点共线问
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。
点共线问题的证明方法
一、点共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，ACBD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11AACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC M ∈∴∈ ，平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线．点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．。
证明三点共线问题法
证明三点共线问题的方式一、利用梅涅劳斯定理的逆定理例一、如图1,圆内接MBC为不等边三角形，过点A、B、C别离作圆的切线依次交直线EC、CA、AE于灯、B'、求证：A、O三点共线。
由梅涅劳斯定理的逆定理，知A、B'、L三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补取得共线）例2、如图，以锐角"EC的一边BC为直径作0（）,过点A作0（）的两条切线，切点为M、N,点H是AABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。
（1996年中国奥数）证明：射线AH交BC于D,显然AD为高。
咎记AE与0（）的交点为E,易知C、H、E三点共线。
//—联结OM、（）N、DM. ON. MH、NH,C 易知ZAMO = ZANO = AADO = 90° ,・・・A 、M. C ）、D 、N 五点共圆,更有入M. D 、N 四点共圆， 此时，ZAMD+ZAND = 18(Y )AM 2 = AE-AB = AH ■ AD (E 、D 、H 、E 四点共圆)，AD即——=——;又= ADAM , AH AM所以 AAMH-AADM,故 ZAHM = ZAMD 同理，ZAHN = ZAND 。
因为 ZAHM + ZAHN = ZAMD + ZAND = 180° , 所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法若是沐曰使=*旳jw 点已、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF,即M 、N 与EF 的中点三点共线。
例3.如图，延长凸四边形ABCP 的边AB 、DC 交于点E,延长边AD 、BC 交于点F,又M 、N 、L 别离是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共 线。
证明：设BC 的中点为0,辅助线如图所示， 由OM//AE.ON 〃DE 可知，点、0必在AEMN 内,此时,S\EMN =S SOMN +S \OME +S \ONEE—Sgwv + S gMB + SgNC = S^BMN=y (孔BMD + S^BCD )= y (孔BMC +SDMC ) = j •亍( $1ABC + SADC ) _ '四边 J^ABCD 同理，S 列N = t S 四边形AB8。
高考圆锥曲线题型之四点共线问题
问题九：四点共线问题例题10、（08安徽理）设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足AP QB AQ PB=，证明：点Q总在某定直线上22解(1)由题意：2222222211ca bc a b⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b==，所求椭圆方程为22142x y+=(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y。
由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQPB QBλ==,则0λ>且1λ≠又A，P，B，Q四点共线，从而,AP PB AQ QBλλ=-=于是1241x xλλ-=-，1211y yλλ-=-121x xxλλ+=+，121y yyλλ+=+从而22212241x xxλλ-=-， （1）2221221y yyλλ-=-， （2）又点A、B在椭圆C上，即221124,(3)x y+= 222224,(4)x y+=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y+=即点(,)Q x y总在定直线220x y+-=上方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。
且 PA PB AQ QB= 又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠± ,于是1141,11x y x y λλλλ--==-- （1） 2241,11x y x y λλλλ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3）222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上练习1、（08四川理）设椭圆22221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，120FM F N = ．（Ⅰ）若12||||FM F N == a 、b 的值； （Ⅱ）证明：当||MN 取最小值时，12FM F N + 与12F F 共线．解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c ．由e 2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c ===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ．∵120FM F N ⋅= ，∴12FM F N ⊥ ．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =．∵12F M F N ==∴22920c c +=，22=，22b =，24a =．∴2a =，b （Ⅰ）另解：∵120FM F N ⋅= ，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又12F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得： 222(209)(20)9c c c --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人． （Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅= ， ∴21230y y c =-<．22221212122121212222412MN y y y y y y y y y yy y c =-=+-≥--=-= ．当且仅当12y y =-或21y y =-时，取等号．此时MN取最小值．此时1212(3,)(,)(4,0)2F M F N c c c F F +=+== ． ∴12FM F N + 与12F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ⋅= ， ∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-．设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c=+⎧⇒=⎨=⎩， 由21()2y x c c y k k x c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k=-=⋅+≥． 当且仅当13k k =即21k =，k=时取等号．即当MN 最小时，k = 此时1212(3,3)(,)(3,)(,)(4,0)2c F M F N c kc c k c c c F F +=+-=+== ∴12FM F N + 与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．。
三点共线向量公式
三点共线向量公式
