高考数学人教A版(理)一轮复习：第五篇 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算
2019版高考数学(理科,课标A版)一轮复习讲义：§52 平面向量基本定理及坐标表示.docx
考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型预测热度1 .平面向量基本定理 了解平面向量的基本定理及其意义了解2017 江苏,12;2015 北京，13; 2013 北京,13 选輙 填空题2.平面向赢的坐标运 算①掌握平面向昴的正交分解及其坐标表不;②会用坐标表示平面向昴的加法、减法与 数乘运算；③ 理解用坐标表不的平面向最共线的条件掌握2016课标全国H ,3;2015 江苏,6; 2014 陕西,13; 2013 重庆，10选择题 填空题分析解读1 •理解平面向量基本定理的实质.理解基底的概念.会用给定的基底表示向量• 2.掌握求向量坐标的方法.掌握平面向量 的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题• 4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考 考查的重点.分值约为5分，属中低档题•五年高考1. __________________________________________________________ (2015北京」3,5分)在ZiABC 中，点M,N 满足二2三若二x+y,则x 二____________________________________________________ ,y= ________答案2. (2013北京,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示•若c 二;U+“b( A , “ WR),则二 ____答案4考点二平面向量的坐标运算1.(2016课标全国U ,3,5分)已知向量a=(l >m)>b=(3,-2),且(a+b)丄b,则m=( )A. -8B. -6C.6D.8答案D2. (2015 江苏,6,5 分)已知向量 a 二(2,1) ,b 二(1 ,・2)，若ma+nb 二(9,・8)(m,nWR),则 m-n 的值为 .答案-33. (2014 陕西,13,5 分)设向量 a 二(sin 20 ,cos 0 ),b=(cos 0,1),若 a 〃b,则 tan 0- _________ .答案教师用书专用(4一5)4. (2013重庆,10,5分)在平面上，丄，丨1 = 11=1,=+.若lie,则II 的取值范围是( ) A. B. C.D.答案D§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量基本定理5. (2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB=2,BC=1, ZABC 二60".动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且二入，二,则■的最小值为 _______ . 答案三年模拟A 组2016-2018年模拟•基础题组平面向量基本定理1. （2018江西南昌二中月考,9）D 是AABC 所在平面内一点，二入+ “（入，“ WR ）,则“0＜入＜1”是“点D 在AABC 内部（不含边界）”的（）A.充分不必要条件 B •必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2018江西新余一中四模,7）已知AOAB,若点C 满足二2，二入+ “（入，“ £R ）,则+二（ ） A. B. C.D.答案D3. （人教A 必4,二,2-3B,3,变式）正方形ABCD 中,E 为DC 的中点，若二入+ 〃，则入+ “的值为（ ） A. B.- C.l D.-1答案A4. （2017河南中原名校4月联考,7）如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点0,E 为A0的中点,若二入+ “（入，“为实数）,则 A 2+ZZ =（）A. B. C.lD.答案A5. （2017河南安阳调硏,13）已知G 为△ ABC 的重心、令二a, =b 、过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且，二nb,则答案3考点二平面向量的坐标运算6. （2018海南海口模拟,5）已知两个非零向量a 与b ，若a+b=（ -3,6） ,a-b=（ -3,2）,则的值为（） A.-3B.-24C.21D.12答案C7. （2017河北翼州模拟,7）已知向量a=,b=（4,4cos a ・）,若a 丄b,则sin=（ ） A. -B. -C.D.答案B8. （2017福建四地六校4月联考,13）已知A （1,0）,B （4,0）,C （3,4）,0为坐标原点，且二（+・）,则11等于 .考点一 R答案2B组2016—2018年模拟•提升题组（满分:15分时间:10分钟）一、选择题（每小题5分，共10分｝1.（2018四川德阳三校联考,11 ）在厶ABC中,AB=AC二5,BC二6,1是△ ABC的内心,若*■!!（m,n丘R）,则二（）A. B. C. 2 D.答案B2.（2017安徽安庆模拟,6）已知a,b丘R+,若向显”（2,12・2a）与向就n=（ 1,2b）共线,则+的最大值为（）A.6B.4C.3D.答案A二、填空题（共5分）3.（2016河北石家庄二模,15）在AABC中J 1=3 J l=5,M是BC的中点,= A（ A ER）,若二+,则AABC的面积为___答案C 组2016—2018年模拟•方法题组1. （2018河南林州一中调研,9）已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点0,点P 在△C0D 的内部（不含边界）.若二x+y,则实数对（x,y ）可以是（）B. D.D2. （2017山西大学附中模拟,15）在直角梯形ABCD 中,AB 丄AD,DC 〃AB,AD=DC 二1 ,AB=2,E,F 分别为AB,BC 的中点，点P 在以A 为圆 心,AD 长为半径的圆弧DE 上运动（如图所示）.若二入+ “，其中入，“WR,则2入的取值范围是答案[-1,1]方法2平面向量的坐标运算技巧3. （2018重庆一中月考,10）给定两个单位向量，，且•二・,点C 在以0点为圆心的圆弧AB 上运动 ，二x+y,则 x-y 的最小值为（）B.-lC.-2D.0答案B4. （2016江西赣州二模）设向量二（x+2,x —cos 2a ）, = ?其中x,y, a 为实数，若二2、则的取值范围为（） A.[-6,l]B.[-l,6]B. [4,8] D.（o,l]答案A方法3方程的思想方法5. （2017山西临汾一中月考,4）已知向量a=（2,m ）,b=（l,l ）,若a ・b=la-bl,则实数m=（ ） A. B. - C. D.-答案D6. （2018吉林长春期中,15）向量,，在正方形网格中的位置如图所示,若二入+ “（入，“ £R）,则二 _方法1 平面向量基本定理及其应用策略A. C.答案答案27.（2016浙江温州二模,⑶如图，矩形ABCD中,AB=3,AD=4MN分别为线段BC,CD（不包括端点）上的点，且满足+二1,若二x+y,则x+y的最小值为_______ .NMB 答案。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算【2014年高考会这样考】1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算． 3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．对应学生72考点梳理1．平面向量基本定理前提：e 1，e 2是同一个平面内的两个不共线向量．条件：对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2.结论：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，如右图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a 与b 的夹角． ②当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． (2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量． (3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .这样，a 可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a＝(x ，y )．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (4)规定①相等的向量坐标相等，坐标相等的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系． 3．平面向量运算的坐标表示(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【助学·微博】 两点提醒(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 三个结论(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(3)平面向量的基底中一定不含零向量．考点自测1．(2012·广东)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)解析 由于BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，那么BC →＝BA →＋AC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 答案 A2．(2013·湘潭调研)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为( )． A ．0 B ．4 C ．－4 D ．±4解析 若a ∥b ，则有4×4＋4x ＝0，解得x ＝－4. 答案 C3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析 设D (x ，y )，AD→＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝72.故选A.答案 A4．(2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )． A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a＋b |＝10，选B. 