2反比例函数与几何综合.教师版

模块一 反比例函数k 的几何意义
1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。

如图二，所围成三角形的面积为
2
k
2.如图，四条双曲线1C 、2
C 、3C 、4C 对应的函数解析式分别为：1k y x =、2k y x =、3k y x =、4k
y x
=，那么1k 、2k 、3k 、4k 的大小顺序为1234k k k k <<<
☞ 利用k 的几何意义求参数的数值或比较参数大小
【例1】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B 点，矩形OAPB
的面积为9，则该反比例函数的解析式为
反比例函数与几何综合
【难度】2星
【解析】反比例函数k 的几何意义
【答案】9
y x
=
【巩固】反比例函数x
k
y =
的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）
A. 2
B. 2-
C. 4
D. 4-
【难度】2星
【解析】k 的几何意义、反比例函数图象性质 【答案】D
【例2】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线m
y x
=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则
m 的值是
_____.
【难度】2星
【解析】反比例函数k 的几何意义
【答案】已知2AOB S ∆=. ∴22
m
=，∵0m >，∴4m =.
【例3】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数k
y x
=
(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）
A ．12S S >
B ．1S =2S
C ．1S <2S
D ．不能确定
【难度】2星
【解析】反比例函数的图象及性质 【答案】B
【巩固】在函数k
y x
=(0x >)的图像上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形12AAOA 、
12BB OB 、12CC OC 的面积分别为A S 、B S 、C S ，试比较三者大小
.
【难度】3星
【解析】设点A 的坐标为(a ，b )，因为点A 在双曲线k y x =
上，所以k
b a
=，即ab k =.因为A 在第一象限内，所以11A S OA A A ab k =⋅==， 同理可得A B C S S S k ===.
由此我们可以得到一个结论：
在反比例函数k
y x
=(0k ≠)中，具有矩形面积的不变性，即121212AA OA BB OB CC OC S S S k ===.
在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即2211AA B B AA B B S S =
由上题结论可推得：
梯形面积与三角形面积的不变性：AOB ABFE S S ∆=梯形
11
22
ABFOC ACOE ABFOC ACOE BDOF ABFOC ACO BOF AOB ABFE S S S S S S S S S S ∆=-=--=--=梯形
【答案】A B C S S S ==
【例4】 如图是三个反比例函数1k y x =、2k
y x =、3k y x
=在x 轴上方的图象，由此观察得到1k 、2k 、3k 的
大小关系为
【难度】2星
【解析】反比例函数k 的几何意义 【答案】123k k k <<
☞ 反比例函数与方程的思想
【例5】 已知点(1,3)在函数k
y x
=
(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的 中点，函数k
y x
=
(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标
.
【难度】3星
【解析】方程的思想无处不在，涉及到函数问题的时候，主要是通过等量关系去建立方程，本题方法不唯
一
【答案】点(1，3)在函数k
y x =的图像上，3k =.
又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3
m
).
过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3
EF m
=.
又E 是对角线BD 的中点，6
2AB CD EF m
===.
故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6
m
).
因此22
m m
BF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF
EF =.
即有3
2m m
=.
解得m =而0m >
，故m =
则E 点坐标为
模块二 反比例函数与面积的综合
1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算
2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法
3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义
☞ 一般面积问题
【例6】 在平面直角坐标系中，函数k
y x
=
(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．
【难度】2星
【解析】k
y x
=过点A (1，2)，代入可得2k =，
B (m ，n )在该函数图象上，所以2mn =.
因为12S ah =，有1(2)22m n ⨯⨯-=，即24m mn -=，所以3m =，23n =，B (3，2
3).
【答案】B (3，2
3
).
【巩固】如图，直线y kx b =+与反比例函数()10k y x x
=<′
的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其
中点A 的坐标为()24-，
，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求AOC ∆的面积．
【难度】3星 【解析】略
【答案】（1）∵反比例函数经过点()24A -，，∴1248k =-⨯=-′，
∴反比例函数的关系式为8
y x =-．
（2）∵点B 的横坐标为4-，∴88
24
x y =-=-=-， ∴B 点坐标为()42-，
． ∵直线y kx b =+经过点A 、点B ，∴4224k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得1
6
k b =⎧⎨=⎩，
∴直线解析式为6y x =+，∴C 点坐标为()60-，
， ∴11
641222
AOC A S OC y ∆=⋅=⨯⨯=．
【例7】 如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=
上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，
则12S S +=
【难度】2星
【解析】123S S S S +=+=阴影阴影,所以122S S == 【答案】4
【巩固】如图，在反比例函数2
y x
=
(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，
求123S S S ++．
【难度】3星
【解析】将2S 和3S 向左平移，即可拼成一个大的矩形，宽(横向)为1，长(纵向)为1P 与4P 的纵坐标之差，
即223142-=.所以12332S S S ++=. 【答案】3
2
【巩固】已知A B C D E ，，，，是反比例函数16
y x
=()0x >图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数）
，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）
【难度】2星
【解析】先求出五点坐标，再用割补法求5个橄榄形的面积总和 【答案】13π26-
【例8】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在
函数k
y x
=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y
轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．
⑴求B 点的坐标和k 的值；
⑵当9
2
S =时，求P 点坐标；
⑶写出S 关于m 的函数关系式．
【难度】4星
【解析】第二问涉及分类讨论思想
【答案】⑴设B 点坐标为(x ，y ).则由条件，得9xy =，0x y =>，解方程组得3x =，3y =，点B 的坐标
是(3，3).又由k
y x
=,得9k xy ==.
⑵点P 的坐标为 (m ，n ).
当3m ≥时,如图甲,3AE m =-,1
9
PE n m
==. ∴当92S =时，有1
92AE PE ⋅=,即()99
32
m m -⋅=.解得6m =. 故1P 点的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝
⎭，．
当03m <<时,2P F m =,9
33FC n m
=-=-.
∴当92S =时，有292P F FC ⋅=.即99
32
m m ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭.解得32m =.
即2P 点的坐标为362⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ⑶参照第⑵题可知,当3m ≥时,()1
927
39S AE PE m m m
=⋅=-⋅=-; 当03m <<时,如图乙,29393S P F FC m m m ⎛⎫
=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭
.
【巩固】如图，反比例函数8
y x
=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，
:2:1OA OC =．
（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．
【难度】3星
【解析】直线平分矩形面积，则直线必过矩形对角线的交点
【答案】⑴由题意，设()()20B a a a ≠，
，则 8
2a a
=
2.a ∴=± ∵B 在第一象限，
∴()242a B =，
， ∴矩形DABC 对角线的交点E 为(2,1)
⑵∵直线2y x m =+平分矩形DABC 必过点(2,1)
∴122m =⨯+ ∴3m =-
☞ 利用k 的几何意义进行面积转化 1.如图，直线AB 与反比例函数k
y x
=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ， 那么OAB OCD OBD
OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。