三点共线向量公式是用来描述三点共线问题的数学表达式。
它可以用于验证三点是否共线，用于解决复杂的几何问题。
要求三点共线，这三个点对应的坐标必须满足一些条件。
它们有：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3)。
它们的共线向量公式为：(y2 - y1)(x3 - x1) = (y3 - y1)(x2 - x1)。
这一公式表明，当该等式成立时，三点坐标所构成的三角形就是一个等腰三角形，它们三点所连线段相互平行，这三点就在同一直线上。
也就是说，当等式成立时，就说明三点共线了。
三点共线向量公式的运用非常广泛，尤其在几何问题的解决中更是必不可少。
如果我们需要检查一个多边形是否是凸多边形，就可以使用三点共线向量公式来进行检验。
在图形处理的应用中，修改一个点的三点共线性状态，我们就可以使用这个公式来确定该点是否应该发生位移，或者是否可以删除它。
总之，三点共线向量公式是一种非常重要的几何性质，它可以用于检验几何形状是否合理，从而辅助我们更好地解决几何问题和图形处理问题。
关于点共线及线共点问题的探讨
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～
Ａ Ｃ Ｄ， 点 编 号 为 １３ ５， 按 帕斯 克 定 ＢＣ Ｄ 定 ２４ ６ 则
理， ： 得
１ ４ ＝ＡＢ ＣＤ＝ ２ ５ ＝ＢＣ ２ ５ Ｐ，３ ６ ＤＤ＝Ｒ， ４ ６１ ３ ＊ ＝ＣＣ
Ｙ
Ａ Ｑ。 Ｄ＝
则 三点 共 线， 毕 。 证 例 ２ 如 图二 ， 四边 形 Ａ Ｃ 的 四 边 Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ、 Ｃ、 Ｃ ＤＡ分 别 与一 圆切 于 Ｅ Ｆ Ｇ、 求证 ： Ｄ、 、 、 Ｈ， ＠Ｃ、Ｈ、 Ｂ ＤＥ共 点 ；
ｔ ｅ ｒ ｍ， ｏ ａ ｃ ｄ ｎ ａ ｌ ｒ ｃｐ ｅｅ ｃ ｒ ｏ ｎ ｅ ｎ ｎ ｒ ｅ ｅｔ ｔ ｌ ｉ ｅ ｏ ｄ ｒ ｔ ｅｌ ｅｏ ｏ ｌｍ ． ｈ ｏ ｅ ｔ ｃ ｉ ｅ ｔ ｌ Ｐ ｎ ｉ ｌ ｔ ， ｏ ｆ ｏ ｃ ｒ ｉ ｇ ｏ ｄ ｒ ｈ ａ ｎ ｒ ｅ ｓ ｈ ｔ ｎ ｆ ｒ ｂ ｅ ｙ ｉ Ｐ ｃ ｔ ｏ ｌ ｗｉ ｈ ｉ ｐ
为 Ｄ Ｆ的对应 边顶 点 连线 共点 （ 于 垂心 ） 由德 萨 Ｅ 交 ， 格 定理知对应边 三交点 ： ＢＣｘＥ ＝ Ｃ Ｆ Ｘ， Ａ￣Ｆ）Ｙ， Ｉ ＿
Ａ
Ａ Ｂ￣Ｄ ＝ Ｅ Ｚ共线 ．
例 ４ 证 明三 角形垂 心 、 重心 、 和外 心 三点 共 线 。
证 ： 图 四所 示 ， 三 角形 的重 心 、 如 设 垂心 、 心分 外
别为 Ｈ Ｇ、 ，另设 Ｄ、 别为 Ｂ Ｃ 、 Ｌ Ｅ分 Ｃ、 Ａ边上 的 中
图二 布 利安 双定理 证 明 证 明 ： 图 二 ： 示 记 六 边 形 １３５ 如 所 ２４ ６其 中 ３ ； ４ 点 ，由三 角 形 Ｄ Ｌ和 Ａ Ｈ 可 知 ： ／ Ｂ， Ｌ／Ｈ Ｅ Ｂ ＤＥ／ Ｄ ／ Ａ Ａ
初二数学 三点共线问题
初二数学三点共线问题
三点共线问题在初二数学中是一个重要的几何概念。
当三个点在同一条直线上时，我们称这三个点为共线点。
三点共线问题涉及到一些基本的几何性质和定理，是解决许多几何问题的关键。
首先，要理解三点共线的定义。
三点共线意味着这三个点位于同一条直线上。
在数学中，我们可以使用向量来表示直线的方向和位置。
如果三个点A、B、C共线，则向量AB 和向量AC有相同的方向或其中一个为零向量。
在解决初二数学中的三点共线问题时，我们通常会用到一些基本的几何定理和性质。
例如，三点共线的充要条件是它们所在的直线方程中的x和y的系数之比相等。
如果三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)共线，则存在一个非零实数λ，使得向量AB=λ向量AC。
三点共线问题在初二数学中有许多实际应用。
例如，在解决一些平面几何问题时，我们可以通过判断三个点是否共线来确定它们的位置关系。
此外，三点共线问题还涉及到一些重要的几何定理，如垂心定理、欧拉线定理等。
为了更好地理解和解决三点共线问题，学生需要掌握一些基本的几何知识和技能。
首先，学生需要熟悉直线的方程和性质，包括直线的一般方程、斜率和截距等概念。
其次，学生需要掌握向量的基本概念和运算方法，包括向量的定义、
加减法、数乘和标量乘法等。
最后，学生还需要掌握一些基本的几何定理和性质，如三角形全等的判定定理、相似三角形的性质等。
高中数学圆锥曲线系统讲解第26讲《三点共线问题》练习及答案
第26讲 三点共线问题知识与方法在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：（1）斜率相等：A 、B 、C 三点共线AB AC k k ⇔=或直线AB 、AC 的斜率都不存在； （2）向量共线：A 、B 、C 三点共线AB AC ⇔∥.典型例题1.（★★★★）已知曲线()()22:528C m x m y −+−=()m ∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点分别为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A 、G 、N 三点共线. 【解析】（1）原曲线方程可化为2218852x y m m +=−−，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，所以88052m m >>−−，解得：752m <<. （2）当4m =时，曲线C 的方程为2228x y +=，由题意，()0,2A ，()0,2B −，联立22428kx x y y ++==⎧⎨⎩消去y 整理得：()222116240k x kx +++=，判别式()232230k ∆=−>，故232k >，设()11,4M x kx +，()22,4N x kx +，由韦达定理，1221621k x x k +=−+，1222421x x k =+， 直线MB 方程为1162kx y x x +=−，令1y =解得：1136x x kx =+，所以113,16x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭故113,16x AG kx ⎛⎫=−⎪+⎝⎭，()22,2AN x kx =+要证A 、G 、N 三点共线，只需证AG 与AN 共线， 即证()1221326x kx x kx +=−+成立，化简得：()121246kx x x x =−+①由1221621kx x k +=−+和1222421k x x k =+可得式①成立，所以A 、G 、N 三点共线.2.（★★★★）已知A 、B 分别为曲线222:1x C y a+=()0,0y a ≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x 轴垂直，S 为l 上异于B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T . （1）若曲线C 为半圆，且T 为圆弧AB 的三等分点，求S 点的坐标；（2）如下图所示，M 是以BS 为直径的圆与线段BT 的交点，试问：是否存在a ，使得O 、M 、S 三点共线?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当曲线C 为半圆时，1a =，由点T 为圆弧AB 的三等分点得60BOT ∠=︒或120°，当60BOT ∠=︒时，30SAB ∠=︒，又2AB =，所以在SAB △中，tan303SB AB =⋅︒=，故S ⎛ ⎝⎭当120BOT ∠=︒时，同理可求得点S 的坐标为(，综上所述，点S 的坐标为⎛ ⎝⎭或( （2）解法1：由题意，(),0A a −，(),0B a ，直线AS 不与坐标轴垂直，可设其方程为x my a =−()0m ≠，联立2222x a x m a ay y ⎧⎨+==−⎩消去x 整理得：()22220m a y may +−=，解得：0y =或222mam a+，所以222T may m a =+，从而()2222T T a m a x my a m a −=−=+，故()2222222,a m a ma T m a m a ⎛⎫−⎪ ⎪++⎝⎭， 联立x x amy a ⎧⎨==−⎩解得：2a y m =，所以2,a S a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点M 在以BS 为直径的圆上，所以SM BM ⊥，又M 是圆与线段BT 的交点，所以SM BT ⊥，故O 、M 、S 三点共线等价于OS BT ⊥，即()222222221OS BTmam a k k m a m a am a +⋅=⋅=−−−+，结合0a >可解得：a =，所以存在a =，使得O 、M 、S 三点共线.