高数e总复习

第三节 函数的单调性和凹凸性 1. 单调性判别法 在 (a , b ) 可导 设函数 y f ( x ) 在 [a , b]上连续，
(1) f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在 [a , b] 上单调增; (2) f ( x ) 0, x (a, b) f ( x ) 在 [a , b] 上单调减

f ( x )dx F ( x ) C .
（2）d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ， dF ( x ) F ( x ) C
(3)
微分运算与积分运算是互逆的. 3. 直接积分法
dy dy dx ( t ) 则 ; dx dt dt ( t )
第五节 函数的微分 微分学所要解 函数的变化率问题 导数的概念 决的两类问题 函 数的增 量 问 题 微分的概念 1. 微分的概念 若y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ), 其中 A 是与 x 无关的常数，则称 f ( x ) 在点 x0 处可微, dy A x 为 f ( x ) 在点 x 处微分, 它是 y 的线性主部 . y dy o( x ) 或 y dy 2. 可导与可微的关系 可导 可微 . 3. 微分形式不变性 dy f ( u)du f ( x )dx .
第三章 中值定理和导数的应用
第一节 中值定理
名称 罗尔 定理 拉格 朗日 定理 条件 (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (3) f (a ) f (b) (1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 (2) f ( x ) 在 (a , b ) 内可导 (1) f ( x )、F ( x ) 在 [a , b]上连续 (2) f ( x )、F ( x ) 在 (a , b )内可导 ( 3) F ( x ) 0
(n)
u
n k 0
(n)
v ; ( 2) (Cu)
(n)
(n)
Cu ;
(n)
( 3) ( u.v )
(n)
C u
k n
( n k ) ( k )
v
莱布尼茨公式
3. 计算高阶导数的方法 (1) 直接法； (2) 间接法 .
第四节 隐函数的导数 1. 隐函数的导数 直接在方程 F ( x , y ) 0 两边对 x 求导再解出 y, 应注意 F 对变元 y 求导时， 要利用复合求导法则 2. 对数求导法 当函数式较复杂(含乘除、乘方开方、幂指函数)时， 在方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导. 3. 参数方程确定的函数的导数
(1) 直接法: 先利用最大最小值定理，再利用介值定理; (2) 辅助函数法: 先作辅助函数 F ( x ), 再利用零点定理.
第二章 1. 导数概念
导数与微分
第一节 导数的概念
f ( x0 x ) f ( x0 ) dy y lim . f ( x0 ) lim x 0 x 0 x x dx x x0
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念和判别法 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的；
(2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
连续曲线上凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点 .
x
第八节 无穷小的比较 1. 无穷小的比较的概念
lim
2. 主要性质 (1) ～
0, ,C,1, 称 是比 高阶/低阶/同阶/等价的无穷小
3. 常用等价无穷小 sin x ～x tan x ～ x 2 1 x 1 cos x arcsin x ～ x ～ arctan x ～ x 2 ln(1 x ) ～ x (1 x ) 1～ x ( 0且为常数)
f ( x0 ) a
f ( x0 ) f ( x0 ) a .
2. 导数的几何意义与物理意义 3. 可导与连续的关系 不连续，一定不可导 4. 判断可导性 连续 直接用定义 看左右导数是否存在且相等
v uv u u (v 0). (3)( uv ) u v uv , (4)( ) 2 v v 3. 反函数的求导法则 dy 1 1 1 [ f ( x )] 或 dx dx f ( y ) dy 4. 复合函数的求导法则
lim f ( x ) 绝对值无限增大的变量称为无穷大 . 即 x x
3. 几点注意
0
（1）无穷小(大)是变量，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小； （3）无界变量未必是无穷大.
第六节 极限运算法则
1. 极限的四则运算法则
lim f ( x ) A, lim g ( x ) B,
x x0
0, 0,
使当 | x x0 | 时， 恒有 | f ( x ) f ( x0 ) | .
(2) 左右连续：
f ( x 0) f ( x0 ), f ( x0 0) f ( x0 ). (3) 闭区间 I 上的连续函数： 指该函数在 I 的每一
lim f ( x ) g ( x ) A B
2. 复合函数的极限 0 设 lim ( x ) a 且 u ( x ) a( x U ( x0 )), x x0 又 lim f ( u) A， 则 lim f [ ( x )] lim f ( u) A. ua 3. 极限求法小结
函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性 .
第五节 无穷大与无穷小 1. 无穷小及其基本性质
极限为零的变量(函数)称为无穷小 . 无穷小与函数极限的关系 :
lim f ( x ) A x x
0
f ( x) A ( x) ( x lim ( x ) 0 ). x
0
2. 无穷大及其基本性质
lim x a n n
0, N 0,
当 n N 时，| xn a | .
2. N 定义论证方法：常用分析法倒推
步后再令其 , 解出 n ( ), 取 N [ ( )], 使当 n N 时，总有 | xn a | . 3. 数列极限的主要性质 有界性，唯一性，保号性，子数列的收敛性 . 从 | xn a | 出发，将不等式左端变形若干
o( ); ( 2) ～ , ～ , lim 存在
lim lim .
e x 1～ x
a x 1 ～ x ln a(a 0).
第九节 函数的连续性 1. 连续的概念 (1) lim f ( x ) f ( x0 )
第四节 函数的极限 1. 函数极限的概念
lim f ( x ) A
0, 时刻，从该时刻 以后，恒有 | f ( x ) A |
2. ( X ) 定义论证方法
（或 X ) 0, 使当 0 | x x0 | 对 0, 找
（或 | x | X ) 时，总有 | f ( x ) A | . 3. 函数极限的主要性质
设 y f ( u), 而 u g( x ), 则 y f [ g( x )]的导数
第二节 函数的求导法则 1. 基本求导公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x ) 可导,则 (1)( u ± v ) u ± v, (2)(cu) cu (C是常数),
第四节 函数的极值和最值 1. 函数极值的概念 可导函数 f ( x )在 x0取得极值的必要条件: f ( x0 ) 0.
使函数的导数为零的点称为函数的驻点.驻点和不可 导点统称为临界点，函数的极值必在临界点取得.
2. 函数极值的判别法 第一充分条件 第二充分条件 3. 极值与最值 4. 求最值的一般步骤
极值是局部性概念，最值是整体性概念 (1) 求驻点和不可导点； (2) 求区间端点及驻点和不可导点的函数值； (3) 比较上述函数值，取大(小)者即为最大(小)值 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分的主要性质 (1) f ( x ) 的任意两个原函数之间仅相差一个常数.
个内点连续且在左端点右连续，在右端点左连续.
2. 函数的间断点：使函数不连续的点. 第一类间断点：可去型，跳跃型 间断点 第二类间断点：无穷型，振荡型
第十节 连续函数的运算与性质 1. 连续函数的四则运算
2. 反函数与复合函数的连续性
3. 初等函数的连续性 4. 闭区间上连续函数的性质 有界性定理 最大最小值定理 零点定理 介值定理 5. 证明方程有根的解题思路
a. b. c. d. e.
x x0 u a
多项式与分式函数代入法求极限； 消去零因子法求极限； 无穷小因子分出法求极限； 利用无穷小运算性质求极限； 利用左右极限求分段函数极限 .
第七节 极限存在准则 两个重要极限 1. 夹逼准则
如果数列 xn , yn 及 z n 满足下列条件 :
2. 单调有界准则
(1) yn xn zn ( n 1,2,3,); ( 2) lim y a, lim z a. n n n n
单调有界数列必有极限，即单调增加有上界或 单调减少有下界的数列必有极限
3. 两个重要极限
sin x 1; (1) lim x 0 x
1 ( 2) lim 1 e . x x
0 ,1 , 型
0 0

