信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
合集下载
傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
傅里叶变换和系统的频域
通过傅里叶变换将信号分解到不同的频率分量上，然后分配到不 同的频带进行传输。
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
最新课件-信号与系统教学第四章傅里叶变换和系统的频域分析 推荐
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
第四章傅立叶变换和系统的频域分析
T
f t
1
T
图 4-1 周期信号
t
0
T
t
4.2.1 周期信号的傅里叶级数
三角函数集
{1, cos 0 t , cos 2 0 t , , cos n 0 t , , sin 0 t , sin 2 0t , , sin n 0t , }
在区间 (t 0 , t 0 T ) (式中 复指数函数集 {e 集。
n 1
(4-2)
式(4-2)中各正、余弦项的系数
a n , bn 称为傅里叶系数。
t T 1 0 a f (t )dt 0 T t0 t0 T 2 f (t ) cos n 0 tdt a n T t0 t0 T b 2 f (t ) sin n tdt 0 n T t0
式中
A1 -j 1 A2 j 2 A1 j 1 A2 - j2 F0 A0 ； F1 2 e ； F1 2 e ； F2 2 e ； F2 2 e 。
则该信号的幅度谱和相位谱分别如图 4-3 所示。
An A0
A1
Fn
幅度谱
幅度谱
A2
0
20
F1
F2
F0
F1
F2
n 1,2,3, n 1,2,3,
表 4-1 综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。 图 4-2 更直观 地表示了两种傅里叶级数系数之间的关系。 表 4-1 周期信号展开为傅里叶级数
傅里叶 傅里叶系数之间关 级数形 式
展开式
傅里叶系数 系
f (t) a0 an cosn0t
f (t ) a0 (
信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。
信号与系统 傅里叶变换和系统的频域分析
第四章傅里叶变换和系统的频域分析本章提要信号分解为正交函数傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换的性质能量谱和功率谱周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 LTI系统的频域分析取样定理长春理工大学§4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似。
信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似。
正交函数与矢量分解为正交矢量类似平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。
平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。
C2v y y v A x v A = C1v x + C 2 v y C1 v x 这个概念可推广到n维空间。
空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，这个概念可推广到n维空间。
空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任一信号均可表示成它们的线性组合。
可表示成它们的线性组合。
长春理工大学 §4.1 信号分解为正交函数正交函数集一、正交函数集 1、如果定义在 (t1 , t 2 区间两个函数ϕ 1 (t 与ϕ 2 (t ，若满足区间两个函数∫ t2 t1 ϕ 1 ( t ϕ 2 ( t dt = 0 正交。
则称ϕ 1 (t 和ϕ 2 (t 在区间 (t1 , t 2 内正交。
ϕ 2、如果n个函数ϕ 1 (t ，2 (t ,• • •, ϕ n (t 构成一个函数集，当这如果n 构成一个函数集，些函数在区间 (t1 , t 2 内满足函数在区间∫ t2 t1 ϕ i ( t ϕ j ( t dt = { 31 0, K i≠0, 当当i i ≠ = j j 为常数，式中 K i 为常数，则称此函数集为在区间 (t1 , t 2 的正交函数内相互正交的函数构成正交信号空间。
集。
在区间 (t1 , t 2 内相互正交的函数构成正交信号空间。
第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
定义二 :
如果在正交函数集g1(t), g2 (t),..., gn (t)之外,
不存在有限能量函数x(t),即0 t2 x2 (t)dt t1
满足任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
[t2
t1
f
(t)
n r 1
cr gr
(t)]2 dt
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
现在研究一个线性时不变系统其输入为输出或响应为描述该系统的微分方程为对上式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质可得于是系统响应或输出的傅里叶变换为例如图所示的系统已知乘法器的输入系统的频率响应求输出解由图可知乘法器的输出依频域卷积定理可知其频谱函数式中令根据对称性可得故得的频谱函数为的频谱函数为因此可得系统的频率响应函数可写为所以系统响应的频谱函数为取上式的傅里叶反变换得
T 2
2Et
cosntdt
T0 T
( 2 )
T
8E [
t
T
sin nt 2
T 2
1
sin tdt]
T 2 n
0 0 n
2E [(1)n 1]
(n )2
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
E 4E 1 2n
f (t ) 2 2 n1,3,5 n2 cos T t
信号与系统第四章__连续系统的复频域分析
L[et
sin 0t ]
L{ 1 2j
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
即
eat
sin
0t
L
(s
0
a)2
02
8.冲激偶信号 ' (t)
3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为
L[u(t)] u(t)est dt 1
0
s
1L 1
s
即
A L A
s
4. 余弦信号cosω0t
因为
cos0t
1 2
(e j0t
e
) j0t
L[cos0t]
1 2
L[e
] j0t
1 2
L[e
] j0t
j0
)
0 s2 02
即
sin
0t
L
s2
0 02
6.衰减余弦信号e-αt·cosω0t
因为
et
cos0t
1 (e( j0 )t 2
e( j0 )t )
L[et
cos0t]
L{1 2
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
2j
j
F
(S
)est
ds
(t
)
（4-6）
式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中
的信号都有原始信号，即t<0时， f(t)=0，所以我们只需要
信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
A0
n1
An cos(nt n )
An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2
A0 2
1 2
n1
An e jn e jnt
1 2
n1
An e jn e jnt
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则上式
写为
A0
2
1 2
n1
An
e
j n
e
n1
An
cos(nt
