2016-2017学年人教A版必修五 3.4基本不等式 课件 (21张)
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高中数学人教A版必修5《基本不等式》PPT
，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
高中数学人教A版必修5必修五基本不等式PPT课件
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
பைடு நூலகம்
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100
2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
① x 0 2,
② x0
,2
③ x 0 ,2 2,
④ x2
5 2
,
一正 、二定 、三等
一不正,需变号
二不定,需变形 三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab
ab
(a 0, b 0)
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab
a
2
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt(优秀课件)
基本不等式的几何解释： 如图，AB 是圆的直径，C 是 AB 上一 点，AC＝a，BC＝b，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连结 AD，BD.由射影定理或三角 形相似可得 CD＝ ab，由 CD 小于或等于 a＋b a＋b 圆的半径 2 ，可得不等式 ab ≤ 2 . 当 且仅当点 C 与圆心重合，即当 a＝b 时，等号成立．
[答案] P<Q<R
[解析] ∵a>b>1，∴lga>lgb>0， 1 1 ∴Q＝2(lga＋lgb)> lga· lgb＝ P；Q＝2(lga＋lgb) ＝lg a ＋ a＋b lg b＝lg ab<lg 2 ＝R. ∴P<Q<R.
利用不等式求函数的最值
下列函数中，最小值为 2 的是( 1 A．y＝ x ＋2＋ 2 x ＋2
2．利用基本不等式求函数的最值 已知 x，y 都是正数， (1)如果 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P； 1 2 (2)如果 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，xy 有最大值4S . 注意：利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条： (1)一正，即 x，y 都是正数；
基本不等式的代数解释：
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， a＋b ∴ 2 ≥ ab.
基本不等式的数列解释： a＋b 如果把 2 看作是正数 a，b 的等差中项， ab看作是正数 a，b 的等比中项，那么该定理可叙述为：两个正数的等差中项 不小于它们的等比中项．
1.如果x＋y＝1，则2x2＋y2的最小值是________．
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2________0，因此a2 ＋b2________2ab，当且仅当________时，取等号．
3.4基本不等式课件(人教A版必修5)
B
C
x y 则当xy的值是常数P时， xy , x y 2 100, 2( x y ) 40 2 当且仅当x=y时，
x+y有最小值 _______. 此时x=y=10. 当且仅当 x=y 时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 积定和最小 最短，最短的篱笆是40m.
24 A. 5
28 B. 5
C. 5
D.6
【解析】由x+3y=5xy可得
1 3 1 3 1, 3 x 4 y (3 x 4 y )( ) 5 y 5x 5 y 5x
9 4 3 x 12 y 13 12 5, ∴3x+4y的最小值是5. 5 5 5 y 5x 5 5
1 1 1 解：x [( x） +(- )] 2 ( x） （- ) 2 x x x 1 当且仅当 x 即x 1时有最大值-2 x
解： x 3 1 1 y x ( x 3) +3 x3 x3 1 2 ( x 3) 35 x3
3.4 基本不等式：
ab
ab 2
第1课时 基本不等式
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
2
b
G F E C H
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
２、四个直角三角形的
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
2 3.已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x
1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y
高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
人教版数学必修五：3.4《基本不等式二》ppt课件
a＋b 2 b>0)可变形为 ab≤( 2 ) 等，同时要从整体上把握基本不等 式，如 a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc) ，都是对“a2 ＋ b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用．
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
已知 a>2，求证：loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.由基本不等式导出的几个结论
(1) 反向不等式： a ＋ b≤ 2a2＋b2 (a 、 b ∈ R ) ，由 a2 ＋
＋
b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． a＋b 2 a＋b ＋ (2)ab≤( 2 ) ，(a、b∈R )，由 2 ≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ 2ab 2 ≥ ab≥ ＝ ≥a . a＋b 1 1 a＋b
[ 证明] ∵a>2，所以 loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0，
又 loga(a－1)≠loga(a＋1)， logaa－1＋logaa＋1 ∴ logaa－1· logaa＋1< 2 1 1 2 ＝2loga(a －1)<2logaa2＝1， ∴loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
(2)由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2＝
2 2 x ＋ 1 － x 1 2 2 x 1－x ≤ ＝2， 2
2 等号在 x ＝1－x 即 x＝ 2 时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝
3.4 基本不等式 课件(41张PPT)高中数学必修5(人教版A版)
解析：xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6，令xy＝t2，可得t2－x＝3，y＝6时等号成立，故xy的
2x＝y， 当且仅当 2x＋y＋6＝xy，
最小值为18.
