2019高考数学二轮复习课时跟踪检测四解三角形大题练理
高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案
解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。
江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练三角函数与解三角形
2.三角函数与解三角形1.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ，由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33.又因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，ADsin C ＝ACsin∠ADC ，故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值. 解 (1)由条件知周期T ＝2π， 即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1， 即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值.解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin 2α＝1＋cos 2α2，即4sin 2α－cos 2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin 2α－1)2＝1， 整理得17sin 22α－8sin 2α＝0， 解得sin 2α＝817或sin 2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝1517，因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →|＝6，所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →＝36，即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36， ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝9， ②由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测02三角函数的图象与性质小题练 理数(含答案)
[ ] ( ) π π
π
ωπ
2π π
区间 ， 32
上单调递减，所以 g 3
＝sin
4
＝1 且 ω ≥ 3 ，所以Error!所以 ω＝2，故
选 C.
课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）
A 级——12＋4 提速练
一、选择题
( )π
1.函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) x ∈ R，ω > 0，|φ| < 的部 2
分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( )
( )π
A．f(x)＝sin 2x＋ 4
( )π
B．f(x)＝sin 2x－ 4
[ ] kπ π kπ 5π
A. － ， ＋ (k∈Z) 2 12 2 12
( ) kπ π kπ 5π
B. － ， ＋ (k∈Z) 2 12 2 12
( ) π
2π
C. kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)
6
3
[ ] π
5π
D. kπ－ ，kπ＋ (k∈Z)
12
12
ππ
π
kπ π kπ 5π
解析：选 B 由 kπ－ <2x－ <kπ＋ (k∈Z)得， － <x< ＋ (k∈Z)，所
4
4
( )π
π
6．(2018·唐山模拟)把函数 y＝sin 2x－ 的图象向左平移 个单位长度后，所得
6
6
函数图象的一条对称轴的方程为( ) A．x＝0
π B．x＝
2
π C．x＝
6
π D．x＝－
12
( )π
π
解析：选 C 将函数 y＝sin 2x－ 的图象向左平移 个单位长度后得到 y＝sin
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测四解三角形大题练理(含参考答案)
高考数学二轮复习：课时跟踪检测（四） 解三角形（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·惠州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cosC ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0.∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°<B <180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4， 又a >0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.2．(2018·陕西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值． 解：(1)∵b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B.∴sin(A ＋B )＝－2sin C cos B. ∴sin C ＝－2sin C cos B ， 又sin C ≠0，∴cos B ＝－12，∴B ＝2π3.(2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4.又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16. ∴a ＋c ＝2 5.3．(2018·重庆模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cosB2＝14. (1)求cos B 的值； (2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin C sin A的值． 解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516，故cos B ＝±3116，又sin B 2－cos B 2＝14>0，所以sin B 2>cos B2，所以B 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故cos B ＝－3116. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋314ac ， 所以314a ＝c －2a cos B ＝c ＋318a ， 所以c ＝318a ，故sin C sin A ＝c a ＝318. 4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝6，∠ACB ＝150°. (1)求AB 的长；(2)延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°，求△ACD 的面积．解：(1)由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝221.(2)因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°，所以∠CAD ＝150°－45°＝105°，由正弦定理CD sin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ，得CD ＝23sin 105°sin 45°，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝2＋64，所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－∠ACB ＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝32(3＋1)．5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为锐角，且满足2sin(A ＋C )＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2.(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝334，b ＝3，求△ABC 的周长l .解：(1)由已知得，2sin(π－B )＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2，即2sin B ＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2，所以2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2B 2＋3cos 2B ＝0，即－2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＝3cos 2B ，所以tan 2B ＝ 3.因为0<B <π2，所以0<2B <π，所以2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)由(1)知，B ＝π6.△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin π6＝14ac ＝334，整理得ac ＝33，①由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos π6＝a 2＋c 2－3ac ，整理得a 2＋c 2－3ac ＝3，②将①代入②得，(a ＋c )2＝12＋63，即a ＋c ＝3＋3， 故△ABC 的周长l ＝b ＋a ＋c ＝3＋3＋3＝3＋2 3.B 卷——深化提能练1．(2018·贵州一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．解：(1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋2－a ＋22a a ＋，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACB c ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 2．(2018·河北模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B＋cos A sin B ，则54sin C cos B ＝sin C . ∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ， 即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)， ∴S ＝12ac sin B ＝15.3．(2018·沈阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解：(1)由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，又cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35，∴bc ＝5，sin A ＝45.由sin A ＝45及S △ABC ＝12bc sin A ，得S △ABC ＝2.(2)由b ＋c ＝6，得b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝26，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5. 4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c ＝cos B cos C. (1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．解：(1)由2a －b c ＝cos Bcos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ，可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π3.(2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2，∴π6<A <π2，∴π3<A ＋π6<2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.5.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos∠EDC ， 由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α ，于是sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277， 又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.EA BE ＝2BE＝714，所以BE＝47.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝。
新高考高三数学(文)二轮复习课时跟踪训练---第四章三角函数 解三角形课时跟踪训练18Word版含解析
新高考高三数学（文）二轮复习课时跟踪训练(十八)[基础巩固]一、选择题 1．sin 11π3＝( ) A.32 B ．－32 C.12D ．－12[解析] sin 11π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32，故选B. [答案] B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35D ．－35[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35， ∴cos α＝45，∴cos(π－α)＝－cos α＝－45.故选A. [答案] A3．(2017·黑龙江双鸭山质检)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( ) A ．sin2－cos2B ．sin2＋cos2C ．±(sin2－cos2)D ．cos2－sin2[解析]1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2. [答案] A4．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由sin α＋cos α＝23，得(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49， 2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)， ∴α为钝角．选D. [答案] D5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3等于( ) A ．－23 B ．－12 C.23D.12[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.故选A. [答案] A6．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2[解析] ∵cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴cos xsin x －1＝－sin x ＋1cos x ＝12. [答案] A 二、填空题7．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.[解析] sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.[答案] 258．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．[解析]原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. [答案] －3349．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.[解析] sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.[答案] 912 三、解答题10．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．[解] ∵cos(π＋α)＝－12， ∴－cos α＝－12，cos α＝12. 又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α ＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α ＝－2cos α＝－4.[能力提升]11．(2017·河北邢台质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377 C.31010D.13[解析] 由已知条件整理得，⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1， 解得tan α＝3.又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，所以sin α＝31010. [答案] C12．(2017·河南洛阳一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1＋32B.1－32C. 3D ．－ 3[解析] 由题意可得，sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2， 可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即2－32＝1＋m ，即m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝ 2＋32＝1＋32.[答案] A13．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________． [解析] 因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.[答案] 1314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．[解析] 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m 2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. [答案] 1－ 515．已知角α终边上一点P (－4,3)，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．[解]因为角α终边上一点P(－4,3)，所以tanα＝－34，则cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin2α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcosα＝－sin2α－sinαcosα＝tanα＝－34.16．(1)化简：1－2sin20°cos20°sin160°－1－sin220°；(2)已知α为第二象限角，化简cosα1－sinα1＋sinα＋sinα1－cosα1＋cosα.[解](1)原式＝1－2sin20°cos20°sin20°－cos20°＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1.(2)原式＝cosα(1－sinα)2cos2α＋sinα(1－cosα)2sin2α＝cosα1－sinα|cosα|＋sinα1－cosα|sinα|＝cosα·1－sinα－cosα＋sinα·1－cosαsinα＝sinα－cosα.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分解答题通关练解三角(解析版)
