2018届北师大版 任意角和弧度制 及任意角的三角函数 检测卷
2018届北师大版 三角函数 检测卷
分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a +c 的值为2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ）A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．3 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ） A ．13BC ．13-D． 6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知将函数()21cos cos 2f x x x x =+-的图像向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图像，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为 （ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣7、（新余市2017高三上学期期末考试）若函数()sin ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A.13 B.32 C.43 D.23 8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()cos()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位10、（九江市十校2017届高三第一次联考）︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C D ．23-11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4πC .3πD .2π二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2x ﹣cos 2x +3．（1）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A +C ），求f （B ）的值．2、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．3、（赣州市2017届高三上学期期末考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =，求sin BAD ∠的值.4、（宜春中学2017届高三2月月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，（1）A=60°，，求B ；（2）已知，c=2，B=150°，求边b 的长．5、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若3,cos b A ==求ABC ∆的面积.6、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．7、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.参考答案一、选择、填空题1、 2、答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n =-，由线性规划知识，可得当直线2nz x y =+过点()1 1B ，时，z 取得最大值，即122n +=，解得2n =；则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为C.3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、A 11、D二、解答题1、解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=22、解：⑴，对称轴为． (1)分在上单调．或，····3分或．又，或．········5分⑵若，则，···6分当，即时，．···8分当，即时，．···10分综上所述：．······12分3、解：（1）由222a b c ac bc ca++=++得222()()()0a b b c c a-+-+-=…………………………………………………………3分所以0a b b c c a-=-=-=，所以a b c==………………………………………………4分即ABC∆是正三角形…………………………………………………………………………5分（2）因为ABC∆是等边三角形，2BC CD=，所以2AC CD=，120ACD∠=o…………………………………………………………7分所以在ACD∆中，由余弦定理可得：2222cosAD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD=+-⋅o，解得1CD=………………………………9分在ABC∆中，33BD CD==，由正弦定理可得sinsinBD BBADAD⋅∠===…………………………………………………12分4、解：（1）由正弦定理可知：∴b=7， 边b 的长7．5、解：（Ⅰ）因为所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， 所以21cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为π<<B 0，所以3B π=（Ⅱ）由36cos ,3==A b 可得sin A =, 由BbA a sin sin =可得2=a ，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以ABC ∆的面积==C ab S sin 216、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=7、 解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A A A …6分 （2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分 当且仅当1==c b 时，取“=”号 于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分。
2018届北师大版 三角函数定义 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C 项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，那么sin α＝( ) A ．12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 答案 C解析 因为P (1，－3)，所以r ＝ 12＋(－3)2＝2.所以sin α＝－32.4．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( )A ． 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D.6．[2017·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a －4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．[2017·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625. 又cos α<0，所以cos α＝－45， 又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1 答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.13．[2016·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255， ∴y 16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
2018届北师大版 三角函数、算法、复数 检测卷
第三篇错题重组再训练训练3 错题重组三1. 已知集合2{|10}M x x =-<，}),2(log |{2M x x y y N ∈+==，则=N M （ ）A. )1,0(B. )1,1(-C. )0,1(-D. φ 【答案】A【解析】化简集合(1,1),M =-由22111230log (2)log 3x M x x x ∈⇒-<<⇒<+<⇒<+<得2(0,log 3)N =，注意到2log 31>，所以(0,1)M N = ；故选A.【要点回扣或易错点】集合的运算 2．已知，则复数（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】，故选A.【要点回扣或者易错点】复数的基本运算，注意虚部的概念.3．若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【要点回扣或者易错点】用诱导公式时符号的判定是易错点.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A ．①③B ．②③ C. ①② D ．①②③ 【答案】D【解析】 各侧面都是全等的正三角形，∴三个结论都正确，故选D. 【要点回扣或者易错点】类比推理5．某程序框图如右图所示，若输出的41S =，则判断框内应填（ ） A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >【答案】A【要点回扣或者易错点】程序框图. 6．为得到函数πsin(2)4y x =+的图象，只需要把函数cos 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度 【答案】B【解析】πcos 2sin 24y x x ⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将cos 2y x =的图象向右平移π8个单位长度，故选B. 考点：三角函数的图象【要点回扣】1.三角函数的图象变换；2.三角函数的性质．7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ④若m αγ⋂=，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β. 其中正确命题的序号是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 【答案】A【要点回扣或者易错点】空间直线与平面的位置关系.8．已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．αβ2cos 22cos =D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C【解析】2sin cos 2sin 1sin 24sin θθαθα+=⇒+=，所以2212sin 4sin βα+=，11cos 22(1cos 2)βα+-=-，cos 22cos 2βα=，故选C.考点：三角恒等变换【要点回扣或者易错点】三角恒等变换9．已知2201sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，x 的一次项系数为（ ） .A 6316-.B 6316 .C 638- .D 638【答案】A【解析】因为221sin 22x a dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011cos sin |22x dx x ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰=11022--=- 所以9911122ax x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的第1r +项1r T +=9992991122rr rr r r x C C x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令921r -= ，得：4r =所以5459163216T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【要点回扣或者易错点】1、定积分；2、二项式定理..10．已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，()2221122n n n a a a n +-=+≥，则6a =（）A ．16B ．8C ．D ．4 【答案】D【要点回扣或者易错点】数列的递推式 11．过双曲线的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得；当直线方程为时，代入双曲线方程中并整理得，由题设可得，即，解得.