1.3.1-1函数的单调性
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
必修1课件1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)
f ( x2 ) x2
f ( x1 ) x1
f ( x2 ) x2
x
x
图4
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
1.增函数与减函数 定义：对于函数y=f(x)的定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值x1,x2， ⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说在这个区间上 是增函数； ⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说在这个区间上 是减函数. y y
∴ g ( x1 ) g ( x2 ) 且 g ( x1 ), g ( x2 ) (m, n) ∵ y f (u ) 在 (m, n) 上是增函数， ∴ f [ g( x1 )] f [ g( x2 )] 所以复合函数 y
f ( g ( x)) 在区间 ( a, b)
上是增函数
证明：②设 x1 , x2 (a, b) ，且 x1 ∵u
§1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
时间间 隔 t 记忆量y (百分比) 8-9 1天 刚记忆 20分 60分 完毕 钟后 钟后 小时后 后 100 58.2 44.2 35.8 2天 后 6天 一个 后 月后
x 1 x 1
2 0且 x 1 x 1 0
2 1 2 2
又 x 1 x | x | x
2 2
x 1 x即x x 1 0
2 2
2 x1 x12 1 0, x2 x2 1 0
2 1 2 2
x 1 x 1
( x2 x1 )
人教版数学必修一1.3.1《函数的单调性》 课件
过程分析
结合的能力.
评价分析
教材分析 3.情感目标：
学情分析
目标分析 教法分析
让学生积极参与观察、分析、探索等课堂 教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦，以此激发求知欲望。
领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的 方法去观察分析事物。
过程分析
评价分析
教材分析 教学重点难点：
学情分析 目标分析
t (小时)
-2
问题：1.全天的最高、最低气温分别是多少？气
温随着时间的变化趋势？
2.提出问题，引出困惑。 需要从新的高度来认识函数. 对此提出进一步学习函数单 调性的必要性。（板书课题）
2.如何用数学语言说明随着t的变化,T的变化趋势
(二)提出直观定义
(1) y x 1
y
观察下列函数的图象变化
评价分析
教材分析
教学方法：问答式和探究式
学情分析 目标分析 教法分析
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距 离，激发学生主体参与的积极性．
过程分析 评价分析
教材分析
学情分析 目标分析
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教 师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范 书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的 推理，并成功地完成书面表达．
重点： 函数单调性的概念与判断
教法分析
难点： 利用函数单调性定义或者图象判
断简单函数的单调性
过程分析
评价分析
教材分析 重点难点解决策略：
学情分析 目标分析 教法分析 过程分析
本课在设计上采用了由特殊到一般、 从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比划归的思想，层层 深入；通过学生自主观察，分析、探究得 单调性概念,同时,借助多媒体的直观演示， 帮助学生理解，并通过范例后的变式训练 和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合， 从而突出重点、突破难点．
1.3.1 函数的单调性讲义
1.3.1 函数的单调性一、单调函数的定义如果y ＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这个区间叫做y ＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间D ，必须在定义域I 内，即D ⊆I ，一个函数在不同区间上的单调性可以不同。
（2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则x 1＜x 2⇔f(x 1)＜f(x 2)。
（3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在D 上是增函数，则图象在D 上从左到右呈上升趋势；f(x)在D 上是减函数，则图象在D 上从左到右呈下降趋势。
（4）函数单调性受区间限制。
如函数f(x)＝x1分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是减函数，但不能说成它在整个定义域内(－∞,0)∪(0,＋∞)上是减函数。
单调区间用“，”逗开，不能用“∪”。
（5）有些函数不具备单调性。
如f(x)＝x ＋1，x ∈Z 。
（6）熟记常见函数在其定义域内的单调性。
二、用定义证明函数的单调性例2：证明函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。
分析：按定义只需设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，当 x 1＜x 2，我们来证明f(x 1,)＞f(x 2)。
证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且 x 1＜x 2， 取值 f(x 1)－f(x 2)＝(－3x 1＋2)－(－3x 2＋2)作差＝3(x 2－x 1) 变形 由x 1＜x 2 ，得 x 2－x 1＞0图象上升图象下降于是 f(x 1)－f(x 2)＞0 即 f(x 1,)＞f(x 2) 定号 所以，函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。
定论 例3：证明函数 x x f =)( 在区间[0，＋∞）上为增函数。
证明：设x 1，x 2是[0，＋∞）上的任意两个实数，且0≤x 1＜x 2，则21212121)()(x x x x x x x f x f +-=-=-由0≤x 1＜x 2，得x 1－x 2＜0且21x x +＞0于是 f(x 1)－f(x 2)＜0。
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
2019-2020学年高中人教A版数学必修1课件：1-3-1-1 函数的单调性
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不 能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能 认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点 十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点 十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点 十二分。
拓展提升 常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调 区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处 理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点 十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
