第七章 3齐次微分方程
同济大学高等数学第六版第七章第三节齐次方程
y2 C2
2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
2
第十一页，编辑于星期六：十四点 十三分。
说明:
y2
2C
(
x
C 2
)
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
第三页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例1. 解微分方程 y y tan y . xx
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x
u x u u tan u
分离变量
cosu d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
dxdy代入原方程得dxdudxdzdxdu两边积分后得dxdudxdy代入原方程dxdu例求方程通解ydxxdyduydxdu三小结齐次方程dxdyk次齐次函数和k次齐次方程的概念若对于任意的xyz和任意的实数t总有ftxtytztkfxyz对于代数线性方程aubvc0称ab为系数c为自由项
第三节 齐次方程
求解过程中丢失了.
第五页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 1 求解微分方程 dy 2 y y dx x x
例 2 求解微分方程 (x y)dy (x y)dx 0
例 3 求解微分方程 dy y tan y dx x x
第六页，编辑于星期六：十四点 十三分。
例 4 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
dx 2x 4z 3
0703 齐次微分方程
7.3 齐次微分方程
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次微分方程，其中f
连续。
例如
dy dx
sin
y x
,
dy dx
2x 3y x2y
.
求解：
作变量代换， 令
u
y x
,
即 y xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u
x
du dx
f (u),
即
du dx
f (u) u . x
cos
udu
dx x
,
其通解为 sin u ln x C ,
原微分方程的通解为
sin
y x
ln
x
C.
可分离变量的方程
利用分离变量法求得通 解后,
再将u
y x
代回即可.
例1
求解微分方程
x
dy dx
y
2
xy .
解
方程两端同除以
x, 得
dy dx
y x
2
y x
.
令
u
y x
,
则
dy dx
u
x
du dx
,
代入上式得xdu dx Nhomakorabea2
u.
u 0时, 分离变量求得通解为 u ln x C1,
y
回代得原方程的通解为 e x Cx.
u = 0 也是变量分离方程的一个解，因而 y = 0也是原方程的
一个解， 但它不包含在通解的表达式中.
例2
求解微分方程
(x
高等数学第七章微分方程微分方程
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
2013/9/23
第一节 微分方程的基本概念
解
2
在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联 系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们 的导数或微分间的关系。
例1
解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解
例2
解
对上式两边积分，得原方程的通解 经初等运算可得到原方程的通解为
4
原方程的解为
例3
解 两边同时积分，得
故所求通解为
2013/9/23
例4
解 原方程即 两边积分，得 故通解为
曲线族的包络。
例6求解微分方程 解 分离变量
两端积分
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
特解:
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
因
本质上为实函数 ,
均为 m 次实多项式 .
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
齐次微分方程概念
齐次微分方程概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：齐次微分方程是微积分中一类重要的方程类型，其解的形式非常特殊且具有重要的应用价值。
在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，因此对齐次微分方程的概念和解法有着深入的研究意义。
我们来介绍一下什么是齐次微分方程。
齐次微分方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程，其中f是一个关于y/x的函数。
齐次微分方程的特点是其右端函数中只包含y/x的比值，不包含y和x的独立函数。
这种形式的微分方程在解析上具有很大的优势，因为通过变换可以将其转化为分离变量的形式，从而更容易求解。
齐次微分方程的一般形式为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x 的函数。
我们可以通过引入新的变量u=y/x来将齐次微分方程转化为分离变量的形式。
令u=y/x，则dy/dx=y'*x-y/x^2=y'-u，带入原方程可得u'=f(u)，这就是一个分离变量的形式。
通过对u=f(y/x)进行积分，可以求得u关于x的表达式，进而求得y关于x的表达式，从而解决齐次微分方程的问题。
齐次微分方程的解法并不复杂，但是要注意一些技巧和方法。
首先要注意将齐次微分方程转化为分离变量的形式，通常引入新的变量来简化方程是一个有效的方法。
其次要注意对分离变量的方程进行积分时，需要注意常数C的选取，通常根据题目给出的初始条件来确定。
在求解过程中要注意对微分方程的变量进行合理的代换和替换，以简化计算和降低难度。
齐次微分方程是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对齐次微分方程的解法和原理的深入研究，可以更好地理解微分方程的性质和解法，提升数学建模和问题求解的能力。
希望通过这篇文章的介绍，读者对齐次微分方程有更加深入的理解和掌握。
【字数：502】第二篇示例：齐次微分方程是微分方程中的一类重要问题，它在数学中具有重要的应用价值。
齐次微分方程的定义相对较为简单，但是在解题过程中却需要一定的技巧和方法。
高数 第七章 微分方程常微分方程
5．微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定 解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件： y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始 条件。
