2009上海数学中考压轴题几何背景探寻与思考
有几何背景的综合题的复习探究
几何背景综合题的复习----------基本图形分析举例光明初级中学 刘颖颋 教学目标：1. 通过对一类基本图形进行研究，引导学生在复习中建立各自理解的几何背景，提高学生在解决有几何背景的综合题方面的能力。
2. 通过对基本图形的探究，感悟解几何背景综合题的一般思考方法。
3. 体会多种数学思想方法的综合运用以及透过现象看本质的辨证思维方法。
教学重点及难点：基本图形的分析中规律的探索和合理的运用。
教学过程：B例：已知：60MAN = ∠，点B 在射线AM 上， P 为射线AN 上一动点（点P 与点A 不重合），以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．求证：点O 在MAN ∠的平分线上；例：在Rt △ABC 中，∠C ＝ 90，AB ＝5,AC ＝4，BC ＝3，点M 是AB 边的中点，用一个直角三角板的直角顶点放在点M 处旋转，使两直角边与原Rt △ABC 的两边AC 、BC 分别交与E 、F 点，求MF ME的值。
课堂训练：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝ 90，AB ＝5,AC ＝4，BC ＝3，点P 、Q 、R 分别是AC 、BA 、BC 上的动点，且CR ＝AP ＝BQ ＝x ，在运动过程中求使得∠PQR ＝ 90的x 的值。
MCBARPCBA参考资料：背景1：一个直角三角板的直角顶点放在等腰直角三角形ABC 的斜边的中点M 处旋转，让两直角边与等腰直角三角形的两直角边交于E 、F 两点。
观察图形，会得到哪些结论？(i) △CFM ≌△AEM ；△CEM ≌△BFM ； (ii) ME ＝MF ；△MEF 是等腰直角三角形； (iii) ABC CEMF S S △四边形21=(iv) △CFM ∽△AEM ∽△FDM ∽△CDE ；△CEM ∽△BFM ∽△EDM ∽△CDF ； (v) MC MD MF ME ∙==22；FD ED CD MD ∙=∙；CM CD CF EC ∙=∙·· (vi) AB AC CF CE 或＝定值+(vii)以后我们遇上“直角对直角，并且直角与直角的顶点的连线平分一个直角”。
2009年上海中考数学试卷分析2
以几何图形为背景的压轴题闵行中心马德岩近年中考试题或模拟考题能反映命题风格、命题热点、命题形式（特别是新题型）的新动向、新导向，以近年中考题为基本素材，有利于考生适应中考情境，提高中考复习的针对性。
中考题型的创新形式主要有：情景题、应用题、开放题、操作题、探索题等，体现出“经历、体验、探索”的过程性目标。
此类题目是学生得分的薄弱环节，主要涉及到的题目为：图形翻折、平移、旋转的运动变化、函数思想的形成、方程思想的建立等等。
应对此类问题学生应该要用数学的眼光观察世界，用数学知识、数学思想方法去分析问题、解决问题。
这类试题往往情景较为新颖，问题也较为灵活，每年的分值在25分左右。
下面以2009年上海中考最后一题为点来分析这类问题解决的方法。
已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；（2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在重点考查最基本、通用的数学规律和数学技能的同时，这道试题突出考查学生对数学思想方法的领悟。
解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠PDA ，因为∠A=90。
PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,（2）如图：根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H ，h ，则：S1=（2-x ）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y ，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2),定义域：当点P 运动到与D 点重合时，X 的取值就是最大值，当PC 垂直BD 时，这时X=0，连接DC,作QDADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPBQ垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD则QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，（t>0）由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2整理得：(8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8](3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：Q′，B，P，C四点共圆，由圆周角定理推知，三角形P Q′C相似于三角形ABD，根据相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。
2009上海压轴题精选
2009上海市数学中考模拟考上海124．如图，一次函数图像交反比例函数)0(6>=x xy 图像于点M 、N （N 在M 右侧），分别交x 轴、y 轴于点C 、D 。
过点M 、N 作ME 、NF 分别垂直x 轴，垂足为E 、F 。
再过点E 、F 作EG 、FH 平行MN 直线，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交FH 于点K 。
（1）如果线段OE 、OF 的长是方程a 2- 4a+3=0的两个根，求该一次函数的解析式；（2）设点M 、N 的横坐标分别为m 、n ，试探索四边形MNFK 面积与四边形HKEG 面积两者的数量关系； （3）求证：MD =CN 。
24．（1）解得a 1=1，a 2=3，… 1’ OE=1，OF=3 … 1’ 得M （1，6），N （3，2）… 1’ 得直线MN 解析式82+-=x y … 1’（2）说明DNFH 、DMEG 、DMKH 为平行四边形 … 1’ S DMEG =ME·OE=m m⋅6=6 … 1’ S DNFH = NF·OF=n n⋅6=6 … 1’ ∴S MNFK =S HKEG … 1’ （3）①几何法：OE=m ，OF=n ，EF=n-m ， ME=m6，NF=n 6， … 1’设FC=a ，∵△CNF ∽△CME ∴ ME NF EC FC = ，即mn m n a a66=-+，得a=m … 2’再证△EGO ≌△CNF ，EG=MD ，得MD =CN … 1’或②代数法：设直线MN 为y=kx+b ，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b kn nb km m 66得n m x mn y 666++-= … 1’得D （0，nm 66+） C （m+n ，0）… 1’ DM=222236)666()0(nm m n m m +=-++-，CN=222236)60()(nm n n n m +=-+-+ … 1’ ∴DM=CN … 1’上海225．(本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分) 已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．25．(本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分4分) 证明：（1）∵△ABC 中，AB =AC ，∴∠B =∠C ---------------------------------------------------（1分）∵△DEF 是等边三角形∴∠FDE =∠FED ，∴∠MDB =∠AEC ------------------------（1分） ∴△BDM ∽△CEN ---------------------------------------------------------------------------（1分） (2)过A 作AH ⊥BC 垂足为H ，∵∠B =30°，BC =6 ∴BH =3, AH =3, AB =32, ∴333621=⨯⨯=∆ABC S ----------------------------------------------------------（2分）∵∠B=∠B , ∠BMD=∠C∴△BDM ∽△BCA ----------------------------------------------------------------------（1分）∴2)(AB BD S S ABC BDM =∆∆, 2)32(33x S BDM =∆ABFEMN 第25题A D E O l A ′ ∴243x S BDM =∆ -------------------------------------------------------------------------（1分） 同理求得2)3(43x S NEC -=∆------------------------------------------------------------------（2分） 23)3(43433322-=---=∴x x y 4332332++x x （1≤x ≤2）----------（2分） （用其他方法每求出一个三角形面积得2分）（3）假设存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切过点M 作MG ⊥EF 垂足为G ，则MG =BM 在⊿BDM 中，过点D 作DP ⊥BM 垂足为P , ∵BD =x ,∠B =30°,∴BP =x 23, BM =x 3----------------------------------------------------（1分） ∵BD =DM , FD =DE=3 ∴FM =3-x ∵在RT ⊿FMG 中，∠F =60°∴MG=2)3(3x - ------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴x3=2)3(3x - ----------------------------------------------------------------------------------（1分）解得x= 1--------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 所以当BD 的长为1时，以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切上海325．（本题满分14分）在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E. (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设ADABCDEO lF 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；25．(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC …………………………（1分）又∵AB ＝A ’B ，AB ＝3AC ＝6…………………………（1分）在Rt △ABC 中 222AB AC BC -= ∴33=BC …………………………（2分） (2)①在Rt △ADC 中∵x AD =，3=AB∴92+=x AC …………………………（1分）∵9412+=x AO …………………………（1分） 易证△AOF ∽△ABC ACAFAB AO = )9(1212+=x AF …………………………（1分）同理可得 xx AE 492+=…………………………（1分）∴AF 21⋅=∆AE S AEFxx 96)9(22+= ∴xx x S 96)9(322+-=即：xx x S 968127024-+-= (333<<x )………………（2分+1分）②若圆A 与直线l 相切则941432+=-x x …………………………（1分） 024152=-x x01=x (舍去)，582=x …………………………（1分） ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切…………………………（1分）上海425．（本题满分14分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在等腰△ABC 中，已知AB =AC =3，1cos 3B ∠=，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥AB 交BC边于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交AC 边于点F ．（1）当BD 长为何值时，以点F 为圆心，线段FA 为半径的圆与BC 边相切？（2）过点F 作FP ⊥AC ，与线段DE 交于点G ，设BD 长为x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．25． 解：(1)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ，……………………………1分在Rt △ABM 中，1cos 3B ∠=，AB =3，∴BM =1．…………………………1分∵AB =AC ， AM ⊥BC ，∴BC =2．……………………………………………1分 设BD 长为x ，在Rt △BDE 中，1cos 3B ∠=，∴BE =3x ，EC =23x -．同理FC =69x -，FE=，………………………………………1分 ∴AF =93x -， ………………………………………………………………1分 由题意得93x -=，解得37x =．……………………2分(2) ∵DE ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴90B BED ∠+∠= ，90DEF BED ∠+∠=，∴B DEF ∠=∠．………1分同理EFG C ∠=∠，∴△ABC ∽△EFG ．…………………………………1分 ∴2()EFG ABC S EF S BC= ．……………………………………1分B 25题图22=∴2y=-+62()113x≤<…4分上海524．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线bkxy+=分别与x轴负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，425=AP.（1）求点P到直线AB的距离；（2）求直线bkxy+=的解析式；（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D在Rt△APD中，由AD=5，425=AP得415=PD(2')．（2）由AOBADP∠=∠，BAOPAD∠=∠，得PAD∆∽BAO∆（1'），得OA=8，OB=6（2'），得)0,8(-A，)6,0(B（1'）．把)0,8(-A，)6,0(B代入bkxy+=得K=43，b=6，得解析式为643+=xy（2'）．（3）答：在⊙P上不否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形．因为，PA=PB, 但A B≠PA，所以以A、P、B、Q为顶点的菱形的顶点D只能在PD的延长线上(1')．延长PD至点Q,使DQ=P Q，由DQ=P Q，AD=DB，且PD⊥AB 得菱形APB Q，但PQ=2PD=430大于半径PA，所以，点P在⊙P外，即在⊙P上不否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形（2'）．上海625. （本题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为8厘米，动点P 从点A 出发沿AB 边由A向B 以1厘米/秒的速度匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC-CD以2厘米/秒的速度匀速移动.点P 、Q 同时出发，当点P 停止运动，点Q 也随之停止．联结AQ ，交BD 于点E.设点P 运动时间为x 秒.（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP 和∠BEQ 相等； （2）当点Q 在线段BC 上运动时，求证：∆BQE 的面积是∆APE 的面积的2倍； （3）设APE ∆的面积为y ，试求出y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.25. 解：（1）由正方形ABCD 得∠ABD=∠DBC ．当∠BEP=∠BEQ 时，因为∠PBE=∠QBE ，BE=BE ，所以，PBE ∆≌QBE ∆，得PB=QB ，即x x 28=-，解得38=x ，即点P 出发38秒后，∠BEP=∠BEQ （2'）．（2）当点Q 在线段BC 上运动时，如图1，过点E 作MN ⊥BC ，垂足为M ，交AD 于点N ，作EH ⊥AB ，垂足为H ．因为∠ABD=∠DBC ，EH ⊥AB ，EM ⊥BC ，得EH=EM.又因为BQ=x 2，AP=x 1，得BQ=2AP （2'）而EH AP S APE ⋅=∆21， EH AP EH AP EM BQ S BQE ⋅=⋅⋅=⋅=∆22121,所以APE BQ E S S ∆∆=2（2'）． （3）①当40<<x 时，点Q 在BC 边上运动．由正方形ABCD 得A D ∥BC ，可得MN ⊥AD ．由A D ∥BC 得BEQ ∆∽DEA ∆，得EN EM AD BQ =，即EM EM x -=882，解得xxEM +=48，即EH=x x +48（2'），所以x x x x x EH AP S APE +=+⋅⋅=⋅=∆444821212，即xx y +=442（2'）②当4=x 时，点Q 与点C 重合．此时8=y （1'）；③当84<<x 时，点Q 在CD 边上运动．如图2，过点E 作MH ⊥AB ，垂足为H ，可知MH ⊥CD,备用图备用图设垂足为M ，由AB ∥DC 得，AEB ∆∽DEQ ∆，得EMEHDQ AB =,即EH EH x -=-82168,解得EH=x -1232（2'），所以，x x x x EH AP S APE -=-⋅⋅=⋅=∆121612322121，即xxy -=1216(1')，综上所述，y 关于x 的函数解析式为xx y +=442（40<<x ）；8=y （4=x ）；x x y -=1216（84<<x ）．上海725．（本题14分）（第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，CD ⊥BC ，已知AB =5，BC =6，cos B =35．点O 为BC 边上的动点，联结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，联结MN ．（1） 当BO =AD 时，求BP 的长；（2） 点O 运动的过程中，是否存在BP =MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP =MN ；若不存在，请说明理由；（3） 在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C ，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围。
不容小视的“压轴题”——对2009年部分地区中考填空压轴题的分析
上
’２ ０ ’２０ ９ ０８ ０
半 圆 弧 上 ，则 半 圆 的半 径 与 正 方形 边 长 的 比是
— —
例 ５ （ 建 ・ 州卷 ） 已 知 ， 、曰、 福 福
行 缩 放 ，从 而 利 用 给 出 的 定 义 得 出 结 果 ．
Ｃ、Ｄ、Ｅ是反 比例 函数 Ｙ＝ （ ＞０ 图 ） ０ ，且 ＡＢ Ａ的 内切圆半径 ｒ ，则 Ｃ ＝４ 此题 主 要 考查 了学 生 的 阅读 理 解 能 力 和 处 为 １０ 象 上的 ５个整 数点 （ 、 纵 坐标 均为整 横 半圆 的直径 Ａ Ｂ为 理信 息的能力． 数） ，分别过 这些 点 向横轴 或纵轴作垂线 三 、 函数 混 合 型 段 ，以垂 线段所在 的正 方形顶点 为圆心 ， 此类问题就是将 两种 函数放 在一 起 。
丰富 ，形式新颖多样 ，信息量大 ，对处理 数据的能力要求高． 本文拟从不 同的层面
剖 析 ２０ ０ ９年 中 考 试 题 中 出 现 的 “ 轴 ” 压
所 以 ８ ＋（ ８—２ ）＝（ ｘ ４＋２ ） ｘ ．
１
的
解得 ＝÷． ｊ
所 以 Ａ， Ｇ：丁 ＋ ７ ４：
Ｊ ，
１ ２ ！ ！
变换 的概念 、性质等的掌握情况 以及对知 切 的概 念 等） 的理 解 情 况 ， 以及 对 基本 技
识 的综 合 运用 能 力 ．
和妄 五 三 １
６ ６’ Ｉ １ ８ ’ｌ ８ ’ ９Ｏ ９Ｏ
一 一 。 一 ， 一
的分为 值别６ ６
“ 。ｌ ８ ９０
能 （ 将基本知识有机结合形成正确的解题
＜
例 １ （ 江・ 州卷）如图 １ 浙 温 ，已 知 思路） 的掌握情况和对数学思想 （ 利用 方
2009年上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考
量 缓
中学数学 杂 志
２０ ０９年第 ８期
２０ ０９年 上 海市 中考数学 压轴题 几何 背景探 寻和 思考
上 海 市黄 浦 区光 明初 级 中学 近几 年来 ， 国各省 市 的数 学 中考 压 轴 题大 部 全 ２ ０ １ ０ ００
而
刘颖颞
／Ｑ ＭＰ ＝ ＬＰ Ｃ ＝ ９ 。 ＡＱ Ｎ ０ ＭＰ
方形 的边 （ 边 的延 长线 ） Ｂ交 于 点 Ｑ， 图 ６ ７ 或 Ａ 如 ，．
． 、 — ．
让
ＰＯ
：
Ａ Ｄ
‘
图２
图３
Ｄ
Ａ
Ｄ
证 明 因为 Ｐ ＝Ｐ 所 以 １＝ ／３ Ａ Ｑ， ，
又 因为 ａＡ Ｐ Ｂ ＡＣ Ｐ ／１ ＝ ２＝ １＝ Ｂ ＝ ＞
证明
ＭＰ ＡＤ
易证 ： ＭＰ￣ ＡＱ ＂ＡＰ Ｃ Ｐ ＝Ｍ ＝ Ｎ ￣ Ｑ Ｐ
ｐ
背 景 ３ 反 过 来 ， 将 一 个 直 角顶 点 放 在 正 方 若 形 的对 角线 上 移 动 ， 条 直角 边 过 点 Ｃ ， 一 另一 条直
角边 与 正 方 形 的边 （ 边 的延 长 线 ） Ｂ 交 于 点 Ｑ 或 Ａ ．
