低通采样
软件无线电原理与技术 (4)
信号x(t)，其采样速率为
2 fH n
fs
2 fL n 1
式中，n为正整数，满足：
(4-10)
1
n
ห้องสมุดไป่ตู้
fH B
c
1
(4-11)
第4章 采样技术与量化
图4-5 (a) 一般情况； (b) 整数、半整数频带情况
第4章 采样技术与量化
带通采样的结果如图4-6所示。带通采样后信号的频谱也同 样出现周期性的重复。具体就不再推导，请参阅相关文献。由图 4-6可以看出：
(1) 带通采样速率远低于低通采样速率。 (2) 时域高频的信号经过带通采样后成为了低频信号，这是 带通的混叠现象，如图4-6(a)所示。 (3) 实信号具有对称的正负频率部分，带通采样后由于混叠 造成正频率谱部分和负频率谱部分交替出现，带通采样速率必须 保证正负频率部分不发生混叠。这一点对带通采样速率的选取非 常重要。 下面分别详细说明这些问题。
在xs(t)中包含了x(t)的全部信息。
第4章 采样技术与量化 图4-2 采样频谱
第4章 采样技术与量化 如果该要求不能满足，则频谱之间会发生重叠而导致失真，
该失真称为混叠(Alising)。 图4-3所示为采样的混叠现象。
图4-3 采样的混叠现象
第4章 采样技术与量化
如果采样速率满足要求，则频移后有效的频谱分量相互
第4章 采样技术与量化
采样方式一般分为均匀采样和非均匀采样两种。非均匀采样 指采样点之间的间隔是非等间隔的，不论采样信号频率高低，非 均匀采样均可根据采样信号的频率自动调节采样点数，保持周期 内的采样点数固定，根据输入信号合理分配后续计算和存储资源。 但采用该方法会加重后续数字信号处理的负担，这对软件无线电 的实现不利。均匀采样以等时间间隔采样，采样后的信号频谱呈 周期性分布，有利于理论分析和具体实现的信号还原，适合于软 件无线电平台。
说明低通滤波器和采样频率的关系
说明低通滤波器和采样频率的关系低通滤波器是一种电子电路或数字信号处理器，可以通过去除高频信号而保留低频信号。
它是信号处理中最基本的滤波器类型之一，广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
低通滤波器的工作原理是利用其频率响应特性将高于一些截止频率的信号分离并削弱，从而实现对低频信号的保留。
低通滤波器和采样频率之间存在着紧密的关系。
在采样过程中，信号需要以一定的采样频率进行离散化处理。
根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须至少为信号中最高频率的两倍以上，才能够保证采样后的信号能够还原原始信号的信息。
如果采样频率较低，不满足奈奎斯特采样定理的要求，那么就会出现混叠现象。
混叠现象是指高于采样频率一半的信号频率会被错误地还原为低于采样频率一半的频率，导致产生误差。
为了避免混叠现象的发生，通常需要在进行采样之前使用低通滤波器对信号进行预处理。
低通滤波器的一个重要作用就是通过限制高频信号的通过，确保只有低于采样频率一半的信号成分被采样和还原。
通过这种方式，可以有效地避免混叠问题，保证采样后的信号准确地表示了原始信号的特征。
因此，低通滤波器的设计和选择对于采样频率的确定具有重要意义。
在进行低通滤波器的设计时，需要根据信号的频率特性和采样频率的要求，选择合适的截止频率。
截止频率是低通滤波器中的一个重要参数，它决定了在滤波器中高于该频率的信号将被削弱或去除。
通常，截止频率的选择要根据信号的频率分布和采样频率来决定。
如果低通滤波器的截止频率过高，那么可能会导致高频信号通过滤波器而进入采样系统，从而产生混叠问题。
反之，如果低通滤波器的截止频率过低，那么可能会导致信号的低频成分被丢失，从而影响信号的还原和分析。
此外，还需要考虑低通滤波器的滤波特性以及滤波器的阶数等因素。
滤波器的阶数表示滤波器对信号的衰减能力，阶数越高，滤波器对高频信号的衰减越大。
在选择滤波器时，需要综合考虑滤波器的频率响应特性、滤波效果和实际应用需求，以找到最合适的滤波器设计。
抽样定理
实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。
抽样定理实验的原理框图如下：抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号低通滤波器图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。
在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。
另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。
利用有源低通滤波器电路抽样定理信号恢复论文
利用有源低通滤波器电路探讨抽样定理与信号恢复摘要：以有源低通滤波器为例，探讨抽样定理与信号恢复原理，深入了解高职高专《信号与系统》的实验教学内容，使学生能够形象直观地观察离散信号频谱，了解其频谱特点。
文章通过设计模拟信号源及时针信号源模块、模拟滤波器及抽样定理模块，引导学生全面具体分析抽样定理与信号恢复原理。
