21直角坐标系的分离变量法
工程传热学_基础理论与专题应用(苑中显,陈永昌编著)PPT模板
0 1
5.1概述
0 4
5.4凝固和熔 解传热
0 2
5.2沸腾传热
0 5
5.5萘升华及 其传热应用
0 3
5.3凝结传热
0 6
5.6蓄热技术 简介
第5章相变传热与 蓄热
参考文献
第5章相变传热 与蓄热
5.2沸腾传热
1 5.2.1沸腾 工况
3 5.2.3池内 沸腾
5 5.2.5流动 沸腾
2 5.2.2沸腾 成核理论
3.1黑体辐射
3.1.1黑体的基本特 性
1
3.1.5黑体辐射的最大
光谱强度的波长——
5
wien位移定律
3.1.4黑体辐射的光
谱分布——planck
4
定律
3.1.2黑体总辐射
2
力——stefan-
boltzmann定律
3.1.3黑体的方向辐
3
射力——lambert
余弦定律
第3章辐射传热分析与计算
3.2非黑表面辐射性质的定义
面热流密度
第5章相变 传热与蓄热
5.5萘升华及其传热应 用
5.5.1萘的物 理性质
5.5.2用萘升华 模拟对流传热的
实验原理
5.5.3几个相 关问题的讨论
第5章相变传热与蓄热
5.6蓄热技术简介
5.6.1显 热蓄热
5.6.2相 变蓄热
5.6.3冰 蓄冷技术
08 第6章航天器热控制基础
第6章航天器 热控制基础
06
6.6空间热 辐射器
01
6.1航天器 热控制概述
05
6.5主动热 控技术
02
6.2空间热 环境
04
6.4被动热 控技术
直角坐标的分离变量法
m y
Dme a sin
m1
m
a
x
Φ 4Φ0
1
( 2m1)y
e a sin
(2m 1)
x
m1 (2m1)
a
y
V0e a sin
a
x
y
V0e a
sin
a
x
a 1, V010
V0
sinh(
(b a
y)
) sin(
x )
a
sinh( b )
a
V0sinh(
(b
a
y))
sin(
第 2 章 静电场
2.8 分离变量法
2.8.1 直角坐标系的分离变量法
分离变量法适用的条件
• 分离变量法是一种求解微分方程的方法,适用于求解 具有理想边界条件的典型边值问题 。
• 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程 的通解。
• 只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可 确定积分常数，得到边值问题的解。
a s in
0
s
a
x Dm sin
m 1
m
a
xdx
0
a
sin
0
s
a
xdx
当 m=s 时有值:
a D
2m
Φ0
a m
sin
0
a
xdx
a 2
Dm
Φ0
a
m
cos m
a
a
x
0
Φ0
a
m
[(1)m
1]
a 2
D m
0
a
m
[(1)m
1]
Dm
20
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔,给出能级公式和波函数
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数正文:考虑三维球对称谐振子，其势能函数为 $V(r)$,其中 $r$ 为球谐振子的半径。
在该函数中，球谐振子的势能随着半径的减小而增加。
由于球谐振子是对称的，因此我们只需要在球心处放置一个粒子，即可满足对称性。
在直角坐标系中，球谐振子的势能函数可以表示为:$$V(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$其中 $omega$ 为球谐振子的角频率。
为了求解薛定谔方程，我们使用分离变量法。
将球谐振子的能量写成 $E(r)$,其中 $E$ 为能量。
然后，我们将 $E(r)$ 代入薛定谔方程中，并分离变量:$$frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 frac{partial psi}{partial r}) + left[ frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} + frac{partial^2}{partial phi^2} - frac{2}{r} + E(r) ight] psi = 0$$由于球谐振子是对称的，因此 $psi(theta, phi) = psi(r)$。
在分离变量的过程中，我们得到了球谐振子的能级公式:$$E(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$同时，我们也得到了球谐振子的波函数:$$psi(r) = frac{1}{r^2} sqrt{frac{pi}{2}} r^2$$ 拓展:球谐振子的能级公式和波函数是在直角坐标系中求解得到的。
实际上，球谐振子的薛定谔方程可以在任何坐标系中求解。
在球谐振子的薛定谔方程中，角频率 $omega$ 和半径 $r$ 是独立的变量。
因此，我们可以在不同的坐标系中求解薛定谔方程，并得到不同的能级公式和波函数。
球谐振子的能级公式和波函数是一个重要的结果，它可以帮助我们更好地理解球谐振子的性质。
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔,给出能级公式和波函数
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数三维球对称谐振子是一个在三维球坐标系中具有球对称性的体系，其哈密顿量可以表示为：\[H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2r^2\]其中，\(\hbar\)是约化普朗克常数，\(m\)是质量，\(\omega\)是频率，\(r\)是径向距离。
