5.1.1数列的定义
管总数学考研知识点考点总结
管总数学考研知识点考点总结算术●一. 应用题●利润问题●1.利润 = 售价 - 进价●2. 售价= 进价 * (1 + 利润率)●3. 进价= 售价 / (1 + 利润率)●【注意】变化率包括增长率和下降率两个，所以上式用绝对值表示.●5.增减并存问题:●(1) 先提价 p %再降价 p %●(2) 先降价 p %再提价 p %●6.恢复原价问题:●(1) 先提价 p %再降___p%/(1 + p%)___恢复原价●(2) 先降价 p %再增___p%/(1 - p%)___恢复原价●7.连续增长下降问题:●一月份的产量为a，以后每个月均比上个月增长p%，则年总产值为( ).●8 . 甲比乙大 p % <=> (甲 - 乙 ) / 乙 = p % <=> 甲 = 乙 * (1 + p % ) ; 甲是乙的 p % <=> 甲 = 乙 * p %●【注意】甲比乙大 p % ≠乙比甲小 p %(因为基准量不同)，甲比乙大 p %<=> 乙比甲小 p % /(1 + p % )●比、百分比、比例问题●1 . 比例性质 : 如果 a/b = c/d，则 a d = b c●2.等比定理: a/b = c/d = e/f = a + c + e/b + d +f●3.总量 = 部分量/ 对应占的比例●十字交叉法●当一个整体按照某个标准分为两类时，根据杠杆原理得到一种巧妙的方法，即是交叉法.该方法出现上下分列出每部分的数值，然后与整体数值相减，减得的两个数值的最简整数比就代表每部分的数量比.●工程问题●1.工作量 s、工作效率 v、工作时间 t 三者的关系●工作量 = 工作效率 *工作时间 (s = vt)●2.重要说明:●工作量:对于一个题，工作量往往是一定的，可以将总的工作量看做“1”;工作效率，合作时，总的效率等于各效率的代数和.●3.重要结论●若甲单独完成需要 m 天，乙单独完成需要 n 天;则:●(1)甲的效率为1/m,乙的效率为 1/n●(2)甲乙合作的效率为 1/m + 1/n●(3)甲乙合作完成需要的时间为1/ (1/m + 1/n) = mn/ m+n●浓度问题●1.溶液=溶质+溶剂，浓度=●2.重要等量关系.●(1)浓度不变准则●(2)物质守恒准则●3.重要命题思路.●(1)“稀释”问题:溶质不变●(2)“蒸发问题:溶质不变●(3)“加浓”问题:溶剂不变●(4)“混合”问题:可利用十字交叉法●(5)“置换”问题:一般是用溶剂等量置换溶液●植树问题●对于直线问题，如果长度为L米，每隔n米植树，则共有n,则共有L/(n+1)棵树;●对于圆圈问题，如果周长为L米，每隔n米植树，则共有L/n棵树●年龄问题●年龄问题的特点有两个:一个是年龄的差值恒定;另一个是年龄同步增长.●【注意】年龄要选好参照年份，如果年龄计算得到矛盾，看看几年前是否还未出生，因为出生后才对年龄有影响.●分段计费问题●对于分段计费问题，关键掌握两点:一是确定每段的边界值，来判断所给数值落入的区间;二是选取对应的计费表达式进行运算.●集合问题●不定方程问题●列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多.但如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程组.不定方程一般有无数解，但是结合题意，实际只要我们求出无数解中的特殊解，往往是求整数解.有时还要加上其他限制，这时的解就是有限和确定的了.考试中主要是涉及整数系数不定方程的整数解，一般要借助整除、奇数偶数、范围等特征来确定数值.●线性规划问题●该种方法应用非常广泛，解决此类问题关键是:在资源的限制下，如何使用最少的资源来完成最多的生产任务，或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、运费问题、库存问题等.●至多至少问题●在分析某对象至少(至多)时，可转化为其余部分最多(最少)来分析●最值问题●解答这类问题一般要利用数量关系，列出目标函数式，然后用函数有关知识和方法加以解决.求最值的主要方法为二次函数的抛物线法、平均值定理法.●二. 实数、绝对值、比和比例及平均值定理●数的概念与性质●(一)按有理数和无理数分类●(二)整数与自然数●(三)质数与合数●1.质数●如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除(只有 1 和其本身两个约数)，那么这个正整数叫做质数(质数也称素数).●2.合数●一个正整数除了能被 1 和它本身整除外，还能被其它的正整数整除(除了 1 和其本身之外，还有其他约数)，这样的正整数叫做合数.●3.质数与合数有如下重要性质●(1)质数和合数都在正整数范围，且有无数多个●(2)2 是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数，大于 2 的质数必为奇数，质数中只有一个偶数 2，最小的质数为 2.●(四)奇数与偶数●(五)整除、倍数、约数●1.数的整除:当整数 a 除以非零整数 b ，商正好是整数而无余数时，则称 a能被 b 整除或 b能整除a.●2.倍数与约数:当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数.●3.最小公倍数:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.●4.最小公倍数的表示:数学上常用方括号表示，如[12，18，20]即为 12，18 和 20 的最小公倍数.●5.最小公倍数的求法:●(1)分解质因数法:●先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数.●(2)公式法●由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积，即(a,b) * [a,b] = a*b。
数列的概念及简单表示法一轮复习公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
5.1.1 数列的概念(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.1.1 数列的概念知识点归纳知识点一、数列1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．知识点二、数列的通项公式数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三、数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . (2)数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . (3)数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. (4)数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . (5)数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1. (6)数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n2. (7)数列1，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n.典例分析一、观察法求数列的通项公式例1 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解析 (1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…， ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N *)．(2)a 1＝2＋1，a 2＝4＋1＝22＋1，a 3＝8＋1＝23＋1，a 4＝16＋1＝24＋1，…， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…， ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N *).答案 见解析归纳总结：根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．二、数列通项公式的简单应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解析 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7，或n ＝73(舍)．则－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.答案 见解析自我训练1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③D ．①②解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.