第04章 多元线性回归分析估计
多元线性回归预测法
多元线性回归模型 估计回归参数 多元线性回归模型的检验 预测区间 标准化回归系数
一、多元线性回归模型
设随机变量y与x1,x2,…,xp一般变量的线性回归模型为
yi 0 1xi1 2 xi 2 p xip i
(4-20)
0 称为回归常数， 1,, p 其中，0 , 1,, p 是p+1个未知参数， 称为回归系数。y称为因变量，而x1,x2,…,xp是p个可以精确测 量并可控制的一般变量，称为自变量。 i 是随机误差，对随 机误差项假定
xi1 x x
i 1 n i 1 i1 i 1 n 2 i1
n
xi 2
n
x i2 i 1 n xi1 xi 2 i 1 n 2 xi2 i 1
n
(4-26)
x x
i 1 n i 1 n
i 1 n
n
yi
i1
yi yi
i1
x i2 i 1 n xi1 xi 2 i 1 n 2 xi2 i 1 y i i 1 n xi1 yi i 1 n x i 2 yi i 1
(4-46)
ˆi ，是 i 的估计值。 其中 ： ei y i y
因 ei 1 的最初序号也必须是1，所以分子求和公式 必须从2开始。将式（4-46）展开，得
DW
2 e 2 e e e i i 1 i 1 i 2 2 i i 2 n i 2 2 e i i 1 n n n
(4-47)
2 2 2 在大样本情况下，即n>30，可以认为 e e e i i1 i
多元线性回归
多元线性回归简介多元线性回归是一种统计分析方法，用于预测一个因变量与多个自变量之间的关系。
该方法适用于具有多个自变量和一个因变量之间的线性关系的数据集。
多元线性回归建立了一个多元线性模型，通过对多个自变量进行加权求和来预测因变量的值。
它基于最小二乘法，通过最小化预测值与实际观测值之间的差异来找到最佳拟合线。
在多元线性回归中，自变量可以是连续变量、二进制变量或分类变量。
因变量通常是连续的，可以预测数值型变量的值，也可以用于分类问题中。
数学原理多元线性回归的数学原理基于线性代数和统计学。
假设有n个自变量和一个因变量，可以将多元线性回归模型表示为：多元线性回归公式其中，y表示因变量的值，β0表示截距，β1, β2, …, βn表示自变量的系数，x1, x2, …, xn表示自变量的取值。
通过使用最小二乘法，可以最小化残差的平方和来计算最佳拟合线的系数。
残差是预测值与实际观测值之间的差异。
模型评估在构建多元线性回归模型后，需要对模型进行评估，以确定模型的效果和拟合优度。
常用的模型评估指标包括均方误差（Mean Squared Error, MSE）、决定系数（Coefficient of Determination, R2）和F统计量等。
•均方误差（MSE）是指预测值与实际观测值之间差异的平方和的均值。
MSE越接近于0，说明模型的预测效果越好。
•决定系数（R2）是指模型解释因变量变异性的比例。
R2的取值范围是0到1，越接近1表示模型对数据的解释能力越好。
•F统计量是用于比较两个模型之间的差异是否显著。
F统计量越大，说明模型的解释能力越好。
实例应用下面通过一个实例来说明多元线性回归的应用。
假设我们想要预测一个学生的学术成绩（因变量）与以下自变量之间的关系：学习时间、睡眠时间和饮食状况。
我们收集了100个学生的数据。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括处理缺失值、异常值和标准化数据等。
然后，我们使用多元线性回归模型进行建模。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是待求的模型参数，ε是偏差项。
参数估计的目标是找到具有最小残差平方和（RSS）的模型参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差平方和则是所有观测值的残差平方的和。
对于参数估计，常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法的思想是最小化残差平方和以找到最佳的模型参数。
最小二乘法的步骤如下：1.假设自变量X和因变量Y之间存在线性关系。
2. 对每一个自变量Xj（j = 1, 2, ... , n），计算Xj的均值（记作xj_mean）和标准差（记作xj_std）。
3. 对每一个自变量Xj，将Xj进行标准化处理（Z-score标准化），即将Xj减去其均值后除以其标准差。
4. 根据标准化的自变量Xj，计算其相关系数（记作rj）与因变量Y 的相关系数（记作ry）。
相关系数表示两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数的取值范围为-1到1，接近-1表示负相关，接近1表示正相关，接近0表示无相关。
5. 对每个自变量Xj，计算其回归系数（记作bj）等于ry乘以xj_std除以rj。
6. 计算截距项（记作b0）等于Y的均值减去所有回归系数bj与自变量Xj的均值相乘的和。
7.得到完整的多元线性回归模型。
在进行参数估计时，需要注意以下几点：1.数据的准备：确保数据符合多元线性回归模型的假设，包括自变量与因变量的线性关系、多重共线性等。
2.异常值的处理：需要检测和处理可能存在的异常值，以避免对参数估计的干扰。
3.模型的评估：通过评估模型的适应度指标（如决定系数R^2、调整决定系数等）来判断模型的拟合优度，并对模型进行修正。
4.参数的解释：对于得到的参数估计结果，需要解释其含义和影响，以便进行预测和决策。
总之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小二乘法等方法来找到最佳的模型参数，以拟合数据并进行预测。
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于建立自变量与因变量之间关系的统计模型。
