人教版初中九年级数学上册因式分解法解一元二次方程综合练习题23
人教版数学九年级上学期课时练习-一元二次方程解法-因式分解法(巩固篇)(人教版)
专题21.13 一元二次方程解法-因式分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1x =B ．12x =，20x =C ．11x =，22x =D ．2x =2．在数轴上原点两侧两点A 、B ，其中点A 表示的数是a ，点B 表示的数是2a a +，如果A ，B 两数的绝对值相等，那么a 的值是（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．-23．在平面直角坐标系中，点2(2,1)A x x +与点(3,1)B -关于y 对称，则x 的值为（ ） A ．1 B ．3或1 C ．3-或1 D ．3或1-4．已知关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，则二次三项式2x px q++可分解为（ ）A ．()()12x x +-B ．()()12x x ++C ．()()12x x -+D ．()()12x x --5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+4（x 2﹣2x +1）﹣5＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣5或1B ．﹣1或5C ．1D ．56．若实数a 、b 满足2222()(3)10a b a b +++=，则a 2+b 2的值为（ ） A ．-5 B ．-2或5 C ．2 D ．-5或-2 7．用换元法解分式方程2221x x x x -+=-时，如果设2x x y -=，则原方程可化为关于y 的整式方程是（ ）．A ．2210y y ++=B ．2210y y +-=C ．220y y -+=D ．220y y +-= 8．解方程2221x x x x++=+时．如果设2y x x =+，那么原方程可化为（ ）A ．220y y +-=B ．220y y -+=C ．220y y ++=D ．220y y --= 9．已知矩形的长和宽是方程2680x x -+=的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A ．6B ．7C ．20D ．10．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x 2﹣14x ＋48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1411．若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程257(5)x x x -=-的根，则此三角形的周长为（ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．13或1512．如图，一次函数y =-3x +4的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．若矩形OCPD 的面积为1时，则点P 的坐标为（ ）A ．（13，3）B ．（12，2）C ．（12，2）和（1，1）D ．（13，3）和（1，1） 二、填空题13．方程220220x x -＝的解是______．14．已知关于x 的一元二次方程x 2-4mx +3m 2=0，若m ＞0，且该方程较大的实数根为1，则m 的值为_________．15．x =-的解是_____．16．若0x >，0y >，50x y --=，则x y =__________． 17．方程x 2213x x-=-3x ﹣4中，如果设y ＝x 2﹣3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是________．18．已知实数a 、b 满足()()2222228a b a b +-+=，则22a b +的值为___________． 19．在实数范围内，已知221221x x x x +++=，则1x x+的值是______． 20．阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，①1x =±；当4y =时，24x =，①2x =±；①原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用__法达到__的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程222()4()120x x x x +--+=的解为________________．21．如果m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根，那么代数式m 3－7m 的值是 _____．22．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x 3－x ＝0，它的解是_____________．23．已知正比例函数513y x =图像上有一个点M ，点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，则点M 的纵坐标为 ___．24．如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是21x -，点B 对应的数是2x x +，已知5AB =，则x 的值为______．三、解答题25．解方程：(1)x 2－2x －3＝0 (2)（x ﹣3）2＝2x ﹣626．用适当的方法解下列方程：(1)2-430x x (2)()3-2-2x x x =27．阅读下列例题的解答过程：解方程：3（x －2）2＋7（x －2）＋4＝0解：设x －2＝y ，则原方程化为：3y 2＋7y ＋4＝0①a ＝3，b ＝7，c ＝4，①b 2－4ac ＝72－4×3×4＝1①y 716-±=． ①y 1＝－1，y 2＝－43． 当y ＝－1时，x －2＝－1，①x ＝1；①当y ＝－43时，x －2＝－43，①x ＝23． ①原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23．(1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x －3）2－5（x －3）－6＝0；(2)若()()222223a b a b ++-=，求代数式22a b +的值．28．例：解方程()()42181150x x ---+=解：设()21t x =-，则28150t t -+=解得3t =或5t =当3t =时有()213x -=，解得1x =±当5t =时有()215x -=，解得1x =±①原方程的解为1x =1x =±认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程()()632172180x x +-+-=29．阅读例题，解答问题： 例：解方程220x x --=． 解：原方程化为220x x --=． 令y x =，原方程化成220y y --=解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．①原方程的解是12x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()215160x x ----=．30．以下是婷婷解方程 x （x －3）＝2（x －3）的解答过程：解：方程两边同除以（x －3），得：x ＝2①原方程的解为x ＝2试问婷婷的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程．31．对于实数a 、b ，定义一种新运算“a ①b ”，规定如下：2a b ab b =-☆，例如22322130=⨯-=☆．(1)若12x =☆，则满足条件的x 值为______；(2)对于()12a x -=☆，存在两个不同的数值x ，求a 的取值范围；(3)若22x x >☆☆时，求x 的取值范围．32．阅读例题，解答问题：例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0，解：原方程化为|x |2﹣|x |﹣2＝0．令y ＝|x |，①y 2﹣y ﹣2＝0解得：y 1＝2，y 2＝-1当|x |＝2，x ＝±2；当|x |＝-1时（不合题意，舍去）①原方程的解是x 1＝2，x 1＝-2，仿照上例解方程（x +1）2﹣5|x +1|﹣6＝0．参考答案1．C【分析】移项后用因式分解法求解即可．解：①x (x −2)=x −2，①x (x −2)−(x −2)=0，①(x −2)(x −1)=0，①x -2=0，或x -1=0，①x 1=2，x 2=1．故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．2．D【分析】根据A ，B 两数的绝对值相等，且在数轴上原点两侧，可得关于a 的一元二次方程，解方程并检验即可得到答案．解：①点A 、B 在数轴上原点两侧，且表示的两数的绝对值相等，①20a a a ++=，解得：120,2a a ==-，当10a =时，点A 、B 表示的两数都是0，是在数轴上的同一个点，①不符合题意，应舍去，①2a =-．故选：D ．【点拨】本题考查了数轴上绝对值相等的两点对应的数之间的关系，涉及到了绝对值的意义，相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并且正确求解，最后要检验结果是否符合题意．3．C【分析】先根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程，然后解一元二次方程，即可得出结果． 解：①A 、B 两点关于y 轴对称，①223x x +=，①()()310x x +-=，解得3x =-或1，故选：C ．【点拨】本题考查了关于y 轴对称点的坐标特点和解一元二次方程，根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程是解题的关键．4．C【分析】根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式，即可得出答案． 解：①关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，①原方程为：（x －1）（x ＋2）＝0，①二次三项式2x px q ++可分解为()()12x x -+，故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 5．C【分析】设y ＝x 2﹣2x +1，将已知方程转化为关于y 的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．解：设y ＝x 2﹣2x +1，则y 2+4y ﹣5＝0，整理，得（y +5）（y ﹣1）＝0，解得y ＝﹣5（舍去）或y ＝1，即x 2﹣2x +1的值为1，故选C ．【点拨】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法．6．C【分析】根据换元法，令a 2+b 2=m ，将原式整理成含有m 的一元二次方程，解出m 的值，根据题意对m 的值进行取舍即可.解：令a 2+b 2=m ，原式可化为：(3)10m m +=，即23100m m +-=，解得：m=-5或m=2，因为a 2+b 2≥0所以m=2a²+b²=2故答案为C.【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m 将所求式子替换下来.7．C【分析】根据换元法，可得答案．解：设x 2﹣x ＝y ，原方程等价于y ﹣1＋2y＝0， 两边都乘以y ，得y 2﹣y ＋2＝0，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．8．A【分析】根据方程的特点，设2y x x =+，可将方程中的x 全部换成y ，转化为关于y 的分式方程，去分母转化为一元二次方程．解：把2y x x =+代入原方程得：21y y +=，方程两边同乘以y 整理得：220y y +-=. 故选A.【点拨】此题考查换元法解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.9．D【分析】设矩形的长和宽分别为a 、b ，解出a 、b ，利用勾股定理得到矩形的对角线长代入计算出矩形的对角线长即可．解：设矩形的长和宽分别为a 、b ，①x 2﹣6x +8＝0①(x ﹣4)(x ﹣2)=0①x =4或x =2，①长和宽是方程的两个实数根∴a ＝4，b ＝2，所以矩形的对角线长==故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．10．C【分析】先解方程x 2-14x +48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．解：①x 2﹣14x +48＝0，①（x ﹣6）（x ﹣8）＝0，①x ＝6或8；①两直角边为6和8，①10，故选：C ．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．11．A【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 解：解方程257(5)x x x -=-得：12=7=5x ，x ，①1＜第三边的边长＜7，①第三边的边长为5．①这个三角形的周长是3+4+5=12．故选：A ．【点拨】此题考查因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，解题关键在于要注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．D【分析】由点P 在线段AB 上可设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43），进而可得出OC =m ，OD =-3m +4，结合矩形OCPD 的面积为1，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再将其代入点P 的坐标中即可求出结论．解：①点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），且直线AB 的解析式为y =-3x +4，①设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43）， ①OC =m ，OD =-3m +4．①矩形OCPD 的面积为1，①m （-3m +4）=1，①m 1=13，m 2=1， ①点P 的坐标为（13，3）或（1，1）． 故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于m 的一元二次方程是解题的关键．13．0或2022【分析】先将x 提取出来，可得等式()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，由此可解出x 的值． 解：220220x x -＝，()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，解得：10x =，22022x =，故答案为：0或2022．【点拨】本题考查利用提取公因式解一元二次方程，能够掌握提取公因式是解决本题的关键．14．13【分析】直接由因式分解法解出一元二次方程的两根，然后根据0m >比较大小代入即可得出答案．解：22430x mx m -+=，()(3)0x m x m ∴--=，即方程的两根为1x m =，23x m =，0m >，3m m ∴>，即31m =，得13m =． 故答案为：13． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．15．x ＝﹣1【分析】将方程两边同时平方，再解一元二次方程，根据二次根式有意义的条件取舍解．x =-，∴5x +6＝x 2，∴x 2﹣5x ﹣6＝0，（x ﹣6）（x +1）＝0∴x 1＝6，x 2＝﹣1，当x ＝6时原方程没有意义，∴x ＝﹣1．答案：x ＝﹣1．【点拨】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．16．25【分析】根据题意原方程可变形为2250-=，再利用因式分解法解答，即可求解．解：①0x >，0y >，50x y --=，①2250-=，①0=，①0x >，0y >0≠，0=5=， ①25x y =． 故答案为：25【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．17．y 2+4y ﹣1＝0【分析】先将原方程移项，把y ＝x 2﹣3x 代入整理即可得到答案．解：原方程移项得：x 2﹣3x 213x x-+-4＝0中， 把y ＝x 2﹣3x 代入原方程得：y 1y-+4＝0， 方程两边同乘以y 整理得：y 2+4y ﹣1＝0．故答案为：y 2+4y ﹣1＝0．【点拨】此题考查了用换元法解一元二次方程，正确掌握方程换元的方法是解题的关键．18．4【分析】设y =a 2+b 2，原式化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为a 2-b 2的值．解：设y =a 2+b 2，原式化为y 2-2y -8=0，即（y -4）（y +2）=0，可得y -4=0或y +2=0，解得：y 1=4，y 2=-2，①y =a 2+b 2>0①a 2+b 2=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a 2+b 2的值为正数． 19．-3【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案． 解：设1x a x+=， 则221221x x x x +++=， 211()2()21x x x x+++-=， 故2230a a +-=，解得：11a =，23a =-， 当11x x+=时， 则210x x -+=，此时△241430b ac =-=-=-<，∴此方程无解， 故11x x+≠， 故1x x +的值是3-． 故答案为：3-．【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键． 20． 换元 降次 13x =-，22x =【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x 2＋x 当成一个整体y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程．解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）设x 2＋x ＝y ，原方程可化为y 2−4y −12＝0，解得y 1＝6，y 2＝−2．由x 2＋x ＝6，得x 1＝−3，x 2＝2．由x 2＋x ＝−2，得方程x 2＋x ＋2＝0，①=b 2−4ac ＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1＝−3，x 2＝2．故答案为：① 换元；①降次；①x 1＝−3，x 2＝2．【点拨】本题应用了换元法，把关于x 的方程转化为关于y 的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．21．6-【分析】先求出m 的值，再代入代数式求解即可． 解： x 2＋2x －3＝0∴ ()()310x x +-=∴ 13,1x x x =-=m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根∴ 13,1x x x =-=∴()()33737327216m m =--⨯-=-+=-－或 ()()337171176m m =-⨯=-=-－ 故答案为：6-．【点拨】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．22．1230,1,1x x x ==-=【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 解：30,x x110,x x x则0x =或10x +=或10,x -=解得：1230,1, 1.x x x故答案为：1230,1, 1.x x x【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.23．3513或5-##5-或3513【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点M 的纵坐标解：x 2+6x ﹣91＝0即()()7130x x -+=解得127,13x x ==-点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，∴当7x =，解得3513y =，当13x =-时，解得5y =- ∴点M 的纵坐标为3513或5- 故答案为：3513或5- 【点拨】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键．24．-2【分析】根据数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，即可得到()2215AB x x x =+--=，由此解方程，再根据210x -<即12x <进行求解即可． 解：由数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，①()2215AB x x x =+--=即260x x --=，①()()230+-=x x ，解得3x =或2x =-，①210x -<即12x <， ①2x =-，故答案为：-2．【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法．25．(1)x 1＝3，x 2＝－1(2)x 1＝3，x 2＝5【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：x 2－2x －3＝0移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即（x －1）2＝4．两边同时开方，得：x －1＝±2，①x 1＝3，x 2＝－1．(2)解：（x ﹣3）2＝2x ﹣6①（x ﹣3）2＝2（x ﹣3），①（x ﹣3）2﹣2（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（x ﹣5）＝0，①x ﹣3＝0或x ﹣5＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5．【点拨】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．26．(1)1231x x ==， (2)12123x x ==，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解：(1)2-430x x()()310x x --=解得1231x x ==，(2)()322x x x -=-()()2310x x --= 解得12123x x ==，【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 27．(1)122,9x x == (2)223a b +=【分析】（1）令3t x =-，则原方程为2560t t -=-，然后根据因式分解法进行求解方程即可；（2）令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，然后根据因式分解法进行求解方程即可．(1)解：令3t x =-，则原方程为2560t t -=-， ()()160t t +-=①60t -=或10t +=，①121,6t t =-=，当1t =-时，则31x -=-，解得：2x =；当6t =时，则36x -=，解得：9x =；①原方程的解为122,9x x ==；(2)解：令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，()()130y y +-=①30y -=或10y +=，①121,3y y =-=，①220a b +≥，①当1y =-时不符合题意，①3y =，即223a b +=；①原方程的解为223a b +=．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程是解题的关键．28．11x =-，212x =【分析】利用题中给出的方法先把(2x +1)3当成一个整体t 来计算，求出t 的值，再解一元二次方程．解：设()321t x =+，则2780t t --=，解得1t =-或8t =，当1t =-时有()3211x +=-，解得1x =-，当8t =时有()3218x +=，解得12x =， ①原方程的解为11x =-，212x =． 【点拨】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．29．17x =，25x =-【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可． 解：原方程化为215160x x ----=． 令1y x =-，原方程化成2560y y --=． 解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）．16x ∴-=，16x ∴-=±．①原方程的解是17x =，25x =-．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．30．有错误，见分析【分析】首先判断出婷婷解方程的过程是错误的，再移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：婷婷的解答过程有错误．(3)2(3)x x x -=-移项，得：()()3230x x x ---=()()320x x --=x －3＝0或x －2＝013x =，22x =【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．31．(1)2或1- (2)78a >且a ≠1 (3)12x <或2x > 【分析】（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可；（2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令0∆>，求得a 的范围即可；（3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解即可(1) 解：2a b ab b =-☆∴211x x x =⨯-☆12x =☆22x x ∴-=即()()210x x -+=解得122,1x x ==-故答案为：2或1-(2)()12a x -=☆()212a x x ∴--=即()2120a x x ---=①存在两个不同的数值x ，()()()214120a ∴∆=---⨯->，且a ≠1， 解得78a >且a ≠1 (3)22x x >☆☆∴2242x x x ->-即()()2120x x -->则2102x x ->⎧⎨>⎩或2102x x -<⎧⎨<⎩解得12x <或2x > 【点拨】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．32．15=x ，27x =-【分析】 原方程化为215160x x +-+-=，令1y x =+，得2560y y --=，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：原方程化为215160x x +-+-=， 令1y x =+，∴2560y y --=， 解得1261y y ==-，，当16x +=，16x +=±，即x ＝5或x ＝-7， 当11x +=-时（不合题意，舍去），∴原方程的解是15=x ，27x =-．【点拨】本题主要考查解一元二次方程和换元法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题