1.3.1(1)函数的单调性知识点及 例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差的正负；⑤下结论：即指出函数在给定区间上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像；，，.（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；如果单调性相同，那么是增函数；如果单调性相反，那么是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①的单调性：增函数，减函数；②的单调性：减区间；增区间；③的单调性：，减区间，增区间；，增区间，减区间；④在区间上是增（减）函数，则时，在上是增（减）函数；时则相反；⑤若、是区间上的增（减）函数，则在区间上是增（减）函数；⑥若且在区间上是增（减）函数，则在上是减（增）函数，在上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2. 函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（ ）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2） 由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y 的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f（x）=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x2，可得0≤t≤4，根据二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x2，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函数g（t）=f（x）=x4﹣2x2+5=t2﹣2t+5=（t﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g（t） 在区间[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取x1，x2∈[﹣2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1-x2＜0，+＞0，得f（x1）＜f（x2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数．10. 函数f（x）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f（x）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f（x）=，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x1，x2≠﹣1，且x1＜x2，然后作差，通分，说明x1，x2∈（﹣∞，﹣1），或x1，x2∈（﹣1，+∞）上时都有f（x1）＜f（x2），这样即可得出f（x）的单调区间；②根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f（x）===2-；该函数的定义域为{x|x≠﹣1}，设x1，x2∈{x|x≠﹣1}，且x1＜x2，则：f（x1）- f（x2）=-=；∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x1，x2∈（﹣∞，﹣1）时，x1+1＜0，x2+1＜0；x1，x2∈（﹣1，+∞）时，x1+1＞0，x2+1＞0；∴（x1+1）（x2+1）＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；②由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；∴f（3）≤f（x）≤f（5）；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f（x）+2f（）=3x．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f()＝3x ①，用代替x，得 f()+2f(x)＝ ②；②×2-①，得 3f(x)＝-3x，所以 f(x)＝-x（x≠0）（2） 由（1），f(x)＝-x（x≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间．事实上，任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)＝-x1-+x2＝-(x1-x2)＝(x2-x1)• ，∵x1＜x2＜0∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2+x1x2＞0，所以 (x2-x1)• ＞0，即f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-∞，0）上递减．同理可证其在（0，+∞）上也递减12.证明：f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1﹣x2）•，∵x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1﹣2＞1，x2﹣2＞1，（x1﹣2）（x2﹣2）＞1，∴（x1﹣x2）•＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数．同理可证，f（x）=x+在（2，3]上是减函数解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
人教版高中数学必修一《1.3.1 函数的单调性》教学设计
1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。
如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。
（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。
(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1
1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。
人教A版必修一1.3.1.1函数的单调性
单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识 性的东西，可以直接使用. （2）对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，如
解析：函数单调性强调x1，x2 ［－1，3］，且x1，x2具有任意性， 虽然f（0）＜f（1），但不能保证其他值也能满足这样的不等关 系.故选D.
4.函数f（x）=|x|的减区间是___________. 解析：画出f（x）=|x|的草图，可知此函数的减区间是（－ ，0］
答案：（－
，0］
探究要点一：函数单调性的理解 1.单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间 上可以有不同的单调性. 2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以 下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证 明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三 是属于同一个单调区间. 3.单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推， 即由f（x）是增（减）函数且f（x1）<f（x2） x1<x2（x1>x2）. 4.并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又 有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性. 探究要点二：单调性的证明方法 1.取值：任选定义域中同一单调区间上的自变量值x1，x2，且设x1<x2. 2.作差：指求f（x2）－f（x1）. 3.变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即
类型一：函数单调性的证明 利用单调性的定义证明函数 解题流程： 在 上是增函数.
