对一道圆锥曲线最值问题教学过程的反思
圆锥曲线中的最值问题
02பைடு நூலகம்
求解方法
设两点坐标，利用距离公式求解，再通过求导找出极值 点，确定最大最小值。
03
应用场景
通信、导航等领域，经常需要求解信号的最远和最近传 输距离等问题。
圆锥曲线上的点的最值坐标
定义
指的是在圆锥曲线上找到具有某种性质最值（如距离最值、角度最值等）的点，并求出其坐标。
求解方法
通常要根据具体性质设立目标函数，再利用求导等数学工具求出极值点，进而得到最值坐标。
求解方法
通过运用圆锥曲线与直线的 交点的坐标表达式，结合距 离公式，利用微积分工具求
解最值。
应用场景
该问题在光学、几何设计等 领域有应用，如望远镜的设 计、镜面的曲率选择等。
圆锥曲线内接多边形的最值面积
定义与背景
圆锥曲线内接多边形是指多边形的顶点都在圆锥曲线上的多边形 。在最值情况下，该多边形的面积达到最大或最小值。
最值问题在物理学中的应用
光学
在物理学中，圆锥曲线与光学有着密 切的联系。例如，利用圆锥曲线的性 质可以解决光的反射、折射等最值问 题，从而优化光学系统的设计。
力学
圆锥曲线在力学中也有应用，例如在 研究天体运动时，可以利用圆锥曲线 的性质来解决最值问题，从而预测天 体的运行轨迹和位置。
最值问题在工程实践中的应用
性质
圆锥曲线有许多重要的性质，如对称性、焦点性质、准线性质等。这些性质在 最值问题的研究中起着重要作用。
最值问题的概述
定义
最值问题是寻找函数在给定区间上的最大值和最小值的问题 。在圆锥曲线中，最值问题通常涉及到曲线上的点与特定直 线或点之间的距离、角度等的最值。
解决方法
解决最值问题的方法包括导数法、不等式法、几何法等。在 圆锥曲线的最值问题中，通常结合曲线的几何性质和代数方 法来进行求解。
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
一节专题复习课的设计与反思——以“圆锥曲线中的最值问题”为例
李柏青 ： 一节专题复 习课 的设计与反思
・１ ５・
因为 Ｃ Ｏ Ｓ （ Ｏ ｔ ＋ ）＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ Ｃ Ｏ Ｓ ｆ ￣ 一ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｒ ￣ ８， 欲＂ ｉ Ｅ Ｏ ｔ ＋
＝
整理 得
即
＝
是 （ ２ ｋ 。 ｂ 。 ＋ ２＋ ２ 一 ２ ｂ ）：
课“ 圆锥 曲线 中的最值 问题” ． 圆锥 曲线 中的最值 问题 是 与 圆锥 曲线相关 的典 型综 合性 问题 ． 通 过这
反三、 触类旁通 ， 发展数学思维．
１ 设 计前 的思 考
・
ｌ ６・
中学教研 （ 数学）
１ ． ３ 确 定 目标
１ ． １ 内容 分 析
在解 析几 何 中 ， 曲线 是具 有某 种属 性 的动点 轨 迹， 在用 坐标 法建 立 点 与 有序 数 对 的联 系 后 ， 点 动 伴 随着 数量 的变化 ， 研 究变 化 中的最值 问题 自然而 生． 圆锥 曲线 中的最 值问题 ， 涉及 圆锥 曲线 的定 义 、
盾） ， 故
ｋ＝ 一１ ．
＜ ｏ （ 矛
，
依条 件 ， 点 Ａ， Ｂ在第 一象限，
则
此 时
：
， ｙ ） ， ：
１ ＋ 铲 ２ 一 丽
＝
＞ ｏ ｕ ；
３ 从而 Ｃ Ｏ Ｓ （ ＋ ）＝ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ 一ｓ ｉ ｎ ａ ｓ ｉ ｎ ／ ３ ＝
以上 ３种证法分别从不同的角度进行分析论 证， 论证中涉及的知识主体属数学 中的不 同内容 ， 但殊途同归， 最终使 问题得 以解决． 作为数学 思维
由条件 ＋ ： ２知 １ Ｙ １ ＋ ￣ ９ ｇ ２ Ｙ ２ ＝ ２ ｙ １ Ｙ ２ ， 结合
圆锥曲线中距离的最值问题探讨
／ ～
ｈ ≮ ７
ｆ
一“ ’
证 明 ： 双 曲线 左 支 上 任 取 异 于 点 Ｐ 在 的 点 Ｐ 连 结 Ｐ １ Ｍ，Ｆ，则 有 Ｉ ｌ ｔ ， Ｆ， Ｐ ２ Ｐ Ｐ Ｉ Ｆ ＋
Ｐ ＝ ＩＦＩ Ｐ ｌ ＋Ｐ ２ ［ＭＩＩ ２ ２ ＭＩ－（ ２ Ｆ１ ＩＦ Ｉ Ｐ ＞ＭＦＩ ａ Ｐ －Ｉ ） ＋ 一
一 ．
ｐ
．
‘
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｐ 为 最 小值 点 ，
．
谢
＋
●
４特 别 地 ， 要 在 双 曲线 右 支上 求 点 Ｐ 使 ＩＦＩＩ 的 值 为 ． 若 ． Ｐ Ｐ ＋ ＭＩ
最 小 ， 先 连 结 Ｍ ， ＭＦ 与双 曲线 右支 有 交 点 Ｐ， 点 便 是 首 Ｆ， 若 ，这
所 找 的最 小 值 点 ， ＩＦＩ Ｐ 的最 小 值 为Ｉ ， 若 没 有 交 点 ， 则 Ｐ ， ＩＭＩ ＋ ＭＦＩ ， 则 ， 应 连结 ＭＦ ， ： 双 曲线 右 支 的 交 点 Ｐ ， 即为 所 求 的最 小 值 ： ＭＦ 与
由此 可知 ，除 定 点 Ｍ 在椭 圆 外 时 ， ＭＩＩ Ｉ ＋Ｐ Ｉ Ｐ Ｆ 的最 小 值 为
Ｐ 。 其 他 情 况 的最 小值 都 为 ２— Ｉ最大 值 都 为 ２＋Ｍ Ｆｌ ， 夕 ａｌ ， Ｍ ａ ｌ Ｉ
２ 关 于 双 曲线
２ ２
而 距离 的最 值问 题 又是 考 试 中常 涉 及 的知 识 点 ，且 在 实 际 生活 中具有 广 泛 的应 用 价值 以 下就 圆 锥 曲线 中 曲线 上 的 点 到一 焦
第 ６ 第 ５期 卷
Ｖｏ． Ｎｏ５ １６ ．
读 与 写 杂 志 Ｒ ｅ ｄ ａ ｒｔ ｒｏｄｉａ ａ ｎｄＷ ｉｅ Ｐｅ ｉ ｃ ｌ
例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题
例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。
但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。