九年级数学上册《解一元二次方程（因式分解法）》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝0的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝12．关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ）A ．12B ．7C ．6D ．54．若m ，n 是方程x 2－x －2 022＝0的两个根，则代数式（m 2－2m －2 022）（－n 2＋2n ＋2 022）的值为（）A ．2 023B ．2 022C ．2 021D ．2 0205．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（ ）∠若0a b c -+=，则240b ac -≥；∠若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=；∠若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠6．若函数y ＝m 22m m x +++4是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．15D ．12或158．下列式子运算正确的是（ ）A ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2B ．（a+2）（b ﹣1）=ab ﹣2C ．（a+1）2=a 2+1D ．（x ﹣1）（x ﹣2）=x 2﹣3x+29．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（ ）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 10．下列解方程变形：∠由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；∠由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；∠由344x =，得x ＝3．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11．一元二次方程()()120x x --=可化为两个一次方程为______________，方程的根是_________．12．方程2x 2+1=3x 的解为________．13．已知()()212x kx x a x b ++=++，()()215x kx x c x d ++=++，其中a b c d ,,,均为整数，则k =____________ 14．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．15．若a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则242a a b ++的值是_________．三、解答题16．已知关于x 的方程()()2222130k k x k x +-++-=（k 为常数）．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k 的值；(2)求1k =时方程的解；(3)求出一个()1k k ≠的值，使这个k 的值代人原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个k 的值即可）17．为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =所以原方程的根为1x =，2x =3x =4x =．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4；（2）x 4+x 2﹣12＝0．参考答案与解析：1．D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x 2﹣x ＝0，x （x -1）=0，x =0，或x -1=0，解得x 1＝0，x 2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：∠移项，使方程的右边化为零；∠将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；∠令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；∠解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∠x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∠（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∠∠OME∠∠PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】解：∠在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∠OM∠AB∠PN∠EF，EO∠FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，∠∠CEF∠∠OME∠∠PFN，∠OE：PN=OM：PF，∠EF=x，MO=3，PN=4，∠OE=x-3，PF=x-4，∠（x-3）：4=3：（x-4），∠（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，∠x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x 的表达式表示出对应边．4．B【详解】解：∠m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∠m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∠m2-m=2022，n2-n=2022，∠（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m 2-m -2022=0，n 2-n -2022=0，mn =-2022是解此题的关键．5．A【分析】把b =a +c 代入判别式中得到24b ac -=（a -c ）2≥0，则可对∠进行判断；利用根与系数的关系得到2c a=-，根据根的定义可得0a b c ++=，于是可对∠进行判断；由方程的根的定义可得20ac bc c -+=，即可对∠进行判断．【详解】解：a -b +c =0，则b =a +c ，24b ac -=（a +c ）2-4ac =（a -c ）2≥0，所以∠正确；∠方程ax 2+bx +c =0两根为1和-2， ∠2c a=-，则2c a =-，0a b c ++= 20a b a ∴+-=∠0a b -=，所以∠正确；∠方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，∠20ac bc c -+=0c ≠∠10ac b -+=∠1b ac =+所以∠正确．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】利用二次函数定义可得m 2+m +2＝2，且m ≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m 2+m +2＝2，且m ≠0，解得：m ＝﹣1，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．7．C【分析】利用因式分解法求出x 的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∠ x 2﹣9x +18＝0，∠（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．8．D【分析】A、原式利用平方差公式计算即可得到结果；B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式=4a2-b2，错误；B、原式=ab-a+2b-2，错误；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=x2-3x+2，正确．故选D．【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∠方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∠方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：∠由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；∠由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；∠由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意； 综上，正确的是∠，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11． x ﹣1＝0，x ﹣2＝0 11x =，22x =【分析】两个因式的积为0，这两个因式都可以为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．【详解】解：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0∠x ﹣1＝0或x ﹣2＝0∠11x =，22x =．故答案分别是：x ﹣1＝0，x ﹣2＝0；11x =，22x =． 【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，因式分解得到两个因式的积为0，这两个因式分别为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．12．1211,2x x == 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∠()()2110x x --=，∠210x -=或10x -=， 解得：1211,2x x ==， 故答案为：1211,2x x ==． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．13．8±．【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab 和cd 的值，以及a+b 和c+d 的关系，再根据a 、b 、c 、d 是整数，即可得到结果．【详解】解：由题可得()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，()()()2x c x d x c d x cd ++=+++12ab ∴=，15cd =，a b c d k +=+=又a b c d ，，，均为整数，∠2a =，6b =，3c =，5d =或2a =-，6b =-，3c =-，5d =-即8k =±．故答案为：±8．【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．14．7【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0≥）， 求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0≥），∠原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∠227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．15．2018【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022a a +=，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2220220a a +-=∠222022a a +=∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2a b +=-，∠242a a b ++2222a a a b =+++()222a a a b=+++()202222=+⨯-2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．16．(1)不一定是，1k=-(2)x1=1，x2=-3；(3)4-或8 3 -【分析】（1）不一定，当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；（2）把k=1代入方程计算即可；（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．（1）解：不一定是．当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得：1k=-±答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为1-（2）解：当k=1代入得：2230x x+-=解得：x1=1，x2=-3；（3）解：x=1代入得k=-4，或x=-3代入得k＝83 -，答：k的值为4-或83 -．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．17．（1）x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）12x x ==【分析】（1）设x 2﹣x ＝a ，原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，求出a 的值，再代入x 2﹣x ＝a 求出x 即可；（2）设x 2＝y ，原方程化为y 2+y ﹣12＝0，求出y ，再把y 的值代入x 2＝y 求出x 即可．【详解】解：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4，设x 2﹣x ＝a ，则原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，解此方程得：a 1＝a 2＝2，当a ＝2时，x 2﹣x ＝2，即x 2﹣x ﹣2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，所以原方程的解是x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 4+x 2﹣12＝0，设x 2＝y ，则原方程化为y 2+y ﹣12＝0，因式分解，得（y ﹣3）（y +4）＝0，解得：y 1＝3，y 2＝﹣4，当y ＝3时，x 2＝3，解得：x =当y ＝﹣4时，x 2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是1x 2x =【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(有答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12 2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或203．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ） A ．()215x -= B ．()217x -= C ．()214x -= D ．()215x +=4．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2 5．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根 6．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=xD ．2(31)1x -=7．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．以上说法都不正确8．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．212x x x -=B ．2(2)x x x -=C ．23(2)x x =+D ．20ax bx c ++=9．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1 B ．m ＝1 C ．m ≥1D ．m ≠0 10．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 11．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 12．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2 二、填空题13．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根，则a =_______． 14．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．15．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________． 16．某农场的粮食产量在两年内从增加3000t 到3630,t 则平均每年增产的百分率是______________．17．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．18．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．19．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______ 20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．参考答案三、解答题21．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 22．水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）设这种水果每斤的售价降低x 元（02x ≤≤），每天的销售量为y 斤，求y 与x 的关系式；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 23．先化简，再求值：（1﹣1a ）21a a -，其中a 满足方程a 2﹣a ﹣2＝0． 24．用适当的方法解一元二次方程：（1）()229x -=；（2）2230x x +-=．25．用配方法解方程：22450x x +-=．26．手工课上，小明打算用一张周长为40cm 的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm 的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．B解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．A解析：A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣4＝0，∴x 2﹣2x ＝4，∴x 2﹣2x +1＝4+1，∴（x ﹣1）2＝5．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4．B解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．5．A解析：A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，∴()()21410c -+⨯-+=， 解得：3c =，∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，故原方程中5c =，则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．6．C解析：C【分析】先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=． 【详解】移项得：2362x x -=-，二次系数化为1得：2223x x -=-， 方程两边加上1得：222113x x -+=-+， 所以()2113x -=． 故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．C解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论．【详解】解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0，∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根．故选： C【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．【详解】A 、方程212x x x -=中的1x不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B 、方程2(2)x x x -=可整理为20x -=，是一元一次方程，此项不符题意；C 、方程23(2)x x =+满足一元二次方程的定义，此项符合题意；D 、当0a =时，方程20ax bx c ++=不是一元二次方程，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．9．A解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．10．D解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．11．B解析：B【分析】求出根的判别式，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵△＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．B解析：B【分析】设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x1，根据题意得：2+x1=3，∴x1=1．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和与系数的关系是解题的关键．二、填空题13．0【分析】由于定义一种运算*为：m*n=mn+n所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关解析：0【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=14-变为（a+1）x2+（a+1）x+14=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．【详解】解：由x*（a*x）=14-得（a+1）x2+（a+1）x+14=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2-（a+1）=0，解得，a=0，或a=-1（舍去）．故答案为：0．【点睛】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x 的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．14．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．15．1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0再解关于a 的方程然后利用一元二次方程的定义确定a 的值【详解】解：把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2解析：1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入（a+1）x 2+2x+a 2-1=0，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把x=0代入（a+1）x 2+2x+a 2-1=0得a 2-1=0，解得a=1或a=-1，而a+1≠0，所以a 的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16．