解：法一：对于任意的x1，x2
且x1＜x2，则
规律方法：利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
《1.3.1函数的单调性》的教学设计
课题：1.3.1函数的单调性教材分析在本节课之前，学生学习了函数的概念和函数的表示，相对于初中阶段所学的三种具体函数，学生对函数的抽象性有了新的认识，对用文字语言和符号语言描述数学概念，有了直观的感受。
本节内容对学生的抽象思维和用符号语言表示数学概念，有新的挑战。
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，为后续的函数的性质的学习起到铺垫的作用。
因此，教师上好这一节课，学生学好这一节内容，至关重要。
教学目标（一）、知识目标1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；（二）、能力目标1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（三）、情感目标1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美．教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性。
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性。
教学用具：多媒体教学平台。
课型：新授课课时：第1课时教学方法：教师启发讲授，学生探究学习。
教学过程：（一）创设情境，引入课题这是某市2015年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图，（1） 什么时候温度最低，什么时候温度最高（4点最低，14点的时候最高）（2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的）随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降.这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. （二）讲授新课函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 2y x =+，2y x =-+，2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像，从左至右上升 第二个图像，从左至右下降那对于第三个图像呢，(,0)-∞下降，(0,)+∞上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2y x =这个图像，我们可以再y 轴右边取一些点，通过解析式可以算通过这个表格，我们可以发现，自变量x 增大时，函数值y 也相应的增大，那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x ，2x ，同学们思考一下是不是有2212x x <，函数2()f x x =图象在y 轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y 轴右侧从左至右“上升”； 现在以2()f x x =在y 轴右侧为例，函数值()f x 随x 的增大而增大，我们就说2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，这是从图象的角度来认识增函数的．如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢？从解析式角度用数学语言描述：在区间(0,)+∞上，任意取两个实数1x ，2x ，由解析式可得到221212()()f x f x x x -=-=1212()()x x x x +-，当12x x <时，有12()()f x f x <.所以函数2()f x x =在区间(0,)+∞上为增函数.对于一般的函数()y f x =，我们应当如何给增函数下定义1、增函数的定义设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上为增函数．现在我们看2()f x x =在y 轴左侧，随着自变量x 的增大，函数值()f x 反而减小，就称2()f x x =在(,0)-∞上为减函数．可类似用上述数学语言描述可得到当12x x <时，有12()()f x f x >. 于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义． 2、减函数的定义设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．说明： 1)增函数的图象从左至右是上升的，减函数的图象从左至右是下降的；2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的局部性质；（三）例题讲解，深化知识例1 如图所示函数y= f(x )是定义在[-5，5]上的单调函数，说出它的单调区间以及在这些区间上是增函数还是减函数？例2 物理学中的玻意耳定律kP V=（k 为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强P 将增大，试用函数的单调性证明之。
高中数学1.3.11函数的单调性课件新人教必修1.ppt
2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随
着202_4/9增_/2_7 大___ ．
研修班
4
画出下列函数的图象，观察其变化规律： f(x) = x2
1、在区间 (_-∞__,_0]上，f(x)的值随着x的增大而
_减__小___．
2、 在区间 (_0_,+__∞_)上，f(x)的值随着x的增大而
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
2024/9/27
研修班
14
思考？
思考：画出反比例函数的图象． 1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你
的结论．
2024/9/27
研修班
15
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 取值 且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
11 x1 x2
x2 x1 x1x2
作差 变形
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
1.3.1-1《函数的单调性》 1.2.2《函数的表示法》
2024/9/27
研修班
1
教学目的
• （1）通过已学过的函数特别是二
次函数，理解函数的单调性及其几 何意义；
• （2）学会运用函数图象理解和研 究函数的性质；
• （3）能够熟练应用定义判断数在 某区间上的的单调性．
1.3.1(1)函数的单调性
f(x2)
的；即当x>0时，即f(x)随着x 的增大而增大.
f(x1)
x1 x2
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和 f(x)=-x2各有怎样的单调性？
符号语言：
函数单调性的定义
特别地:当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它 是增函数，例如f(x)=x，当函数f(x)在它的定义域上单调递减 时，我们就称它是减函数，例如f(x)=-x。
(3)y=x2-3x+2
3 2
单调递增区间:
(-∞,+∞)
增函数
单调递减区间:
(-∞,0)，(0 (1.5,+∞)
单调递减区间
(-∞,1.5)
不是单调函数
例1. 求下列函数的单调区间
(1)y=lx+2l
(2)y=xlx+2l
题型一 由函数图象求函数的单调区间
例2.画出下列函数图象，并写出单调区间：
f ( x) kxb(k 0) 为减函数.
当k 0时，k(x1 x2 )0, 即f (x1) f (x2) f ( x) kxb(k 0) 为增函数.