根据分离变量法，可以将波函数表示为径向部分和角向部分的乘积形式：\[\psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)\]由于体系具有球对称性，角向部分的函数\(Y(\theta,\phi)\)可以表示为球谐函数的形式：\[Y(\theta,\phi) = f(\theta)g(\phi)\]将波函数代入薛定谔方程得到：\[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +\frac{1}{2}m\omega^2r^2\right)R(r)f(\theta)g(\phi) = ER(r)f(\theta)g(\phi)\]根据球坐标系中的拉普拉斯算符的表达式，可以展开薛定谔方程为：\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partialR}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2g}{\partial \phi^2} +\frac{2m}{\hbar^2}\left[E - \frac{1}{2}m\omega^2r^2\right]Rfg = 0\]接下来，我们通过分离变量的方法对方程进行求解。
静电场的边值问题
静电场的边值问题
第三章 静电场旳边值问题
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中旳分离变量法 4. 圆柱坐标系中旳分离变量法 5. 球坐标系中旳分离变量法
1
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.1 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 旳关系为
E 对上式两边取散度，得
E 2
r0作为参照点，则 及l 在l 圆柱面上P点共同产生
旳电位为
P
l 2π
ln r0 l r 2π
ln r0 r
l 2π
ln r r
已知导体圆柱是一种等位体，必须要求比值
r 常数 r
与前同理，可令 r a d
r fa
d a2 f
21
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
（4）点电荷与无限大旳介质平面
或者
X (x) C sinh x D cosh x
含变量 x 或 y 旳常微分方程旳解完全相同。
♣这些解旳线性组合依然是方程旳解。一般为了
满足给定旳边界条件，必须取其线性组合作为方
程旳解。
解旳形式旳选择决取于给定旳边界条件。
解中待定常数也取决于给定旳边界条件。
30
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
8
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
3.2 镜像法
实质: 以一种或几种等效电荷替代边界旳影响， 将原来具有边界旳非均匀空间变成无限大旳均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷一般处于原电荷旳镜像位置，所以 称为镜像电荷，而这种措施称为镜像法。
9
电磁场与电磁波
静电场的边值问题
根据：惟一性定理。等效电荷旳引入不能变化原 来旳边界条件。
分离变量法
均匀电场中的介质圆柱棒
a≤ ρ <∞
ϕ1 =ϕ2 ϕ2
ρ=0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε0 =ε ∂ρ ∂ρ
ρ→∞
0≤ ρ ≤a
ρ =a
=0 ， ϕ1
= −Ex = −Eρ cosφ
根据对称性 π ϕ(ρ,φ) = ϕ(ρ, −φ) 及 ϕ(ρ, ± ) = 0 2
返 回
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分离变量, 设 ϕ(ρ,φ) = R(ρ)θ (φ) 代入微分方程
返 回 上 页 下 页
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的 电位微分方程的解是惟一的。 例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. ϕ1 = x d U0 B. ϕ2 = x +U0 d U0 C ϕ3 = − . x +U0 d 答案:（C ）
ρ2 d2R ρ dR 1 d2θ + ＋ =0 2 2 R dρ R dρ θ dφ
2
d2θ dR dR 2 2 = 常数，令 ρ2 + n2θ = 0 +ρ −n R = 0 取n 2 dφ2 dρ dρ
当 n = 0 时， R0 (ρ) = A0 ln ρ + B0 ， 0 (φ) = C0φ + D0 θ 当 n ≠ 0时， Rn (ρ) = Anρn + Bnρ−n， n (φ) = Cn cos nφ + Dn sin nφ θ 通解 ϕ(ρ,φ) = ( A ln ρ + B0 )(C0φ + D0 ) 0
nAnan−1 cos nφ ∑
n=1
∞
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
分离变量法解恒成立问题
图 "# # # # # # # # 图 $% 2 ! 提示： 依题意可知 （ # $ %） （ # % %）’ " 对任意实数 # 成立， 1 所以 #& $ # $ %& % % % " 3 0 对任意实数 # 成立! 设 （ " #）# #& $ # $ % % % % "， 则（ " #） 的图象恒位于 # 轴上方， 则 ! ’ 0， 即 2% $ 2% $ - ’ 0， 故选 +!