abstract： taking active low-pass filter for an example，the paper investigates the sampling theorem and signal recovery principle， and understands the experimental teaching contents deeply， so that students can visually observe the discrete signal spectrum， and understand the features of its spectrum. article through the design of the analogue signal sources， the clock signal source modules，the analog filter and the sampling theorem modules to guide students to specific and comprehensive analysis of the sampling theorem and signal recovery principle.关键词：有源低通滤波器；抽样定理；信号恢复；离散信号；频谱key words： active low-pass filter；sampling theorem；signal recovery；discrete signal；spectrum中图分类号：tn911 文献标识码：a 文章编号：1006-4311（2012）30-0233-030 引言利用有源低通滤波器深入理解抽样定理与信号恢复原理。
抽样定理
实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。
抽样定理实验的原理框图如下：被抽样信号抽样脉冲抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图被抽样信号抽样恢复信号图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。
在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。
另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz 正弦波”+“1KHz 正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。
双谱
低通采样定理实验 1.1 实验目的1．了解数字信号处理系统的一般构成；2．掌握奈奎斯特抽样定理。
1.2 实验仪器1．YBLD智能综合信号源测试仪1台2．双踪示波器1台3．MCOM－TG305数字信号处理与现代通信技术实验箱1台4．PC机（装有MATLAB、MCOM－TG305配套实验软件）1台1.3 实验原理一个典型的DSP系统除了数字信号处理部分外，还包括A/D和D/A 两部分。
这是因为自然界的信号，如声音、图像等大多是模拟信号，因此需要将其数字化后进行数字信号处理，模拟信号的数字化即称为A/D转换。
数字信号处理后的数据可能需还原为模拟信号，这就需要进行D/A转换。
一个仅包括A/ D和D/A两部分的简化数字信号处理系统功能如图1所示。
A/D转换包括三个紧密相关的过程，即抽样、量化和编码。
A/D转换中需解决的以下几个重要问题：抽样后输出信号中还有没有原始信号的信息？如果有能不能把它取出来？抽样频率应该如何选择？奈奎斯特抽样定理（即低通信号的均匀抽样定理）告诉我们，一个频带限制在0至fx以内的低通信号x(t)，如果以fs≥2fx的抽样速率进行均匀抽样，则x(t)可以由抽样后的信号xs(t)完全地确定，即xs(t)包含有x(t)的成分，可以通过适当的低通滤波器不失真地恢复出x(t)。
最小抽样速率fs=2fx 称为奈奎斯特速率。
低通译码编码量化抽样输入信号样点输出滤波输出A/D（模数转换）D/A（数模转换）图1 低通采样定理演示为方便实现，实验中更换了一种表现形式，即抽样频率固定（10KHz），通过改变输入模拟信号的频率来展示低通抽样定理。
我们可以通过研究抽样频率和模拟信号最高频率分量的频率之间的关系，来验证低通抽样定理。
1.4 实验内容1．软件仿真实验：编写并调试MATLAB程序，分析有关参数，记录有关波形。
2．硬件实验：输入不同频率的正弦信号，观察采样时钟波形、输入信号波形、样点输出波形和滤波输出波形。
通信原理MATLAB验证低通抽样定理实验报告
通信原理实验报告一、实验名称MATLAB验证低通抽样定理二、实验目的1、掌握抽样定理的工作原理。
2、通过MATLAB编程实现对抽样定理的验证，加深抽样定理的理解。
同时训练应用计算机分析问题的能力。
3、了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。
它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。
4、计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。
三、实验步骤及原理1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。
2、设连续信号的的最高频率为Fmax，如果采样频率Fs>2Fmax，那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则Fs<=2Fmax会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。
