高数e总复习

合集下载

高数部分知识点总结

高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。

(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。

《高数总复习》PPT课件

2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的线性运算
向量概念
向量的积
向量的表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根及其对应项
f (x)的形式及其特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
2021/4/24
13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微

高数复习知识点及提纲

高数复习知识点及提纲第一篇：高数复习知识点及提纲高数复习知识点及提纲1.瑕积分的判别，广义积分和Γ（n）的计算。

6分2.罗必达法则求未定式。

6分3.利用导数研究函数的单调性和极值，凸凹性和拐点。

10’4.利用定积分求解封闭图形的面积7分5.多元函数连续与可微的关系3分6.多元函数的一阶、二阶偏导数的计算；二元函数的全微分，多元函数复合函数的求导及隐函数求导。

20分7.二元函数极值的经济应用7分8.二重积分的计算以及交换积分次序10分9.利用级数的收敛性证明极限，求幂级数的收敛域和函数，函数的幂级数展开18分10.微分方程解的概念，一阶线性的微分方程的求解。

13’--------------------第二篇：高数知识点高等数学B2知识点1、二元函数的极限、连续、偏导数、全微分；微分法在几何上的应用；二元函数的方向导数与梯度；二元函数的极值。

2、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标）。

3、曲线积分、曲面积分的计算；格林公式；高斯公式。

4、数项级数收敛性的判别；幂级数的收敛半径、收敛域。

第三篇：高数知识点总结高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

x2+xx=lim=13、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：limx→0x→0xxsinx4、两个重要极限：(1)lim=1x→0x(2)lim(1+x)=ex→01x⎛1⎫lim 1+⎪=e x→∞⎝x⎭g(x)x经验公式：当x→x0,f(x)→0,g(x)→∞，lim[1+f(x)]x→x0=ex→x0limf(x)g(x) 例如：lim(1-3x)=ex→01xx→0⎝⎛3x⎫lim -⎪x⎭=e-35、可导必定连续，连续未必可导。

例如：y=|x|连续但不可导。

6、导数的定义：lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)=f'(x)∆xx→x0limf(x)-f(x0)=f'(x0)x-x07、复合函数求导：df[g(x)]=f'[g(x)]•g'(x)dx例如：y=x+x,y'=2x=2x+1 2x+x4x2+xx1+18、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2+y2=1例如：解：法(1),左右两边同时求导,2x+2yy'=0⇒y'=-x ydyx法(2),左右两边同时微分,2xdx+2ydy⇒=-dxy9、由参数方程所确定的函数求导：若⎨⎧y=g(t)dydy/dtg'(t)==，则，其二阶导数：dxdx/dth'(t)⎩x=h(t)d(dy/dx)d[g'(t)/h'(t)]dyd(dy/dx)dtdt===2dxdxdx/dth'(t)210、微分的近似计算：f(x0+∆x)-f(x0)=∆x•f'(x0)例如：计算sin31︒11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y=sinx（x=0x是函数可去间断点），y=sgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)=sin ⎪（x=0是函数的振荡间断点），y=数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：y=limf(x)=cx→∞⎛1⎫⎝x⎭1（x=0是函xlimf(x)=∞，则x=a是铅直渐近线.铅直渐近线：若，x→a斜渐近线：设斜渐近线为y=ax+b,即求a=limx→∞f(x),b=lim[f(x)-ax]x→∞xx3+x2+x+1例如：求函数y=的渐近线x2-113、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

第二个重要极限：e类极限相关练习(老黄学高数第106讲)

老黄学高数
第106讲第二个重要极限
e类型极限相关练习
求e类极限的一般步骤： 1、先判断极限是否属于“1∞”型； 2、将底数化为“1+o(x)”的一般形式；(无穷小) 3、将指数化为包含因式“1/o(x)”的形式； 4、求指数其它因式的极限，记为a； 5、则原极限=ea.
1、求下列极限：
(1)
(2)
→e(n→∞)，由迫敛性得：原极限=e；
2、用两种以上的方法求下列极限：
(1) 利用迫敛性 (2)
(2) →e(n→∞)，又当n>1时,
→e(n→∞)，由迫敛性得：原极限=e.
2、用两种以上的方法求下列极限：
(1)
(2)
方法三：利用方法一，分别解得
由归结原则，对{xn}={n}，有：
(1)
(2)
(3)
解：(1)原极限=
(2)原极限=
(3)原极限=
1、求下列极限：
(4)
(5)
(6)
(4)原极限= (5)原极限= (6)原极限=
2、用两种以上的方法求下列极限：
(1)
(2)
解：方法一：
(1)原极限=
(2)原极限=
2、用两种以上的方敛性
(1)
→e(n→∞)，又当n>1时,

