53212c a c a a ∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13答案： 136．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．解析：∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解．当x ＋2＜0时，|x ＋2|＝－(x ＋2)＞0＞x ＋2∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2答案： ｛x ｜x ＜－2｝7．解以下不等式：(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．解：(1)由原不等式得－2≤2－3x ≤2，各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得34≥x ≥0，解集为{x |0≤x ≤34}． (2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}．8．解以下不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．解：(1)原不等式等价于不等式组由①得x ≤－1或x ≥5；由②得－7＜x ＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}．(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：①⎩⎨⎧+>-≥-;2143,043x x x ②⎩⎨⎧+>--<-.21)43(,043x x x 由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜53． ∴原不等式的解集为{x |x ＜53或x ＞5}． 9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝，求集合M ，使其同时满足以下三个条件：(1)M ⊆［(A ∪B )∩Z ］；(2)M 中有三个元素；(3)M ∩B ≠∅解：∵A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2｝B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝∴M ⊆［(A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2｝∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝｛x ｜－3＜x ≤2｝∩Z ＝｛－2，－1，0，1，2｝又∵M ∩B ≠∅，∴－2∈M ．又∵M 中有三个元素∴同时满足三个条件的M 为：｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．【学后反思】解绝对值不等式，关键在于“转化〞．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b＞0)型的不等式的解法．123534。
高一数学一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法
一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法 [典型例题]例1: 解不等式|4-2x|>7分析: 此不等式解法可参照|ax+b|>c(c>0)的解法.解: 原不等式等价于|2x-4|>7由此得2x-4>7,或2x-4<-7解得 x>112, 或 x<-32所以, 原不等式的解集是{x| x>112, 或 x<-32}例2: 解不等式-x2+5x-6≥0分析: 首先把二次项系数变为正数, 然后再解.解: 两边都乘以-1, 得x2-5x+6≤0因∆>0,方程x2-5x+6=0的解是x1=2 x2=3所以, 原不等式的解集是 {x|2≤x≤3}例3: m是何值时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0 (m ≠ -1)对于任何x∈R都成立?分析: 由于m≠-1, 由此此题化为不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0的解集为R需要满足什么条件? 这里只需使∆≤0且m+1>0即可解: 因m≠-1且(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0对于任何x∈R都成立, 则只要满足∆=[-2(m-1)]2-4(m+1)⨯3(m-1) ≤0且m+1>0即可解这个不等式得 m≥2所以, 当m≥2 时, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) ````≥0(m≠-1) 对于任何x∈R都成立.[巩固训练](一) 选择题(1) 不等式|x-4|+1>0的解集是( )A. {x|x>5,或x<3}B. {x|3<x<4}C. RD. ∅(2) 下列一元二次不等式中, 解集为∅的是( )A. (x-3)(1-x)<0B. x2-2x+3<0C.(x+4)(x-1)<0D.2x2-3x-2>0(3) 不等式-|x-5|>-15的解集是( )A. {x|-10<x<20}B.{x|x<20}B. C.