答案 B5．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析 a －2b ＝(3，3)，因为a －2b 与c 共线，所以k 3＝33，k ＝1.答案 1对应学生73考向一 平面向量基本定理及其应用【例1】►如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. [审题视点] 直接用c ，d 表示AB →，AD →有难度，可换一个角度，由AB →，AD →表示AN→，AM →，进而求AB →，AD →. 解 法一 设AB→＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN→＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM→＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入② 得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 法二 设AB→＝a ，AD →＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 【训练1】如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 解析如图，以OA→，OB →为一组基底，将OC →在OA →，OB →方向上分解，得Rt △OCA ′，其中OC ＝23，∠OCA ′为直角，∠COA ＝30°，则OA ′＝4OA ，OB ′＝2OB ，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.答案 6 考向二 平面向量的坐标运算【例2】►已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN→. [审题视点] 求CA→，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N 的坐标．解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA→＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM→＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM→＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎨⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )． A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)．(2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 (1)D (2)B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[审题视点] (1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之．解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________． (2)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－1，－2)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 (1)由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB→＝DC →， 即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．(2)由题意知a ＋b ＝(m －1，－3)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b )∥c ，得(－3)×(－1)－(m －1)×2＝0，所以m ＝52. 答案 (1)(0，－2) (2)52对应学生74方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题【命题研究】 通过近三年高考试题分析，可以看出高考对本部分内容的考查主要是向量的运算，意在考查考生计算能力和利用化归思想解决问题的能力．以选择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题．【真题探究】► (2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )． A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)[教你审题] 思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解． 思路2 利用旋转角求解．思路3 排除法、验证法相结合求解．[一般解法] 法一 设点Q 的坐标为(x ，y )，由题意知：|OQ →|＝|OP →|＝36＋64＝10.又∵|OQ →|＝x 2＋y 2＝10， ∴x 2＋y 2＝100.①∵向量OQ →与OP →的夹角为34π，且点Q 在第三象限， ∴cos 34π＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ→|＝(x ，y )·(6，8)10×10＝6x ＋8y 100＝－22.∴6x ＋8y ＝－50 2.②由①②得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－72或⎩⎨⎧x ＝－72，y ＝－ 2.又∵点Q 在第三象限，∴点Q 的坐标为(－72，－2)． 法二设∠xOP ＝θ，则由题意知：∠xOQ ＝34π＋θ(如图所示)，设点Q 的坐标为(x ，y )．∵点P 的坐标为(6,8)， ∴OP→＝(6,8)，且|OP →|＝10， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝810＝45.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝cos θ·cos 34π－sin θsin 34π＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7102，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝sin θcos 34π＋cos θsin 34π＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋35×22＝－210. 又∵|OQ→|＝|OP →|＝10， ∴x ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7102＝－72，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝－ 2.∴点Q 的坐标为(－72，－2)． [答案] A[优美解法] 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，cos ∠QOP ＝6×(－72)＋8×(－2)62＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×(－46)＋8×(－2)62＋82＝－246－16100≠－22，故选A.[答案] A[反思] 本题学生容易列二元二次方程求解，陷入繁杂的运算，优美解法中体现了“多想少算”的命题原则，因此在解题前一定要注意审题．【试一试】 (2011·上海)设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5＝0成立的点M 的个数为( )． A ．0 B ．1 C ．5 D ．10解析 法一 (特值法)：不妨取A 1、A 2、A 3、A 4分别是正方形的顶点，A 5为正方形对角线的交点．仅当M 为A 5时满足MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0.故选B.法二 设M (x ，y )，A i (x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5－5x ＝0，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－5y ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，y ＝15(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5).故点M 的个数为1.选B. 答案 B对应学生267A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( )．A ．(6,3)B ．(7,3)C ．(2,1)D ．(7,2)解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案 B2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则“x ＋y ＝1”是“点P在直线AB 上”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上． 答案 C3．(2013·金华模拟)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)， 由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 126．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 8．(13分)已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP→＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解． 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 84.(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三、解答题(共25分)5．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.6．(13分)已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， 得⎩⎨⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎨⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．故f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b).。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