答案：18
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 郑州模拟)设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值 是 A．6 C．2 6 B．4 2 D．8 ( )
答案： B
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( A．18 C．81
等号成立．
)
B．36 D．243
解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，
答案：A
3．(教材习题改编)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的 是 4 A．y＝－x－x C．y＝ x2＋1＋ 1 x2＋1 1 B．y＝lg x＋lg x D．y＝x2－2x＋3 ( )
[失误展板] 错解：∵a>0，b>0，a＋b＝2， a＋b2 ∴ab≤ 4 ＝1. 1 4 又 y＝a＋b≥2 4 ab＝4 1 1＝4. 1 ab，
又 ab≤1，∴y≥4
错因：上面的解法显然是错误的．主要原因是对 a＋b 1 4 与a＋b两次使用基本不等式．但它们成立的条件不同， 一个是 a＝b，另一个是 b＝4a.这显然是不能同时成立 的，故不正确．
[正确解答] a＋b ∵a＋b＝2，∴ 2 ＝1. a＋b 1 4 1 4 ∴a＋b＝a＋b 2 5 2a b 5 ＝2＋ b ＋2a≥2＋2
2a b b· 2a
9 2a b ＝2(当且仅当 b ＝2a，即b＝2a时，“＝”成立)． 1 4 9 故y＝a＋b的最小值为2.
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
2016-2017学年高中数学人教版必修5课件：3.4 基本不等式
[活学活用] 某汽车公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于长途客运， 预计每辆车每年收入约 100 万元，每辆车第一年各种费用约为 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加 16 万 元． (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N*)的函 数关系式． (2)这 4 辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
答案：C
第二十八页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
2．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是
()
A．a＞b＞a＋2 b＞ ab
B．a＞a＋2 b＞ ab＞b
C．a＞a＋2 b＞b＞ ab
D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
解析：a＝a＋2 a＞a＋2 b＞ ab＞ b·b＝b，因此只有 B 项正确．
答案：B
第十四页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
又∵x＞0，y＞0， ∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当xy＝9yx， 即 y＝3x 时，等号成立．
y＝3x， 由1x＋9y＝1， 得xy＝＝142，， 即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
第十五页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
第二十二页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
7.基本不等式应用中的易误点 [典例] 已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值
是
()
7 A.2
B．4
9 C.2
D．5
第二十三页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
[解析] ∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1. ∴1a＋4b＝1a＋4ba＋2 b ＝52＋2ba＋2ba≥52＋2 2ba·2ba＝92 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时，等号成立. 故 y＝1a＋4b的最小值为92. [答案] C
人教A版高中数学必修五课件3.4基本不等式课件2.pptx
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’2=＿ab＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__>__S′
问：那么它们有相等的情况吗？
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
基本不等式在实际问题中的应用
例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150 元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使 总造价最低？最低总造价是多少？
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第三章不等式 3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜 色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情 好客。
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
②
(a 0,b 0, a ( a )2,b ( b)2 )
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b _≥____ 2 ab
高中数学人教A版必修五3.4基本不等式(三)ppt课件
4.灵活变换1“ ”．
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
3.4基本不等式：
ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a2b2 2a b; ab a(b a0,b0).
2
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值 变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 .
讲授新课
练习. (1)已a知 、 bR,且 a2b1,y11，
ab 求 y的 最 小 值 ．
(2)已a、 知 b、 cR, 且 abc1, 求:证 1119.
abc (3)已a、 知 b、 cR, 且 abc1, 求:证 (11)1 (1)1 (1)8.
abc
课堂小结
1.熟练使用 a2b不 22a等 和 ba式 b2a． b 2.注意使 ab用 2 a的 b 条件． 3. 注意取等号的条件．
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值 变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 . 变式2. a,b是 正a数 b4， 且a求 的 b 最 .
2
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值
变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 . 变式2. a,b是 正a数 b4， 且a求 的 b 最 .
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
3.4基本不等式：
ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a2b2 2a b; ab a(b a0,b0).
2
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值 变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 .
讲授新课
练习. (1)已a知 、 bR,且 a2b1,y11，
ab 求 y的 最 小 值 ．
(2)已a、 知 b、 cR, 且 abc1, 求:证 1119.
abc (3)已a、 知 b、 cR, 且 abc1, 求:证 (11)1 (1)1 (1)8.
abc
课堂小结
1.熟练使用 a2b不 22a等 和 ba式 b2a． b 2.注意使 ab用 2 a的 b 条件． 3. 注意取等号的条件．
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值 变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 . 变式2. a,b是 正a数 b4， 且a求 的 b 最 .
2
讲授新课
例1. a,b是正 ab 数 4 ， 且 a求 的 b 最 . 值
变式1. a,b是正 2a 数 b4 ， 且 a求 的 b 最 . 变式2. a,b是 正a数 b4， 且a求 的 b 最 .
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和 此时a、b的值.
讲授新课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
高中数学人教A版必修5《3.4.2基本不等式》课件
2 2
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a , b R, 那么a b 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; ab ( 2) 如果a , b是正数, 那么 ab (当且 2 仅当a b时取“”号) ;
2 2
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
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归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小 值； (4)正确写出答案.