大一经典高数复习资料经典经典全面复习

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln limlimlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+- ()f x极小值Z极大值]4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

高数复习重点梳理

高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。

导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。

在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。

在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。

在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。

在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

高数考试准备中的重点知识整理

高数考试准备中的重点知识整理高数考试的备考过程中，合理的重点知识整理是成功的关键。

面对广泛而复杂的高等数学知识，如何高效地整理和掌握这些重点内容，是每一个考生都必须面对的挑战。

在这篇文章中，将从教育的角度，探讨如何系统化整理高数考试中的重点知识，以提升复习的效果。

首先，理解基础概念是整理高数重点知识的起点。

在高等数学中，基础概念如函数、极限、导数、积分等，是构建知识体系的基石。

对于函数的性质，如单调性、连续性和可导性，考生应当熟练掌握，并能够应用这些性质解决相关问题。

极限概念不仅在理论上重要，还在实际问题中频繁出现，如极限运算中的不定式问题。

熟悉这些基础概念和其应用，是后续学习更复杂知识的前提。

其次，系统化整理常见的定理和公式至关重要。

高等数学中有许多重要的定理和公式，如导数的链式法则、泰勒展开、积分的换元法等。

这些工具在解决具体问题时常常不可或缺。

对这些定理和公式进行整理时，考生应当注意其适用条件和推导过程，理解其背后的理论依据，而不仅仅是记住公式。

这种深入理解的整理方式，能够帮助考生在考试中灵活应用。

此外，解决问题的思路和方法也是整理重点知识的重要部分。

高数问题的解答不仅仅依靠公式的记忆，更需要掌握解题的思路和方法。

对于复杂的题目，可以通过分步解答，找出解题中的关键步骤和常见的思维误区。

归纳总结这些解题方法，形成有效的解题策略，是备考过程中不可忽视的环节。

例如，面对极限问题时，常见的解题策略包括利用洛必达法则、无穷小量比较等。

通过整理这些方法，能够在考试中提高解决问题的效率。

高数考试中的重点知识整理，还应包含对常见题型的归纳和总结。

不同题型涉及的知识点可能有所不同，例如选择题、填空题和综合题。

在整理这些题型时，考生应当注意题型的特点和常见考点，并总结出针对每种题型的解题技巧。

例如，选择题可能考察对基本概念和公式的掌握程度，而综合题则可能涉及到多个知识点的综合应用。

通过总结每种题型的解题方法，可以在考试中更加从容应对。

高数复习知识点及公式

高数复习知识点及公式一、知识点1、求直线方程和平面方程2、求条件极值3、二重积分4、曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、曲面积分6、格林公式7、高斯公式→空间闭曲面 ※8、幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性） 9、傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