它可以被视为一种预测模型，通过对多个自变量进行线性加权组合，来预测因变量的值。
多元线性回归模型的参数估计是指利用已知的数据，通过最小化误差的平方和来估计回归模型中未知参数的过程。
本文将介绍多元线性回归模型参数估计的基本原理和方法。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是回归系数，ε是残差项。
参数估计的目标是找到使得误差的平方和最小的回归系数。
最常用的方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
最小二乘法通过最小化残差的平方和来确定回归系数的值。
残差是观测值与回归模型预测值之间的差异。
为了进行最小二乘法参数估计，需要计算回归模型的预测值。
预测值可以表示为：Y^=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp其中，Y^是因变量的预测值。
参数估计的目标可以表示为：argmin(∑(Y - Y^)²)通过对目标函数进行求导，可以得到参数的估计值：β=(X^TX)^-1X^TY其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，^T表示矩阵的转置，^-1表示矩阵的逆。
然而，在实际应用中，数据往往存在噪声和异常值，这可能导致参数估计的不准确性。
为了解决这个问题，可以采用正则化方法，如岭回归（Ridge Regression）和LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）。
这些方法通过在目标函数中引入正则化项，可以降低估计结果对噪声和异常值的敏感性。
岭回归通过在目标函数中引入L2范数，可以限制回归系数的幅度。
LASSO回归通过引入L1范数，可以使得一些回归系数等于零，从而实现变量选择。
这些正则化方法可以平衡模型的拟合能力与泛化能力，提高参数估计的准确性。
第04章 多元回归分析1
∑
y t2
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4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
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4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
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4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0
多元线性回归模型的参数估计
在最小二乘法基础上，对不同的观测值赋予不同的权重，以调整其 对回归参数估计的影响。
广义最小二乘法（GLS）
考虑自变量之间的相关性，通过转换自变量和因变量来消除自变量 之间的多重共线性影响。
03
参数估计的方法
普通最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差 平方和来估计参数。在多元线性回归模型中，普通最小二 乘法通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
模型选择
选择多元线性回归模型作 为预测模型，以商品价格 和用户评价作为自变量， 销量作为因变量。
参数估计
使用最小二乘法进行参数 估计，通过最小化误差平 方和来求解回归系数。
模型检验
对模型进行假设检验，确 保满足线性回归的前提假 设。
结果解释与模型评估
结果解释
根据回归系数的大小和符号，解释各自变量对因变量 的影响程度和方向。
05
参数估计的实例分析
数据来源与预处理
数据来源
数据来源于某大型电商平台的销售数据，包括商 品价格、销量、用户评价等。
数据清洗
对原始数据进行清洗，去除异常值、缺失值和重 复值，确保数据质量。
数据转换
对连续变量进行离散化处理，对分类变量进行独 热编码，以便进行回归分析。
模型建立与参数估计
01
02
03
THANKS
感谢观看
04
参数估计的步骤
确定模型形式
确定自变量和因变
量
首先需要确定回归模型中的自变 量和因变量，通常因变量是研究 的响应变量，自变量是对响应变 量有影响的预测变量。
确定模型的形式
根据自变量和因变量的关系，选 择合适的回归模型形式，如线性 回归、多项式回归等。
多元线性回归分析的参数估计方法
多元线性回归分析的参数估计方法多元线性回归是一种常用的数据分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
在多元线性回归中，参数估计方法有多种，包括最小二乘估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。
本文将重点讨论多元线性回归中的参数估计方法。
在多元线性回归中，最常用的参数估计方法是最小二乘估计（Ordinary Least Squares,OLS）。
最小二乘估计是一种求解最优参数的方法，通过最小化残差平方和来估计参数的取值。
具体而言，对于给定的自变量和因变量数据，最小二乘估计方法试图找到一组参数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小。
这样的估计方法具有几何和统计意义，可以用来描述变量之间的线性关系。
最小二乘估计方法有一系列优良的性质，比如无偏性、一致性和有效性。
其中，无偏性是指估计值的期望等于真实参数的值，即估计值不会出现系统性的偏差。
一致性是指当样本容量趋近无穷时，估计值趋近于真实参数的值。
有效性是指最小二乘估计具有最小的方差，即估计值的波动最小。