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分解答题通关练解三角（解析版）1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(c cos C ，1)，n ＝(2，a cos B ＋b cos A )，且m ⊥n .(1)若c 2＝7b 2，S △ABC ＝23，求a ，b 的值；(2)若λsin A cos A ＝sin A ＋cos A ，求实数λ的取值范围.解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝2c cos C ＋a cos B ＋b cos A ＝0，由正弦定理得2sin C cos C ＋sin A cos B ＋sin B cos A ＝0，∴2sin C cos C ＝－sin(A ＋B )＝－sin C .又C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c 2＝7b 2，得a 2－6b 2＋ab ＝0，∴a ＝2b 或a ＝－3b (舍去)，又S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，∴a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得A 为锐角，故sin A cos A ≠0.又λsin A cos A ＝sin A ＋cos A ，∴λ＝sin A ＋cos A sin A cos A ，设t ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4， ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴1<t ≤2， ∴λ＝2t t 2－1＝2t －1t在(1，2]上单调递减，∴λ≥22(2)2－1＝22， ∴实数λ的取值范围为[22，＋∞). 2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ； (2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33. 又因为C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin C sin B ＋sin B sin C ＝1－cos 2A 2sin B sin C －1.(1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积的最大值.解 (1)∵sin C sin B ＋sin B sin C ＝1－cos 2A 2sin B sin C －1，∴sin C sin B ＋sin B sin C ＝sin 2A sin B sin C －1，又sin B sin C ≠0，∴sin 2C ＋sin 2B ＝sin 2A －sin B sin C .由正弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知，A ＝2π3，由余弦定理得，42＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ≥2bc ＋bc ＝3bc ，即bc ≤163，当且仅当b ＝c 时取等号，∴(bc )max ＝163，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×bc ×32＝34bc ≤34×163＝433，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积的最大值为433.4.(2018·六安模拟)已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12， 因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0，2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， 所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC→＋AB →|＝6， 所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB→＝36， 即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36，①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝9，②由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(三)三角恒等变换与解三角形(小题练)理
课时跟踪检测（三） 三角恒等变换与解三角形 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1. 2．(2018·福州模拟)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.12 B.22C ．1 D. 2解析：选D3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C.5．(2018·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D.6．已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( ) A.79 B ．－79C.19D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sinC ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．(2018·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32 B.233C.33D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B. 9．(2019届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.10．(2018·广东佛山二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725B.925C.1625D.2425解析：选B 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．(2018·福州模拟)已知m ＝α＋β＋γα－β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sinB ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2.12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝ 3.故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：3214．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里． 答案：7a15．(2018·贵州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3.由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：816.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．解析：易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝ABsin 15°，在三角形AEC 中，AC sin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×ABsin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.答案：6B 级——难度小题强化练1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos 2β＝2cos 2αD ．cos 2β＝－2cos 2α解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos 2α2＝1＋2×1－cos 2β2，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.2．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 是最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.故选D. 3．(2018·唐山统考)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.32B.233C.32D.23解析：选B 如图，设物体的运动速度为v ，则PQ ＝v ，QR ＝2v ，因为∠POQ ＝90°，∠QOR ＝30°，所以∠POR ＝120°，P ＋R ＝60°，所以R ＝60°－P .在Rt △OPQ 中，OQ ＝v sin P ．在△OQR 中，由正弦定理得OQ ＝QR ·sin Rsin ∠ROQ＝4v ·sin R ＝4v sin(60°－P )＝23v cos P －2v sin P ．所以有23v cos P －2v sin P ＝v sin P ，即23v cos P ＝3v sin P ，所以tan P ＝233，所以选B.4．(2018·成都模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，△ABC 的外接圆半径为 3.则△ABC 面积的最大值为( )A.38B.34C.938D.934解析：选D 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝23，所以sin A ＝a23，sin B＝b 23，sin C ＝c23，将其代入23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.于是S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin A ×23sin B ×sin π3＝33sin A sin B ＝332[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝332[cos(A －B )＋cosC ]＝332cos(A －B )＋334.当A ＝B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为934，故选D.5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3. 答案：π36.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝π3，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围为________．解析：设∠ACD ＝θ，则∠CAD ＝2π3－θ，根据条件及余弦定理计算得AC ＝2 3.在△ACD中，由正弦定理得ADsin θ＝CDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝23sinπ3＝4，∴AD ＝4sin θ，CD ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ，∴DA ＋DC ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋32cos θ ＝43⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.∵△ACD 是锐角三角形，∴θ和2π3－θ均为锐角，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.∴DA ＋DC ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈(]6，43. 答案：(6,4 3 ]。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测四解三角形大题练理
课时跟踪检测（四） 解三角形（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·惠州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0. ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°<B <180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4， 又a >0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.2．(2018·陕西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值． 解：(1)∵b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B. ∴sin(A ＋B )＝－2sin C cos B. ∴sin C ＝－2sin C cos B ， 又sin C ≠0，∴cos B ＝－12，∴B ＝2π3.(2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4.又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16. ∴a ＋c ＝2 5.3．(2018·重庆模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝14.(1)求cos B 的值； (2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin C sin A的值． 解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516，故cos B ＝±3116，又sin B 2－cos B 2＝14>0，所以sin B 2>cos B2，所以B 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故cos B ＝－3116. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋314ac ，所以314a ＝c －2a cos B ＝c ＋318a ， 所以c ＝318a ，故sin C sin A ＝c a ＝318.4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝6，∠ACB ＝150°. (1)求AB 的长；(2)延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°，求△ACD 的面积．解：(1)由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝221.(2)因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°，所以∠CAD ＝150°－45°＝105°，由正弦定理CDsin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ，得CD ＝23sin 105°sin 45°，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝2＋64，所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－∠ACB ＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝32(3＋1)．5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为锐角，且满足2sin(A ＋C )＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2.(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝334，b ＝3，求△ABC 的周长l .解：(1)由已知得，2sin(π－B )＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2，即2sin B ＋3cos 2B ＝4sin B cos 2B2，所以2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2B 2＋3cos 2B ＝0， 即－2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＝3cos 2B ，所以tan 2B ＝ 3.因为0<B <π2，所以0<2B <π，所以2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)由(1)知，B ＝π6.△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin π6＝14ac ＝334，整理得ac ＝33，①由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos π6＝a 2＋c 2－3ac ，整理得a 2＋c 2－3ac ＝3，②将①代入②得，(a ＋c )2＝12＋63，即a ＋c ＝3＋3， 故△ABC 的周长l ＝b ＋a ＋c ＝3＋3＋3＝3＋2 3.B 卷——深化提能练1．(2018·贵州一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．解：(1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2a ＋22a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 2．(2018·河北模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C cos B ＝sin C . ∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ， 即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)， ∴S ＝12ac sin B ＝15.3．(2018·沈阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2＝255，AB ―→·AC―→＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解：(1)由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，又cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35，∴bc ＝5，sin A ＝45.由sin A ＝45及S △ABC ＝12bc sin A ，得S △ABC ＝2.(2)由b ＋c ＝6，得b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝26，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a －b c＝cos B cos C. (1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．解：(1)由2a －b c ＝cos Bcos C ，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ，可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π3.(2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵A ＋B ＝2π3，0<A <π2，0<B <π2，∴π6<A <π2，∴π3<A ＋π6<2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.5.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.。
2019年【四川】高考数学(理)二轮复习：高考大题纵横练(1)及答案
＋A→P＋
E→D ＋
D→C
)
＝
12(A→P
＋D→C
)＝
1 2(－
3,0 ，
3 3)＝ 2 (－
3， 0,1) ，
因为平面 PAB 的法向量 n2＝ (0,1,0) ， E→F·n2＝ 0，
∴ EF ∥面 PAB.