但是，从效率来讲，就比较低
2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。

【例9】 如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A ，，，，分别
作x 轴的垂线与反比例函数()2
0y x x
=≠的图象相交于点12345P P P P P ，，，，，得直角三角形
1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2，，，，，并设其面积分别为12345S S S S S ，，，，，则5S 的值为 ．
y=
2x
A 5
A 4A 3A 2A 1O y
x
P
5
P 4P 3
P 2
P 1
【难度】3星
【解析】这是在反比例函数上找规律的问题，在横坐标注意递增的条件下，进而得到12345P P P P P ，，，，的
坐标，及面积得求。

即51
105k
S =
= 【答案】1
5
【例10】 两个反比例函数k y x =
和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k
y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k
y x
=的
图象上运动时，以下结论：
①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；
④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．
其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
y x
y=k x
y=1x
D
B
P A
C
O
【难度】4星
【解析】①根据上节课结论易知成立；
②1PAOB PDOC BDO ACO S S S S k ∆∆=--=-，结论成立.
③根据题意可得：PC PD k ⋅=，1BD PC ⋅=，1AC PD ⋅=，
111PC PD k PA PC AC PC PD PD PD ⋅--=-=-==，111
PC PD k PB PD BD PD PC PC PC
⋅--=-=-==
， PC PD ≡/，所以PA PB ≡/.
④根据1BD PC AC PD ⋅==⋅，故PC PD
AC BD
=
可知成立.也可利用结论③中的推导. 其中一定正确的是①②④.
【答案】①②④
【巩固】如图，点A 、B 在反比例函数k
y x
=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和
2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．
x
y
O
C
B
A
E
x
y
O
C
B
A
D
【难度】3星
【解析】反比例函数k 的几何意义，以及面积的转化
【答案】⑴由题意设A (a ，k a )，则11
222
AOC k S a k a ∆=⋅⋅==，得4k =
故反比例函数的解析式为4
y x
=
⑵因为反比例函数4
y x
=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，由0a >，得2a a ->-，所以12y y <
⑶如图，作BD x ⊥轴于D ，设AC 与OB 相交于点E ， 易知AOE ECDB S s ∆=梯形，故AOB ACDB S s ∆=梯形，
易求4AC a =
，2BD a =，CD a =，所以142
()32AOB ACDB S S a a a
∆==+⋅=梯形
【巩固】如图，已知双曲线()0k
y k x
=
>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．
O
E
D
C
B
A
x
y
【难度】4星
【解析】连接CD ，将OCD ∆的面积转化到梯形ACDE ，则=3OBC ABDE S S ∆=梯形 ∴1ODE S ∆= 【答案】2
☞ k 的几何意义与双曲线的对称性 1.如图一，直线AB 与反比例函数k
y x
=
（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ， 那么OAB OCA OCB ODB ODA S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。