这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。
下面就列举一些例子加以说明。
以说明。
例1、2008年福州市数学质检文科、理科的选择题第12题：题： 如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是（的取值范围是（ ）A 、)262,é++¥ëB 、)2622,é-+¥ëC 、)2622,2622é-+ëD 、)262,é-+¥ë分析：此题的得分率很低，此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。
用函数观点求解困难重重。
用函数观点求解困难重重。
若能利用双曲线的第若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。
解法如下：一定义，则势如破竹。
解法如下：连结MA ，由双曲线的第一定义可得：2MB MC MA a MC +=-+ 22222622MA MC AC =+-³-=- 当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最小值。
时取得最小值。
如果此题就到此为止，如果此题就到此为止，如果此题就到此为止，未免太可惜了！未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：作如下的探究：（1）如果M 点在左支上，则点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？的取值范围是多少？（2）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143x y +=上任一点，若点M 到点1,12C æöç÷èø与点B 的距离之差为S ，则S 的最大值是多少？的最大值是多少？（3）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143x y +=上任一点，若点M 到点1,12C æöç÷èø与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？的取值范围是多少？分析：连结MA ，由椭圆的第一定义可得：，由椭圆的第一定义可得：()22MB MC a MA MC a MA MC +=-+=--，当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。
圆锥曲线中最值问题的解题策略
科 学 大众 ・ 科 学 教 育
２ ０ １ ３ 年 第３ 期
圆锥曲线中最值问题的解题策略
杨 华
（ 秦皇 岛开发 区燕山大学附属 中学， 河北省 ０ ６ ６ 内容 ， 以椭圆、 双 曲线 、 抛 物线为载体 ， 考察 圆锥 曲线的综合 问题 。其 中最值 问题是考试 中的 常见题 型 ，
・ ． ．
重心为 Ｇ（ ， ） ， 又 ・ ． ・ ＝
， 所以 内心 Ｉ 的纵坐标
为
・
． ．
ＳＡ Ｆ ｌ Ｐ Ｆ ２ ＝Ｉ ｌ Ｆ
ｌ
Ｆ ２ 卜 ｌ ｙ ｏ ｌ ＝ （ Ｉ Ｐ Ｆ ｌ Ｉ ＋Ｉ Ｐ Ｆ ２ ｌ ＋Ｉ Ｆ １ Ｆ ２ １ ） Ｉ Ｙ ｑ ｇ － Ｉ
＝
・ ． ．
它可 以考查分类讨论、 数形 结合 、 转化与化归等诸 多数 学思想和方法 ， 还可 以考查 同学们的思 维能力、 实践 和创新 能力。
关键词 ： 圆锥 曲 线 ； 最 值 问题 中图 分 类 号 ： Ｇ６ ３ ３ ．６ 文 献标 识 码 ： Ａ
圆锥 曲线是高考必考 内容 ， 以椭 圆 、 双 曲线 、 抛物线 为载体 ， 考
例１ ： （ ２ ０ １ ３ 模 拟 试 题） 已 知 椭圆ｃ ： ＋ 导＝ ｌ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ） ， Ｆ 。 、
Ｆ ： 分 别为其 左 、右焦 点 ， Ｐ为椭 圆 ｃ上任 一点 ， △Ｆ 。 Ｐ Ｆ ： 的重心 为 Ｇ， 内心 Ｉ ， 且有 ＝ （ 其 中 为 实数 ） 。 （ １ ） 求椭 圆 ｃ的离心率 ｅ ； （ ２ ） 过焦点 Ｆ 的直线 ｌ 与椭 圆 ｃ相交于点 Ｍ、 Ｎ， 若 ＡＦ ＭＮ面 积的最大值为 ３ ， 求椭 圆 ｃ的方程 。
高中数学教案反思总结
高中数学教案反思总结
1. 教学目标明确：在教学中，我应该更加明确地设定目标，使学生知道他们学习的是什么，为什么需要学习这个知识，以及如何运用这个知识。
2. 知识点讲解清晰：在讲解知识点时，我应该尽量简洁清晰地表达，避免过于复杂和冗长，让学生易于理解和掌握。
3. 引导学生思考：在教学中，我应该更加注重引导学生思考和解决问题的能力，而不仅仅
是简单地传授知识。
4. 多样化教学方法：在教学过程中，我应该尝试不同的教学方法和工具，例如游戏、小组
讨论等，以激发学生的学习兴趣和积极性。
5. 反馈和评价：在教学结束后，我应该及时对学生的学习情况进行反馈和评价，帮助他们
发现自己的不足之处并加以改进。
通过这次教学反思总结，我会更加努力地提高自己的教学水平，为学生提供更加优质的教
育服务。
希望在接下来的教学实践中能够做得更好，让学生在数学学习中取得更大的进步。
高中数学《圆锥曲线》网络教学设计及教学点评
高中数学《圆锥曲线》网络教学设计及教学点评高中数学《圆锥曲线》网络教学设计----张海峰一、学习目标与任务1、学习目标描述知识目标(A)理解和掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义，并能应用第一定义和第二定义来解题。
(B)了解圆锥曲线与现实生活中的联系，并能初步利用圆锥曲线的知识进行知识延伸和知识创新。
能力目标(A)通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力。
(B)通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。