故双曲线离心率的取值范围为，故选C.【要点回扣或者易错点】双曲线的性质12．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223B ．25C ．78D ． 334【答案】C【解析】因为11111111()2362323=++=++-11111111111()()24612242334=+++=++-+- 11111111111111()()()256122025233445=++++=++-+-+-依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++所以111111,,13,20134520m n m n ==-===，即113,120x y ≤≤≤≤.又21111x y y x x +++=+++，把11y x ++看成点(,),(1,1)x y --连线的斜率，结合n m ≤，*,m n ∈N ．在满足条件的整点中，(13,1),(1,1)--连线的斜率最小为111,1317+=+故12+++x y x 最小值为78，选C .【要点回扣或者易错点】1.归纳推理；2.简单线性规划的应用；3.裂项相消法13．若曲线225x y +=与曲线()2222200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是_____________． 【答案】5±【解析】由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C，半径1r =，圆2C 的圆心2(,0)C m，半径2r =，22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．【要点回扣或者易错点】圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系. 14．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()1(1x f x f =+，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=10,101,1)(x x x f ，则=))211((f f . 【答案】1- 【解析】)()1(1x f x f =+得，1(2)(),2(1)f x f x T f x +==∴=+，所以，1111311()(4)()(1)1,(1)(1)112222()2f f f f f f f =-==+==--==-.【要点回扣或者易错点】1、分段函数；2、周期函数. 15．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【要点回扣或者易错点】直线、圆与抛物线的关系.16．已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是 ▲ ． 【答案】185-【解析】由已知31≤+≤a c a b ，2222513a b a c a b ≤+≤，令y a c x a b ==,，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+≤15133122y x y x y x ，2b c a -=y x 2-，由线性规划易知y x 2-在A 处取得最小值，由⎩⎨⎧=-=+1532y x y x 得)511,54(A ，所以y x 2-的最小值为185-【要点回扣或者易错点】线性规划.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=.（1）求角B 的大小.（2）若1a c +=，求b 的取值范围.【答案】（1（2）112b ≤<【要点回扣或者易错点】正弦定理、余弦定理的应用;18．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品123A A A 、、，假定1A 正面向上的概率为12，2A 正面向上的概率为13，3A 正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数。
2018届北师大版 三角恒等变换、解三角形 检测卷
第一部分 专题三 第2讲1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332. 2．(2016·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1， 即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到． ∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc . 由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．3．(2016·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析：(1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2； ②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433， ∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6. 综上所述，A ＝π2或A ＝π6. 4．如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos A sin A； (2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2的值． 解析：(1)证明：tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . (2)由A ＋C ＝180° ，得C ＝180° －A ，D ＝180° －B ， 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos (180° －A )sin (180° －A )＋1－cos (180° －B )sin (180° －B )＝2sin A ＋2sin B . 连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ．则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22(AB ·AD ＋BC ·CD )＝62＋52－32－422(6×5＋3×4)＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫372＝2107.连接AC ．同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22(AB ·BC ＋AD ·CD )＝62＋32－52－422(6×3＋5×4)＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B －1－⎝⎛⎭⎫1192＝61019， 所以，tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 5．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 6．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 7．(2016·山东济南模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间． 解析：(1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ， ∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3. (2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6， ∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 8．(2016·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析：(1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ， ∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ， 即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2，∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.。
2018届北师大版 三角函数 检测卷
[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin(sin x )，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的定义域是[－1,1] B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的值域是[－sin1，sin1]D ．f (x )不是周期函数 答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，且y ＝sin x 在[－1,1]上是增函数，∴f (x )的值域是[－sin1，sin1]．2．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16 B ．14 C ．13 D ．12答案 D解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度，可得：y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋12(k∈Z )．又∵ω>0∴ωmin ＝12.故选D.3．[2017·西安模拟]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称 答案 D解析 ω＝2，函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π3，选D.4．[2017·天津模拟]将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A ．13 B ．1 C ．53 D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入，得sin ωπ2＝0， 则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.5．[2017·惠州模拟]已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案 A解析 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.6．[2017·南宁模拟]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f (x )＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 解析 由图象得：T ＝4×2＝8，∴ω＝2π8＝π4，代入(－1,1)，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1， ∴－π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 又∵0≤φ≤π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3向左平移m 个单位长度后关于y 轴对称，则m 的最小正值为________．答案 π24解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )＋π3关于y 轴对称，则有4m ＋π3＝k π＋π2(k∈Z )，m ＝k π4＋π24，∴m 的最小正值为π24.8．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 22解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)(1)求这期间的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图象，知这期间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．(2)A ＝12(50－30)＝10，b ＝12(50＋30)＝40， T ＝2πω＝2×(14－8)＝12，所以ω＝π6，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 把x ＝8，y ＝30代入上式，得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 10．[2017·启东模拟]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2， 即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． 所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，只需向右平移π3个单位长度．12．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上， ∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6.13．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ(0<φ<π)的一条对称轴方程为x ＝9π4，则函数y ＝sin(2x －φ)(0≤x <π)的单调递增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π 解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ的对称轴为x ＝9π4，所以13×9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－3π4，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .因为0≤x <π，所以函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π. 14．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