这些性质使得最小二乘估计成为了多元线性回归中最常用的参数估计方法。
然而，最小二乘估计方法在面对一些特殊情况时可能会出现问题。
比如，当自变量之间存在多重共线性时，最小二乘估计的解不存在或不唯一。
多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，导致在估计回归系数时出现不稳定或不准确的情况。
为了解决多重共线性问题，可以采用一些技术手段，如主成分回归和岭回归等。
另外一个常用的参数估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）。
最大似然估计方法试图找到一组参数，使得给定样本观测值的条件下，观测到这些值的概率最大。
具体而言，最大似然估计方法通过构建似然函数，并对似然函数求导，找到能够最大化似然函数的参数取值。
最大似然估计方法在一定条件下具有良好的性质，比如一致性和渐近正态分布。
但是，在实际应用中，最大似然估计方法可能存在计算复杂度高、估计值不唯一等问题。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
多元线性回归模型
多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。
它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。
本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。
一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。
多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。
具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。
三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。
主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。
在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。
在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。
多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。
五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。
然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
多元线性回归课件
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行多元线性回归时，我们希望通过估计模型的参数来描述自变量与因变量之间的关系，并通过显著性检验来确定这种关系是否存在。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以用如下的数学表达式表示：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量（被解释变量），X1、X2、...、Xn表示自变量（解释变量），β0、β1、β2、...、βn表示回归方程的参数，ε表示误差项。
二、参数估计在多元线性回归中，我们需要通过样本数据来估计回归方程的参数。
最常用的估计方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），它通过最小化观测值与回归方程预测值之间的残差平方和来确定参数的估计值。
具体而言，最小二乘法的目标是选择参数的估计值，使得残差平方和最小化。
为了得到参数的估计值，可以使用矩阵形式的正规方程来求解，即：β = (X'X)-1X'Y其中，β是参数的估计值，X是自变量矩阵，Y是因变量向量，X'表示X的转置，-1表示逆矩阵。
三、显著性检验在进行多元线性回归时，我们通常希望确定自变量与因变量之间的关系是否显著存在。
为了进行显著性检验，我们需要计算模型的显著性水平（p-value）。
常见的显著性检验方法包括F检验和t检验。
F检验用于判断整体回归模型的显著性，而t检验用于判断单个自变量对因变量的显著性影响。
F检验的假设为：H0：模型中所有自变量的系数均为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：模型中至少存在一个自变量的系数不为零在进行F检验时，我们计算模型的F统计量，然后与临界值进行比较。
若F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为回归模型显著。
而t检验的假设为：H0：自变量的系数为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：自变量的系数不为零在进行t检验时，我们计算各个自变量系数的t统计量，然后与临界值进行比较。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
[ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2
,
ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2 ]
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1
年份
消费
收入
人口
已知某地区的相关数据如右表所示， 1994
9
13.1
48.2
试求该回归方程。 解：使用Eviews实现回归，得到的方