解法2：显然AS 的斜率存在且大于0，故可设直线AS 的方程为()y k x a =+，联立()ay k x x a ⎧⎪⎨==+⎪⎩解得：2y ka =，所以(),2S a ka ，故直线OS 的斜率22OS ka k k a ==， 设()00,T x y ，则220021x y a +=，所以220021x y a=−，从而202200022222000011AT BT BTx y y y a k k k k x a x a x a x a a−⋅=⋅=⋅===−+−−− 所以直线BT 的斜率为21BT k a k=−，因为点M 是线段BT 与以BS 为直径的圆的交点，所以BT SM ⊥，从而211BT MS MS k k k a k=−⋅=−，故直线MS 的斜率为2MS k a k = 而O 、M 、S 三点共线等价于OS MS k k =，即22a k k =，所以a =，故存在a =使得O 、M 、S 三点共线.强化训练3.（★★★★）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，设直线:5l x =与x 轴的交点为E ，过点F 的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，M 为线段EF 的中点.（1）若直线1l 的倾斜角为45°，求ABM △的面积S ；（2）过点B 作BN l ⊥于点N ，证明：A 、M 、N 三点共线.【解析】（1）由题意，()5,0E ，()1,0F ，()3,0M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 若直线1l 的倾斜角为45°，则其方程为1y x =−，联立221541x y y x =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：298160y y +−=，判别式()284916640∆=−⨯⨯−=故12121299ABM S FM y y y y =⋅⋅−=−==△.（2）证法1：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845my y m +=−+，1221645y y m =−+()13,MA x y =−，因为()25,N y ，所以()22,MN y =，要证A 、M 、N 三点共线，只需证MA 与MN 共线，即证()12132x y y −=，即()121320x y y −−=，也即()1211320my y y +−−=，故只需证()121220my y y y −+=而()1212221682204545m my y y y m m m ⎛⎫⎛⎫−+=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以A 、M 、N 三点共线. 证法2：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845m y y m +=−+，1221645y y m =−+ 由题意，()25,N y ， 所以()()()()()()112112121212111123213232232323AM MN y x y y my y y y my y y y k k x x x x −−−+−+−−=−===−−−− 而()1212228162204545m y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫+−=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故0AM MN k k −=，即AM MN k k =，所以A 、M 、N 三点共线.【反思】证明三点共线，常用证向量共线或证斜率相等的方法. 4.（★★★★）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为F ，椭圆的上顶点和两个焦点的连线构成一.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线:l x my q =+()0m ≠与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，设点A 关于椭圆长轴的对称点为1A ，试求1A 、F 、B 三点共线的充要条件.【解析】（1）由题意，2222122a cc b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪−=⎩，解得：2a =，b 1c =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y −()1111,FA x y =−−，()221,FB x y =−−，1A 、F 、B 三点共线的充要条件是1F A 与FB 共线，即()()()122111x y x y −=−−，整理得：()1221120x y x y y y +++=①联立22143x my q x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2223463120m y mqy q +++−=判别式()()()2222223643431248340m q m q m q ∆=−+−=+−>，所以22340m q +−>②，由韦达定理，122634mq y y m +=−+，212231234q y y m −=+，所以()()()()()()122112122112121221x y x y y y my q y my q y y y my y q y y +++=+++−+=+−+()()()()2222312166403434m q q mq m q m m −+−−−===++因为0m ≠，所以4q =，代入式②得：24m >，即2m > 故A 、F 、B 三点共线的充要条件是4q =且2m >.。
平面几何基本定理（共线、共点问题）
平⾯⼏何基本定理（共线、共点问题）⼏何重要定理⼀【基础知识】梅涅劳斯定理设直线DEF 交ABC 三边,,BC CA AB 所在直线于,,D E F ，若,,D E F 三点共线，则1AE CD BF EC DB FA= 证明⼀过C 作DF 平⾏线交AB 于P则AE AF EC FP =，CD PFDB FB=，两式相乘得AE CD AF EC DB BF = ，即1AE CD BF EC DB FA= 证明⼆由正弦定理，sin sin CD CEDCE CDE∠=∠ sin sin BF BDF BD BFD ∠=∠，sin sin AE AFEAF AEF∠=∠三式相乘即得1AE CD BF EC DB FA = 证明三由于CD CDF DB BDF = ，BF BDFFA ADF= ， AE AEF AED AEF AED ADFEC CEF CED CEF CED CDF+====+ ，三式相乘即得1AE CD BF EC DB FA= 梅涅劳斯定理的逆定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，1AE CD BF EC DB FA= ，则,,D E F 三点共线塞⽡定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，若,,AD BE CF 三线平⾏或共点，则1AE CD BF EC DB FA= 这⾥只给出三线共点时的证明证明⼀过A 作BC 平⾏线交,BE CF 于,M N于是有AE AM EC BC =，CD ANDP AP= PD AP DB AM =，BF BC= 四式相乘即得1AE CD BF EC DB FA=证明⼆对截线CPF 以及ABD 应⽤梅涅劳斯定理有1AP DC BF PD CB FA= ，对截线BPE 以及ACD 应⽤梅涅劳斯定理有1AP DB CE PD BC EA= ，两式相除即得1AE CD BF EC DB FA= 证明三由合⽐定理AE ABE APE ABE APE ABPEC BCE PCE BCE PCE BCP-====- ，同理有CD ACP DB ABP = ，BF BCP FA ACP = ，三式相乘即得1AE CD BFEC DB FA= 注点P 常称为赛⽡点塞⽡定理的逆定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，1AE CD BFEC DB FA= ，则,,AD BE CF 三线平⾏或共点⾓元形式的塞⽡定理设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三直线,,AD BE CF 平⾏或共点的充要条件是sin sin sin 1sin sin sin BAD ACF CBEDAC FCB EBA∠∠∠=∠∠∠证明由于sin sin BD ABD AB BADDC ACD AC DAC∠==∠，同理sin sin AF AC ACF FB BC FCB ∠=∠，sin sin CE BC CBEEA AB EBA∠=∠，三式相乘，再运⽤塞⽡定理及其逆定理，知结论成⽴【典型例题】例1在四边形ABCD 中，,,ABD BCD ABC 的⾯积⽐是3：4：1，点,M N 分别在,A C B D 上，满⾜::AM AC CN CD ，并且,,B M N 共线，求证：M 与N 分别是AC 和BD 的中点（1983年全国⾼中数学联赛）证明设(01)AC AM CN==<<，AC 交BD 于E ∵ABD ：BCD ：ABC =3：4：1∴17BE BD =，37AE AC = 37371771AM AE r EM AM AE r AC AC AM MC AC AM r r AC----====---- 对CDE 以及截线BMN 应⽤梅涅劳斯定理：1CN DB EMND BE MC= 即77311177r r r r -=-- ，化简整理，得2610r r --=，解得12r = 故M 与N 分别是AC 和BD 的中点例2在ABC 中，AM 是中线，G 在AM 上且2AG GM =，过G 的直线分别交线段,AB AC 于,E F ，交直线BC 于D ，求证：1B E C FE AF A+=证明对,ABM ACM 以及截线DEGF 应⽤两次梅涅劳斯定理：1AE BD MG EB DM GA = 1AF CD MG FC DM GA= ∵2AG GM = ∴2BD BE DM EA =……① 2CD CFDM FA=……②⽽2BD CD DM BM DM CM DM +=-++= ∴①+②即得1BE CFEA FA+=例3在平⾏四边形ABCD中，,E F分别是,AF ED交于G，AB CD上的点，,AD BC于,L M，求证：BF CE交于H，直线GH分别交,, Array DL BM证明设直线GH 分别交,CD AB 于,I J 对ECD 以及截线GHI 应⽤梅涅劳斯定理：1EG DI CH GD IC HE= ……①对FAB 以及截线HGJ 应⽤梅涅劳斯定理：1AG FH BJGF HB JA= ……②由于//AB CD ，于是,EG AG CH FH GD GF HE HB ==，结合①②有DI BJIC JA = 即CD CI AB AJCI AJ++=，于是CI AJ = ⼜BM BJ AB AJ CD CI DI DLCM CI CI AJ AJ AL++===== 结合AD BC =，所以DL BM =说明多次应⽤梅涅劳斯定理时要有对称的思想例 4 过ABC的三个顶点,,A B C作它的外接圆的切线，分别和直线P Q R三点共线P Q R，求证：,,,,BC CA AB交于,,证明由梅涅劳斯定理及其逆定理，知 ,,P Q R 三点共线1BP CQ AR PC QA RB= ⽽∵AP 是圆的切线∴BPA APC ∽从⽽22BP BPA AB PC APC AC == 同理22CQ BC QA AB=，22AR AC RB BC = 所以1BP CQ ARPC QA RB= ，故,,P Q R 三点共线说明证明点共线问题常⽤梅涅劳斯定理的逆定理例5 圆内接六边形ABCDEF中，三组对边AB与DE，BC与EF，CD 与FA分别交于,,P Q R三点共线（帕斯卡定理）P Q R，求证：,,N证明设直线,,BC AF DE 交得KMN ，对KMN 以及截线,,PAB QEF RDC 应⽤梅涅劳斯定理：1NB KP MA BK PM AN= ……① 1NQ KE MF QK EM FN= ……② 1NC KD MR CK DM RN= ……③另⼀⽅⾯，KC KB KD KE = ……④ME MD MF MA = ……⑤NB NC NA NF = ……⑥①×②×③结合④⑤⑥得：1KP MR NQPM RN QK= 由梅涅劳斯定理的逆定理知,,P Q R 三点共线说明把题⽬中的圆换成任意⼆次曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线），结论仍然成⽴例6 设,,D E F 分别是ABC 的边,,BC CA AB 或其延长线上的点，且有奇数个点在延长线上，则,,D E F 共线当且仅当sin sin sin 1sin sin sin ABE CAD BCFEBC DAB FCA∠∠∠=∠∠∠（第⼀⾓元形式的梅涅劳斯定理）证明由梅涅劳斯定理及其逆定理：,,D E F 共线1AE CD BF EC DB FA= ⽽sin sin AE ABE AB ABEEC BCE BC EBC ∠==∠ sin sin CD CDA AC CADDB DAB AB DAB ∠==∠ sin sin BF BCF BC BCFFA ACF AC FCA ∠==∠∴sin sin sin 11sin sin sin AE CD BF ABE CAD BCF EC DB FA EBC DAB FCA∠∠∠=?=∠∠∠例7凸四边形ABCD对⾓线交于点J，点,,,AB BC CD DASW X T分别在,,,上，点P在AC上，点,Q R在BD上，且点,,,S P R X四点W Q P T四点共线，点,,,共线，若,=BQ RD WQ PT==，求证：SP RX证明设,,,BQ a QJ b JR c RD d ====，则a d = 对PQJ 以及截线BWC 应⽤梅涅劳斯定理：1PW QB JCWQ BJ CP= ……①对PQJ 以及截线ATD 应⽤梅涅劳斯定理：1PT QD JA TQ DJ AP= ……②由于,WQ PT WP TQ ==，①×②得：1JA JC a b c d AP CP a b c d++=++ ……③对PRJ 以及截线ASB 应⽤梅涅劳斯定理：1PS RB JA SR BJ AP = ……④对PRJ 以及截线CXD 应⽤梅涅劳斯定理：1PX RD JCXR DJ CP= ……⑤④×⑤得：JA JC d a b c SR XR AP CP c d a b SP XP++=++ ……⑥由于a d =，⽐较③，⑥式，得：1SR XRSP XP=设,,SP x PR y RX z ===，代⼊，知x z =，即SP RX =说明有时在⼀条直线上的线段过多时，可分别设其长度为,,a b c 等，⽤代数⽅法解决例8 在ABC 中，,D E 是边,AC AB 上的点，,BD CE 交于P ，延长AP 交BC于M ，求证：M 是BC 中点当且仅当//DE BC证明对ABC 以及点P 应⽤塞⽡定理：1AD CM BEDC MB EA= 于是//AD AEBM CM DE BC DC EB=?=? 说明当,D E 分别在,AC AB 延长线上时，也有此结论，请读者⾃⾏证明例9 凸四边形ABCD 中AC 交BD 于Q ，BA 延长线交CD 延长线于P ，BC 延长线交AD 延长线于F ，PQ 延长线交BC 于E ，求证：BF BEFC EC=证明对PBC 以及点Q 应⽤塞⽡定理得：1BE CD PA EC DP AB= 对PBC 以及截线ADF 应⽤梅涅劳斯定理得：1BF CD PA FC DP AB= ⽐较两式即得BF BEFC EC=B例10在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD∠，在CD上取⼀点E，BE 与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：GAC EAC∠=∠（1999年全国⾼中数学联赛）B证明连接BD 交AC 于H 对BCD 以及点F 应⽤塞⽡定理：1CG BH DEGB HD EC= 由⾓平分线定理得BH ABHD AD= 于是1CG AB DEGB AD EC= ……①过C 作AB 的平⾏线交AG 延长线于I 过C 作AD 的平⾏线交AE 延长线于J 则,CG CI DE ADGB AB EC CJ== 代⼊①中得CI CJ =⼜180180ACI BAC DAC ACJ ∠=?-∠=?-∠=∠因此ACI ACJ ? ，从⽽GAC EAC ∠=∠。