分都有一个很明确 的几何背景 ， 今年的上海市中考
数学 压 轴题也 是 如此． 背 景 １ 如 图 １点 Ｐ是正 方形 ，
ＡＰ ￣ＰＱ ＝Ｐ ． ＮＣ Ｃ
ＡＣ Ｂ Ｄ对角线 上任意一 点．求证 ：
ＰＡ ＝ 尸Ｃ．
证 明 因为 四边形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是 正方 形 ， 以 Ａ ＝ Ｃ ＬＡ Ｐ ＝ 所 Ｂ Ｂ， Ｂ Ｃ Ｐ ＝４ 。 又 因为 Ｂ ＝Ｂ Ｂ ５， Ｐ Ｐ，
ＭＢ
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（六）61.（09年某某）28．如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．（09年某某28题解析）解：（1）6．···························································· （1分） （2）8． ································································································· （3分） （3）①当03x <≤时，2111sin 6022222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，（第28题）Q 1ABCDQ 2P 3 Q 3 E P 2 P 1 O1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-． ··································································· （10分） （解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3OC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- ······································································ （10分） 62.（2009年某某）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值X 围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．（2009年某某28题解析）解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················· （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时， 有3532t -≤，即43t ≥． 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=． 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值X 围为41633t ≤≤． ······················ （5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． 解得1242033t t ==，． ······························· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ····················· （9分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=． 解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ················································ （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ············· （12分）63.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ．………… 1分 同理，在Rt △DEF 中， EG =12FD ． ………………2分 ∴CG =EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴△DAG ≌△DCG ．∴AG =CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴△DMG ≌△FNG ．FBDC第23题图①BDC第23题图②BC第23题图③BDCN图 ②（一）∴MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵AM =EN ， MG =NG ， ∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分B D C图③BD C图 ②（二）64.（2009年某某）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（2009年某某25题解析）（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分 当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 65.（2009年某某某某）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值X 围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '是否在该抛物线上．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）设(1)(3)y a x x =+-， ························ 1分把(03)C ，代入，得1a =-， ············································································· 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++． ·························································· 4分顶点D 的坐标为(14)，． ··················································································· 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，······························································································· 6分解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ···································································· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，················································ 8分 ∴23(13)s x x x =-+<< ················································································ 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······················································ 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ····················································· 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· 5分 ∴四边形PEOF 是矩形．作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M ． 设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 解得158m =． ∵CM P H P M P E '''=， ∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =． ∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△． ∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，． ∴352PC k ==，310k =． 由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，． ∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ································································································66.（2009年某某某某）26．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；（2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值X 围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？（第26题图）iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）(02)(40)A B ，，， ································· （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ···························································· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ··········································· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO .OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ······································ （5分） 当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ····························································································· （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············································· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=-∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ················································· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =抛物线开口向下∴当43x =时，S 有最大值为43·································································· （9分） 综合①②当43x =时，S 有最大值为43 ····················································· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···················································· （14分）附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△ 12EO AO AO BO ∴== 21AO EO =∴= ∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ②当ADE △以点E 为直角顶点时同样有AOE BOA △∽△12OE OA AO BO == 1(10)EO E ∴=∴，∴点C 的坐标502⎛⎫⎪⎝⎭， 综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分． 67.（2009年某某某某）26．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩ ···································· 1分 解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ········································ 3分 ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ······· 4分顶点坐标是（2，4） ······················································································· 5分（2）(43)D ， ································································································· 6分设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠（第26题图）第26题图3直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ ······························································································ 7分 121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ····································································································· 8分 112y x ∴=+ ································································································· 9分 （3）存在． ································································································ 10分 1(2220)Q -， ····························································································· 11分 2(222)Q --，0 ························································································ 12分 3(6260)Q -， ····························································································· 13分 4(6260)Q +，····························································································· 14分 68.（2009年某某某某）26.如图14，抛物线与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.69.（2009年某某某某）26．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．。
2009年上海市中考数学试题及答案
2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32()a 的结果是（B ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ C ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ B ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形 6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（A）A ．AD BCDF CE = B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分母有理化：A B D C E F图1=581=的根是 x=2 ．9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = —1/2 ．11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 I III 象限．12．将抛物线2y x =向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 1/6 ．14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是100*(1—m)^2 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么AD =a +(b /2)．16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = 5 ．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC=BD 或者有个内角等于90度 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 2 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+． = —120．（本题满分10分）解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②(X=2 y=3 ) (x=-1 y=0) 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）图2AA 图3B M C142y x =BC b =AB a =如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ． （1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长． (1) 二分之根号3 （2）822．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 20% ；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 35% ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =． 证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 A D ∠=∠角AOB=角DOC 所以三角形ABO 全等于三角形DOC 所以AB DC =（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 真 命题，命题2是 假 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）A D C图4 B 九年级 八年级 七年级六年级 25%30%25% 图5 图6 O D CAB E F在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 解：（1）点B （—1，0），代入得到 b=1 直线BD ： y=x+1 Y=4代入 x=3 点D （3，1）（2）1、PO=OD=5 则P （5，0）2、PD=OD=5 则PO=2*3=6 则点P （6，0）3、PD=PO 设P （x ，0） D （3，4）则由勾股定理 解得 x=25/6 则点P （25/6，0）（3）由P ，D 两点坐标可以算出：1、r=5—2、PD=5 r=13、PD=25/6 r=025．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA ，因为∠A=90。
2009上海年初三压轴题总会(无答案)
2009年宝山区初三模拟测试数学试卷24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3<m ，若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标。