【分析】此题是平均增长率问题一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）参照本题如果设平均每年增产的百分率为x 根据粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨即可得出方程求解【详解】解：设平均每年增解析：10%【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程求解．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x ；第一年粮食的产量为：3000（1+x ）；第二年粮食的产量为：3000（1+x ）（1+x ）=3000（1+x ）2；依题意，可列方程：3000（1+x ）2=3630；解得：x=-2.1（舍去）或x=0.1=10%故答案为：10%．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 17．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程 解析：25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．10【分析】设共有x 个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x 个队参加比赛根据题意得：2×x （x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x 个队参加比赛，根据题意得：2×12x （x-1）=90， 整理得：x 2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．19．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键解析：230x x -=【分析】根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．【详解】解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，即：230x x -=．故答案是：230x x -=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题21．每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．（1）300150y x =+；（2）只需将每斤的售价降低1元．【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．【详解】（1）当02x ≤≤时，150303001500.1x y x =+⨯=+ （2）由题意得：()()64300150450x x --+=解得：112x =，21x =当12x =时，13001503003602y =⨯+=<（舍去） 当1x =时，3001150450360y =⨯+=> ∴只需将每斤的售价降低1元．【点睛】本题考查了理解解题的能力，销售量×每斤利润=总利润，掌握利润公式是解题的关键．23．11a +，13． 【分析】 先根据分式的基本性质化简，再求解关于a 的一元二次方程，代入求解即可；【详解】 解：原式＝()()11111a a a a a a -=++-， 解方程a 2﹣a ﹣2＝0得，a 1＝2，a 2＝﹣1，当a ＝2时，原式＝11=2+13， 当a ＝﹣1时，分式无意义， 则分式的值为13． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，与一元二次方程的求解，准确分析计算是解题的关键． 24．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =-，21x =【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）∵()229x -=，∴23x -=±，∴23x -=或23x -=-，∴15=x ，21x =-．（2）∴ 1a =，2b =，3c =-，则()22413160=-⨯⨯-=>△，∴x = 即13x =-，21x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程．通过开平方运算解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．公式法解一元二次方程的一般步骤，把方程化为一般形式确定各系数的值利用2b a- 求解．25．121122x x =-+=-- 【分析】 利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得．【详解】22450x x +-=，2245x x +=，2522x x +=， 252112x x ++=+， ()2712x +=，12x +=±，1x =-±，即121,122x x =-+=--． 【点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．26．不能办到，见解析【分析】设中间部分的面积为：S 求出S 与x 的关系式，即关于中间部分的面积公式，并求出该二次函数的最大值，即中间部分的最大值，与花边部分的面积相比较，若大于则能做到，小于则做不到．【详解】答：不能办到．理由：设纸的一边长为cm x则另一边为(20)cm x -．依题意得：彩色花边面积为：2222(204)64x x ⨯⨯+⨯⨯--=中间白色部分面积为：22(4)(16)2064(10)36S x x x x x =--=-+-=--+ 416x <<,当10x =时，白色部分面积最大为36．3664，∴小明不能办到．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，即：花边部分的面积=总面积-中间部分的面积；已知花边部分的面积，而中间部分的面积又不定，只需求出中间部分面积的最值与其比较即可．。
人教版九年级上册数学 《 一元二次方程的解法 公式法 因式分解法》(含答案)
一元二次方程的解法 公式法 因式分解法一、选择题1. 方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )．A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若最新x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )． A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )．A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．12．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．三、解答题13. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0， ∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x+=+=． 8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到最新x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-． 9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-； (3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．∴ 14a =． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．12.【答案】24或8．【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0，∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0，解得：x 1=6，x 2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高，∴BD=4，AD==2，∴S △ABC =BC•AD=×8×2=8； 当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，S △ABC =BC•A C=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞ ∴2224412a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞， ∴ 222224()2B B AC a b a b x ab-±-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a+--===， ∴ 1a x b =，2b x a=． 14.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ 42x ±=± ∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32 ；32； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- . ；；b a - ；c a. (3)1232x x +=-，1212x x =-． ①1212123112312x x x x x x -++===-． ②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．1、最困难的事就是认识自己。
(完整版)初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案
初中数学用因式分解法解一元二次方程一.选择题（共7小题）1.（2013秋？广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x （x- 1） -2 （1-x） =0,正确的步骤是（）A .（x+1 ）（x+2） =0 B. （x+1 ）（x-2） =0C. （x-1）（x- 2）=0D. （x-1）（x+2）=02.（2012春？萧山区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0的最佳解法是（）A.因式分解法B.开平方法C.配方法D.公式法3,解一元二次方程（y+2） 2-2 （y+2） - 3=0时，最简单的方法是（）A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方A. 0B. 25.（2014?平顶山二模）一元二次方程一A . 3 B. - 36.（2011春？招远市期中）一元二次方程A. c4B. cv0 W x2 - 2x=0 的解是（）C. 0, - 2D. 0, 2x2=3x的解是（）C. 3, 0 D, - 3, 0x2+c=0实数解的条件是（）C. c> 0D. c用7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A . - 1 B. 1 C. 0 D. 土二.填空题（共3小题）8.（2012秋？开县校级月考）一元二次方程3x2 -4x-2=0的解是.9.（2012?铜仁地区）一元二次方程x2-2x-3=0的解是.10.（2014秋？禹州市期中）一元二次方程（4-2x） 2—36=0的解是三.解答题（共10小题）11.（2006秋?阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程:（1）2x2- 4x+1=0 （配方法）；（2）3x （x-1） =2-2x （因式分解法）；（3）x2-x-3=0 （公式法）.12.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程.11) x2+x - k2x=0(2) x2-2mx+m 2-n2=0 .13. (2008?温州)(1)计算:曲-(b-1)(2)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②(x-1) 2=3；③ x2— 3x=0;④ x2-2x=4.14.用因式分解法解下列一元二次方程:(1)5x2=\/2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0(3)(x-2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=A (x- 1) 2.4 g15.因式分解法解方程：3x2-12x=-12.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.18. （2013秋？黄陂区校级月考）用因式分解法解方程： 3 （x-5）2=2 （5-x）19. （2013秋？富顺县校级期中）用因式分解法解方程（x+3）2=5 （x+3）(3t-1 ) 2t C21-3) 20.因式分解法解一元二次方程. +1 —初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题(共7 小题)1．(2013秋？广州校级期中)用因式分解法解一元二次方程x (x- 1) -2 (1-x) =0,正确的步骤是( )A. (x+1 ) (x+2) =0B. (x+1 ) (x-2) =0C. (x-1)(x- 2)=0D. (x-1)(x+2)=0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：将方程左边第二项提取-1变形后，提取公因式化为积的形式，即可得到结果.解答：解：方程x (x — 1) — 2 (1 — x) =0,变形得：x (x-1) +2 (x- 1) =0,分解因式得：(x- 1) (x+2) =0, 故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键.2．( 2012 春？萧山区校级期中)解一元二次方程2x2+5x=0 的最佳解法是( )A．因式分解法B．开平方法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程左边缺少常数项，右边为0,左边可以提公因式x,运用因式分解法解方程.解答：解：方程2x2+5x=0左边可提公因式x,分解为两个一次因式的积，而右边为0,运用因式分解法．故选A．点评：本题考查了解一元二次方程的解法的运用．解方程时，要根据方程左右两边的特点，合理地选择解法，可使运算简便．3,解一元二次方程(y+2) 2-2 (y+2) - 3=0时，最简单的方法是( )A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：此题考查了数学思想中白^整体思想，把( y+2)看做一个整体，设(y+2)为x,则原方程可变为x2-2x-3=0 ,可以发现采用因式分解法最简单.解答：解：设( y+2) =x原方程可变为x2 - 2x - 3=0,(x - 3) (x+1 ) =0 采用因式分解法最简单.故选B点评：此题考查了数学思想中的整体思想，也就是换元思想，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件．4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方程x2-2x=0的解是（）A . 0 B. 2 C. 0, - 2 D. 0, 2考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：先提公因式x,然后根据两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0 .”进行求解. 解答：解：原方程化为：x（X-2） =0,解得x i=0, x2=2.故选D.点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．5.（2014?平顶山二模）一元二次方程- x2=3x的解是（）A. 3B. -3C. 3, 0 D, - 3, 0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程变形得：x2+3x=0,即x （x+3） =0,解得：x=0或x= - 3,故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6.（2011 春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0 实数解的条件是（）A. c 码B. cv 0C. c> 0D. c 不考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到 c 的范围．解答：解：: 一元二次方程x2+c=0有实数解，2△ =b - 4ac= - 4c刃，解得：c旬.故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A.TB. 1C. 0D. 土考点：一元二次方程的解．分析：由方程的解的定义，将 x=- 1代入方程，即可求得 a 的值解答：解：- 1是关于x 的方程：x 2-ax=0的一个解，，1+a=0,解得a= - 1,故选A.点评：本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题. 二.填空题（共3小题）8. （2012秋？开县校级月考）一元二次方程考点：解一元二次方程-公式法.分析：利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案. 解答：解：--- a=3, b=—4, c= - 2,△ =b 2-4ac=（- 4） 2-4X3X （ -2） =40,.|4±y40j2±Vi0x=2a2X3 3故答案为：士屈. 3点评：此题考查了公式法解一元二次方程的知识.此题难度不大，注意熟记公式是关键.9. （ 2012?铜仁地区）一元二次方程 x2-2x - 3=0的解是 x 』=3. xg= - 1考点：解一元二次方程-因式分解法. 专题：计算题；压轴题.分析：根据方程的解x 1x 2=-3,x 1+x 2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据 两 式相乘值为0,这两式中至少有一式值为 0”来解题.解答：解：原方程可化为：（x-3） （x+1） =0,x — 3=0 或 x+1=0 , x 1=3, x 2= — 1 .点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因 式分解法.10. （2014秋？禹州市期中）一元二次方程（ 4-2x ） 2 — 36=0的解是 x j = — 1 ： x 2=5 .考点：解一元二次方程-直接开平方法.分析：先移项，写成（x+a ） 2=b 的形式，然后利用数的开方解答. 解答：解：移项得，（4- 2x ） 2=36,开方得，4 - 2x= =6, 解得 x 1= - 1, x 2=5. 故答案为x 1= - 1, x 2=5.点评：本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x 2=a （a 涮）；ax 2=b （a, b 同号且a^0）; （x+a ） 2=b （b 用）；a （x+b ） 2=c （a, c 同号且a 加）.法则：要把方程化为 左3x2 - 4x- 2=0 的解是 2 土 力°一3平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体.(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.三.解答题(共10小题)11. (2006秋?阜宁县校级月考)用指定的方法解下列一元二次方程：(1) 2x 2-4x+1=0 (配方法)；(2) 3x (x-1) =2-2x (因式分解法)；(3) x 2-x-3=0 (公式法).考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法. 专题：计算题.分析：(1)用配方法，用配方法解方程，首先二次项系数化为1,移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方 式，右边是常数，直接开方即可求解；(2)用因式分解法，用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x-1,即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；(3)利用公式法即可求解.解答：解：(1) 2x2 - 4x+1=0x2- 2x+—=0 2 (x T) 2=_!.…也■ - x1=1+——, x2=1 ---；2 2(2) 3x ( x T ) =2 - 2x 3x (x - 1) +2 (x- 1) =0 (x- 1) (3x+2) =0-2• - x 1=1 , x 2=—;J 本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法, 要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任 何一元二次方程.12.用因式分解法解下列关于 x 的一元二次方程.(1) x 2+x - k 2x=0(2) x 2-2mx+m 2-n 2=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.x=(3) x 2-x- 3=01 ±、氐 x 1 = 2----- ，x2= --- --2 2 点评:分析：两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.解答：解：（1）分解因式得：x （x+1 - k2） =0,解得：X1=0, x2=k2_ 1;（2）分解因式得：（x-m+n）（x-m-n） =0,解得：x i=m-n, x2=m+n .点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.13. （2008?温州）（1）计算:展-（例-1）口+|-1|；（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②（x-1）2=3；③ x2— 3x=0 ;④ x2-2x=4.考点：实数的运算；解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.分析：（1）本题涉及零指数哥还有绝对值，解答时要注意它们的性质.（2）①x2- 3x+1=0采用公式法；②（x-1） 2=3采用直接开平方法；③x2- 3x=0采用因式分解法；④x2- 2x=4采用配方法.解答：解：（1）场-［炳-1）（2）① x2- 3x+1=0 ,刎/日抖而Vs解得町二丁厂，¥.2二一^；②（xT） 2=3,x - 1=V^或x -1= - Vs解得x1 = 1 + \!, 3,x2=1 h/s③ x2-3x=0,x （x - 3） =0解得x1=0, x2=3;④ x2-2x=4,即x2 - 2x - 4=02- 2x=4x即x2- 2x+1=5（x T） 2=5解得x1=l-V^0二计听.点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键熟记零指数哥和绝对值的运 算.解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.14.用因式分解法解下列一元二次方程: (1) 5x 2=V2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0 (3) (x- 2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=1 (x- 1) 2.4 9考点：解一元二次方程-因式分解法. 分析：(1)移项后提公因式即可；(1) 移项后因式分解即可； (2) 移项后因式分解即可； (3) 直接开平方即可解答.解答：解：(1) 5x 2=/2x ,移项得 5x 2 - J^x=0 ,提公因式得x (5x-=0, 解得 x 1=0 x 2=Y2.5(4) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0,提公因式得，(2x+3) [4- (2x+3) ]=0, 解得，2x+3=0 , 1 - 2x=0 ,(5) (x — 2) 2= (2x+3) 2,移项得，(x-2) 2- ( 2x+3) 2=0,因式分解得，(x- 2 - 2x - 3) (x-2+2x+3) =0 , 则—x — 5=0, 3x+1=0 , 解得，x 1= - 5, x 2=- ';(6) — (x+1) 2」(x- 1) 2,4 9直接开平方得 J (x+1) =W(x-1), £ J解得x 1= - 5,点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.15.因式分解法解方程： 3x 2-12x=-12.则［(x+1) 2=4 (xT),(x+1)考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：先移项，再两边都除以3,分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 解答：解：3x2- 12x= -12,移项得：3x2- 12x+12=0 ,2- 4x+4=0 ,x(x-2) (x-2) =0,x-2=0, x-2=0, x i=x2=2.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程，题目比较好，难度适中.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：x2 - 9x+18=0 ,(x - 3) (x - 6) =0,x — 3=0 , x — 6=0, x1=3, x2=6.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程.17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：分解因式得：(3x-2) (4x+3) =0,3x - 2=0, 4x+3=0 ,点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元次方程.18.(2013秋？黄陂区校级月考)用因式分解法解方程： 3 (x-5) 2=2 (5-x)考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：因式分解.分析：先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.解答：解：移项，得3 (x-5) 2+2 (x-5) =0,(x-5) (3x-13) =0,•• x - 5=0 或3x - 13=0 ,所以x1=5, x2=-^y.第11页(共11页)点评：本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力.要熟练掌握因式分解的方法. 19. (2013秋？富顺县校级期中)用因式分解法解方程(x+3) 2=5 (x+3)考点：实数范围内分解因式.分析：利用因式分解法进行解方程得出即可.解答：解：(x+3) 2-5 (x+3) =0, (x+3) [ (x+3) — 5]=0,(x+3) =0 或(x+3) - 5=0,解得：x i = - 3, x 2=2.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解 两个一元一次方程即可."解:「『—况”、t (2L3) 5 52 .(t+3)2 (3fl ) 2 2?-3t-2 .. ------- = , 5 5 2(t+3- (t+3+3t-l) (2t+lJ (t-2)-4 (t-2) C2t11)(2t+D (t-2? - 8 (t-2) (2t+1) =5 (t —2) (2t+1), 13 (t —2) (2t+1) =0,. . t — 2=0 或 2t+1=0,t 1=2 , t 2=一点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式的应用，此题难度不大. 20.因式分解法解一元二次方程.32+1—(孕-1)二9” 5 52。