答案 C2．若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A ．110B ．－110C ．190D ．1990解析 依题意知，a 5－a 4＝(15＋1＋15＋2＋…＋12×5)－(14＋1＋14＋2…＋12×4)＝19＋110－15＝190.故选C ．答案 C3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 答案 A4．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( ) ①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；③a n＝sin 2n π2；④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.答案 C5．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1；③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确； 对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 答案 A6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3的值是( )A ．70B ．28C ．20D ．16解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3－1＝8，a 2a 3＝16.故选D ． 答案 D7．若数列{a n }的通项满足a nn ＝n －2，那么15是这个数列的第_____________项．解析 由a nn ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5或n ＝－3(舍去)． 答案 58．已知在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，函数y ＝f (x )的对应关系如下表，则a 2017＝________.解析 由已知条件得a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝2，a 3＝f (a 2)＝f (2)＝4. ∴数列{a n }是周期数列，a n ＋2＝a n ，∴a 2017＝a 1＋1008×2＝a 1＝4. 答案 49．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}中的第17项．答案 1710．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解析 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110.(1)20是不是{a n }中的一项？(2)当n 取何值时，a n ＝0.解析 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20，即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项． (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0，即n 2－n －110＝0，∴(n －11)(n ＋10)＝0， ∴n ＝11或n ＝－10(舍)，∴当n ＝11时，a n ＝0.12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．解析 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0，1)内．。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。
1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。
1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。
1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。
1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。
1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。
1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。
第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。
2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。
2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。
2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。
2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。
2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。
2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。
第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。
3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。
3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。
3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。
3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。
3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。
3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。
第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。
4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。
高中数学第五章数列5.1.数列中的递推学案含解析B版选择性第三册 (1)
5.1.2 数列中的递推必备知识·素养奠基1。
数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式）.数列递推公式与通项公式有什么区别和联系？提示:不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所有的项2。
数列的前n项和（1)定义:一般地，给定数列｛a n}，称S n=a1+a2+a3+…+a n为数列{a n｝的前n项和。
(2)关系:a n=1.思维辨析(对的打“√"，错的打“×”）(1)递推公式不能用来表示数列. ()(2）所有的数列都有递推公式. (）（3）由公式a n+1=a n-2(n≥1）可写出数列{a n｝的所有项.（）(4）若数列｛a n｝满足a n+1=a n，则该数列是常数列. （)提示:(1）×.递推公式也是给出数列的一种重要方法。
（2）×。
并不是所有的数列都有递推公式。
例如精确到1,0。
1,0。
01,0。
001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4,1.41，1。
414,…就没有递推公式.（3）×.还需知道数列中至少一项的值.（4)√.该数列每一项都相同。
2。
已知数列｛a n｝满足a1=1，a n+1=a n+n，则a3的值为（)A。
2 B。
3 C。
4 D。
5【解析】选C.由a1=1,a n+1=a n+n，所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4。
3。
已知数列{a n}满足a1〈0,=2(n∈N+),则数列{a n｝是________数列(填“递增”或“递减”).【解析】由已知a1〈0,a n+1=2a n(n∈N+),得a n〈0（n∈N+）.又a n+1—a n=2a n—a n=a n〈0,所以数列｛a n｝是递减数列.答案：递减关键能力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+)，那么a4的值为 ()A。
数列极限的概念定义、性质及使用数列极限的定义证明数列极限举例
3 数列极限的性质