(2) 证明 B→D ＝ (0,2 3， 0)， B→P＝ (1,0， 3)，
→ EF
(3) 若将摸出至少两个白球记为 1 分，则一个人有放回地摸 2 次，求得分 X 的分布列及数
学期望．
解 (1)设 “ 在 1 次游戏中摸出
21
P
(A
3)
＝
C C
325·CC223＝
1 5.
i 个白球 ” 为事件 Ai (i ＝0,1,2,3) ，则
(2) 设 “至少两个白球 ” 为事件 B，则 B＝A2∪ A3，
4t2－ 4 1 ＋ 4 k2.
①
∵ O→P⊥ O→Q ， ∴x1x2＋ y1y2＝ 0，
又 y1＝ kx1＋ t ，y2 ＝kx2＋t ，
∴ x1x2＋ (kx1＋ t)(kx2＋ t)＝ 0，
即 (1＋ k2) x1x2＋ kt(x1 ＋ x2)＋ t2＝ 0.
②
将 ① 代入 ②，得
2
1＋ k
x≥
1 e2.
∴ F (x)的增区间为
0，
1 e2
，减区间为
e12，＋ ∞ .
(2) ∵ 对于任意 x2∈ [0,1] ，总存在 x1∈ (0，＋ ∞ )，使得 g(x2)<F (x1)， ∴ g(x)max<F(x)max.
由 (1) 知，当
x＝
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(三)三角恒等变换与解三角形(小题练)理
课时跟踪检测（三） 三角恒等变换与解三角形 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1. 2．(2018·福州模拟)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.12 B.22C ．1 D. 2解析：选D3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C.5．(2018·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D.6．已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B ．－79C.19D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sinC ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．(2018·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B. 9．(2019届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.10．(2018·广东佛山二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625D.2425解析：选B 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．(2018·福州模拟)已知m ＝α＋β＋γα－β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sinB ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2.12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝ 3.故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：3214．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里．答案：7a15．(2018·贵州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3.由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：816.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．解析：易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝ABsin 15°，在三角形AEC 中，AC sin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×ABsin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.答案：6B 级——难度小题强化练1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos 2β＝2cos 2αD ．cos 2β＝－2cos 2α解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos 2α2＝1＋2×1－cos 2β2，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.2．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 是最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.故选D.3．(2018·唐山统考)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.32B.233C.32D.23解析：选B 如图，设物体的运动速度为v ，则PQ ＝v ，QR ＝2v ，因为∠POQ ＝90°，∠QOR ＝30°，所以∠POR ＝120°，P ＋R ＝60°，所以R ＝60°－P .在Rt △OPQ 中，OQ ＝v sin P ．在△OQR 中，由正弦定理得OQ ＝QR ·sin Rsin ∠ROQ＝4v ·sin R ＝4v sin(60°－P )＝23v cos P －2v sin P ．所以有23v cos P －2v sin P ＝v sin P ，即23v cos P ＝3v sin P ，所以tan P ＝233，所以选B.4．(2018·成都模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，△ABC 的外接圆半径为 3.则△ABC 面积的最大值为( )A.38B.34C.938D.934解析：选D 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝23，所以sin A ＝a23，sin B＝b 23，sin C ＝c23，将其代入23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.于是S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin A ×23sin B ×sin π3＝33sin A sin B ＝332[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝332[cos(A －B )＋cosC ]＝332cos(A －B )＋334.当A ＝B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为934，故选D.5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3. 答案：π36.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝π3，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围为________．解析：设∠ACD ＝θ，则∠CAD ＝2π3－θ，根据条件及余弦定理计算得AC ＝2 3.在△ACD中，由正弦定理得AD sin θ＝CDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝23sin π3＝4， ∴AD ＝4sin θ，CD ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ， ∴DA ＋DC ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋32cos θ ＝43⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.∵△ACD 是锐角三角形，∴θ和2π3－θ均为锐角，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.∴DA ＋DC ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈(]6，43. 答案：(6,4 3 ]。
江苏省2019高考数学二轮复习第4讲解三角形滚动小练 有答案
第4讲解三角形1.(2018江苏五校学情检测)设向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m的值为.2.在△ABC中,AB= ,AC=2,∠A= 0°,则△ABC的面积为.3.(2018江苏盐城期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=,B=,则A= .4.(2018江苏南京多校段考)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(1,2),则tan2θ= ., 5.(2018江苏泰州中学月考)将y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0),使得平移后的图象仍过点,2则φ的最小值为.6.(2018南京学情调研)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(-π)的值为.7.(2018高考数学模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD= ,CD=2,=2,如果·=-3,则·= .8.(2018江苏南通调研)在平面四边形ABCD中,已知AB=1,BC=4,CD=2,DA=3,则·的值为.9.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间;上的最大值和最小值.(2)求函数f(x)在区间0210.(2018常州学业监测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinB+bcosA=sinC.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为,b= 4 ,a>c,求a,c.4答案精解精析1.答案 3解析 由题意得2m-6=0,则m=3. 2.答案2 解析 S=2AB·ACsinA=2× ×2× 2=2. 3.答案2解析 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=2,b= ,B=,由正弦定理得sin =sin,即2sin =2,解得sinA=1.因为A 为三角形的内角,所以A=2.4.答案 -4解析 由题意可得tan θ=2,则tan2θ= 2 an an 2=-4.5.答案解析 将y=sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0),得到y=sin(2x-2φ)的图象,所得图象仍过点,2 ,则sin2-2 =2,则φ的最小值为.6.