2018届北师大版(文) 三角函数图象与性质 检测卷
1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3【答案】：D【解析】：将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.故应选D.2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B .32 C.22D ．1【答案】：B3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B .π12 C.π3 D .5π6 【答案】：A4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π6 B ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎫45x ＋15 C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫56x ＋π6 D ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎫23x －15 【答案】：B【解析】：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±34 【答案】 B【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝ －45，∴tan α＝34，故选B. 6．设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >b >c D ．b >c >a【答案】 B【解析】 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2【答案】 A【解析】 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.8．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 【答案】 B9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32【答案】 A【解析】 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)等于( )A ．0B ．503C ．1 006D ．2 012【答案】 D11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎝⎛⎫－π2，－π4D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝⎛⎭⎫－π2，－π4递减，故选C. 12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象 【答案】 C【解析】 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0，故选C.13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫2 008π3的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 3 D. 3【答案】 B14．函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【答案】：⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 15．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.【答案】：π2【解析】：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫π4＋2k π，2，⎝⎛⎭⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.16．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【答案】：3【解析】：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3.17．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．18．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，3sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋2b )．(1)求函数f (x )的最大值与单调递增区间； (2)求使不等式f ′(x )≥2成立的x 的取值集合． 【解析】 (1)f (x )＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋3sin x cos x ) ＝1＋1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2＋2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝2＋2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6 ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最大值为4.19.已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的【解析】式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．【解析】 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝ 1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝k π＋π12(k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . 20．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2·cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0，0＜φ＜π2)，其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝⎛⎭⎫π3，1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，求边c 的值．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫C 2－π12＝76，得：sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23. ∵角C 为锐角，∴cos C ＝53. 又∵a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·5·b ·23＝25，∴b ＝6.由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝5＋36－2·5·6·53＝21，∴c ＝21.21．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值．22．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π3的最小值． 【解析】：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3，由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又A sin ⎝⎛⎭⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
2018北师大版文科数学高考总复习练习：4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数含答案
第四章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固题组（建议用时:30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有（) A．1个B．2个C．3个D．4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°,从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案 C2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析由题意知tan α＜0，cos α＜0,∴α是第二象限角．答案 B3．(2017·宜春模拟）已知角θ的终边经过点P(4,m），且sin θ＝错误!,则m等于（) A．－3 B．3 C。
错误!D．±3解析sin θ＝错误!＝错误!，解得m＝3.答案 B4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析由三角函数定义可知Q点的坐标（x，y)满足x＝cos 错误!＝－错误!,y＝sin 错误!＝错误!。
答案 A5．设θ是第三象限角，且错误!＝－cos 错误!，则错误!是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由θ是第三象限角，知错误!为第二或第四象限角,∵错误!＝－cos 错误!,∴cos 错误!≤0,综上知错误!为第二象限角．答案 B6．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈（0，π)的弧度数为（)A.错误!B.错误!C.错误!D．2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为错误!r，所以错误!r＝α·r,∴α＝错误!。
2018届北师大版 解三角形 检测卷
