1数的开方(一)平方根

数的开方（一）平方根

【知识要点】

1．平方根的概念

如果一个数x 的平方等于a ，即2

x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。

2．平方根的性质

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

②零有一个平方根，它是零本身；

③负数没有平方根。 3．平方根的表示方法：

一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方

根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作

4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做

0的算术平方根。因此，0的算术平方根为00=。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

【典型例题】

例1 ∵()20.30.09= ∴（ ）

A ．0.090.3是的平方根；

B ．0.090.3是的3倍；

C ．0.30.09是的一个平方根；

D ．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125

，0.0256。

例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；

（2）2)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ；

（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。

例4 （1）122++x x 的平方根为（ ）

A ．没有平方根

B ．(1)x ±+

C ．0

D ．1

（2）1412-+-

x x 的平方根为（ ） A ．)2(2

1-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）

A ．1+m

B ．12+m

C ．1+±

m D ．12+±m

① 求236和00236.0的值；

② 若x =0．4858，求x 的值；

③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。

例6 解下列方程

（1） 1442x =25 （2） -10032)4()1(-=-x

例7 求x x -+

中x 的值

例8 0=，求y x 的平方根。

练 习

A 组

1．（1）求下列各数的平方根和算术平方根

① 25111

； ② 0．0001； ③ 610； ④ 0

（2）求下列各式的值

① 21.1； ② 16-； ③ 36254+±

2．求下列各数的平方根

（1）610； （2）2)49

4(-

； （3）810000；

3．填空 （1）9的平方根是 ，9的算术平方根是 ；

（2）81的负的平方根是 ；

（3）=416 ，=9

71 ； （4）平方根是31±

的数是 ； （5）2)5(-的平方根是 ；

（6）25的平方根是 ；

（7）平方根是它本身的数是 ；

（8）若2

2)2(-=a ，则=a 。 B 组

4．选择题

（1）下列结果错误的有（ ）

① 2)2(2±=-； ② 16的算术平方根是4；

③ 4112的算术平方根是27； ④ 2()π-的平方根是π A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

（2）下列语句写成式子正确的是（ ）

A ．7是49的算术平方根，即749±=；

B ．7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2=-；

C ．7±是49的平方根，即749=±；

D ．7是7的算术平方根，即77=

5．下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。

（1）4

12

； （2）0； （3）2)1.4(-； （4）9-；

（5）-52； （6）16。

6．设a 为有理数，判断下列说法是否正确

（1）如果a 存在平方根，则0a >；（ ）

（2）如果a 有两个平方根，则0a >；（ ）

（3）如果a 没有平方根，则0a <；（ ）

（4）如果0a >，则a 的平方根也大于0。（ ）

8．求下列各式中x 的值：

（1）()219x -= （2）()221360x +-= （3）22240x x +-=

C 组

9 （1）a =3，b =2； （2）13a =

，12

b =-； （3）a =1，b =－1； （4）16a =，56b =

10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，并且有222a b c +=，根据下列已知条件，求未知边。

（1）已知41c =，40b =，求a ； （2）已知a=3，b=4，求c ；

（3）已知a=8，c=17，求b 。

11，求a 、b 的值。

124y =+，求x 与y 的值。

13250x y --=，

（1）求x 与y 的值； （2）求x+y 的平方根。

D 组

140=，求20012001x y -+的值。

15()220ab -=，求

()()()()

1111119901990ab a b a b +++++++ 的值。

16．在实数范围内解方程： ()1

2

x y z =

++

17．在实数范围内解方程：

()

z yz x y 445z 2y 4x ++=+++