4
3 数列极限的性质
3.1 唯一性
定理 3.1 若极限 lim an，则其值唯一。 n→∞
证明：
反证法。假设 lim an = A，且 lim an = B，其中 A ̸= B。不妨设
n→∞
n→∞
A < B，取 ε = (B − A)/2，由极限的定义有，∃N > 0，使得当 n > N
5.3 指数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4 一些常见数列极限的结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.5 抽象数列的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
成立，从而有 成立，得证。
A |an − A| < ε = 2
AA an > A − 2 = 2 > 0
1 { },
{(−1)n},
(−1)n
{
}
n
n
如何刻画无限逼近
2 数列极限的概念
3
2.2 定量定义
定义 2.2 对 ∀ε > 0，∃N > 0，使得当 n > N 时，总有
|an − A| < ε 成立，则称 A 是数列 {an} 的极限，记作
lim an = A
n→∞
Note 1：极限的等价定义 (1) ε 可以只取比较小的情况，可以先假定 n 大于某个数 N1； (2) n > N 和 |an − A| < ε 中的严格不等号号可以换成不严格不等号； (3) |an − A| < ε 可以换成 < 2ε，3ε，ε2，√ε 等。
高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
【新教材精创】5.1.1 数列的概念 教学设计- (人教B版 选择性必修第三册)
5.1.1 数列的概念本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习数列的概念与表示“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。
数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。
数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。
学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.课程目标学科素养A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.B.掌握数列的分类.C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类2.逻辑推理：求数列的通项公式3.数学运算：运用数列通项公式求特定项4.数学建模：数列的概念重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征多媒体四、小结五、课时练学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.。
高中数学 选修3(人教B版)课件5.1.1 数列的概念
3．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(或商)法； (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数 的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由 于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的 单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错 实数 k 的取值范围． 在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
状元随笔 数列所对应的图像是连续的吗？ [提示] 不连续．
[基础自测]
1．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2＋2 n，那么110是它的
()
A．第 4 项
B．第 5 项
C．第 6 项
D．第 7 项
解析：设110是数列中的第 n 项，则110＝n2＋2 n，解得 n＝4 或 n＝－5.∵－5∉N＋，∴n＝－5 应舍去，故 n＝4.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并 且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分
与序号 n 的关系为n＋n 1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n ＋n＋n 1＝nn2＋＋21n(n∈N＋)．
跟踪训练 3 已知数列的通项公式为 an＝n2＋2n－5. (1)写出数列的前三项； (2)判断数列{an}的单调性．
解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10. (2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)5.1数列(含递推公式)课件 理 新人教B版
【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an= (2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an= 【解析】 (1)当n=1时，a1=S1=2; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］ =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2. ∴an=
2.“累乘法”求an 已知a1且 a n =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
a n 1
即 a n =f(n), a n 1 =f(n-1),„, a 3 =f(3),
a n 1 a n 2
a2
a 2 =f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 得a . 1 n a1
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
2 4
8
16
32
64
【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,„和数列0.9,0.99,0.999,„ 的关系着手. (3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6，故通项公式为
＝
.
(2)数列{an}满足a1=1,an+1=an+1，则{an}的通项公式为_______.
【解析】(1)a1＝1，a2＝ a1
2a1 3 a a4 a4＝ 3 ＝ 1 ，a5＝ ＝ 1 . 2a 3 3 2a 4 3 161 53
＝
1 ，a3＝ a 2 ＝ 1 , 5 17 2a 2 3
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{
选择性必修第3册(习题答案)
∴ Ｓ ｎ－１ ＝ ( ｎ－１) ２ －( ｎ－１) ( ｎ≥２) ②ꎬ
由①－②得 ａ ｎ ＝ ２ｎ－２( ｎ≥２) .
当 ｎ ＝ １ 时ꎬａ １ ＝ Ｓ １ ＝ ０ 满足该式ꎬ
∴ ａ ｎ ＝ ２ｎ－２.
４.解析 ａ １ ＝
１
２
ꎬａ ＝ .
２ ２ ２
递推关系为 ａ １ ＝
教材习题答案
５.１.１ 数列的概念
练习 Ａ
１.解析 ａ １ ＝ ２ꎬａ ２ ＝ ４ꎬａ ３ ＝ ８.
２.解析 (１) ａ １ ＝ １ꎬａ ２ ＝ ４ꎬａ ３ ＝ ９.
(２) ａ １ ＝ －２ꎬａ ２ ＝ ４ꎬａ ３ ＝ －６.
(３) ａ １ ＝ ０ꎬａ ２ ＝
１
１
ꎬａ ＝ .
６ ３ ６
３.解析 (１) ａ ｎ ＝ ｎ＋１.(２) ａ ｎ ＝ －３ｎ.
∴ { ａ ｎ } 的通项公式为 ａ ｎ ＝ ３.
练习 Ｂ
１.解析 (１) ａ １ ＝ １ꎬａ ２ ＝ ３ꎬａ ３ ＝ ７ꎬａ ４ ＝ １５ꎬ
ａ ５ ＝ ３１.
前 ３ 项和 Ｓ ３ ＝ ａ １ ＋ａ ２ ＋ａ ３ ＝ １１ꎬ前 ５ 项和
Ｓ ５ ＝ ａ １ ＋ａ ２ ＋ａ ３ ＋ａ ４ ＋ａ ５ ＝ ５７.
◆习题 5-1A
１
ꎬａ ＝
２ ｎ＋１
( ２１ )
ａｎ
.
１.解析 ( １) １ꎬ１.４ꎬ１.４１ꎬ１.４１４ꎬ１.４１４ ２ꎬ
１.４１４ ２１ꎬ.
(２)２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１ꎬ１３ꎬ１７ꎬ１９.
２.解析 ( １) ａ １ ＝ １２ꎬａ ２ ＝ １４ꎬａ ３ ＝ １６ꎬａ ４ ＝
１８ꎬａ ５ ＝ ２０ꎬ前 ５ 项和 Ｓ ５ ＝ ８０.