大本题型二 函数单调性的证明或判断 [例 2] 求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数， 在(－∞，0)上是增函数．
[跟踪训练] 根据定义证明 y＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
例3:已知函数f(x)定义域为R， x1,x2∈R，
满足
f
( x1 ) x1
f (x2 x2
)
0
或
f
( x1 )
f (x2 )x1 x2 0
求证:函数f(x)在R上单调递增
函数单调性定义的等价形式:
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性
§1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是.(2)不能.知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.(×)2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(√)3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(×)4.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.(√)题型一利用图象判断函数单调性例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图，∴单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).反思感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1(1)函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.[－4，－2]B.[1,4]C.[－4，－2]和[1,4]D.[－4，－2]∪[1,4]答案 C(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).题型二函数单调性的证明例2求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.反思感悟 定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2 利用定义判断f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上的单调性.解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝2x 2x 2＋3－2x 1x 1＋3＝2[x 2(x 1＋3)－x 1(x 2＋3)](x 1＋3)(x 2＋3)＝6(x 2－x 1)(x 1＋3)(x 2＋3).因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2－x 1>0，x 1＋3>0，x 2＋3>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上是增函数.题型三 函数单调性的应用例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]. 延伸探究1.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，4]，则a 的值是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4， ∴a ＝－3.2.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调，则a 的取值范围是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调， ∴二次函数的对称轴x ＝1－a 一定不在区间(2,4)内， ∴1－a ≤2或1－a ≥4， 即a ≥－1或a ≤－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞).3.若y ＝f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]答案 D解析y＝x2－6x的开口方向向上，对称轴为x＝3.所以其单调递减区间是(－∞，3].4.下列说法中正确的是()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，则x1<x2答案 D5.若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是__________. 答案(－∞，1)解析由2m<1＋m得m<1.1.证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性.(2)要证明f(x)在[a，b]上不是单调函数，只要举出一个反例即可.2.判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法，而函数单调性的证明现在只能用定义证明.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.一、选择题1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接.2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1C.y ＝1xD.y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数. 3.函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象， 如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数.4.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( )A.(－3,0)B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1，∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3).又∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3，∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).5.函数f (x )＝－x 2＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞) 答案 B解析 二次函数开口向下，对称轴为x ＝a －3，∴a －3≤－2，∴a ≤1.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)考点 函数单调性的应用 题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )考点 函数的单调性的概念题点 函数单调性概念的理解答案 B解析 对于A ，存在x 1∈(0,1)，f (x 1)>f (1)，A 不对；对于C ，存在x 1>1，f (x 1)<f (1)，C 不对；对于D ，存在x 1＝－1，x 2＝1，f (x 1)<f (x 2)，D 不对；只有B 完全符合单调性定义.8.已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A.减函数且f (0)<0B.增函数且f (0)<0C.减函数且f (0)>0D.增函数且f (0)>0答案 A 解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.二、填空题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________. 答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1).10.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 11.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. 三、解答题12.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间.考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示，∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1].13.证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数. 证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数.14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________.考点 函数单调性的应用 题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1.由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.解 ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2).又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4).∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＞0，2x －6≤4，解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5].。
【红对勾】高中数学 1.3.1.1函数的单调性课件 新人教版必修1
1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自 变量”改为“存在两个自变量”？
提示：不能，如图所示：虽然 f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．
2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变 量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？ (1)对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)； (2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0； fx1－fx2 (3)对任意x1、x2都有 >0. x1－x2 提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命 题．
k 3．设反比例函数的解析式为y＝x(k≠0)．若k>0，则函 k (－∞，0) 数y＝x在 上是减函数，在 (0，＋∞) 上也是减函 k (－∞，0) 数；若k<0，则函数y＝x在 上是增函数，在 (0，＋∞) 上也是增函数．