第一部分 专题三 第2讲1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D. 2．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__. 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 3．sin 15°＋sin 75°的值是 62. 解析：sin 15 °＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝ 2 sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝__1__. 解析：在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34， 由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos A c ＝2×4×346＝1. 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析：依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB， 得600sin 45°＝CB sin 30°， 有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.6．已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2π＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2 sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 7．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．解析：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7， 所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 8．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解析：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 9．(2016·河南郑州第一次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0,2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解析：(1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，A ＝π6. 由2b sin A ＝a ，得sin B ＝12， 又A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，故B ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝⎛⎭⎫－12＝(14)2， 解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3. 10．(2016·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒ C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C ． 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3 ＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33 ＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 方法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得 22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋ c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3， 即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.。
弧度制及任意角的三角函数(习题)解析版
专题15 弧度制及任意角的三角函数1．若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0 D ．sin2α<0【答案】D 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______． 【答案】1 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角α的终边经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，则α＝( )A.π8B.3π8C.5π8D.7π8【答案】D【解析】(1)因为角α的终边经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π8，sin π8，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8＝cos 7π8，则α＝7π8.故选D.4.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32C.12D.32【答案】C【解析】由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， 所以m >0，解得m ＝12. 5.若tan 0α>，则A. sin 20α> B ． cos 0α> C ． sin 0α> D ． cos20α> 【答案】A【解析】由tan 0α>知，α在第一、第三象限，即2k k ππαπ<<+（k Z ∈），∴222k k παππ<<+，即2α在第一、第二象限，故只有sin 20α>，故选A ．6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- (B)35- (C) 35 (D) 45【答案】B【解析】在直线2y x =取一点P （1，2），则r 5sin θ=y r 25 ∴cos2θ=212sin θ-=35-，故选B ．7.（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15B 5C 25D ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，30|cos |α∴=306|sin |136α∴-，6|sin |56|tan |||||21|cos |30b a a b ααα-==-===-，故选B ． 8.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 【答案】1∶2【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.9.（2022浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值；(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-． 10.下列各式：①sin(－100°)；①cos(－220°)；①tan(－10)；①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10①⎝ ⎛⎭⎪⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0.11.确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6. 【解析】（1）因为103°、220°分别是第二、第三象限的角， 所以sin 103°>0，cos 220°<0，所以sin 103°·cos 220°<0； （2）因为3622π<<π，所以6是第四象限的角，所以cos 6>0，tan 6<0，所以cos 6°·tan 6<0. 12.已知sin 0θ>且cos 0θ<，则角θ的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】依据题设及三角函数的定义，可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B ．13.已知sin 0,tan 0αα<>，则角α可以为第（ ）象限角 A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】sin 0α<，则α的终边在x 边下方，tan 0α>，α是第一象限或第三象限角， 综上，α是第三象限角．故选：C ．14.若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．15.已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有⎩⎨⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．16.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为角α的终边在第一象限， 所以222k k ππαπ<<+，k Z ∈，所以223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3()k n n Z =∈时，此时角α的终边落在第一象限， 当31()k n n Z =+∈时，此时角α的终边落在第二象限， 当32()k n n Z =+∈时，此时角α的终边落在第三象限， 综上所述，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D ．17.时间经过4小时，分针转的弧度数为( ) A ．π-B ．2πC ．4π-D ．8π-【解析】时间经过4小时，分针是按顺时针方向转了4圈， 所以分针转过的弧度数为248ππ-⨯=-． 故选：D ．18.已知α为第二象限角，则32πα-为( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】α是第二象限角，∴222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，32222k k ππππαπ∴-+<-<-+，k Z ∈． ∴32πα-为第三象限角． 故选：C ．19.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】因为α是锐角，故090α︒<<︒，则α一定是第一象限角， 若α是第一象限角，不妨取330-︒，则α不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件． 故选：A ．20.若α，β满足22ππαβ-<<<，则αβ-的取值范围是( )A ．παβπ-<-<B ．0παβ-<-<C ．22ππαβ-<-<D ．02παβ-<-<【解析】从题中22ππαβ-<<<可分离出三个不等式：22ππα-<<①，22ππβ-<<②，αβ<③．根据不等式的性质， ②式同乘以1-得22ππβ-<-<④，根据同向不等式的可加性，可得παβπ-<-<．由③式得0αβ-<， 所以0παβ-<-<． 故选：B ．21.已知α是第三象限角，则2α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角【解析】解：α是第三象限角，即322,2k k k Z ππαππ+<<+∈．当k 为偶数时，2α为第二象限角； 当k 为奇数时，2α为第四象限角． 故选：D ．22.若角θ为第四象限角，则2πθ+是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】θ是第四象限的角，由2πθ+是将θ的终边逆时针旋转2π，得到角2πθ+，∴2πθ+是第一象限的角故选：A ．23.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为3π，则角θ的余弦值为( ) A ．3B ．12-C ．12D 3 【解析】设角θ所在的扇形的半径为r ，则由题意，可得22123r r θπ=，解得23πθ=， 可得21cos cos 32πθ==-． 故选：B ． 24.29π化成角度是( ) A ．20︒ B ．40︒C ．50︒D ．80︒【解析】π180rad =︒，即1 180rad π︒=，∴221804099rad πππ︒=⨯=︒． 故选：B ．25.圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A ．23radB ．32radC ．23πD ．32π【解析】圆的半径为r ，弧长为32r ，∴圆心角是3322rrad r =． 故选：B ．26.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则212l r +=，182S lr ==，∴解得2r =，8l =或4r =，4l =1l rα==或4．故选：C ．27.点P 为圆224x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P '，当转过的弧长为23π时，点P '的坐标为( ) A ．(13) B ．(1,3)- C ．(1,3)--D ．1(2，3 【解析】由题意，||2OP '=，转过的弧长为23π，则旋转角为3π-，∴点P '的横坐标2cos()13x π=-=，纵坐标为2sin()33y π=-=∴点P '的坐标为(1,3)-．故选：B ．28.一个扇形的弧长为6，半径为4，则该扇形的圆心角的弧度数为( ) A ．1B ．32C ．2D ．23【解析】根据扇形的弧长为6，半径为4，计算该扇形的圆心角弧度数为6342l rα===． 故选：B ．29.(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解析：选A ．由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A ．30.(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A ．AB ︵ B ．CD ︵C ．EF ︵D ．GH ︵解析：选C ．设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C ．31.(创新型)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ①AP ， 所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 232.(创新型)(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得①AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得①AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2. 答案：43＋233.若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45①⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35①⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．34.(创新型)在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为①AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3； 方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优． 35.（2021·河北衡水中学高三三模）已知4cos sin 3θθ-=，则θ的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】两边平方得7sin 209θ=-<，进而得324k k ππθππ+<<+或34k k ππθππ+<<+，k Z ∈，，再分k 为偶数和k 为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由4cos 3sin θθ-=，平方得：2216sin cos 2sin cos 9θθθθ+-=，则161sin 29θ-=，即7sin 209θ=-<，则32222k k ππθππ+<<+或322222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，即有324k k ππθππ+<<+或34k k ππθππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin 0θ>，cos 0θ<，cos sin 0θθ-<，不成立， 当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin 0θ<，cos 0θ>，成立. ①角θ的终边在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得7sin 209θ=-<，进而根据函数符号得θ的范围，再分类讨论求解.36.（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，则A ∈（ ）A ．(0,)6πB ．(6π，)4πC ．(4π，)3πD ．(3π，)2π【答案】C 【分析】设()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-，则()0f A =，根据零点存在性定理判断零点所在区间； 【详解】解：A 为锐角ABC 的内角，满足sin 2cos tan 1A A A -+=，设()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-，即()sin 2cos tan 10f A A A A =-+-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为连续函数，又sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()sin 2cos tan 1f x x x x =-+-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 在(0,)2π中取4x π=，得2()sin 2cos tan 144442f ππππ=-+-=-，在(0,)4π中取6π，得1()sin 2cos tan 166662f ππππ=-+-=-，(0)sin 02cos0tan 013f =-+-=-，334()sin 2cos tan 103333f ππππ-=-+-=>，()()043f f ππ<，(,)43A ππ∴∈. 故选：C .37.（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，①AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【分析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B38.（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点,24P π⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为122sin 2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，05ω<<).若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．14B 3C ．12D ．32【答案】B 【分析】根据,24P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标，求得2ω=，若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，即53x π=，代入即可求得结果. 【详解】由曲线过,24P π⎛⎫ ⎪⎝⎭知，21422sin 24ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 即sin 14πω⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，又05ω<<，求得2ω=，若该葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，即53x π= 代入得到5215332sin 2234y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯= ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭故选：B39.（2021·辽宁高三三模）（多选题）如图，圆心在坐标原点O 、半径为1的半圆上有一动点P ，A 、B 是半圆与x 轴的两个交点，过P 作直线l 垂直于直线AB ，M为垂足．设AOP α∠=，则下列结论正确的有（ ）A ．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos 1αα+>B ．若0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin αα>C ．若()0,απ∈，则2BM AM PM +≥D ．若[]0,απ∈，则PA PB +的最大值为2 【答案】AC 【分析】利用三角形三边关系可判断A 选项的正误；取0α=可判断B 选项的正误；利用基本不等式可判断C 选项正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，sin PM α=，cos OM α=，由三角形三边关系可得OM PM OP +>， 即sin cos 1αα+>，A 选项正确；对于B 选项，当0α=时，sin αα=，B 选项错误； 对于C 选项，2PBA α∠=，cos2cos22PB AB αα==，2cos2cos 22BM PB αα==，则222sin2AM BM α=-=，sin2sincos222PM PB ααα==，由基本不等式可得222cos2sin 4sincos22222BM AM PM αααα+=+≥=，当且仅当sincos22αα=时，因为0απ<<，即当2πα=时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，2sin2PA α=，2cos2PB α=，所以，2sin2cos222224PA PB αααπ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 0απ<<，可得34244παππ<+<，所以当242αππ+=时，即当2πα=时，PA PB +取最大值为2D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用sin x 和cos x 的最值直接求；①把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值； ①利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值．40.（2021·宁夏银川一中高三其他模拟（文））若33sin 22πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，[0,2)θπ∈，则θ=___________. 【答案】116π【分析】根据三角函数的诱导公式，求得3cos θ=，结合[0,2)θπ∈，进而求得θ的值. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得33sin cos 22πθθ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，即3cos 2θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=. 故答案为：116π. 41.（2021·浙江高三其他模拟）已知E 为平面内一定点且1OE =，平面内的动点P 满足：存在实数1λ≥，使()112OP OE λλ+-=，若点P 的轨迹为平面图形S ，则S 的面积为___________. 【答案】36π+【分析】 以O 为圆心，以12为半径作圆，过E 作圆O 的切线EA ，EB 分别与圆O 切于点A ，B ，连结OA ，OB ，延长EO 与圆O 交于点F ，设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，由1λ≥，则点Q 在EP 的延长线上，若要存在1λ≥使得12OQ =，所以EP 的延长线与圆O 有交点，从而得出点点P 的轨迹图形，从而可求解. 【详解】 以O 为圆心，以12为半径作圆， 过E 作圆O 的切线EA ，EB 分别与圆O 切于点A ，B ， 连结OA ，OB ，延长EO 与圆O 交于点F ，存在点P 以及实数1λ≥，设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，OQ OE OP OE λλ-=-，即EQ EP λ=由1λ≥，可知点Q 在EP 的延长线上， 若要存在1λ≥使得12OQ =，相当于EP 的延长线与圆O 有交点， 故P 只能在图中阴影部分，所以点P 的轨迹面积AOEBOEAOF BOF S S SS S =+++扇形扇形，因为EA 与圆O 相切于点A ，所以OA AE ⊥， 由勾股定理可知，3AE =所以3AOE S =△3BOE S =△ 因为12AO OE =，所以120AOF ∠=︒， 所以13412AOF BOF S S ππ==⨯=扇形扇形，综上所述，S 的面积为36π+. 故答案为：364π+.【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点Q ，满足()1OQ OP OE λλ=+-，由1λ≥，可知点Q 在EP 的延长线上，由条件得出相当于EP 的延长线与圆O 有交点，从而得出点点P 的轨迹图形，属于中档题.。
2018届北师大版 三角函数的图象与性质 检测卷
2．y＝|cosx|的一个单调增区间是()
A.B.
C.D.
解析：将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.
答案：D
3．关于函数y＝tan，下列说法正确的是()
A．是奇函数
B．是区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2017·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是()
A．y＝sinxcosxB．y＝six
解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确；选A.
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．
解析：由题意知，1<<2，即k<π<2k，又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案：2或3
9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：
答案：A
5．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是()
A.B.
C．π D.
解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为.
答案：A
6．(2017·吉林实验中学模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f＝f，则f等于()
A．2或0 B．－2或2
C．0D．－2或0
解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，
2018届北师大版(文) 三角函数解三角形 检测卷7
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )．则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6【解析】 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0＜A ＜π，所以A ＝π4. 【答案】 C2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22C.12 D ．－12【解析】 因为a 2＋b 2＝2c 2，所以由余弦定理可知，c 2＝2ab cos C ，cos C ＝c 22ab ＝12×a 2＋b 22ab ≥12×2ab 2ab ＝12.故选C. 【答案】 C3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC 中，a ＝2，A ＝45°，若此三角形有两解，则b 的范围为( )A ．2＜b ＜2 2B ．b ＞2C ．b ＜2 D.12＜b ＜ 2 【解析】 ∵在△ABC 中，a ＝2，A ＝45°，且此三角形有两解，∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝22，得b ＝22sin B ，B ＋C ＝180°－45°＝135°， 由B 有两个值，得到这两个值互补，若B ≤45°，则和B 互补的角B ′≥135°，这样A ＋B ′≥180°，不成立，∴45°＜B ＜135°.又若B ＝90°，这样补角也是90°，一解，∴22＜sin B ＜1，∴2＜b ＜22，故选A. 【答案】 A4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为4∶3两部分，则cos A ＝( ) A.13 B.23C.34D.45【解析】 ∵∠A ∶∠B ＝1∶2，即B ＝2A ，∴B ＞A ，∴AC ＞BC .∵角平分线CD 把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC ∶AC ＝BD ∶AD ＝3∶4，∴由正弦定理BC sin A ＝AC sin B 得sin A sin B ＝34，整理得sin A sin 2A ＝sin A 2sin A cos A ＝34，则cos A ＝23.故选B.【答案】 B5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A的值等于( ) A.2722B ．16 2C ．8 2D ．16【解析】 ∵cos B ＝45，B 为三角形内角， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝35. ∵a ＝10，△ABC 的面积为42，∴12ac sin B ＝42，即3c ＝42，解得c ＝14， ∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝100＋196－224＝72，即b ＝6 2.再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝6235＝102，∴b ＋a sin A＝162，故选B. 【答案】 B6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则a ＝________．【解析】 ∵A ＝60°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝103，即34bc ＝103，解得bc ＝40. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－120，∵△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ，得a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7.【答案】 77．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________． 【解析】 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，将∠A ＝2π3，a ＝3c 代入， 可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝⎛⎭⎫－12， 整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝b 2c 2＋bc c 2，即2＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋b c. 令t ＝b c(t ＞0)，有2＝t 2＋t ，即t 2＋t －2＝0， 解得t ＝1或t ＝－2(舍去)， 故b c＝1. 【答案】 18．(2017·甘肃张掖二模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B－b cos A ＝35c ，则tan A tan B的值为________． 【解析】 由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得 sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ， 即sin A cos B －sin B cos A ＝35sin(A ＋B )， 即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan A tan B＝4. 【答案】 49．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． 【解析】 (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．因为A ，B ∈(0，π)，所以0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B .因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53， cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19， 故cos A ＝－19，sin A ＝459， cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227. 10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝1，△ABC 的面积为34，求b ，c . 【解析】 (1)由已知结合正弦定理，得sin C ＝3sin A sin C －sin C cos A .∵sin C ≠0，∴1＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6， 即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3. (2)S ＝12bc sin A ，即 34＝12bc ·32，∴bc ＝1.①又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos π3， 即1＝(b ＋c )2－3，且b ，c 为正数，∴b ＋c ＝2.②由①②两式，解得b ＝c ＝1.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010C.55D.31010【解析】 设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理，知AC sin B ＝BC sin A ，即5AD 22＝3AD sin A ，解得sin A ＝31010，故选D. 【答案】 D12．(2017·河南洛阳期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan A ＝12，tan B ＝13，且最长边的长为1，则△ABC 最短边的长为________． 【解析】 由题意可得tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－12＋131－12×13＝－1， ∴C ＝135°，c 为最长边，故c ＝1.又∵0＜tan B ＝13＜12＝tan A ，∴B 为最小角，b 为最短边，∵tan B ＝13，∴sin B ＝1010，由正弦定理可得b ＝c sin B sin C ＝55. 【答案】 5513．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．【解析】 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2×sin 120°sin 30°＝ 6. 【答案】 614．(2016·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________． 【解析】 在△ABC 中，cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝35×513＋1213×45＝6365.∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b ＝a sin B sin A＝1×6365×53＝2113. 【答案】 211315．(2017·贵州贵阳六中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解析】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又由b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，所以a ＝21.由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.。