(C)专题网站中提供各层次的例题和习题，解决各层次学生的学习过程中的各种的需要，从而培养学生应用知识的能力。
德育目标让学生体会知识产生的全过程，培养学生运动变化的辩证唯物主义思想。
2、学习内容与学习任务说明本节课的内容是圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的统一定义，以及利用圆锥曲线的定义来解决轨迹问题和最值问题。
学习重点：圆锥曲线的第一定义和统一定义。
学习难点：圆锥曲线第一定义和统一定义的应用。
明确本课的重点和难点，以学习任务驱动为方式，以圆锥曲线定义和定义应用为中心，主动操作实验、大胆分析问题和解决问题。
抓住本节课的重点和难点，采取的基于学科专题网站下的三者结合的教学模式，突出重点、突破难点。
充分利用《圆锥曲线》专题网站内的内容，在着重学习内容的基础上，内延外拓，培养学生的创新精神和克服困难的信心。
二、学习者特征分析（说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等）l本课的学习对象为高二下学期学生，他们经过近两年的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。
高二年下学期学生由于高考的压力，他们保持着传统教学的学习习惯，在l课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是如果他们还是乐于尝试、勇于探索的。
高二年的学生在学习交往上“个别化学习”和“协作讨论学习”并存，也就是说学生是具有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力的，还是能完成上课时教师布置的协作学习任务的。
圆锥曲线中的最值、范围问题2
则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数 表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变 化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求 解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数 和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类 问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数 或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够 表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、 点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．
圆锥曲线中的最值和范围问题探究
圆锥曲线中的最值和范围问题探究作者：刘洋来源：《数理化学习·高一二版》2013年第09期圆锥曲线中的最值与取值范围问题是教学的重点也是教学的难点，又是高考的重点，还是学生的失分点.搞好其教学也是教师的教学难点.根据多年的高中教学经验，笔者认为：首先激起学生的学习渴望，优化课堂结构，改进教学方法，师生互动探讨知识的演绎过程及解题的发生发展过程，是提高学生解题能力的重要方法.一、主要知识及主要方法1.与圆锥曲线有关的最值问题，大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何等多方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下（1）平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.（2）目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值.（3）判别式法（4）圆锥曲线定义的应用①运用圆锥曲线的定义解题常用于：a.求轨迹问题；b.求曲线上某些特殊的点的坐标；c.求过焦点的弦长、焦半径.②要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验，以便提高灵活应用定义解题的能力.a.在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简.b.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正弦定理或余弦定理来解决问题；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决问题.c.研究有关点之间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再从几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.2.与圆锥曲线有关的范围问题的讨论常用以下方法解决（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围.（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（4）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；二、典例分析点睛（1）与圆有关的最值问题往往与圆心有关；（2）函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视.三、总结在适应新教材、提倡自主探究式教学的大环境下，教师的教应起到引领作用，让学生清楚怎样学习、怎样解题.从认真分析题意入手，分析命题的条件和结论以及相关概念、公式等，分析结构特征、几何特征、知识的交汇特征；分析各种切入点的优劣；重视总结解题的一般方法及针对本题的特殊方法、技巧（转换、放缩、三角代换等），学会迁移；分析命题的外延.改变题设条件或结论与原题的区别，久而久之，学生能够养成一种良好的学习习惯，提高学习能力，从而由题海战中解脱出来.。