高数各章复习题

高数各章复习题# 高数各章复习题第一章：极限与连续1. 定义极限的概念，并给出一个函数的极限计算示例。

2. 解释无穷小量的概念，并说明如何比较两个无穷小量的阶数。

3. 给出函数在某点连续的定义，并举例说明。

4. 利用夹逼定理证明一个函数在某点的极限存在。

5. 解释洛必达法则，并用其求解一个0/0型的不定式极限。

第二章：导数与微分1. 导数的定义是什么？请给出一个简单函数的导数计算过程。

2. 列出基本初等函数的导数公式，并求解一个复合函数的导数。

3. 解释高阶导数的概念，并计算一个函数的二阶导数。

4. 利用导数研究函数的单调性、极值和凹凸性。

5. 应用微分中值定理解决实际问题。

第三章：积分学1. 给出不定积分与定积分的定义，并解释它们的区别。

2. 列出基本积分公式，并计算一个复杂函数的不定积分。

3. 解释换元积分法和分部积分法，并分别给出一个积分计算的例子。

4. 利用定积分计算平面图形的面积。

5. 应用定积分解决物理问题，如求物体的位移和速度。

第四章：级数1. 解释级数的收敛性，并给出收敛级数和发散级数的例子。

2. 应用比较判别法、比值判别法和根值判别法判断级数的收敛性。

3. 给出幂级数的定义，并计算一个函数的幂级数展开。

4. 利用傅里叶级数展开周期函数。

5. 应用泰勒级数近似复杂函数。

第五章：多元函数微分学1. 给出多元函数偏导数的定义，并计算一个二元函数的偏导数。

2. 解释方向导数和梯度的概念。

3. 利用隐函数求导法则求解一个隐函数的偏导数。

4. 应用多元函数的极值问题解决实际问题。

5. 解释拉格朗日乘数法，并用其求解约束条件下的多元函数极值。

第六章：多元函数积分学1. 给出二重积分的定义，并计算一个简单区域上的二重积分。

2. 应用变换法简化二重积分的计算。

3. 解释三重积分的概念，并计算一个简单立体的体积。

4. 利用曲面积分计算物体的表面积。

5. 应用格林公式、高斯公式和斯托克斯公式解决实际问题。

高数总复习题一答案

高数总复习题一答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是（）A. RB. (-∞, +∞)C. {x|x≠0}D. {x|x≠-3/2}答案：A2. 函数f(x)=1/x的值域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)D. R答案：C3. 若f(x)=x^2，求f'(x)=（）A. 2xB. x^2C. 2D. x答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是（）A. -6B. -12C. 0D. 6答案：D5. 函数f(x)=sin(x)的周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. π/4答案：B二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x+5，则f'(x)=______。

答案：3x^2-4x+17. 函数y=x^2+2x+3的极小值点是______。

答案：x=-18. 若曲线y=x^3与直线y=6x-9相切于点P，则点P的坐标为______。

答案：(1,0)9. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。

答案：1/x10. 函数y=x^2-4x+7在区间[2,5]上的最大值是______。

答案：7三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

在区间[1,3]内，x=1是极小值点，f(1)=0；x=11/3不在区间内，所以区间端点处的值也需要比较，f(3)=12。

因此，最大值为12，最小值为0。

12. 已知某函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求其在x=2处的切线方程。

答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x+2，然后计算f'(2)=2，f(2)=2。

切线方程为y-2=2(x-2)，即y=2x-2。

四、证明题13. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是严格递增的。

高数终极复习笔记(最新整理)

两个重要的极限
一：注：其中 e 为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...
二：
例题：求
解答：令
，则 x=-2t，因为 x→∞，故 t→∞，
则
间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如果 x0 是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x0
称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 可去间断点
另外，若遇到
、
用法则求解。
例题：求
、、、等型，通常是转化为
型后，在利
解答：它为型，故可先将其转化为
型后在求解，
函数增减性判定方法：
设函数
在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
a)：如果在(a,b)内
＞0，那末函数
在[a,b]上单调增加；
b)：如果在(a,b)内驻点
＜0，那末函数
在[a,b]上单调减少.
函数是以 y 为自变量的，我们没有对它作记号变换。即：
例题：求
的导数.
是对 y 求导，
是对 x 求导
解答：此函数的反函数为
，故
则：
隐函数的求导
若已知 F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程 F(x,y)=0，能化为
的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程 F(x,y)=0，不能化为
(uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
，这就是分部积分公式
例题：求解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设 u=x，dv=cosxdx，那末 du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：