四、实验内容1、画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t)2、对信号进行采样，得到采样序列，画出采样频率分别为10Hz，20 Hz，50 Hz时的采样序列波形；3、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。
4、对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。
5、由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。
五、实验仿真图(1) x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t)的时域波形及幅频特性曲线。
clear;close all;dt=0.05;t=-2:dt:2x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t);N=length(t);Y=fft(x)/N*2;fs=1/dt;df=fs/(N-1);f=(0:N-1)*df;plot(t,x)title('抽样时域波形')xlabel('t')grid;subplot(2,1,2)plot(f,abs(Y));title('抽样频域信号 |Y|');xlabel('f');grid;(2)采样频率分别为10Hz时的采样序列波形, 幅频特性曲线,以及由采样序列恢复出连续时间信号时域、频域波形；clear;close all;dt=0.1;t0=-2:0.01:2t=-2:dt:2ts1=0.01x0=cos(4*pi*t0)+1.5*sin(6*pi*t0)+0.5*cos(20*pi*t0);x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t);B=length(t0);Y2=fft(x0)/B*2;fs2=1/0.01;df2=fs2/(B-1);f2=(0:B-1)*df2;N=length(t);Y=fft(x)/N*2;fs=1/dt;df=fs/(N-1);f=(0:N-1)*df;tm=-50:ts1:50gt=sinc(fs*tm)st=sigexpand(x,dt/ts1)x3=conv(st,gt)A=length(tm(5001:5401));Y1=fft(x3(5001:5401))/A*2;fs1=1/ts1;df1=fs1/(A-1);f1=(0:A-1)*df1;subplot(3,2,1)plot(t0,x0)title('原始时域波形')xlabel('t')subplot(3,2,2)title('原始频域波形')xlabel('t')subplot(3,2,3)plot(t,x)title('抽样时域波形')xlabel('t')grid;subplot(3,2,4)plot(f,abs(Y));title('抽样频域信号 |Y|');xlabel('f');subplot(3,2,5)plot(t0,x3(5001:5401))title('恢复后的信号');xlabel('tm')subplot(3,2,6)plot(f1,abs(Y1));title('恢复频域信号 |Y1|');xlabel('f1');grid;（3）采样频率分别为20 Hz时的采样序列波形，幅频特性曲线,以及由采样序列恢复出连续时间信号时域、频域波形；clear;close all;dt=0.05;t0=-2:0.01:2t=-2:dt:2ts1=0.01x0=cos(4*pi*t0)+1.5*sin(6*pi*t0)+0.5*cos(20*pi*t0); x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t);B=length(t0);Y2=fft(x0)/B*2;fs2=1/0.01;df2=fs2/(B-1);f2=(0:B-1)*df2;N=length(t);Y=fft(x)/N*2;fs=1/dt;df=fs/(N-1);f=(0:N-1)*df;tm=-50:ts1:50gt=sinc(fs*tm)st=sigexpand(x,dt/ts1)x3=conv(st,gt)A=length(tm(5001:5401));Y1=fft(x3(5001:5401))/A*2;fs1=1/ts1;df1=fs1/(A-1);f1=(0:A-1)*df1;subplot(3,2,1)plot(t0,x0)title('原始时域波形')xlabel('t')subplot(3,2,2)plot(f2,abs(Y2))title('原始频域波形')xlabel('t')subplot(3,2,3)plot(t,x)title('抽样时域波形')xlabel('t')grid;subplot(3,2,4)plot(f,abs(Y));title('抽样频域信号 |Y|');xlabel('f');subplot(3,2,5)plot(t0,x3(5001:5401))title('恢复后的信号');xlabel('tm')subplot(3,2,6)plot(f1,abs(Y1));title('恢复频域信号 |Y1|');xlabel('f1');grid;(4)采样频率分别为50 Hz时的采样序列波形，幅频特性曲线,以及由采样序列恢复出连续时间信号时域、频域波形；；clear;close