广东工业大学高数2试卷
广东工业大学高数2试卷
专
业：
B.斜交于 z 轴
2. 考虑二元函数 f ( x, y ) 的下面 4 条性质：
① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； 院： ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微； A C ② ③ ①； ③ ④ ①； ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续； ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在． ） B D ③ ② ①； ③ ① ④
dz dxdy dz dxdy
0 Dz1 1 Dz 2
1
2
z 2 dz (2 z )dz
0 1
1
2
5 6
八、 （12 分）解 (1)旋转曲面的方程为: z x 2 y 2 , (0 z 2)
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z , ( Fx , Fy , Fz ) (2 x,2 y,1) e 1 4x 4 y 1
若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（ 学
广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 1页
3． 对于二元函数 f ( x, y ) A．0 B. 不存在
xy ，极限 lim f ( x, y) 为（ ( x , y ) (0,0) x y2
2
） 。
C．1
4 4x x2 2
1 1 1 1 解得两个驻点: ( , ,0) 和 ( , , 0) 2 2 2 2
所以 max
f 1 1 2( ) 2 l 2 2
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六、 （8 分）解:收敛域 I [1, 1]
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
08-09-2高数试卷A(2)(A考试卷)共6页word资料
广东工业大学考试试卷 (A)
课程名称: 高等数学A(2) 试卷满分 100 分
考试时间: 2009年6月29日 (第20周星期一)
题号一二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名
复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分，共20
分）
1．设，，令. 则向量的方向余弦为：。
2．曲面在点处的切平面方程为：。
3．设区域，则 = 。
4．设是由方程所确定的隐函数，其中具有
连续的偏导数，且，则。
5．设是周期为的周期函数，它在区间上的定义为
，则的傅里叶级数在处收敛于________．
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1．平面的位置是（）.
A.平行于轴.
B.斜交于轴
C.垂直于轴.
D.通过轴.
2. 考虑二元函数的下面4条性质：
①在点处连续；②在点处的两个偏导数连续；
③在点处可微；④在点处的两个偏导数存在．
若用“”表示可由性质推出性质，则有（）
第 1 页
A ②③①；
B ③②①；
C ③④①；
D ③①④
学院：专业：学号：
姓名：
装订线
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希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。
2、推销产品要针对顾客的心，不要针对顾客的头。
3、不同的信念，决定不同的命运。
第 6 页。
广东省2024届高三二模数学试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z |30A x x =∈-≤，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意列举法表示集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】解：由题，{}{}2Z |301,0,1A x x =∈-≤=-，{}1,2B =，则A B ⋃={}1,0,1,2-.故选：D.2.已知复数isin z θθ=+（R θ∈，i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A.2 B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数模的公式以及同角三角函数关系得z =，利用三角函数值域即可得到答案.【详解】由题意得z ==当cos 1θ=±时，等号成立，故max z =故选：D.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的性质，求出3b a =，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.【详解】设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，因为双曲线22221x y a b -=的离心率为3，所以3c e a ==，解得3c a =，由222+=a b c ，得22222223133b c a a a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33b a =，所以渐近线方程为333a b y x x xa a =±=±=±，所以两条渐近线的倾斜角分别为π6和5π6，因为5ππ2π663-=，所以，两条渐近线所夹的锐角为2πππ33-=；即双曲线的两条渐近线的夹角为π3.故选：C.4.已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B 【解析】【分析】求出游客到地面的距离为m y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式100y >，可得出结果.【详解】设游客到地面的距离为m y ，设y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为()()sin 0,0y A t b A ωϕω=++>>，则60A =，10A b -+=，可得70b =，函数()sin y A t b ωϕ=++的最小正周期为30T =，则2ππ15T ω==，当0=t 时，游客位于最低点，可取π2ϕ=-，所以，πππ60sin 7060cos 7015215tty ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，由100y >，即π60cos 7010015t -+>，可得π1cos 152t <-，所以，()2ππ4π2π2π3153t k k n +<<+∈N ，解得()30103020k t k k +<<+∈N ，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.故选：B.5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A.27π8B.33π8 C.45π8D.55π8【答案】D 【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点,E F 为切点，由已知，可得4AB BC AC ===，2OE OF ==，60ACB ∠= ，OE AC ⊥，在OEC △中，32OE =，90OEC ∠= ，30OCE ∠= ，所以32OC CE ==，又4AC =，所以52AE =，所以圆台的母线长为52，因为CE CF =，60ECF ∠=o ，所以ECF △为等边三角形，所以32EF =，所以圆台的侧面积3555ππ2428S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若π4A =，则AB OC ⋅ 的最大值为（） A.12B.22C.1D.【答案】C 【解析】【分析】由题设易知OB OC ⊥且AB OB OA =- 、AB OC OA OC ⋅=-⋅ ，进而判断AB OC⋅最大时,OA OC的关系即可得答案.【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且π4A =，故OB OC ⊥，所以AB OB OA =- ，则AB OC OB OC OA OC ⋅=⋅-⋅ ，所以cos ,AB OC OA OC OA OC ⋅=-⋅=- ，故,OA OC 反向共线时AB OC ⋅ 最大，所以max ()1AB OC ⋅=.故选：C7.已知()20232202301220231x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122023111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1-B.0C.1D.20231012【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，结合此性质可求得122023111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】()20231x -的展开式通项为()()()120232023C C 10,1,2,,2023kkk kk k T x x k +=⋅-=⋅-= ，所以，()()2023C 10,1,2,,2023kk k a k =⋅-= ，所以，()()()()2023202322023202320232023202320232023C 1C 11C C 10kkk k k kk k k k a a -----⎡⎤+=⋅-+⋅-=-⋅+⋅-=⎣⎦，所以，()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，且01a =，所以，122023012202311111111a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭020231202210111012011111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：A.8.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c>> B.b a c>> C.b c a>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A.平面α内存在直线l 与直线m 平行B.平面α内存在直线l 与直线m 垂直C.存在平面γ与直线m 和平面α都平行D.存在过直线m 的平面β与平面α垂直【答案】BD 【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；对直线m 与α的位置关系进行分类讨论，结合图形可判断B 选项；利用图形可判断C 选项；利用面满垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行，由于m α⊄，则//m α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错；对于B 选项，若m α⊂，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直，。
大二高等数学试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则其在(a,b)内一定可积的是：A.有界函数B.无界函数C.奇函数D.偶函数2.微分方程y''5y'+6y=0的通解为：A.y=C1e^x+C2e^3xB.y=C1e^2x+C2e^3xC.y=C1e^x+C2e^-6xD.y=C1e^2x+C2e^-3x3.级数∑n=1∞(n^2/n!)的收敛性是：A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定4.在空间直角坐标系中，曲面z=x^2+y^2的切平面方程在点(1,1,2)处为：A.z=2x+2y1B.z=x+y1C.z=2x+2y+1D.z=x+y+15.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值：A.一定全为实数B.一定全为正数C.一定互不相同D.一定存在复数特征值二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则其导数f'(x)在(a,b)内一定大于0。
（）3.级数∑n=1∞1/n^2是发散的。
（）4.多元函数的极值点一定是函数的驻点。
（）5.若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B一定有共同的特征向量。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=______处取得极小值。
2.微分方程y''+4y=0的通解为y=______。
3.级数∑n=1∞(-1)^(n-1)/n的值为______。
4.曲线x^2+y^2=1在点(√2/2,√2/2)处的切线方程为______。
5.若矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则矩阵A^3的特征值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理及其应用。
2.解释什么是函数的泰勒展开。
3.什么是拉格朗日中值定理？给出一个应用实例。
4.简述多元函数的极值和最值的区别。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C ）.C. x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.2 .微分方程y 〃-2y+y=e'+x 的非齐次特解形式可令为（八）.A. Ax:2^+Bx+C ；B. Ae x Λ-Bx+C ；C.Ae x +x 2(Bx+C)↑D.Axe x +Bx+C.3 .函数/®y)=(4y -y2)(6x_“2)的驻点个数为(b ).Λ.9;B.5；C.3； D.1.4.设。
是My 面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R 是。
中在第一象限的部分，则积分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).A.2∫∫cos 3xsin ydσ； C.4∫∫(x 3j+cos 3xsin y)dσ；q5 .下列级数中，绝对收敛的级数为(A∑<-ιr ,√b∙T严舄；C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H -,-J=.n=l3n=l√11二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6 .函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]11/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].7 .设级数为(。
〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1 ° χ2+y 2≤∣8 .设Z=In （X+lny ）,则,包-包=0.y∂x∂y9 .交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J ；f （x,y ）dy.A. x-y-2z-3 = 0;B. x+y-2z + 3 = 0; B. 2∫∫x 3 yJσ ；D ∖D. 0.C ).10 .投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X 的改变率（即边际成本）为C ,（x ）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11 .求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.解：分别变量得一^二四（2分）y （y+i ）X两端积分得In 上=lnx+InC,即上=CX （5分）y+1y+1由HT=1，得C=；故所求通解为X =工匕或），=—匚（8分）>,+l -2-x13 .z=∕(ei,2),即可微,求自乎.X oxoy解：寺=*/一与月(4分) ∂x X ^=-e x -y f^-f; (8分)∂yX14 .设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•解：∕r =sin(x+j)+Xcos(x+y),f y =xcos(x+1y)(2分) f xx =2CoS(X +y)-X Sin(X+y) f yy =-xsin(x+y)几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）12.设Z = z （x, y ）由方程/ +孙- z = 3所确定,求包∂x x=2÷√ry=2->∕e Z=Ix≈2-^y∕e y≈2-∙Je（4分）（8分）（4分） （6分） 解：令尸(x,y,z) = "+Λy -z-3,则15.求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.w=l解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）/1=1 /1=1 n=l£S（X）必:=£（J。
05高数B(2)A卷
（A）I＝ dy
1
e
ln x
0 e
f ( x, y )dx （ ; B）I＝ y dy f ( x, y )dx ;
1 e 0 e
（C）I＝
学
ln x
0
dy f ( x, y )dx （ ; D）I＝ dy y f ( x, y )dx
1
广东工业大学试卷用纸，共
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页
3、 微分方程 y 5y 6 y xe 2 x 的一个特解应具有形式（ （A） Axe
u
n 1
n
收敛
u
n 1 n 1
n
收敛，则 lim un 0
n
u
n
发散，则 lim un 0
n
( x 3)n 5. 的收敛域是（ ） n n 1 ( A)(1,1) ; ( B)(2, 4) (C )[2, 4) ;
三、请计算下列各题 1 （5 分）求极限 lim
2 2 2 3 设 u ln 1 x y z ，则
u u u x y z
(1,1,1)
= ——— 。
业：
4 5
装
微分方程
d2 x dx 2 5x 0 的通解为＿＿＿＿。 2 dt dt
x
若 f ( x, y) ye
cos( y x 2 ) ，则 f y' ( x, x 2 ) = ——— 。
其中 D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0. 8(7 分)求微分方程 (1 y 2 ) y 2 yy 2 的通解 。
9（10 分） 修建一座形状为长方体的仓库， 已知仓库顶每平方米造价为 300 元， 墙壁每平方米造价为 200 元，地面每平方米造价为 100 元，其它的固定费为 2 万元，现投资 14 万元，问如何设计方能使 仓库的容积最大？ 10（10 分）试求幂级数
2024专升本高数二试卷
2024专升本高数二试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (1)/(ln(x - 1))的定义域为（）A. (1,2)∪(2,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)∪(2,+∞)D. (2,+∞)2. 若f(x)=x^2+1，则f(f(1))=（）A. 3.B. 2.C. 5.D. 1.3. 当x→0时，sin x是x的（）A. 高阶无穷小。
B. 低阶无穷小。
C. 同阶但不等价无穷小。
D. 等价无穷小。
4. 函数y = x^3-3x^2+1的单调递增区间是（）A. (-∞,0)∪(2,+∞)C. (-∞,1)∪(1,+∞)D. (1,+∞)5. ∫ xcos xdx=（）A. xsin x+cos x + CB. xsin x - cos x + CC. -xsin x+cos x + CD. -xsin x - cos x + C6. 下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（）A. y = | x|B. y = x^2-1C. y=(1)/(x)D. y = x^37. 设y = e^xsin x，则y^′=（）A. e^xsin x+e^xcos xB. e^xsin x - e^xcos xC. e^xcos xD. e^x(sin x+cos x)8. 定积分∫_0^1e^xdx=（）A. e - 1C. eD. -e9. 二元函数z = x^2+y^2-2x + 4y + 5的驻点为（）A. (1,-2)B. (-1,2)C. (1,2)D. (-1,-2)10. 级数∑_n = 1^∞(1)/(n(n + 1))的和为（）A. 0.B. 1.C. 2.D. ∞二、填空题（每题3分，共15分）1. lim_x→1frac{x^2-1}{x - 1}=_2. 函数y = ln(x^2+1)的导数y^′=_3. 已知→a=(1,2)，→b=(3,-1)，则→a·→b=_4. 由曲线y = x^2与y = x所围成的图形的面积为_5. 微分方程y^′+y = 0的通解为y=_三、计算题（每题8分，共40分）1. 求极限lim_x→0(tan x - sin x)/(x^3)。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ）（本试卷共4页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→=。
(A)不存在(B)等于1(C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α（常数0>α）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关。
5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A)1；(B)3e ；(C)3-e ；(D)1-.6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++（B ）x Bx Ax 2cos )(2+（C ）x B x A 2sin 2cos +（D ）x B Ax 2cos )(+一. 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=??????。
2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是。
3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。
4、如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是. 二. 解答下列各题（本大题共2小题，总计12分） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。
2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向四、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、(7分)计算二重积分224+-⎰⎰D xy dxdy 其中D ：x2+y 2≤9.f (x ,y )为连续函数，写出积分在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。
自考高数2的试题及答案
自考高数2的试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是奇函数？A. \( y = x^3 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^5 \)D. \( y = \cos(x) \)答案：D2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解？A. \( y = e^x + e^{-x} \)B. \( y = e^x + x \)C. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( y = x^2 + \sin(x) \)答案：A4. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数？A. \( F(x) = x^3 \)B. \( F(x) = x^3 + 1 \)C. \( F(x) = 2x^2 + 1 \)D. \( F(x) = 2x^3 + 1 \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 ________。
答案：\( \frac{1}{x} \)2. 函数 \( y = e^x \) 的不定积分是 ________。
答案：\( e^x + C \)3. 如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 3 \)，则 \( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = ________。
答案：64. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的拐点是 ________。
广工高数期末考试题
（B） 2x 2 3x 1 2x
（C） 2x 2 2x 1
（D） 2x 2 3x 1
三、求解下列各题（每题 6 分，共 24 分）
1 x2y 1
１．求极限 lim
sin(xy)
x0
x3 y2
y0
2．设
f
具有二阶连续偏导数， z
f ( x sin y, x), 求 z x
1
x
1
y
(A) dy
f ( x, y)dx (B) dy
f ( x, y)dx
0
1 1 x2
0
1 1 y2
1
y
1
y
(C ) dy
f ( x, y)dx (D) dy
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
0
1 1 y2
3．函数
f
x,
y
xy
z 1
由几何意义，在 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故点 (5,5,5) 和 (1,1,1) 即为所
求的点。
7分
广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第 5 页
广东工业大学试卷用纸，共 6 页，第 6 页
2z , x 2
.
3．设 z
z( x, y) 由方程 x
f
z x
,
z y
所确定，其中
f
具有一阶连续偏导数，求 d z 。
x 1
4．求与两直线 L1
:
y
t
1
及
L2
z t 2
:
x 1 1
(最终版)2022高数2期末复习卷子
1. 求微分方程y x dxdy23=的通解. 2. 求微分方程()()0x 22=−++dy y x y dx xy 满足初始条件1,0==y x 的特解. 3. 求微分方程x e y x sin 3+=''的通解. 4. 求微分方程056=+'−''y y y 的通解. 5. 求微分方程096=+'+''y y y 的通解. 第八章1. 已知()4,2,3−=a()2,1,1−=b ，求b a •，b a ⨯.2. 求过点()111，，且与平面013z -y x 2=++平行的平面方程.第九章1. 设xy x z sin 2=，求yx z x z dz y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.2. 设，求yx ux u du y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.3. 求函数()568,33+−+=xy y x y x f 的极值.4. 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值.5. 求()1ln 12222−+++=y x yx z 的定义域.6. 求()22,yx xy y x f +=，求()1,1−f .7. ()()220,1,2lim yx xyy x +−→计算二重积分：1. ()⎰⎰+=Dd y x I δ2,其中D 区域是由2,2==x x y 及x 轴围城的区域.2. ⎰⎰=Ddxdy y x I 22,其中D 区域是由双曲线1=xy ，直线2=x 和x y =围城的区域.3. ()⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 是圆环9422≤+≤y x .4. 三重积分计算:dxdydz z G⎰⎰⎰cos xsiny ，其中(){}20,20,10,,ππ≤≤≤≤≤≤=z y x z y x G5. 三重积分计算：()dxdydz z y x G ⎰⎰⎰++其中(){}20,10,11,,≤≤≤≤≤≤−=z y x z y x G .第11章1. ⎰L xyds ，其中L 为x y 2=从()00，到()21，的直线段.2. ⎰L ds y ，其中L 为抛物线2x y =从()00，到()11，的一段弧.3. ()⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+.4. 计算曲线积分()()dy x y dx L −++⎰y x ,其中L 为 （1）抛物线x y =2从()11，到()24，的一段弧. （2）从()11，到()24，的直线段.5. 验证曲线积分与路径无关，并计算其值：()()()()dy y x x −++⎰d y x 3210，，第12章1. 判断级数的敛散性： （1）∑∞=121n n（2）∑∞=++1)2(1n n n n（3）∑∞=1!2n nn（4）∑∞=+−1232n1n n n2. 判断交错级数的绝对收敛还是条件收敛： （1）()nn n 1111∑∞=−−（2）()nn n 41111∑∞=−−（3）()∑∞=+−1121n nn（4）()()∑∞=+−121n n n n3. 求级数的和. （1）()n n n3111∑∞=− （2）()nn n2511∑∞=−（3）()∑∞=+111n n n 4.求级数()∑∞=−125n n n nx 的收敛域.5.求级数∑∞=123n nnn x的收敛半径和收敛域.。
高等数学精彩试题及问题详解(广东工业大学)
《高等数学-广东工业大学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dtx f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
13大学城高数B2答案(备用卷)
广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第1页广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第2页 0),(=yz xz dF （2分）0)()('2'1=+yz d F xz d F （4分）0)()('2'1=+++ydz zdy F xdz zdx F （7分） '2'1'2'1yF xF dy zF dx zF dz +--= （9分） 4. 利用极坐标计算二重积分其中x y x D 2:22≤+。
解答：原式 = ⎰⎰⎰⎰-=⋅θππρρθθρρρcos 20222d d d d D （4分）⎰⎰==-203223cos 316cos 38πππθθθθd d （7分） 93232316=⋅= （9分） 5. 求解微分方程x xe y y =+''。
解答： 对应齐次方程的特征方程为： 012=+r （2分） 解得： i r ±=2,1 （3分） 对应齐次方程的通解为： x C x C Y sin cos 21+= （5分）设非齐次方程有一个特解：x e x b b y )(10*+=，代入非齐次方程中可以求得： 21,2110=-=b b （7分） 故非齐次方程的通解为：x e x x C x C y )1(21sin cos 21-++= （9分） 6. 在椭圆369222=+y x 的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。
解答： 椭圆在点()00,y x 处的切线方程为()()0920000=-+-y y y x x x ，即369200=+y y x x广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第3页。
高等数学试题及答案广东工业大学.doc