答案 -1解析 由图象可得A=2,4T=4,则最小正周期T=3π=2,即ω=2.又f(π)=2sin 2=2,|φ|<π,则φ=-,f(x)=2sin 2x ,则f(-π)=2sin -2=-1. 7.答案2解析 在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD= ,CD=2, =2 ,则 = + = +2 , = - =2- ,则 · =2 · 2- =-3, 即22-2· - 22=-3,2×9-2 · - 2× =-3,解得 · =2. 8.答案 10解析 取BD 的中点E,连接EA 、EC,则 · =( + )· = · + · =2( + )·( - )+2( + )·( - )= 2( 2- 2)+ 2( 2- 2)=4+6=10.9.解析 (1)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos 2x=sin2x+cos2x+1= 2sin 24 +1.由2k π-2≤2x+4≤2k π+2,得k π-≤x≤k π+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为,k +(k∈Z).(2)当0≤x≤2时,4≤2x+4≤ 4,所以当2x+ 4=2,即x=时,函数f(x)取得最大值 2+1;当2x+ 4=4,即x=2时,函数f(x)取得最小值0.10.解析 (1)由已知asinB+ bcosA= sinC, 结合正弦定理得sinAsinB+ sinBcosA= sinC,所以sinAsinB+ sinBcosA= sin(A+B)= (sinAcosB+sinBcosA),即sinAsinB= sinAcosB. 又A∈(0,π),所以sinA≠0,所以tanB= .又B∈(0,π),所以B=.(2)由S △ABC = 2acsinB,B= ,得 4ac=4,即ac=7.由b 2=(a+c)2-2ac-2accosB,得( 4 )2=(a+c)2-2ac-ac, 所以a+c=8.又a>c,所以a=7,c=1.。
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(三)三角恒等变换与解三角形(小题练)理
课时跟踪检测（三） 三角恒等变换与解三角形 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1. 2．(2018·福州模拟)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.12 B.22C ．1 D. 2解析：选D3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C.5．(2018·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D.6．已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B ．－79C.19D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sinC ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．(2018·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B. 9．(2019届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.10．(2018·广东佛山二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625D.2425解析：选B 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．(2018·福州模拟)已知m ＝α＋β＋γα－β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sinB ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2.12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝ 3.故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：3214．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里．答案：7a15．(2018·贵州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3.由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：816.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．解析：易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝ABsin 15°，在三角形AEC 中，AC sin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×ABsin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.答案：6B 级——难度小题强化练1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos 2β＝2cos 2αD ．cos 2β＝－2cos 2α解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos 2α2＝1＋2×1－cos 2β2，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.2．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 是最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2.故选D.3．(2018·唐山统考)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.32B.233C.32D.23解析：选B 如图，设物体的运动速度为v ，则PQ ＝v ，QR ＝2v ，因为∠POQ ＝90°，∠QOR ＝30°，所以∠POR ＝120°，P ＋R ＝60°，所以R ＝60°－P .在Rt △OPQ 中，OQ ＝v sin P ．在△OQR 中，由正弦定理得OQ ＝QR ·sin Rsin ∠ROQ＝4v ·sin R ＝4v sin(60°－P )＝23v cos P －2v sin P ．所以有23v cos P －2v sin P ＝v sin P ，即23v cos P ＝3v sin P ，所以tan P ＝233，所以选B.4．(2018·成都模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，△ABC 的外接圆半径为 3.则△ABC 面积的最大值为( )A.38B.34C.938D.934解析：选D 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝23，所以sin A ＝a23，sin B＝b 23，sin C ＝c23，将其代入23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.于是S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin A ×23sin B ×sin π3＝33sin A sin B ＝332[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝332[cos(A －B )＋cosC ]＝332cos(A －B )＋334.当A ＝B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为934，故选D.5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3. 答案：π36.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝π3，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围为________．解析：设∠ACD ＝θ，则∠CAD ＝2π3－θ，根据条件及余弦定理计算得AC ＝2 3.在△ACD中，由正弦定理得AD sin θ＝CDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝23sin π3＝4， ∴AD ＝4sin θ，CD ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ， ∴DA ＋DC ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋32cos θ ＝43⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.∵△ACD 是锐角三角形，∴θ和2π3－θ均为锐角，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.∴DA ＋DC ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈(]6，43. 答案：(6,4 3 ]。
2019版二轮复习数学(理)全国版课时跟踪检测(三) 三角恒等变换与解三角形 (小题练)