all;dt=0.02;t0=-2:0.01:2t=-2:dt:2ts1=0.01x0=cos(4*pi*t0)+1.5*sin(6*pi*t0)+0.5*cos(20*pi*t0);x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t);B=length(t0);Y2=fft(x0)/B*2;fs2=1/0.01;df2=fs2/(B-1);f2=(0:B-1)*df2;N=length(t);Y=fft(x)/N*2;fs=1/dt;df=fs/(N-1);f=(0:N-1)*df;tm=-50:ts1:50gt=sinc(fs*tm)st=sigexpand(x,dt/ts1)x3=conv(st,gt)A=length(tm(5001:5401));Y1=fft(x3(5001:5401))/A*2; fs1=1/ts1;df1=fs1/(A-1);f1=(0:A-1)*df1;subplot(3,2,1)plot(t0,x0)title('原始时域波形') xlabel('t')subplot(3,2,2)plot(f2,abs(Y2))title('原始频域波形') xlabel('t')subplot(3,2,3)plot(t,x)title('抽样时域波形') xlabel('t')grid;subplot(3,2,4)plot(f,abs(Y));title('抽样频域信号 |Y|'); xlabel('f');subplot(3,2,5)plot(t0,x3(5001:5401)) title('恢复后的信号'); xlabel('tm')subplot(3,2,6)plot(f1,abs(Y1));title('恢复频域信号 |Y1|'); xlabel('f1');grid;六、实验结论实验中对模拟信号进行采样，需要根据最高截止频率Fmax，按照采样定理的要求选择采样频率的两倍，即 Fs>2Fmax。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
实验3-采样的时频域分析
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。
1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。
根据傅里叶变换性质000()()()()ˆˆ()()()()()()(())FTFTa a T n n FTa a T a T a an n x t X j T j xt x t T x nT t nT X j Xj n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞=-∞←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑∑式中T 代表采样间隔，01TΩ=由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
)(t T δ^T ^)tC 、低通采样和Nyquist 采样定理设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，即为带限信号。
则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的^()()()a assn x t x nT t nT δ∞=-∞=-∑信号无失真地恢复()ax t 。
称2Mf为奈奎斯特频率，12N M T f =为奈奎斯特间隔。
注意：实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。
2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。
低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：ˆ()a xt )(ˆΩj X a()a G j Ω0 m-ΩΩm Ω0T TT-ΩTΩ（1）临界采样（2）过采样（3）欠采样由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。
降采样,过采样,欠采样,子采样,下采样,上采样
降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。
在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。
从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。
这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。
这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。
过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。
过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。
设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。
若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。