6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？ 1 1 提示：函数在(－∞， ]上是减函数，在[ ，＋∞)上是 2 2 增函数．
4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？ 提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间 而言的，故单调区间是定义域的子集．
1 5．函数f(x)＝ x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？ 提示：不是．例如：取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1) ＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)>f(x2)． 1 这样与函数f(x)＝ x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛 盾． 1 事实上，f(x)＝ x的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋ ∞)．
3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？ 提示：减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2) fx1－fx2 ⇔ <0⇔[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0. x1－x2
1.3.1—1函数的单调性
1.3.1 函数的单调性 (一)【学习目标】1.理解函数单调性的定义．(重点)2.能利用定义判断函数的单调性，并会求函数的单调区间．(重点、难点)【思考探究】1.画出函数 y=x+2, y=-x+2, y=x 2, y=x1的图象.【自主梳理】2.阅读课本 页，勾画概念（1）增函数 、（2）减函数、（3）单调性、（4）单调区间【典例精析】例1 如图，定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f (x)的图象，根据图象说出y=f (x)的单调区间， 以及在每一单调区间上，函数y=f (x)是增函数还是减函数？思考：能否说()x f 在区间[]5,5-上是增函数或是减函数？例2 判断题：① 已知1()f x x=，因为(1)(2)f f -<，所以函数()f x 是增函数. （ ） ② 若函数()f x 满足(2)(3)f f <，则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数. （ ） ③ 若函数)(x f 在区间]2,1(和(2,3)上均为增函数，则函数)(x f 在区间(1,3)上为增函数. （ ） ④ 因为函数1()f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞在区间上都是减函数，所以1()f x x=在(,0)(0,)-∞+∞上是减函数. （ ）例3. 证明函数f (x)=x1在(0，+∞)上是减函数请归纳：利用定义证明函数单调性的基本步骤：变式练习.证明函数f (x)=x 2+1在(-∞,0)上是减函数:-5-2135【巩固练习】2.证明函数f (x)=1-x1在(-∞,0)上是增函数【当堂检测】1.设()(),,,a b c d 都是函数()f x 的单调增区间，且()()1212,,,,x a b x c d x x ∈∈<， 则()1f x 与()2f x 的大小关系是 .2.证明函数f (x)=-2x+1的单调性【拓展提升】1．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个根B ．至多有一个根C ．无实根D ．必有唯一的实根2.已知)(x f 在R 上是减函数,则满足)1()1(f x f >的实数的x 取值范围是（ ） A.)1,(-∞ B )1,0()0,(⋃-∞ C.),1(+∞ D.),1()0,(+∞⋃-∞。
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x f(x)=x2
… -4 -3 -2 -1 0 1 … 16 9 4 1 0 1
2 4
3 9
4 … 16 …
在区间0， 上任取两个x1 , x2，得到f ( x1 ) x ,
2 1
们就说函数f ( x) x 2在区间0， 上是增函数.
f ( x2 ) x ，当x1 x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )，这时我
1 例2 证明函数 f ( x) 在区间 (-,0)上是减函数. x
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k 例2、物理学中的玻意耳定律 p V (k为正常数 ) 告诉
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 V2 V1 k k 作差 p (V1 ) p (V2 ) k 变形 V1 V2 V1V2 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p (V1 ) p (V2 ) 0 定号
1.3.1函数的单调性与最值
第一课时：函数的单调性概念
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
a 6.讨论函数 f(x)＝x＋ (a＞0)的单调性． x
x 1 例1、试确定函数 f ( x ) 在区间 x 性.
上的单调
例2．作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的 的单调区间．
fx = -x2+ 2 x + 3
8 6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
例3：函数f(x)在R上是增函数，且对任意a，b∈R， 都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，若f(4)＝5， 则不等式f(3m2－m－2)＜3的解集为___
注意：
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质；
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； 当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)
分别是增函数和减函数.
3、函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具 有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
．
练习：练习册P20例三 完成练习册上的课时作业
即
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k 所以，函数 p V , V (0,)是减函数.
p (V1 ) p (V2 )
结论
三．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调 性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
五、作业
课本P45 习题1．3（A组） 第3、 4题．
练习:
1．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( 1 A．k＞ 2 1 B．k＜ 2 1 C．k＞－ 2 1 D．k＜－ 2 )
2、若函数f(x)＝ax2－x－1在区间(0,2)内是单调函 数，则实数a的取值范围是( ) 1 1 1 A．0＜a≤ 4 B．a≤ 4 C．a≤0或a≥ 4 D．a≤0 3．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
b y 4、若函数y＝ax与 在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ x ax2＋bx在(0，＋∞)上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
5、设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调 递减且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( D ) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
o x
a>0y
o
增函数 b , 在 2a 减函数
增函数 b x 在 - - ， 2a 减函数
二、应用举例
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它 是增函数还 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5] 其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
K<0
y
o x
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
b - ， - 在 2a
K>0
y
o
在(∞,+∞) x 是增函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
b , 在 2a
K>0
y x
K<0
y x
o
o
a<0 y
3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定 义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的 单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的 证明一般分五步：
∞,+∞) 上，随着x的增大，f(x)的值随 2、在区间 (________ 着 ______ 增大 ．
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
∞,0] 上， f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间(____ 减小 ． ______ 2 、 在区间 (0,+∞) _____ 上， f(x) 的值随着 x 的增大而 增大 ． _____
2 2
一、函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定 义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2， 当 x 1 <x2时，都有 f(x 1 )<f(x 2 ) ，那么就说 f(x)在区 间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定 义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区 间D上是减函数 ．