{
"! ! 巴黎晚报的主笔拉扎雷夫， 有一次对一群大学生讲到他的经验时说： “ 一位新闻记者前半生是花在报道一些他们不能 了解的事情上， 而后半生则是花在隐瞒一些他了解得太#34; # $ ， 所以存在 " " # $ 满足 条件! 例 !" 若不等式 # % & ! &#$#% （ # % $） 对一切正 $ 恒成立， 求正数 % 的最小值! 数 #、 #$ # % 、 $$#%， 原不等式可变形为 % ! # %& ! & #$ ， 原不等式对任意的正实数 # 、 $ # %$ 恒成立， 只需保证 % 大于等于 # %& ! & #$ 的最大值! 而 # %$
$ （$） 求（ & #） 的反函数 & #（ #） ! $ （& ） 如果不等式 （$ # ! & #（ # ）( ’ （’ # ! 对于 #） #） $ $ 任意 # $ ［ ， ］ 恒成立， 求实数 ’ 的取值范围! ) *
（$ % ! #） $’ ， #$ （’， $） ! $ #! # （&） 由 （$） 知原不等式/ $’ （$ % ! （! # ）( ’& # ’ #） / （ $’ % ’） ! ! ! ! ! ! # ( ’& # $’ ， ! $ 所以 （$ # ! & #（ # ）( ’ （’ # ! 对于任意 # $ #） #） $ $ $ $ ［ ， ］ 恒成立， 即!对于任意 # $ ［ ， ］ 恒成立! ) * ) * 当 $’ % ’ ( ’ 即 ’ ( # $’ 时 ’& # $’ $ $ 对于任意 # $ ［ ， ］ 恒成立， #( !/! $’ % ’ ) * $ ’& # $’ $# ! *,$ $% ! *,$ .’. 只须 ( ， 所以 ! + $’ % ’ 当 $’ % ’ . ’ 即 ’ . # $’ 时 ’& # $’ $ $ 对于任意 # $ ［ ， ］ 恒成立， #. !/! $’ % ’ ) * & ’ # $’ $ 只须 ( ， 解得满足条件的 ’ 不存在! $’ % ’ &
分离变量法
<<电磁场与电磁波>>读书报告姓 名：学 院： 学 号：专 业：题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：二〇一四年四月Xxx工程学院电子工程类一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。
在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。
分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。
而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。
求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。
这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。
这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。
二．内容1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。
它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。
我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.2.推导过程:直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂我们假设是三个函数的乘积,即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。
由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则当α2<0时，令α=jk x(k x为正实数)，则或当α2>0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。
分离变量法：直角坐标系下的分离变量法
4.9 分离变量法的原理与应用1.分离变量法的原理和步骤2.直角坐标系中的分离变量法3.圆柱坐标系中的分离变量法4.球坐标系中的分离变量法1.分离变量法的原理和步骤◆分离变量法的理论基础：惟一性定理◆分离变量法的原理：经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程来求解。
分离变量法的主要步骤：(1) 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式，及其边界条件。
(2) 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解。
(3) 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得该问题的特解。
22220x yφφ∂∂+=∂∂(,)()()x y X x Y y φ=22221d ()1d ()0()d ()d X x Y y X x x Y y y+=◆本征函数2221d ()()d x X x k X x x =-2221d ()()d y Y y k Y y y=-220x yk k +=◆本征方程◆本征值2. 直角坐标系中二维拉普拉斯方程的分离变量法(1) 变量分离(2) 本征方程的求解01020()X x A x A =+01020()Y y B y B =+110201020(,)()()x y A x A B y B φ=++2221d ()()d x X x k X x x=-2221d ()()d y Y y k Y y y=- a. 当时0x y k k ==221d ()0()d X x X x x=221d ()0()d Y y Y y y=可得：21212(,)(cos sin )(cosh sinh )m m m m m m m m x y A k x A k x B k y B k y φ∞=++∑b. 