在这种采样的数字信号中，由于量化比特数没有改变，故总的量化噪声功率也不变，但这时量化噪声的频谱分布发生了变化，即将原来均匀分布在0 ~ fs/2频带内的量化噪声分散到了0 ~ Rfs/2的频带上。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
但是单靠这种过采样方式来提高信噪比的效果并不明显，所以，还得结合噪声整形技术。
自动控制原理第七部分采样系统
稳定性判据
用于判断采样系统的稳定性，如 Nyquist稳定判据和Bode图分析方法。
稳定性分析方法
通过分析采样系统的极点和零点分布、 频率响应特性等，评估系统的稳定性。
03
采样系统的性能分析
采样系统的频率响应
频率响应
描述了系统对不同频率输入信号的响应特性， 通常用频率特性函数表示。
带宽
指系统能够处理的最高频率，决定了系统处 理信号的能力。
只有稳定的系统才能在实际应用中得到有效 控制。来自采样系统的动态性能分析
阶跃响应和脉冲响应
描述了系统对阶跃信号和脉冲信号的响应特 性。
动态性能的定义
系统对输入信号的响应速度和超调量等动态 特性。
动态性能的优化
通过调整系统参数，改善系统的动态性能， 以满足实际应用需求。
04
采样系统的设计
采样系统的设计原则
在航空航天控制中的应用
导航与定位
采样系统能够实时采集航空航天器的位置、速度、姿态等数据，通 过导航与定位算法，实现航空航天器的精确导航和定位。
姿态控制
采样系统能够实时采集航空航天器的姿态数据，通过姿态控制算法， 实现航空航天器的稳定飞行和精确机动。
自主决策
采样系统能够实时采集航空航天器周围的环境信息，通过自主决策 算法，实现航空航天器的自主避障、路径规划等任务。
采样系统的基本原理
采样系统基于时间离散化原理，通过 在等间隔时间点上获取输入和输出信 号的样本值，再根据这些样本值进行 计算和控制，以实现对连续时间系统 的近似或重构。
采样系统的组成
采样器
采样器是采样系统的核心部件， 负责在等间隔时间点上采集输入 和输出信号的样本值。
保持器
保持器用于在两次采样间隔期间 保持输出信号不变，以实现连续 时间系统的近似或重构。
低通采样原理及应用分析
低通采样原理及应用分析低通采样是一种信号处理技术，用于从一个连续时间信号中提取出其频率范围内的低频分量，并将其转换为离散时间信号。
该技术在信号处理、通信系统、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
低通采样的原理是基于奈奎斯特采样定理。
奈奎斯特采样定理指出，如果一个连续时间信号的最高频率分量为fmax，那么就需要以不小于2fmax的采样频率对其进行采样，才能完全还原该连续时间信号。
然而，在实际应用中，信号的最高频率通常不会很高，因此可以通过低通采样来降低采样频率，减少存储和处理的复杂度。
低通采样的基本步骤是首先对原始连续时间信号进行采样，然后通过低通滤波器将采样信号的高频成分去除，最后将滤波后的信号转换为离散时间信号。
通常使用的低通滤波器有抗混叠滤波器、Butterworth滤波器、卡尔曼滤波器等。
低通采样在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些低通采样的应用案例：1. 数字音频处理：在音频录制和音频压缩中，通常需要对音频信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少存储和传输带宽，同时保留音频信号的主要特征。
2. 图像处理：在数字相机和图像压缩中，通常需要对图像信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少图像数据的存储和传输量，同时保留图像的主要特征。
3. 通信系统：在无线通信系统中，为了适应带宽有限的信道，通常需要对调制后的信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少信号处理的复杂度和功耗。
4. 传感器信号处理：在传感器信号处理中，通常需要对传感器输出信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少信号处理的复杂度和功耗，同时保留传感器信号的主要特征。
总之，低通采样是一种常用的信号处理技术，可以从连续时间信号中提取出其频率范围内的低频分量，并将其转换为离散时间信号。
在音频处理、图像处理、通信系统、传感器信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过降低采样频率，低通采样可以减少存储和处理的复杂度，同时保留信号的主要特征。
图解低通抽样定理
即采样频率至少 是基带信号最高 频率的2倍，这就 是低通抽样定理
f
低通信号抽样定理图解：
m(t)
M( f )
t
fH
fH
f
T (t )
T
t
卷积
T( f )
fs
f
t
f
第9章模拟信号的数字传输
我们假设信号m(t)的最高频率小于fH，所以若频率 间隔fs 2fH，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f) 之间互不重叠。这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤 波器分离出信号m(t)的频谱M(f)，也就是能从抽样 信号中恢复原信号。
这里，恢复原信号的条件是：
fs 2 fH
即抽样频率fs应不小于fH的两倍。这一最低抽样速 率2fH称为奈奎斯特速率。与此相应的最小抽样时 间间隔称为奈奎斯特间隔。
M( f )
如果f s 2 f H T ???