课时跟踪检测（三） 三角恒等变换与解三角形 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.2．(2018·福州模拟)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.12 B.22C ．1 D. 2解析：选D3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝4 2. 4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C. 5．(2018·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D.6．已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝( ) A.79 B ．－79C.19D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19.7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．(2018·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则c b sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B.9．(2019届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 10．(2018·广东佛山二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.725 B.925 C.1625D.2425解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．(2018·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B＝2.12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝ 3.故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15， 解得tan α＝32.答案：3214．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里．答案：7a15．(2018·贵州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3.由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b＋c ＝8.答案：816.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．解析：易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝AB sin 15°，在三角形AEC 中，AC sin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×ABsin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.答案：6B 级——难度小题强化练1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos 2β＝2cos 2αD ．cos 2β＝－2cos 2α解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos 2α2＝1＋2×1－cos 2β2，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.2．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 是最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2.故选D.3．(2018·唐山统考)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.32B.233C.32D.23解析：选B 如图，设物体的运动速度为v ，则PQ ＝v ，QR ＝2v ，因为∠POQ ＝90°，∠QOR ＝30°，所以∠POR ＝120°，P ＋R＝60°，所以R ＝60°－P .在Rt △OPQ 中，OQ ＝v sin P ．在△OQR 中，由正弦定理得OQ ＝QR ·sin Rsin ∠ROQ＝4v ·sin R ＝4v sin(60°－P )＝23v cos P －2v sin P ．所以有23v cos P －2v sin P ＝v sin P ，即23v cos P ＝3v sin P ，所以tan P ＝233，所以选B.4．(2018·成都模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，△ABC 的外接圆半径为 3.则△ABC 面积的最大值为( )A.38B.34C.938D.934解析：选D 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝23，所以sin A ＝a 23，sin B ＝b23，sin C ＝c23，将其代入23(sin 2A －sin 2C )＝(a －b )sin B ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.于是S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin A ×23sinB ×sin π3＝33sin A sin B ＝332[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝332[cos(A －B )＋cosC ]＝332cos(A －B )＋334.当A ＝B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为934，故选D.5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.答案：π36.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝π3，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围为________．解析：设∠ACD ＝θ，则∠CAD ＝2π3－θ，根据条件及余弦定理计算得AC ＝2 3.在△ACD中，由正弦定理得ADsin θ＝CD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝23sin π3＝4， ∴AD ＝4sin θ，CD ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，∴DA ＋DC ＝4⎣⎡⎦⎤sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝4⎝⎛⎭⎫32sin θ＋32cos θ＝43⎝⎛⎭⎫32sin θ＋12cos θ＝43sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. ∵△ACD 是锐角三角形，∴θ和2π3－θ均为锐角，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， ∴θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1. ∴DA ＋DC ＝43sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6∈(]6，43. 答案：(6,4 3 ]。
高考数学二轮总复习课时跟踪检测三角恒等变换与解三角形理
课时追踪检测 ( 七)三角恒等变换与解三角形A 卷一、选择题π7π1．已知 cos3 － 2x ＝－ 8，则 sin x ＋ 3 的值为 ()17 A ． 4 B ． 8 C ．±1D ．±748π2π 72π 1 2π分析：选 C 因为 cos π－ 3 － 2x ＝ cos2x ＋3 ＝ 8，因此有 sin x ＋ 3 ＝21－ cos2 x ＋ 3 1 7 1 ，进而求得 π 的值为± 1＝×1－＝ 16 sin x ＋ ，应选 C ．2 83 42．(2019 ·广东省广州市高三测试) 在△ ABC 中，若 2cos B ·sin A ＝ sin C ，则△ ABC的形状是 ()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形分析：选 C∵2cossin＝ sin，∴ 2× a 2＋ c 2－ b2· a ＝ c，则 a＝ ，因此△ABCBAC2ac2R 2Rb为等腰三角形，应选C ．sin A3．(2019 ·湖南四校联考 ) △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＋ sin C＋ b ＝ 1，则 ＝ ()a ＋ c Cππ A ． 6B ． 3C ． 2πD ．5π 36由正弦定理及 sinsin Abab 2分析：选 B＋ sin＋ ＋ ＝1，得 ＋＋ ＋ ＝ 1，整理可得 aB C a cb c ac22a 2＋b 2－c 21π＋b － c ＝ ab . 由余弦定理知 cos C ＝ 2ab，因此 cos C ＝ 2. 又 C ∈ (0 ，π ) ，因此 C ＝ 3 ，应选 B ．π 7 274．已知 sin α－ 4 ＝ 10 ， cos 2 α＝ 25，则 sin α＝ ()4 4A ． 5B ．－ 5C ． 3D ．－ 355π 7 27分析：选C由 sin α－ 4＝ 10 得 sin α－ cos α＝ 5，①由 cos 2 α＝ 7得 cos 2α－sin 2α＝ 7，25257因此 (cos α－ sin α ) ·(cos α＋ sinα) ＝ 25，②1 由①②可得cos α＋ sin α ＝－ ，③53由①③可得sin α＝ 5.5．(2019 ·湖北部分要点中学高三测试) 已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，sin 2A ＋sin 2B － sin 2C sin A sin Bc ，且c＝ a cos ＋ cos ，若 a ＋ b ＝4，则 c 的取值范围为 ( )B bAA ． (0,4)B ． [2,4)C ． [1,4)D ． (2,4]分析：选 B在△ ABC 中，由三角函数的定义知 a cos B ＋ b cos A ＝ c ，联合正弦定理和a 2＋b 2－c 2 ab222a 2＋b 2－c 21已知，得c＝ c ，即 a ＋ b － c ＝ ab ，因此由余弦定理，得cos C ＝ 2ab＝ 2.又 C ∈ (0 ，π ) ，则 C ＝60°，因此 c 2＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ ( a ＋ b ) 2－3ab ≥(a ＋ b ) 2－3×a ＋b2＝2a ＋b 2＝4，因此 c ≥2. 又 c <a ＋ b ＝ 4，因此 c 的取值范围是 [2,4) ，应选 B ．46．如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走 a米到 ，在 B 处测得山顶P 的仰角 γ ＝60°，则山高 h ＝ ()B2 aA ． 2 a 米B ． 2米 3D ． a 米C ． a 米2分析：选 A在△中，∠＝ α － β ＝15°，∠＝(90 °－ α ) －(90 °－ γ ) ＝PAB PABBPAγ－ α＝30°，aPB6－ 2 因此＝，因此PB ＝因此 PQ ＝ PC ＋ CQ ＝ PB ·sin γ＋ a sinβ6－ 22＝ 2a ×sin 60 °＋ a sin 15 °＝2 a ( 米 ) ．二、填空题2sin π－ α ＋ sin 2α7．化简：cos2α＝ ________.22sin π－ α ＋ sin 2 α 2sin α＋2sin αcos α 分析： α＝ 1cos 222 1＋ cos α＝ 4sin α 1＋ cos αα. 1＋cos α＝ 4sin答案： 4sin α8．(2019 ·全国卷Ⅱ ) △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 b ＝ 6，a ＝ 2c ， Bπ＝ 3 ，则△ ABC 的面积为 ________．分析： 由余弦定理得 b 2＝ a 2＋ c 2－ 2ac cos B ．π又∵ b ＝ 6， a ＝ 2c ， B ＝ 3 ，∴ 36＝ 4c 2＋ c 2－2×2c 2× 1， 2∴ c ＝ 2 3， a ＝ 4 3，∴ △ ABC ＝ 1sin ＝ 1 3 3.2ac ×4 3×2 3×＝6SB 22答案： 63442ππ9．