当时，设20xk >(1,2,,)x m k k m ==∞j j 12()eem m k xk xm m m X x A A -=+12()eem m k yk ym m m Y y B B -=+或222d ()()d m X x k X x x=-222d ()()d m Y y k Y y y=220xyk k +=由y mk jk =本征方程为：则：()()()()1212()cos sin ()cosh sinh m m m m m m m m m m X x A k x A k x Y y B k y B k y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩31212(,)(cosh sinh )(cos sin )m mm m m m m m x y A k x A k x B k y B k y φ∞''''''''=++∑12()e e mmk x k x m m m X x A A ''-''=+j j 12()ee m mk y k y m m m Y y B B ''-''=+1212()cosh sinh ()cos sin m m mm m m m mm m X x A k x A k x Y y B k y B k y ''''=+⎧⎨''''=+⎩c. 当时，设20x k <j (1,2,,)x mk k m '==∞220xy k k+=由y mk k '=222d ()()d m X x k X x x '=222d ()()d mY y k Y y y'=-本征方程为：或则：d. 应用叠加原理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解()()()()()()()()102010201212112121(,)()()cos sin cosh sinh cosh sinh cos sin mm m m m m m m m m mmm m m m m m x y A x A B y B Ak x A k x B k y B k y A k x A k x B k y B k y φ∞=∞==++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''''''''++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑(3) 根据边界条件，确定通解中的待定常数，获得方程的特解。
大学物理-分离变量法例题
相应的本征函数为
思考：n 只取正整数的原因？
3. 求解关于 T(t) 的常微分方程
将
代入(6-1-6)，得到
其通解为
由此得到 u(x,t) 的特解
(6-1-9) (6-1-10)
(6-1-11)
4. 利用叠加原理，将特解进行叠加，得到通解 一般说来，un(x,t) 不可能满足初始条件，但特解的线性叠 加仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解：
(x) C1 x C2
而由 (7) 式有
C1a C2 0 C1a C2 0
于是有 C1= C2 = 0，从而有φ(x) = 0，所以λ≠ 0。
2. 若λ< 0，则由式 (6' ) 有
x C1e x C2e x
而由 (7) 式有 C1e x C2e x 0 C1e x C2e x 0
(k 1, 2,
)
故本征值问题 (6' ) ~ (7) 的本征值为
En
n 2 2
n2 2 2 8a2
(n 1, 2,
)
(13)
这是能量本征值，而由(10)和(12)式可得相应的本征函数为
n
(
x)
Cn
sin
n
2a
(
x
a)
(14)
这是第 n 个定态 (即不含时的) 波函数。
方法二 通过坐标平移利用已知结果来求解。 我们已看到上述求解本征值问题 (6' ) ~ (7) 的过程是相
即
i f '(t) 2 ''(x) 令 E (能量) f (t) 2 (x)
于是得
i
d f Ef dt
(5)
电磁场与电磁波理论思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题1.1什么是标量?什么是矢量?什么是矢量的分量?1.2什么是单位矢量?什么是矢量的单位矢量?1.3什么是位置矢量或矢径?直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的?1.4什么是右手法则或右手螺旋法则?1.5若两个矢量相互垂直,则它们的标量积应等于什么?矢量积又如何?1.6若两个矢量相互平行,则它们的矢量积应等于什么?标量积又如何?1.7若两个非零矢量的标量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行?1.8若两个非零矢量的矢量积等于零,则两个矢量应垂直还是平行?1.9直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算?1.10什么是场?什么是标量场?什么是矢量场?1.11什么是静态场或恒定场?什么是时变场?1.12什么是等值面?它的特点有那些?1.13什么是矢量线?它的特点有那些?1.14哈密顿算子为什么称为矢量微分算子?1.15标量函数的梯度的定义是什么?物理意义是什么?1.16什么是通量?什么是环量?1.17矢量函数的散度的定义是什么?物理意义是什么?1.18矢量函数的旋度的定义是什么?物理意义是什么?1.19什么是拉普拉斯算子?标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的?1.20直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的?1.21三个重要的矢量恒等式是怎样的?1.22什么是无源场?什么是无旋场?1.23为什么任何一个梯度场必为无旋场?为什么任何一个无旋场必为有位场?1.24为什么任何一个旋度场必为无源场?为什么任何一个无源场必为旋度场?1.25高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么?1.26什么是矢量的唯一性定理?1.27在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场?为什么?1.28直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?1.29圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?1.30球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的?2.1什么是体电荷、面电荷、线电荷和点电荷?他们分别是如何定义的?2.2什么是试验电荷?什么是电场强度?2.3什么是电介质、磁介质和导体或导电媒质?2.4什么是电偶极子?电偶极矩矢量是如何定义的?2.5什么是电极化强度?电介质的极化现象是怎样的?2.6什么是电位移或电通量密度?2.7什么是相对介电常数和(绝对)介电常数?什么是自由空间?2.8什么是线性各向同性的电介质?2.9什么是恒定电流?什么是时变电流?什么是传导电流?什么是运流电流?2.10什么是体电流、面电流和线电流?他们分别是如何定义的?2.11什么是微分形式欧姆定律?2.12什么是洛伦兹力?什么是磁感应强度?2.13什么是磁偶极子?磁偶极矩矢量是如何定义的?2.14什么是磁化强度? 磁介质的磁化现象是怎样的?2.15什么是顺磁质?什么是抗磁质?什么是铁磁性物质?2.16什么是相对磁导率和(绝对)磁导率?2.17什么是磁场强度?2.18什么是线性各向同性的磁介质?2.19电磁学的三大基本实验定律是哪三个?2.20什么是库仑定律?什么是静电场的环量定律?什么是高斯定律?2.21由静电场的环量定律可以什么结论?2.22穿过任一高斯面的电场强度通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关?2.23穿过任一高斯面的电位移通量与该闭合曲面所包围的哪些电荷有关?2.24高斯面上的场矢量与高斯面外的电荷是否有关?为什么?2.25什么是安培定律?什么是比奥—萨伐尔定律?2.26什么是磁通连续性定律?什么是安培环路定律?2.27磁场强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关?2.28磁感应强度沿任一闭合回路的环量与哪些电流有关?2.29闭合回路上的磁场强度与闭合回路以外的电流是否有关?为什么?2.30什么是感应电流?什么是感应电场?什么是感应电动势?2.31什么是法拉第电磁感应定律?2.32什么是电荷守恒定律?电荷守恒定律的数学表达式是怎样的?2.33麦克斯韦的漩涡电场假设的基本思想是什么?2.34什么是位移电流?什么是位移电流密度?2.35什么是全电流?什么是全电流密度?什么是全电流连续性定律?2.36为什么说五个基本方程不是独立的?2.37什么是电磁场的边界条件?他们是如何得到的?2.38为什么边界条件的讨论分解成法向分量和切向分量来进行?2.39在不同媒质分界面上,永远是连续的是电磁场的哪些分量?2.40电磁场的哪些分量当不存在传导面电流和自由面电荷时是连续的?2.41什么是理想介质?什么是理想导体?2.42边界条件有哪三种常用形式?他们有什么特点?2.43在理想导体表面上不存在电磁场的什么分量?2.44垂直于理想导体表面的是电力线还是磁力线?平行于理想导体表面的是电力线还是磁力线?2.45理想导体表面的面电流密度等于磁场的什么分量?理想导体表面面电荷密度等于电场的什么分量?3.1什么是静电场?如何由是麦克斯韦方程组得到静电场的基本方程?3.2静电场是无源场还是无旋场?3.3静电场边界条件有哪两种常用形式?他们有什么特点?3.4在静电场中的不同电介质分界面上,电场强度和电位移的什么分量总是连续的?3.5什么是静电场折射定律?3.6静电场的什么分量在导体表面总是为零?导体表面面电荷密度等于电场的什么分量?3.7在静电场中,电场强度沿一个开放路径的线积分与积分路径是否有关?为什么?3.8静电场中任一点的电位是如何定义的?什么是零电位参考点?3.9静电场中任一点的电位是否是唯一的?电场强度是否是唯一的?3.10什么是等位面?电场强度矢量与等位面有什么关系?为什么?3.11什么是电位的泊松方程和拉普拉斯方程?什么是电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程?3.12电位的边界条件是如何得到的?为什么电位在界面上总是连续?3.13为什么说导体必为等位体,导体与电介质的交界面必为等位面?3.14静电场的能量和能量密度是如何计算的?3.15导体的电容与哪些因素有关?与导体的电位和所带的电量是否有关?3.16什么是电容器?电容器的电容是如何定义的?3.17电容器的电容与其电场储能有什么关系?3.18什么是静电场分布型问题?什么是静电场的边值型问题?3.19静电场的边值问题可以分为哪三类?3.20什么是静电场唯一性定理?它是如何证明的?3.21静电场边值问题主要解法有哪些?3.22什么是直接积分法?什么情况下可以采用直接积分法?直接积分法的基本步骤是什么?3.23直角坐标系中一维电位分布的拉普拉斯方程的通解是怎样的?电荷均匀分布和线性分布区域电位的通解各是怎样的?3.24圆柱坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的?电位的通解各是怎样的?3.25球面坐标系中无源区域、电荷均匀分布和线性分布区域三个一维电位分布满足的二阶微分方程各是怎样的?电位的通解各是怎样的?3.26什么是分离变量法?什么是分离常数?什么是分离方程?3.27直角坐标系中的分离常数有哪几个?直角坐标系中的分离方程是怎样的?3.28直角坐标系中的分离方程的通解与分离常数有什么关系?3.29直角坐标系中分离变量法的的两种常见的二维问题是指什么情况?3.30什么是直角坐标系中分离变量法的基本问题?3.31如何根据基本问题的边界条件选取通解的具体形式?3.32如何利用三角函数的正交性或者傅立叶级数的公式来确定基本问题的最终解?3.33什么是镜像法?什么是镜像电荷?如何确定镜像电荷?3.34点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷是如何确定的?此时导体表面的感应电荷有什么特点?3.35无限大导体平面上方与其平行的无限长直的均匀线电荷的镜像是怎样的?(画图) 3.36两个无限大相交理想导体平面之间的夹角满足什么条件才能采用镜像法?镜像电荷的数目与夹角有什么关系?(画图)3.37两个平行的无限大导体平面之间的点电荷的镜像电荷有多少?(画图)3.38接地导体球外的点电荷的镜像电荷是如何确定的?导体表面的感应电荷有什么特点?(画图)3.39接地导体球内的点电荷的镜像电荷是如何确定的?导体表面的感应电荷有什么特点?(画图)3.40如果导体球或球壳没有接地,如何借助于镜像法来求各处的场分布?3.41什么是静电场的数值解法?什么是“场域型”数值方法?什么是“边界型”数值方法?3.42什么是有限差分法?有限差分法的基本步骤是什么?3.43二维泊松方程对应的差分方程是怎样的?3.44二维静电场边值问题的有限差分法的基本步骤是怎样的?3.45什么是差分方程的超松弛迭代法求解?它的基本步骤是怎样的?3.46什么是矩量法?矩量法的三个基本步骤是什么?3.47静电场边值问题的矩量法的基本步骤是怎样的?第4章思考题4.1什么是恒定电流或直流?什么是时变电流或交流?4.2什么是恒定电场?如何由是麦克斯韦方程组得到恒定电场的基本方程?4.3恒定电场是无源场还是无旋场?4.4在电导率不同的导体的分界面上,电场强度和电流密度的什么分量是连续的?4.5在不同导体的分界面上电场强度和电流密度的什么分量是不连续的?4.6恒定电场中电位与静电场的电位有什么异同点?4.7为什么在线性和各向同性的均匀媒质中恒定电场中电位总是满足的拉普拉斯方程? 