大学高数复习的技巧与方法

大学高数复习的技巧与方法当高数的复习季节来临，许多大学生可能会感到如同面临一座难以攀登的高山。

作为一个受过高数训练的学子，理解并掌握高数复习的技巧与方法至关重要。

这里提供的一些策略和方法可以帮助你更高效地复习，突破难关，最终达到你对数学的“终极”目标。

首先，明确复习目标是成功的起点。

高数的内容广泛且复杂，制定清晰的学习目标可以帮助你聚焦在关键领域。

你可以将目标细化为每周或每天的小任务，比如掌握某一章节的基本概念或解题技巧。

这种方法能帮助你逐步攻克难关，避免因任务过于庞大而产生的焦虑感。

其次，注重基础知识的巩固是成功复习的基础。

高数的每个知识点都是建立在之前概念之上的，遗漏了基础知识可能会影响后续学习。

回顾课程中的重点概念，尤其是常见的定理和公式，确保它们在你的知识体系中扎根。

对于这些基础知识，你可以制作便于复习的笔记，帮助你在需要时快速查找。

理解公式和定理的来龙去脉，远比单纯记忆更为重要。

了解每个公式的推导过程，不仅能帮助你在考试中更灵活地应用，还能让你在面对类似题目时游刃有余。

多做练习题来检验你对公式和定理的掌握情况，同时，分析解题思路，找出你的薄弱环节，加以改进。

在复习过程中，适当的模拟考试也是必要的。

这不仅能帮助你适应考试的节奏，还能锻炼你的时间管理能力。

模拟考试后，仔细分析错题和遗漏的知识点，找到问题的根源。

通过不断修正错误，你将逐渐提高解题的准确性和效率。

此外，与同学或老师讨论问题也是一种有效的复习方法。

通过讲解和讨论，你可以获得不同的解题思路，发现自己未曾考虑的角度。

组织学习小组，共同探讨难点，能提高你对知识的理解和运用能力。

最后，保持良好的学习习惯和心理状态也至关重要。

避免临时抱佛脚，将复习任务均匀分配到每周的学习计划中。

适当的休息和放松，能够帮助你保持精力充沛。

不要因遇到困难而灰心丧气，相信经过坚持不懈的努力，你一定能够达到高数复习的最终目标。

通过以上方法，你可以在高数复习的过程中事半功倍，为即将到来的考试做好充分的准备。

高考数学高数知识点归纳

高考数学高数知识点归纳高考是每个中国学生都会经历的一场考试，而数学则是其中最重要的一科。

高考数学内容涵盖广泛，包括了数学基础、数学高数等知识点。

本文将对高考数学高数的主要知识点进行归纳，以帮助考生有效复习备考。

一、函数与方程函数与方程是高考数学高数中最为基础也是最为重要的知识点之一。

它是数学中研究各种变化关系的工具，涵盖了函数的概念、函数的性质、函数与方程的关系等内容。

在这一知识点中，考生需要熟悉各类函数的图像与性质，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

同时，还需要掌握函数的运算法则、函数之间的关系以及函数的应用等。

二、数列与数列的极限数列与数列的极限是高考数学高数中的重要内容。

数列是一系列有序排列的数的集合，其形式多样，如等差数列、等比数列、递推数列等。

而数列的极限则是对数列中数值趋于无穷大或无穷小的情况进行研究。

在这一知识点中，考生需要熟练掌握数列的定义与性质，以及数列的极限存在与计算方法。

同时，对于数列的应用题也需要加强练习，如等比数列在金融、生物等领域的应用。

三、导数与微分导数与微分是高考数学高数中的难点与重点。

导数是研究函数变化率的工具，对于高考数学而言，主要关注一、二阶导数与导数的应用。

微分则是导数在微元学中的一种表示方式，主要研究函数与其自变量之间的变化关系。

在这一知识点中，考生需要熟练掌握导数的定义与性质，理解导数的几何意义与物理意义，并能熟练计算各类函数的导数与高阶导数。

同时，还需要掌握微分的计算方法与微分在实际问题中的应用。

四、不定积分与定积分不定积分与定积分是高考数学高数中的重点内容。

不定积分主要研究函数原函数的概念，以及原函数与不定积分的关系。

定积分则是对函数介于两个固定点之间的面积进行研究。

在这一知识点中，考生需要掌握不定积分的性质、不定积分的计算方法以及各类常见函数不定积分的公式。

同时，还需要理解定积分的概念与定义，能够运用定积分求解函数的面积、广义积分等问题。

23年e题相关计算

23年e题相关计算
【实用版】
目录
1.23 年 e 题的背景和重要性
2.e 题的相关计算方法和技巧
3.23 年 e 题的解决方案和策略
正文
【23 年 e 题的背景和重要性】
23 年 e 题是指在 2023 年的全国高考数学试题中，一道涉及到指数函数 e 的题目。

e 是自然对数的底数，它在数学中有着广泛的应用，尤其是在微积分、概率论和复分析等高级数学领域中。

因此，对 e 题的掌握和理解，不仅是高考数学的重要内容，也是学习高级数学的基础。

【e 题的相关计算方法和技巧】
e 题的相关计算方法和技巧主要包括以下几点：
1.对数函数的性质：对数函数是 e 题的核心，其性质包括：
loga(b^c)=c*loga(b)，loga(b^c)=cloga(b) 等。

2.指数函数的性质：指数函数是 e 题的另一个重要部分，其性质包括：a^loga(b)=b，a^(loga(b))=b 等。

3.泰勒公式：泰勒公式是 e 题的高级技巧，它可以将复杂的函数展开为简单的多项式，从而简化计算。

【23 年 e 题的解决方案和策略】
对于 23 年的 e 题，解决方案和策略主要包括以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的关键信息。