题型三 向量共线问题
题型三 向量共线问题例3 设OA →、OB →不共线，求证点P 、A 、B 共线的充要条件是：OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .【分析】 充分性由OP →＝λOA →＋μOB →(λ＋μ＝1)出发，证得AP →＝μAB →，从而得A ，B ，P 三点共线．必要性，从A ，B ，P 三点共线推出OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1.【解析】 充分性：∵λ＋μ＝1，∴OP →＝λOA →＋μOB →＝(1－μ)OA →＋μOB →＝OA →＋μ(OB →－OA →)＝OA →＋μAB →，∴OP →－OA →＝μAB →.∴AP →＝μAB →，∴AP →、AB →共线．∵有公共点A ，∴A 、P 、B 三点共线．必要性：若P 、A 、B 三点共线，则AP →＝μAB →＝μ(OB →－OA →)，∴OP →－OA →＝μOB →－μOA →，∴OP →＝(1－μ)OA →＋μOB →.令λ＝1－μ，则OP →＝λOA →＋μOB →，其中μ＋λ＝1.探究3 (1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．思考题3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．(1)【证明】 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →与BD →共线，∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)【解析】 ∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )即ka ＋b ＝λa ＋λkb ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝±(λk －1)＝0，∴k ＝±1.(2010·湖北卷，理)已知ΔABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0得点M 是ΔABC 的重心，可知AM →＝13(AB →＋AC →)，AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3，选B.3．平面向量的坐标运算(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)λa ＝(λx 1，λy 1)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)|→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24．向量平行与垂直的条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.②a 、b b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③a ≠0，则与a 平行的单位向量为±a |a |1．(08·陕西卷)关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②|a·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b .③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |；④|a |＝|b |⇔|a·c |＝|b·c |.⑤非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号)．答案 ②解析 ①由数量积定义a·b ＝|a |·|b |·cos θ，若a·b ＝a·c则|a |·|b |cos θ＝|a |·|c |cos φ，∴|b |·cos θ＝|c |cos φ即只要b 和c 在a 上的投影相等，则a·b ＝a·c②中∵a·b ＝|a |·|b |·cos θ，∴由|a·b |＝|a |·|b |及a 、b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a ∥b 且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a ⊥b 时，将向量a 、b 的起点确定在同一点，则以向量a 、b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a 、b 为邻边的四边形为矩形，所以有a ⊥b ，因此命题③是真命题．例1 (1)已知|a |＝2，|b |＝5，若：①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 的夹角为30°，分别求a ·b .【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.【解析】 ①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角为0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝2×5×1＝10；若a 与b 反向，则它们的夹角为180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a ⊥b 时，它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝2×5×0＝0. ③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2×5×3253 探究1 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，若知道向量的坐标a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则求数量积时用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2计算．(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
向量中的共线问题
共线问题1、[例4] 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ、μ使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35，故AP →＝45AM →，故AP PM ＝4 1.2、13．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且AE →＝14AD →，F 为BE 与AC 的交点．设AB →＝a ，BC →＝b ，若BF →＝kBE →，AF →＝hAC →，则k ＝________，h ＝________.[答案] 45 15[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，∴AF →＝hAC →＝h a ＋h b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋h a ＋h b ＝(h －1)a ＋h b ， 又BF →＝kBE →＝k (BA →＋AE →)＝k (－a ＋14b )＝－k a ＋k 4b ，显然a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧h －1＝－k h ＝k4，解得⎩⎨⎧k ＝45h ＝15.3、15．在▱ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝a ，BC →＝b ，试用a 、b 表示GK →、AH →.[解析] 如图所示，GF →＝CF →－CG →＝－12b ＋12a ，因为K 为DF 的中点，所以GK →＝12(GD →＋GF →)＝12⎝⎛⎭⎫－12a －12b ＋12a ＝－14b .DF →＝CF →－CD →＝－12b ＋a . 因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ； 又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n ⎝⎛⎭⎫a －12b 因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝⎛⎭⎫1－n 2b ＋n a ＝m b ＋m 2a 因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧1－n2＝mn ＝m2，解得m ＝45，即AH →＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25(a ＋2b )．4、16．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．如待求OC →，已知OA →、OB →，即知BA →，因为BC →可用BA →线性表示，故可用OB →和BC →来表示OC →. [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .5、18．在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.[分析] 显然a 、b 不共线，故可设OM →＝m a ＋n b ，由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三点共线利用向量共线条件求解．[解析] 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a 因为A 、M 、D 三点共线，所以m －1－1＝n 12，即m ＋2n ＝1又CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝－14a ＋b ， 因为C 、M 、B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .6、19．(本题满分12分)在▱ABCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝3MB ，点N 在BD 上，且BN →＝λBD →，C 、M 、N 三点共线，求λ的值．[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BD →＝e 2－e 1， BN →＝λBD →＝λ(e 2－e 1)，MB →＝14AB →＝14e 1，BC →＝AD →＝e 2，∴MC →＝MB →＋BC →＝14e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝14e 1＋λ(e 2－e 1)＝λe 2＋⎝⎛⎭⎫14－λe 1， ∵M 、N 、C 共线，∴MN →与MC →共线，∵e 1与e 2不共线，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.(2010·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫23，23C.⎝⎛⎭⎫13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ，∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 7、8．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 [答案] B[解析] 由CB →＝λP A →＋PB →得CB →－PB →＝λP A →，∴CP →＝λP A →.则CP →与P A →为共线向量，又CP →与P A →有一个公共点P ，∴C 、P 、A 三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B.8、9．G 为△ABC 内一点，且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，则G 为△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心[答案] D[解析] 由于GA →＋GB →＋GC →＝0，所以GA →＝－(GB →＋GC →)，即GA →是与GB →＋GC →方向相反，长度相等的向量．如图，以GB →，GC →为相邻的两边作▱BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，所以GD →＝－GA →，在▱BGCD 中，设BC 与GD 交于点E ，则BE →＝EC →，GE →＝ED →，故AE 是△ABC 中BC 边上的中线且|GA →|＝2|GE →|.从而点G 是△ABC 的重心．选D.9、10．(2010·河北唐山)已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 [答案] B[解析] ∵AC →＝PC →－P A →，∴原条件式变形为：PB →＝－2P A →，∴PB →∥P A →，∴A 、B 、P 三点共线． 10、4．(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心[答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．11、5．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心[答案] D[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA . 同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．12、6．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 [答案] C[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0，∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C.13、7．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．A 、B 、C 均不是[答案] C[解析] 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得CB →·(AB →＋AC →)＝0，又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0. ∴|AB →|＝|AC →|.∴△ABC 为等腰三角形．[点评] 若设BC 中点为D ，则有AB →＋AC →＝2AD →，故由CB →·(AB →＋AC →)＝0得CB →·AD →＝0， ∴CB ⊥AD ，∴AC ＝BC .14、5．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0.∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →. ∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．15、1．(2013·烟台模拟)若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，可知CB →·(AB →＋AC →)＝0， 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →. 又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形．1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛12OA →＋12OB →＋⎭⎫2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心) C ．重心 D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，则实数x 的取值范围是( )．A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0.答案 A3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案 直角三角形4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .。