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
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【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
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2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
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考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
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2014高考数学一轮复习课件5.1数列的概念与简单表示法
1 令bn＝an－1，有b1＝a1－1＝－ ， 2 n 则bn＋1＝ b ，取n＝1，2，3，„，n－1， n＋2 n n－1 1 2 3 1 由叠乘法，得bn＝ × × ×„× ×(－ )＝－ 3 4 5 2 n＋1 1 1 ，an＝1－ . n（n＋1） n（n＋1） (3)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)， ∵a1＝1，知a1＋1＝2，an＋1≠0， an＋1＋1 ∴ ＝3， an＋1
【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的 绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． 8 8 8 (2)数列变为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)，„， 9 9 9 8 1 ∴an ＝ (1－ n)． 9 10 (3)各项的分母分别为21，22，23，24，„，易看出第2， 2－3 3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－ ， 2 21－3 22－3 23－3 24－3 原数列化为－ 1 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，„， 2 2 2 2 2n－3 ∴ an＝(－1)n· n . 2
其中 n∈N*
•3.数列的通项公式 序号n •如果数列{an}的第n项与_______之间的关系 可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式． •4．数列的递推公式 •若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1 的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n>1)，则这 个关系式称为数列的递推公式． 5．an与Sn的关系
(2012· 大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 n＋2 Sn＝ a. 3 n (1)求 a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式．
•【思路点拨】 消去Sn，可得an与an－1的递 推关系，进而求出an.
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
最新人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.1.1 数列的概念
n
2
反思感悟 1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住
以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③
拆项后的特征;④各项符号特征等.
2.观察、分析数列中,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问
则看项的个数是有限还是无限.
变式训练1给出下列数列:
①2013~2020年某省高中生人数(单位:万人)构成数列
82,93,105,118,132,147,163,180;
②无穷多个 3构成数列 3, 3, 3, 3,…;
③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…,构成数列-2,4,-8,16,-32,….
探究三
数列通项公式的应用
例3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项.
(2)-49是不是该数列中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68
是不是该数列中的项呢?
思路分析(1)将n=4,n=6分别代入通项公式,求出数值即可;
(2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n,再通过n是不是正整数进行判断.
答案 ①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
解析 ①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动
数列;④是摆动数列,是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数
列,也是常数列.
要点笔记 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于
递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列