{x|x<-10或x>20} D. {x|x>-10}(4) 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1}那么a的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4(5) 不等式1≤|x-3|≤6的解集是( )A. { x|-3≤x≤9}B. {x|x≤2或x≥4}C. {x|-3≤x≤4}D. {x|-3≤x≤2或4≤x≤9}(6)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A, 不等式x2+x-6<0的解集是B, 不等式x2+ax+b<0的解集是A B, 那么a+b等于( )A. -3B. 1C. -1D. 3(二) 填空题:(7) 不等式x2+5x+m<0的解集是{x|-7<x<2},则m=______(8) 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-1,或x>2}, 那么不等式ax2-bx+c>0的解集是_________(9) 不等式|x2-2x-3|>x2-2x-3的解集是_____________(10) 不等式x2-(a+1)x+a>0(a>1)的解集是___________(三) 解答题:(11) 解不等式|x-a|>2(12) 证明对于任何实数K, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 若不等式mx2+(2m+1)x+9m+4<0的解集为R, 求实数m的取值范围.(14) 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(一) 选择题(1) C (2) B (3) A (4) C (5) D (6) A(二) 填空题(7) -14 (8) {x|x>1或x<-2} (9) {x|-1<x<3} (10) {x|x>a或x<1}(三)解答题(11) 提示: 由|x-a|>2得 x-a>2或 x-a<-2解得x>a+2 或x<a-2 所以, 原不等式的解集为{x|x>a+2或x<a-2} (12) 提示: 因为∆=(k+2)2-4⨯2k=k2-4k+4=(k-2)2≥0对任何实数k都成立, 所以对任何实数k, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根(13) 提示: 分类讨论①当m=0时, 原不等式变为2x+4<0, 显然它的解集不是R,所以m=0不满足条件②当m≠0时, 只要满足∆=[2(m+1)]2-4m(9m+4)<0m<0即可, 解得m<-12由①②知, m<-12(14) 提示: 原不等式变形(x-a)(x-a2)>0①当a>1或a<0时, 有a2>a, 故原不等式解集为{x|x>a2或x<a}②当0<a<1时, 有a2<a, 故原不等式解集为{x|x>a或x<a2}③当a=0或a=1时, 有a2=a, 故原不等式解集为{x|x≠a}.。
高一数学 含绝对值的不等式解法 重难点解析 人教版
数学 含绝对值的不等式解法【重点难点解析】本节的重点是：(1)解含绝对值不等式的基本思想：把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，并且要注意转化的等价性．(2)|ax ＋b|>c 与|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．本节的难点是：解含字母参数的绝对值不等式及将较复杂的绝对值不等式等价转化为不含绝对值的不等式．【考点】解绝对值不等式的问题在各级各类考试都经常涉及，是重点内容．本节的学习要求是：①会解|ax ＋b|<c(c>0)，|ax ＋b|>c 两类不等式；②理解掌握解绝对值不等式的基本思想：根据已知条件，利用不等式性质，将含绝对值的不等式同解转化为不含绝对值的不等式．【典型热点考题】例1 解下列不等式：(1)|2x －3|>5；(2)1<|3x ＋4|≤6．思路分析解题目标是去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式(组)．途径1：根据绝对值定义分情况去掉绝对值符号；途径2：利用|ax ＋b|>c ，|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．解：(1)解法一：根据绝对值定义，原不等式可化为⎩⎨⎧>-≥-53x 203x 2或⎩⎨⎧>--<-5)3x 2(03x 2 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≥4x 23x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<<1x 23x∴原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．解法二：原不等式化为2x －3>5或2x －3<－5∴原不等式的解为{x|x>4或x<－1}．(2)原不等式可化为⎩⎨⎧>+≤+1|4x 3|6|4x 3| 即⎩⎨⎧-<+>+≤+≤-14x 314x 364x 36或 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->≤≤-35x 1x 32x 310或 ∴原不等式解集为}32x 135x 310|x {≤<--<≤-或． 例2 对一切实数x ，若|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析这是一个逆向问题．途径1：可利用零点分段讨论，得到|x －5|＋|x ＋2|的取值范围，然后据此确定a 的取值．途径2：充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析|x －5|＋|x ＋2|的意义．解法一：若|x －5|＝0，x ＝5；若|x ＋2|＝0，x ＝－2这样－2，5把数轴分成三部分．①当x ≤－2时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)－(x ＋2)＝－2x ＋3≥7②当－2<x<5时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)＋(x ＋2)＝7③当x ≥5时|x －5|＋|x ＋2|＝(x －5)＋(x ＋2)＝2x －3≥7综上，对一切x ∈R ，有|x －5|＋|x ＋2|≥7．因此，要使对一切x ∈R ，|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，只有a<7．即a 的取值范围是(－∞，7)．解法二：根据绝对值的几何意义，|x －5|可看作点P(x)到点B(5)的距离，|x ＋2|可看作点P(x)到A(－2)的距离．