已知 cos α － sin α＝ 3，且 α∈ 0， 2 ，则 cos2 α＋ 3 ＝________.π 4 4 2222分析： ∵ α∈ 0， 2 ， cos α － sin α＝ (sinα＋ cos α) ·(cos α － sin α)2＝ cos 2 α＝ >0， 30，π25∴2α∈2 ，∴ sin 2 α＝ 1－ cos 2α＝3 ，∴cos 2α＋ π 1α－3 1 2 3 5 2－ 153 ＝ cos 2 sin 2α＝ × －× ＝.222 32362－ 15答案：6三、解答题10．(2019 ·惠州模拟 ) 已知△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2cos C ( a cosC ＋ c cos A ) ＋ b ＝ 0.(1) 求角 C 的大小；(2) 若 b ＝ 2， c ＝ 2 3，求△ ABC 的面积． 解： (1) ∵2cos C ( a cos C ＋ c cos A ) ＋ b ＝ 0，∴由正弦定理可得 2cos C (sin A cos C ＋ sin C cos A ) ＋ sin B ＝ 0， ∴2cos C sin( A ＋ C ) ＋ sin B ＝ 0，即 2cos C sin B ＋ sin B ＝0，又 0°<B <180°，∴ sin B ≠0，∴ cos C ＝－ 1， 2 又 0°<C <180°，∴ C ＝ 120°.(2) 由余弦定理可得 (23) 2＝ a 2＋ 22－2×2a cos 120 °＝ a 2＋ 2a ＋ 4，1又 a >0，∴解得 a ＝ 2，∴ S △ABC ＝ 2ab sin C ＝ 3， ∴△ ABC 的面积为 3.B11．(2019 ·重庆模拟 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，且 sin2－B 1cos ＝ .2 4(1) 求 cos B 的值；2 231sin C(2) 若 b－ a ＝ 4 ac ，求 sin A 的值．B B 1 解： (1) 将 sin 2－ cos 2＝4两边同时平方得，115 1－ sin B ＝ 16，得 sin B ＝16，31故 cos B ＝± 16 ，BB 1 又 sin 2－ cos 2＝ 4>0，BB因此 sin 2>cos 2，Bππ因此∈， ，π因此 B ∈2 ，π .31故 cos B ＝－ 16 .(2) 由余弦定理得b 2＝ 2＋2－ 2 cos＝ 2＋ 31 ac ，a cacB a 43131因此 4 a ＝ c －2a cos B ＝ c ＋ 8 a ，31因此 c ＝ 8 a .sin C c31由正弦定理可得 sin A ＝a ＝8.12．(2019 ·广东六校第一次联考 ) 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 2＋ c 2 － a 2＝ ac cos ＋c 2cos .bC A(1) 求角 A 的大小；25 3(2) 若△ ABC 的面积 S △ ABC ＝4 ，且 a ＝ 5，求 sin B ＋ sin C ．解： (1) ∵ b 2＋ c 2－ a 2＝ ac cos C ＋c 2cos A ，由余弦定理得 2bc cos A ＝ac cos C ＋ c 2cos A .∵ c >0，∴2b cos A ＝ a cos C ＋ c cos A ，∴由正弦定理得 2sin B cos A ＝ sin A cos C ＋ sin C cos A ，即 2sin B cos A ＝ sin( A ＋C ) ．∵ s in( A ＋ C ) ＝sin( π－ B ) ＝ sin B ，∴2sin B cos A ＝ sin B ，即 sin B (2cos A － 1) ＝ 0，1∵ 0<B <π，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝2，π∵ 0<A <π，∴ A ＝ 3 .△ABC1325 3(2) ∵S＝ 2bc sin A ＝ 4 bc ＝ 4 ，∴ bc ＝ 25.∵cos ＝ b 2＋ c 2－ a 2＝ b 2＋ c 2－ 25＝ 1，∴b 2＋ c 2＝50，A 2bc 2×252∴(b ＋c ) 2＝ 50＋2×25＝ 100，即 b ＋c ＝ 10( 或求出 b ＝ c ＝ 5) ，3 ∴由正弦定理得 sin＋ sin＝ sin Acsin Ab＋sin A2·＋·＝ () ·＝10×＝BC baaca53.B 卷1．(2019 ·昆明模拟 ) 在△ ABC 中， AC ＝ 2 3， BC ＝ 6，∠ ACB ＝150°.(1) 求 AB 的长；(2) 延伸 BC 至 D ，使∠ ADC ＝45°，求△ ACD 的面积．222解： (1) 由余弦定理 AB ＝ AC ＋ BC － 2AC · BC cos ∠ ACB ，2得 AB ＝ 12＋ 36－2×2 3×6cos 150 °＝ 84，因此 AB ＝ 2 21.(2) 因为∠ ACB ＝150°，∠ ADC ＝45°，因此∠ CAD ＝150°－ 45°＝ 105°，在△ ACD 中，由正弦定理 CD AC 2 3sin 105 ° ，又 sin 105°＝ ，得 CD ＝sin 45 °sin ∠ CAD sin ∠ ADC＝sin(60 °＋ 45°) ＝sin 60 °· cos 45 °＋ cos 60 °· sin 45 °＝2＋ 6，4因此 CD ＝ 3＋ 3，又∠ ACD ＝180°－∠ ACB ＝30°，因此 S △ ＝1 113 3＋1) ．2AC ·CD ·sin∠ ACD ＝2×2 3×(3 ＋3) ×2＝2(ACD2．(2019 ·长春市高三第一次质量监测) 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，1c ，已知 b ＝ a cos C ＋ 2c .(1) 求角 A ；→ →(2) 若AB · AC ＝ 3，求 a 的最小值．11解： (1) 由 b ＝ a cos C ＋ 2c 及正弦定理，可得 sin B ＝ sin A cos C ＋ 2sin C ，又 sin B ＝sin( ＋ ) ＝ sincos ＋ cos sin ，因此 cossin ＝ 1sin ，又在△中，sin ≠0，ACACA CAC 2CABCC1π因此 cos A ＝ 2，又 A ∈ (0 ，π ) ，因此 A ＝ 3 .→ →22222－(2) 由 (1) 及 AB · AC ＝ 3 得 bc ＝ 6，因此由余弦定理得 a ＝ b ＋ c － 2bc cos A ＝ b ＋ c 6≥2bc － 6＝ 6，当且仅当 b ＝c 时取等号，因此a 的最小值为6.3. (2019 ·皖中名校联考 ) 如下图，位于A 处的雷达观察站，发现其北偏东 45°，与A 相距 20 2海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20 分钟后又测得该船只位于观察站 A北偏东 45°＋ θ (0 °<θ <45°) 的 C 处，AC ＝ 10 2海里．在离观察站 A 的正南方某处 D ，tan∠DAC ＝－ 7.(1) 求 cos θ；(2) 求该船的行驶速度v(海里/时)．解： (1) ∵tan ∠DAC＝－ 7，∴ sin∠ DAC＝－7cos∠ DAC. ∵s in 2∠DAC＋ cos 2∠DAC＝1，7 2 2∴s in ∠DAC＝10， cos ∠DAC＝－10，∴c os θ＝cos(135 °－∠DAC)2 2＝－2 cos ∠DAC＋2sin ∠ DAC2 2 2 7 2＝－2×－10＋2×104 ＝5.(2) 由余弦定理得2＝2＋2－2 · cosθ，BC AC AB AC AB∴2＝ (10 2) 2＋ (20 2) 2－2×10 2×20 2×4 ＝ 360，BC 51∴ BC＝610 海里．∵t＝ 20 分钟＝3小时，BC∴ v＝t＝1810 海里 / 时．4.(2019 ·洛阳尖子生统考 ) 如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝ 2，AP＋ AC＝4.(1)求∠ ACP；3 3(2)若△ APB的面积是2，求sin∠ BAP.解： (1) 在△APC中，∠PAC＝60°，PC＝ 2，AP＋AC＝4，由余弦定理得2＝2＋2－2···cos ∠，PC AP AC AP AC PAC2 2 22整理得 AP － 4AP ＋4＝ 0，解得 AP ＝ 2，因此 AC ＝ 2，因此△ APC 是等边三角形，因此∠ ACP ＝60°.3 3(2) 解法一： 因为∠ APB 是△ APC 的外角， 因此∠ APB ＝120°， 因为△ APB 的面积是2 ，13 3因此 · AP · PB ·sin∠ APB ＝，因此 PB ＝ 3.22在△APB中，2＝2＋2－2· · ·cos ∠＝ 22 ＋ 32－2×2×3×cos 120 °＝AB APPBAP PBAPB19，因此 AB ＝ 19.在△ APB 中，由正弦定理得ABPBsin ＝ ，∠ APB sin ∠BAP3sin 120 °3 57因此 sin ∠ BAP ＝19＝38.解法二：作 AD ⊥ BC ，垂足为 D ，如图．因为△是边长为 2 的等边三角形，因此＝ 1， ＝ 3，∠ ＝30°.APCPD ADPAD3 3因为△ APB 的面积是 2 ，1· ＝ 3 3 因此 ·， 2 AD PB 2因此 PB ＝ 3，因此 BD ＝ 4.2 2在 Rt △ ADB 中， AB ＝ BD ＋ AD ＝ 19，因此 sinBD 4AD 3 ∠ BAD ＝＝， cos ∠ BAD ＝＝.AB19AB19因此 sin ∠ BAP ＝ sin( ∠BAD －30°)＝ sin ∠ BAD cos 30 °－ cos ∠ BAD sin 30 °4× 3 3 1＝－ 19 ×19 2 23 57＝38 .。
2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练 Word版含答案10
sin
B=
3
2.
∵0<B<π,∴角 B 为���3���或23������.故选 D.
������
4.C 解析 在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=( 2)2+32-2 × 2 × 3cos4=5. 解得 AC= 5.
������������
由正弦定理������������������∠������������������
( ) 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin A=acos C.当
3sin
A-cos
������
+
������ 4
取最大值
时,角 A 的大小为( )
������
������
������
2������
A.3
B.4
C.6
D. 3
������
14.在△ABC 中,边 AB 的垂直平分线交边 AC 于点 D,若 C=3,BC=8,BD=7,则△ABC 的面积为 .
C.6或 6
������ 2������
D.3或 3
������
4.在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC 等于( )
10
A. 10
10
B. 5
3 10
C. 10
5
D. 5
5.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,C=120°,a=2b,则 tan A= .
(1)求 B 的大小; (2)求 2cos A+cos C 的最大值.
3
9.在△ABC 中,∠A=60°,c=7a.