人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%2．x = ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=3．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根 4．方程()55x x x +=+的根为（ ）A ．15=x ，25x =-B ．11x =，25x =-C ．0x =D ．125x x ==- 5．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y += B ．21()12y -= C ．211()22y += D ．213()24y -= 6．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9 7．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2- 8．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12- 9．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0 10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．290x +=B ．24410x x -+=C ．210x x ++=D ．210x x +-= 11．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-202012．若()()2222230xy x y ++--=，则22x y +的值是（ ） A ．3 B ．-1 C ．3或1 D ．3或-1 二、填空题13．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______14．已知a 为方程210x x -+=的一个根，则代数式2233a a -+的值为_____15．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______．16．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场17．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．18．若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______．19．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．参考答案三、解答题21．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．22．解方程：（1）()2316x -=（2）22410x x --=（用公式法解）23．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2420万元（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2022年需投入教育经费2900万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2022年该地区投入的教育经费是否能达到2900万元?请说明理由．24．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价．（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降()0m m >元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m 为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．25．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0．（1）若方程有实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，如果k 是满足条件的最大的整数，且方程x 2-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程(m-1)x 2-3mx-7=0的一个根，求m 的值．26．阅读下列材料，解答问题．222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+， 原方程可化为222()m n m n +=+，0mn ，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A 、22730x x ++=的解为x =B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为x =D 、22730x x -+=的解为x =故选：C ．【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 3．D解析：D【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而()()2(2)4c a b a b =-++，根据三角形的三边关系即可判断．【详解】∵a ，b ，c 分别是三角形的三边，∴a+b ＞c ．∴c+a+b ＞0，c-a-b ＜0，∴()()2(2)4c a b a b =-++2244()c a b =-+()()40c a b c a b =++--<，∴方程没有实数根．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对2244()c a b -+进行因式分解．4．B解析：B【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】()55x x x +=+，()()550+-+=x x x ，()()510x x +-=，11x =，25x =-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．【详解】解：∵2304y y +-=， ∴y 2+y=34， 则y 2+y+14=34+14， 即（y+12）2=1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6．D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．7．D解析：D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=，前式减后式，可得0b =，前式加后式，可得4c a =-，将a 、c 代入原方程计算求出方程的根．【详解】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②， ①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得， ∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a =∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．8．D解析：D【分析】直接利用根与系数的关系解答．【详解】解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1•x 2＝12-＝﹣12． 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 9．A解析：A【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．10．D解析：D【分析】分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况.【详解】A 选项：2049360∆=-⨯=-<，∴该方程没有实数根，故A 错误；B 选项：()244410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根，故B 错误； C 选项：2141130∆=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，故C 错误；D 选项：()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确； 故选：D.【点睛】此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.11．A解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．12．A解析：A【分析】用22a x y =+，解出关于a 的方程，取正值即为22x y +的值是．【详解】解：令22a x y =+，则(2)30a a --=，即2230a a --=，即(3)(1)0a a ，解得13a =，21a =-，又因为220a x y =+>，所以3a =故22x y +的值是3，故选：A ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意220a x y =+>． 二、填空题13．1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的 解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．14．【分析】把代入已知方程求得然后将其整体代入所求的代数式求值【详解】由题意得：则所以故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义解题时注意整体代入数学思想的应用解析：5【分析】把x a =代入已知方程，求得21a a =-，然后将其整体代入所求的代数式求值．【详解】由题意，得：210a a -+=，则21a a =-，所以，()2233231323335a a a a a a -+=--+=-++=． 故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 15．-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解：∵函数为正比例函数∴且解得：；故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程 解析：-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解．【详解】解：∵函数2y mx m m =++为正比例函数，∴20m m +=，且0m ≠，解得：1m =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键．16．11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=， ∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 18．或【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次把x=1代入方程计算即可求出a 的值【详解】解：若方程为一元一次方程此时此时解得当时方程的解是满足条件当时方程的解是不满足题意；若方程为一元二次方程此时此时此 解析：1或2-【分析】分类讨论方程为一元一次和一元二次，把x =1代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：若方程为一元一次方程，此时210a -=，此时解得±1a =，当1a =时，方程的解是1x =满足条件，当1a =-时，方程的解是1x =-不满足题意；若方程为一元二次方程，此时210a -≠，此时±a ≠1，此时将1x =代入方程可得2110a a -+-=解得122,1()a a =-=舍综上所述，a =1或-2故答案为：1或2-【点睛】本题主要考查方程的相关定义，分类讨论是解题的关键．19．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析：12- 【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．【详解】解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2，-(2x+1)2≤0，∴当x=-12时，4x 2-4x+1有最大值是2． 故答案为：-12． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．20．【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键解析：230x x -=【分析】根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．【详解】解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，即：230x x -=．故答案是：230x x -=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．22．（1）11x =21x =-2）11x =+，21x =． 【分析】（1）两边除以3后再开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可；（2）求出24b ac -的值，代入公式求出即可．【详解】解：（1）()2316x -=方程两边除以3，得：()212x -=，两边开平方，得：1x -=则：11x =+21x =（2）22410x x --=∵2a =，4b =-，1c =-，∴()()224442124b ac -=--⨯⨯-=∴x ==，∴112x =+，212x =-； 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关的解法是解题的关键．23．（1）10%；（2）可以，理由见解析【分析】（1）设年平均增长率是x ，列式()2200012420x +=，求出结果；（2）利用（1）中算出的增长率算出2022年的教育经费，看是否超过2900万元．【详解】解：（1）设年平均增长率是x ， ()2200012420x +=1 1.1x +=±10.1x =，2 2.1x =-（舍去），答：年平均增长率是10%；（2）2022年的教育经费是()2242010.12928.2⨯+=（万元）， 2928.22900>，答：教育经费可以达到2900万元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．24．（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40．【分析】（1）设甲款积木的进价为每盒x 元，乙款积木的进价为每盒y 元，列出二元一次方程组计算即可；（2）根据题意得出()()8040224405760m m -++⨯=，计算即可；【详解】（1）设甲款积木的进价为每盒x 元，乙款积木的进价为每盒y 元，则()()72048021.51202640x y x y +=⎧⎨++-=⎩， 解得：400320x y =⎧⎨=⎩． 答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元．（2）由题可得：()()8040224405760m m -++⨯=，解得120m =，240m =，因为顾客能获取更多的优惠，所以40m =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，结合二元一次方程组求解计算是解题的关键． 25．（1）k≤1；（2）2【分析】（1）结合题意，根据判别式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，可得k 的值，从而计算得方程x 2-2x+k=0的根，并代入到()21370m x mx ---=，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案．【详解】（1）由题意知：44k ∆=-且0∆≥即：4-4k≥0∴k≤1（2）k≤1时，k 取最大整数1当k=1时，221x x -+的解为：121x x ==根据题意，1x =是方程()21370m x mx ---=的一个根 ∴()()()2113170m m -⨯--⨯--= ∴m=2．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元一次方程的性质，从而完成求解．26．x 1=54，x 2=23【分析】 设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，代入后求出mn ＝0，即可得出（4x -5）（3x -2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，∴4x -5＝0，3x -2＝0，∴x 1=54，x 2=23． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x -5）（3x -2）＝0是解此题的关键．。
人教版数学九年级上学期课时练习-解一元二次方程100题(基础篇)(人教版)
专题21.25 解一元二次方程100题（基础篇）（专项练习）1．解下列方程．(1)x 2＋2x ＝0； (2)2x 2－3x －1＝0．2．解下列方程(1)220x x -= (2)2690x x -+=3．解方程： 21142x x x =--+．4．用适当的方法解下列方程：(1)()22242x x x -=- (2)()()124x x -+=5．解方程(1)x 2+4x ﹣2＝0； (2)3（x ﹣2）2＝x （x ﹣2）.6．解方程(1)()242-9x = (2)()32180x -+=7．用适当的方法解方程：(1)()()215140x x ---+= (2)21x +=8．解方程． (1)3x 2﹣1＝4x ； (2)（x ＋4）2＝5（x ＋4）．9．解方程： (1)222(3)9x x -=- (2)22310x x +-=（公式法）10．解方程(1)配方法解方程2x 2﹣12x ﹣12＝0； (2)（x ＋2）（x ＋3）＝111．解下列一元二次方程． (1)2247x x +=(2)()22239x x -=-12．解方程：（1）x 2＋4x ﹣1＝0 （2）x （x －2）＋x －2＝013．解下列方程： （1）x 2+4x +3＝0； （2）3x 2﹣x ﹣1＝0．14．用适当的方法解下列方程 （1）2（x －1）2＝18； （2）x 2－2x ＝2x ＋115．用适当的方法解方程： （1）2430x x -+=； （2）23110x x -=16．用适当的方法解方程： （1）()231250x --= （2）2260x x --=17．解方程： （1）2314x x -=（2）()2(21)321x x +=+18．解方程： （1）2x 2﹣3x ﹣1＝0． （2）x 2﹣7x ＝﹣10．19．解方程：（1）用配方法解方程：2640x x -+=；（2）解方程：2(3)2(3)x x x -=-．20．解方程：（1）解方程：9x 2﹣1＝3． （2）用配方法解方程：x 2﹣10x +22＝0．21．解方程： （1）2430x x --= （2）2450x x -=+22．用适当的方法解下列方程：①2x 2﹣2x ﹣1＝0； ①x （2x ﹣5）＝4x ﹣10；23．解方程： （1）22980x x -+=；（2）()()223423x x +=+．24．用适当的方法解方程 （1）2230x x +-= （2）2250x x -=25．解方程（1）()()22120211x -=-， （2）2450x x --=，（3）()72y 140y y -+-=，（4）22530x x --=26．解方程： （1）x 2+x ﹣1＝0；（2）()()2424x x -=-．27．解方程（1）2560x x ++=．（2）2240x x --=28．解下列方程： （1） x 2 =2x（2）x 2-4x +1=0(用配方法求解)29．解下列方程： （1）（x ＋3）2－9＝0； （2）x 2＋2x －3＝0．30．解下列一元二次方程： （1）2280x x -=；（2）()()21321x x x -=-；（3）()234x +=．31．解一元二次方程 （1）x 2﹣4x ＝0； （2）3x 2﹣x ﹣1＝0．32．解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）2x （x +1）＝x +1．33．解方程： （1）2430x x -+=；（2）()()226280x x ---+=34．解方程（1）()2190x --= （2）2250x x --=35．解方程：（1）2280x x --=（2）()221160x --=（3）()()23530x x x ---=36．用适当的方法解下列一元二次方程 （1）()229x -=（2）()33x x x -+=（3）2314x x -=（4）()()22311-=-x x37．用公式法解下列方程： （1）22410x x --=；（2）2523x x +=；（3）(2)(35)1x x --=；（4）230.252x x +=．38．解方程：（1）27180x x --=； （2）2414x x +=．39．解方程： （1）x 2﹣5x +4＝0；（2）x 2+x ﹣1＝0．40．解方程：（1）23410x x ++=（公式法） （2）22730x x -+=（配方）（3）()2222x x -=-（4）()29140x --=41．解下列方程： （1）x 2﹣2x ＋1＝25；（2）x 2﹣4x ＋1＝0．42．解方程： （1）（2x ﹣1）2＝9． （2）x 2﹣4x ﹣12＝0．43．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：（1）2210x x ++=； （2）230x -=；（3）22237x x x +=+； （4）25564x x -=-．44．解下列方程： （1）x 2+4x ﹣1＝0； （2）(x ﹣1)(x +3)＝5(x ﹣1)．45．解下列方程： （1）2289x x x -=-； （2）24490x x ++=．46．用直接开平方法解下列方程． （1）2160x -=；（2）2(2)9x -=．47．解方程：（1）22310x x --=，（2）34x 2﹣2x ﹣12＝048．用适当的方法解下列方程． （1）x 2+4x ＝2； （2）2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ）．49．解方程：（1）x （x －3）－5（3－x ）＝0（2）()()222230x x +-+-=50．解下列一元二次方程： （1）（2x +1）2+4（2x +1）+4＝0；（2）(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．51．解方程：（1）22(2)180x +-=（2）22530x x --=52．解方程： （1）x 2﹣2x ﹣5＝0；（2）（x +1）﹣2（x 2﹣1）＝0．53．解下列一元二次方程： （1）3x （x ﹣1）＝2﹣2x ； （2）2x 2﹣x ﹣1＝0（配方法）．54．解方程： （1）()2219x +=； （2）210240x x -+=．55．计算：解方程：（1）2(1)4x x +=；（2）2(4)5(4)x x +=+；56．解方程：（1）2412x x -=（2）2310x x -+=57．解方程（1）22-0x x =（2）x 2―6x +4＝058．解方程： （1）2820x -=；（2）()22x x x -=-．59．解方程：（1）228100x x --=（2）()()22213x x -=+60．解方程：（1）210250x x ++=，（2）2410x x -+=．61．解方程： （1）230x x -=（2）2410x x --=62．解下列一元二次方程： （1）2(1)4x -=（2）(5)x x x +=63．解方程： （1）2660x x --=（2）22(3)(3)x x x =++64．解方程： （1）256x x -=（2）()()2333x x x -=-65．解方程： （1）24120x x +-=．（2）()()2454x x +=+．66．解方程： （1）24x 9=； （2）2x -x-20=．67．解方程 (1)2610x x --=(2)()()22213x x -=-68．