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得
对一道圆锥曲线习题的探究
一
。
：
± ＝ ＝ ）
则 ， ２ ＝
．
孚Ｃ ＝ Ａ ｃ 一 Ｂ ２ ＜ ０ ， 即Ｂ ２ － ４ Ａ Ｃ ＞ ０ 与 二 次函 数 中
、 ／
Ｖ＇ — ４ ＋ ｙ ＋ （ — ｚ － ２ ） ２・ ２ 、 ／ ’
“ △ ” 的计算一致 。
所 以我 们 可 以把 结 论 记 成 ：
Ｘ ０ ， ２ ２
一 ： — － ａ ｌ ２ ： ｔ — ； ａ ｌ ｌ
，
中图分类号： Ｇ ６ ３ ３ ． ６文献标识码： Ａ 文章编号： １ ９ ９ ２ — ７ ７ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ３ ｏ 一 ０ １ ２ ２
有这样一道题 ：
如果 ≠０ ， 那 么把 （ ２ ） 改写成 。 Ｙ， ２ ＋ ２ 。 。 ２ （ ） ＋ ａ Ｈ ＝ Ｏ
一
ｆ ＜ ０ 椭 圆型
些学生认为 ： ， ｚ 的系数 都为正 ， 且含 ｘ ｙ项 ， 所以不是 圆， 可能
是椭 圆 ， 更有 同学说 由于 Ａ ＿ Ｐ ＤＢ 。 ＝ Ａ ＿ ＭＤ Ｂ ， 所 以可 以理解为 一个 以Ｄ Ｂ 为轴 ，以 Ｄ Ｍ， Ｄ Ｐ母 线为 圆锥被 平面 Ａ Ｂ 。 所截 的截线 ， 由
如 果ａ ｌ ｌ ≠ ０ ， 那么 把（ ２ ） 改写 成。 ¨ （ ） Ｖ ２ ＋ ２ 。 ２ （ 争） Ｖ ＋ ｎ ０ ，
令 ｌ ａ １ ２ ｌ ， 得 善 ： － ａ １ ２ ： ｔ ： ａ １ ２ ｌ ａｌ ｌ
得 ＿ ． …－ ａ ｌ ２ ＿
二 １ ２ 主 二 ２．
’
引题 在正方体 ＡＢ Ｃ Ｄ － Ａ Ｂ 。 Ｃ 。 Ｄ 中， 是 Ｃ Ｃ 。 的 中点 ，若点
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
例1： 在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。
略解：
圆心到直线L的距离d1=
所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
16 32 22
16 13 13
16 13 2 13
思考： 例1是否还有其他解题方法？
∵ |AF’|=
[1（4） ]2 1 26
∴ |MF|+|MA| 的最大值为 问题：本题解题到此结束了吗？
10 26
最小值为
10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线
上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距
离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为
y_. 2 4 x
y
x Q
3
，面积为
的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求
33
F2AB面积的最大值.
练习、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 两点，求四边形AEBF面积的最大值.
ykx (k0)
y
与椭圆交于E、F
思维导图： 用k表示四边形的面积
B F
yx2 3
解：设椭圆与
平y行的切x线方程2为 3
y xb
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：
高三数学解题教学的若干思考——以圆锥曲线为例
高三数学解题教学的若干思考———以圆锥曲线为例祝敏君（福建师范大学数学与信息学院，３５０１１７） 高三是高考复习备考的重要阶段，有别于新授课的解题教学是高三数学复习的重要环节．高考是通过数学题来考学生，“工欲善其事，必先利其器”，想要成为解题高手自然需要解题训练．许多教师将数学复习课的重心放在解题教学上，这样的选择自然无可厚非．可是大量的事实表明，教师不辞辛劳地加班加点，学生在题海中苦苦挣扎，并没有带来正比的收益．要如何提高高三数学解题教学的效率，是数学教师需要考虑的问题．圆锥曲线是高考数学重要的考查内容，也是教学中典型的低效复习内容．本文以圆锥曲线内容为例，对解题教学中存在的问题进行思考，希望能够得出一些有价值的结论．１ 数学解题教学是要题量还是要精讲高中数学学习内容多、时间跨度大，高考考查的知识点分布广，题型灵活多变．在实践中，大多数学校采用“两年新课，一年复习”的教学方式，普遍进行三轮的高三数学复习．由于高考数学题的难度普遍高于课本中的习题，学生对已经学过的知识有大量的遗忘，教师希望通过高强度的解题训练，力求覆盖所有的高考题型．数学学习心理学的研究表明，大量的机械训练对数学学习的操作性技能的掌握有促进的作用，但是对数学学习的心智性技能是不利的．大量的模式化训练对应试教育有一定的效果，学生通过模仿习得，可以获得对基础知识技能的覆盖和熟悉题型的解题经验．尤其在解析几何的解题教学中，一节课讲解十几道题目，通常只能蜻蜓点水似地给出解题的思路，具体计算过程就此略过．学生普遍感觉不求甚解，老师一讲就会，自己一做就错．解析几何是几何与代数融合的产物，是几何代数化和代数几何化思维的交汇点，着重考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．解题过程不仅涉及比较复杂的代数式化简计算，还需要通过几何直观与代数运算的随时转化，才能够真正解决问题，这就要求学生具备较高层次的数学思维．也对教师提出了挑战，不仅要讲清解题思路，还要讲清算法算理，更重要的是要进一步讲清思想方法．教师在面对内容与时间安排的矛盾时，不妨考虑将重心从题量转向精讲，少讲一点，讲精一点．