2.根据题目要求，选择合适的计算方法和技巧，包括对数函数的性质、
指数函数的性质、泰勒公式等。

3.进行详细的计算和推导，注意过程中的单位和精度。

4.最后，将计算结果进行合理的解释和分析，得出结论。

总的来说，23 年的 e 题虽然涉及到了高级的数学知识，但是只要我们掌握了相关的计算方法和技巧，就能够顺利的解决这道题目。

高数笔记期末总结

高数笔记期末总结高等数学是大学阶段必修的一门课程，它是数学的基础课，也是学习科学的门槛之一。

在这个学期的学习中，我学到了很多新的数学概念和方法，也遇到了不少挑战。

通过总结个人的学习经验和感悟，我希望能够对高数的内容有个更加深入的理解，并且对自己的学习方法进行反思和提升。

在这个学期的高数学习中，我学到了很多基础的数学知识，如导数、积分、微分方程、级数等。

这些知识内容在之后的学习和应用中将起到重要的作用。

对于导数和积分的学习，我了解到了它们的物理意义和几何意义，并且学会了通过公式和性质的运用来求导和积分。

这些方法使得我们可以解决很多实际问题，如速度、加速度、曲线的切线方程等。

在微分方程的学习中，我了解了微分方程的基本概念和分类，并且学会了通过解微分方程来解决一些复杂的实际问题。

在级数的学习中，我了解了级数的概念和性质，并且学会了通过级数来逼近函数和计算无穷和。

除了以上的基础知识外，我还学习了数列和数学归纳法、函数的极限和连续、多元函数的偏导数和方向导数、重积分和曲线积分等内容。

在数列和函数的学习中，我了解了数列的极限的概念和判别法，并且学会了通过数学归纳法来证明不等式和恒等式。

在函数的极限和连续的学习中，我了解了函数的极限和连续的定义和性质，并且学会了通过极限的运算法则来计算函数的极限和判断函数的连续性。

在多元函数的学习中，我了解了多元函数的偏导数和方向导数的概念，并且学会了通过偏导数和方向导数来计算函数的变化率和方向导数。

在重积分和曲线积分的学习中，我了解了重积分和曲线积分的概念和计算方法，并且学会了通过积分来求解曲线的长度、曲线的面积以及物理中的质量、质心等问题。

在高数学习中，我遇到了不少的困难和挑战。

首先，对于一些抽象的概念和定义，我很难理解其背后的几何和物理意义。

如果没有一个直观的理解，就很难把抽象的数学概念与实际问题相联系，也就无法顺利地应用到其他的学科中去。

其次，在计算过程中，我常常会犯错或者忽略一些细节，导致计算结果的错误。

高数e总复习讲解共32页

高数e总复习讲解
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯

高数e总复习

(1) 直接法: 先利用最大最小值定理，再利用介值定理; (2) 辅助函数法: 先作辅助函数 F ( x ), 再利用零点定理.
第二章 1. 导数概念
导数与微分
第一节导数的概念
f ( x0 x ) f ( x0 ) dy y lim . f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x dx x x0
x x0
0, 0,
使当 | x x0 | 时，恒有 | f ( x ) f ( x0 ) | .
(2) 左右连续：
f ( x 0) f ( x0 ), f ( x0 0) f ( x0 ). (3) 闭区间 I 上的连续函数：指该函数在 I 的每一
第三章中值定理和导数的应用
第一节中值定理
名称罗尔定理拉格朗日定理条件 (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (3) f (a ) f (b) (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (1) f ( x )、F ( x ) 在 [a , b]上连续 (2) f ( x )、F ( x ) 在 (a , b )内可导 ( 3) F ( x ) 0
lim f ( x ) g ( x ) A B
2. 复合函数的极限 0 设 lim ( x ) a 且 u ( x ) a( x U ( x0 )), x x0 又 lim f ( u) A，则 lim f [ ( x )] lim f ( u) A. ua 3. 极限求法小结
ห้องสมุดไป่ตู้

高数复习题目和答案

高数复习题目和答案# 高数复习题目和答案题目一：极限的概念与计算题目：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0，我们可以对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

题目二：导数的应用题目：设函数 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)，求其在 \(x = 1\) 处的切线斜率。

答案：首先求导数 \(f'(x) = 6x + 2\)，然后将 \(x = 1\) 代入得到切线斜率 \(f'(1) = 6(1) + 2 = 8\)。

题目三：不定积分的计算题目：计算不定积分 \(\int x^2 + 3x + 2 \, dx\)。

答案：利用幂函数的积分公式，得到 \(\int x^2 \, dx =\frac{1}{3}x^3\)，\(\int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2\)，\(\int 2 \, dx = 2x\)。

将它们相加，得到 \(\frac{1}{3}x^3 +\frac{3}{2}x^2 + 2x + C\)。

题目四：定积分的应用题目：求定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx\)。

答案：先计算不定积分，得到 \(\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x +C\)。

然后计算定积分，得到 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx =[x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2\)。

题目五：级数的收敛性判断题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

答案：使用比较判别法，由于 \(\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 1\)，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛。