河北省张家口市涿鹿中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

2015-2016学年度第二学期期中考试
高二数学试卷
班级类型：文科班；考试时间：120分钟；总分 150分
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I 卷（选择题）答案用2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。

第I 卷（选择题60分）
一、单项选择题（5分，每小题12分）
1．设i 是虚数单位，复数i i z +=12，则z =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 2．命题“∀x ＞0，x 2
+x ＞0”的否定是（ ）
A ．∃x 0＞0，x 02+x 0＞0
B ．∃x 0＞0，x 02
+x 0≤0
C ．∀x ＞0，x 2+x≤0
D ．∀x≤0，x 2
+x ＞0 3．命题“若x 2
＜1，则﹣1＜x ＜1”的逆否命题是（ ）
A ．若x 2
＜1，则x≥1或x≤﹣1 B ．若﹣1＜x ＜1，则x 2
＜1 C ．若x ＞1或x ＜﹣1，则x 2
＜1 D ．若x≥1或x≤﹣1，则x 2
＜1 4．过点（0，2）与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（ ） A ．无数多条 B ．3条 C ．2条 D ．1条
5．若曲线y=x 2
+ax+b 在点（0，1）处的切线方程是x ﹣y+1=0，则（ ） A ．a=﹣1，b=﹣1 B ．a=﹣1，b=1 C ．a=1，b=﹣1 D ．a=1，b=1
6．
4π
θ=
)0(≤ρ表示的图形是（ ）
A ．一条射线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．圆
7．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,
)3
π
B ．(2,)3π
-
C ．2(2,
)3π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）
A ．8
B ．18
C ．26
D ．80 9．若直线的参数方程为12()23x t
t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数，则直线的斜率为（ ）
． A ．
23 B ．23- C ．32 D ．3
2
- 10．不等式组⎩⎨
⎧>-<-1
)1(log ,2|2|2
2x x 的解集为 （ ）
A ．)3,0(
B ．)2,3(
C ．)4,3(
D ．)4,2( 11．不等式125x x -++≥的解集为( ) A ．(][)+∞-∞-,22, B ．(][)+∞-∞-,21, C ．(][)+∞-∞-,32, D ．(][)+∞-∞-,23,
12．下列在曲线sin 2cos sin x y θθθ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的点是（ ）
A ．1(,2
B ．
C ．31
(,)42
-
D ．(1
第II 卷（非选择题90分）
二、填空题（5分，每小题20分）
13． “x＞1”是“x 2
＞x”的 条件． 14．在极坐标系下，直线cos()14
π
ρθ+
=与圆=2ρ的公共点个数是_______．
15．若椭圆经过点()2,3，且焦点为），（），，（020221F F -，则这个椭圆的离心率等于______________．
16．若曲线：()101x y a a a =+>≠且在点()0,2处的切线与直线210x y ++=垂直，则
a =_____． 三、解答题
17．（10分）（1）将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(2cos 5sin )40ρθθ+-=；
（2）将下列参数方程化为普通方程：5cos 4sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）；
18．（12分）求曲线22194x y +=经过伸缩变换''1
3
:12
x x y y ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩变换后的曲线方程，并说明它
表示什么图形.
19．（12分）已知z 是复数，z+2i ，
均为实数（i 为虚数单位），且复数（z+ai ）2
在复
平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
20．（12分）已知函数0,4)(>+-=a x a x x f . （Ⅰ）当2=a 时，求不等式12)(+≥x x f 的解集；
（Ⅱ）若),2(+∞-∈x 时，恒有37)2(2
-+≥a x x f ，求实数a 的取值范围．
21（12分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2
（a ＞0）在x=1处有极值10． （1）求a 、b 的值；
（2）求f （x ）的单调区间；
（3）求f （x ）在[0，4]上的最大值与最小值．
22（12分）设函数142)(+-=x x f . （Ⅰ）画出函数=y )(x f 的图像；
（Ⅱ）若不等式)(x f ax ≤的解集非空，求a 的取值范围.
选择 BBDBD ACCBC DC
填空13．充分不必要14 2个 15．2
1
16．2e 17．（1）2540x y +-=； 【解析】
（1）2cos 5sin 40ρθρθ+-=，∴2540x y +-=.
（2）22
12516
x y +=；
（1）∵5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，∴cos 5
sin 4
x
y ϕϕ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两边平方相加，得
2222cos sin 2516x y ϕϕ+=+， 即22
12516
x y +=. 18．经过伸缩变换后的曲线方程为'2
'2
1x y +=，它表示圆心在原点，半径为1的圆.
试题解析：由''13
:12
x x y y
ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得：''
32x x y y ⎧=⎨=⎩，代入22194x y +=中得：'2'2(3)(2)194x y +=， ∴经过伸缩变换后的曲线方程为'2
'2
1x y +=， 它表示圆心在原点，半径为1的圆.
19．2＜a ＜6 【解析】
解：设复数z=m+ni （m ，n ∈R ），
由题意得z +2i=m+ni+2i=m+（n+2）i ∈R ， ∴n+2=0，即n=﹣2． 又∵
，
∴2n+m=0，即m=﹣2n=4．∴z=4﹣2i ．
∵（z+ai ）2=（4﹣2i+ai ）2=[4+（a ﹣2）i]2=16﹣（a ﹣2）2
+8（a ﹣2）i 对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0， ∴
解得a 的取值范围为2＜a ＜6．
20．（I ）{}
1-≥x x ；（II ）]2,0(.
试题解析：（I ）12)(+≥x x f ，即122+-≥-x x ，即⎩⎨⎧≥-+-≥-02122x x x 或⎩⎨⎧<-+-≥-0
21
22x x x ，
解得{}
1-≥x x .
（II ）37)2(2-+≥a x x f 可化为37)2(2-≥-a x x f ，令x x f x F 7)2()(-=，
因为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≥-=+-=-=)
2()2
(327)2()(a x x a a x a x x a x x x f x F ，由于a >0，),2(+∞-∈x ，
所以当2a x =
时，)(x F 有最小值2)2(a a F =，若使原命题成立，只需32
2
-≥a a ，解得
(]2,0∈a .
考点：解含有绝对值的不等式，函数的最值.
21．（1）a=4，b=﹣11；（2）f （x
）在
上单调递增，
上单调递减．；（3）f （x ）的最大值为100，最小值为1020．
【解析】 试题分析：（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f （x ）在1处的值为10，列出方程组求出a ，b 的值．
（2）令导函数大于0求出f （x ）的单调递增区间；令导函数小于0求出f （x ）的单调递减区间．
（3）利用（2）得到f （x ）在[0，4]上的单调性，求出f （x ）在[0，4]上的最值．
解：（1）由f ′（1）=3+2a+b=0，f （1）=1+a+b+a 2
=10， 得a=4，或a=﹣3 ∵a ＞0，∴a=4，
b=﹣11（经检验符合）
（2）f （x ）=x 3+4x 2﹣11x+16，f'（x ）=3x 2
+8x ﹣11， 由f ′（x ）=0得
所以令f ′（x ）＞0得；令
所以f （x ）在
上单调递增，
上单调递减．
（3）由（2）知：f （x ）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，
又因为f （0）=16，f （1）=10，f （4）=100， 所以f （x ）的最大值为100，最小值为1020．
23．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）
()⎪⎭⎫
⎢
⎣⎡+∞-∞-,2
12, .
试题解析：（Ⅰ）由于
()
f x {25,23, 2.x x x x -+<2.-≥=则函数()y f x =的图像如图所示；
（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-或2
1
≥
a 时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围
为()⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,212, .。