x图725．（本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分6分）（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG 、FH 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）如果把条件中的“EG ⊥FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD 5崇明县2009年初三学业考试模拟考24、（本题满分12分）如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，31tan =∠OCA ， 6=∆ABC S ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．25、（本题满分14分）在等腰ABC=BC cm，动点P、Q分别从A、B两点同时AB cm，6=AC=∆中，已知5出发，沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/秒. 当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）设四边形APQC的面积为y cm2，写出y关于t的函数关系式及定义域；（3）分别以P、Q为圆心，P A、BQ长为半径画圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值；∆能否相似？若能，请求出AP的长；若不能，请说明（4）在P、Q运动中，BPQ∆与ABC理由．（备用图）奉贤区初三调研考 数学卷2009.324．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D .(1)求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？25．(本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分) 已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．ABFEMN 第25题虹口区2009年中考数学模拟练习卷24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，其顶点记为点C ．（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标； （2）将直线CB 向上平移3个单位长度，求平移后直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在直线上l 找一点D ，使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由.25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图8，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以线段BC 为直径的圆与以线段AE 为直径的圆相切，求线段BE 的长； （3）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.AC D EFB图8AD B备用图·上海市金山区2009年初三中考数学模拟考试24．（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，直线421+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点A 作CA ⊥AB ，CA ＝52，并且作CD ⊥x 轴. (1)求证:△ADC ∽△BOA ；(2)若抛物线c bx x y ++-=2经过B 、C 两点. ①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P ，M 是坐标轴上的一个点，若直线PM 与y 轴的夹角为30°，请直接写出点M 的坐标.A BC D E O l A ′ ABCDEO lF 25．（本题满分14分）在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E. (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；静安区“学业效能实证研究”学习质量调研24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）已知：如图6，点A （–2，–6）在反比例函数的图像上，如果点B 也在此反比例函数图像上，直线AB 与 y 轴相交于点C ，且BC =2AC ．(1) 求点B 的坐标；(2) 如果二次函数92-+=bx ax y 的图像经过A 、B 两点，求此二次函数的解析式.25．(本题满分14分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分3分）已知：⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y，（1）如图7，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；（3）设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．图7上海市卢湾区2009年初三数学中考模拟卷24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．24题图25．（本题满分14分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，1cos3B∠=，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切？（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．25题图2009年南汇区初三数学模拟卷24．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图①，在锐角⊿ABC 中，BC>AB>AC ，D 和E 分别是BC 和AB 上的动点，联结AD ，DE .(1) 当D 、E 运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形.（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）(2) 设BC =9，AB =8，AC =6，就图③求出DE 的长.（直接应用相似结论）B CABC ABC ABCAD E第24题图②③④①25．（本题满分14分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分8分）如图所示，抛物线()23m x y --=(m >0)的顶点为A ，直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B .（1）写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.第25题图)2- m2009年浦东新区中考数学预测卷24．（本题满分12分）已知一次函数m x y +-=21的图像经过点A （-2，3），并与x 轴相交于点B ，二次函数22-+=bx ax y 的图像经过点A 和点B ．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．25．（本题满分14分）如图，已知AB ⊥MN ，垂足为点B ，P 是射线BN 上的一个动点，AC ⊥AP ，∠ACP =∠BAP ，AB =4，BP =x ，CP =y ，点C 到MN 的距离为线段CD 的长．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．（2）在点P 的运动过程中，点C 到MN 的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．（3）如果圆C 与直线MN 相切，且与以BP 为半径的圆P 也相切，求BP ∶PD 的值．ABPDCNM2008学年度第二学期普陀区初三质量调研24. 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相 交于C 、D ，AB=CD . 求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）P A=PC ；（3）AE EC .O DC PA B第24题E(4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标.第25题2008-2009学年第二学期上海市徐汇区初三年级数学学科24．（本题满分12分）如图，抛物线c bx ax y ++=2与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、04)0,1(B A ，OBC OCA ∠=∠．（1）求抛物线的解析式； （3分）（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标； （3分） （3）如果⊙P 过点C B A 、、25．（本题满分14分）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以 点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （3分）（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （5分） （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． （6分）ABC D E F A B C D （备用图）杨浦区初三数学基础测试卷24．已知在直角坐标系中，点A的坐标是（-3，1），将线段OA绕着点O顺时针旋转90°得到OB.(1)求点B的坐标；(3)设点B关于抛物线的对称轴 的对称点为C，求△ABC25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题8分，第（3）小题3分） 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE ⊥于F ，设PA x =． （1）求证：PFA ABE △∽△；（2）若以P F E ，，为顶点的三角形也与ABE △相似，试求x 的值；（3）试求当x 取何值时，以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点。
2009年上海市中学考试数学及问题详解
实用文档文案大全2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32()a 的结果是（ ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形 6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE = B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）A B D C E F图1实用文档文案大全【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7．分母有理化：81=的根是 ．9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = ． 11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 象限．12．将抛物线2y x =向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ．14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么AD =16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = ．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+．20．（本题满分10分）解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②图2AA 图3B M C=BC b =AB a =实用文档文案大全21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ． （1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =．（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）A D C图4 B 九年级 八年级 七年级六年级 25%30%25% 图5 图6 O D CAB E F实用文档文案大全在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．ADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPB Qxb实用文档文案大全2009年上海市初中毕业统一学业考试数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ． 1、2、解：解不等式①，得x ＞-1，解不等式②，得x ＜3，所以不等式组的解集为-1＜x ＜3，故选C ．3、4、5、6、二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．;8．2 x ；解：由题意知x-1=1，解得x=2． 9．１４；实用文档文案大全10．-１２；11．一、三；12．21y x =-；解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x 2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x 2-2+1，即y=x 2-1． 故答案为：y=x2-1． 13．16；解：因为从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，可能出现的结果有6种，选中小明的可能性有一种，所以小明被选中的概率是1/ 6 ．14．2)1(100m -；解：第一次降价后价格为100（1-m ），第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m ）（1-m ），即100（1-m ）2．15．b a 21+；解：因为向量 AB = a ， BC = b ，根据平行四边形法则，可得： AB = a ， BC = b ， AC = AB + BC =a+b ，又因为在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，所以16．5；17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 解：∵对角线AC 与BD 互相平分， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD 或有个内角等于90度． 18. 2.实用文档文案大全三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ··········································· （7分） ＝1112-+--a a a ······································································· （1分） ＝11--a a·············································································· （1分）＝1-． ················································································ （1分） 20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ························································ （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ·········································· （1分）整理，得022=--x x ， ······························································ （2分） 解得1221x x ==-，， ·································································· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ·························· （2分）所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，； 2210.x y =-⎧⎨=⎩，····································· （1分） 21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ． ··········································· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ， ∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ·············································· （1 分）3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ·················································· （1分）∵12=BC ，∴8=EC ． ······························································· （1 分） 在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ． ··································· （1分） （2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B DCB ． ········································································ （1分） 过点D 作BC DF ⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //． ∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ···················· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ···················· （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ． ∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ······· （2分）实用文档文案大全22．