高三数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教案 理 新人教A版
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示2014高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算． 1． 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3． 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2． 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．1． 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 因为AC →＝AB →＋AD →，又AE →＝AD →＋12AB →，AF →＝AB →＋12AD →，所以AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →，得到λ＋12μ＝1，12λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝43.2． 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.答案 0解析 由k a ＋b 与b 平行得－3(2k ＋2)＝2(k －3)，∴k ＝0. 4． 若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4＝x －y 2＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1.5． (2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( )A.14B.12C ．1D ．2答案 B解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.题型一 平面向量基本定理的应用例1 已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．思维启迪：以AB →，AC →为基底来表示向量，建立x ，y 的关系． 解 根据题意知G 为三角形的重心， 故AG →＝13(AB →＋AC →)，MG →＝AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →，GN →＝AN →－AG →＝yAC →－AG →＝yAC →－13(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，由于MG →与GN →共线，根据共线向量定理知 MG →＝λGN →⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x AB →＋13AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13AC →－13AB →，∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧13－x ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13⇒13－x －13＝13y －13⇒x ＋y －3xy ＝0， 两边同除以xy 得1x ＋1y＝3.探究提高 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为_____．答案311解析 设|BP →|＝y ，|PN →|＝x ，则AP →＝AN →＋NP →＝14AC →－x x ＋yBN →，①AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋y x ＋yBN →，②①×y ＋②×x 得AP →＝x x ＋y AB →＋y 4x ＋yAC →，令y 4x ＋y ＝211，得y ＝83x ，代入得m ＝311.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平行四边形的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则第四个顶点D 的坐标是__________________．答案 (－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 解析 设顶点D (x ，y )．若平行四边形为ABCD ，则由AB →＝(1,5)， DC →＝(－3－x,4－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1；若平行四边形为ACBD ，则由AC →＝(－7,2)， DB →＝(5－x,7－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝－7，7－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5；若平行四边形为ABDC ，则由AB →＝(1,5)， CD →＝(x ＋3，y －4)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝1，y －4＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝9.综上所述，第四个顶点D 的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 题型三 共线向量的坐标表示例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之． (2)由两向量平行的条件列方程解之．(3)设出d ＝(x ，y )，由平行关系列方程，由模为5列方程，联立方程组求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．探究提高 (1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合． (2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若(a －2b )与c 共线，则k ＝________. 答案 1解析 a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)， 又∵(a －2b )与c 共线，∴(a －2b )∥c ， ∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解． 规范解答解 由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .[4分] ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；[7分]②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.[10分]综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.[12分]温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件. 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±513答案 C解析 设e 为所求的单位向量， 则e ＝±a |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513. 2. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.3． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA → ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．答案 12解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析 ∵OC ＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？ 解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量k a ＋b 与向量a －3b 共线，则必有(k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0，解得k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →. 解 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， 所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A解析 方法一 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35，x －2y5 x 2＋y2＝－1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝45，x －2y ＝－15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴b ＝(－3,6)．方法二 设b ＝(x ，y )，由已知条件⎩⎨⎧x 2＋y 2＝35，y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6，(舍去)，∴b ＝(－3,6)．方法三 ∵|a |＝5，∴1|a |a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，则b ＝－35⎝⎛⎭⎪⎫1|a |a ＝(－3,6)． 