(
y) x
的方程，称为齐次方程。
例如（1）2xy d y (x2 y2 ) d x 0
（2）(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2．齐次方程的求解：
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后，再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中，令 u y ，化简并整
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第一讲 微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程方 程
授课题目（章节）§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程 教学目的与要求： 了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念； 2．会识别变量可分离的一阶微分方程，熟练掌握可分离
用常数变易法，令：y ueP(x)dx ，其中u u(x) 为待定函数，
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ，可解
得：u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此，非齐次微分方程 d y P(x)y
解为： d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x
同济高数（第七版）--第七章
第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。
齐次微分方程
Calculus
齐次微分方程
一 概念 形如
dy
y f( )
dx x
(9 17)
的微分方程称为一阶齐次微分方程。
二 解法 通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：
令 u y 则 y ux, dy u x du
xdxdxFra bibliotek代入（9-17）得 u x du f (u) dx
cosu d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得 ln sin u ln x ln C , 即sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例二
解微分方程 dy y
1
y
2
dx x
x
解: 令 u y 则原方程化为 u x du u 1 u2
x
dx
即 x du 1 u2 dx
当1 u2 0时，分离变量得
du dx 1 u2 x
两边积分，得 arcsin u ln x C
将 u y 代入得到原方程的通解为 x arcsin y ln x C (C 为任意常数) x
u 1时，即 y x 和 y x 均为原方程的奇解。
分离变量得
du xdx ( f (u) u 0)
u f (u)
解此方程可求得 u 关于 x 的通解，再将 u y x
代回可得原方程的通解。
例一
解微分方程 y y tan y . xx
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x u xu u tan u
分离变量
高数同济7.3齐次微分方程
du f ( u) u 即 . dx x
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
即 x Ce
(u )
du ln | x | C ln C1 x , f ( u) u
, （ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) x
y 将 u 代入, x
是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y ,
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
2
解
2u 2 u u xu , 2 1 u u
1 u u2 dx [ ]du , 2 3 2u 3u u x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
二、小结 齐次方程
dy y f ( ). dx x
y 齐次方程的解法 令 u . x
其它变量代换: 令u xy ,
作业:P309:1-(2)(4)(6) , 2-(1)(3)
令 x y u,
思考题
方程
0
x
2 y(t )
t 2 y 2 ( t ) dt xy( x )
3 1 ln | u 1 | ln | u 2 | ln | u | ln | x | ln C1 , 2 2
| u 1| |u||u2|
3 2
Cx .
代
y u , x
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
e
r1 x
2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0 [ (u ( 2 r1 p ) u ( r12 p r1 q ) u 0 u
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e
, 因此原方程的通解为 y 2 ( C1 C2 x ) e r1 x 特征方程 r p r q 0
d x
O x
x
返回 结束
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: k2 x 0 2 dt 特征方程: r 2 k 2 0, 特征根: r1 , 2 i k
方程通解: x C1 cos k t C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 x0 , C2 k 故所求特解: v0 x x0 cos k t sin k t k
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 (r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
高等数学上册第七章微分方程
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x) y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
齐次微分方程