（1） %20； ················································································· （2分） （2） 6； ··················································································· （3分） （3） %35； ················································································ （2分） （4） 5． ······················································································ （3分）23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠ ，∴OF OE =． ··································································· （1分） ∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点， ∴OE OB 2=，OF OC 2=． ············································· （1分） ∴OC OB =． ··································································· （1分） ∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ························································ （2分） DC AB =∴． ··································································· （1分） （2） 真； ························································································ （3分） 假． ··························································································· （3分）24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称，∴点B 的坐标为(10)-，． ································································· （1分） ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ··························· （1分） ∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM //轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，． ······· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分） （2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ··············································· （1分） 当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ····································· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ····································· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ，∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ··········· （1分） 综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． （3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时， 若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ， ∴圆O 的半径1=r ． ····································································· （2分） 若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ，∴圆O 的半径525-=r ． ·························································· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-．25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠． ∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ················································ （1分）∵ABADPC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ······························································ （1分） ∴︒=∠90BPC ． ········································································· （1分）实用文档文案大全在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ···················· （1分） （2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ···················· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形． ∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABADBF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ················································ （1分） ∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△．∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ················································· （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ··························································· （1分）（3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABADPM PN =． ·············· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQ PM PN =． ······················································ （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ··············· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ··································································· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ········································································· （1分）。
2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思
2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考上海市光明初级中学 刘颖颋 近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。
背景1：如图点P 是正方形ABCD 对角线上任意一点。
求证：PA ＝PC 证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ＝ 45 又∵BP ＝BP⇒△ABP ≌△CBP ⇒ PA ＝PC背景2：接上题，以P 为圆心，以PA 为半径画弧交AB （或AB 的延长 线）于点Q 。
求证：PQ ⊥PC证明：∵PA ＝PQ ⇒∠1＝∠3又∵△ABP ≌△CBP ⇒ ∠1＝∠2⇒∠1＝∠2＝∠3而：∠3＋∠4＝ 180⇒∠2＋∠4＝ 180 又∵∠QBC ＝ 90∴∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC 当点Q 在AB 的延长线上时，∵∠2＝∠3；∠4＝∠5⇒△BQH ∽△CPH ∴∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。
求证：PQ ＝PC 证明：过P 作MN 平行于BC 交AB 、CD 于M 、N ∵∠1＋∠QPC ＝∠2＋∠PNC ⇒∠1＝∠2 又∵∠MBP ＝45⇒MP ＝MB ＝NC而∠QMP ＝∠PNC ＝90⇒△QMP ≌△PNC ⇒ PQ ＝PC从上述的几个背景看出，当∠QPC ＝ 90时，一定有PQ ＝PC ，即AB AD PC PQ =；但反过来当ABADPC PQ =，即PQ ＝PC 时，因为有PA ＝PC 时∠APC ＝ 90不一定成立，所以∠QPC ＝ 90不一定能够成立。
下面我们将背景弱化：背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。
求证：ABADPC PQ =证明：易证：△QMP ∽△PNC⇒ABADMB MP NC MP PC PQ ===背景5：如图，矩形ABCD 的AB ＝a ，AD ＝b ，点P 在对角线BD 上运动，点Q 在射线AB 上运动，若ABADPC PQ =，试探索a ，b 满足什么条件时，会有PQ ⊥PC探索：正常情况下，NCMPMB MP AB AD PC PQ === ⇒△QMP ∽△PNC ⇒∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC但若点Q 关于MN 的对称点1Q 也在射线AB 上时，如同上述背景一样，连P 1Q ，∠1Q PC ＝ 90就不一定成立了。
09年上海中考数学答案
2009年上海市中考数学试卷答案1.B 分析：根据幂的乘方（a m ）n =a mn ，即可求解．原式=a 3×2=a 6．故选B ．2.C 分析：解不等式x+1>0，得x ＞﹣1，解不等式x-2<1，得x ＜3，所以不等式组的解集为﹣1＜x ＜3，故选C ．本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3.A 分析：把y x x =-1代入方程01131=+---x x x x ，得：y ﹣y 3+1=0．方程两边同乘以y 得：y 2+y ﹣3=0．故选A ．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．4.B 分析：.本题比较容易，考查根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标．因为抛物线y=2（x+m ）2+n 是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m ，n ）．故选B ．5.C 分析：根据题意，得()n n ︒∙-1802=n︒360，解得：n=4，即这个多边形是正四边形． 故选C ．本题比较容易，考查正多边形的中心角和内角和的知识，也可以对每个结果分别进行验证．6. 已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．∵AB ∥CD ∥EF ，∴CEBC DF AD =.故选A ．本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．7.55 分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以5．51=555⨯=55．本题比较容易，考查分母有理化的方法．8.x=2 分析：由题意知x ﹣1=1，解得x=2．算术平方根的被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．9.41 分析：根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k 的值．∵a=1，b=﹣1，c=k ，∴△=b 2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×k=1﹣4k=0，解得k=41．本题比较容易，考查一元二次方程根的判别式为零时有两个相等的实数根的应用．10.21-分析：把x=3直接代入函数()x x f -=11即可求出函数值．因为函数()x x f -=11， 所以当x=3时，()311-=x f =21-．本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 11.一、三 分析：根据反比例函数y=xk （k ≠0）的性质进行解答，当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．反比例函数y=x 2的系数k=2＞0，∴图象两个分支分别位于第一、三象限，故答案为一、三．12.y=x 2﹣1 分析：根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x 2﹣2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x 2﹣2+1，即y=x 2﹣1．本题比较容易，考查二次函数图象的平移．13.61 分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．因为从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，可能出现的结果有6种，选中小明的可能性有一种，所以小明被选中的概率是61．题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=nm ．14.100（1﹣m ）2 分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）．第一次降价后价格为100（1﹣m ）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1﹣m ）（1﹣m ）元，即100（1﹣m ）2元．本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．15.a +21b 分析：此题主要用到了平行四边形法则，在向量AB ，BC 已知的情况下，可求出向量AC ，又题中AD 为中线，所以只要准确把CD 表示出来，向量AD 即可解决．因为向量AB =a ，BC =b ，根据平行四边形法则，可得：AC +BC =a +b ，又因为在△ABC中，AD 是BC 边上的中线，所以CD =﹣BC =﹣b ，用向量a ，b 表示向量AD ，那么AD =AC +CD =a +21b ．本题难度中等，考查向量的知识．16.5 分析：作出图形，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出．作OC ⊥AB ，垂足为C ，可得：OC=4，AC=21AB=3，根据勾股定理可得：OA=22AC OC +=2234+=5．本题难度中等，考查根据垂径定理求圆的半径．17.AC=BD 或者有个内角等于90° 分析：因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．∵对角线AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD 或有个内角等于90°．此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．18.2 分析：利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB ′=3，DM=MN ，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M 到AC 的距离即可．∵△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B ′，作MN ⊥AC ，MD ⊥AB ，垂足分别为N ，D ．又∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB ′=3，DM=MN ，AB ′=B ′C=3，S △BAC =S △BAM +S △MAC =21×3×6=21×MD ×3+21×6×MN ，∴解得：MD=2，所以点M 到AC 的距离是2．此题主要考查了图形的翻折问题，发现DM=MN ，以及AB=AB ′=B ′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．19. 原式=()121112222+---+÷-+a a a a a a =()()()()211111112--+-+∙-+a a a a a a =1112-+--a a a =112---a a =1． 分析：分式分母能约分的先约分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行加减运算．20. 由①得：y=x+1③把③代入②，得2x 2﹣x （x+1）﹣2=0解这个方程，得x 1=﹣1，x 2=2．当x 1=﹣1时，y 1=﹣1+1=0，当x 2=2时，y 2=2+1=3.∴原方程组的解为⎩⎨⎧=-=;0,111y x ⎩⎨⎧==.3,222y x 分析：本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．21.（1）如图，作AE ⊥BC 于点E ．在Rt △ABE 中，BE=AB •cosB=8×cos60°=4，AE=AB •sinB=8×sin60°=43，∴CE=BC ﹣BE=12﹣4=8．在Rt △ACE 中，tan ∠ACB=EC AE =834=23．（2）作DF ⊥BC 于F ，则四边形AEFD 是矩形．∴AD=EF ，DF=AE ．∵AB=DC ，∠AEB=∠DFC=90°，∴Rt △ABE ≌Rt △DCF （HL ）∴CF=BE=4，EF=BC ﹣BE ﹣CF=12﹣4﹣4=4，∴AD=4．又∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN=21（AD+BC ）=21（4+12）=8． 分析：（1）作梯形的一条高AE ，发现30°的直角三角形ABE ，根据锐角三角函数求得BE ，AE 的长，再进一步求得CE 的长，从而完成求解过程；（2）显然MN 是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可．再作梯形的另一条高，根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底．22.（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率=1﹣25%﹣25%﹣30%=20%；（2）从表格中得到总测试人数=1+1+2+2+3+4+2+2+2+1=20人，九年级的人数=20×30%=6人；（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数7人，故所占的百分=7÷20×100%=35%；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，做5次的人数为4人，故众数是5．故填20%；6；35%；5． 分析：读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23.证明：（1）∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，∴OB=2OE ，OC=2OF ．∵∠OEF=∠OFE ，∴OE=OF ．∴OB=OC ．在△AOB 与△DOC 中，∠A=∠D ，∠AOB=∠DOC ，OB=OC ，∴△AOB ≌△DOC （AAS ）．∴AB=DC ．（2）对于命题1，可证△AOB ≌△DOC 得到OB=OC ，再得OE=OF ，从而能得到∠OEF=∠OFE ，故其是真命题；对于命题2，由所给的条件不能证明△AOB ≌△DOC ，因此其是假命题． 分析：（1）要证AB=DC ，可考虑△AOB ≌△DOC ．（2）根据已知及全等三角形的判定方法对两个命题进行分析，从而判断其真假．本题考查的是全等三角形的判定，要牢记全等三角形的判定条件，要记住SSA 和AAA 是不能证得两三角形全等的．24.（1）∵B 与A （1，0）关于原点对称，∴B （﹣1，0）∵y=x+b 过点B ，∴﹣1+b=0，b=1，∴y=x+1.当y=4时，x+1=4，x=3，∴D （3，4）；（2）作DE ⊥x 轴于点E ，则OE=3，DE=4， ∴OD=22DE OE +=2243+=5．若△POD 为等腰三角形，则有以下三种情况：①以O 为圆心，OD 为半径作弧交x 轴的正半轴于点P 1，则OP 1=OD=5，∴P 1（5，0）．②以D 为圆心，DO 为半径作弧交x 轴的正半轴于点P 2，则DP 2=DO=5，∵DE ⊥OP 2,∴P 2E=OE=3，∴OP 2=6，∴P 2（6，0）．③取OD 的中点N ，过N 作OD 的垂线交x 轴的正半轴于点P 3，则OP 3=DP 3，易知△ONP 3∽△DCO ．∴DC ON OD OP =3．∴32553=OP ，OP 3=625．∴P 3（625，0）．综上所述，符合条件的点P 有三个，分别是P 1（5，0），P 2（6，0），P 3（625，0）．（3）①当P 1（5，0）时，P 1E=OP 1﹣OE=5﹣3=2，OP 1=5，∴P 1D=221DE E P +=2242+=25．∴⊙P 的半径为25．∵⊙O 与⊙P 外切，∴⊙O 的半径为5﹣25．②当P 2（6，0）时，P 2D=DO=5，OP 2=6，∴⊙P 的半径为5．∵⊙O 与⊙P 外切，∴⊙O 的半径为1．③当P 3（625，0）时，P 3D=OP 3=625，∴⊙P 的半径为625．∵⊙O 与⊙P 外切，∴⊙O 的半径为0，即此圆不存在． 分析：（1）先求出点B 的坐标，由直线过点B ，把点B 的坐标代入解析式，可求得b 的值；点D 在直线CM 上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；（2）△POD 为等腰三角形，有三种情况：PO=OD ，PO=PD ，DO=DP ，故需分情况讨论，要求点P 的坐标，只要求出点P 到原点O 的距离即可；（3）结合（2），可知⊙O 的半径也需根据点P 的不同位置进行分类讨论．本题考查了待定系数法求函数解析式，注意到分情况讨论是解决本题的关键．25.（1）∵AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴∠A=∠ABC=90°．当AD=2时，AD=AB ，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PBC=∠D=45°．∵122===AB AD PC PQ ，∴PQ=PC ，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°．∴PC=BC •sin45°=3×22=223．（2）如图，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵∠ABC=90°，∴四边形EBFP 是矩形．∴PF=BE ．又∵∠BAD=90°，∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ．∴34232===AD BA EP BE ．设BE=4k ，则PE=3k ，∴PF=BE=4k ．∵BQ=x ，∴AQ=AB ﹣BQ=2﹣x ．∴S △AQP =21AQ •PE=21（2﹣x ）•3k ，S △BPC =21BC •PF=21×3×4k=6k ．∵BPC AQP S S ∆∆=y ，∴()kk x 63221∙-=y ，即y=﹣41x+21．过D 作BC 的垂线DM ，在直角△DCM 中，DC=22CM DM +=225.12+=25．当P 在D 点时，x 最大，则PC=DC=25，而ABAD PC PQ =，得PQ=815，利用勾股定理得到AQ=89，所以此时BQ=87,∴0≤x ≤87．（3）如图，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵∠ABC=90°，∴四边形EBFP 是矩形．∴PF=BE ，∠EPF=90°．又∵∠A=90°，∴PE ∥AD ．∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ．∴AD EP BA BE =，∴AD BA EP BE =．∴AD AB EP PF =．又∵AD BA PQ PC =，∴PQPC PE PF =．∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ，∴∠EPQ=∠FPC ．∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°． 分析：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．。