2019高考数学二轮复习课时跟踪检测三三角恒等变换与解三角形小题练理
课时跟踪检测（三）三角恒等变换与解三角形（小题练）级——＋提速练一、选择题．(·河北保定一模)已知＝，则α的值为( )．－．．－解析：选由已知得α－α＝α－α，整理得α＝α，即α＝α，故α＝.．(·福州模拟) °－° °＝( )．解析：选°－° °＝°－°· ° °＝°－°· °＝°－°＝(°＋°)＝°＝.故选.．(·全国卷Ⅱ)在△中，＝，＝，＝，则＝( )．．解析：选∵＝，∴＝－＝×－＝－.在△中，由余弦定理，得＝＋－·· ＝＋－×××＝，∴＝.．(·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且α＝，则＝( )．－．－解析：选因为α是第三象限的角，α＝，且(\\(( αα)＝α，α＋α＝，))所以α＝－＝－，α＝－，则＝α＋α＝－×－×＝－，选.．(·武汉调研)在△中，，，分别是角，，的对边，且＝＋，则＝( )解析：选因为＝＋，所以由正弦定理可得＝＋＝(＋)＋＝＋＋，即＝－，又≠，所以＝－，又<<π，所以＝，故选.．已知α＝，α∈，则α＝( )．－．－解析：选由题意知(α－α)＝( α－α)，由于α∈，因而α≠ α，则( α＋α)＝，那么(＋α)＝，α＝－.．(届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△中，内角，，的对边分别为，，，若△的面积为，且＝(＋)－，则等于( )．－．－解析：选因为＝(＋)－＝＋－＋，由面积公式与余弦定理，得＝＋，即－＝，所以( － )＝，＋＋)＝，所以＋＋)＝，解得＝－或＝(舍去)．．(·洛阳模拟)在△中，角，，的对边分别是，，，若，，成等比数列，且＝＋－，则)＝( )解析：选由，，成等比数列得＝，则有＝＋－，由余弦定理得＝＝＝，故＝.对于＝，由正弦定理，得＝＝· ，由正弦定理，得)＝)＝,(()) )＝.故选.．(届高三·广西三市联考)已知∈(，π)，且＝，则＝( )．－．－．解析：选由＝得＝，∵∈(，π)，∴＝，∴＝－＋ )＝.．(·广东佛山二模)已知＝，则＝()解析：选由＝α－α)＝，解得α＝－，所以＝＝α)＝＋αα，又αα＝ααα＋α)＝αα＋)＝－，故＋αα＝.．(·福州模拟)已知＝，若 [(α＋γ)]＝β，则＝()．解析：选设＝α＋β＋γ，＝α－β＋γ，则(α＋γ)＝＋β＝－，因为 [(α＋γ)]＝β，所以(＋)＝(－)，即＋＝( － )，即＝，所以＝，所以＝)＝.．(·南宁、柳州联考)在△中，角，，所对的边分别为，，，若＝，＋＝，则当角取得最大值时，△的周长为( )．＋．＋．＋．解析：选由已知＋＝，得＋·＝，整理得＝－.由余弦定理，得＝＝≥＝，当且仅当＝时等号成立，此时角取得最大值，将＝代入＝－可得＝.又＝，所以＝＝，＝.故△的周长为＋.故选.二、填空题．(·全国卷Ⅱ)已知＝，则α＝.解析：＝＝α－＋α)＝，解得α＝.答案：．(·贵州模拟)如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为海里和海里，灯塔在观察站的北偏东°，灯塔在观察站的南偏东°，则灯塔和的距离为海里．解析：依题意知∠＝°－°－°＝°，在△中，由余弦定理知＝°)＝＝.即灯塔与灯塔的距离为海里．答案：．(·贵州模拟)已知△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝，＝，若△的面积＝，则＋＝.解析：由正弦定理，得＝，又≠，∴＝，∴＝.由＝×＝，得＝，由余弦定理得，＝＋－，∴＋＝，∴＋＝.答案：.(·成都模拟)如图，在直角梯形中，已知∠＝∠＝°，是上一点，＝－，∠＝°，∠＝°，∠＝°，则线段的长度为．解析：易知∠＝°，∠＝°，在直角三角形中，＝°)，在三角形中，°)＝°)⇒＝° °)，在直角三角形中，＝°，所以＝°＝° ° °)×°)＝×＝.答案：级——难度小题强化练．已知θ＋θ＝α，θ＝β，则( )．β＝α．β＝α．β＝－α．β＝α解析：选由同角三角函数的基本关系可得θ＋θ＝，所以( θ＋θ)＝＋θθ＝＋θ.由已知可得( α)＝＋β，即α＝＋β.由二倍角公式可得×α)＝＋×β)，整理得β＝α.故选.．在不等边三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中为最大边，如果(＋)<＋，则角的取值范围为( )解析：选由题意得<＋，由正弦定理得<＋，即＋－>，则＝>.因为<<π，所以<<，又是最大边，所以>，即角的取值范围为.故选.．(·唐山统考)在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且∠＝°，再过两分钟后，该物体位于点，且∠＝°，则∠的值为( )解析：选如图，设物体的运动速度为，则＝，＝，因为∠＝°，∠＝°，所以∠＝°，＋＝°，所以＝°－.在△中，＝．在△中，由正弦定理得＝∠)＝· ＝(°－)＝－．所以有－＝，即＝，所以＝，所以选.．(·成都模拟)△的内角，，的对边分别为，，，且(－)＝(－) ，△的外接圆半径为.则△面积的最大值为( )解析：选由正弦定理，得)＝)＝)＝，所以＝，＝，＝，将其代入(－)＝(－) ，得＋－＝，由余弦定理，得＝＝，又<<π，所以＝.于是△＝＝×××＝＝[(－)－(＋)]＝[(－)＋ ]＝(－)＋.当＝＝时，△取得最大值，最大值为，故选.．定义运算＝－.若α＝，αβαβ))＝，<β<α<，则β＝.解析：依题意有αβ－αβ＝(α－β)＝，又<β<α<，∴<α－β<，故(α－β)＝＝，而α＝，∴α＝，于是β＝[α－(α－β)]＝α(α－β)－α(α－β)＝×－×＝，故β＝.答案：.(·四川成都模拟)如图，在△中，＝，＝，∠＝∠＝，若△是锐角三角形，则＋的取值范围为．解析：设∠＝θ，则∠＝－θ，根据条件及余弦定理计算得＝.在△中，由正弦定理得θ)＝＝＝，∴＝θ，＝，∴＋＝θ＋\(\)(\\((π)－θ))))＝θ＋(()) θ＋() θ))＝θ＋(()) θ))＝θ＋() θ))＝.∵△是锐角三角形，∴θ和－θ均为锐角，∴θ∈，∴θ＋∈，∴∈.∴＋＝∈.答案：( ]。
2019届高考数学(理)二轮复习强化训练：(4)三角函数与解三角形(有答案)
强化训练（4）三角函数与解三角形1、已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )A.B.C.D.2、将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A. sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 1sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. 1sin 220y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3、设α是第二象限角,sin cos αα= ( )A. 1B. 2tan αC. 2tan α-D. 1-4、已知α是第四象限角,且1sin cos 5αα+=,则tan 2α=( ) A. 13 B. 13-C. 12D. 12-5、已知sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+那么tan α的值为( )A.2316 B. 2316-C. 2-D. 2 6、已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( )A. 79- B.79 C. 79±D. 29-7、定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数, ,αβ是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是( ) A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()cos cos f f αβ<C. ()()cos cos f f αβ>D. ()()sin cos f f αβ< 8、函数()236y sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于( ) A. 3- B. 2-C. D. 1-9、已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,若将() f x 图像上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像,则函数()g x 的单调递增区间为( )A. ,,Z 44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ππ2π,2π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10、设函数()sin 3,2f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A. ()f x 是最小正周期为3π的奇函数B. ()f x 是最小正周期为3π的偶函数C. ()f x 是最小正周期为23π的奇函数 D. ()f x 是最小正周期为23π的偶函数11、关于下列四个说法: ①AB DC BD AC ++=;②函数()2f x cos x =是周期为π的偶函数;③在ABC ∆中,若a b c >>,则必有cosA cosB cosC <<; ④把函数()2(2)3f x x π=-的图象向左平移3π个单位得到函数22y sin x =的图象. 其中正确说法的序号是__________. 12、若ABC ∆的内角,?A B 满足()sin 2cos sin BA B A=+,则tan B 的最大值为__________ 13、在ABC ∆中,cos cos B Cb c=,则ABC ∆是__________三角形 14、有下列关系式:① 5 32 8 2;sin sin sin cos θθθθ+= ② 3 52 4 ;cos cos sin sin θθθθ-=- ③ 3 5 4 ;sin sin cos cos θθθθ-=- ④ 5 32 4 ;sin cos sin cos θθθθ+= ⑤()() .sin xsin y cos x y cos x y =--+⎡⎤⎣⎦ 其中正确的等式有__________.(填序号)15、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+= 1.求B ;2.若sin sin A C =,求 C答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：当0a =时, ()1f x =,C 符合.当01a <<时, 2,T π>且最小值为正数,A 符合; 当1a >时, 2T π<,B 符合,故选D.2答案及解析： 答案：C解析：将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度, 得sin 10y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 得1sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选C . 考点:三角函数的平移变换.3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：B 解析：5答案及解析：解析：6答案及解析： 答案：A 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：由诱导公式知 36sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以函数2 366y sin x cos x cos x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最小值为-1.9答案及解析： 答案：A解析：由图可知ππ2π2,4π,2312πA T ω⎛⎫⎪⎝∴⎭==-===. ∵由图可得点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上,可得: π2sin 2212ϕ⨯+⎫⎪⎝⎭=⎛, 解得: 22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈,∴由2πϕ<,可得: 3πϕ=,∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵若将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的函数解析式为: ()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎝⎭⎦.∴由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈,可得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，,∴函数()g x 的单调增区间为: ,,Z 44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选:A. 