有确定性.
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异
第5章：中等职业教育数学教材上册参考答案.docx
中等职业教育数学教材参考答案（上册）第 5 章 数列5.1 数列5.1.1 数列概述知识应用实操跟踪练习 1 （方法同教材第 107 页例题 1）（ 1） 1, 0,3,8 ；（ 2） 1 , 1 , 1 , 1 ．3 5 7 9 跟踪练习 2 （方法同教材第 107 页例题 2）1, 1, 3,7 ．3跟踪练习 3 （方法同教材第107 页例题 3）第 6 项．跟踪练习 4（方法同教材第107 页例题 4）1, n N * ；（ 3） a n1n（ 1） a n 2n3, n N * ；（ 2） a nn 1, n N *． 1n 23n2n* 跟踪练习 5（方法同教材第 108 页例题 5）（ 1） a n 2n 3, n N * ；（ 2） a 5 7 ．知识强化练习N * ；（ 2） 11， a n1n1．解：（ 1） 7 ， 22， a n5n 8, n， , n N *；（ 3） 2 ，3n6 1516 ， a n 2n , n N * ．2．解：（ 1） a 82 11 ；8 8 36（ 2）由题意得12，整理得： n 2 n 200 ，解得 n 15(舍去 ) , n 2 4 ．10n n1所以 1是数列中的第 4 项．103．解：（ 1）数列的前 4 项 4, 8, 12, 16 可化为 1 4, 2 4, 3 4,4 4 ，都是序号的4 倍数，所以它的一个通项公式是a n4n,n N*；（ 2）数列的前 4 项9, 99, 999,9999 可化为1011, 102 1, 1031, 104 1 ，都是10的序号次指数幂减1，所以它的一个通项公式是a n10n1, n N *；（ 3）数列的前4 项7，7 ， 7，7 可化为7，7，7，1211212 51017261213172，数列各项的分子都是7，分母都是序号加1 的平方与 1之和，且奇数项为正，411偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n n 17 21n 17, n N*．11n 22n 12n4．解：（ 1）a11， a26a161 2 ， a36a26212 ， a46a3 6 1272．33（ 2） a1 2 ，a2a112 1 3 ，a1 2 2a3a21 3 2 5 ，a4a315611．a36530a22365．解：当n1时， a1S112211；当 n 2 n N 时，a n S n S n 1n22n22 n 12n3 ．n 1因为 n1时，2n 3 2 1 3 1 a1，所以 a n2n3, n N*．a11211319．5.1.2习题1．解： a123 ，a2225 3 ，2 1 52a3 2 32 5 13 ，a4242527 ．234 2．解：（ 1）数列的前4项1,0, 1, 0 可化为1 1 ，1 1 ，1 1 ，1 1 ，2222它们的分母都是2，分母都是的序号次方再减1，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是na n11 n*2, N ．（ 2）数列的前 4 项 1 ， 2 ， 38 ， 4 可化为 2 1 1 1 ， 2 2 22 ，2 4 4 6 6 8 10 2 2 2 23 ，4，它们的分子都是序号，分母都是序号的2 倍与序号2 3 2 3 42 4222的 2 倍加 2 的乘积，所以它的一个通项公式是a n2nn 2 1 4 , n N *．2n 4n（ 3）数列的前 4 项 1,1， 1 ，1 可化为 3 1， 3 1， 1 ， 3 1 ，4710 1 2 2 2 3 3 2 4 2它们的分子都是 1，分母都是序号的 3倍再减 2 ，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是n1a n1 , n N * ．3n2（ 4）数列的前 4 项 1， 3, 5,7 可化为 2 1 1 ， 2 2 1 ， 2 3 1 ，2 4 1 ，都是 2 次根式，被开方数都是序号的2 倍再减 1，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a nn2n 1, nN * ．13．解：（ 1） a 25 25 25 1650 ；（ 2）由题意得： n(n 1)2 n 132 0 ，解得 n 112(舍去 ), n 2 11 ．132 ，整理得 n即132是这个数列的第项．114．解： a 18 ， a 2 5 ， a 3 a 2 a 15 83 ， a 4a 3 a 23 58 ．* 5．解：（ 1）当 n 1 时， a 1 S 1 225 1 3 ； 1当 n 2 nN 时， a S S2n25n25 n 14n 7 ．2 n 1nnn 1因为 n 1时， 4n 7 4 1 7 3 a 1 ，所以 a n4 n 7, n N * ．（ 2） a 4 a 5 a 6 S 6 S 32 625 62 325 3 39 ．5.2等差数列5.2.1等差数列的概念及通项公式知识应用实操跟踪练习1（方法同教材第111 页例题 1）a n6n10,n N*； a15 80 ．跟踪练习2（方法同教材第111 页例题 2）第76项．跟踪练习3（方法同教材第111 页例题 3）a103．跟踪练习4（方法同教材第111 页例题 4）a1a98 ．知识强化练习1．解：（ 1）因为 a15, d35 2 ，所以这个等差数列的通项公式是a n 5 2 n 1 2n7 ， n N*即 a n 2n 7 ， n N*．所以 a20220733．（ 2）因为 a12,d523,a n176 ，所以 1762n1 3 ．解得 n59 ．2．解：（ 1）由题设条件及等差数列的通项公式，得a818311；212（ 2）由题设条件及等差数列的通项公式，得17a1513，解得 a1 5 ；（ 3）由题设条件及等差数列的通项公式，得16491 d ，解得 d 5 ；2（ 4）由题设条件及等差数列的通项公式，得a1(41)d12,a1(71)d 6.