2009上海市中考数学及答案
2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32()a 的结果是（B ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ C ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ B ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（A）A ．AD BCDF CE = B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分母有理化：81=的根是 x=2 ．A B D C E F图1=59．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = —1/2 ． 11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 I III 象限．12．将抛物线2y x =向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 1/6 ．14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是100*(1—m)^2 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么AD =a +(b/2)．16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = 5 ．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC=BD 或者有个内角等于90度 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 2 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+． = —120．（本题满分10分） 解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②(X=2 y=3 ) (x=-1 y=0) 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；图2A 图3B M C142y x =AB a =（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长． (1) 二分之根号3 （2）822．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是20% ；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 35% ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =． 证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 A D ∠=∠角AOB=角DOC 所以三角形ABO 全等于三角形DOC 所以AB DC =（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 真 命题，命题2是 假 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）A D C图4 B 九年级八年级 七年级六年级 25% 30%25% 图5 图6 O D CAB E F在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 解：（1）点B （—1，0），代入得到 b=1 直线BD ： y=x+1 Y=4代入 x=3 点D （3，1）（2）1、PO=OD=5 则P （5，0）2、PD=OD=5 则PO=2*3=6 则点P （6，0）3、PD=PO 设P （x ，0） D （3，4）则由勾股定理 解得 x=25/6 则点P （25/6，0）（3）由P ，D 两点坐标可以算出：1、r=5—2、PD=5 r=13、PD=25/6 r=025．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．2009年上海市初中毕业统一学业考试ADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPBQ xb数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．55; 8．2=x ； 9．１４； 10．-１２； 11．一、三；12．21y x =-； 13．16； 14．2)1(100m -； 15．b a 21+；16．5； 17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 18. 2.三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ······················································ （7分） ＝1112-+--a a a ·························································································· （1分） ＝11--a a··································································································· （1分）＝1-． ····································································································· （1分） 20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ······································································· （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ····················································· （1分） 整理，得022=--x x ， ·············································································· （2分）解得1221x x ==-，， ··················································································· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ································· （2分） 所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，； 2210.x y =-⎧⎨=⎩，·············································· （1分） 21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ．······················································· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ， ∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ··························································· （1 分）3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ······························································· （1分） ∵12=BC ，∴8=EC ． ················································································ （1 分） 在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ．············································· （1分） （2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B DCB ． ··························································································· （1分） 过点D 作BC DF ⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //． ∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ·························· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ························· （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ． ∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ········· （2分）22．（1） %20； ······································································································· （2分） （2） 6； ········································································································· （3分） （3） %35； ····································································································· （2分） （4） 5． ············································································································· （3分）23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠ ，∴OF OE =． ····················································································· （1分） ∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点， ∴OE OB 2=，OF OC 2=． ························································ （1分） ∴OC OB =． ····················································································· （1分） ∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ······································································ （2分） DC AB =∴． ····················································································· （1分） （2） 真； ·············································································································· （3分） 假． ··················································································································· （3分）24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称， ∴点B 的坐标为(10)-，． ··················································································· （1分）∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ···································· （1分）∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM //轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，． ·········· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分） （2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ····························································· （1分）当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ·············································· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ··············································· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ， ∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ················ （1分）综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． （3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ， ∴圆O 的半径1=r ．························································································ （2分） 若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ， ∴圆O 的半径525-=r ． ·········································································· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-．25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠． ∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ······························································· （1分）∵ABADPC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ··············································································· （1分） ∴︒=∠90BPC ． ····························································································· （1分）在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ·························· （1分） （2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ························· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形． ∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABADBF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ······························································ （1分）∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△． ∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ······························································ （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ·········································································· （1分）（3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABADPM PN =． ····················· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQPM PN =． ······································································ （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ···················· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ····················································································· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ···························································································· （1分）。
2009年上海中考数学试卷及答案