让学生有足够的时间模仿、沉淀、内化与理解，这才是提高课堂效率的着力点．２ 数学解题教学是要通法还是要技巧在我国，应试教育的思想深入人心，同时数学这门学科在高考中的重要作用不言而喻．历经恢复高考以来几十年的沉淀及数学试题命制技术的发展，精妙的数学试题层出不穷，同时也有人总结出了许多题型的“秒杀”技巧．以２０１７年数学高考全国理科Ⅰ卷第１０题为例．题１ （２０１７全国Ⅰ理１０）已知Ｆ为抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点，过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ１，ｌ２，直线ｌ１与Ｃ交于Ａ、Ｂ两点，直线ｌ２与Ｃ交于Ｄ、Ｅ两点，则｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜的最小值为（ ）（Ａ）１６ （Ｂ）１４ （Ｃ）１２ （Ｄ）１０解析：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｐｓｉｎ２θ＋２ｐｓｉｎ２θ＋π()２＝２ｐ（ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ）ｓｉｎ２θ·ｃｏｓ２θ＝１６ｓｉｎ２２θ≤１６．本解法只是利用了抛物线的焦点弦公式，绕开解析法计算的过程，利用三角函数的最值来解决问题．若教师在课堂上给出这种“秒杀”的解法，足以让学生佩服并纷纷效仿．殊不知这只是圆锥曲线问题众多的二级结论之一，而所有的二级结论都有其特定的使用范围，需要学生通过大量时间进行记忆才能保证不混淆．在功利主义和实用主义思想的驱使下，许多人将这样的解题技巧奉为秘籍，仿佛掌握了技巧便可以轻松解决数学题．可是这种解法是否真的比通法更简单呢？解析（通法）：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｄ（ｘ３，·１１·ｙ３），Ｅ（ｘ４，ｙ４），易知ｌ１垂直于ｘ轴不符合题意．设ｌ１，ｌ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则有ｋ１·ｋ２＝－１，直线ｌ１方程为ｙ＝ｋ１（ｘ－１），联立方程ｙ２＝４ｘ，ｙ＝ｋ１（ｘ－１{）得ｋ２１ｘ２－２ｋ２１ｘ－４ｘ＋ｋ２１＝０．∴ｘ１＋ｘ２＝－－２ｋ２１－４ｋ２１＝２ｋ２１＋４ｋ２１．同理得ｘ３＋ｘ４＝２ｋ２２＋４ｋ２２．由抛物线定义可知：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｋ２１＋４ｋ２１＋２ｋ２２＋４ｋ２２＋４＝４ｋ２１＋４ｋ２２＋８≥２１６ｋ２１ｋ槡２２＋８＝１６．当且仅当ｋ１＝－ｋ２＝１（或－１）时，取得等号．以上解法利用的是抛物线的定义以及联立方程组解题的方法，通过几何代数化的思维转化为代数式求最值的问题．利用两条直线间的垂直关系，建立代数计算形式上的关系．从现有知识出发，易于使学生理解与内化，有助于逐级提高学生的思维水平．从有效教学的角度来看，通法更适合作为解题教学的课堂教学内容．３ 数学解题教学是要过程还是要结果现代教学理念强调教学的过程性与课堂的生成性，解题教学也不例外．数学课堂不同形式的课型应当都只有一个目的，即为学生理解而教．题２ 已知点Ｐ是双曲线ｘ２８－ｙ２４＝１上的动点，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左右焦点，Ｏ为坐标原点，则｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的取值范围是（ ）（Ａ）［０，６］ （Ｂ）（２，槡６］（Ｃ）１２，槡６(]２（Ｄ）０，槡６[]２本题是以双曲线为背景的值域问题，根据图象的对称性，可以考虑点Ｐ在双曲线右支上的情形．不妨设Ｐ（ｘ，ｙ），其中ｘ２≥８，根据双曲线的焦半径公式可得：｜ＰＦ１｜＝ｅｘ＋ａ，｜ＰＦ２｜＝ｅｘ－ａ，则有｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ｅｘ，故｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘｘ２＋ｙ槡２．代入消元，可得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６３２－４ｘ槡２∈（２，槡６］，即得出答案．甚至可以根据“极端法”判断，当Ｐ点是双曲线右支的顶点时，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜槡＝６，就可以选择出答案（Ｂ）．若用解题教学仅以得到结果为目的，教学环节戛然而止，本题的教学意义只是一道训练题，根本谈不上教学的有效性．上述解法用到双曲线的焦半径公式，推证是要通过圆锥曲线的第二定义进行，这又是一个教材中没有学习过的内容．根据双曲线定义知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ，则｜ＰＦ１｜＝２ａ＋｜ＰＦ２｜．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＋２｜ＰＦ２｜槡＝４２＋２（ｘ槡－２３）２＋ｙ槡２槡槡＝４２＋２（３槡ｘ－４）槡２槡＝６ｘ．可见，使用最普通的消元方式，通过代数式化简，同样能够不太费力地得到焦半径公式的结果．从熟悉的情境中入手解题，可以最大限度地避免学生的认知冲突，有利于调动学生高层次的数学思维．学生在运用代数运算的同时，也调动了几何的直观能力．在教学过程中，许多学生提出可以利用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的几何意义来思考，可以简化解答的过程，减少计算量．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘ｜ＯＰ｜槡＝６ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈（２，槡６］，其中ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈１，２槡[)６．