n )
式中，A0 = a0 An an2 bn2
n
arctan
bn an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中A0/2 为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率 与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是 基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与线性系统
——第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显 然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项 级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数：
N
SN (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)(t)a0 2 Nhomakorabean1
an
cos(nt )
n1
bn
sin(nt)
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
n1
An cos(nt n )
An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2
A0 2
1 2
n1
An e jn e jnt
1 2
n1
An e jn e jnt
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则上式
写为
A0
2
1 2
n1
An
e
j n
e
n1
An
cos(nt
n )
式中，A0 = a0 An an2 bn2
n
arctan
bn an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中A0/2 为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率 与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是 基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与线性系统
——第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显 然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项 级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数：
N
SN (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t)(t)a0 2 Nhomakorabean1
an
cos(nt )
n1
bn
sin(nt)
系数an , bn称为傅里叶系数
an
2 T
T
信号与系统分析第四章
e − jnΩt dt
1 e − jnΩt = T − jnΩ
τ
2
1 nΩτ = sin TnΩ 2
f (t) 1 … …
－T
−
τ 0 τ
2 2
T
2T
t
图4.3 矩形脉冲
考虑到 =2π/T,上式也可以写为
1 nΩτ Fn = sin , n = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ nT T 根据式（4―16）可写出该周期性矩形脉冲的指数形
0 − T 2
2 1 + [sin(2π nft )] T 2π nf
T 2 0
2 T bn = ∫ 2T f (t ) sin(2π nft )dt T −2 2 0 2 = ∫ T ( −1)sin(2π nft )dt + T −2 T 2 1 [− cos(2π nft )] = T 2π nft 2 = (1 − nπ ) nπ
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
∞
F (ω ) = ∫
−∞
δ (t )e − jω t dt = 1
(4―34) (4―35)
δ (t ) ↔ 1
δ (t)
(1)
F(ω) 1
0 (a)
t
0 (b)
ω
图4.5 冲激信号及其频谱
∑
ck
∞
1 ck [ T
∫
T 2 T − 2
f (t )e jkΩt dt
k =−∞
∑ ck c− k =
1 T
k =−∞ 2
∑
∞
∗ ck ck =
k =−∞
∑
∞
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析首先，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学工具，它可以将一个连续的时间域信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换可以看作是一种能量谱的测量方法，它告诉我们信号中每个频率成分的能量大小。
傅里叶变换的数学定义是通过积分将一个信号从时间域转换到频域。
对于一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) e^(-jωt)dt其中，X(ω)是信号的频域表示，ω是频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换将信号x(t)从时间域转换为频域，允许我们分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位等。
傅里叶变换的逆变换可以将频域信号恢复到时间域信号。
对于一个频域信号X(ω)，它的逆傅里叶变换x(t)定义为：x(t)=(1/2π)∫[−∞,+∞]X(ω)e^(jωt)dω傅里叶变换在信号与系统领域中有广泛的应用，例如，它可以用于频谱分析、滤波器设计、系统响应分析等。
通过傅里叶变换，我们可以获得关于信号的更多信息，并且可以对信号进行处理和改变。
接下来，我们来介绍系统的频域分析。
在信号与系统理论中，系统通常指的是对输入信号进行处理的一种数学结构。
系统的频域分析是一种用频域工具和方法分析系统行为的技术，它可以帮助我们理解系统对不同频率信号的响应。
系统的频域分析基于系统的传递函数，它将输入信号转换为输出信号的关系表示为一个复数表达式。
传递函数通常表示为H(ω)，其中ω是频率。
传递函数描述了系统对不同频率信号的增益和相位响应。
对于一个线性时不变系统，系统的输出可以通过将输入信号与传递函数相乘得到。
这可以用傅里叶变换的性质来实现，因为傅里叶变换将一个输入信号转换为频域中的复数表达式。
将输入信号的傅里叶变换与传递函数的频域表示相乘，然后进行逆傅里叶变换，即可得到系统的输出信号。
系统的频域分析可以提供有关系统频率响应、频率选择性和稳定性等方面的信息。
吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
j 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
第4章傅里叶变换和系统的频域分析
第4章傅里叶变换与系统的频域分析4.0 引言4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理4.10 序列的傅里叶分析4.11 离散傅里叶变换及其性质引定义、定理应用4.0 引言任意连续信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数和虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于周期信号）。
j te4.1 信号分解为正交函数矢量的分解oVc2V2c1V1V1V2θ2θ1平面矢量的分解2211VcVcV+=三维空间矢量的分解332211VcVcVcV++=oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2一. 正交函数集1221()()0tf t f t dtt=⎰称和在区间内正交。