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练习1. 某单位决定投资 3200元建一长方 体的仓库，高度已定 , 它的后墙利用旧墙 不花钱，正面用铁栅， 每米造价40元， 两侧墙砌砖，每米造价 45元，顶部每平 方米造价20元.问：仓库面积 S的最大允许 值是多少？为使仓库面 积S达到最大，而 实际投资又不超过预算 ，那么正面铁栅 应设计为多长？
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归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题；
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归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小 值；
2Hale Waihona Puke x 3x 8 4.若x 1, 求函数y 的最小值 x 1
复习引入
1．基本不等式：
(1) 如果a , b R, 那么a b 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; ab ( 2) 如果a , b是正数, 那么 ab (当且 2 仅当a b时取“”号) ;
2 2
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
讲授新课
归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小 值； (4)正确写出答案.
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练习1. 某单位决定投资 3200元建一长方 体的仓库，高度已定 , 它的后墙利用旧墙 不花钱，正面用铁栅， 每米造价40元， 两侧墙砌砖，每米造价 45元，顶部每平 方米造价20元.问：仓库面积 S的最大允许 值是多少？为使仓库面 积S达到最大，而 实际投资又不超过预算 ，那么正面铁栅 应设计为多长？
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归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题；
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归纳: 用均值不等式解决此类问题时，应按如下 步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小 值；
2Hale Waihona Puke x 3x 8 4.若x 1, 求函数y 的最小值 x 1
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B）
B. 4 C. 1 D.
A. 8
1 4
x y x y≥2 100 20, ≥ xy 2 2( x y )≥40
x
C
例1.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？ A D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
则 2(x + y)= 36 , x + y =18
≥2
1 (x+1)∙ x+1 -1 =1,
当且仅当 x+1= x1 +1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
1. 两个不等式
(1)a , b R,那么a 2 b 2≥2ab , 当且仅当a b时,等号成立
ab (2) ab≤ (a >0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
a b ab 2
(a 0, b 0)
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
观察：这会标中含有怎 样的几何图形？
思考：图案中有哪些相 等关系或不等关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
F E
a b
2
2
b
G H
A
a
2
C
a b 面积S=＿＿＿＿＿
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
应用基本不等式求最值的条件：
ab 2
二 定
ab
三 相等 若等号成立， a与b必须能 够相等
一 正 a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
作业
教材：P100：习题3.4A组 第 1题
b >0，若 3是 1.设 a >0，
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
基本不等式
类 （特别的）如果 a＞0 ,b＞0 , ≥ a b _____ 2 ab 比 联 ab ab (a 0, b 0) 想 2 算术平均数 几何平均数 当且仅当 a=b 时“＝”号成 推 理 立 此不等式称为基本不等式 论 证
均值不等式
积 1 1 定 解: x 2 x 2 ， x x 和 1 当且仅当x 即x 1时原式有最小值 2. 最 x 小 结论1：两个正数 积为定值 和有最小值
三 相等 若等号成立， a与b必须能 够相等
一 正 a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
1 1. ( 2) 已知x 0,求x 的最值 ; x
1 1 1 2、解 : x [( x ) ( )] 2 ( x ) ( ) 2 x x x 1 当且仅当 x 即x 1时有最大值 2. x
2
2
２、四个直角三角形的
a b >2ab
2
(a≠b)
B
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
S>S′即
D
D
A
a
G H
b F
E
b
C
A
a
C
a b > 2ab
2
当且仅当 a=b时，等号成立B B 2 2 2 a b ＝ 2ab
(a＝b)
(a≠b)
a + b 2ab 成立？你能证明吗？
B
y
x
C
矩形菜园的面积为xy m2 x y 18 xy ≤ 得 xy ≤ 81 9 2 2 当且仅当x=y时，等号成立 即x=y=9 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2
和 定 值 ， 积 最 大 值
应用基本不等式求最值的条件：
ab 2
二 定
ab
2 2 问题2：是否a,b为任意实数时，
2 2
都
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2a b
当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式
如果用 a , b 去替换重要不等式 a、b, 能得到什么结论?
若a∈R,b∈R
a2+b2≥2 a b
当且仅当a=b时，等号成立
1 例1. (1)已知x 0, 求x 的最值; x
例 1.(1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最 A D 短的篱笆是多少？
解：如图设BC=x ，CD=y ，
则100，篱笆的长为2(x+y)m.
B
y
积 定 值 ， 当且仅当 x=y 时，等号成立 此时x=y=10. 和 最 因此，这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用的篱笆 xy 100 x 10 小 解 ，可得 最短，最短的篱笆是 40m. 值 x y y 10
a与b为正实数
3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
应用基本不等式求最值的条件：
ab 2
二 定
ab
三 相等 若等号成立， a与b必须能 够相等
一 正 a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
探究巩固与复习
1 求函数 f(x)=x +x +1 (x＞ -1) 的最值. 解: ∵ x＞-1, ∴x+1>0. 1 =(x +1)+ 1 -1 f ( x )= x + ∴ x+1 x+1