2018届北师大版(文) 三角函数解三角形 检测卷1
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·河南开封第一次摸底)若cos θ＝35，sin θ＝－45，则角θ的终边所在直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x －4y ＝0D ．4x －3y ＝0【解析】 依题意，得tan θ＝sin θcos θ＝－43，因此所求直线的斜率是－43，其方程是y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.故选B. 【答案】 B2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3 D ．2【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.【答案】 C3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0【解析】 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.【答案】 B4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．【答案】 A5．(2017·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2【解析】 因为r ＝（2sin 2）2＋（－2cos 2）2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2. 【答案】 D6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________． 【解析】 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知， 角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.【答案】 －17．函数y ＝ sin x ＋ 12－cos x 的定义域是________． 【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12. ∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 8．(2017·河南信阳期末)若点P 在角－10π3的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．【解析】 点P 在角－10π3的终边上，而－10π3＝－4π＋2π3，故点P 在角2π3的终边上，故有y －1＝tan 2π3＝－3，∴y ＝ 3. 【答案】 39．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .【解析】 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．所以圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.10．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 【解析】 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2017·江西六校联考)点A (sin 2 017°，cos 2 017°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 因为sin 2 017°＝sin(11×180°＋37°)＝－sin 37°＜0，cos 2 017°＝cos(11×180°＋37°)＝－cos 37°＜0，所以点A (sin 2 017°，cos 2 017°)位于第三象限．【答案】 C12．(2017·福州一模)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43【解析】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0， 即x ＜0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16. 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 【答案】 D13．(2017·济南模拟)已知sin θ－cos θ＞1，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由已知得(sin θ－cos θ)2＞1，即1－2sin θcos θ＞1，sin θcos θ＜0，又sin θ＞cos θ，所以sin θ＞0＞cos θ，所以角θ的终边在第二象限．【答案】 B14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．【解析】 设B (x ，y )，由题意知|OA |＝|OB |＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，∴B 点的坐标为(1，3)．【答案】 (1，3)15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．【解析】 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置， 则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.若是第三象限角，则是第象限角.【答案】一【解析】是第三象限角，则.所以,故在第一象限.【考点】角的象限.3.化简sin600°的值是( ).A．0.5B．-C．D．-0.5【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.5.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义6.函数的定义域为A．B．为第Ⅰ、Ⅱ象限的角C．D．【答案】C【解析】由题知，解得，故选C【考点】三角函数在各象限的符号7.已知角的终边经过点，则=___________．【答案】【解析】由题知，所以==．【考点】三角函数定义8.某扇形的半径为1cm，它的弧长为2cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4rad C．4°D．2rad【答案】D【解析】因为扇形的弧长公式为l=r|α|，由已知，l=2，r=1，所以＝2弧度故选D．【考点】扇形的弧长公式.9.与13030终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】终边与1303°相同的角是k•360°+1303°，k∈Z∴k=-4时，k•360°+1303°=-137°．故选C．【考点】终边相同的角．10.已知Ｐ（-8,6）是角终边上一点,则的值等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】Ｐ（-8,6）是角终边上一点,所以，；则=【考点】三角函数的定义．11. 60°="_________" ．（化成弧度）【答案】【解析】根据角的弧度数的定义，弧度．【考点】角度制与弧度制的转化．12.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．13.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．14. sin2100 = ( )A．B．-C．D．-【答案】D【解析】sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．【考点】运用诱导公式化简求值．15.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.16.化为弧度角等于；【答案】【解析】，.【考点】角度制与弧度制的互化17.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义18.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.19.已知角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可知，故选D.【考点】三角函数的定义.20.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为 ( )A．B．-C．D．-【答案】B【解析】由题意知,故正确答案为B.【考点】三角函数的定义21.已知，，则＝________.【答案】－【解析】法一：因为，，则可取角的终边上一点P，，则；法二：，因为，所以＝－【考点】任意角三角函数定义，同角三角函数基本关系式22. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．23.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.【考点】角的推广与象限角.24. .【答案】－【解析】由三角函数的诱导公式，=－。
2018届北师大版 三角函数、三角恒等变换 检测卷
解答题专项训练二1.[2016·北京高考]已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω， 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为[ 2k π－π2，2k π＋π2 ](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 2．[2017·雅安模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列．(1)求B ；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)∵c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B ＝c cos A ＋a cos C ，由正弦定理a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆的半径，代入上式，得2sin B cos B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，又A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝sin(π－B )，即2sin B cos B ＝sin B .而sin B ≠0，∴cos B ＝12，由0<B <π，得B ＝π3.(2)∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.3．[2016·天津高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B ，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，而sin B ≠0，所以cos B ＝32，由0<B <π，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝ sin ( A ＋π6 )＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.4．