型 1 g 1 f f g 1 g .1 f
2. 洛必达法则
取对数 0型 0 0. 型 型 f f .g 1g
y fg
f ( x) f ( x ) f ( x) lim . 则 lim 为未定式， x a F ( x ) x a F ( x ) F ( x)
结论
(a , b) 使得
f ( ) 0
(a , bLeabharlann Baidu 使得
f ( ) f (b) f (a ) ba
柯西 定理
(a , b) 使得
f (a ) f (b ) f ( ) F (a ) F (b ) F ( )
第二节 洛必达法则 1. 未定式
d 2 y d dy d ( t ) dt ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . dx 2 3 dx dx dt ( t ) dx (t )
x (t ) 设 , y (t )
第一章
函数与极限
第一节 函数
1. 预备知识：集合的概念，运算，区间，邻域 2. 函数的概念：
函数的定义和运算，求函数的定义域和表达式等
3. 函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性
第二节 初等函数
1. 反函数
2. 复合函数 3. 基本初等函数
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数
第三节 数列的极限 1. 数列极限的概念
dy dy du 为 dx du dx
或 y( x ) f ( u) g( x )
第三节 高阶导数 1. 高阶导数的概念
f ( x x ) f ( x ) y ( f ( x )) lim x 0 x
2. 高阶导数的运算法则
(1) ( u v )