1()f t2()f t),(21tt定义1：设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列正交特性：)()()(jidttgtgtt ji≠=⎰021⎰=212tt iiKdttg)(则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。
()ig t)(),(),(21tgtgtgn),(21tt定义2：定义3：如果在正交函数集之外，不存在函数 ( ),)(),(),(tgtgtg n21∞<<⎰212ttdttx)(满足等式21()()0itx t g t dtt=⎰i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。
()x t这有两层意思：1、如果x（t）在区间内与正交，则x（t）必属于这个正交集。
)(tg i2、若x（t）与正交，但中不包含x（t），则此集不完备。
)(tg i)(tg i例1:(1)三角函数集为完备正交函数集。
{}1111111,cos,cos2,cos,,sin,sin2,sin,t t n tt t n tωωωωωω(2)复指数函数集{}1(0,1,2,)jn te nω=±±是一个复变函数集，也是完备正交函数集。
第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
2019/7/26
9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
2 2 2 4
第25页
32
1 cos t 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 2 3 4
n = 0, ±1, ±2，…
表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之 和。 F0 = A0/2为直流分量。
第15页
4.3周期信号 的频谱
第16页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，可直接画Fn 。
0
E 2
t
f (t )
是一奇函数
E 1 1 sin( w t ) sin( 2 w t ) sin( 3 w t ) 1 1 1 2 3
第12页
指数形式的傅里叶级数
t0 T
t0
0 jnt jmt * (e ) (e ) dt T
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
第3页
将上式同频率项合并，可写为
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
式中，A0 = a0
An a b
2 n
2 n
bn n arctan an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中A0/2 为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率 与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是 基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
第9页
f (t ) f (t ) f od (t ) 2
f (t ) f (t ) f e v (t ) 2
f(t)
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 T/2 T t
nw1
w1 0 w1
w
（负频率的结果仅是数学处理）
Fn
A0 1 A 1 21 A2 2
n
幅度谱与相位谱合并
nw1 nw1
第20页
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
2 an T
T 2 T 2
2 2 f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t ) sin(nt ) d t T 2
T
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
第4页
例子：以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数 对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。
解：其傅里叶级数表达式为：
2E 1 1 f (t ) cos( w t ) cos( 3 w t ) cos( 5 w t ) 1 1 1 3 5
E 2
第7页
吉布斯（Gibbs）现象
当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一 个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以 起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。
f (t )
1
0 .5
n 1
n3 n9
9%
0
t
第8页
二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
0
T1 2
t
是一偶函数
第11页
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
例如：周期锯齿波信号
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项
其傅里叶级数表达式为：
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项，
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 4E 1 1 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
f (t )
E
T1 2
n n
2
2 n1
An e
n
e
2 n1
An e
n
e
令A0=A0ej0ej0t ，0=0
所以
第14页
1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
1 An e jn Fn e jn Fn 令复数 2 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。
第17页
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图。
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图； 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
第18页
单边频谱图 幅度频谱
cn
c1
An ~
离散谱，谱线
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则上式 写为 A0 1 1 j j jn t jn t
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2 A0 1 1 An e j e jnt An e j e jnt 2 2 n1 2 n1
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
1 2 1 1 cos t sin t 2 3 4 3 6 4
显然1是该信号的直流分量。 1 1 2 cos t 的周期T1 = 8 cos 的周期T2 = 6
N n 1
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
第2页
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅 里叶级数
T1 4
f (t )
T1 4
2E
f (t )
T1 4
cos( w1t )
T1 4
只取基 波分量 一项
0
E 2
t