由于|AB|＝7，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离和都等于7．当点P 在线段AB 延长线上或在BA 延长线上时，一定有|PA|＋|PB|>|AB|＝7即数轴上任一点到A 、B 的距离之和都大于或等于7．∴要使|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，必有a<7．点评 解法一主要是从数的方面考虑，而解法二则主要是从形的方面寻求解答．数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对同学们高中数学的学习是极为有益的．【同步达纲练习】一、选择题1．如果a<b ，那么下列各式中不正确的是( )A ．2a<2bB ．a ＋1<b ＋1C ．a －2<b －2D ．2b 2a -<- 2．满足不等式|5x ＋4|<11的整数x 的值是( )A ．－2，－1，0，1B ．1C ．－3，－2，－1，0，1D ．0，13．当x<－2时，|1－|x ＋1||等于( )A ．2＋xB ．－2－xC ．xD ．－x4．若M ＝{x||x|<1}，}1x |x {N <=，则M ∩N ＝( )A ．{x|－1<x<1}B ．{x|0<x<1}C ．{x|－1<x<0}D ．{x|0≤x<1}5．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<－3C ．k ≤3D ．k ≤－3二、填空题1．不等式|2x －1|<2－3x 的解集是____________________．2．不等式2≤|1－4x|<5的解集是____________________．3．关于x 的不等式|2a －3x|＋5b<0(b<0)的解集是____________________．4．已知集合A ＝{x||x －1|<a ，a>0}，B ＝{x|－1<x<2}适合B A ⊆的a 的取值范围是____________________．5．不等式|x ＋2|＋|x|>4的解集是____________________．三、问答题1．解不等式0<|x －a|<δ(δ>0)．2．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求a 的取值范围．3．解关于x 的不等式|ax|>1．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 2．A 3．B 4．D 提示：因为M ＝{x|－1<x<1}，而N ＝{x|0≤x<1}5．B 提示：结合数轴考虑二、1．}53x |x {< 2．}23x 4341x 1|x {<≤-≤<-或3．}3b5a 2x 3b 5a 2|x {-<<+提示：注意－5b>0 4．{a|0<a≤1} 5．{x|x<－3或x>1}三、1．原不等式化为：0<x －a<δ或－δ<x －a<0∴解集为{x|a<x<a ＋δ或a －δ<x<a} ＝{x|a －δ<x<a ＋δ，且x≠a}2．解法一：根据绝对值的几何意义|x ＋2|＋|x －1|表示数轴上一点到A(－2)，B(1)两点距离之和∴|x ＋2|＋|x －1|≥3，又|x ＋2|＋|x －1|<a 解集为∅∴a≤3．解法二： 令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤--<--=-++=1x 1x 21x 2 32x 1x 2|1x ||2x |y 1 ，，，令a y 2=∵21y y <解集为∅如图1－36知：a≤3．3．当a ＝0时，x ∈∅当a≠0时，ax>1或ax<－1当a>0时，}a1x a 1x |x {>-<或当a<0时，}a 1x a 1x |x {-><或．。
高一不等式的知识点及解法
高一不等式的知识点及解法高中数学中，不等式是一个重要且常见的数学概念。
不等式是数学中表示两个数或两个函数之间大小关系的一种符号表达方式。
在高一阶段，学生将开始接触到不等式的知识，并学习如何解决不等式的问题。
本文将介绍一些高一不等式的基本知识点和解题方法。
一、基本概念和符号首先，我们需要了解不等式的基本概念和符号。
不等式可分为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”四种类型。
分别用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示，例如“a > b”表示a大于b。
在解不等式时，我们需要用到一些基本的性质。
例如，如果a > b，那么对于任意的正整数c，我们有a + c > b + c。
另外，如果a > b且b > c，那么a > c，这是不等式的传递性。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 > 5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以2x + 3 > 5为例，我们首先将其转化为等式2x + 3 = 5，得到x = 1。
然后，在数轴上标出1，再根据函数的斜率和截距，判断解集在1的左边或右边。
代数法是通过一系列的变换，将不等式转化为更简单的形式。
对于2x + 3 > 5，我们可以进行如下的代数变换：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1因此，不等式的解集为x > 1。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数并且最高次幂为2的不等式。
例如，x^2 - 4x + 3 > 0是一个一元二次不等式。
解一元二次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法同样是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以x^2 - 4x + 3 > 0为例，我们先将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0，然后求得方程的根x = 1和x = 3，并且找到抛物线在x轴上的开口方向。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结在高一数学学习中，不等式是一个非常重要的知识点。