用适当的方法解下列方程： (1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．69．按要求完成下列各小题， (1)解方程：2(3)(21)(3)x x x -=--(2)解方程：2320x x -+=70．解方程： (1)x 2－2x －3＝0 (2)（x ﹣3）2＝2x ﹣671．解方程： (1)x 2－x －2＝0； (2)3x (x －2)＝2－x ．72．解下列方程： (1)()()2121x x -=-；(2)()2322x x +=+．73．选择适当方法解下列方程： (1)220x x +=； (2)232x x +=．74．解下列方程：(1)2410x x -+=（配方法） (2)24630x x --=（运用公式法）(3)()()223523x x -=-（分解因式法）75．解一元二次方程： (1)()()31231x x x +=+ (2)23410x x --=76．解方程： (1)245x x -=(2)()()2312x x --=77．解下列方程 (1)22410x x -+=(2)()()21210x x x ---=．78．用合适的方法解下列方程 (1)2510x x -+=(2)()()22550x x x -+-=79．用适当的方法解下列方程： (1)2-430x x(2)()3-2-2x x x =80．用适当方法解下列方程： (1)3x 2﹣2x ﹣1＝0；(2)x （x +2）＝2x +4．81．请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)2x 2﹣x ﹣3＝0；(2)（x +2）2＝3（x +2）．82．解方程： (1)22x x =(2)2450x x -=+83．解下列方程： (1)28x x =(2)3(1)22x x x -=-84．解方程： (1)x 2－2x －3＝0(2)2x 2＋1＝3x85．解方程： (1)260x x -=；(2)24120x x --=．86．解方程： (1)24250x -=(2)2240x x --=87．解方程：（1）解方程：2420x x--=；（2）解方程：53 212x x=+-．88．解方程：(1)2420x x++=（配方法）(2)2551x x x+=--（公式法）89．解方程．(1)()222180x--=；(2)24810x x-+=．90．解方程，(1)2x2＋2x－1＝0(2)5（x＋3）2＝x2－991．用适当的方法解一元二次方程．(1)x（x－3）＝－（x－3）(2)x2＋4x－3＝092．解方程：(1)x（x-2）＋x-2＝0(2)x2﹣8x＋6＝0（配方法）93．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法，请你任意挑选择两个方程，并选择你认为适当的方法解方程．①210x x +-=；①2(1)2x -=；①2(1)(1)0x x +++=； ①222x x -=.94．用适当的方法解下列方程：(1)214x （）-=；(2)2340x x --=．95．解方程： (1)230x x +=；(2)212(1)x x -=+．96．解下列方程： (1)22350x x --=；(2)(32)23x x x -=-．97．解方程：(1)220x x -= (2)2310x x ++=98．用适当的方法解下列一元二次方程 (1)22730x x -+=(2)()2362x x -=-99．解方程： (1)2234x x -=(2)()252156x x -=-100．解方程： (1)241x x -=(2)()2133x x +=+参考答案1．(1)x 1＝－2，x 2＝0．(2)x 1，x 2【分析】（1）采用因式分解法即可求解； （2）直接用公式法即可求解． 解：(1)原方程左边因式分解， 得：(2)0x x +=， 即有：x 1＝－2，x 2＝0； (2)①24942(1)170b ac ⨯⨯>－＝－－＝，①x =①1x =，2x =． 【点拨】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，掌握求根公式是解答本题的关键．2．(1)10x =，22x = (2)123x x ==【分析】 （1）直接利用因式分解法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：x (x −2)=0，x 1=0，x 2=2；(2)解： (x −3)2=0，x 1=x 2=3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各种解法．3．11x =，2=1x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：24(2)x x x =--- ，解得：11x =，2=1x经检验11x =，2=1x①原分式方程的解为11x =，2=1x【点拨】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是不是分式方程的解．4．(1)x 1＝23，x 2＝2(2)：x 1＝﹣3，x 2＝2【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：（1）（x ﹣2）2＝4x ﹣2x 2，（x ﹣2）2+2x （x ﹣2）＝0，（x ﹣2+2x ）（x ﹣2）＝0，x ﹣2+2x ＝0或x ﹣2＝0，解得：x1＝23，x2＝2；(2)解：（x﹣1）（x+2）＝4，整理，得x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．5．(1)x1＝﹣，x2＝﹣2(2)x1＝2，x2＝3【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，然后把方程进行配方得到（x+2）2＝6，再直接开方即可；（2）先移项再提取公因式（x﹣2）得到（x﹣2）（x﹣3）＝0，然后解两个一元一次方程即可．(1)解：①x2+4x﹣2＝0①x2+4x＝2①x2+4x+4＝6①（x+2）2＝6①x+2＝①x1＝﹣x2＝﹣2；(2)解：①3（x﹣2）2＝x（x﹣2）①（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0①（x﹣2）（x﹣3）＝0①x﹣2＝0或x﹣3＝0①x1＝2，x2＝3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；解题的关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．(1)12x=或72x=(2)12x=-【分析】（1）先将二次项系数化为1，再根据平方根的定义即可求解；（2）先将常数项移到等式右边，再根据立方根的定义即可求解．(1)解：()242-9x =，二次项系数化1得：()292-4x =， 开平方得：322x -=±， 解得：12x =或72x =． (2)解：()32180x -+=移项得：()3218x -=-，开立方得：212x -=-， 解得：12x =-．【点拨】本题主要考查了利用平立方根及立方根解方程，解题的关键是熟记开平方及开立方的定义．7．(1)122,5x x == (2)1222x x ==-【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．(1)解：()()215140x x ---+=， ()()14110x x ----=，()()520x x --=，20x -=，50x -=，122,5x x ==．(2)解：21x +=，21x -=-，2515x -+=-+，2(4x =，2x =±，1222x x ==-【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解法和配方法，准确解方程．8．(1)12x x ==x 1=-4，x 2=1 【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；（2）先移项得到（x +4）2-5（x +4）=0，然后利用因式分解法解方程．(1)解： 3x 2-4x -1=0，①a =3，b =-4，c =-1，①Δ=b 2-4ac =（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．①x ==，①12x x = (2)解：（x +4）2=5（x +4），（x +4）2-5（x +4）=0，（x +4）（x +4-5）=0，①x +4=0或x -1=0，①x 1=-4，x 2=1．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．9．(1)13x =，29x =(2)1x =2x = 【分析】（1）先移项，然后利用平方差公式及因式分解法解方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．(1)解：()22239x x -=-，()()()223330x x x --+-=， ()()()32330x x x ⎡⎤---+=⎣⎦，()()390x x --=，∴30x -=或90x -=，∴13x =，29x =；(2)解：22310x x +-=，其中2a =，3b =，1c =-，∴()2243421170b ac =-=-⨯⨯-=>，x =，∴1x =2x =． 【点拨】题目主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法与公式法，熟练掌握解方程的方法是解题关键．10．(1)x 1＝x 2＝3(2)x 1x 2【分析】（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用公式法求解即可．(1)解：∵2x 2﹣12x ﹣12＝0，∴x 2﹣6x ﹣6＝0，∴x 2﹣6x ＝6，∴x 2﹣6x +9＝6+9，即（x ﹣3）2＝15，∴x ﹣3∴x 1＝x 2＝3(2)解：整理成一般式，得：x 2+5x +5＝0，∴a ＝1，b ＝5，c ＝5，∴Δ＝52﹣4×1×5＝5＞0，则x∴x 1x 2 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．11．(1)1x =，2x =(2)13x =，29x =． 【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：2247x x +=化简得，22740x x -+=，274a b c ==-=，，，224(7)424170b ac -=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的实数根，x ==1x =，2x =． (2)解：()22239x x -=-，()223(3)(3)0x x x ---+=， ()(3)90x x --=，3090x x -=-=，，13x =，29x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法和因式分解法解方程．12．（1）x 1＝﹣x 2＝﹣22）x 1＝2，x 2＝－1【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）①x 2＋4x ﹣1＝0，①a ＝1，b ＝4，c ＝﹣1，①①＝16+4＝20，①x 2=-①12x =-22x =-（2）x （x －2）＋x －2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，可得x ﹣2＝0或x +1＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解，掌握解一元二次方程的方法与步骤，准确利用公式法和因式分解法解方程是关键．13．（1）121,3x x =-=-；（2）12x x == 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得；（2）利用公式法解方程即可得．解：（1）2430x x ++=，(1)(3)0x x ++=，10x +=或30x +=，1x =-或3x =-，即121,3x x =-=-；（2）2310x x --=，此方程中的3,1,1a b c ==-=-，则x =x =，12x x == 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．14．（1）4x =或2x =-；（2）2x =2x =【分析】（1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可；（2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可.解：（1）2（x －1）2＝182(1)9x -=所以13x -=或13x -=-，解得：4x =或2x =-；（2）x 2－2x ＝2x ＋12410x x --=2(2)410x ---=2(2)5x -=所以2x -=2x -=解得：2x =2x =【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键.15．（1）11x =，23x =；（2）10x =，2113x =． 【分析】（1）利用十字相乘法解一元二次方程求解即可；（2）利用提公因式法解一元二次方程求解即可．解：（1）2430x x -+= ()()310x x --=30x -=或10x -=，解得：11x =，23x =；（2）23110x x -=()3110x x -=0x =或3110x -=，解得：10x =，2113x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（1）12x =，243x =-；（2）11x =，21x = 【分析】（1）先移项，然后利用开平方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．解：（1）①()231250x --=，①()23125x -=，①315x -=±，①12x =，243x =-； （2）①2260x x --=，①226x x -=，①2217x x -+=即()217x -=，①1x -=①11x =21x =【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．17．（1）1x =2x =（2）112x =-，21x = 【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）2314x x -=23410x x --= 341a b c ==-=-，，224=(4)43(1)28b ac ---⨯⨯-=x ==1x =2x =（2）()2(21)321x x +=+()2(21)3210x x +-+=(21)(213)0x x ++-=210x +=或220x -=112x =-，21x = 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用恰当的方法解一元二次方程．18．（1）x 1，x 22）x 1＝2，x 2＝5 【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）先移项，然后利用因式分解法求解即可．解：（1）①22310x x --=，①a ＝2，b ＝﹣3，c ＝﹣1，①()()2243421170b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，①x ==①x 1x =2x = （2）①x 2﹣7x ＝﹣10，①x 2﹣7x +10＝0，则（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，①x ﹣2＝0或x ﹣5＝0，解得x 1＝2，x 2＝5．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．19．（1）135x ，235x ；（2）13x =，21x =【分析】（1）根据配方法对方程进行配方再解出方程即可．（2）移项后提取公因式，用因式分解法求出两个解即可．解：（1）2640x x -+=，264x x ∴-=-，26949x x ∴-+=-+，即()235x -=， 则35x ，13x ∴=235x ； （2）()()2323x x x -=--，()()23230x x x ∴-+-=，则()()3330x x --=，30x ∴-=或330x -=，解得13x =，21x =．【点拨】本题考查用配方法，因式分解法解一元二次方程，掌握这些解题方法是解决本题的关键．20．（1）1222,33x x ==-；（2）1255x x ==【分析】（1）移项、合并，然后把二次项系数化为1，再开平方即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．解：（1）9x 2﹣1＝3，9x 2＝4，x 2＝49， ①x ＝23， ①x 1＝23，x 2＝﹣23；（2）x 2﹣10x +22＝0，x 2﹣10x ＝﹣22，x 2﹣10x +25＝﹣22+25，即（x ﹣5）2＝3，①x ﹣5＝①x 1＝x 2＝5【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．21．（1）12x =，22x = ；（2）15x =-，21x =．【分析】（1）首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；（2）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可．解：（1）2430x x --=()222434434272x x x x x x -=-+=+-=-=解得：12x =22x =；（2）2450x x -=+()()510x x +-=解得：15x =-，21x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．22．①x 1x 2；①x 1＝52，x 2＝2 【分析】①用公式法解方程即可得出答案；①利用因式分解法解方程即可；解：①①a ＝2，b ＝﹣2，c ＝﹣1，①Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，则x ，即x 1x 2 ①①x （2x ﹣5）＝4x ﹣10，①x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0，①（2x ﹣5）（x ﹣2）＝0，则2x ﹣5＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝52，x 2＝2； 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟悉各方法并合理运用是解题的关键．23．（1）1x =2x =2）132x =-，212x = 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．解：（1）①a =2，b =-9，c =8①224(9)428170b ac ∆=-=--⨯⨯=>①x①1x =2x =（2）移项得：()()2234230x x +-+=左边分解因式得：(23)(21)0x x +-=①230x +=或210x -= ①132x =-，212x = 【点拨】本题考查解一元二次方程，要根据方程的特点选用恰当的方法来解． 24．（１）1231x x ，=-=；（２）120 2.5x x ==，【分析】（1）使用十字相乘法进行因式分解解方程；（2）使用提公因式法进行因式分解解方程；解：（1）2230x x +-=()()310x x +-=①3010x x +=-=；①1231x x ，=-=（2）2250x x -=()250x x -=①0250x x =-=；①120 2.5x x ==，【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，解题的关键是会选择合适的解法解方程．25．（1）x 1=2021，x 2=﹣2019；（2）x 1=﹣1，x 2=5；（3）y 1=﹣2，y 2=7；（4）x 1=﹣12，x 2=3【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；解：（1）直接开平方得：x ﹣1=±2020，①x 1=2021，x 2=﹣2019；（2）原方程化为：（x +1）（x ﹣5）=0，①x +1=0或x ﹣5=0，①x 1=﹣1，x 2=5；（3）原方程化为：（y +2）（y ﹣7）=0，①y +2=0或y ﹣7=0，①y 1=﹣2，y 2=7；（4）原方程化为：（2x +1）（x ﹣3）=0，①2x +1=0或x ﹣3=0，①x 1=﹣12，x 2=3． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．26．（1）1x =，2x =2）14x =，26x =． 【分析】 （1）直接利用公式法解方程得出答案．（2）移项后直接利用分解因式解方程即可；解：（1）210x x +-=，其中：1a =，1b =，1c =-，∴22=4=141-1=5b ac --⨯⨯()，①x =解得：1x ，2x =； （2）()()2424x x -=-(4)2(4)0x x ---=，()()460x x --=则40x -=或60x -=，解得：14x =，26x =．【点拨】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握相关解方程的方法是解题关键．27．（1）122,3x x =-=-（2）1211x x ==【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．解：（1）2560x x ++=．(2)(3)0x x ++=，20,30x x +=+=，122,3x x =-=-（2）2240x x --=．224x x -=，2215x x -+=，2(1)5x -=，1x -=，1211x x ==【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程．28．（1）120,2x x ==；（2）122x x ==【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可．解：（1）x 2=2x ，x 2﹣2x =0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2；（2）x 2-4x +1=0，x 2-4x +4-3=0，（x -2）2=3，x -2=解得：x 1x 2=2【点拨】本题考查了因式分解法和配方法解解一元二次方程．掌握配方法的一般步骤是解答本题的关键．29．（1）x 1＝－6，x 2＝0；（2）x 1＝－3，x 2＝1．【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可；(2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可.(1)解： (x ＋3＋3)(x ＋3－3)＝0．(x ＋6)x ＝0，x ＋6＝0或x ＝0，①x 1＝－6，x 2＝0．(2)解： (x ＋3)(x －1)＝0，x ＋3＝0或x －1＝0，①x 1＝－3，x 2＝1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键.30．（1）10x =，24x =．（2）112x =，23x =．（3）15x =-，21x =- 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程求解即可；（2）首先把等式右边的()321x -移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可；（3）首先把等式右边的4移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 解：（1）因式分解，得()240x x -=．于是有20x =或40x -=，①10x =，24x =．（2）原方程整理，得：(21)3(21)0x x x ---=，(21)(3)0x x --=， 210x -=或30x -=， ①221,32x x ==． （3）原方程整理，得()2340x +-=．因式分解，得()()32320x x +++-=．于是有50x +=或10x +=．①15x =-，21x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．31．（①）x 1＝0，x 2＝4；（①）x 1x 2【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．解：（1）x 2﹣4x ＝0，分解因式得：x （x ﹣4）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝4；（2）3x 2﹣x ﹣1＝0，①a ＝3，b ＝﹣1，c ＝﹣1，①①＝b 2﹣4ac ＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，①x =①x 1x 2 【点拨】本题考查了解一元二次方程，灵活运用简便的方法来求解一元二次方程是解决本题的关键．32．（1）1x ＝5，2x ＝﹣1；（2）1x ＝－1，2x ＝0.5【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）①2x ﹣4x ＝5，①2x ﹣4x ＋4＝5＋4，即2(2)x -＝9，则x ﹣2＝3±，①1x ＝5，2x ＝﹣1；（2）①2x （x ＋1）﹣（x ＋1）＝0，①（x ＋1）（2x ﹣1）＝0，则x ＋1＝0或2x ﹣1＝0，解得1x ＝－1，2x ＝0.5．【点拨】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．33．（1）13x =，21x =；（2）14x =，26x =【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；（2）将2x -看成整体，利用因式分解法求解一元二次方程即可．解：（1）2430x x -+=(3)(1)0x x --=解得：13x =，21x =（2）()()226280x x ---+= ()()22240x x ----=604)()(x x --=解得：14x =，26x =【点拨】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的方法以及整体思想的利用．