fH
T( f )
fs
fH 混叠，无法提 取出纯净的 M(f)信号了
如果即采样频率至少是基带信号最高频率的2倍这就是低通抽样定理卷积信号频谱发生混叠无法提取出纯净的mf信号了
第9章模拟信号的数字传输
9.2.1 低通模拟信号的抽样定理
抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最 高频率 ≤ fH，则以间隔时间为T 1/2fH的周 期性冲激脉冲对它抽样时，m(t)将被这些抽 样值所完全确定。
低通型采样定理
低通型采样定理低通型采样定理是数字信号处理中的一个重要理论基础，它规定了对连续时间信号进行采样时的最低采样频率。
根据低通型采样定理，如果一个连续时间信号的最高频率为Fmax，那么在进行采样时，至少需要以2Fmax的采样频率进行采样，才能保证采样后的离散信号能够完整地还原原始信号。
低通型采样定理的基本原理是基于奈奎斯特定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理。
奈奎斯特定理指出，如果一个信号的最高频率为Fmax，那么至少需要以2Fmax的采样频率进行采样，才能够完全还原原始信号。
而低通型采样定理则是奈奎斯特定理在实际应用中的一种具体形式。
为了更好地理解低通型采样定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个连续时间信号，其最高频率为10kHz，那么根据低通型采样定理，我们需要以至少20kHz的采样频率对该信号进行采样，才能够完整地还原原始信号。
如果采样频率低于20kHz，则会出现采样失真，导致还原的离散信号与原始信号存在差异。
低通型采样定理的应用非常广泛，特别是在音频和视频信号处理领域。
在音频播放器中，为了能够准确地还原音频信号，通常会使用44.1kHz的采样频率进行采样，这是因为人耳的听觉范围大约在20Hz到20kHz之间，而根据低通型采样定理，最高频率为20kHz的音频信号至少需要以40kHz的采样频率进行采样，才能够完整还原原始信号。
类似地，在视频播放器中，为了能够准确地还原图像信号，通常会使用至少两倍于图像最高频率的采样频率进行采样。
除了音频和视频信号处理领域，低通型采样定理还在通信系统中发挥着重要作用。
在数字通信中，为了传输连续时间信号，通常需要先对信号进行采样，然后通过调制和编码等处理将其转换为数字信号进行传输。
在采样过程中，低通型采样定理的应用可以确保采样后的离散信号能够完整还原原始信号，从而保证传输的准确性和可靠性。
低通型采样定理是数字信号处理中一个重要的理论基础，它规定了对连续时间信号进行采样时的最低采样频率。
非理性低通滤波器对采样速率的影响
非理性低通滤波器对采样速率的影响*胡钟建（陆寿茂）1.前言在时分信息传输系统中，对信号振幅均匀采样的重复频率fs 应高于信号截止频率fc 的两倍，即fs ＞2fc 。
这便是人们熟知的采样定理。
导出上述结论的根据是，采样后的离散脉冲序列，应该包含原时间连续信号中的全部频谱成分（或全部信息）。
该定理要求信号的频谱严格限制在0～fc 的范围内。
对于频谱较宽的信号，只有经过一个理想的矩形低通滤波器(LPF)，然后进行采样，方能满足上述要求。
这时采样频率便取决于低通滤波器的上限频率。
理想的低通滤波器是难以实现的。
目前常用的非理想低通滤波器，通带上限fc 系由3dB 衰减确定，通带外的平均衰减斜率一般做到大于20dB/Oct 和40dB/Oct ，要求高些的可达60dB/Oct 甚至80dB/Oct 以上，但远未达到理想境界的矩形衰减水平,如图1所示。
cs mS图1 非理性LPF 幅频特性 图2 频率混叠图解为了避免频率混叠，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，否则，高频信号将以fs/2为中心“折叠”为低频分量，与低频信号相混淆，从而引起误差，详见图2。
鉴于混叠相位不确定，最严重情况出现在同相或反相时刻，即混叠分量与低频信号直接相加或相减，于是形成图2虚线所示的混叠误差带的上下包络。
混叠频率fa 按式（1）计算：/2,1,2,3,a s s f f p f f p =-≤=⋅⋅⋅ （1）式中f 为信号频率；p 为整系数。
非理想低通滤波器（简称滤波器）的技术指标一经确定，采样频率应取多高为宜，成为专业人员必须考虑的重要问题。