[2017·银川模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解 (1)cos2B ＋C 2＋cos2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49. (2)由余弦定理，可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94，又cos A ＝13，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， ∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12×94×223＝324.5．[2017·兰州模拟]已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)由(1)知A ＝π3，∴在△ABC 中，B ＋C ＝2π3，且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ( π2－B )＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1,2]． 故函数y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值为2.6．[2017·河南适应性测试]在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ∠B ，2cos 2∠C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解 (1)∵m ＝(cos ∠B ，cos ∠C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，∴c cos ∠B ＋(b －2a )cos ∠C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得， sin ∠C cos ∠B ＋(sin ∠B －2sin ∠A )cos ∠C ＝0，sin ∠A ＝2sin ∠A cos ∠C ，又∵sin ∠A ≠0，∴cos ∠C ＝12，而∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方，得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c2＝a2＋b2－2ab cos∠ACB，∴a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，∴S△ABC＝12ab sin∠ACB＝2 3.7. [2017·唐山模拟]如图，在△ABC中，B＝π4，AC＝25，cos C＝255.(1)求sin∠BAC的值；(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．解(1)因为cos C＝255，且C是三角形的内角，所以sin C＝1－cos2C＝55.所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010.(2)在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin B，所以BC＝ACsin B×sin∠BAC＝2522×31010＝6，于是CD＝12BC＝3.在△ACD中，AC＝25，cos C＝255，所以由余弦定理，得AD＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝20＋9－2×25×3×255＝5，即中线AD的长为 5.8．[2017·湖南常德模拟]已知函数f(x)＝2sinωx＋m cosωx(ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值． 解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin (2x ＋π4 )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45， ∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.。
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A 组 基础演练
1．下列与9π
4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9
4π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z )
D ．k π＋5π
4(k ∈Z )
解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π
4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．
2．若sin αtan α＜0，且cos α
tan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：选C.由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos α
tan α＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角．
3．在直角坐标平面内，对于始边为x 轴非负半轴的角，下列命题中正确的是( ) A ．第一象限中的角一定是锐角 B ．终边相同的角必相等 C ．相等的角终边一定相同 D ．不相等的角终边一定不同
解析：选C.第一象限角是满足2k π＜α＜2k π＋π
2，k ∈Z 的角，当k ≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2k π＋α，k ∈Z ；当k ≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同． 4．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A.由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π
6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：选A.∵cos α≤0，sin α＞0，
∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎩⎨⎧
3a －9≤0，a ＋2＞0，
∴－2＜a ≤3.故选A. 6．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )
A ．(cos θ，sin θ)
B ．(－cos θ，sin θ)
C ．(sin θ，cos θ)
D ．(－sin θ，cos θ)
解析：选A.由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)．
7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12
B.12
C ．－3
2
D.32
解析：选B.∵r ＝64m 2
＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－
4
5， ∴m ＞0，∴4m 264m 2
＋9
＝125，即m ＝1
2. 8．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ，32，则tan α＝( )
A. 3 B ．±3 C.3
3
D ．±33
解析：选B.由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±
1
2. ∴tan α＝y
x ＝±3.
9．点P (tan 2 017°，cos 2 017°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D. 2 017°＝360°×5＋217°是第三象限角． ∴tan 2 017°＞0，cos 2 017°＜0， 因此点P 位于第四象限．
10．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2
D ．－cos 2
解析：选D.∵角α终边上一点P (2sin 2，－2cos 2)， ∴x ＝2sin 2，y ＝－2cos 2， r ＝x 2＋y 2＝4sin 22＋4cos 22＝2， ∴sin α＝y r ＝－2cos 22
＝－cos 2.
B 组 能力突破
1．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
解析：选C.设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋l ＝6，1
2
rl ＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧
r ＝2，
l ＝2.
从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝2
2＝1.
2．若x ∈(0,2π)，则sin x ＞1
2的必要不充分条件是( ) A.π6＜x ＜5π6 B.π
6＜x ＜π C.π6＜x ＜π2
D.π3＜x ＜5π6
解析：选B.依题意，由sin x ＞12，x ∈(0,2π)得知π6＜x ＜5π6，可以推得π
6＜x ＜π；反过来，由π6＜x ＜π不能得出sin x ＞12，如取π6＜x ＝5π6＜π，此时sin x ＝1
2. 因此，sin x ＞12的必要不充分条件是π
6＜x ＜π，故选B.
3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α
1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________.
解析：原式＝sin α|cos α|＋|sin α|
cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案：0
4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6
5．设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝2
4m ，则sin α的值为________．
解析：设P (m ，5)到原点O 的距离为r ， 则m r ＝cos α＝24m ，
∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝10
4.
答案：10
4
6．已知扇形的圆心角为α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 为________． 解析：设扇形的半径为r cm ，如图．
∠AOB ＝120°，12∠AOB ＝60°，12AB ＝6，由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)．
答案：83
3π cm。