第3讲 齐次微分方程1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程. 如果一阶显式方程(,)d y f x y d x= （1.9）的右端函数(,)f x y 可以改写为y x的函数()yg x，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程.例如，方程2222sin ,co sy x y d y x y d y xy d xx yd xx y x++==-- 22()0x y dx xydy ++=，ln ln d y x y d x=-可以分别改写成所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以写为(1.27)1.3.1 齐次方程的解法方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程.令则有代入方程(1.27)得（1.28）方程(1.28)是一个变量可分离方程，当时，分离变量并积分，得到它的通积分（1.29）或即其中以代入，得到原方程(1.27)的通积分若存在常数，使，则，是(1.28)的解，由，得是原方程(1.27)的解.例1 求解方程解将方程化成令代入上式得即易于看出，为这方程的一个解，从而为原方程的一个解.当时，分离变量得，．两端积分后得或将u换成，并解出y，便得到原方程的通解在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函数能化成形状为的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质.所谓对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意的常数，有恒等式因此，令，则有因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如(1.30)的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不是零次齐次函数，然而函数（1.31）则为零次齐次函数.事实上，我们有下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程.令(为待定常数)则代入(1.30)得选取使得(1.32)(1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关.如果则(1.32)有唯一组解，把取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程求出这个方程解，并用变换代回，即可得(1.30)的解.上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当时，直线与直线相交于一点，将二式联立求得交点()，再作坐标平移，就把原点移到().又由于在坐标平移变换下有成立，这样(1.30)就变成齐次方程了.如果，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解.实际上由，有成立.下面仅以来讨论，(以讨论相同).1)，此时(1.30)为令，则得到关于z的变量可分离方程2)中至多有一个为零.当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为这是一个变量可分离方程.当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为这也是一个变量可分离方程.3) 当且时，由(1.33)有于是，原方程(1.30)成为令则代入上面方程，得到一个关于z的方程这也是一个变量可分离方程.例2求解方程解因为方程组有解令代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程当时，整理得积分得即或以,代回，即得原方程的通积分当时，解得，还原后又得到原方程的两个解和本节要点：1．一阶显式方程是齐次方程右端函数是一个零次齐次函数．2．齐次方程解法的本质是，方程（1.27）通过变量替换化为变量可分离方程求解．3．方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解．作业：练习1.31.；2. (1), (3).1．解下列方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)2．解下列方程(1)(2)答案：1.(1)(2),(3),(4)(5)(6),2.(1),(2)。
齐次微分方程
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 2 2 1 故有 ( v ) 1 v C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
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2
2
*2、可化为齐次方程的方程
2 ( c 2 c1 0)
a1 b1 1.当 时 , 作变换 x X h , y Y k ( h, k 为待 a b 定常数), 则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
a h bk c a1h b1k c1
练习:
1.求方程 4 xdx 3 ydy 3x2 ydy的通解。
dy x 1 y2 2.求定解问题 dx y 1 x2 y (1) 1
例6. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
xm 两边积分得： ( xm x) x dx adt
即： ln x ln( xm x) at C1
xm 整理得：x(t ) at e 1 C
其中C eC1为任意常数
将初值条件x(t0 ) x0代入上式得： C 所以特解为： x(t ) xm xm a ( t t0 ) 1 ( 1)e x0 1 xm at0 ( 1)e x0
2
x
y 将 u 代入得到原方程的通解为 x y arcsin ln x C (C 为任意常数) x u 1时，即 y x 和 y x 均为原方程的奇解。
《高等数学》第七章 微分方程
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
§7.3 齐次方程
dv y = 1+ v 2 dy
x 令v= , y
dx dv =v+ y dy dy
积分得 ln ( v + 1 + v 2 ) = ln y - ln C
y 2 2y v y 2 2 = 1 故有 ( v ) = 1 + v C C C2 C 2 得 y = 2 C ( x + ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
化为标准形式 dy x 1 = ======== ⑶常见形式： 2 y y dx xy + y + ( )2 x x ⑷解法： y ①化标准形式；②变量替换 u = ；
2
③分离变量；④求通解；⑤回代。如：
x
dy y = f( ) 如： dx x
⑴—关于y的微分方程
dy du y = u +x 代入原方程, 得： 令 u = ,则y=ux, dx dx x du u + x = f (u) ⑵—关于u的微分方程 dx du 整理：x = f (u) - u 可分离变量的方程 dx du dx = 分离变量,得： f (u) - u x
tx - ty x - y = = f ( x, y ) ⑵ f (tx, ty ) = tx + ty x + y
故⑵是齐次函数,且是0次齐次函数.