利用向量证明三点共线例题
利用向量证明三点共线例题好啦，今天咱们来聊聊一个几乎每个学数学的同学都得接触的东西——三点共线问题。
听着是不是有点枯燥？放心，我不会让你打瞌睡的，我们就像坐在咖啡馆里聊天一样，轻松一点，慢慢来，大家别急。
这题，说白了，就是问你怎么用向量来证明三点是不是在一条直线上。
也许你一听到“向量”两个字就觉得它很高大上，很复杂对吧？但它比你想象的简单多了，咱们一步步来。
三点共线，什么意思呢？就是给你三点 A、B、C，你得证明这三点要么在一条直线上，要么不在。
这时你就可以用向量来干活了。
别怕向量，它其实就是一种数学语言，咱们用它来表示点之间的关系。
别想太多，这只是告诉你点与点之间的“直线方向”。
嗯，就是这条线的方向，是不是很直观？你想啊，假如A、B、C三个点真的在一条直线上，那它们之间的向量就应该是有“共性”的。
什么意思呢？就是从A到B的向量，如果你让它和从A到C的向量“比一比”，如果它们是一个方向上的（也就是成比例的），那就意味着这三点是共线的。
简单点说，就是它们在同一条路上走，走得很协调，脚步一样，不差分毫。
咱们就拿这三个点来做个简单的示范。
首先呢，我们要定义一个向量，从A到B叫做 AB向量，从A到C叫做 AC向量。
别急，这些字母你很快就能理解，稍微有点耐心就好了。
AB向量呢，就等于B点的坐标减去A点的坐标，同理AC向量也是C点减去A点。
说白了，就是你算出从A到B和从A到C的“偏移量”——这就是向量的意思。
你要是学过平面几何的公式就能感受到这其中的关系了，坐标系的数学工具，通通都是为了描述“位置”而服务的。
接下来最关键的部分来了！你只需要判断这两个向量AB和AC之间的关系。
怎么办呢？你看，如果这两个向量成比例，也就是说一个是另一个的倍数，那这两个向量就指向同一条直线，三点就共线啦。
怎么理解呢？好比你和你朋友两个人站在同一条路上走，若你朋友走的步伐和你一模一样，那你们就是顺着同一条线走的——这就叫做成比例！向量之间的比例关系，听着是不是有点像你和你朋友走路配合的默契？哈哈，虽然可能没那么浪漫，但理解了这个原理，题目就能搞定了。
高智商测试题目及答案
高智商测试题目及答案1. 题目：一个房间里有3盏灯，门外有3个开关，每个开关对应一盏灯。
现在你只能进入房间一次，如何确定哪个开关控制哪盏灯？答案：首先，打开第一个开关，等待几分钟，然后关闭。
接着打开第二个开关，然后进入房间。
此时，亮着的灯是由第二个开关控制的。
灭着的灯中，热的是第一个开关控制的，冷的是第三个开关控制的。
2. 题目：一个农夫有一块田地，他需要用篱笆围起来。
如果篱笆的总长度是100米，他需要围成一个正方形。
问：正方形的边长是多少？答案：正方形的四条边长相等，所以每条边长为100米除以4，即25米。
3. 题目：一个数字序列是：2, 4, 6, 8, ... 这个序列的下一个数字是什么？答案：这是一个等差数列，公差为2。
所以下一个数字是8加上2，即10。
4. 题目：如果一个钟表的时针和分针在12点整重合，下一次它们重合是几点几分？答案：时针和分针下一次重合是在12点5分27秒左右。
因为分针每分钟走6度，而时针每分钟走0.5度，所以它们每分钟的差距是5.5度。
要再次重合，分针需要追上时针，即追上360度，大约需要65分27秒。
5. 题目：有5个海盗分100枚金币，他们决定用抽签的方式决定谁先选择金币，然后依次选择，直到金币分完。
如果每个海盗都希望尽可能多地得到金币，那么第一个抽签的海盗应该选择多少枚金币？答案：第一个抽签的海盗应该选择0枚金币。
因为如果后面的海盗都采取最优策略，第一个海盗无论选择多少枚，最后都会被后面的海盗通过策略平衡掉，最终得到0枚。
6. 题目：一个数字是它所有因子（包括1和它本身）之和。
这个数字被称为完全数。
例如，6的因子是1, 2, 3，它们的和是6。
找出下一个完全数。
答案：下一个完全数是28，因为它的因子是1, 2, 4, 7, 14，它们的和是28。
7. 题目：一个数字，当它加上100后是一个完全平方数，当它加上129后也是一个完全平方数。
这个数字是什么？答案：这个数字是169。
数学共点问题知识点
数学共点问题知识点共点问题是数学中的重要概念之一，涉及到点的位置、相对关系以及几何形状的性质。
共点问题是几何学的基础，也是解决几何问题的关键。
本文将逐步介绍共点问题的相关知识点。
1.点的定义与性质在几何学中，点是最基本的概念之一。
点可以看作是没有大小和形状的，只有位置的几何实体。
点在平面上或者空间中有着特定的坐标，可以用数值来表示。
2.点的关系在几何学中，点之间可以有不同的关系。
首先，两个点可以重合，即它们的坐标完全相同。
其次，两个点可以是相邻的，即它们的距离最小。
还有，两个点可以是相互独立的，即它们之间没有任何联系。
3.直线与点的关系直线是由无数个点组成的，在几何学中起着重要的作用。
在平面几何中，一条直线可以由两个点唯一确定。
同时，任意一点都可以在一条直线上。
4.圆与点的关系圆是由平面上一组等距离于某一点的点组成的。
这个点被称为圆心，而等距离被称为半径。
任意一点到圆心的距离都是半径的长度。
5.共线点在几何学中，如果两个或多个点在同一条直线上，就称它们为共线点。
共线点是共点问题的一个特例，是几何学中最简单的共点情况之一。
6.共点问题的应用共点问题在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
在几何学中，共点问题可以用于证明定理和推导结论。
在实际生活中，共点问题可以用于解决场地布局、路线规划等问题。
7.解决共点问题的方法解决共点问题的方法有很多，根据具体情况选择合适的方法。
一种常用的方法是使用坐标系，通过计算点的坐标和距离来确定点的位置关系。
另一种方法是使用几何形状的性质，通过分析几何形状的特征来确定点的位置关系。
8.共点问题的扩展共点问题还可以扩展到更高维度的空间中。
在三维空间中，共线问题可以扩展为共面问题，即确定三个或多个点在同一个平面上。
在更高维度的空间中，共点问题的解决方法也会有所不同。
总结：共点问题是数学中的重要概念，涉及到点的位置、相对关系以及几何形状的性质。
解决共点问题可以应用坐标系和几何形状的性质，通过计算和分析来确定点的位置关系。
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┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊BPQCAAPQBC点共线问题的证明方法摘要：本文主要讨论点共线问题和证明思路，并讨论它在平面几何，立体几何，射影几何中的应用举例证明。
关键词：点共线平面几何立体几何射影几何中图分类号：021 文献标示码：A引言：点共线问题是几何学科中的一类典型问题，其证明思路宽阔，方法多种多样。
本文就平面几何，立体几何，射影几何中此类问题的不同证予整理，供教学时参考。
在同一直线上的若干点称为共线点,或称这些点共线。
点共线问题一般都转化为三点共线。
一、点共线问题在平面几何上的证明方法在平面上三点共线的判定：（1）0或π，则A、B、C三点共线；（2）将其中的两点连成直线，证明第三点也在此直线上；（3）若三点中，两两的连线都平行或垂直于同一条直线，则三点共线；（4）要证A、B、C三点共线，可适当选取一条通过点A的直线PQ，连接AB、A C，当点B、C在直线PQ同侧时，可证QAB QAC∠=∠；当点B、C在直线PQ异侧时，可证QAB PAC∠=∠或证B A P P A Cπ∠+∠=.例 1 已知：如图1，A D、B E是A B C∆的中线。
延长A D到F，使D F AD=；延长B E E G=.求证：G、C、F三点共线.解析：只需GCE ECD DCF∠+∠+∠= .略证：由已知不难证明，ABD FD C∆≅∆DEABCGFFEBC DPA OFEQAPA B E G E C ∆≅∆，从而可得D C FA B D∠=∠，G C E BAE∠=∠.G EC EC D D C F ABD BAE EC D∴∠+∠+∠=∠+∠+∠A B C∆中，180ABD BAE ECD ∠+∠+∠= .∴ 180GCE ECD DCF ∠+∠+∠=.故G 、C 、F 三点共线.例 2 如图2，过∆ABC 外接圆上一点P ，向三边所在直线引斜线分别交B C 、C A 、AB于D 、E 、F ，且P D B P E C P F B ∠=∠=∠，则D 、E 、F 共线。