4.8线性和各向同性的均匀媒质中是否存在体电荷?4.9导电媒质分界面上的面电荷的密度是如何确定的?4.10什么情况下,导电媒质分界面上的不存在面电荷?4.11什么是电流的热效应?恒定电场的功率损耗是如何计算的?4.12什么是焦耳定律的微分形式和积分形式?4.13什么是漏电流?什么是漏电导?4.14什么是静电比拟法?它有什么用处?4.15什么情况下可以将静电场与恒定电场相比拟?4.16电容器的漏电导与电容的对应关系是怎样的?4.17什么是恒定磁场?如何由是麦克斯韦方程组得到恒定磁场的基本方程?4.18恒定磁场是无源场还是无旋场?4.19在磁导率不同的磁介质的分界面上,磁场强度和磁感应强度什么分量是连续的?4.20在不同磁介质的分界面上磁场强度和磁感应强度的什么分量是不连续的?4.21什么是恒定磁场折射定律?4.22什么是恒定磁场镜像法?4.23恒定磁场的矢量磁位是如何定义的?4.24什么是库仑条件或库仑规范?为什么恒定磁场的矢量磁位要满足库仑条件或库仑规范?4.25什么是恒定磁场矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程?4.26由比奥—萨伐尔定律得到的恒定磁场矢量磁位的积分表示式是否满足恒定磁场的微分方程?4.27恒定磁场的标量磁位是如何定义的?它有什么要求?4.28为什么恒定磁场的标量磁位只是满足拉普拉斯方程?4.29恒定磁场的标量磁位的边界条件是如何得到的?4.30恒定磁场的能量和能量密度是如何计算的?4.31什么是导体载流回路的电感?它与哪些因素有关?4.32什么是自感?什么是互感?什么是内自感?什么是外自感?4.33导体回路的电感与导体回路的电流是否有关?4.34导体载流回路的电感与磁场储能有什么关系?第5章思考题5.1什么是时谐电磁场?什么是时谐电磁场的复振幅和复振幅矢量?5.2如何由时变电磁场的基本方程得到时谐电磁场的基本方程(基本方程的复数形式)?5.3如何由时变电磁场的结构方程得到时谐电磁场的结构方程(结构方程的复数形式)?5.4如何由时变电磁场的边界条件得到时谐电磁场的边界条件(边界条件的复数形式)?5.5时谐电磁场边界条件有哪三种常用形式?他们有什么特点?5.6在不同媒质分界面上,永远是连续的是时谐电磁场的哪个分量?5.7在理想导体表面上不存在时谐电磁场的什么分量?5.8垂直于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线?平行于理想导体表面的是时谐电磁场的电力线还是磁力线?5.9理想导体表面的面电流密度等于时谐电磁场的什么分量?理想导体表面面电荷密度等于时谐电磁场的什么分量?5.10什么是导电媒质的复介电常数?什么是导电媒质的损耗角正切?5.11时变电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义?5.12什么是洛伦兹条件或洛伦兹规范?洛伦兹条件与电流连续性方程是否是一致的?5.13什么情况下矢量磁位和标量电位满足齐次达兰贝尔方程?5.14什么情况下电场强度和磁场强度满足齐次达兰贝尔方程?5.15什么是滞后位?什么是超前位?为什么在无限大自由空间中只有滞后位?5.16矢量磁位和标量电位的滞后位是怎样的?5.17时谐电磁场的矢量磁位和标量电位是如何定义?5.18如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的洛伦兹条件或洛伦兹规范?5.19如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的亥姆霍兹方程(复波动方程)?5.20如何得到时谐电磁场的矢量磁位和标量电位的滞后位和超前位?5.21瞬时坡印廷矢量是如何定义的?它的物理意义是什么?它有什么特性?5.22什么是瞬时坡印廷定理的微分形式和积分形式?瞬时坡印廷定理的物理意义是什么?5.23什么是平均坡印廷矢量?5.24复坡印廷矢量是如何定义的?它的物理意义是什么?5.25天线的作用是什么?天线有哪些类型?5.26什么是电基本振子?什么是磁基本振子?5.27什么是线天线?什么是对称天线?什么是半波天线?5.28什么是近区场?什么是远区场?5.29电基本振子的近区场有什么特性?5.30电基本振子的远区场有什么特性?5.31磁基本振子的近区场有什么特性?5.32磁基本振子的远区场有什么特性?5.33基本振子和磁基本振子的电场有什么异同点?它们谁的辐射能力大?5.34基本振子和磁基本振子的对偶性是怎样的?5.35什么是水平极化天线?什么是垂直极化天线?5.36天线的方向性因子、方向函数和方向图指的是什么?5.37什么是天线的E面方向图?什么是天线的H面方向图?5.38什么是无方向天线?什么是全向天线?什么是定向天线?5.39基本振子、磁基本振子和半波天线的方向图有什么特点?5.40什么是天线辐射功率?天线的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度是如何定义的?5.41基本振子和磁基本振子的半功率波瓣宽度和零功率波瓣宽度的大小是怎样的?5.42什么是天线阵?它的作用是什么?决定天线阵的辐射特性的主要参数有哪些?5.43天线阵方向图相乘原理是指什么?5.44什么是均匀直线式天线阵?什么是均匀直线式边射阵?什么是均匀直线式端射阵?。
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
《电磁场》第三版思考题目答案
程在场域V内有惟一解。意义：（1）它指出了静态场边值问题具有惟一解得条
件。在边界面S上的任一点只需给定 的值，而不能同时给定两者
的值；（2）它为静态场值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的
2.4 简述 和 所表征的静电场特性
表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷
是静电场的通量源。
表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电
场强度。
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？
矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：
当 大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S
内必有发出矢量线的源，称为正通量源。
1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?