2009年上海市初中毕业统一学业考试数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．55; 8．2=x ； 9．１４； 10．-１２； 11．一、三； 12．21y x =-； 13．16； 14．2)1(100m -； 15．b a 21+； 16．5； 17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 18. 2. 三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ·········································· （7分） ＝1112-+--a a a ······································································· （1分） ＝11--a a ·············································································· （1分） ＝1-． ··············································································· （1分）20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ························································ （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ·········································· （1分） 整理，得022=--x x ， ····························································· （2分） 解得1221x x ==-，， ································································· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ························· （2分） 所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，； 2210.x y =-⎧⎨=⎩， ···································· （1分） 21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ． ·········································· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ，∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ·············································· （1 分） 3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ·················································· （1分） ∵12=BC ，∴8=EC ． ······························································· （1 分）在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ． ··································· （1分） （2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B DCB ． ········································································ （1分） 过点D 作BC DF ⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //．∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ···················· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ···················· （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ．∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ······· （2分）22．（1）%20； ················································································ （2分） （2）6； ·················································································· （3分） （3）%35； ················································································ （2分） （4） 5． ······················································································ （3分）23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠ ，∴OF OE =． ··································································· （1分）∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，∴OE OB 2=，OF OC 2=． ············································· （1分）∴OC OB =． ··································································· （1分）∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ······················································· （2分） DC AB =∴． ··································································· （1分）（2） 真； ······················································································· （3分） 假． ·························································································· （3分）24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称，∴点B 的坐标为(10)-，． ································································· （1分） ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ··························· （1分） ∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM //轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，．······· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分）（2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ··············································· （1分） 当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ····································· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ····································· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ， ∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ··········· （1分） 综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． （3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ，∴圆O 的半径1=r ． ····································································· （2分）若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ，∴圆O 的半径525-=r ． ·························································· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-．25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠．∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ················································ （1分） ∵ABAD PC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ······························································ （1分） ∴︒=∠90BPC ． ········································································· （1分）在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ···················· （1分） （2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ···················· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形．∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABAD BF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ················································ （1分） ∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△． ∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ················································· （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ··························································· （1分） （3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABAD PM PN =． ·············· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQ PM PN =． ······················································ （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ··············· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ··································································· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ········································································· （1分）。
2009年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析(1)
图2
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·3
1 12 3 m2 1 12 1 m2 ．解得 m 1 ．
2
此时点 B 的坐标为 (1, ) ． 因此，当△ABP 是等腰三角形时，点 B (1, ) ．
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·3
2009 年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10 例 11 例 12 例 13 例 14 例 15 例 16 例 17 例 18 例 19 例 20 例 21 例 22 例 23 例 24 例 25 例 26 例 27 例 28 例 29 例 30 例 31 例 32 2009 年上海市宝山区中考模拟第 24 题 2009 年上海市宝山区中考模拟第 25 题 2009 年上海市崇明县中考模拟第 24 题 2009 年上海市崇明县中考模拟第 25 题 2009 年上海市部分学校抽样测试第 25 题 2009 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题 2009 年上海市奉贤区中考模拟第 25 题 2009 年上海市虹口区中考模拟第 24 题 2009 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 2009 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市黄浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市金山区中考模拟第 24 题 2009 年上海市静安区中考模拟第 24 题 2009 年上海市静安区中考模拟第 25 题 2009 年上海市卢湾区中考模拟第 24 题 2009 年上海市卢湾区中考模拟第 25 题 2009 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 2009 年上海市闵行区中考模拟第 25 题 2009 年上海市南汇区中考模拟第 25 题 2009 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题 2009 年上海市浦东新区中考模拟第 25 题 2009 年上海市普陀区中考模拟第 25 题 2009 年上海市青浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市青浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市松江区中考模拟第 24 题 2009 年上海市松江区中考模拟第 25 题 2009 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 2009 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 2009 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 2009 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 2009 年上海市长宁区中考模拟第 24 题 2009 年上海市长宁区中考模拟第 25 题
2009上海市中考数学及答案
第 1 页 共 7 页2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32()a 的结果是（B ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ C ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ B ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（A）A ．AD BCDF CE = B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分母有理化：81=的根是 x=2 ．A B D C E F图1=第 2 页 共 7 页9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = —1/2 ． 11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 I III 象限．12．将抛物线2y x =向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 1/6 ．14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是100*(1—m)^2 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量a r ，b r 表示向量AD u u u r ，那么AD u u u r =a r +(b r/2)．16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = 5 ．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC=BD 或者有个内角等于90度 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 2 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+． = —120．（本题满分10分） 解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②(X=2 y=3 ) (x=-1 y=0) 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；图2A 图3B M C142y x =AB a =u u u r r第 3 页 共 7 页（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长． (1) 二分之根号3 （2）822．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 20% ；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 35% ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =． 证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 A D ∠=∠角AOB=角DOC 所以三角形ABO 全等于三角形DOC 所以AB DC =（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 真 命题，命题2是 假 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）A DC图4 B 九年级 八年级 七年级六年级 25%30%25% 图5 图6 O D CAB E F第 4 页 共 7 页在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 解：（1）点B （—1，0），代入得到 b=1 直线BD ： y=x+1 Y=4代入 x=3 点D （3，1）（2）1、PO=OD=5 则P （5，0）2、PD=OD=5 则PO=2*3=6 则点P （6，0）3、PD=PO 设P （x ，0） D （3，4）则由勾股定理 解得 x=25/6 则点P （25/6，0）（3）由P ，D 两点坐标可以算出：1、r=5—2、PD=5 r=13、PD=25/6 r=025．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．2009年上海市初中毕业统一学业考试ADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPBQ xb第 5 页 共 7 页数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．55; 8．2=x ； 9．１４； 10．-１２； 11．一、三；12．21y x =-； 13．16； 14．2)1(100m -； 15．b a ρρ21+；16．