34．（1）14x =，22x =-，（2）11x =21x =【分析】（1）用直接开方法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．解：（1）()2190x --= ， ()219x -=，13x -=±，13x -=或13x -=-，14x =，22x =-，（2）2250x x --=，1=25a b c =-=-，，，224(2)41(5)24b ac -=--⨯⨯-=，22x ==11x =21x =【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程．35．（1）2x =-或4x =；（2）52x =或32x =-；（3）3x =或52x =- 【分析】（1）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可；（2）根据直接开方法解一元二次方程求解即可；（3）根据提公因式法解一元二次方程求解即可．解：（1）2280x x --= ()()240x x +-=20x ∴+=或40x -=，解得：2x =-或4x =；（2）()221160x --= ()22116x -=，214x ∴-=或214x -=-， 解得52x =或32x =-； （3）()()23530x x x ---=` 解：2(3)5(3)0x x x -+-=，(3)(25)0x x ∴-+=，30x ∴-=或250x +=，解得：3x =或52x =-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．36．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =，21x =-；（3）1x =2x =（4）10x =，212x = 【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；（2）本题将3移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；（3）先将4x 移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；（4）将2(1)x -移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．解：（1）直接开平方得23x -=±，解得15=x ，21x =-；（2）由已知得(3)(3)0x x x -+-=，则(1)(3)0x x +-=，解得11x =-，23x =；（3）由已知得23410x x --=，2(4)43(1)28∆=--⨯⨯-=，①x =解得1x =，2x = （4）由已知得22(31)(1)0x x ---=，利用因式分解法可得2(42)0x x -=，解得10x =，212x =． 【点拨】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择正确的方法解方程是解题的关键．37．（1）1211x x ==（2）12312x x ==-,；（3）12x x ==（4）没有实数根．【分析】先把各方程整理成一般形式()200++=≠ax bx c a ，然后计算24b ac ∆=-，再用求根公式x =计算即可． （1）解：22410x x --=，①241a b c ==-=-，，，① ()()224442124b ac ∆=-=--⨯⨯-=，① x =，即：1211x x == （2）解：23520x x --=，①352a b c ==-=-，，，① ()()2245432=49b ac ∆=-=--⨯⨯-，① 576x ±=， 即：12312x x ==-,； （3）解：2311+90x x -=，①3119a b c ==-=，，，① ()22411439=13b ac ∆=-=--⨯⨯，① x =，①12x x == （4）2250015x x +-=，①21550a b c ==-=，，，① ()2241542501750b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，①此方程没有实数根．【点拨】本题考查求根公式法解一元二次方程，比较基础．38．（1）129,2x x ==-；（2）1212x x ==【分析】找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．（1）解：①1,7,18a b c ==-=-，①224(7)41(18)1210b ac -=--⨯⨯-=>，①7112x ±==， 即129,2x x ==-；（2）解：24410x x -+=，①4,4,1a b c ==-=，①224(4)4410b ac -=--⨯⨯=， ①(4)01242x --±==⨯， 即1212x x ==． 【点拨】此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．39．（1）11x =，24x =；（2）1x ，2x =． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．解：（1）将左边分解因式得：()()140x x --=，①10x -=或40x -=，①11x =，24x =；（2）①1a =，1b =，1c =-，①()224141150b ac ∆=-=-⨯⨯-=>，①x ===，①1x =，2x =． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 40．（1）121,13x x ；（2）12317,44x x =-=（3）1252,2x x ==（4）1215,33x x == 【分析】（1）先计算4,= 再利用求根公式计算即可；（2）把原方程化为：273022x x -+=，再配方可得：272544x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用直接开平方法解方程即可；（3）先移项，再提取公因式：()2,x - 再解方程即可；（4）可移项后把方程化为：()2419x -=，再利用直接开平方法解方程即可． （1）解：由24b ac ∆=-=16-4×3×1=4>0，故原方程有两个不同的解．x =42,6x -±= 121,13x x ∴=-=- （2）解：273022x x -+= 222777302442x x ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 272544x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7542x ∴-=或75,42x -=- 12317,.44x x ∴=-= （3）解：()()22210x x ⎡⎤---=⎣⎦()()2250x x --=20x ∴-=或250,x -=1252,.2x x ∴== （4）解：()2419x -= 所以：213x -=± 1215,.33x x ∴== 【点拨】本题考查一元二次方程的各种解法，熟练掌握每种解法是解本题关键．41．（1）126,4x x ==-；（2）1222x x ==【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；（2）移项后根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；．解：（1）22125x x -+=2(1)25x ∴-=15x ∴-=±126,4x x ∴==-；（2）①x 2﹣4x ＋1＝0①2443x x -+=①()223x -=①2x -=①1222x x ==【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及配方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．42．（1）12x =，21x =-；（2）16x =，22x =-．【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据分解因式法求解．解：（1）①（2x ﹣1）2＝9，①2x ﹣1＝3或2x ﹣1＝﹣3，解得：12x =，21x =-；（2）x 2﹣4x ﹣12＝0原方程可变形为()()620x x -+=，①x －6=0或x +2=0，①16x =，22x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.43．（1）12122,1x x x x +=-=；（2）12123x x x x +==-；（3）121213,55x x x x +=-=-；（4）121251,66x x x x +==． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可．解：（1）①1,2,1a b c ===，且24440b ac -=-=， ①12122,1b c x x x x a a+=-=-==；（2）①1,3a b c ===-，且24212140b ac -=+=>，①12123b c x x x x a a+=-===-； （3）方程化为2530x x +-=，①5,1,3a b c ===-，且24160610b ac -=+=>， ①121213,55b c x x x x a a +=-=-==-； （4）方程化为26510x x -+=，①6,5a b ==-,1c =，且24252410b ac -=-=>，①121251,66b c x x x x a a +=-===． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．44．（1）x 1＝﹣x 2＝﹣22）x 1＝1，x 2＝2．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x 2+4x ﹣1＝0，①a ＝1，b ＝4，c ＝﹣1，①①＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x ＝﹣2即x 1＝﹣x 2＝﹣2（2）(x ﹣1)(x +3)＝5(x ﹣1)，(x ﹣1)(x +3)﹣5(x ﹣1)＝0，(x ﹣1)(x ﹣2)＝0，则x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．45．（1）121,9x x ==；（2）无解【分析】（1）先将原方程整理为一般式，然后运用公式法求解即可；（2）先求出原方程的根的判别式∆<0，即可求解．解：（1）原方程化为 21090x x -+= ，2241049640b ac ∆=-=-⨯=> ，由求根公式得，=x 1082±=， 所以原方程的解为121,9x x == ；（2）22444491280b ac ∆=-=-⨯⨯=-< ，∴原方程无实数根．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程——公式法，理解运用公式法解一元二次方程时要先求出根的判别式以确定根的情况是解题的关键．46．（1）14x =，24x =-；（2）15=x ，21x =-【分析】（1）移项，得216x =，根据平方根的定义，得4x =±．即14x =，24x =-．（2）根据平方根的定义，得23x -=±，即15=x ，21x =-．解：（1）2160x -=①2=16x①4x =±解得14x =，24x =-（2）2(2)9x -=①23x -=±①15=x ，21x =-【点拨】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.47．（1）1x =，2x =；（2）12x x ==． 【分析】（1）先判断0∆>，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（2）先整理方程，判断0∆>，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； 解：（1）22310x x --=，224(3)42(1)170b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，①x =①1x =，2x =； （2）2312042x x --=，则23820x x --=224(8)43(2)6424880b ac ∆=-=--⨯⨯-=+=>，则x ，解得：124433x x ==． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解方程．48．（1）1222x x =-=-2）1273,2x x ==- 【分析】（1）利用配方法求解可得答案；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）①x 2+4x ＝2，①x 2+4x +4＝2+4，即（x +2）2＝6，①x +2＝，①1222x x =-=-（2）①2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ），①2x （x ﹣3）+7（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（2x +7）＝0，①x ﹣3＝0或2x +7＝0， ①1273,2x x ==-． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．49．（1）123,5x x ==-；（2）121,3x x ==-．【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可．解：（1）x （x －3）－5（3－x ）＝0()()3530x x x -+-=()()350x x -+=解得：123,5x x ==-．（2）()()222230x x +-+-= ()()23210x x +-++=()()130x x -+=解得：121,3x x ==-．【点拨】此题考查了因式分解法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法．50．（1）1232x x ==-；（2）11x =，22x =- 【分析】（1）可以用完全平方公式因式分解解一元二次方程；（2）可以用提公因式法解一元二次方程．解：（1）（2x +1）2+4（2x +1）+4＝0，（2x +1+2）2＝0．即2(23)0x +=，①1232x x ==-． （2）移项，得（3x -1）（x -1）-（4x +1）（x -1）＝0，即 -（x -1）（x +2）＝0，所以11x =，22x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练因式分解法解一元二次方程是解题的关键．51．（1）x 1=1，x 2=-5；（2）x 1=12-，x 2=3 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．解：（1）22(2)180x +-=，①22(2)18x +=，①2(2)9x +=，①23x +=或23x ，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）22530x x --=，①a =2，b =-5，c =-3，①①=25-4×2×（-3）=49＞0，①x 解得：x 1=12-，x 2=3． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．52．（1）x 1＝x 2＝2）x 1＝﹣1，x 2＝32． 【分析】（1）利用配方法法解方程；（2）利用因式分解法解方程．解：（1）∵x 2﹣2x ﹣5＝0，。
人教版九年级数学上册用公式法解一元二次方程 练习
初中数学试卷用公式法解一元二次方程 练习1、11222x x x -=--- 2.271326x x x +=++ .；1.（1）2222412144m m m m m m --⋅-+++ ； (2)24911214223x x x x -÷⋅---3因式分解:. a 2-6a+9 3ax 2+6ax+3a 4a 3b-25ab 3x 2+3x+2x 2+2x-15 x 2-3x-28 x 2+21x+804、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ；二次项是 一次项是 ，常数项是 。
5、已知1=x 是方程062=-+x ax 的一个根，则a = .6、x x 42++ =2)2(+x7、下列方程中是一元二次方程是（ ）A 、212x x+= B 、267x += C 、225x y += D 、23520x x -+= 8、用配方法解一元二次方程1442=-x x ，变形正确的是（ ） A.0)21(2=-x B. 21)21(2=-x C.21)1(2=-x D.0)1(2=-x 9、(2x-1)2=7 （直接开平方法） 10、 04722=--x x (用配方法)11、22)43()43(x x -=- 12、0362=-x 13. x 2-2x-8=014．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．BA CQ D P一元二次方程的解法：公式法 242b b a c x a-±-= 根的判别式：24b ac ∆=-1、240b ac -> ⇔ 方程有两个不相等的实数根2、240b ac -= ⇔ 方程有两个相等的实数根3、240b ac -< ⇔ 方程没有实数根1、对于方程23520x x -+=，a = ，b = ，c = ，24b ac -= 此方程的解的情况是 。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典练习卷(含答案解析)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B解析：B【分析】 设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12， 在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=A 解析：A【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．【详解】解：2210x x +-=2212x x ++=∴2(1)2x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．4．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ）A ．()2310x +=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()238x -=A 解析：A【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．【详解】解：∵x 2+6x-1=0，∴x 2+6x=1，∴x 2+6x+9=10，∴(x+3)²=10，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程，0k ∴≠．有两个不相等的实数根，则Δ0>，2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，解得1k >-．1k ∴>-且0k ≠．故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15B解析：B【分析】利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵x 2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x 1=3，x 2=5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．方程(2)2x x x -=-的解是（ ）A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1-D【分析】先移项得到x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，（2﹣x）（x+1）＝0，2﹣x＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．一元二次方程x2=4x的解是（）A．x=4 B．x=0 C．x=0或-4 D．x=0或4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案D解析：D【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：x2=4xx2-4x=0x（x-4）=0x=0或x=4，故选：D.【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020A 解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键． 二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________则方程可化为（_______）2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：两边同时加9，得26x x ++98=-+9，则方程可化为()23x +=1，两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以1x =-2，2x =-4．故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．13．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．14．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．15．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 16．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．3cm 【分析】设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 根据如果要使彩条所占面积是图案面积的19可列方程求解【详解】解：设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 则（30-3x ）（20-2x ）=解析：3cm【分析】设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．【详解】解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30-3x ）（20-2x ）=20×30×（1-19%），解得x 1=1，x 2=19（舍去）．所以3x=3．答：竖彩条的宽度是3cm ．故答案为：3cm【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．17．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答： 解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．解方程：2250x x +-=．解析：1216,16x x =-=-【分析】利用配方法解方程．【详解】2250x x +-=225x x +=2(1)6x +=1x =-±∴1211x x =-=-【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键． 22．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．解析：（1）1x =，2x =2）x 1=1，x 2=-1． 【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72， 配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=，解得：1x =272x -=． （2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 23．解方程：（1）23620x x -+=（2）222(3)9x x -=-解析：（1）13x =，233x =；（2）x=3或x=9． 【分析】（1）根据公式法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵3x 2-6x+2=0，∴a=3，b=-6，c=2，∴△=36-24=12，∴6363x ±±==∴1x =2x = （2）∵2（x-3）2=x 2-9，∴2（x-3）2=（x-3）（x+3），∴（x-3）[（2（x-3）-（x+3）]=0，∴（x-3）（x-9）=0∴x-3=0，x-9=0∴x=3或x=9．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：解析：（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 25．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩解析：（1）123x x ==-； （2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-． （2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．26．解方程：212270x x -+=解析：13x =，29x =．【分析】利用因式分解法解此一元二次方程，即可求解．【详解】解：212270x x -+=分解因式，得(3)(9)0x x --=，则30x -=或90x -=，∴13x =，29x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能结合方程特点选择适当的解法是解题的关键．27．解方程（1）2420x x -+=（2）()255210x x ++= （3）2560x x -+=（4）()3133x x x +=+解析：（1）1222x x ==2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=， 【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案即可；（2）方程整理后，利用利用配方法解方程得出答案即可；（3）利用分解因式法解方程即可；（4）方程整理后，利用提取公因式法分解因式进而解方程即可．【详解】（1）2420x x -+=，移项得：242x x -=-，配方得：24424x x -+=-+，即2(2)2x -=，开方得：2x -=，解得：1222x x ==（2）()255210x x ++=，整理得：2210x x ++=，即2(1)0x +=，∴121x x ==-；（3）2560x x -+=，因式分解得：()()320x x --=，∴30x -=，20x -=，∴1232x x ==，；（4）()3133x x x +=+，整理得：()()110x x x +-+=，因式分解得：()()110x x +-=，∴10x +=，10x -=， ∴1211x x =-=，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6； （2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥，∵13=25，当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