整理，得a 1 3d 12,a 1 6d6.解此方程组，得a 1 18, d2 ．所以 a 5 a 1 4d 1842 10 ．3．解：因为 a 2 、 a 10 是方程 x 20 ，7x 1所以 a 2 a 10 7 ．即 a 5 a 7 a 2 a 10 7 ．* 4．解：根据题意，从地面的气温到 11 km 高空的气温构成了一个等差数列a n ，n1, 2, 3,, 11 ，其中 a 115, a 3 3 ．等差数列的通项公式，得，3 15 3 1 d ，解得 d 6 ，则 a 7 a 1 6d 15 6 6 21 ．答： 6 km 高度的气温是21 C ．5.2.2 等差中项知识应用实操跟踪练习 5（方法同教材第112 页例题 5）（ 1） 16；（ 2） 9 ．跟踪练习 6（方法同教材第113 页例题 6）6 ．* 跟踪练习 7（方法同教材第 113 页例题 7）这三个数分别是 2, 3, 8 或 8, 3, 2 ．知识强化练习1．解：（ 1） 7 2 与 7 2 的等差中项为727 27 ；2（ 2） 12 与 3的等差中项为5 102 3110175．2202．解：因为 a 7 是 a 5 、 a 9 的等差中项，也是 a 1 、 a 13 的等差中项， 所以 a 1 a 7a 133a 7 3 a 5a 910 15 ．232* 3．解：设这三个数为 a d , a, a d ，由题意可得a d a a d 18,a daa d120.解得a 6, 舍去 a 6, ．d 4 d 4.所以等差数列的通项公式为a n 2 4 n 14n 2 ， n N * ．5.2.3 等差数列的前 n 项和知识应用实操跟踪练习 8 （方法同教材第 114 页例题 8）（ 1） S n221 ；（ 2） S n 130 ．跟踪练习 9 （方法同教材第114 页例题 9）（ 1） n 11， S n 11 ；（ ） a 1 3 ，a n2 13 *；（ ）d3 ， a 1 14 ．25n, nN35跟踪练习 10 （方法同教材第 115 页例题 10）S 15135 ．跟踪练习 11 （方法同教材第 115 页例题 11）（ 1） a n4n 6, n N * ；（ 2） d 4 ．* 跟踪练习 12 （方法同教材第 116 页例题 12）这个小剧场共有 450 个座位．知识强化练习1．解：（ 1）由等差数列的前n 项和公式 S n n a1a n，得2S1313658338 ．2（ 2）由等差数列的通项公式，得7a1514．解得a123 ．由等差数列的前n 项和公式 S n na1n(n1)，得2dS n23n n( n1)42n225n ， n N*．2（ 3）由等差数列的前n 项和公式 S n n a1a n，得254n 819．2解得n 4 ．再由等差数列的通项公式，得1984 1 d ．解得 d11 ．3（ 4）由等差数列的前n 项和公式 S n na1n(n1)2d ，得3a13 2 d3,26a6 5 d12.12a1d1,整理，得a152. d2解得a13, d 2 ．2．解：由等差数列的前n 项和公式 S n n( a1a n ) ，得2S1515a1a1575，2整理，得a1a15 10 ，所以11a a a10 5．22* 3．解：（ 1）当 n 1 时， a 1 S 1 3 12 3 ；当 n 2 n N 时， a n S nSn 13n 2 3 n 126 n 3 ．因为 n 1时， 6n 3 6 13 3 a 1 ，所以 a n6n 3, nN * ．（ 2）因为 a n1an6 n 1 3 6n 3 6 ， nN * ，所以数列 a n 是以 6 为公差的等差数列．* 4．解：由题意可知，这个多边形的各边的长从小到大成等差数列，记为 a n ，其中a n 39, d3, S n 138 ．根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，得a 1 n 1 3 39,na 1n n 13 138.2a 1 3n 42,整理，得na 1 n n 1138.2 3消元，化简为 n 2 27n 920 ， 解得a 1 27, a 1 30,n（舍去）n4.23;答：多边形的边数是4 ．5.2.4 习题1．解：（ 1）由等差数列的通项公式，得4a 19 1 3 ，4 解得 a 1 2 ．再由等差数列的前 n 项和公式，得9 a 1 a 99 2 4S 99 ．22（ 2）由等差数列的通项公式，得13 76 1 d ，解得 d 4 ．所以数列的通项公式是 a n a 1n 1 d74n 14n 11 ， n N * ．再由等差数列的前n 项和公式，得n1n n 17n n n129n ．Sna2d242n（ 3）由等差数列的通项公式和前n 项和公式，得a 1 4d 1,7 a 1 7 6 d21.2整理，得a 1 4 d 1,a 1 3d3.解得a 19, d2 ．所以 a 10 910 1 2 9 ．（ 4）由等差数列的前 n 项和公式，得3a 13 2 d 3,29a 19 8 d 45.2整理，得a 1 d 1,a 1 4d 5.解得 a 1 3, d 2 ．所以S 6636 5 2 12 ．22．解：由题意得，a 11, d 1112．2再根据等差数列的通项公式，得a n1 n 11 1 n 3， n N * ．2 22所以a n 1 1 n 13 1n 1 ， n N * ．22 2 3．解：由等差数列的的前n 项和公式，得S 1919a 1 a 19 380 ，2所以 119 380240 ，aa19即 a101a1 a19140 20 ．224．解：由等差数列的前n 项和公式，得S33a1a36，2所以 a1a3 4 ，即 2a2a1a34，所以 a22，又因为 a2 a424，所以 a412 ，再由等差数列的通项公式，得a1d2,a13d12.解得 a13,d 5 ．5．解：设插入的 4 个数为a2, a3, a4,a5，由题意可知，a17,a6 33 ．由等差数列的通项公式，得3376 1 d ，解得 d8 ．