5； 17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 18. 2.三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ··········································· （7分） ＝1112-+--a a a ······································································· （1分） ＝11--a a·············································································· （1分）＝1-． ················································································ （1分） 20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ························································ （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ·········································· （1分）整理，得022=--x x ， ······························································ （2分） 解得1221x x ==-，， ·································································· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ·························· （2分）所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，；2210.x y =-⎧⎨=⎩，····································· （1分） 21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ． ··········································· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ， ∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ·············································· （1 分）3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ·················································· （1分）∵12=BC ，∴8=EC ． ······························································· （1 分） 在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ． ··································· （1分） （2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ，第 6 页 共 7 页∴︒=∠=∠60B DCB ． ········································································ （1分） 过点D 作BC DF ⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //． ∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ···················· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ···················· （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ． ∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ······· （2分）22．（1） %20； ················································································· （2分） （2） 6； ··················································································· （3分） （3） %35； ················································································ （2分） （4） 5． ······················································································ （3分）23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠Θ，∴OF OE =． ··································································· （1分） ∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点， ∴OE OB 2=，OF OC 2=． ············································· （1分） ∴OC OB =． ··································································· （1分） ∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ························································ （2分） DC AB =∴． ··································································· （1分） （2） 真； ························································································ （3分） 假． ··························································································· （3分）24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称，∴点B 的坐标为(10)-，． ································································· （1分） ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ··························· （1分） ∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM //轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，． ······· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分）（2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ··············································· （1分） 当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ····································· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ····································· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ，∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ··········· （1分） 综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． （3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ， ∴圆O 的半径1=r ． ····································································· （2分） 若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ，∴圆O 的半径525-=r ． ·························································· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-．25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．第 7 页 共 7 页∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠． ∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ················································ （1分）∵ABADPC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ······························································ （1分） ∴︒=∠90BPC ． ········································································· （1分）在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ···················· （1分）（2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ···················· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形． ∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABADBF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ················································ （1分） ∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△．∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ················································· （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ··························································· （1分）（3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABADPM PN =． ·············· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQ PM PN =． ······················································ （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ··············· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ··································································· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ········································································· （1分）。
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港中数学网2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32()a 的结果是（ ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形 6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE = B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】A B D C EF图1 港中数学网7= ． 81=的根是 ．9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = ． 11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 象限．12．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ．14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，BC b = ，如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么AD= ．16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = ．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+．20．（本题满分10分） 解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②图2A图3B M C 港中数学网21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）．（1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =． （2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEF OFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．A D C图4 B 九年级八年级 七年级六年级 25% 30%25% 图5 图6 O D CAB E F 港中数学网24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标； （2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．ADPCBQ 图8DAPCB（Q ） 图9图10CADPBQx b 港中数学网2009年上海市初中毕业统一学业考试数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．55; 8．2=x ； 9．１４； 10．-１２； 11．一、三；12．21y x =-； 13．16； 14．2)1(100m -； 15．b a 21+；16．5； 17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 18. 2.三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ······················································ （7分） ＝1112-+--a a a ·························································································· （1分） ＝11--a a··································································································· （1分）＝1-． ····································································································· （1分） 20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ······································································· （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ····················································· （1分） 整理，得022=--x x ， ·············································································· （2分）解得1221x x ==-，， ··················································································· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ································· （2分）所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，； 2210.x y =-⎧⎨=⎩， ·············································· （1分）21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ．······················································· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ， ∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ··························································· （1 分）3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ······························································· （1分） ∵12=BC ，∴8=EC ． ················································································ （1 分） 在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ．············································· （1分） 港中数学网（2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ， ∴︒=∠=∠60B DCB ． ··························································································· （1分） 过点D 作BC DF ⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //． ∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ·························· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ························· （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ． ∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ········· （2分）22．