不等式作为一种比较关系，可以在数学问题中起到很大的作用。
本文将对高一数学中的不等式知识点进行总结和归纳，并从基础概念到常见问题解答，介绍不等式的相关内容。
1. 不等式的基础概念不等式是数学中用于表示两个数之间的大小关系的一种符号表示法。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于）。
不等式的解集包括使不等式成立的所有实数。
2. 不等式的性质和运算规则不等式具有一些与等式相似的基本性质和运算规则。
（1）对于任意实数a，若a > 0，则a乘方不等式保持不等号的方向；（2）对于任意实数a、b和c，若a > b且c > 0，则a + c > b + c；（3）对于任意实数a和b，若a > b且c < 0，则ac < bc。
3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是一次的不等式。
解一元一次不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数且次数最高的项是平方的不等式。
解一元二次不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使不等式成立的区间；（2）代数法：通过代数计算，将不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
此外，还可以使用配方法、求导等方法求解特殊的一元二次不等式。
5. 系统不等式系统不等式是多个不等式同时存在的情况，需要求解不等式的共同解集。
解系统不等式的方法一般有图像法和代数法。
（1）图像法：通过将不等式转化为图像，找出使所有不等式都成立的区域；（2）代数法：通过代数计算，将系统不等式转化为等价的形式，求解出未知数所在的范围。
绝对值不等式
（8） | 6 - |2x+1| | >1
三、本节小结
本节课我们通过求不等式|x|<1的解集，得 到了解含绝对值不等式的四种常用思路。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察 这四种思路将有助于我们有效地解决含绝 对值不等式的问题。
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
高一数学课件：上学期第一章第四节绝对值不等式的解法(2)
三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2： 3 <| 3 − 2 x |≤ 5 ⇔ 3 <| 2 x − 3 |≤ 5 2 x − 3 ≥ 0 2 x − 3 < 0 ⇔ ， 或 3 < 2 x − 3 ≤ 5 3 < −(2 x − 3) ≤ 5 3 3 x < x ≥ ， 2 ⇔ 2 ， 或 − 1 ≤ x < 0 3 < x ≤ 4
⇔ 3 < x ≤ 4， − 1 ≤ x < 0 . 或
∴ 原不等式的解集是{x | −1 ≤ x < 0， 3 < x ≤ 4}. 或
三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3： 3 <| 3 − 2 x |≤ 5 ⇔ 3 <| 2 x − 3 |≤ 5
⇔ 3 < 2 x − 3 ≤ 5， − 5 ≤ 2 x − 3 < −3 或
(1)当x ≤ −1时, x + 1 ≤ 0, x − 3 < 0,
∴ 原不等式变形为 − ( x + 1) − ( x − 3) > 2 + x, 即x < 0.
此时, 得{x | x ≤ −1} ∩ {x | x < 0} = {x | x ≤ −1}.
-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
(m>n >0) 型不等式的解法
教学难点： 教学难点： 含有两个或两个以上绝对值符号的不 等式的解法.
一、复习引入 ②
-c
①
0
②
c
2
高一数-1.4含绝对值的不等式解法
［解］ 依题意，有A＝{x||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，
B＝{x||x＋2|＜1}＝{x|－3＜x＜－1}．
∴ C＝(A∪B)∩Z＝{x|－1≤x≤2}∪{x|－3＜x＜－1}∩Z
【剖析难点】
例4 解不等式：|x－2|＞2x－10．
［解析］ 本例不等号两边均有未知数x，虽不能直接运用最简绝对值不等式，但解题的关键仍是去掉绝对值，因而可采用分段讨论的方法．
［解法1］ (1)当x≥2时，不等式转化为：x－2＞2x－10，得x＜8．∴ 2≤x＜8．
(2)当x＜2时，不等式转化为：2－x＞2x－10，得x＜4．∴ x＜2．
［解析］ 解含参量的绝对值时要进行分类讨论．
［解］ 不等式可化为|2x＋3|＜a＋1． ①
当a＋1＞0，即a＞－1时，由①式得－a－1＜2x＋3＜a＋1，
点拨 对参变量a进行讨论，最后的结论不能合并．
【应用创新能力升级】
本节知识常在集合、函数、方程、解析几何等章节中应用，解题时要灵活运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，以使解题直观、简便．
6．含有多个绝对值符号的不等式的解法
方法1：利用绝对值的几何意义．如解不等式|x＋1|＋|x－2|＜3．
方法2：利用“零点”进行分段讨论，最后求并集．如上例，可分x≤－1，－1≤x≤2，x＞2三段分别去掉绝对值符号，然后求解．
思维整合
【重点】 |x|＜a与|x|＞a(a＞0)型不等式的解法；以及对|ax＋b|＜c(c＞0)转化为－c＜ax＋b＜c，|ax＋b|＞c(c＞0)转化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c的理解．
绝对值不等式的解法数轴法
| x－1|＋|x＋2|=5
所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即