采样频率取高了，即采样点过密，将增加测量设备的容量，造成计算和处理上的浪费；取低了，会丢失信息，引起频率混叠，增大数据处理误差。
为此，我们结合理论分析进行了实验，企图找到采样频率和滤波器特性之间的合适关系。
回看图1纵轴K 是电压传递系数的相对百分比，它是频率f 的函数。
一般情况下，通带内的K 值尽量恒定，K 随f 的变化接近水平直线。
低通型采样定理
低通型采样定理低通型采样定理是信号处理领域中的重要理论，它描述了在数字信号处理中对连续信号进行采样的方法和限制条件。
本文将详细介绍低通型采样定理的原理、应用以及一些相关概念。
一、低通型采样定理的原理低通型采样定理是由著名数学家香农（Claude Shannon）在1949年提出的。
它的基本原理是：如果一个连续信号的最高频率为f，则将其进行采样时，采样频率应该大于2f才能完全恢复原始信号。
也就是说，在采样过程中，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍，才能保证采样后的信号不发生混叠现象。
二、低通型采样定理的应用低通型采样定理在实际应用中有着广泛的应用。
在音频和视频领域，低通型采样定理被广泛应用于数字音频、数字视频的采样和处理过程中。
通过合理的采样频率选择，可以在不损失信息的情况下，将连续信号转换为数字信号，从而实现信号的存储、传输和处理。
在通信领域，低通型采样定理也起着至关重要的作用。
在无线通信系统中，天线接收到的连续信号首先需要经过模数转换器（ADC）进行采样，然后才能进行数字信号处理和解调。
根据低通型采样定理，合理选择采样频率可以避免信号混叠，保证信号的完整性和准确性。
在生物医学领域，低通型采样定理也被广泛应用于生理信号的采样和处理过程中。
例如，心电图（ECG）信号和脑电图（EEG）信号都是连续信号，为了实现对这些信号的准确分析和诊断，需要首先对其进行采样，然后进行数字信号处理。
三、低通型采样定理的相关概念1. 采样频率：指每秒钟对连续信号进行采样的次数，用赫兹（Hz）表示。
根据低通型采样定理，采样频率应大于信号最高频率的两倍。
2. 采样定理：也称为奈奎斯特采样定理，是信号处理领域中的基本理论，指出连续信号在进行采样时，采样频率应大于信号最高频率的两倍，以避免信号混叠。
3. 混叠现象：也称为折叠现象，是指在采样过程中由于采样频率不满足低通型采样定理的要求，导致高频部分的信号频谱被折叠到低频区域，从而引起信号失真。
数字信号处理实验-采样的时频域分析
实 验 报 告学生姓名： 学 号： 指导教师：一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。
1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。
根据傅里叶变换性质000()()()()ˆˆ()()()()()()(())FTFTa a T n n FTa a T a T a an n x t X j T j xt x t T x nT t nT X j Xj n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞=-∞←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑∑式中T 代表采样间隔，01TΩ=由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
)(t T δ^T ^)tC 、低通采样和Nyquist 采样定理设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，即为带限信号。
则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的^()()()a assn x t x nT t nT δ∞=-∞=-∑信号无失真地恢复()ax t 。
称2Mf为奈奎斯特频率，12N M T f =为奈奎斯特间隔。
注意：实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。
2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。