所以 a27 8 1 ， a37 2 8 9 ， a47 3 8 17 ， a57 4 8 25．即插入的 4 个数是1, 9, 17, 25．* 6．解：（ 1）当 n 1 时， a1S12121 1 ；当 n 2 n N 时，a n S n22n 14n 3 ．S n 1 2n n 2 n 1因为 n1时， 4n 3 4 1 3 1 a1，所以数列a n的通项公式为a n4n3, n N*．（ 2）因为 a n1a n 4 n134n34， n N*，所以数列a n是以 4 为公差的等差数列．（ 3）记 b n a2n，因为 b n bn 1a2na2 n 1 4 2n34 2 n1 3 8，n N*，所以数列b n是以 8 为公差的等差数列，b1a2 5 ．记数列b n的前 n 项和为 T n，求 a2a4a100即为求数列b n的前 50 项和，即T5050498505504910050 ．50b1822* 7．证明：设直角三角形的三边从小到大依次为a d , a,a d d0 ，由勾股定理得a d 2a d2a2，解得 a 4d ，所以直角三角形的三边分别是3d , 4d, 5d ，它们的比是3: 4:5 ．5.3 等比数列5.3.1 等比数列的概念及通项公式知识应用实操跟踪练习 1 （方法同教材第119 页例题 1）a n1n 11 ．1, n N ； an232跟踪练习 2 （方法同教材第119 页例题 2）第 8 项．跟踪练习 3 （方法同教材第119 页例题 3）a 520 ．跟踪练习 4 （方法同教材第119 页例题 4）a 2 a 5 2 ．跟踪练习 5（方法同教材第 120 页例题 5）a n 是公比为 1的等比数列．9跟踪练习 6（方法同教材第120 页例题 6）这三个数分别是14, 28,56 或 14, 28, 56 ．知识强化练习1．解：（1）由题意得， a 11, q2 2 ，则等比数列的通项公式是1n 1a n12， n N * ，n1a n1n 12， n N *整理，得2 ．7 1a 7 1 6238所以22．（ 2）由题意得， a 11, q6 6 ，则等比数列的通项公式是1n 1N * ，a n 16， nn 1N * ．整理，得a n 6 2 ， nn 1n 122所以 216 是等比数列 1, 6,6, 6 6,的第 7项．2．解：（ 1）由等比数列通项公式，得a6a1 q5153327 ．39（ 2）由等比数列通项公式，得136a1，2解得 a1 48 ．（ 3）由等比数列通项公式，得9612q3，解得 q 2 ．（ 4）由等比数列通项公式，得7a1q 2 ,463 a1 q .a17,或 a17,解得99q 3.q 3.所以 a4a1q37321 或 a4a1q373321 ．3993．解：因为 a2、 a10是方程 x27 x40 的两个根，所以a2a104，又因为 a2a10a6a6 4 ，所以 a6 2 或 a6 2 ．4．解：设插入三个数为a2， a3， a4，由题意得， a1 6 ， a5150 ．再由等比数列的通项公式，得1506q 4，解得 q 5 或 q 5 ．所以当 q 5 时， a223 65 6 5，a36530 ，a46530 5 ．当 q 5 时，23656 5 a6530 a6530 52；，3，45.3.2等比中项知识应用实操跟踪练习7（方法同教材第121 页例题 7）（ 1）30 或 30；（2）2 2 或 2 2 ．跟踪练习8 （方法同教材第121 页例题 8）a1227 或 a12 2 7 ．* 跟踪练习9（方法同教材第121 页例题 9）q 3 ．知识强化练习1．解：（ 1） 3, 12 的等比中项为3 12 6 ．（ 2）133, 13 3 的等比中项为13313310 ．2．解：由题意可知，a315 ， a425 ．因为 a3是 a2和 a4的等比中项，所以2a3a2 a4，15225a2，解得 a29 ．又因为 a4是 a3和 a5的等比中项，所以a42a3 a5，225 15a5，125解得 a5．*3．解：设三数为a, a, aq，由题意可得 qaa aq27,qaaq8.qa3,a3,解得1q3;q.3* 4．解：设三数为 a d , a,a d ，由题意可得a d a a d12,a d4a d2 13a 6 .a4,a4,解得12;d 3.d当 d12 时，这三个数为16, 4,8 ；当d3时，这三个数为1, 4,7 ．5.3.3等比数列的前n项和知识应用实操跟踪练习10（方法同教材第123 页例题 10）（ 1） S n 122；（ 2） S663 ．34跟踪练习11（方法同教材第123 页例题 11）a11a1 9（ 1）n 6 ，q 2 ． (2) 1 ．q, 或3q3*跟踪练习12（方法同教材第124 页例题 12）该种产品每次提价的百分率约是14.5%．*跟踪练习13（方法同教材第125 页例题 13）2n 1*na n 9N ．3知识强化练习a1 1q n 1．解：（ 1）由等比数列的前n 项和公式S n，得1q5411231．S n1142（ 2）由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得1q212S n3934．2913（ 3）由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得1q204a1256 4 ，14解得a1 4 ．由等比数列的通项公式，得2564 4 n 1，解得n 4 ．（ 4）由 S3a19 得， a2a39 ．再由 a412 可以建立以下方程组a2a39,a412.2a1q a1 q9,即a1q312.解得 q 2（舍去）， q 2 ．3所以a n3q38．a n* 2．解：当 n 1 时， a1S1114；5当 n 2 n N时， a n S nSn 15n 1 5n 1 1 5n5n 1．因为 n1时， 5n5n 151504a1，所以数列a n的通项公式为 a n5n5n 1 4 5n1 , n N*．a 4 5n 1 1因为n 14 5n 15，所以数列a n是公比为 5 的等比数列．a n* 3．解：由题意可知，从今年起，林场每年造林数成等比数列，公比为q 1 10% 1.1 ，首项 a1 5 ．