《高等数学-广东工业大学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 00ln(1)lim x x t dt x →+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx bx +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx x a e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,1 9. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x x x f ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）. A ）、不定积分 B ）、一个原函数 C ）、全体原函数 D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy =（ ）A ）、11cos 2y - B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x - 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( ) A 21- B 2 C 1 D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题 1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f x x 11)(，则⎰=dx x f )( 4. =+⎰dt t dx dx 26215. 曲线3y x =在 处有拐点三.判断题 1. x xy +-=11ln 是奇函数. （ ）2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.() 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ）4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim 20x xx -→2. 求nx mxx sin sin lim π→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx x x 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分40⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π05sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A10. A11. D12. B13. D14. A15. B二.填空题 1. 21e2. 2π3. C x+1 4. 412x x +5. (0,0)三.判断题1. T2. F3. F4. T5. T四.解答题1. 82. 令,π-=x t nm n nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4. 1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰5. 令 t x =6，则dt t dx t x 566,== 原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在， 7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ000sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(2121021*******0-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx e x x x x πππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ） A )、x y = B )、0=y C )、)1ln(+=x y D )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
13大学城高数B2(备用卷)
广东工业大学试卷用纸，共2页，第1页广东工业大学试卷用纸，共2页，第2页(A)330(,)xxdx f x y dy -⎰⎰(B)230(,)xx dx f x y dy -⎰⎰(C) 2302(,)xx dx f x y dy -⎰⎰(D) 23(,)xxdx f x y dy -⎰⎰3．设,3,2,1,)(22==⎰⎰+-i dxdy e J iD y xi 其中}|),{(2221R y x y x D ≤+=，}2|),{(2222R y x y x D ≤+=，}||,|||),{(3R y R x y x D ≤≤=，则321,,J J J 之间的大小顺序为 （ ）（A ）321J J J <<；（B ）132J J J <<；（C ）123J J J <<；（D ）231J J J << 4. 设1D 是由ox 轴，oy 轴及直线x + y = 1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：| x | + | y | ≤ 1上的连续函数，则二重积分（）21)(4)(8)(2)(D C B A 5．微分方程023='-''y y y 满足条件1)0(,1)0(=-='y y 的特解是（）（A ）3133+-=x y （B ）133-=y x （C ）3133+=x y （D ）133+-=y x 三．计算题（每小题9分，共54分） 1. 求解微分方程 。
2. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程。
3. 设方程0),(=yz xz F 确定了隐函数),(y x z z =，求dz 。
.4. 利用极坐标计算二重积分其中x y x D 2:22≤+。
5. 求解微分方程xxe y y =+''。
6. 在椭圆369222=+y x 的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。
[VIP专享]广工12高数A(2)试卷及答案
![[VIP专享]广工12高数A(2)试卷及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/7f79bc5f08a1284ac9504343.png)
1．向量 b {2,2,1}在向量 a {4,3,4} 上的投影为
2．函数 u xyz 在点(5,1,2)处沿从点（5,1,2）到点(9,4,14)的方向导数
为
2
2x
3．交换二次积分 dx f (x, y)dy 的顺序后为
4．设
5 。
f
0
具有二阶连续偏导数，
x
。
z
f
x,
设区域 D 是由圆周 x2+y2=4 所围成的闭区域，则
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
n1 n!
n1 n!