不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
江西省赣州市第一中学 张军华
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高中数学微课
江西省赣州市第一中学 张军华
高中数学微课
ax b ax c d
江西省赣州市第一中学
张
军
华
系 列 3
ax b a ax c ()d 的不等式 解型如 a （x的系数相等）
江西省赣州市第一中学 张军华
例 [2012江西卷]不等式 2x 1 2x 1 6 的解为 分析:将 2x 1 2x 1 6两边同除2得
x 2 1
x 2 1
-3 x -2
x+2 1
x 2 1
-1
x2 0
x
江西省赣州市第一中学 张军华
例2 [2012广东卷]不等式 x 2 x 1 的解为? x 2 x 1 的几何意义? 分析： 解:当│x+2│=0,│x│=0,x=-2,x=0, x 2 x 0 要得到 x 2 x 1 0, 当x0=-1时， 1 则点x0应向右平移 2 单位. 当x
x 1 1 x 3 2 2 x
长度为13 , ∴当x在AB内移动时， 设│CB│=t，则 CB CA t t 1 3 1 1 令2t+1=3,得t=1,当 x 2 x 2 3 时, xC xB t 2 3 或 xC xA t 2 1
或差，确定
x
m x0 n
x
m x0
高一数学两种不等式的解法知识精讲
高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。
或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。
3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。
（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论． 解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜ 当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜ 评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。
2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。
例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。
高中高一数学教案设计：含绝对值的不等式
高中高一数学教案设计：含绝对值的不等式一、教学目标1.理解含绝对值不等式的概念，掌握含绝对值不等式的解法。
2.能够运用含绝对值不等式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1.重点：含绝对值不等式的解法。
2.难点：含绝对值不等式的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾初中阶段学过的绝对值的概念和性质。
（2）提出问题：如何解含绝对值的不等式？2.授课（1）介绍含绝对值不等式的概念含绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，如|ax+b|>c、|x-a|<b等。
（2）讲解含绝对值不等式的解法a.ax+b>cb.ax+b<-c分别求解这两个不等式，得到解集。
a.ax+b<cb.ax+b>-c分别求解这两个不等式，得到解集的交集。
（3）举例讲解1.解不等式：|2x-3|>1a.2x-3>1b.2x-3<-1解得：x>2或x<12.解不等式：|x-2|<3a.x-2<3b.x-2>-3解得：-1<x<53.练习与讨论1.解不等式：|3x+1|>42.解不等式：|2x-5|<1（2）学生展示讨论成果，教师点评并给出正确答案。
4.含绝对值不等式的应用（1）讲解例题：例：已知函数f(x)=|x-2|+|x+3|，求函数的最小值。
解：当x<-3时，f(x)=-2x-1；当-3≤x<2时，f(x)=5；当x≥2时，f(x)=2x+1。
因此，函数f(x)的最小值为5。
（2）学生练习：1.已知函数g(x)=|2x-1|+|x+2|，求函数的最小值。
2.已知函数h(x)=|x-3|+|x+4|，求函数的最小值。
5.课堂小结本节课我们学习了含绝对值不等式的概念和解法，以及含绝对值不等式在实际问题中的应用。
希望大家能够掌握这些知识，并在实际问题中灵活运用。
高一数学含绝对值不等式解法(课件)
x，当x 0时，
2. 绝对值的意义： x 0，当x 0时，
x，当x 0时.
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制作06
2009年下学期
1. x 2的解的几何意义是什么？
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2009年下学期
1. x 2的解的几何意义是什么？
2 0 2
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2009年下学期
1) x 2
2) x 2的解集
2 0 2
2 0 2
x 2的几何意义：
数轴上到原点距离
小于2的点的集合.
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2009年下学期
1. x 2的解的几何意义是什么？
2 0 2
2. 能否利用绝对值的几何意义求出
1) x 2
2) x 2的解集
2 x 2的几何意义：
x a (a 0)的解集为_________ .
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2009年下学期
结 论：
x a (a 0)的解集为____Φ_____； x a (a 0)的解集为____R_____； x a (a 0)的解集为_____Φ____；
x a (a 0)的解集为__{_x_x___0_}_ .