⑵引言：上节课学习了可分离变量的微分方程，并
求它的通解及在定解条件下求特解。但实际上可分
离变量的微分方程只占少数，还有不可直接分离变
量的方程，如：求通解
1 1 1 2 1 dx [ ( - )+ ]du = , 2 u- 2 u u- 2 u-1 x
3 1 ln(u - 1) - ln(u - 2) - ln u = ln x + ln C , 2 2
第七章微分方程习题解答
第七章各节习题答案习题7-11. (1)一阶 (2)一阶 (3)二阶 (4)一阶 (5)二阶 (6)二阶2. 用隐函数求导法求出yx y x y 22--='，带入方程验证.因为022=+-y xy x 中没有任意常数，故是特解.3. C y =',因为)(C f Cx y +=中有任意常数，故是通解.4. 通解5. 不是解，代入可知，不满足方程.6. 特解331x y =7. 方法同2题，特解2)41(1615+=-x e y 8. 2ln +=x k y 9. 设物体的温度)(x T ,则 []0)()(T x T k x T -='（)0(>k10. 设该质点的运动规律为)(t x x =，)(00t x x =，由已知得)()(t v dtt dx =，所以⎰⎰=tt t t dt t v t dx 0)()( ⎰=tt t t dt t v t x 00)()(即 ⎰=-t t dt t v t x t x 0)()()(0 亦即 ⎰+=tt dt t v x t x 0)()(0习题7-21. (1) 112-=-xCey (2) θcos Cr =(3) 2)1(2x y e C e += (4) C e e x y+=221 (5) C x x y ++=221arctan2. (1) )cos (sin 1C x x x xy +-=(2) 原方程化为 x x a y x x dx dy ln )ln 1(ln 1+=+，可求得通解ax x Cy +=ln ．(3) 原方程化为y x ydy dx ln 211+=-，这是一个关于x x ',的一阶线性非齐次微分方程，可以求得通解)ln (ln 2C y y y x ++=.(4) xx Ce x x e y -++-=)21(212(5) 原方程化为y x y y dy dx 112-=-+，方法同题（3），可求得通解y Cye x y -=1. (6) 原方程化为y yx dydx2sin cos =-，方法同题（3），可求得通解2sin 2sin --=y Ce x y .3. (1) 221121ln 222-++=+e x y y (2) x y 21ln 2-=(3) )22(2255x x e e e e y -+=- (4) )224(2255xx e e e e y -+=-(5) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=-t RL t L e L R R L I LR cos sin )1(12221. 设曲线方程为)(x f y =，曲线上任意点),(y x P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-，令0=Y ，得点A 的横坐标为y y x X '-=，222,)(y x OP x y y x AP +=-'-= 由OP AP =得方程x y y ±='，解得xy x y 2,2==.2. 曲线上任取点),(y x P ，点P 处切线的方程为)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y '-，由所给条件得方程x y x y ='-，解此方程求得曲线方程为x x Cx y ln -=.3. 设速度)(t v v =，物体所受外力（沿运动方向）有两个，一个是重力mg 沿斜面方向的分力αsin mg ，另一个是与运动方向相反的摩擦力lp kv +，即外力)(sin lp kv mg f +-=α（p 为重力mg 垂直于斜面的分力即αcos mg p =）， 故ααcos sin lmg kv mg f +-=，由f dtdvm =得方程)cos (sin ααl mg kv dt dvm -=+.0=t 时，物体的初速度为00=v .求初值问题： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0)0()cos (sin v l mg kv dtdv m αα得)1)(cos (sin t mke l k mg v ---=αα. 4. 设t 时刻输入的空气中CO 2的含量为)(tf ，车间的容积为=V 30×30×6，每分钟输入的空气量为v ∆，由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∆+'%12.0)0(%04.0)()(f Vv V v t f t f 得%04.0%08.0)(+=∆-t Vv et f ，将%06.0)30(=f 代入，求得=∆v 250m 3/min.5. 设t 时刻船速)(t v ，船受到的阻力为kv ，由f dt dv m =得kv dtdvm -=（-号表示阻力与船速方向相反），解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=5)0(v kvdt dv m 得t m ke v -=5，将3)5(=v 代入，求得t v 5)53(5=.6. 设t 时刻物体温度为)(t T ，已知物体冷却速率与物体和介质的温差成正比，即)0(),(0〉--=k T T k dt dT ，由所给条件解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===+20,100)0(00T T kT kt dt dT得kte T -+=8020，10min 后物体温度降到60℃，代入特解可求得t e T 102ln 8020--+=，设0t t =时25=T ，代入解得400=t min.7. 设t 时刻电流为)(t I ，由基尔霍夫第二定律可知E RI dtdIL=+,得通解R E Ce I t L R+=-, 将初始条件0=t 时，0=I 代入，求得特解)1(t L R e REI --=.1. 逐次积分原方程求出213cos 32C x C x x y ++-=. 2. 逐次积分原方程求出2122sin 1cos 2C x C ax x aax a y ++--=.3. 