简析：可证明PFD PFE ∠=∠，从而说明D 、E 、F 三 点共线.略证：由PD B PFB ∠=∠，知B 、P 、D 、F 四点共圆； 又由∠=∠知P 、F 、A 、E 四点共圆.从而P F D P B D P B C P A C P A E P F E ∠=∠=∠=∠=∠=∠， 故D 、E 、F 三点共线.例3 已知：如图3，直线l 与圆O 相交，O A l ⊥于A ，在l 的圆外部分各边上取一点E 、F ,且使AE AF =,过E 、F 在l 两侧分别作圆O 的两切线E P 、FQ . 求证：P 、A 、Q 三点共线.证明 连接F O 、P O 、Q O 、E O , 则OQ FQ ⊥,O P E P ⊥,OFQ OEP ∆≅∆EOP FOQ ∴∠=∠ 又O A E F ⊥F∴、O 、A 、Q 四点共圆.P 、O 、A 、E 四点共圆.QAF FOQ∴∠=∠,E A P E O P ∠=∠QAF EAP ∴∠=∠ Q∴、A 、P 三点共线.二、 点共线问题在立体几何上的证法立体几何中的点共线问题主要借助平面基本性质的灵活应用及集合知识的综合应用.立体几何三点共线的证明方法：图 1图2l图3┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊lCB1OARBPQA1C1（1）先由两点确定一条直线，再证其余各点都在这条直线上；（2）证明所有点是两个平面的公共点，则所有点都在两个平面的交线上；（3）间接证法.例 4 证明:斜线上的所有点在平面内的射影,必在同一条直线上.已知:直线l与平面α斜交，斜足为O.求证:l上所有点在α内的射影必在同一条直线上.证法一4,设P l∈,作PAα⊥与A,设N是M在α上的射影,则M Nα⊥.依直线和平面垂直的性质定理,可知//M N P A,则MN PA与可确定平面β.而M PAββ⊂⎫⎬∈⎭⇒平面O P A与β重合,则M N OPANα⊂⎫⎬∈⎭平面又⇒N∈(平面O P Aα)=O A.即l上任一点的射影都在O A上,命题成立.证法二(反正法)前面与证法一同.假设N O A∉,则知M N⊄平面P A O.因为PAα⊥,M Nα⊥,所以//P A M N,而PA⊂平面P O A,//M N平面P O A. 这与MN 平面P O A=M相矛盾, 故N O A∈. 命题成立.证法三(同一法)前面与证法一同.在平面P O A内,过M作//M H P A交O A于H.因为PAα⊥,所以M Hα⊥.因为过一点与已知平面垂直的直线只有一条,则M N与M H重合,即H与N重合.所以N O A∈命题成立.例 5 如图5,1A、1B、1C分别是O A、O B、O C上的三点，如果11A B与AB，11B C与B C，11C A与C A分别相交.求证三交点在同一直线上.证明设11A B AB P=，11B C BC Q=，11C A C A R=.再设平面A B C 平面111A B C l=.因11P A B∈、P AB∈，而11A B⊂平面111A B C,A B⊂平面A B C，则P∈平面111A B C，P∈平面A B C，所以P l∈.图5MαOAPNHl图4PO 1C 1B 1D 1A 1C BADβαCQPARB同理可证Q 、R l ∈.故P 、Q 、R 三点共线，结论成立.例 6 如图6,已知A B C ∆在平面α外,AB P α= ,BC Q α= ,AC R α= , 求证P 、Q 、R 三点共线.略证 设A B C ∆所在平面为β, ,AB P AB αβ=⊂βα∴与相交与过点P 的直线,设此直线为l ,则P l ∈.又,BC Q BC αβ=⊂ ,∴,Q Q βα∈∈,从而Q l ∈. 同理可证R l ∈,故P 、Q 、R 三点共线. 例7 如图7，已知长方体ABC D A B C D-，1O 是上底面11A C 对角线的交点，体对角线1A C 交截面11B D A 于点P ，求证：1O 、P 、A 三点在同一条直线上. 证明 因为直线11A C 直线111B D O =， 直线11A C ⊂平面1A C ，直线11B D ⊂平面11B D A 所以1O ∈平面1A C ，1O ∈平面11B D A . 因为体对角线1A C 交截面11B D A 于点P ，所以P ∈平面1A C ，P ∈平面11B D A . 又因为A ∈平面1A C ，A ∈平面11B D A ， 所以1O 、P 、A 三点在平面1A C 与 平面11B D A 的交线上即1O 、P 、A 三点在同一条直线上.三、 点共线问题在射影几何上的证明方法 射影几何中,证明关于点共线问题的定义和定理:定理1 (Menlaus) 在A B C ∆三边或其延长线AB 、B C 、C A 上各有点X 、Y 、Z , 则X 、Y 、Z 三点共线的充要条件是:1X A YB Z CX B YC Z A= .例 8 如图8,过A B C ∆的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线,分别和B C 、C A 、AB的延长线交于P 、Q 、R ,求证P 、Q 、R 三点共线.图6图7┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ACQPBRα1αC1CAA1ORQBPB1分析欲证P、Q、R三点共线，只需证明1BP C Q ARPC Q A RB=证AP是圆的切线，因而B P A A P C∆∆，从而22BPAAPCSBP ABPC S AC∆∆==同理2222,C Q BC AR ABQ A AB RB BC==，所以1BP C Q ARPC Q A RB=，故P、Q、R三点共线.定理2两个A B C∆和A B C'''∆对应顶点A A'、B B'、C C'连线共点的充要条件是:这两三角形对应边AB与A B''、B C与B C''、C A与C A''的.定理3 (Puscal) 一六角形123456内接于一条二次曲线Γ的充要条件是:这六边形三双对顶12与45、23与56、34与61的交点共线.定义1 在平面内取一个三角形111A B C，称之为坐标三角形.在三角形三边以外取点E，称之为单位点，无三点共线的这样四点1A、1B、1C、E构成一个射影坐标系.1//M N PA定理4 （德萨格定理）两个三角形ABC和111A B C中，若对应顶点1A A、1B B、1C C的联线共点，则对应边的交点11P BC B C=⨯，11Q CA C A=⨯，11R AB A B=⨯共线.证明设有三点形A B C和111A B C，它们的对应顶点1A A、1B B、1C C R交于一点O，其对应边的交点为11BC B C P=、11C A C A Q=、11AB A B R=,下面证明三点形A B C和111A B C分别在两个不同的平面α和1α上时P、Q、R在一直线上.如图9 因为11BB C C O=,所以B、C、1B、1C和O共面，二直线B C和11B C必相交，交点P在平面α和1α的交线上.图8图9同理，C A 与11C A 相交，A B 与11A B 相交，且相应的交点Q 、R 都在二平面α和1α的交线上.因此P 、Q 、R 三点共线.1) 射影坐标系在证明点共线问题中的应用：利用射影不变量——交比建立的坐标系为射影坐标系，建立该坐标系的目的在于把几何问题从距离的概念中解放出来，从而更好地配合射影几何的研究，这样不靠技巧就可以证明一些射影命题.例 9 设P 、Q 、R 、S 是完全四点形的顶点，A PS RQ =⨯，B PR QS =⨯，C PQ RS=⨯，证明：F BC QR =⨯，E C A R P =⨯，G AB PQ =⨯三点共线.证明： 如图10 设各点的射影坐标系为(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，(1,1,1)F ，(1,1,1)P .四条直线 13:BP x x =，3:0BA x =，1:0C B x =，12:PC x x =，2:0AC x =，可求得(1,1,0)G (1,1,0)G ，(1,0,1)E .将点P 、B 看作基点,点E 对 应的参数等于-1,对于四点 形PQRS 来说,由完全四点形的调和性质有:(,)1PQ BE =-, (,)2PB RE =,所以点R 对应的参数等于-2,得点(1,1,1)R -,所以直线ARQ 的方程23:0QR x x +=,可求得(0,1,1)F =-,由,,0F E G =所以G 、F 、E 三点共线.2)德萨格定理在证明点共线问题的应用德萨格定理及对偶定理在射影几何中占有极其重要的地位，该定理表述了两个（线）处于透视状态下的几何特征，其重要性体现在它是射影几何的理论基础。