（1） %20； ······································································································· （2分） （2） 6； ········································································································· （3分） （3） %35； ····································································································· （2分） （4） 5． ············································································································· （3分）23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠ ，∴OF OE =． ····················································································· （1分） ∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点， ∴OE OB 2=，OF OC 2=． ························································ （1分） ∴OC OB =． ····················································································· （1分） ∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ······································································ （2分） DC AB =∴． ····················································································· （1分） （2） 真； ·············································································································· （3分） 假． ··················································································································· （3分）24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称， ∴点B 的坐标为(10)-，． ··················································································· （1分）∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ···································· （1分）∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM //轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，． ·········· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分） （2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ····························································· （1分）当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ·············································· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ··············································· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ， ∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ················ （1分）综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． （3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ， ∴圆O 的半径1=r ．························································································ （2分） 若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ， ∴圆O 的半径525-=r ． ·········································································· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-． 港中数学网25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠． ∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ······························································· （1分）∵ABADPC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ··············································································· （1分） ∴︒=∠90BPC ． ····························································································· （1分）在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ·························· （1分） （2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ························· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形． ∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABADBF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ······························································ （1分）∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△． ∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ······························································ （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ·········································································· （1分）（3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABADPM PN =． ····················· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQPM PN =． ······································································ （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ···················· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ····················································································· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ···························································································· （1分）。
2009年上海市初中数学学科学业考试的思考1
2009年上海市初中数学学科学业考试的思考上海市2009年初中数学学科学业考试试卷，是我市全面实施新课程标准以来的第一次中考招生考试,试卷能依据《课程标准》和《上海市初级中学数学学科教学基本要求》，较好地贯彻了初中学业考试的指导思想。
这份试卷在命题思路、题型结构、分数分布等方面，与去年试卷保持了相对的连续性和稳定性，考查内容与去年相比增加了概率和向量的考查，整卷突出了对基本知识和基本技能的考查，又突出考查了学生对数学思想方面的理解与动手操作、实践、探究、归纳总结的能力。
一、试题概况（一）、试卷的结构2009年上海市初中毕业统一学业考试数学卷命题细目表（二）、试题的基本特点整卷较好地渗透了《课程标准》的教学理念，体现了数学来源于生活、服务于生活的宗旨，具有一定的人文性和趣味性，充分说明了学习数学的趣味和价值。
试卷难易梯度较为合理，灵活性比往年有所提升，对全面提高学生综合素质具有一定的导向作用，对教师深刻领会《课标》理念，改进教育、教学方式、重视学法指导、提高课堂教学效率都有较大的促进作用，具体表现在以下几个方面：1、保持了一定的稳定性，确保教学工作有章可循，试题紧扣教学基本要求和教材，全卷有80%左右的试题内容来源于课本，但又不拘泥于课本，做到以课程标准为纲，以学科教学基本要求为本，以教材为立足点，这对今后数学教学起到了正确的导向作用，有利于广大师生把教与学的精力都集中到课程标准、教学基本要求和教材上来，对进一步减轻学生的负担，把学生从“题海”中解放出来，具有积极的促进作用。
2、渗透了课程标准的理念，加强了数学与日常生活的联系，突出了实用数学的思想，如考查运用概率知识解决身边问题的第13题，利用连续增长或降低的百分比问题解决身边物价变动问题的第14题、折叠问题的第18题、概率知识的第19题、运用统计知识解决身边问题的第22题，背景贴近生活，使学生对试题感到熟悉与亲切，体现了数学有用的思想，增强了试卷的教育意义。
上海中考数学压轴题带来的启示
条 条 大 路 通 罗 马-----2009年上海中考数学压轴题带来的启示今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分”，尤其最后一题在体现新意方面做了一些有益的尝试。
（题目：已知∠ABC =90°，AB =2，BC =3，AD ∥BC ．P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图1所示）． （1）当AD =2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图1中，联结AP ，当AD =23，且点Q 在线段AB 上时，设B 、Q 之间的距离为x ， y S S PBCAPQ =∆∆，其中APQ S ∆表示△APQ 的面积，PBC S ∆表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD < AB,且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小）一、稳中求变，变中求新，促进探究型教与学虽然，今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何+函数”，但与往年的压轴题也有着几处明显的区别。
首先，体现在函数的定义域上。
往年也有求函数定义域的问题，但大都是以最初的动点（主动点）与某定点的线段长度为自变量，主要考查考生对动态图形的观察能力，特别是对特殊位置的观察；今年的函数自变量选择了从动点Q 与定点B 之间的距离为自变量x ，使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察，而是理性的推导和计算，体现了数学的理性思维要求，这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋”：用直观观察代替理性思考。
其次，在判定三角形相似的方法上。
我们知道，一般情况下是不能用“SSA ”（边边角）来判定两个三角形相似的，但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的，例如，在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。
平时教学中，老师们非常重视和强调一般情况下的“不能”，却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能”。
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2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考
上海市光明初级中学 刘颖颋 近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。
背景1：如图点P 是正方形ABCD 对角线上任意一点。
求证：PA ＝PC 证明：∵四边形ABCD 是正方形
∴AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ＝
45 又∵BP ＝BP
⇒△ABP ≌△CBP ⇒ PA ＝PC
背景2：接上题，以P 为圆心，以PA 为半径画弧交AB （或AB 的延长 线）于点Q 。
求证：PQ ⊥PC 证明：∵PA ＝PQ ⇒∠1＝∠3
又∵△ABP ≌△CBP ⇒ ∠1＝∠2
⇒∠1＝∠2＝∠3
而：∠3＋∠4＝
180⇒∠2＋∠4＝
180 又∵∠QBC ＝
90
∴∠QPC ＝
90⇒ PQ ⊥PC 当点Q 在AB 的延长线上时，
∵∠2＝∠3；∠4＝∠5⇒△BQH ∽△CPH ∴∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC
背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。
求证：PQ ＝PC
证明：过P 作MN 平行于BC 交AB 、CD 于M 、N ∵∠1＋∠QPC ＝∠2＋∠PNC ⇒∠1＝∠2 又∵∠MBP ＝
45⇒MP ＝MB ＝NC
M C
M
C
而∠QMP ＝∠PNC ＝
90⇒△QMP ≌△PNC ⇒ PQ ＝PC 从上述的几个背景看出，当∠QPC ＝
90时，一定有PQ ＝PC ，即AB
AD
PC PQ =
；但反过来当
AB
AD PC PQ =
，即PQ ＝PC 时，因为有PA ＝PC 时∠APC ＝
90不一定成立，所以∠QPC ＝
90不一定能够成立。
下面我们将背景弱化：
背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。
求证：
AB
AD
PC PQ =
证明：易证：△QMP ∽△PNC
⇒
AB
AD
MB MP NC MP PC PQ =
==
背景5：如图，矩形ABCD 的AB ＝a ，AD ＝b ，点P 在对角线BD 上运动，点Q 在射线AB 上运动，若AB
AD
PC PQ =
，试探索a ，b 满足什么条件时，会有PQ ⊥PC
探索：正常情况下，NC
MP
MB MP AB AD PC PQ =
== ⇒△QMP ∽△PNC ⇒∠QPC ＝
90⇒ PQ ⊥PC
但若点Q 关于MN 的对称点1Q 也在射线AB 上时，如同上述背景一样，连P 1Q ，∠1Q PC ＝
90就不一定成立了。
这里：
a b PC PQ PN MQ ==；a
b
CD BC AM PN DN PN === 两式相乘：
122
≤=a
b AM MQ a b a b a b a b ≤⇒≤-+⇒≤-⇒0))((022 从这两个背景看出，当∠QPC ＝
90时，一定有AB
AD
PC PQ =
；但反过来当AB
AD PC PQ =
时，∠QPC ＝
90若遇到b ＞a 时就一定能成立。
背景6：如图四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝
90，若将一个直角顶点放在对角线BD 上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB （或AB 的延长线）交于点Q 。
求证：AB
AD
PC PQ =
证明：易证：△QMP ∽△PNC
⇒
AB
AD
MB MP NC MP PC PQ =
==
背景7：如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝
90，
AB ＝a ，BC ＝b ，AD=x,点P 在对角线BD 上运动，点Q 在射线AB 上运动，若AB
AD
PC PQ =
，试探索x 与a 、b 之间应该满足什么条件时，一定会有PQ ⊥PC
探索：正常情况下，
NC
MP
MB MP AB AD PC PQ =
== ⇒△QMP ∽△PNC ⇒∠QPC ＝ 90⇒ PQ ⊥PC
但若点Q 关于MN 的对称点1Q 也在射线AB 上时，如同上述背景一样，连P 1Q ，∠1Q PC ＝
90就不一定成立了。
所以这里我们应该关注当点1Q “最低”时点P
的位置，其实无论AD 边的长度如何要使得点1Q 的位置“最低”，那么点P 的位置只能与点B 重合。
M
C
这时△Q 'DP ∽△PQC ，且P Q '＝PQ b
a x
b a a x 2
=⇒=⇒
又∵AB
AD
PC PQ =
，而当AD ＞b a 2时，在AB 、BC 都是定值的情况下，PQ 也就变大了， 即Q '点就不在射线AB 上了（而是在射线BA 上了），那样∠Q 'PC ＝
90就一定成立了
所以结论就是当AD ＞b
a 2
时，∠Q 'PC ＝ 90一定成立
09上海市中考数学压轴题：
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知9023ABC AB BC AD BC P
∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足
PQ AD
PC AB
=
（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当3
2
AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，
APQ PBC
S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关
于x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．
A
D P
C
B
Q 图8
D
A
P
C
B
（Q ） 图9
图10
C
A
D
P B Q
第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足
PQ AD PC AB
=
（如图8所示）”时，一定有∠QPC ＝
90 第二步：做第一小题时，我们知道AD ＝AB 时一定有PB ＝PC ，又因为有∠BAD ＝
90
904545459045＝＝－＝＝BPC PCB PBC ABD ∠⇒=∠⇒∠⇒∠⇒
又∵BC ＝32
2
32
3=
=
⇒PC 。
出题者的本意是想给同学一个∠QPC ＝
90的提示的。
但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到。
第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个
3
2AD =
，所以我们还要对
这个图形单独地做个分析：这是的△ADB 和△PQC 都是3︰4︰5的直角三角形，因为BC ＝2AD ，也容易证明△DBC 为等腰三角形，DC ＝DB 等等。
第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x 等于多少？y 存在还是不存在？ 要注意这里的“点P 为线段BD 上的动点，点Q 在线段AB 上”，所以有三个图：
在图1中x ＝0，y 是存在的，在图3中
815
432
543=⇒=⇒==PQ PQ AB AD PC PQ
而8
78981223=⇒=⇒==
x AQ AD ，这时y 也是存在的。
所以x 的取值范围应该是：8
7
0≤≤x 。
C
Q C
H C
C
在图2中我们容易知道：424332323232
1)2(21
2121
x
x AB AD x h h x h h x y -=
⨯-=∙-=∙-=⨯⨯-= 第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点Q 在线段AB 的延长线上时、如图10所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。
最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题的能力要求和数学计算要求。
确实是一道好题。
以上的几何背景分析也许能反映作者平时理解问题的不简捷，简单问题往往复杂化，再加上写得匆忙没来得及仔细斟酌合适的表达语句，错误之处还望各位同行或专家批评指正。