1995 1996 1997
使 Q(ˆ0 , ˆ1,, ˆk ) min Q(0 , 1,, k )
分别求 Qe 关于 0 , 1,, k 的偏导数,并令其为零
Qe
Qe
0
0 BBˆ
k BBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
ˆ0
i 1
n
n
xi1 ˆ1 xi21 ˆk
非随机表达式
E(Y x1i , x2i , , xki ) 0 1x1i 2x2i k xki
可见，多元回归分析是以多个解释变量的固定值 为条件的回归分析，表示各解释变量X值固定时Y 的平均响应。
也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
j
持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，引起的
因变量的平均变动量。或者说
系显著。
t检验通不过的可能原因
（1）选择的自变量对因变量事实上并无显著影响； （2）选择的自变量具有多重共线性。
五、序列相关检验（DW检验）
1. 检验内容：检验随机误差项的无序列相关假设 是否成立。
2. 方法：与一元回归相同。
多元线性回归模型估计
1
2
“Partialling Out” continued
Simple vs Multiple Reg Estimate
Goodness-of-Fit
Goodness-of-Fit (continued)
How do we think about how well our sample regression line fits our sample data? Can compute the fraction of the total sum of squares (SST) that is explained by the model, call this the R-squared of regression R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST
Let x stand for (x1, x2,…xk)
Assuming that Var(u|x) = s2 also implies that Var(y| x) = s2
The 4 assumptions for unbiasedness, plus this homoskedasticity assumption are known as the Gauss-Markov assumptions
2
E(u|x1, x2,… xk) = 0, implying that all of the explanatory variables are exogenous
None of the x’s is constant, and there are no exact linear relationships among them
Omitted Variable Bias (cont)
多元回归分析——估计
使用多元回归的动因
先用两个例子来说明，如何用多元回归分析来 解决简单回归所不能解决的问题。 wage =β 0+β 1educ+β 2exper+u ……(3.1) 其中exper是在劳动市场上以年计的工作经 历。 则工资wage由受教育水平和工作经历这两个解 释变量或自变量及那些观测不到的其他因素来 决定。我们首要感兴趣的，是在保持所有其他 影响工资的因素不变情况下，educ对wage的影 响；即我们只对参数β 1感兴趣。
ˆ ˆ x ˆ x )0 ( y i 0 1 i1 k ik
i 1 n
n
ˆ ˆ x ˆ x )0 x ( y i1 i 0 1 i1 k ik
i 1 n
ˆ ˆ x ˆ x )0 x ( y i 2 i 0 1 i1 k ik
第二个例子
问题：解释在高中阶段对每个学生的平均开支 (expend)对平均标准化考试成绩(avgscore)的影响。 假设平均考试成绩取决于学校基金、平均家庭 收入(avginc)及其他不可观测因素：
avgscore=β 0+β 1expend+β 2avginc+u ………… (3.2) 出于政策目的，所关心的系数是expend在其他条件 不变情况下对avgscore的影响β 1。通过在模型中明 确包括avginc，我们就能控制其对avgscore的影响。 由于平均家庭收入与每个学生的开支趋于相关，所 以加入这个变量可能很重要。简单回归中，avginc 被包括在误差项中，而avginc与expend可能相关，从 而导致在两变量模型中对β1的OLS估计有偏误。
机械地看，用普通最小二乘法去估计方 程(3.1)和(3.4) ，应该没有什么差别。每个 方程都可以写成像(3.3)那样的方程。但重 要的差别在于，人们对参数的解释。
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为什么使用多元回归？ 2. 更好地预测 • 一个变量y的变化，不仅与一种因素有关，可能 决定于许多因素。 • 预测一个变量的变化，往往需要尽可能多地知道 影响该变量变化的因素。 • 简单回归模型，只包含一个解释变量，有时只能 解释y的变动的很小部分。(如，拟合优度很低) • 多元回归模型由于可以控制更多地揭示变量，因 此，可以解释更多的因变量变动。
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本章大纲
• • • 1. 为什麽使用多元回归 Motivation for Multiple Regression 2. 普通最小二乘法的操作和解释 Mechanics and Interpretation of Ordinary Least Squares 3. OLS估计量的期望值 The Expected Values of the OLS Estimators