低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：)()a G j Ω0 m -ΩΩm Ω0TT（1）临界采样（2）过采样（3）欠采样由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。
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西安邮电大学
《通信原理》软件仿真实验报告
实验名称：低通型采样定理
院系：通信与信息工程学院
专业班级：通工
学生姓名：
学号：
（班内序号）
指导教师：张明远
报告日期：2013年10月8日
●实验目的：
1、掌握低通型采样定理；
2、掌握理想采样、自然采样和瞬时采样的特点；
3*、掌握混叠失真和孔径失真。
●知识要点：
1、低通型采样定理；
2、理想采样及其特点；
3、自然采样及其特点；
4、瞬时采样及其特点；
5*、混叠失真及孔径失真。
●仿真要求：
建议时间参数：No. of Samples =4096；Sample Rate = 20000Hz
1、记录理想采样时信源、样值序列和恢复信号的波形和频谱；
信源为截止频率200Hz的低通型信号；
系统框图：
δ，偏移量为0.05）；
其中图符8为信号源（单位冲激信号即()t
图符9为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
图符0为采样器，采样频率2000Hz；
图符1为保持电路，Hold Value = Zero，Gain = 1；
图符2为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
频谱选择|FFT|；
●仿真波形及实验分析：
1.理想采样
信源的波形和频谱
样值序列的波形和频谱
恢复信号的波形和频谱
分析：从图可知：理想采样原始信号和恢复信号波形相同，在样值序列中各次谐波与原始信号频谱相同。
2、记录平顶采样时的波形和频谱，并分析不同占空比时其特点：
系统框图
信源波形和频谱
样值序列
恢复序列的波形和频谱：
从图可以看出理想采样时输出波形信号和原始信号相同，而样值序列个次谐波出现衰落。
（2）50%占空比平顶采样
图符31为保持电路，Hold Value = Last Sample；
图符42为截止频率200Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
图符17为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
图符18为频率为2000Hz，Pulse Width =1/2000*50%=0.00025的信号；样值序列波形和频谱：
恢复信号波形和频谱：
分析：从图可以看出理想采样时输出波形信号和原始信号相同，而样值序列频谱即各次谐波分量与基波大小和形状相差很多，频谱形状出现某段的频谱急剧衰减，其中偶次谐波衰减较小，奇次谐波衰减很大并且类似于百分之百占空比的图形。
3.自然采样时的波形和频谱
系统框图
参数同上
信源波形和频谱
样值序列波形和频谱：
恢复信号波形和频谱：
分析：从图可知自然采样时波形是与矩形脉冲相乘，输出波形信号和原始信号相同，但样值序列频谱即各次谐波分量中间有了间隔而频谱形状会出现频谱衰落。
4.改变采样频率，让其不满足抽样频率，观测其波形和频谱
框图
图符1由截止频率200Hz变为截止频率为1450Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
图符4由截止频率250Hz变为截止频率为1500Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
信源频谱：
样值序列频谱：
恢复信号频谱：
5、产生孔径失真，记录波形频谱图并分析其特点：
孔径失真频率750-800
图符1由截止频率200Hz变为截止频率为750Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
图符4由截止频率250Hz变为截止频率为800Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器；
信源频谱：
样值序列频谱：
恢复信号频谱：
分析：系统采样率为1000Hz，奈奎斯特采样频率要大于2000Hz,改变采样频率为1600hz,不符合采样规律，故出现孔径失真。
实验成绩评定一览表。