一般地，x a (a 0)的解集为： { x | a x a}， x a (a 0)的解集为： { x | x a或x a}.
问：为什么要加上a>0这个条件呢？ 如果a<0呢？a=0呢？
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2009年下学期
结 论：
x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________ .
绝对值不等式高一知识点
绝对值不等式高一知识点绝对值不等式是高中数学学习的重要知识点之一，它在解决数学问题时扮演着重要的角色。
本文将介绍绝对值不等式的定义、性质和解法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 绝对值不等式的定义和性质绝对值不等式是形如 |a| < b 或 |a| > b 的不等式，其中 a 和 b 是实数。
当绝对值不等式中的不等号为小于号时，表示绝对值小于某个数；当不等号为大于号时，表示绝对值大于某个数。
绝对值不等式的主要性质如下：（1）|a| ≥ 0，绝对值不会小于零，即绝对值大于等于零。
（2） |a| = 0 当且仅当 a = 0，绝对值等于零的实数只有零本身。
（3） |a| > 0 当且仅当a ≠ 0，非零实数的绝对值大于零。
（4） |a * b| = |a| * |b|，即两个实数的乘积的绝对值等于这两个实数的绝对值的乘积。
2. 绝对值不等式的解法解绝对值不等式的关键是找到合适的数轴区间，并确定绝对值的正负性。
根据绝对值不等式的类型，可以分为以下三种情况进行讨论。
（1） |x| < a 形式的绝对值不等式（其中 a > 0）：解法步骤：a）确定 -a < x < a，即数轴上的解集表示为 ( -a , a )。
b）根据解集的形式，得到 -a < x 和 x < a。
c）合并两个不等式得到最终的解集：-a < x < a。
（2） |x| > a 形式的绝对值不等式（其中 a > 0）：解法步骤：a）将不等式转化为 x < -a 或 x > a 的形式。
b）根据解的形式得到两个不等式：x < -a 或者 x > a。
c）根据数轴上的解集，得到最终的解集：x < -a 或者 x > a。
（3）在不等式中含有绝对值的情况，例如 |x - a| > b 形式的绝对值不等式（其中 a 和 b 均为正实数）：解法步骤：a）将不等式转化为 x - a > b 或 x - a < -b 的形式。
高一数学课件-含绝对值不等式的解法(一) 最新
解集是什么？
问题4
进一步尝试归纳出
ax b c ，ax b c (c>0)
解集是什么？
ax +b>c 或 ax+b< -c
问题4
进一步尝试归纳出
ax b c ，ax b c (c>0)
解集是什么？
ax +b>c 或 ax+b< -c -c < ax+b <c
知识应用与解题研究 例1 ︱x-500︱≤5
x x
x 500 5问题1Fra bibliotek什么呢？
如何求解方程 x 2
的解呢？ x 2 的几何意义是
问题2
是什么？
能表达 x 2
x 2 的几何意义吗？其解集
问题3
能否尝试归纳出一
般情况下 x a ，x a
的几何意义吗？其解集是什么？
问题3
能否尝试归纳出一
般情况下 x a ，x a
高一年级 数学 第一章 第一节
含绝对值不等式的解法 （一）
授课者:贺仁亮
生活实例1
户外服装制作的常规要求：面料 要求成份配比准确，纱支密度均 匀，针织面料要求克重误差范围 在±5%以内。
生活实例2
商品质量规定,商店出售的标明 500g的袋装食盐,其实际数与所 标数相差不能超过5g,设实际数 是 x g,那么实数 x与所标数的关 系呢？
的几何意义吗？其解集是什么？ ｛ x︱x >a 或 x< -a ｝
问题3
能否尝试归纳出一
般情况下 x a ，x a
的几何意义吗？其解集是什么？ ｛ x︱x >a 或 x< -a ｝ ｛x ︱-a <x<a ｝
高一数学绝对值不等式的解法
1.4绝对值不等式的解法教学目的：（1）理解并掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能初步地应用它解决问题；（2）通过绝对值的几何意义了解数形结合，分类讨论的思想，培养数形结合的能力，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力； 教学重点：a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法。
教学难点：绝对值意义的应用， ax b c +<与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法。
教学过程：一、复习引入：1.实数|a|的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？2.|x-a|(a ≥0)的几何意义是什么？实例：（课本第14页）按商品质量规定，商店出售的标明500g 的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数相差不能超过5g ，设实际数是x g ，那么，x 应满足怎样的数量关系呢？能不能用绝对值来表示？二、讲解新课：1．)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式的解法。
（1）含绝对值的方程|x|=2的几何意义、方程的解.（2）2<x 与2>x 的几何意义是什么？如何在数轴上表示？不等式的解集是什么？. 类似地，不等式)0(><a a x |与)0(>>a a x 的几何意义是什么？解集又是什么？小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想2．c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式来求解。
三、讲解范例：例1（课本第15页 例1）解不等式5500≤-x .例2（课本第15页 例2）解不等式752>+x .例3解不等式1<213x +≤.例4 解不等式 |5||23|1x x --+<例5 解不等式：|3|2(0)ax a +<≠例6 若不等式 | x+1 | + | x – 1 | < m 的解集为非空集，求实数 m 的取值范围.例7．若313<-x 则41291624922++++-x x x x 化简的结果为 .四、课内练习 课本第16页练习1、2五、作业: 课本第16页习题2、3. 4.。
高一数学《含绝对值不等式的解法》
1.解下列不等式： (1) x 5； (2) x 3.