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3. 零值条件期望假定
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多元回归模型中的零值条件期望假定
• 多元回归的零值条件期望假定： E(u|x1,x2, …,xk) = 0 • 两层含义： (1) E(u)=0 (2) E(u|x1,x2, …,xk) =E(u), cov(u,xj)=0, j=1,…,k
即,
• 注意：在上面例3中，零值条件期望假定可以表述 为：E(u|inc,inc2)= E(u|inc)=0
• u仍是误差项(或干扰项) ( error term (or disturbance) )：除了x1…xk之外，影响y的 其他因素。
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多元回归模型的结构
因变量
被解释 变量 响应 变量 被预测 变量 回归子 回归元
自变量
解释 变量 控制 变量 预测元变 量
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多元回归模型的结构
• 线性： • 参数线性：对于回归模型参数是线性的。
关于多元回归中的“保持其它因素不 变” (Holding other factors fixed) 多元回归中，所得到的“其他因素不变的效 应”，并非是通过在实际抽样中，固定其他 因素不变。 在教育-经验-工资一例中，在获得教育对的工 资其他条件不变影响时，在实际抽样中，也 并非是固定工作经验，收集不同教育年限的 样本，来分析教育年限变化，对于工资的影 响。 对个体进行随机抽样，就可通过多元回归分 析得到“其他因素不变的效应”。 多元回归分析的优势，在于它使我们能在非 实验环境中去做自然科学家在受控实验中所 能做的事情：保持其它因素不变。
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为什么使用多元回归？ 3. 表达更多的函数关系
• 多元回归模型，可以包含多个解释变量， 因此，可以利用变量的函数变换，在模型 中表达多种函数关系。
• 因此，多元线性回归模型，是实证分析中 应用最广泛的分析工具。
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为什么使用多元回归模型？ 例1: 教育对工资的影响
• 教育educ对工资wage的影响 • 一个简单回归模型: Wage= b0 + b1 • educ +u • 然而，上述工资方程中，许多影响工资，同时又与教 育年限相关的变量，被包含于误差项u中，如劳动力 市场经验等。一方面，他们影响工资，但又不同于教 育，故包含于u中。另一方面，他们又与教育相关。 如教育年限越长，则参与劳动市场的时间就相对越短。 因此，零值条件期望假定不成立，会导致OLS估计量 ^b1 有偏。
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Байду номын сангаас
1. 多元线性回归模型结构：
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多元线性回归模型结构： 含有k个自变量的模型
• 多元线性回归模型一般可以写作：
y b0 b1 x1 b2 x2 bk xk u
• x1…xk，k=2,…K，多个解释变量。
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多元回归模型的结构
• b0 仍是截距(intercept)
• b1到bk仍然都称为斜率参数(slope parameters)
• 差分得到： Δ ^wage= ^b0 + ^b1 • Δ educ + ^b2 • Δ exper • ^b1衡量的就是，在工作经验exper不变的情况下， 教育每增加1年，工资增加多少元； • ^b2衡量的是，在教育水平educ不变的情况下，工 作经验每增加1年，工资增加多少元；
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• •
• •
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例1: 教育对工资的影响
• 一个策略就是，最好能够将这些与教育相关的变 量找出来，放在模型中，进行控制。 • 一个多元回归模型： Wage= b0 + b1 • educ + b2 • exper+ u • wage: 工资对数；educ: 教育年限; exper: 劳动 力市场经验(年)。 • 在此例中，劳动力市场经验exper，由于与感兴趣 变量教育educ相关，而被从误差项u中取出。
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ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y b0 b1x1 b2 x2 ... bk xk
x2 0,...,xk 0 ˆ ˆ y b x
解释多元回归
教育对工资的影响
• 估计教育-经验-工资方程：
^wage= ^b0 + ^b1 • educ + ^b2 • exper
• ^wage: 工资拟合值；educ: 教育年限; exper: 劳动力市场经验(年)。
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4.多元回归模型的OLS 估计
如何得到OLS估计值
k+1 个一阶条件(first order conditions):
...