七、（8 分）求级数 n xn1 的和函数，并求 n 1 2n 的和。
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 0 页
n 1 2n e2 1
n1 n!
1 xn1 x2ex (-,)
7、 S (x) x2
Байду номын сангаас
n1 (n 1)!
6、 略
h4
5、
2
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
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专
业：
装
（每小题 二、选择题： 每小题 4 分，共 20 分） 选择题： （
1．平面 3x − 3 y − 8 = 0 的位置是（
）. C.垂直于 z 轴. D.通过 z 轴.
A.平行于 z 轴.
B.斜交于 z 轴
2. 考虑二元函数 f ( x, y ) 的下面 4 条性质：
① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； 院： ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微； ② ⇒ ③ ⇒ ①； ③ ⇒ ④ ⇒ ①； ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续； ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在． ） ③⇒ ②⇒ ①； ③⇒ ①⇒ ④
4 4x− x2
D. 无穷大
4． 改变积分次序后 A.
∫0
0
2
dx ∫ f ( x , y )dy + ∫ dx ∫
0 2
x
0
f ( x , y )dy =（
） 。
∫0
2
dy ∫
2− 4− y 2
f ( x , y )dx ,
B.
∫0
2
dy ∫
2− 4− y 2 y 2+ 4− y 2
f ( x , y )dx f ( x , y )dx
= 3 × 1[ 2 + 3(2 + 3)] = 51
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广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 7 页
广东工业大学考试试卷 (A)
名：
课程名称: 课程名称:
高等数学 A(2)
试卷满分 100
分
考试时间: 星期一) 考试时间: 2009 年 6 月 29 日 (第 20 周 星期一)
姓 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
线
评卷得分 评卷签名 复核得分
号：
复核签名 （每小题 一、填空题： 每小题 4 分，共 20 分） 填空题： （ uuu r uuu r uuu uuu r r 1．设 OA = 2i + j ， OB = − i + 2k ，令 m = OA − OB . 则向量 m 的方向余弦为：
（ 七 、 8 分）解：
V = ∫∫∫ dxdydz
Ω
= ∫ dz ∫∫ dxdy + ∫ dz ∫∫ dxdy
0 1 D z1 Dz 2
1
2
= ∫ π z 2 dz + ∫ π (2 − z )dz
0 1
1
2
5 = π 6
(1)旋转曲面的方程为 旋转曲面的方程为: 八、 12 分）解 (1)旋转曲面的方程为: z = x 2 + y 2 , (0 ≤ z ≤ 2) （
学
若用“ P ⇒ Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（
A C B D
广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 1 页
3． 对于二元函数 f ( x, y ) = A．0 ． B. 不存在
xy ，极限 lim f ( x, y ) 为（ ( x , y )→ (0,0) x + y2
2
） 。
C．1 ．
D
x2
dxdy ，其中 D 为三直线 y = 0, y = x和 x = 1 所围成的平面区域。
四、 分）利用格林公式计算曲线积分 ∫ ( x 2 + 2 y ) dx + (3x − y 3 ) dy ，其中曲线 L 为 x 2 + y 2 ≤ 1 的上半 （8
L
圆左端点 A（-1，0）到右端点 B（1，0）的有向弧线段。 五、 分）在球面 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 1 上求一点，使函数 f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在该点处沿 A(1,1,1) 到 （8