=0即为无旋场
1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？
不对。电力线可弯，但无旋。
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？
无旋场F的旋度处处为0，即 ，它是有散度源所产生的，它总可以表
3.18如何正确确定镜像电荷的分
布？答：（）所有镜像电荷必须位于所求场域
以外的空间中；（）镜像电荷的个数，位置及电荷量的大小以满足场域边界面上
边界条件 理想导体表面上的边界条件为：
第三章
3.1电位是如何定义的？E= 中的负号的意义是什么？
DA 由静电场基本方程 和矢量恒等式 可知，电场强度E可表示为
标量函数 的梯度，即 E= 试中的标量函数 称为静电场的电位函
21直角坐标系的分离变量法
n
n
ba
2
n 0,1,2,
Xn
(x)
cos
n
ba
(x
a)
iii)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
Xnn(x)(nbsin1an2b1)a22(xa)n0,1,2,
iv)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
n
n1 2
ba
2
n0,1,2,
Xn(x)
1）通解u (x ,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。
2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数
uut((xx,,00))nn 11CnnlasiDnnnlsixnnlx(x)(x)
u (x ,t) n 1 C nc o sn la t D ns in n la t s in n lx
(
x,
0
)
cos
3 l
x,
ut (x,0) 0
解：设形式解u (x ,t)=X (x) T (t)代入①中方程及边条件
得：XX((0x))0,XX((xl))00 ②
和 T(t)a2T(t)0
③
解本征值问题②
n
Xn
n2
l
cosn x
l
n0,1,2
将n 代入③解T n (t)
n≠0时：
Tn(t)nl a2Tn(t) 0
l
l
课堂练习： 长为l的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别
与00和1000的物体接触，t＝0时刻，撤去右 端物体，设杆右端与外界无热交换， 求：杆上各点温度随时间变化？
1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题 2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题 3.一维空间非齐次边条件的定解问题 4. 多维空间的定解问题
直角坐标系中的分离变量法(中文)
x 关，这是一个二维场
的问题。
电位满足的拉普拉斯方程变为
2 2 0
x 2 y 2
应用分离变量法，令 (x, y) X (x)Y ( y)
槽中电位满足的边界条件为
(x, 0) 0 (0, y) 0
(x, d ) 0 (, y) 0
为了满足(x, 0及) 0 ，(x,Yd()y)0的解应为
式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对 变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 0 X dx2 Y dy 2 Z dz2
同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二
项及第三项也分别等于常数。
Y ( y) Asin k y y B cos k y y
因为 y = 0 时，电位 = 0 ，因此上式中常数 B = 0
。
为了满足 (x, d ) 0 ，分离常数
nπ
ky 应
为
ky d , n 1, 2, 3,
求得
Y (y)
Asin
nπ d
y
已知
k
2 x
k，y2 求0 得
kx
Cn
sin
nπ d
y ,
0 y d
利用傅里叶级数的正交性，求出系数 Cn 为
Cn
40
nπ
n 为奇
数
0 n 为偶
求得槽中电位分布数函数为
(x,y) 40
n
1π e
n
nπ d
x
sin
� �n�
y
=0
d
y �� , n 1,3,5, �
= 0
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nla
2 l
l(x)sinn
0
l
xdx
将算出的C n， D n代入通解所得的解就是满足① 中方程、边条件和初条件的解。
2. 有关问题讨论 （1） 解的敛散性 ∵① 的解为无穷级数形式
u (x ,t) n 1 C ncn o la ts D nsin ln a t sin ln x
（4） 解的物理意义
i) 特解un (x ,t)代表弦上的本征驻波
u n (x ,t) C ncn o la ts D nsin ln a t sin ln x
C n 2 D n 2sin ln x C n 2 C nD n 2cn o la tsC n 2 D nD n 2sin ln a t
0xl, t 0 u (l,t)0
解的形式
二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点
初始位移为cos(3πx/l)，初速度为零。
u
tt
a 2uxx
0
0 x l, t 0
定解问题：ux (0, t) 0,
1）通解u (x ,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。
2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数
uut((xx,,00))nn 11CnnlasiDnnnlsixnnlx(x)(x)
u (x ,t) n 1 C nc o sn la t D ns in n la t s in n lx
级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数 (x)和(x)定，
(x)是有连续的一、二阶导数，分段连续的三 要求： 阶导数
(x)具有连续的一阶导数，分段连续的二阶导数
保证u (x ,t)是绝对且一致收敛，可逐项求导两次， 得到的级数仍然是绝对且一致收敛
（2）求解的主要步骤 P213
齐次泛 分离变量 定方程 u=XT