注重过程性的解题教学，可以充分调动学生的积极性，增加教师与学生的交流时间，往往会碰撞出许多新的解答思路．对提高学生数学思维的灵敏度，扩大数学思维的广度都有积极的作用，最终指向的还是课堂教学的有效性．４ 数学解题教学是教做法还是教解法数学解题教学离不开数学试题，不论例题还是习题都是教学的素材和内容，以考试为目的的解题教学自然离不开试题解答过程的教学．在信息发达的今天，（下转第１５页）·２１·本图形是了解的，所以从研究什么及为什么要研究作为探究路径创设情境，先引导学生通过实例了解几何图形的背景，如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用．再围绕研究方法引导，通过观察实验，动手操作，引发思考等环节，充分发挥学生的主动性，给学生话语权，并引导学生开展深层次的交流．４．２ 依据学情分析，真实探究教学中，教师、学生及教学内容建立了较为复杂的三个联系．其中，教师处于核心地位，教师的行为最终决定了课堂中会发生什么？教师在课堂中可以关注到学生的思维与教学内容的进展，但更困难的是如何有效、及时的对学生与教学内容的动态过程进行调控．而数学是简捷的，必须通过语言、文字、符号、图形等形式呈现出来，形成数学模型．本节课所涉及的三种曲线，分别采用分组、独立、课后三种形式完成探究，就是让学生“把看见的画出来，把发现的说出来，把理解的写出来”，学生体会每一个数学概念的出现，新知识、新方法的产生，都是自然而成的，促使学生养成仔细观察、潜心探索、主动概括、自觉交流、精确表达的习惯．４．３ 融入数学文化，反思探究《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中明确指出，数学文化融入课程内容．数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，同时数学在形成人的理性思维、科学精神和促进智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．课堂中适当的渗透数学文化，不仅要重视数学学科本身的文化价值，还应注重学生的数学认知特点，充分挖掘教材所蕴含的数学文化内容，让学生潜移默化地感受、了解数学的发展，从而以更广阔的视角透视数学、领悟数学的文化意义，更好地理解、把握数学的本质，同时了解过程也是对探究的再次反思与校正，有效的提升数学抽象能力与逻辑推理能力．要使学生真正成为主动的探究者，真实地经历探究的过程，教师必须重视学情分析，深入学生的生活，了解学生的特点．关注教材设计和学生已有认知，充分挖掘教材和生活资源，创设具有创新价值和人文情怀的问题情境，为探究教学奠定基础，让学生通过各种形式的探究活动，建构知识，形成技能檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第１２页） 学生可以通过不同的方式直接得到标准答案，每道试题的标准答案都有详细的解答过程，有的还提供不同的解法．学生自己能看明白的不需要教师教，而教试题的解法，不外乎是将解答过程完整地呈现一遍．因此，课堂教学最应该教的是学生自己看不明白的部分．数学解题教学应该教给学生什么？众所周知，许多标准答案只是形式上的完美答案，无法体现解题的思维过程．教师最应该在课堂上呈现的是做法，把如何思考的全过程呈现在学生的面前，可以沿着一系列问题逐步深入，例如看到这道试题我是如何想的？能够有几种不同的思路？哪些方向是可行的？为什么可以这么想？……等等．课堂中将真实的做题过程示范给学生看，有助于学生模仿习得，构建灵动的课堂，在无形之中还能够增强学生学习数学的自信．５ 总结随着以“立德树人”为根本任务，以核心素养为导向的课程改革的推进，高考的考查内容也有新的要求．具体体现为减少单纯死记硬背的知识性考查，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为了破解僵化的应试教育困局，针对高三复习模式化严重的问题，２０１９年高考数学的考查上体现出“去模式化”的决心，旨在引领高中育人方式的改革．数学学习再不能只追求解题技巧，而应当努力提高运用知识的能力，发现与提出问题的能力，分析和解决问题的能力，切实提升数学核心素养．以高考为目标的高三数学解题教学应该有所改变，建议教学中尽力做好以下几点：（１）用有意义的教学代替大量的模式化训练，把教师和学生从题海中解放出来．（２）强调解题通法的教学，弱化解题技巧．在教授解题技巧时，必须要讲清该技巧的来龙去脉和适用范围，同时尽量减少记忆性知识的讲授．（３）重视解题教学的过程性，不能单纯追求结果的达成．要有“过程做好了，结果自然不会太差”的自信．（４）解题教学的课堂多讲做法，切实提高学生的运用知识解决问题的能力．参考文献：［１］连春兴，孙泰．对数学高考复习效率问题的思考及对策［Ｊ］．中国数学教育，２０１８，１９２（１２）：４９－５３．［２］鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１６：１５１．［３］祝敏君，陈清华．规避模式缩小差距明确导向弘扬文化———对２０１９年高考数学卷全国卷Ⅰ的研究［Ｊ］．福建教育，２０１９．２７：４０－４２．·５１·。
高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学反思
高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学反思圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。
我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活泼，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显缺乏。