令p dx dy y =='，则p dxdpy '==''，原方程化为22x p p =+'，可求得412121221+-+=-x x e C p x ，从而求得22123414161C e C x x x y x +-+-=-.4. 解法同3，=y .5. 令p dxdyy =='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y ===''，原方程化为x xp p =+'2，可求得 )21(221x x e C e p +=-，从而求得6. 解法同5，x C e C C y 1211+=.习题7-51. 不能，因为1C 与2C 可合并；是通解，因为这里的1C 与2C 不可合并.2. 求出y '与y ''，代入方程即可.3. 通解为xx e C e C y -+=221，特解为x x e e y -+=21212.4. 因为x y =*1，x e y =*2，x e y -*=3是所给方程的三个特解，所以**-21y y ，**-31y y 是对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故原方程的通解为)()(21xxe x C e x C y --+-=.5. (1) x xe C eC y 421--+= (2) x e C C y 321+=(3) )(215x C C e y x+= (4) )3sin 3cos (212x C x C e y x+=-(5) x x e C eC y 22341+=- (6) xxe C e C y )21(2)21(1--+-+=6. (1)C Bx Ax y ++=*2 (2))(2C Bx Ax x y ++=*(3)D Cx Bx Ax y +++=*23 (4)x Axe y 23-*=(5))2sin 2cos (x B x A xe y x+=-*7. 1)(212++=-x C C ey x8. x x eC C y x47412221+-+=- 9. 自由项可以看成x e x f 31)(=与22)(x x f =之和，分别求方程xe y y y 3=+'+''与 2x y y y =+'+''的特解，再求原方程对应的齐次方程的通解，得所求为)23sin 23cos (1312212132x C x C e e x x y x +++-=-10. 252532++-=x xe e y11. x xx e x x e e y )(21232-+-=- 12. (1)先求质点的运动方程设质点的运动方程为)(t s s =，则加速度2dtsd a s =，由已知得t t s dt s d ssin 3)(42+-=，解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,0)0(sin 3)(42s s tt s dt s d s 求得)cos 1sin(t s -= (2)再求)(t s 的最大值89)41(cos 2)(2+--='t t s ，令0)(='t s ，得21cos -=t 时，433max =s . 13. 设潜水艇的下沉深度为)(t h h =,下沉速度为dt dh，潜水艇所受外力有阻力（与下沉方向相反）dt dhk 及重力mg ，由f ma =得mg dt dh k dth d m =+22，解初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧='==+0)0(,)0(22h h h mg dt dh k dth d m 得)1(22t mke k g m t k mg h ---=. 14. 设时间由0到t 时浮筒下沉h 米，其浮力为hr D 2)2(π，r 为水的比重33/10m kg ，D 为筒的直径，浮力与运动方向相反，利用f ma =得，mg rh D dth d m +=2224π，解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+)0(,0)0(4222h h g h rD dt h d π 得)2cos 1(42t m r D rD mg h ππ-= 将2=t 时0=h 代入特解,有1cos =mrDπ 即ππ2=mrD，故)(9.19kg m ≈.15. 设开始时链条离钉子12m 处的一端为原点，轴向下为正，经过时间t 链条下滑了)(t x x =m.运动过程中的外力为[]g x x f ρ)8()12(--+=（ρ为链条的密度即单位长度上的质量），由f ma =得方程g x dt x d ρρ)24(2022+=，即解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=+=0)0(,0)0(10222x x g xdt x d 得特解为21010-+=-t g t g eex 将0t t =时，8=x 代入特解，可求得)625ln(100+=gt s.综合测试题七1. (1) 不是，因为1y 与2y 不是线性无关.(2) 是，因为1cy 代入方程满足，且含有一个任意常数. (3) 2-=p , 1=q .(4) *2*1y y y y ++=(5) x x y y sin +=+''的特解为)sin cos (*x D x C x y += (6) C y x =+222. (1) B (2)C (3)D (4)C (5)A (6)D3. (1)× (2) × (3) ×(4)√4. (1) C x y =-+2212 (2) 1)1(22--=x C y (3) 221x y =+ (4) )(3xe C x y += (5) )1ln 2(yy y C y x -++= 5. (1) xx e C e C y 221+= (2) x ex C C y 5121)(-+=(3) )2cos 2sin (21x C x C ey x+=- (4) x x e C e C y -+=241(5) xex C C y 621)(+=(6) 原方程化为1)(2-=xy x y dx dy ，令u xy=，则u x u y '+='，将y 、y '代入方程， 可求得xy Ce y =.6. (1) xe y --=2 (2) 22221121ln ex y y ++-=+(3) xy 323)(ln 3-= 7. (1) x e x C C y 321)(92++=(2) x xx e x x eC e C