人教版数学九年级上学期课时练习- 解一元二次方程39题(拓展篇)(人教版)
专题21.27 解一元二次方程39题（拓展篇）（专项练习）一、解答题1．解方程：231213x x -=-2．解方程2233937x x x x +-=+-．3．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =，原方程化为260y y --=①，解①得12y =-，23y =．当12y =-时，22x =-无意义，舍去；当23y =时，23x =，解得x =①原方程的解为1x =2x =； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）()222251060x x x x --++=； （2）23152x x ++=．4．解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=．5．用适当方法解下列方程：（1）21329505100x x +=； （2）527x x -=-；（3）1320.50.25()0.75323x x x x ⎧⎫⎡⎤----=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭； （4）若x 为整数，252464x x +⋅-=；6．解关于x 的方程：4322102(11)2(56)20x x a x a x a a ---++++=．7．解方程：(1)43229280x x x x +--+=；(2)12234x x x -+-+-=；(3)22330x y xy y ++-+=．8．先阅读下面的内容，再解决问题例题：若m 2+2mn +2n 2-6n +9=0，求m 和n 的值．解：①m 2+2mn +2n 2-6n +9=0①m 2+2mn +n 2+n 2-6n +9=0①(m +n )2+(n -3)2=0①m+n=0，n-3=0①m=-3，n=3问题（1）若x2+2y2-2xy-4y+4=0，求x y的值（2）已知a，b，c是①ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41，且c是①ABC中最长的边，求c的取值范围．9．阅读下列材料：解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，x2＝1，①x＝±1；当y＝5时，x2＝5，①x＝所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3x4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为；求出x（2）利用换元法解方程：224224x xx x-+-＝2．10．解方程：2232mx x-=+()1m≠11．解方程：22261810 32x xx x-+-+= +-12．解方程：2(1)x+-2（x+1）=313．按要求解方程：（1）直接开平方法：4(t-3)2=9(2t-3)2（2）配方法：2x2-7x-4=0（3）公式法：3x2+5(2x+1)=0（4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)（6）用配方法求最值：6x2-x-1214．（1）解方程组：221104100x yy⎧+-=⎪-+=（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x yx y x y+-=-+⎧⎨-+=++⎩15．已知22,2,2x y x x y y≠-=-=，求5225x y x y-的值16．阅读理解：解方程：30-=x x ．解：方程左边分解因式，得()()110x x x +-=，解得10x =，21x =，31x =-．问题解决：（1）解方程：324120x x x --=．（2）解方程：()()22230x x x x ---=． （3）方程()()222212250x x x x -+---=的解为 ．17．解方程（1）236160x -= （2）()3811x -=（3）()225920x --= （42=-18．若实数a,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=，求19．用适当的方法解方程 2(23)3(23)t t +=+ ．20．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x 2–3|x|+2=0．解：设|x|=y ，则原方程可化为：y 2–3y+2=0．解得：y 1=1，y 2=2．当y=1时，|x|=1，①x=±1；当y=2时，|x|=2，①x=±2．①原方程的解是：x 1=1，x 2=–1，x 3=2，x 4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x 4–10x 2+9=0．(2)解方程：21x x +–221x x +=1． (3)若实数x 满足x 2+21x –3x–3x =2，求x+1x的值．21．解方程：22103703x x x x +++=+.22．解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.23．解方程：22110x x x x+++=24x 的一元二次方程291350244a x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的解．252+=这里a b c ===①224432b ac -=-=．①2x ==．①1222x x ==，．请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．26．观察下列方程：①2227910x x -+=；①2223660x x -+=；①2219450x x -+=；①2215280x x -+=；①2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．27．解方程：（1）224x x -=．（2）2(3)2(3)0x x x -+-=．28．解关于x 的一元二次方程：5(3)(1)(3)x x x x -=+-．29．解方程：(1)x (x ＋8)＝16;(2)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.30x 的方程（a ﹣2）x 2+2x ﹣3=0的解．31．解方程（1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．32．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.33．解方程：（3x+1）2=9x+3．34．如果x2－4x+y2，求（xy）z的值．35．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．36．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.37．用适当的方法解方程(1) ()2136x-=(2) 2870++=x x(3) 25x += (4) ()()22452x x -=-38．解方程：（1）（2）39．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．参考答案1．123,1x x ==【分析】将原方程整理，移项，令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，获得t 的值，代回原方程即可求解．解：231213x x -=-移项，整理得：()234780x x -+-=令)0t t ≥，原式变为23280t t --= 解得12t =，243t =-（舍去）2，即2430x x -+= 解得13x =，21x = 故答案为 13x =，21x =．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 2．12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【分析】将2233937x x x x +-=+-化为223372037x x x x ，设237ax x ，则原方程可化为320aa，解得13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=-，分别求解即可得到结果．解：①2233937x x x x +-=+-，①22339037x x x x ①223372037x x xx设237ax x ，则原方程可化为320aa，化简得：2230a a --= ①310a a①13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=- 解之得：12x =，25x =-，或33332x ，43332x ，经检验，12x =，25x =-，33332x ，43332x 都是原方程得解，则原方程得解为：12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【点拨】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．3．（1）11x =21x =33x =，41x =-；（2）10x =，25x =-． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令22y x x =-，即原方程=2560y y -+=，求解即可．（2y =，即原方程=23250y y ，求解即可． 解：（1）设22y x x =-，得：2560y y -+=， 解得：12y =，23y =．当12y =时，222x x -=，解得：1x = 当23y =时，223x x -=，解得：3x =，1-．①原方程的解为11x =21x =33x =，41x =-．（2y ，则方程可变成23250y y ， ①(35)(1)0y y +-=， 153y =-，21y =．当153y =-53=-，所以无解．当21y =1=， ①250x x +=， ①10x =，25x =-．经检验10x =，25x =-是原方程的解．【点拨】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．4．1234x x x x ====【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得22(514)(54)19x x x x +-++=，然后设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，解得y 的值，最后解得x 的值．解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得（x 2+5x -14）（x 2+5x +4）=19．设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，①则（y -9）（y +9）=19， 即y 2-81=19．解得1210y =±，，将y 1、y 2的值代入①式得， 255=10x x +-或255=10x x +--，解得1234x x x x ====【点拨】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 5．（1）152x =，212x =；（2）12x =，24x =；（3）149114x =-；（4）14x =，22x =【分析】（1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可； （2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可；（3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变为系数为整数的一元一次方程，解方程即可；（4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于2x 的一元二次方程，用换元法解即可． 解：（1）原方程化简得：2229600x x -+=分解因式得：(25)(12)0x x --= 即2x －5=0或x －12=0 ①152x =，212x = （2）由题意得：x －5=±(2x －7) 即x －5=2x －7或x －5=－（2x －7）①12x =，24x =（3）方程两边同乘3，得：3290.50.25()3234x x x x ⎡⎤----=+⎢⎥⎣⎦即3350.50.25()2212x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦方程两边同乘12，得：136()243542x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦即336()243522x x x -+-=+即33()303522x x -=+ 方程两边同乘4，得：69120140x x -=+ 即114x =－149 即：149114x =-（4）原方程可化为：2(2)202640x x -⨯+= 设2x X =，则方程可化为：220640X X -+= 即(X －16)(X －4)=0 ①116X =，24X =当116X =时，42162x ==，14x = 当24X =时，2242x ==，22x =即原方程的解为14x =，22x =【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用． 6．当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【分析】 先把方程变形为224322511022120,a x x ax x x x 再分解因式可得226420,ax xax x 再分两种情况解一元二次方程即可.解：把原方程变形为：224322*********,a x x ax x x x226420,ax xax x解得：26a x x 或242,ax x 当26ax x 时，则260,xx a当=36+40a 时，即9,a方程的解为：1239,39,x a x a当242a x x 时，则2420,xx a当16420a时，即6,a方程的解为：1226,26,x a x a 综上：当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a -≤<时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【点拨】本题考查的是利用因式分解法解高次方程，一元二次方程根的判别式的应用，熟练的进行因式分解是解本题的关键. 7．(1)12341,1,4,2x x x x (2)52x =或12x =(3)12x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可； （2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；（3）先整理为关于y 的一元二次方程，根据根的判别式求解1,x =- 再代入原方程求解y 即可.(1)解：43229280x x x x +--+=432228280,x x x x x 22228+280,x x x x x221280,x x x11420,x x x x解得：12341,1,4,2x x x x(2)解：12234x x x -+-+-=当2x ≥时，原方程为：12234,x x x 即410,x解得：5,2x = 经检验符合题意；当322x ≤<时，原方程为：12234,x x x 即26,x = 解得：3x =，经检验不符合题意舍去， 当312x ≤<时，原方程为：12324,x x x 即424,x 解得：0,x = 经检验不符合题意，舍去，当1x <时，原方程为：12324,x x x 即42,x 解得：12x =，经检验符合题意； 综上：方程的解为52x =或12x = (3)解：22330x y xy y ++-+=整理为：22330,yx y x 222343310,x x x2310,x 则2310,x1,x ∴=-所以原方程化为：2440,y y 解得：2,y =所以方程的解为：12x y =-⎧⎨=⎩ 【点拨】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键. 8．（1）4；（2）5≤c ＜9． 【分析】（1）将原式变形为x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0，得到：（x -y ）2+（y -2）2=0，利用非负数的性质求得x 、y ，从而确定代数式的值；（2）根据a 2+b 2=10a+8b -41，可以求得a 、b 的值，由a ，b ，c 为正整数且是△ABC 的三边长，c 是△ABC 的最长边，可以求得c 的值，本题得以解决． 解：（1）①x 2+2y 2-2xy -4y+4=0，①x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0 ①（x -y ）2+（y -2）2=0 ①x -y=0，y -2=0 ①x=2，y=2 ①x y =22=4（2）①a 2+b 2=10a+8b -41，①a 2-10a+25+b 2-8b+16=0 ①（a -5）2+（b -4）2=0 ①a -5=0，b -4=0 ①a=5，b=4 ，①a ，b ，c 是△ABC 的三边， ①c 的取值为：1＜c ＜9 又①c 是△ABC 中最长的边，且a=5 ①c 的取值为：5≤c ＜9．【点拨】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．9．（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设y=224xx -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ， ①(6)(2)0y y -+=， ①6y =或2y =-， ①26x x -=或22x x -=- 解得：x 1＝-2，x 2＝3．（2）设y ＝224xx -，则2412x x y -=， 原方程变形为：120y y+-=，去分母，得y 2﹣2y +1＝0， 即（y ﹣1）2＝0 解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ①224xx -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，①原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．10．当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.解：移项得：2223mx x -=+，化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-，1x ∴=2x ==∴当1m 时，原方程的解是x =当1m <时，原方程无实数解．【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 11．原方程的解为2x =-或4x = 【分析】令223x y x -=+，将方程转化为260y y +-=，解出2y =或3y =-，再代回223x y x -=+中，即可解答．解：令223x y x -=+，则原方程转化为：610y y -+=，整理得：260y y +-=， 解得：2y =或3y =-，经检验：2y =或3y =-都是方程的根， 当2y =时，即2223x x -=+， 去分母得：222(3)x x -=+，解得：2x =-或4x = 经检验，2x =-或4x =是方程2223x x -=+的根，当3y =-时，2233x x -=-+， 去分母得：223(3)x x -=-+， 整理得： 2370x x ++= ①947190∆=-⨯=-<， ①方程无解，综上，原方程的解为2x =-或4x =．【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为610y y-+=． 12．122,2x x ==- 【分析】先将2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x ．解：①2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0①（x+1-3）(x+1+1)=0 ①x+1-3=0或x+1+1=0 ①122,2x x ==-【点拨】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．13．（1）12315,48t t ==；（2）1214,2x x ==-；（3）12x x ==（4）12135,3x x ==；（5）12,b a x x a b ==；（6）112x =时，有最小值28924-【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）将原式进行配方变形即可得出答案． 解：（1）4(t -3)2=9(2t -3)2开方得：2(3)3(23)t t -=±-，①2(3)3(23)t t -=-或2(3)3(23)t t -=--， ①12315,48t t ==；（2）2x 2-7x -4=0 方程两边同时除以2得： 27202x x --=， 2722x x -=， 222777()2()244x x -+=+，2781()416x -=，7944x -=±，①1214,2x x ==-； （3）3x2+5(2x+1)=0方程整理为一般式为：231050x x ++=，①3,10,5a b c ===，①2241043540b ac -=-⨯⨯=，①x =，①12x x =（4）3(x -5)2=2(5-x)方程变形为：23(5)2(5)0x x -+-=，①[](5)3(5)20x x --+=，①(5)(313)0x x --=， ①12135,3x x ==； （5）abx 2-(a 2+b 2)x+ab=0()()0ax b bx a --=，①0ab ≠，①0,0a b ≠≠， ①12,b a x x a b==； （6）6x 2-x -12222211112896(2)6()()26()612121224x x x x ⎡⎤=--=---=--⎢⎥⎣⎦， ①当112x =时，原式有最小值28924-． 【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题的关键．14．（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.解：（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由①410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入①12100-+=，解得：x 将139y =代入①1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点拨】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.15．36±【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系可得：x+y=1，xy=-2，对代数式进行因式分解变形整体代入即可.解：根据题意得：x+y=1，xy=-2①224189x y x y xy①3-=±x y()()()()()()()()()223322225222223336x y x y xy x y x xy y xy x y x y y x x yy x =-=-++⎡⎤=-+-⎣-⎦=-⨯±⨯=±【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式的求值，能根据根与系数的关系求出x 与y 的和与积，并能根据公式对算式进行分解变形是关键.16．（1）10x =，2x =，3x （2）10x =，21x =，3x =，4x =（3）1x =2x = 【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．解：（1）324120x x x --=，①()241210x x x --=， ①0x =，241210x x --=，解得：10x =，2x =，3x （2）()()22230x x x x ---=，①()()2230x x x x ---=， ①20x x -=，230x x --=，解得：10x =，21x =，3x =，4x = （3）()()222212250x x x x -+---=，整理得：()2224x x -=，开方得：222x x -=±，①2220x x --=，2220x x -+=，解方程2220x x --=得：1x =2x = 方程2220x x -+=中150∆=-<，此方程无解，所以原方程的解为：1x =2x =故答案为1x =2x = 【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．17．