ˆ ˆ ˆ ( yi b 0 b1 xi1 b k xik ) i 1
n n n
0
ˆ ˆ ˆ xi1 ( yi b 0 b1 xi1 b k xik ) 0 i 1 ˆ ˆ ˆ xi 2 ( yi b 0 b1 xi1 b k xik ) 0 i 1 ˆ ˆ ˆ xik ( yi b 0 b1 xi1 b k xik ) 0 i 1
ˆ ˆ ˆ y b1x1 b2x2
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解释多元回归
• 可解释为：当x2保持不变，即Δ x2=0时， x1变化所引起的y的变化。
ˆ ˆ y b1x1
ˆ • 相应地，b2 可解释为：当x1保持不变，即 Δ x1=0时，x2变化所引起的y的变化。 ˆ b1
ˆ ˆ y b2x2
• 多元回归分析可以明确地控制许多其它同时影响因变量的因素， 而不是放在不可观测的误差项中，故多元回归分析更适合于其它 条件不变情况下（ceteris paribus）的特定因素x对y的影响。
• 多元回归模型能容许很多解释变量，而这些变量可以是相关的。 • 在使用非实验数据时，多元回归模型对推断y与解释变量x间的因 果关系很重要。
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解释多元回归
• 对于所估计的一个多元回归函数： • 进行差分，得到： ˆ ˆ ˆ ˆ y b1x1 b2x2 ... bk xk • 保持x2…xk不变，意味着： • 此时： 1 1 ˆ • 故，b1 解释为在其他解释因素不变的情况下，x1变化1单 位，所引起的y的(平均值)的变化数量。 • 因此，每一个^β均可解释为局部效应(partial effect),或其 他情况不变效应(ceteris paribus effect)
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4.多元回归模型的OLS 估计与 代数性质
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4.多元回归模型的OLS 估计
• 普通最小二乘法(OLS): 选择能最小化残 差平方和的参数估计值：
ˆ , b , , b ) n ( y b b x , , b x )2 ˆ ˆ Q ( b 0 ˆ1 i1 i ˆ0 ˆ1 i1 k k ik
• 不幸的是，影响y的其它因素(包含在u中)，往往与x1相关：改 变x1，u(均值)也往往发生变化，从而使得仅仅利用简单回归 模型，无法识别出在其它条件不变情况下x1对y的影响。
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为什么使用多元回归？ 1. 控制更多的因素
• 一个策略就是，将与x1相关的其他因素从误差项u中取出来，放在 方程里，作为新的解释变量，这就构成多元回归模型。
• 估计一个两自变量回归方程，得到： ˆ ˆ ˆ ˆ y b0 b1x1 b2 x2 ˆ • b0 是当x1=0, x2=0时，y的(平均值)预测值 (predicted value), 或拟合值(fitted value). ˆ ˆ • b1, b2 则可以解释为局部效应(partial effect), 或其他因素不变效应(ceteris paribus)
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例2：预测高考成绩
• 预测高考成绩： • 一个简单模型： 成绩= b0 + b1 •师资 +u • 一个学生的期末成绩不仅决定于师资，还 决定于其他多种因素： 成绩= b0 + b1 •师资 + b2 •心理+ b3 •方法+ b4 • 内在能力+ b5 •家庭+b6 •早恋+u
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为什么使用多元回归？ 例3：收入与消费 • 假定存在一个模型：家庭消费cons是家庭 收入inc的二次方程，则模型可写作：
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2. 为什么使用多元回归模型？
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为什么使用多元回归？ 1. 为获得其它因素不变的效应，控制更多的因素
• 在实证工作中使用简单回归模型,首要的困难在于：要得到在 其它因素不变的情况下， x1对y的影响(ceteris paribus effect)， 非常困难。 • 在简单线性回归中，是否能够获得在其它条件不变情况下， x1对y的影响(ceteris paribus effects of x on y)，完全取决于 零值条件期望假设是否符合现实。 • 如果影响y的其它因素，与x1不相关，则改变x1，可以确保 u(均值)不变，从而识别出在其它条件不变情况下x对y的影响。
n
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4.多元回归模型的OLS 估计 零值条件期望假定与距条件
• 一阶条件也是相关的总体矩在样本中 的对应。 • E(u|x1,x2, …,xk) = 0