y )2(2221+++=- (3) )2cos 225122sin 2259()2cos 2sin (212x x e x C x C e y xx +++=-8. (1) 解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--='1)2(1y x y y 特解24x x y -=(2) 解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==0,0)0()(0222t dt dx x mg dt dx k dtx d m方程mg dtdx k dt x d m +-=222)(化为mg kv v m +-='2令k m =2μ，上式为dt v g dv =-222μμ，两边积分得tgCe vg v g μμμ2=-+由0)0(=v 得1=C 再解出1122+-=tgtgee gv μμμ,即1122+-='tgtgee gx μμμ， ⎰+-=dt ee gx tgtg1122μμμ， 令y etg=μ2，则y gt ln 2μ=，dy yg dt 12μ=，所以⎰⋅+-=dy yg y y gx 1211μμ，解得 C ee x tgtg++=μμμ2222)1(ln2由0)0(=x ，得2ln 2μ-=C ，所以路程x 与t 的关系为2ln )1(ln222222μμμμ-+=tgtgee x .。
齐次微分方程的定义
齐次微分方程的定义
齐次微分方程是由一个多项式，其中常系数的乘积等于它阶次的微分方程的某种变形。
它的特点是它的解是一组复数，其中每一个数是以x为指数的一个分数。
一般齐次微分方程可以用一般微分方程去描述。
齐次微分方程可以描述函数x的值随时间推移发生什么变化；它分析变量之间的关系，解出可能的解，这个解有可能是多元的曲线，也有可能是表和公式组成的函数集合。
齐次微分方程的标准形式如下：Dn（x）+a1D^{n-1}（x）+a2D^{n-2}（x）+…+an-1D（x）+anf（x）=0
其中，Dn（x）代表微分的高阶数，a1，a2，…an-1，an是常数系数，f（x）是一般的方程。
最常见的齐次微分方程是常微分方程，它是由一个一元齐次微分方程组成的。
一元齐次微分方程是一个仅包含一个自变量的方程，以y’为微分对象。
它的形式如下：y’+p（x）y=q（x）
这个方程可以传播解释施加于某变量的力量，解释变量之间的相互影响，有助于我们理解现实世界中各元素之间的联系。
齐次微分方程在现代数学中应用十分广泛，在物理、经济、生物学、信号处理等领域中都有它的实际应用。
在物理学中，它用于研究力学中物体的运动；在生物学中，它用于研究生物环境及群体物种之间的变化；在信号处理方面，它可以用于分析信号的强度变化等。
齐次微分方程可以用来描述变量之间的关系，解出可能的解，它的应用范围很广泛，在科学及工程领域受到广泛应用。
齐次微分方程
第二讲 一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。
【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如()dy y f dx x= 的微分方程；叫做齐次微分方程 对它进行求解时，只要作变换y u x=原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。
于是有,dy du y ux u x dx dx ==+，从而原方程可化为()du u x f u dx+=， 即 ()du f u u dx x-= 此方程是可分离变量的微分方程。
按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u 还原为y x，所得函数就是原方程的通解。
例1、 求微分方程22()2x y dx xydy +=，满足初始条件10x y==的特解。
解： 方程可化为 2221()22()y dy x y x y dx xy x++== 它是齐次方程。
令y u x =，代入整理后，有 212du u dx xu-= 分离变量，则有2112u du dx u x=- 两边积分，得2111()ln(1)()ln ()ln 222u x c --=+即 2(1)1cx u -= 将y u x=代入上式，于是所求方程的通解为 222()c x y x -=把初始条件10x y==代入上式，求出1c =，故所求方程的特解为 22y x x =-二、一阶线性微分方程形如()()y P x y Q x '+=的方程称为一阶线性微分方程，其中P (x )、Q (x )都是连续函数。
当Q (x ) = 0时，方程()0y P x y '+=称为一阶线性齐次微分方程；当Q (x ) ≠ 0 ，方程称为一阶线性非齐次微分方程。
1. 一阶线性齐次微分方程的解法将方程()0y P x y '+=分离变量得()dy P x dx y=- 两边积分得ln ()ln y P x dx C ⎰=-+方程的通解为 ()P x dx y Ce -⎰= (C 为任意常数)例2 、 求微分方程20y xy '+=的通解。
三重根齐次微分方程通解
三重根齐次微分方程通解三重根齐次微分方程是一种常见的数学问题，它可以描述许多自然现象和工程问题。
在这篇文章中，我将用人类的视角来讲述三重根齐次微分方程的通解，以增加读者的兴趣和理解。
在我们开始之前，让我们先了解一下什么是三重根齐次微分方程。
简单来说，它是一个形式为y'''+ay''+by'+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数。
这个方程中的三重根意味着方程的解具有特殊的形式，我们将在下文中详细讨论。
我们需要找到这个微分方程的特征方程。
特征方程是通过将微分方程中的y替换为e^rx，并解出r的方程得到的。
对于三重根齐次微分方程，特征方程将具有三个相等的根。
假设这个根为r，那么特征方程将可以写成(r-r0)^3=0的形式，其中r0是这个根的值。
接下来，我们来求解这个特征方程。
由于它是一个三次方程，所以我们可以使用一些常见的方法来解它。
例如，我们可以使用因式分解、求根公式或牛顿法等方法来求解。
无论我们使用哪种方法，最终我们都将得到三个相等的根r=r0。
现在，我们来看看这个微分方程的通解是什么样的。
根据特征方程的解，我们可以得到通解形式为y=(c1+c2x+c3x^2)e^(r0x)，其中c1、c2和c3是任意常数。