2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)答案 C 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A ．1B.13C.12D.23答案 D解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2， 所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝________.答案 60°解析 因为p∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°.5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________. 答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝21－x y －1＝24－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 答案 8解析 据已知得AB →∥AC →，又∵AB →＝(a －1,1)，AC →＝(－b －1,2)，∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号， ∴1a ＋2b的最小值是8. 三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)． 又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12， ∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
高考数学一轮复习 《第五章 平面向量》第2课时 平面向量基本定理及坐标运算课件
本课总结
1．解题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来
表示，选择了不共线的两个向量 e 、e ，平面上的任何一个向
1
2
量 a 都可以用 e 、e 惟一表示为 a＝λ e ＋λ e ，这样几何问题
【解析】 A→B＝(1,3)，A→C＝(2,4)，A→D＝(－3,5)， ＝ (－ 4,2)， C→D＝ (－ 5,1)， 所 以 A→D ＋ B→D＋ C→D＝ (－ 3,5)＋ (－ 4,2)＋ (－ 5,1)＝ (－ 12,8)．
高考调研·新课标高考总复习
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
(3)∵→ CM＝O→M－→ OC＝3c，
m＝－ 1， 解得n＝－ 1.
∴O→M＝ 3c＋O→C＝(3,24)＋ (－3，－4)＝(0,20)．
2024届新高考一轮总复习人教版 第五章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 课件(30张)
2．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，
则顶点 D 的坐标为( )
A．2，72
B．2，－12
C．(3，)
解析：设 D(x，y)，则A→D＝(x，y－2)，B→C＝(4，3)，
D．(1，3)
又B→C＝2A→D，所以43＝ ＝22x(y，－2)，解得xy＝ ＝722．，
交于点 O，所以C→O＝－A→O＝－12(A→D＋A→B)＝(－12，－5).故选 C． 答案：C
4．已知 A0，4，B－4，0，C1，2，且G→A＋G→B＋G→C＝0，则点 G 的坐标为__________. 解析：设 Gx，y，因为 A0，4，B－4，0，C1，2， 则G→A＝－x，4－y，G→B＝－4－x，－y，G→C＝1－x，2－y， 又G→A＋G→B＋G→C＝0，所以－ 4－x－y－4－ y＋x＋ 2－1－ y＝x＝ 0，0，解得xy＝ ＝－ 2，1， 所以点 G 的坐标为－1，2. 答案：－1，2
第五章 平面向量、复数
[课标解读] 1.理解平面向量的基本定理及其意义． 2.借助平面直角坐标系，掌握 平面向量的正交分解及坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算， 能用坐标表示平面向量共线的条件．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个_不__共__线___向量，那么对于这一平面内的任一向量 a， _有__且__只__有___一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个_基__底___．
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝___(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) __，|A→B|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔__x_1y_2_－__x_2_y1_＝__0___．
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)． 答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析 设c ＝(x ，y )， 则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案 －1考向一 平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二 平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 －12(填错的结论多种)．正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案 －14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？ 三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)． 由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2， 得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析 如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案 －49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案 －8考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】 已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2， 而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三 平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】 已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解 由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习课件：第五章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
角度二 利用两向量共线求参数
已知向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(－k，10)，且 A，B，C 三点共线，
则 k 的值是
()
A．－23
4 B.3
1 C.2
D．13
【解析】 A→B＝O→B－O→A＝(4－k，－7)， A→C＝O→C－O→A＝(－2k，－2)． 因为 A，B，C 三点共线，所以A→B，A→C共线， 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－23. 【答案】 A
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝___(x_2_－__x_1_，__y_2－__y_1_)_， |A→B|＝____（__x_2－___x_1）__2_＋__（__y_2－___y1_）__2____．
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔_x_1_y_2_－__x_2y_1_＝__0_． [提醒] 当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与xx12＝yy21等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【答案】
(1)C
1 (2)2
运算遵法则 基底定分解 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量 间的关系． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和 结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分 解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
常用结论 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且 a＝b，则 x1＝x2 且 y1＝y2. 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点的坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2. 3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量， 无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
新高考一轮复习人教A版5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件(32张)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实 若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝(λx，λ
数乘原来向量的相应坐标.
y).