a1q n由等比数列的前 n 项和公式S n，得1 qS6a1 1q 6 5 1 1.161q138.6 ．1.1答：五年后林场共造林38.6 公顷．5.3.4习题1．解：（ 1）由等比数列的通项公式，得143 ．a5 628（ 2）由等比数列的通项公式，得18973n 1，解得 n 4 ．再由等比数列的前n 项和公式 S n a1a n q ，得1q71893S n13140 ．（ 3）由等比数列的通项公式，得a q 25,1a1 q55.27a145,解得1 .q3n 1n 3所以通项公式 a n a1 q n 145151， n N*．33（ 4）由等比数列的通项公式和前n 项和公式，得a1q6,a1 1q39.1 qa13,a112,1解得q2; q.22．解：设插入四个数为a2， a3， a4， a5，则 a17 ， a6 224 ．由等比数列的通项公式，得2247q 5，解得 q 2 ．所以 a27 2 14 ， a37228 ， a43 27256 ，a574112 ．23．解：由题意可知， a3 7 ， a928，且 a6是 a3 , a9的等比中项，则a6a3a972814，因为 a9是 a6 , a12的等比中项，所以a92a6a12，所以 a12a9228256或a12a9228256 ，即 a1256 或a1256 ．a614a6144．解：设三数为 b ,b,bq ，由题意可得qb b bq27,qbbq10.q解得b3,b3,q1q 3.;3当 q1时，这三个数为9,3, 1 ；当 q 3 时，这三个数为 1,3, 9 ．32 n 135．证明：因为5225, n*，所以数列2n3是等比数列．2 n35N55* 6．解：由题意可知，b5a,c25a,d125a ，则3a b3a5a2a 1 ．325a125a3c d50a25* 7．解：由题意可知，每次活塞运动后，容器里空气的压强成等比数列，首项 a 1 760 ，公比为 q 5 ．6 由等比数列的通项公式，得4a 55366.5 ．7606答：活塞 4 次运动后，容器里空气的压强是366.5 Pa ．5.4复习参考题5.4.1选择题（1）A；（2）A；（ 3）B；（ 4）A；（ 5）D；（6）A；（7） C ；（ 8） C ；（ 9） C ；（ 10）B．5.4.2填空题11．11； 12．12； 13．27； 14．n 1 1 ； 15．9 ．5.4.3解答题16．解：因为方程x2 3 x 10 0 的根是 x15, x2 2 ，所以项值为正的等比数列{ a n }的公比为 q 2 ．由题设条件与等比数列的前n 项和公式，得a1 13228 ．12解得 a1 4 ．所以等比数列 { a n } 的通项公式与前n 项和公式分别为a n a1 q n 1 4 2 n 1 2 n 1， n N*a1 1q n412n4 2n 1 ， n N*．S nq12117．解：依题意可设三角形的三个内角从小到大依次是35 , 35 d, 35 2d ，则3535d352d 180 ，解得 d25 ．所以该三角形的其它两个角分别是60 和 85 ．18．解：（ 1）当 n 1 时， a1S112 1 0；当 n 2 n N时， a n S n S n 1n 2n2n 12n 2 ．n 1因为 n1时， 2n 2 2 1 2 0a1，所以 a n2n2, n N*．b n 12 n12（ 2）因为24 ，b n22 n2所以数列b n是公比为 4等比数列．84。
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观 察
5.1.1数列的定义
每隔83年出现一次的彗星，从1740年到现在出现的年份 依次为： 1740，1823，1906，1989 ④
探 究
次序排成的一列数称为数列．数列中的每一个数 都称为这个数列的项． 第一位的数：第一项，或首项， 第二位的数：第二项，…… 第n位的数：第n项 …… 数列的一般形式： 其中，an是数列的第n项，n就是an的序号．数列可以简记为｛an｝
第5章
数列
5.1.1数列的定义
观 察
5.1.1数列的定义
奥运会每隔四年举办一次，2008年中国北京举办了第29
届奥运会，你能列出后面五届奥运会的时间吗？
第30届为2012年，
第31届为2016年， …， 第34届为2028年. 所以，后面五届奥运会的举办时间（年）可以排成一列： 2012，2016，2020，2024，2028. ①
数列⑥有什 么特点？
5.1.1数列的定义
知识巩固 2
教材练习5.1.1
1.如图所示，用火柴棒搭三角形，由此推知，第6个图形 需要 根火柴棒.
(第1题图)
1 1 1 1 ，由此规律可推出，第8个数应 2.已知数列 ， ， ， ， 2 4 8 16
当为
.
3.请分别给出一个有穷数列和一个无穷数列.
课堂小结
观 察
5.1.1数列的定义
某位同学5次数学阶段测验成绩依次为： 85，92，78，98，90 ①
观 察
5.1.1数列的定义
某小超市上周每天的营业额依次为：（单位：元） 3221，2300，1500，1985，2560，2850，2900 ②
观 察
5.1.1数列的定义
某人因生病住院6天的体温依次为：（单位：℃） 39.5，38.8，38.3， 39，37.3， 37 ③
5.1.1数列的定义
知识巩固 1
1．数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
为什么？ 2．有两个列数： （1）1，1，1，1 （2）1，1，1，1，1，1，1，1
它们是数列吗？如果是数列，这两个数列是否相同？为什么？
5.1.1数列的定义
下面的几个数列有什么不同之处？
３，４，５，６，７，８，９ ⑤ ⑥ －１，１，－１，１，… ２，２，２，２，… ⑤、⑥：项数有限——有穷数列 ⑦、⑧：项数无限——无穷数列． ⑧：各项都相等——常数列． ⑦ ⑧
一、数列的定义
按照一定次序排成的一列数称为数列．
数列的一般形式：
其中，an是数列的第n项，n就是an的序号．
数列可以简记为｛an｝．
布置作业
习题册：P1－2，1~11