由于这局部知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的根本知识求解圆锥曲线的方程。
2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。
3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点:巧用圆锥曲线定义解题(一)开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出——例题1：(1) A(-2，0)， B(2，0)动点M满足MA+MB=2，那么点M的轨迹是( )。
(A)椭圆 (B)双曲线 (C)线段 (D)不存在(2)动点 M(x，y)满足(x1)2(y2)23x4y，那么点M的轨迹是( )。
(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两条相交直线定义是提醒概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。
为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。
直线与圆锥曲线教学之我见——提高解题意识及其具体做法
教学反思新课程NEWCURRICULUM直线与圆锥曲线问题一直是学生学习的难点、高考命题的热点，一方面是题目本身复杂，信息量大、字母符号多、运算过程复杂、转化思路不明显；另一方面是学生缺少明确的解题意识，面对这么多的字母符号不知如何下手，找不到方向，出现“想不到”“消不去”和“算不对”现象。
因此，笔者在分析学情的基础上，总结了多年的教学经验，其中最重要的一条就是：着力提高学生解题意识，树立学生的自信心。
明确的解题意识就像大海中的灯塔，能够引导学生的解题思路。
解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，解析几何的核心思想是“数形结合”。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
笔者总结以往教学经验的基础上概括出求解直线与圆锥曲线问题的六种意识：（1）几何条件代数化。
（2）代数运算几何化。
（3）一般问题特殊化。
（4）最值问题多样化。
（5）去除思维模式化。
（6）向量形式坐标化。
在教学中，这六种意识如何让学生真正掌握是个难点，只靠教师的讲是无效的，一定要让学生在解题过程中体验和反思解题的过程，培养解题意识，因此，我认为在课堂教学中可以尝试以下四种方式进行教学：一、在课堂教学中，创设不同的问题情境，树立学生的解题意识直线与圆锥曲线问题的求解，最难的就是第一种意识：几何条件代数化，学生往往不会把题目中的几何条件转化成代数关系（一般是坐标表示），为此，笔者在课堂教学中创设不同的问题情境，概括总结出“几何条件转化成代数关系”的核心方法，树立学生的解题转化意识，几何条件代数化。
例1.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为3√3，长轴端点与短轴端点间的距离为10√。
（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点D （0，5）的直线l 与椭圆C 交于两点E 、F ；（i ）设B （0，-14），若BE =BF ，求直线l 的斜率；（ii ）A 是椭圆的右顶点，且∠EAF 的角平分线是x 轴，求直线l 的斜率；（iii ）以线段OE 、OF 为邻边作平行四边形OEFP ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求O 到直线l 距离的最小值；（iv ）若以EF 为直径的圆过原点，求直线l 的斜率；（v ）点M 为直线y =12x 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。
立足学生本位 优化解题方法——对一道圆锥曲线题的探究
立足学生本位优化解题方法——对一道圆锥曲线题的探究吴松敏;雷土进
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()13
【摘要】以学生本位的理念,着眼于培养学生数学运算素养的目标。
并以2023年高考数学全国乙卷第20题为例,探讨如何在圆锥曲线教学中优化解题方法,提升学生的数学运算能力。
【总页数】3页(P40-42)
【作者】吴松敏;雷土进
【作者单位】浙江省景宁中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.立足基础,创新实践,展数学之美——一道圆锥曲线例题方法的再探究
2.多维联想,实现学生解题层次的提升--对一道几何题的探究与思考
3.立足学生本位发展学科素养——对一道圆锥曲线题的探究及教学思考
4.理解数学概念优化解题策略——对一道高考数列压轴题的多角度探究
5.选择优化联想类比智化思维深度教学——对一道圆锥曲线试题解题路径的优化与探究
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智慧，以素养立意，从整体精心设计.为什么选择这 个问题?想培养学生哪些能力？发展哪些核心素养? 这种解法如何自然呈现?是否可一题多解？多种解法 能否归一？多种解法的本质、核心及其内在联系又是 什么？最优解及通性通法又是什么？可否进行一题多 变？可否设计多题归一？要谨防教学（特别是高三教 学）形式单一化，不是“讲练讲”就是“ 一讲到底”， 或者是“练讲练”，学生疲于应付.因为所有素养和 能力的提升最终都要通过学生的自我感悟反思来实 现，所以要给学生留有足够的时间和空间，让他们经 历理解、反思、总结、提炼、内化、感悟的思维历程.
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中学数学研究
2019年第8期
对启迪学生思维、发展学生关键能力、提高数学解题 效率等大有裨益.