这个通解包含了三个独立的解，每个解都与一个特征方程的根相对应。
这些解的形式非常简洁，而且易于计算和理解。
让我们来看一个具体的例子，以更好地理解三重根齐次微分方程的通解。
假设我们有一个微分方程y'''-3y''+3y'-y=0。
通过求解特征方程(r-1)^3=0，我们得到唯一的根r=1。
根据通解的形式，我们可以得到y=(c1+c2x+c3x^2)e^x。
这个通解代表了所有满足微分方程的函数，可以通过选择适当的常数c1、c2和c3来得到特定的解。
通过以上的讲述，我们可以看到三重根齐次微分方程的通解具有很强的一般性和灵活性。
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一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
第七章
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一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
y 解法: 令 u , x
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
再令 Y＝X u , 得
积分得
1 u dX du 2 X 1 u 1 ln (1 u 2 ) ln C X arctan u 2
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代回原变量, 得原方程的通解:
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y5 1 y5 ln 1 arctan ln C ( x 1) x 1 2 x 1
y x x2 y2 y
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利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为
(齐次方程)
x 令v , y
dx dv v y dy dy
dv y 1 v 2 dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 1 故有 ( v )2 1 v2 C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
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说明:
y 2C ( x C ) 2
2
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
y
A
顶到底的距离为 h , 则将
d
o h
x
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
2 ( c 2 c1 0 )
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例4. 求解
hk 40 解: 令 得 h 1, k 5 hk 6 0 dY X Y 令 x X 1, y Y 5 , 得 d X X Y
2
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
作业 P309 1(1), (4), (6); 2 (2), (3); 3
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
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y
由光的反射定律: 入射角 = 反射角
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP P
x
OM x 2 y 2 于是得微分方程 :
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( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
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例1. 解微分方程 y y tan y . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x
例2. 解微分方程 dy y y 2 y 解: 方程变形为 2 , 令 u , 则有 dx x x x u x u 2 u u 2
a h bk c a1h b1k c1
令 , 解出 h , k
(齐次方程)
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求出其解后,
即得原方
程的解. a1 b1 2.当 时 , 原方程可化为 a b dy a x by c (b 0) d x (a x b y ) c1 令 v a x b y, 则 d v a b d y dx dx dv vc ab (可分离变量方程) dx v c1 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
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( C , 0)
2
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*二、可化为齐次方程的方程
2 ( c 2 c1 0 )
a1 b1 1.当 时 , 作变换 x X h , y Y k ( h, k 为待 a b 定常数), 则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
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积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
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u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,