完备格值Zadeh型函数

完备格值Zadeh 型函数
陆志军
(陕西师范大学数学系　陕西西安　710062)
收稿日期:2000—10—22;修回日期:2001—03—12作者简介:陆志军(1969—),男,江苏南通人,硕士.摘　要:当L 为完备格时,定义了L -值Zadeh 型函数和广义序同态概念.讨论了L -值Zadeh 型函数的性质及其与序同态的关系.
关键词:完备格　L-值Zadeh 型函数　广义序同态
中图分类号:O189.1　文献标识码:A 文章编号:1008—3871(2001)02—0010—02
1　引言
Zadeh 型函数的概念是由L .A .Zadeh 于1965年引入的,它将分明映射和模糊映射联系起来,从而为利用分明拓扑研究模糊拓扑提供了可能性.本文在更广泛的完备格上定义了L-值Zadeh 型函数及广义序同态概念(它们是已有的L-值Zadeh 型函数及广义序同态概念的推广),并讨论了它们的一些性质及关系.
2　基本概念
定义2.1　设L 为偏序集,若L 的每一个子集A 都有上确界及下确界,即 A L ,sup A 与inf A 恒存在,则称L 为完备格.
定义2.2　设L 1与L 2为完备格,映射f :L 1→L 2称为广义序同态,是指f 满足如下两条:
(1)f (a )=0 a =0( a ∈L 1);(2)f 与f -1保并,其中f -1(b )=∨{x ∈L 1|f (x )≤b }( b ∈L 2).
定义 2.3　设f :X →Y 为映射,L 为完备格,定义F :L X →L Y ,则称F 是由f 诱导的L-值Zadeh 型函数.这里,F(A)(y )=∨{A(x )|f(x )=y }( A ∈L X , y ∈Y).
3　主要结果
定理3.1　设F 为L 值Zadeh 型函数,则:
(1)F 为序同态;(2)F -1(B)=B ·f( B ∈L Y );(3)F 为一一对应 f 为一一对应.
证明　(1) y ∈Y,F(A)(y)=∨{A(x )|f(x )=y }=
∨x ∈f -1(y)A(x ),从而 A ∈L X ,F(A)=0 A=0.又F(∨t ∈
T A t (y )=∨x ∈f -1(y)((∨t ∈T A t )(x ))=∨t ∈T (∨x ∈f -1(y)A t (x ))=∨t ∈T F(A t )(y ).所以,F(∨t ∈
T A t )=∨t ∈T F(A t ),故F 保并.由F -1(B)=∨{A ∈L X |F(A)≤B}( B ∈L Y )可知,F -1保并,所以F 为序同态.
2001年6月第11卷　第2期 榆林高等专科学校学报JOU R N AL O F YULIN CO LLEGE June.2001Vol.11No.2
(2) x 0∈X ,设F (A )≤B ,令y =f (x 0)得A (x 0)≤∨{A (x )|f (x )=y }=F (A )(y )≤B ·f (x 0)即A ≤B ·f;反之,设A ≤B ·f,则 y 0∈Y,F(A)(y 0)=∨{A(x )|f (x )=y 0}≤∨{B(f (x ))|f(x )=y 0}=B(y 0),即F(A)≤B,这说明F(A)≤B A ≤B ·f.所以F -1(B)=∨{A |F
(A)≤B}=∨{A |A ≤B ·f}=B ·f.
(3)设f 为单射且A 1≠A 2,则有x ∈X ,使得A 1(x )≠A 2(х).令y =f (x ),则F (A 1)(y )=∨{A 1(x )|f(x )=y}=A 1(x ),F(A 2)(y )=∨{A 2(x )|f(x )=y }=A 2(x ).所以F(A 1)(y)≠F(A 2)(y ),即F (A 1)≠F (A 2),所以F 为单射.反之,设F 为单射a ,b ∈X 且a ≠b ,则a λ≠b λ,由F 单射可知F(a λ)≠F(b λ),又F(a λ)=[f(a )]λ,F(b λ)=[f(b)]λ,[f(a)]λ≠[f(b)]λ,[f(a)]≠f(b),这说明f 是单射,所以f 单 F 单,下证f 满 F 满,设f 满,则对每个y λ∈L Y ,存在x ∈X ,使得f (x )=y,令A=x λ,则F(A)=F(x λ)=[f (x )]λ=y λ,所以f 满 F 满.反之,若F 满,则对每个y λ∈L Y ,存在x λ∈L X ,使得F(x λ)=y λ=[f(x )]λ,即f(x )=y,所以F 满 f 满.综上可知,F 一一对应 f 一一对应.
定理3.2　设F :L X →L Y 为保并映射,则F 为L-值Zadeh 型函数的充要条件是:存在映射f:X →Y,使得 B ∈L Y ,F -1(B)=B ·f.
证明　由定理3.1(2),只须证充分性.首先由F -1的定义得A ≤F -1F (A );由F 保并得,F [F -1(B)]=F[∨{C |F(C)≤B}]=∨{F(C)|F(C)≤B)}≤B;
若y ∈f(X),λ∈L,则可证F -1(y λ)=[λ]∧χf -1(y).令B =y λ,只须证x ∈f -1(y )时F -1(B)
(x )=λ,x f -1(y )时F -1(B )=0.按上段,若x ∈f -1(y ),则f (x )=y ,F -1(B )(x )=B ·f (x )=B (y )=λ;x f -1(y )时,f (x )≠y ,F -1(B )(x )=B ·f (x )=0( B ∈L Y ,F -1(B )=B ·f ).其次证,对每个x ∈f -1(y),F(x λ)=y λ=B .由F 保并和F[F -1(B)]≤B 知F(x λ)≤F[F -1(B)]≤B =y λ.令B 1=F(x λ),则x λ≤F -1[F(x λ)]=F -1(B 1)=B 1·f,λ≤B 1·f(x )=B 1(y )=F(x λ)(y ).即F (x λ)=B .由此可证F (A )=∨{A (x )|f (x )=y }.
例　令L =[0,1],X ={a ,b },Y ={d },F :L X →L Y 规定为 x ∈X ,F (x λ)=d 0.5λ,F (A )=F (a λ)∨F (b μ),(其中A =a λ∨b μ∈L X 为L X 中任一LF 集)可以证明F 为序同态,但F 不保分子高度,所以F 不是L-值Zadeh 型函数.
参考文献:
[1]王国俊.L-Fuzzy 拓扑空间论[M ].西安:陕西师大出版社,1988.
[2]王国俊.Order-homo mo rphisms o n Fuzzes [J].Fuzzy set and system ,1984,(12):281-
288.
[3]王国俊.Fuzzy 函数成为Zadeh 型函数的充要条件[J].自然杂志,1984,(7):553.
L -valued Zadeh Functions in Complete Lattice
LU Zhijun
(Shaa nxi No rm al University ,Xi ′a n,Shaa nxi,710062)
Abstract :L-v alued Zadeh functions and o rder-homo mo rphisms in the case of L being a com plete lattice a re defined.Their pro perties and rela tionships a re discussed.
Keywords :com plete lattice ;L -valued Zadeh function ;g eneralized o rder -homom orphism (责任编辑　尤飞)·
11·陆志军:完备格值Zad eh 型函数。