(3)平面向量共线的坐标表示：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，向量 a，b 共线的充要
(2)已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)， C(4，2)，则点 D 的坐标为__________.
解：因为在梯形 ABCD 中，DC＝2AB，AB∥CD，所以D→C＝2A→B. 设点 D 的坐标
为(x，y)，
则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
B. 2 2
C. 2 5
D. 17
解：设 P(x，y)，则B→P＝(x－6，y)，A→P＝(x，y－3)，因为B→P＝－2A→P，所以(x－6，
y)＝－2(x，y－3)，
所以x－6＝－2x，解得x＝2，即 y＝－2y＋6， y＝2，
P(2，2)，
则O→P＝(2，2)，|O→P|＝ 22＋22＝2 2. 故选 B.
第五章 平面向量与复数
平面向量基本定理及坐标表示
1. 理解平面向量基本定理及其意义. 2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4. 能用坐标表示平面向量共线的条件.
【教材梳理】
1. 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)， 所以A→B＝(0，2)，A→C＝(1，0)，B→C＝(1，－2). 设 M(x，y)，则A→M＝(x，y)，所以
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第5章 第2节 平面向量基本定理及向量坐标运算
3
3
4
2
4
2
b=-3e1+3e2,即 =-3e1+3e2.
考点二
平面向量的坐标运算
典例突破
例 2.(1)(2021 陕西宝鸡八校联考)已知点 A(1,2),B(4,3),向量 =(-2,-2),则向
量 =(
)
A.(-5,-3)
B.(5,3)
C.(1,-1)
D.(-1,-1)
(2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b,=c,且=3c,=-2b.
第五章
第二节 平面向量基本定理及向量坐标运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解平面向量的基本定理
及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解
及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的
加、减与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向
量共线的条件.
衍生考点
核心素养
1.平面向量基本定理及其应用
关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练3(2021宁夏银川一中高三月考)在平面直角坐标系中,已知点P1(-1,
1),P2(1,3),点P满足 1 =-32 ,则点P的坐标为
答案:(2,4)
解析:设点P的坐标为(x,y),因为点P1(-1,1),P2(1,3),
所以1 =(x+1,y-1),2 =(1-x,3-y),
2
(2)在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 = 3
CP 的交点为 M,又=t,则实数 t 的值为
+
1高考数学人教A理科一轮复习攻略课件：5第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
AD＝AB＋AC (λ,μ∈R),则 =
()
A. 2 3 3
B. 3 3
C.3
D.2 3
【解析】选A.如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直
角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),
因为∠DAB=60°,
所以设点D(m, 3 m)(m≠0).
AD =(m, 3 m)=λAB＋AC =λ(1,0)+μ(0,2)
P1P2的一个三等分点(靠近点P1),则点P的坐标为 ( )
A.(2,2)
B.(3,-1)
C.(2,2)或(3,-1)
D.(2,2)或(3,1)
【解析】选A.由已知 P1P＝13 P1P2，P1P2 =(3,-3).设P(x,y),则(x-1,y-3)=(1,-1),所以 x=2,y=2,点P(2,2).
(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,
则λ1=λ2,μ1=μ2.
()
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成
x1 ＝ y1 . ×.共线向量不可以作为基底.
(2)×.同一向量在不同基底下的表示不相同.
同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于 ( )
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
【解析】选D.根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).
4.(必修4P101练习T6改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段
2020版广西高考人教A版 数学(理)一轮复习：5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
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知识梳理 双基自测
12345
2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点 作 ������������ =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 ������������=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 (x,y) 叫做向量a的坐标, 记作a= (x,y) .
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量 用这一组基底表示出来.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)
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如图,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设������������=a,������������=b,
关闭
关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
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4.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=
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.
关闭
由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所
以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
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知识梳理 双基自测
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5.向量的夹角
已知两个 非零 向量a和b,作 ������������=a,������������=b, 则
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角
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第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( )．A ．(6,3)B ．(7,3)C ．(2,1)D ．(7,2)解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案 B2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则“x ＋y ＝1”是“点P在直线AB 上”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上． 答案 C3．(2013·金华模拟)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 126．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 8．(13分)已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP→＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解． 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 84.(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三、解答题(共25分)5．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． 解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.6．(13分)已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， 得⎩⎨⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎨⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1) 又mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)， 所以mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． 故f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b ).精心整理资料，感谢使用！。