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z , ( Fx , Fy , Fz ) = (2 x,2 y,−1)
e= 1 4x + 4 y + 1
2 2
2 2
(2 x,2 y,−1) =
1 1 + 4z
(2 x,2 y,−1)
(2)
补充曲面: Σ 0 : z = 2, x + y ≤ 2, 上侧
4 ∫∫ （1 − y )
Σ
Ω
2
dzdx + (8 y + 1) zdxdy
= ∫∫∫ (8 y − 8 + 8 y + 1)dxdydz − ∫∫ （1 − y ) 2 dzdx + (8 y + 1) zdxdy 4
Σ0
对称性 ∫∫∫ − 7 dxdydz −
Ω
2
∫∫ 2(8 y + 1)dxdy
2． 曲面 3 x + y − z = 27 在点 (3, 1, 1) 处的切平面方程为：
2 2 2
学
。
。 。
订
3．设区域 D : −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 ，则 4．设 z
∫∫ ( x y
3 D
2
− x cos y )dσ =
= z ( x , y ) 是由方程 f ( x − z , y − z ) = 0 所确定的隐函数，其中 f ( u, v ) 具有 ∂f ∂f ∂z ∂z 连续的偏导数，且 。 + ≠ 0 ，则 + = ∂u ∂ v ∂x ∂y 5．设 f ( x) 是周期为 2π 的周期函数，它在区间 ( −π , π ] 上的定义为
= 3 ， ϕ ( x) = f [ x, f ( x, x)] ，
(1,1)
(1,1)
求
d 3 ϕ ( x) dx
x =1
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广东工业大学考试
课程名称: 课程名称:
名：
答题纸
试卷满分 100 分
高等数学 A（2）
考试时间: 考试时间: 2009 年 6 月 29 日 (第 20 周 星期 一 )
n =1
∞
∞
x 2n , n
2x , 1+ x2
s ′( x) = 2∑ (−1) n x 2 n −1 = −
n =1
s ( x ) − s ( 0) = ∫ −
0
x
2x 1+ x
2
dx = − ln(1 + x 2 ), s(0) = 0
所以
s( x ) = − ln(1 + x 2 ), − 1 ≤ x ≤ 1
八、 （12 分）设 Σ 是由曲线 z
（1）写出 Σ 的方程和 Σ 取下侧（即朝着 z 轴负方向的一侧）的单位法向量。 （2）对（1）中的定向曲面，求积分
4 ∫∫ （1 − y )
Σ
2
dzdx + (8 y + 1) zdxdy
∂f =2， ∂y
∂f 九、 分） （8 设函数 z = f ( x, y ) 在 (1,1) 处可微， f (1,1) = 1 ， 且 ∂x
=
1 (e − 1) 2
（8 四、 分） 解:补充 BA : y = 0, x = 1对应起点B, x = −1对应终点A （ 补充
由格林公式得,
∫
L + BA
( x 2 + 2 y )dx + (3x − y 3 )dy = − ∫∫ (3 − 2)dxdy
D
= −S D = −
所以
π
2
∫ (x
L
ϕ ′( x) = f 1' + f 2'
df ( x, x) dx
= f 1' + f 2' ( f1' + f 2' ) d 3 ϕ ( x) dx = 3ϕ 2 (1)ϕ ′(1)
x =1
= 3 f 2 (1, 1){ f 1' (1,1) + f 2' (1, 1)[ f 1' (1,1) + f 2' (1,1)]}
姓 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
评卷得分
线
评卷签名 复核得分 号： 复核签名
（每小题 一、填空题： 每小题 4 分，共 2 α =
3 1 2 , cos β = , cos γ = − 14 14 14
2. 3. 4.
9 x + y − z − 27 = 0 0 1
x + y 2 ≤2
= ∫ dz ∫∫ − 7dxdy −
0 Dz
2
2
∫∫ 2(8 y + 1)dxdy
x + y2 ≤2
广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 5 页
对称性 − 7 ∫ π zdz −
0
2
2
∫∫ 2dxdy = −18π
x + y 2 ≤2
九、 8 分）解: （
d 3 ϕ ( x) = 3ϕ 2 ( x)ϕ ′( x) dx
∂f = 2 ( x − y) max ∂l 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 1
F ( x, y, z ) = 2 ( x − y ) + λ (2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 1)