考点:函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 【思路点睛】本题主要考查()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律,由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式,正弦函数的图象和性质,考查了数形结合思想,利用()sin y A x ωϕ=+的图象特征,求出函数()sin y A x ωϕ=+的解析式,再根据()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律及正弦函数的图象和性质,即可求得函数()g x 的单调增区间.10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：①②③ 解析：12答案及解析：解析：在ABC ∆中,因为sin 0,sin 0A B >>,所以()sin 2sin Bcos A B cosC A=+=-,即cos 0C <,所以角 C 为钝角,且sin sin cos B A C =-,又由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,所以sin cos cos sin sin cos A C A C A C +=-,即cos sin 3sin cos A C A C =-,所以tan 3tan C A =-,所以()2tan tan 2tan 2tan tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C AB AC A C AA A+-=-+===≤-++, 当且仅当13tan tan A A =,即tan 3A =时等号成立,即tan B的最大值为 3,故选A.13答案及解析： 答案：等腰 解析：14答案及解析： 答案：⑤ 解析： 只有⑤正确.15答案及解析： 答案：1. 23π2. 12C π=或4C π= 解析：1.因为()()a b c a b c ac ++-+=∴222a cb ac +-=-∵222cos 2a c b B ac+-=∴1cos 22ac B ac -==-∵B 为三角形内角 ∴23B π= 2.由(1)得: 3A C π+=1sin sin )2A C A C =+= cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C∴-=+=-+6A C π∴-=或6A C π∴-=-12C π∴=或4C π=。
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课时跟踪检测（四） 解三角形（大题练）A 卷——大题保分练1．(2018·惠州模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cosC (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝2，求△ABC 的面积．3解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cosC ＋sin C cos A )＋sin B ＝0.∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0°<B <180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－，12又0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(2)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，3又a >0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝ab sin C ＝，123∴△ABC 的面积为.32．(2018·陕西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cosA ＝(2c ＋a )cos(π－B )．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为，求a ＋c 的值．3解：(1)∵b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B.∴sin(A ＋B )＝－2sin C cos B.∴sin C ＝－2sin C cos B ，又sin C ≠0，∴cos B ＝－，∴B ＝.122π3(2)由S △ABC ＝ac sin B ＝，得ac ＝4.123又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16.∴a ＋c ＝2.53．(2018·重庆模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin －cos ＝.B 2B 214(1)求cos B 的值；(2)若b 2－a 2＝ac ，求的值．314sin Csin A 解：(1)将sin －cos ＝两边同时平方得，B 2B 2141－sin B ＝，得sin B ＝，故cos B ＝±，11615163116又sin －cos ＝>0，所以sin >cos ，B 2B 214B 2B2所以∈，所以B ∈，B2(π4，π2)(π2，π)故cos B ＝－.3116(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋ac ，314所以a ＝c －2a cos B ＝c ＋a ，314318所以c ＝a ，故＝＝.318sin C sin A ca 3184．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，∠ACB ＝150°.3(1)求AB 的长；(2)延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°，求△ACD 的面积．解：(1)由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos∠ACB ，得AB 2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB ＝2.321(2)因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°，所以∠CAD ＝150°－45°＝105°，由正弦定理＝，得CD ＝，又sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin CD sin ∠CAD AC sin ∠ADC 23sin 105°sin 45°60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD ＝3＋，又∠ACD ＝180°2＋643－∠ACB ＝30°，所以S △ACD ＝AC ·CD ·sin∠ACD ＝×2×(3＋)×＝(＋1)．121233123235．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为锐角，且满足2sin(A ＋C )＋cos 2B ＝4sin B cos 2.3B2(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝，b ＝，求△ABC 的周长l .3343解：(1)由已知得，2sin(π－B )＋cos 2B ＝4sin B cos 2，3B2即2sin B ＋cos 2B ＝4sin B cos 2，3B2所以2sin B＋cos 2B ＝0，(1－2cos2B2)3即－2sin B cos B ＋cos 2B ＝0，即sin 2B ＝cos 2B ，33所以tan 2B ＝.因为0<B <，所以0<2B <π，所以2B ＝，解得B ＝.3π2π3π6(2)由(1)知，B ＝.△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝ac sin ＝ac ＝，整理得ac ＝3π61212π614334，①3由b ＝及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，3得()2＝a 2＋c 2－2ac cos ＝a 2＋c 2－ac ，3π63整理得a 2＋c 2－ac ＝3，②3将①代入②得，(a ＋c )2＝12＋6，即a ＋c ＝3＋，33故△ABC 的周长l ＝b ＋a ＋c ＝＋3＋＝3＋2.333B 卷——深化提能练1．(2018·贵州一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．解：(1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝得cos 120°＝a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.a 2＋ a ＋2 2－ a ＋4 22a a ＋2 (2)由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得ab sin∠ACB ＝c ×CD ，∴CD ＝＝＝，即AB 边上的高CD ＝1212ab sin ∠ACBc 3×5×32715314.153142．(2018·河北模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足cos B ＝b cos A .(54c －a )(1)若sin A ＝，a ＋b ＝10，求a ；25(2)若b ＝3，a ＝5，求△ABC 的面积S .5解：∵cos B ＝b cos A ，(54c －a)∴由正弦定理得·cos B ＝sin B cos A ，即有sin C cos B ＝sin A cos(54sin C －sin A)54B ＋cos A sin B ，则sin C cos B ＝sin C .54∵sin C >0，∴cos B ＝.45(1)由cos B ＝，得sin B ＝，4535∵sin A ＝，∴＝＝，25a b sin A sin B 23又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝3，a ＝5，5∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝ac sin B ＝15.123．(2018·沈阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos ＝A2，·＝3.255AB ―→ AC―→(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解：(1)由·＝3，得bc cosA ＝3，又cosAB ―→ AC―→ A ＝2cos 2－1＝2×2－1＝，∴bc ＝5，sin A ＝.由sin A ＝及S △ABC ＝bc sin A ，得A2(255)35454512S △ABC ＝2.(2)由b ＋c ＝6，得b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝26，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2.54．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.2a －bccos B cos C (1)求角C 的大小；(2)求函数y ＝sin A ＋sin B 的值域．解：(1)由＝，利用正弦定理可得2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos2a －bccos Bcos C B ，可化为2sin A cos C ＝sin(C ＋B )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos C ＝，12∵C ∈，∴C ＝.(0，π2)π3(2)y ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin＝sin A ＋cos A ＋sin A ＝sin(π－π3－A )32123，∵A ＋B ＝，0<A <，0<B <，∴<A <，∴<A ＋<，(A ＋π6)2π3π2π2π6π2π3π62π3∴sin∈，∴y ∈.(A ＋π6)(32，1](32，3]5.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝，EA ＝2，∠ADC ＝，且72π3∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin∠CED ；(2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝.π3(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos∠EDC ，由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得＝，于是sinECsin ∠EDC CDsin αα＝＝＝，即sin∠CED ＝.CD ·sin 2π3EC2×327217217(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，π31－sin2α1－2149277又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝－α，2π3所以cos∠AEB ＝cos ＝cos cos α＋sin sin α＝－cos α＋sin(2π3－α)2π32π31232α＝－×＋×＝.1227732217714在Rt△EAB 中，cos∠AEB ＝＝＝，所以BE ＝4.EA BE 2BE 7147。