()()()()21332211133346x x x x x =±====-或【分析】(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;(2) 把x -1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;(3) 把x -2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解;(4) 根据立方根的定义解答即可;解：（1）①36x 2-16=0，①36x 2=16，①4263x ==±=±; （2）① 38(1)1x -= , ①31(1)8x -=,①112x -==, ①32x = .（3）①2259(2)0x --=, ①225(2)9x -=,①523x -=±, ①552233x x -=-=-或, ①11133x x ==或 .（4）2,2=--=①28x -=- ;①6x =- .【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．18．【分析】把a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，根据根与系数的关系得到8,8a b ab +=-=，得出0,0a b <<，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可.解：①实数a ,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=①a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，①8,8a b ab +=-=①0,0a b <<①====【点拨】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.19．123,02t t =-=． 试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可.解：， ①， ① ，①， ① 123,02t t =-= 20．(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1x=4． 【分析】（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为y 2–3y –4=0，解方程求得y 的值，即可求得x+1x的值． 解：（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，即（a –1）（a –9）=0，解得：a =1或a =9，当a =1时，x 2=1，①x =±1；当a =9时，x 2=9，①x =±3；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0， ①（m +1）（m –2）=0，解得：m =–1或m =2，当m =–1时，21x x +=–1，即x 2+x +1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解； 当m =2时，21x x+=2，即2x 2–x –1=0，解得：x =1或x =–12， 经检验x =1和x =–12都是原分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为：y 2–2–3y =2，即y 2–3y –4=0， ①（y +1）（y –4）=0，解得：y =–1或y =4，即x +1x =–1（方程无解，舍去）或x +1x=4， 故x +1x=4． 【点拨】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．21．1x =-或2-．【分析】利用换元法，根据方程的特点设23x x y +=，则原方程可化为1070y y++=，解方程求y ，再求x 即可.解：设23x x y +=，则原方程可化为1070y y ++= 解得12y =-，或25y =-．当12y =-时，232x x +=-，解得11x =-,22x =-.当25y =-时，235x x +=-，方程无解．经检验11x =-,22x =-都是原方程的根，①原方程的根是11x =-,22x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 22．2x =或1-．【分析】 根据方程的特点用完全平方公式将分式化为2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-=解一元二次方程求y ，再求x 即可. 解：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 2224()522x x x x +=++， 设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-= 解得15y =-，21y =-.当5y =-时，252x x =-+，方程无解，后者解得2x =或1-． 当1y =-时，212x x =+，解得2x =或1-． 经检验：2x =或1-都是原方程的根，①原方程的根是12x =,21x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 23．x ＝－1.【分析】 设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x+的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设1 y x x =+，则222211()22x y x x x+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x+=1，即210x x -+=．由30=-＜知，此方程无实根， 当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=， 解得121x x ==-经检验，x ＝－1是原分式方程的解.原方程的解为x ＝－1. 【点拨】此题考查了换元法方程，关键是利用22211()2x x x x+=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程． 24．52或1.3 【分析】先求出a 的值，再代入求出方程的解即可.解：①①2612a a a -=-，解得3a =或4，当3a =时，2913530244x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，化简得261350x x -+-=，解得52x =或13， 当4a =时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃. 故答案为：52或13. 【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a 的值. 25．见解析.【分析】这位同学没有把方程化为一般式就使用了求根公式，导致c 的值错误，整个解题错误.解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c 应为-6-±【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决此题的关键.26．（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案. （2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.解：（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点拨】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.27．(1) 11x =21x =(2) 13x =，21x =．解：分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可.（1）224x x -=．解：原式可化为2240x x --=，()()2242414200b ac ∆=-=--⋅⋅-=>，①x ==①11x =21x =（2）()()23230x x x -+-=．解：()()3320x x x --+=， ()()3330x x --=，①13x =，21x =．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键.28．13x =，214x =解：由()()()5313x x x x -=+-得，()()()53130x x x x --+-=，因式分解，得()()3510x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，即()()3410x x --=，于是得30x -=或410x -=，解得13x =，214x =．29．(1)x 1＝－4＋，x 2＝－4－(2)x 1＝2，x 2＝4.分析：（1）先把方程化为一般式，然后确定a 、b 、c ，然后利用公式法求解；（2）先把方程化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可.解：(1)x(x ＋8)＝16;x 2+8x -16=0①a=1，b=8，c=-16①①=b 2-4ac=128＞0=-即x 1＝－4＋x 2＝－4－(2)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－74x 2-4x+1=3x 2+2x -7x 2-6x+8=0（x-2）（x-4）=0x-2=0或x-4=0①x1＝2，x2＝4.【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是先化简方程为一般式，然后选择公式法、配方法、因式分解法、直接开平方法求解即可.30．x=1、x=﹣3或x=32．整体分析：由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0中求解.解：①①a2﹣a=4a﹣6，解得：a=2或a=3，当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，解得：x=32，当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，解得；x=1，x=﹣3，①关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=32．31．（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.解：（1）①x2+4x﹣5=0，①（x﹣1）（x+5）=0，则x﹣1=0或x+5=0，解得：x=1或x=﹣5；（2）①（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，①（x+3）（x﹣5）=0，则x+3=0或x﹣5=0，解得：x=﹣3或x=5．32．x1x 2试题解析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.解：(x ＋1)(x －1)＝x 2-x -1=0①a=1，b=-c=-1①①=b 2-4ac=8+4=12＞0①x1x 233．x1=﹣13，x2=23． 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.解：方程整理得：（3x +1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x +1）（3x+1﹣3）=0，可得3x +1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x2=23． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.34．（xy ）z =136. 试题分析：观察分析可知，原式可化为：22(44)(69)0x x y y -++++，即：22(2)(3)0x y -+++，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：()z xy 中计算即可.解：①2246x x y y -++，①22(44)(69)0x x y y -++++，①22(2)(3)0x y -++，①203020x y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ，解得：232x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ①221()[2(3)](6)36z xy --=⨯-=-=. 【点拨】象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.35．原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ①原方程最多有两个实数解，①原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．36．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13. 解：本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0,然后分组提公因式可得: 6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0,此时设 y ＝1x x +, 则221x x+＝y 2－2,原方程可化为: 6(y 2－2)－35y ＋62＝0,解方程求出y ,然后把求出的y 值代入y ＝1x x+,得到关于x 的方程,然后解方程即可求解. 经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0， 即6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0.设y ＝1x x +，则221x x+＝y2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y2＝103. 当1x x +＝52时，解得x1＝2，x2＝12； 当1x x +＝103时，解得x 3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.37．（1）127,5x x ==- ；（2）127,1x x ；（3）12x x ==；（4）123,1x x == =试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.解：（1）()2136x -=x -1=±6127,5x x ==- ； （2）2870x x ++=（x+7）（x+1）=0127,1x x =-=-；（3）25x +=移项得250x -+=2(0x -=12x x =；（4）()()22452x x -=-移项得()()224520x x ---=（x -4+5-2x ）（x -4-5+2x ）=0解得123,1x x ==38．(1) 122,43x x ==- (2)；解：（1）利用一般式求出a 、b 、c 的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后用公式法其解即可；（2）根据完全平方公式因式分解，然后可求解.试题解析：(1)231080x x +-=解：a=310,8b c ==-，()224104381960b ac -=-⨯⨯-=>①10146x -±== 即122,43x x ==- （2）2210x x --=解：①； 39．x=15或x=1 【分析】设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,①3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ①原方程的解是x=15或x=1． 【点拨】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．。
人教版九年级数学上册 一元二次方程解法专题练习题
人教版九年级数学上册一元二次方程解法专题练习题1.解一元二次方程1、x(x+4)=5(x+4)将5(x+4)移到等式左边，得到x(x+4)-5(x+4)=0，化简得到(x-1)(x-5)=0，因此x=1或x=5.2、(x-2)=3(x-2)将3(x-2)移到等式左边，得到(x-2)-3(x-2)=0，化简得到-2x+4=0，因此x=2.3、x(x-1)=2(x+1)(1-x)将2(x+1)(1-x)移到等式左边，得到x(x-1)-2(x+1)(1-x)=0，化简得到3x^2-3x-2=0，根据求根公式，得到x=(3+√17)/6或x=(3-√17)/6.4、2(x-3)=-x(3-x)将-x(3-x)移到等式左边，得到2(x-3)+x(3-x)=0，化简得到-x^2+x-6=0，根据求根公式，得到x=(√29-1)/2或x=(-√29-1)/2.5、(2x-1)=(3-x)将3-x移到等式左边，得到2x+x-3=0，化简得到x=1.6、3(x-1)=x(x-1)将x(x-1)移到等式左边，得到3(x-1)-x(x-1)=0，化简得到x^2-2x-3=0，根据求根公式，得到x=-(√13+1)/2或x=(√13-1)/2.7、x-6x-9=0（配方法）将x-6x-9化简为(x-3)^2-18=0，再将18移到等式左边，得到(x-3)^2=18，根据求根公式，得到x=3+√18或x=3-√18.8、3x=2-5x（公式法）将2-5x移到等式左边，得到3x+5x-2=0，化简得到8x-2=0，因此x=1/4.9、x+2x-1=0将x+2x-1化简为3x-1=0，因此x=1/3.10、x-4x+1=0将x-4x+1化简为-3x+1=0，因此x=1/3.11、(x-1)-2(x-1)=15将2(x-1)移到等式左边，得到(x-1)-2(x-1)-15=0，化简得到-3x-14=0，因此x=(-14)/(-3)=14/3.12、-3x+4x+1=0将-3x+4x化简为x，因此x=-1.13、2x^2+3=7x将7x移到等式左边，得到2x^2-7x+3=0，根据求根公式，得到x=(7+√13)/4或x=(7-√13)/4.14、(1-2x)^2=x^2-6x+9将右边的x^2-6x+9移到等式左边，得到(1-2x)^2-x^2+6x-9=0，化简得到3x^2-10x-8=0，根据求根公式，得到x=(5+√73)/3或x=(5-√73)/3.15、3x^2-6x+1=0（用配方法）将3x^2-6x+1化简为(√3x-1)^2=0，因此x=1/√3.16、x(x+4)=8x+12将8x+12移到等式左边，得到x^2-4x-3=0，根据求根公式，得到x=(4+√28)/2或x=(4-√28)/2.17、x^2-2x=2x+1将2x+1移到等式左边，得到x^2-4x-1=0，根据求根公式，得到x=(2+√6)或x=(2-√6)。
(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-21.2.3 因式分解法-九年级数学人教版(上)(解析版)
第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x2=2x的根是A．x=2 B．x=﹣2C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2【答案】C【名师点睛】此题考查用因式分解法解一元二次方程.因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.2．一元二次方程x2−3x＝0的解为A．x＝0 B．x＝3C．x1＝x2＝−3 D．x1＝0 ，x2＝3.【答案】D【解析】x=0或x−3=0所以故选D．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．3．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为A．6 B．8C．10 D．8或10【答案】C【解析】，或，，，当2为腰，4为底时，，不符合三角形三边的关系，等腰三角形的底为2，腰为4，这个等腰三角形的周长，故选C．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.4．一元二次方程x2+3x=0的根为A．﹣3 B．3C．0，3 D．0，﹣3【答案】D【名师点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能利用因式分解法进行求解的一元二次方程左侧能进行因式分解，右侧为0，熟练掌握是解题的关键.5．一元二次方程3x2– 2x＝0的解是A．23x=B．x=0C．x1=23-，x2=0 D．x1=23，x2=0【答案】D【解析】x（3x−2）=0，x=0或3x−2=0，所以x1=0，x2=23．故选D．【名师点睛】解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．6．关于x的一元二次方程x2−2x−3=0的根是A．x1=1,x2=3 B．x1=−1,x2=3C．x1=1,x2=−3D．x1=−1,x2=−3【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是_____．【答案】x1=3，x2=9【解析】（x﹣3）（x﹣9）=0，x﹣3=0，x﹣9=0，x1=3，x2=9，故答案为：x1=3，x2=9.8．方程x2＋x＝0的根为__________．【答案】x 1＝−1，x2＝0【解析】故答案为：9．若实数a、b满足(a+b)(a+b−2)−8=0，则a+b=_________．【答案】−2或4．【解析】设t=a+b，则由原方程得到：t（t−2）−8=0，整理得：（t+2）（t−4）=0，解得t=−2或t=4，即a+b=−2或a+b=4．故答案是：−2或4．10．用换元法解方程+=，设y =，那么原方程化为关于y 的整式方程是__． 【答案】26520y y -+=【解析】原式=， ∵， ∴原式=，化为整式方程为26520y y -+=. 【名师点睛】本题主要考查的是换元法的应用，属于基础题型．换元法的关键就是把某个式子看成一个整体，然后用另外一个字母来替换它．11．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是_____．【答案】2或﹣1【名师点睛】考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．12．我们知道方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解是_____．【答案】x 1=x 2=2【解析】∵方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解满足：x −1=1,∴x 1=x 2=2.【名师点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，认真观察所给两个方程的特点，合理换元是解答本题的突破点.13．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．【答案】−2【解析】由题意把3x =代入方程260x mx +-=得：9360m +-=，解得： 1m =-，∴原方程为： 260x x --=，解此方程得： 1232x x ==-，，∴原方程的另一根为：−2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．解方程：（2x+1）2=（2﹣x）2．【答案】x1=﹣3，x2=【名师点睛】此题考查用公式法和因式分解法解一元二次方程.公式法适用于所有的方程，因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.15．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．【答案】①x1=﹣1，x2=2；②x1=﹣1，x2=3；③x1=﹣1，x2=4；（2）①x1=﹣1，x2=10；②x1=﹣1，x2=10；（3）x2﹣nx﹣（n+1）=0【解析】①∵x2﹣x﹣2=0，∴(x+1)(x−2)=0,∴x1=﹣1，x2=2；②∵x2﹣2x﹣3=0，∴(x+1)(x−3)=0,∴x1=﹣1，x2=3；③∵x2﹣3x﹣4=0，∴(x+1)(x−4)=0,∴x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x2﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+814=10+814，即（x﹣92）2=1214，开方，得x﹣92=112.x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．【名师点睛】本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键.。
九年级数学： 因式分解法解一元二次方程练习题及答案
因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．112．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x 2－4x ＋3＝0； (2)(x －2)2＝256； （3）x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0； (5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)； (6)(3－y )2＋y 2＝9；(7)2x2－8x＝7； (8)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a； (2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．6．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．7．解方程：x(x＋12)＝864．8．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．9．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h ＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．10．解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0 x4－3x2－4＝0．。