0
E 2
t
第5页
2E cos( w1t )
T1 4
f (t )
T1 4
取基波分量 和三次谐波 分量
0
E 2
t
2E cos(3w1t ) 3 2E
f (t )
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2 T T T 1 2 1 2 1 2 T f (t ) cos(nt ) d t j T f (t ) sin(nt ) d t T f (t ) e jnt d t T 2 T 2 T 2 T 1 jn t jnt 2 Fn T f (t ) e dt f (t ) Fn e T 2 n
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
2 2 2 4
第25页
32
1 cos t 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 2 3 4
n = 0, ±1, ±2，…
表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之 和。 F0 = A0/2为直流分量。
第15页
4.3周期信号 的频谱
第16页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，可直接画Fn 。
0
E 2
t
f (t )
是一奇函数
E 1 1 sin( w t ) sin( 2 w t ) sin( 3 w t ) 1 1 1 2 3
第12页
指数形式的傅里叶级数
t0 T
t0
0 jnt jmt * (e ) (e ) dt T
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
第3页
将上式同频率项合并，可写为
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
式中，A0 = a0
An a b
2 n
2 n
bn n arctan an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中A0/2 为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率 与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是 基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
第9页
f (t ) f (t ) f od (t ) 2
f (t ) f (t ) f e v (t ) 2
f(t)
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 T/2 T t
nw1
w1 0 w1
w
（负频率的结果仅是数学处理）
Fn
A0 1 A 1 21 A2 2
n
幅度谱与相位谱合并
nw1 nw1
第20页
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
2 an T
T 2 T 2
2 2 f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t ) sin(nt ) d t T 2
T
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
第4页
例子：以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数 对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。
解：其傅里叶级数表达式为：
2E 1 1 f (t ) cos( w t ) cos( 3 w t ) cos( 5 w t ) 1 1 1 3 5
E 2
第7页
吉布斯（Gibbs）现象
当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一 个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以 起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。
f (t )
1
0 .5
n 1
n3 n9
9%
0
t
第8页
二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
0
T1 2
t
是一偶函数
第11页
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
例如：周期锯齿波信号
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项
其傅里叶级数表达式为：
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项，
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 4E 1 1 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
f (t )
E
T1 2
n n
2
2 n1
An e
n
e
2 n1
An e
n
e
令A0=A0ej0ej0t ，0=0
所以
第14页
1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
1 An e jn Fn e jn Fn 令复数 2 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。
第17页
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
An ~ 关系曲线称为幅度频谱图。
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图； 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
第18页
单边频谱图 幅度频谱
cn
c1
An ~
离散谱，谱线
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则上式 写为 A0 1 1 j j jn t jn t
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2 A0 1 1 An e j e jnt An e j e jnt 2 2 n1 2 n1
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
1 2 1 1 cos t sin t 2 3 4 3 6 4
显然1是该信号的直流分量。 1 1 2 cos t 的周期T1 = 8 cos 的周期T2 = 6
N n 1
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
第2页
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利 (Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅 里叶级数
T1 4
f (t )
T1 4
2E
f (t )
T1 4
cos( w1t )
T1 4
只取基 波分量 一项
0
E 2
t
0
E 2
t
第5页
2E cos( w1t )
T1 4
f (t )
T1 4
取基波分量 和三次谐波 分量
0
E 2
t
2E cos(3w1t ) 3 2E
f (t )
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2 T T T 1 2 1 2 1 2 T f (t ) cos(nt ) d t j T f (t ) sin(nt ) d t T f (t ) e jnt d t T 2 T 2 T 2 T 1 jn t jnt 2 Fn T f (t ) e dt f (t ) Fn e T 2 n