u i (i=1,2……n)为线性齐次定解问题的解
M Lu ku ii 00 (k1,2
m )
i1,2,
n
n
则 u Ciui 一定是线性齐次定解问题的解，
i 1
其中C i为任意常数
即：
Lu Mk
0 u0
【例】
uu(tt0,ta)2ux0x,u0x(l,t) 0 u(x,0) f (x), ut(x,0) g(x)
uut((xx,,00))nn 11CnnlasiDnnnlsixnnlx(x)(x)
Cn
2 l
l(x)sinn
0lLeabharlann xdx Dn nl a 2l
l(x)sinn
0
l
xdx
Cn
2 l
l(x)sinn
0
l
xdx
Dn
Xn
(x)
cos
n
ba
(x
a)
iii)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
Xnn(x)(nbsin1an2b1)a22(xa)n0,1,2,
iv)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
1 el
1 el
el el
0
∴A、B只有零解→X (x)=0 ∴<0不是②的本征值（因为<0时所有情况都不能
得到X (x)的非零解）
ⅱ.＝0
X(x)0
解得： X(x)AxB
代入边条件： X(0)B0
X (l)A l0 A 0
∴X (x)=0，即＝0不是本征值
②
因为
d d
x
2 2
是厄米算子，本征值一定是实数
特征方程：
r20,r2
ⅰ. <0
特征方程：r2 0 ,r2 ,r , 0
通解： X(x)Ae xBex 代入边条件
X(0)AB0
X(l)A el Bel 0
上式可视为关于A、B的二元一次方程组，由方程 理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条件 是其系数行列式为零
两边同时除以 a2(x)T(t)
(x) T(t) (x) a2T(t)
(*)
分析：右侧只是t的函数与x无关 左侧只是x的函数与t无关
x、t是两个独立变量，所以为了使0<x<l ,t>0上式能 处处成立，只能有一种情况：左＝右＝常量 由（*）式得到：
(x) T(t)
0xl
②
T (t) a 2 T (t)0 t0
③
其中：为待定常数
讨 论：
1）分离变量法的第一个目的已经达到
偏微分方程 分离为 的定解问题
X (x)的常微分方程 的边值条件
T (t)的常微分 方程
思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能 直接成功地分离变量？
2）②和③的解相乘构成的特解一定满足偏微分 方程定解问题①中的齐次方程和齐次边条件。
sin l 0
l n
n
n2,n1,2
l
Xn
Bn
s
inn
l
x
∴②的解为：
本 本征 征函 值 X数 n(nx)snlinnl2x
n1,2 ④
注： Ⅰ. n=0, ＝0，X (x)＝0，所以n=0不能要
Ⅱ.n<0，与n>0是线性相关的
1.求解过程：
（1）列出定解问题
utut (0a,t2)u xx0,0
u(l,t)0
0xl,t0
①
u(x,0)(x), ut(x,0)(x)
(2)分离变量 设形式解: u(x,t) (x)T(t) 代入①中的方程
(x )T (t) a 2 (x )T (t) 0
nx k x klk 0 ,1 ,2 n x ( 0 ,l)
l
n
共有n+1个节点
b) 弦上各点振动的位相相同 各点的位相没有超前和落后之分，即弦上各点 同时离开平衡位置，同时取振幅的最大值又同 时回到平衡位置，各点的振动是同步的。
c)
振动的频率
n
na
l
(l, a T )
一个n
一个本征值n
一个特解un (x ,t)
特解满足： 齐次方程：(un)tta2(un)xx0 齐次边条件： u n (0 ,t) 0 , u n (l,t) 0
但一般不满足初条件：un(x,0)Cnsinnlx(x)
（6）通解
u(x,t) Anun(x,t) n1 n 1CncosnlatDnsinnlatsinnlx
ⅲ. >0
X(x)X(x)0
特征方程： r20 ,r2 ,r i
通解： X (x)A cos xB sin x
代入边条件： X(0)A0
X(l)Bsinl0
两分子乘积为零只有是：sinB
0
l
0
因为B=0不可取（X (x)不为零），所以只有
（3） 求解常微分方程的边值问题——本征值问题 初值问题与边值问题的区别
T(t)T(t) 0
T(0) f,T(0)g
初值问题
对自变量t同一点(t=0)给出的不同初条 件
(x)(x)0
(0)0,(l)0
边值问题
对自变量中两个不同的端点提出的 条件
边值问题的突出特点是：其解与的取值密切相关，
特征方程：r2
na
2
0
l
T n (t) C n c o sn la t D n s in n la t n 1 ,2
(5) 构成特解
un(x,t)Xn(x)T n(t)
C nco n la stD nsin n lat sin ln x
例：sin n x 与 sinn(x)sin nx
l
l
l
∴ 只取n>0
Ⅲ.
sin n x
l
与
Bn
sin n
l
x
线性相关
∴取 sin n x
l
④式即为②的解
满足边值问题的解不止是④所表达的这些，但线性 无关的就是这些
(4) 求解相应的方程③的解（将本征值代 入）
Tn(t)nla2Tn(t)0
◆通过分别解X (x)和T (t),求出满足齐次方程 齐次边条件的分离变量的形式解：
u n (x ,t) n (x )T n (t) n 1 ,2
◆把这些形式解迭加起来
Cnn(x)Tn(t)
n1
令其满足非齐次的定解条件，求出C n，
即为所求的解。
二、理论依据—线性迭加原理 设：L、Mk (k=1,2……m)为线性算子
C n 2D n 2sin n lxco n lsatn
振幅因子
相位因子
a) 对应某一确定的时刻t，空间各点的振幅不同
对于sin n
l
x 1
的点，振幅最大(
Cn2 Dn2
)称作波腹
对于sin n x 0
l
的点，振幅最小(=0)，称作波节
可以算出波节的位置：
作业
P220 11.1.3 11.1.6 11.1.7 11.1.8
第二章 直角坐标系中的分离变量法
§1分离变量法简介 一、基本思想和解题思路
u (x ,t)的偏微分方程（齐次）
u (x ,t)的边条件（齐次）
令 u(x,t) (x)T(t)
u (x ,t)的初条件
X (x)满足的常微分方程 X (x)满足的边条件 T (t)满足的方程
(x) a2T(t)
(x)(x) 0 T(t)a2T(t) 0