2. 让学生自主建构知识，突出对其本质的探索 高考的压轴题，常常涉及的是多元的概念、原理 与公式.如何深刻理解这些知识点，弄清其内在联 系，并能创新应用，本身就需要一定的智慧，单靠大
量刷题或者死背硬记肯定难以奏效.知识不是教师 告诉学生的，也不是学生看书得到的.这就需要教师 在教学中恰当创设教学情境、精心设计问题,深度引 领学生自主探究，自主建构知识，让学生学习数学的 过程变为在教师诱导下“再发现”过程；同时孤立的 知识无法形成能力，教师要让学生感悟核心知识的 交汇之处，帮助他们建立和体会完善的知识网络体 系；为提升学生的应变能力，教学中教师应着力培养 他们追问知识及问题本质的习惯.如为什么要学习 基本不等式？基本不等式的功能是什么？它的本质是 什么？应用它求解问题应注意哪些?.
2匹 m - 2 m2 + 2
△ OPQ面积为S&o
八-肌丨，所以
，当且仅当/ =』，即/ =4时取
这儿我也不会做了. 师：学生做到这儿思路受阻，不知道怎么求
血己2的最大值. rn' + 2 生3：老师，可以式子平方后去掉根式用导数解
决.具体过程如下：
因为 Sm = 2Q02 2,所以 s£q = 7R2 + 2
2.师生探究
师：（十五分钟后）大部分同学都有了自己的想 法，现在请大家谈谈自己的想法和做法.
P D 件 件 使"用d f F a c t 试r 用 用r
2019年第8期
中学数学研究
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生1：因为直线的斜率肯定不为零，且直线I经
过点M (-2,0),所以可设直线2的方程为力=my-
2匹 m - 2
OMW yi -y2l _ L
m2 +2" •
师：生1充分利用三角形面积分割及弦长公式
列出三角形的面积，将三角形的面积表示为动直线
斜率的倒数很不错，那该如何去求解这个式子的最 值了？
生2：我没有利用三角形面积差，而是用点到直 线的距离公式求出高，弦长公式求出边长，具体做法
如下：可设直线PQ的方程为x-my+2 =0,于是点
0到直线PQ的距离d =
面积最大/(6) =|■，即AOPQ面积最大值为鲁.
师：很好！生3遇到根式，想到平方，遇到平方, 想到换元，化繁为简，化未知为已知，体现了很好的 化归思想，利用导数,打破思维障碍，巧渡难关，同学 们容易发现，这样的直线有两条，关于％轴对称，希 望同学们能熟练掌握！
生4：生3的方法是不错的，但我觉得不是最简
单的，我有更为简洁的gt;0,则显=t2 +2,所以 SA0PQ
2血丿肿_ 2 _ 2血t _ 2血
厶2一⑪______=@
4 =亍
当
且仅当t二£，即£ = 2时取等号，此时m = ± 76.
生5：也可用换元构造均值不等式解决 2J2 Jm - 2
2.令 P(x1 ,y))
,(?(%),yj
■x = ,联立，护
my
£
- 2, 得(何2
厅+y = 1
+ 2)y2 - 4 my + 2 = 0.由 4 >0 可得 m < - Q 或 m >Q,由韦达定理得x + y2 = 4m
2 所以 AOPQ 面积为 SA0Pq = SA0Mq - SA0MP m2 + 2
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准 [M].北京:人民教育出版社,2018：4-7.
[2] 单博.普通高中课程标准实验教科书•数学5（选修） [M].南京:江苏教育出版社,2017:10.
[3] 单博.普通高中课程标准实验教科书•数学5（选修） [M],南京:江苏教育出版社,2017:106.
见解观点.
1.例题呈现 （2019年高考定西市第一次诊理科试题第19 题）已知椭圆C：4 + 4 = l（a > 6 >0）的短轴长
ab
（1） 求椭圆C的标准方程； （2） 若动直线Z经过点M（_2,0）与椭圆C交于 两点，0为坐标原点，求AOPQ面积的最大值.
本题难度接近高考，考查的是圆锥曲线中三角 形面积最值问题，第一问较简单，第二问直线结合且 字母较多，再加上最值问题，难度较大•如何突破，教 学过程如下.
对一道圆锥曲线最值问题教学过程的反思
甘肃省通渭县第二中学 (743300) 段伟军
新课改提出学生具备六大核心素养，而核心素 养之一“数学运算”是学生具备的基本功，高考数学 圆锥曲线解答题是区分考生化归转化，计算变形能 力的主要题型，也是数学运算的集中体现，在整套试 题里，难度和区分度也是最集中地一道题•许多考生 由于害怕计算，望而止步，缺少自信，放弃这道题，事 实上，这几年高考，无论是自主命题还是全国卷，都 以椭圆或者拋物线为背景，借助根与系数关系，弦长 公式，向量坐标运算考察解决恒成立，过定点，最值 等问题.在解决这类问题时，审题是否严谨，方法是 否得当，切入点是否准确，运算变形是否合理，常常 是问题能否顺利解决的关键所在.在解题时学生一 般从条件出发，观察试验，向前推进，但经常是阻碍 重重，失去方向，只能望题兴叹.如何进行有效的引 导启发，教会学生如何突破运算障碍?笔者在教学中 发现，应在方法的突破和细节的处理上下功夫.通过 对一道高考数学模拟题的思考分析，笔者给出如下