(3) 2 x 8； (4) x 2. 3
练习巩固
(1) x 4； (3 ) 3 x 6；
பைடு நூலகம்
(2) x 4 . (4) x 3.
2
作业布置
P45 练一练 （1）、（2）、（4）、（5）
此课件下载可自行编辑修改，供参 感谢您的支持，我们努力做得更好
结 论：
x a (a 0)的解集为____Φ_____； x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________.
结 论：
x a (a 0)的解集为____Φ_____； x a (a 0)的解集为____R_____； x a (a 0)的解集为_________； x a (a 0)的解集为_________.
1) x 2
2) x 2的解集
。○。。 2 0 2 xx
2.能否利用绝对值的意几义何求出
1) x 2
2) x 2的解集
2 0 2 x x 2的几何意义：
数轴上到原点距离 小于2的点的集合.
2.能否利用绝对值的意几义何求出
1) x 2
2) x 2的解集
2 0 2 x x 2的几何意义： 数轴上到原点距离 小于2的点的集合.
结 论：
x a (a 0)的解集为____Φ_____； x a (a 0)的解集为____R_____； x a (a 0)的解集为_____Φ____； x a (a 0)的解集为_________.
结 论：
x a (a 0)的解集为____Φ_____； x a (a 0)的解集为____R_____； x a (a 0)的解集为_____Φ____； x a (a 0)的解集为__{_x_x___0_}_.
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1.4绝对值不等式的解法
教学目的：
（1）理解并掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能初步
地应用它解决问题；
（2）通过绝对值的几何意义了解数形结合，分类讨论的思想，培养数形结
合的能力，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力； 教学重点：a x <与)0(>>a a x 型不等式的解法。
教学难点：绝对值意义的应用， ax b c +<与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法。
教学过程：
一、复习引入：
1.实数|a|的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？
2.|x-a|(a ≥0)的几何意义是什么？
实例：（课本第14页）按商品质量规定，商店出售的标明500g 的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数相差不能超过5g ，设实际数是x g ，那么，x 应满足怎样的数量关系呢？能不能用绝对值来表示？
二、讲解新课：
1．)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式的解法。
（1）含绝对值的方程|x|=2的几何意义、方程的解.
（2）2<x 与2>x 的几何意义是什么？如何在数轴上表示？不等式的解集是什么？. 类似地，不等式)0(><a a x |与)0(>>a a x 的几何意义是什么？解集又是什么？
小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想
2．c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为)0(><a a x 与)0(>>a a x 型的不等式来求解。
三、讲解范例：
例1（课本第15页 例1）解不等式5500≤-x .
例2（课本第15页 例2）解不等式752>+x .
例3解不等式1<213x +≤.
例4 解不等式 |5||23|1x x --+<
例5 解不等式：|3|2(0)ax a +<≠
例6 若不等式 | x+1 | + | x – 1 | < m 的解集为非空集，求实数 m 的取值范围.
例7．若313<-x 则41291624922++++-x x x x 化简的结果为 .
四、课内练习 课本第16页练习1、2
五、作业: 课本第16页习题2、3. 4.。