常规方法，费时、费力、
而且还易计算出错。

2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长BO 交双曲线于点E ，连接AE 、则OB OE =，OAB OAE S S ∆∆=，因此可以将OAE ∆的面积转化为梯形的面积
【例11】 直线y kx =（0k >）与双曲线4
y x
=
交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则122127x y x y -的值等于 【难度】2星
【解析】双曲线以及正比例函数图象都是关于原点成中心对称，因此12x x =-，12y y =-， ∴12224x y x y =-=-，21224x y x y =-=-
【答案】20
【例12】 如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m
y x
=
的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．
【难度】4星
【解析】（1）∵点()21A -，
在反比例函数m
y x
=的图像上， ∴(2)12m =-⨯=-．
∴反比例函数的表达式为2y x
=-
． ∵点()1B n ，
也在反比例函数2
y x
=-的图像上， ∴2n =-，即()12B -，
． 把点()21A -，
，点()12B -，代入一次函数y kx b =+中，得 212k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩，解得1
1
k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为1y x =--．
（2）方法一、在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．
∴直线1y x =--与x 轴的交点为()10C -，
．
∵线段OC 将AOB ∆分成AOC ∆和BOC ∆，
∴1113
121112222
AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△．
方法二、延长BO 交双曲线于点D ，连接AD ，过点A ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、
F ，则点B 与点D 关于原点对称，所以1
()2
OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅梯形
∵(1,2)B - ∴(1,2)D - ∴1AE =，2DF =，1EF =，
∴13
()22OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅=梯形
【答案】（1）反比例函数的表达式为2y x =-，一次函数的表达式为1y x =--．（2）3
2
．
【巩固】已知反比例函数8
y x
=上两点A ，B 的横坐标分别为2-，8，则OAB ∆的面积为
【难度】3星
【解析】反比例函数k 的几何意义及双曲线的中心对称性 【答案】15
模块三 反比例函数与其他几何问题
☞反比例函数与等腰三角形
1.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论，
2.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质
【例13】 如图，已知反比例函数12k
y x
=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，
()1122A n B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【难度】3星
【解析】此题的第二问涉及到分类讨论，要注意讲清分类的标准．
【答案】（1）∵点122B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
在反比例函数12k y x =图象上， 1
2122k -=
⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
∴，12k =∴ ∴反比例函数的解析式为1
y x
=．
又(1)A n ∵，在反比例函数图象上，
1
1
n =∴，1n =∴
A ∴点坐标为()11，
． ∴一次函数2y k x b =+的图象经过点1(11)22A B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，，
， 221
1
22
k b k b +=⎧⎪
⎨-+=-⎪⎩∴，221k b =⎧⎨=-⎩∴ ∴一次函数的解析式为21y x =-．
（2）存在符合条件的点P ，可求出点P
的坐标为0)(0)(20)(10)，，，，，
【例14】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4
y x
=
(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.
【难度】4星
【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=
设1OA a =，2OA b =，则根据题意得2a OC =，1
2a PC =，∴422
a a
⨯=，解得4a = 2b a OD +=，22b a P D -=，∴422
b a b a
+-⨯=
，解得b =
依次类推，可得3OA =
48OA =
…n OA =所以2A
(0).
【答案】2A
(0).
【巩固】如图所示，()()111222P x y P x y ，，
，，……，()n n n P x y ，在函数()9
0y x x
=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴
上，则12n y y y +++=…______________．
【难度】4星
【解析】反比例函数与等腰直角三角形有关习题的变形 【答案】由已知可求得16OA =，262OA =，…，6n OA n =
∵1112y OA =，21212y A A =，…，11
2
n n n y A A -=
∴12112111
()322
n n n n y y y OA A A A A OA n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==
1.
如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数8
y x
=-的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标和B 点的纵坐标都是2- ⑴求一次函数解析式 ⑵AOB ∆的面积
O
B
A
x
y
【难度】3星
【解析】利用反比例函数k 的几何意义以及中心对称转化面积 【答案】⑴一次函数解析式为2y x =-+ ⑵6AOB S ∆= 2.
如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数
1
(0)y x x
=>的图象上，则点E 的坐标是
F E
O
C
A B
D x
y
【难度】3星
【解析】利用点E 在双曲线函数图象上，引入未知数，建立方程
课堂检测
【答案】根据题意得，正方形OABC 的边长为1，设正方形ADEF 的边长为a
则1OD a =+，DE a = ∴(1)1a a +=，解得51a -=或51
a --=（舍） ∴E 点坐标为5151
(
,)+-
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1． 已知反比例函数2k
y x
=
和一次函数21y x =-，其中一次函数的图象经过(,)a b 、(1,)a b k ++两点 ⑴求反比例函数的解析式
⑵如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；
⑶利用⑵的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

A
x
y
O
【难度】4星
【解析】注意分类讨论、点A 坐标隐含的信息
【答案】⑴∵一次函数的图象经过(,)a b 、(1,)a b k ++两点
∴21b a =-，2(1)1b k a +=+-，解得2k =
∴反比例函数解析式为1
y x
=
⑵联立方程组得21
1
y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11122
x y ⎧=-
⎪⎨⎪=-⎩或2211x y =⎧⎨=⎩ ∵点A 在第一象限 ∴A 点坐标为(1,1)
课后作业
总结复习
⑶分类讨论：
=，则P点坐标为(2,0)
若OA AP
=，则P点坐标为(1,0)
若OP PA
=，则P点坐标为或(若AO OP。