弧度制 ppt课件(33张) 高中数学 必修四 苏教版
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1 1 sin 2 ． 对的弧长为________
解析：首先求出圆的半径 r＝ ，再利用弧长公式求弧长． 1 sin 2
1
角度与弧度的互化
(1)将下列各角度化成弧度：①1 080° ，②－750° ； 7π 5 (2)将下列各弧度化成角度：①－ ，② . 9 12 (链接教材 P8 例 1、例 2)
[解 ]
π (1)① 1 080° ＝1 080× rad＝ 6π rad， 180
π 25π ②－750° ＝－750× rad＝－ rad. 180 6 7π 7π 180 (2)①－ rad＝－ ×( )° ＝－140° ， 9 9 π 5 5 180 75 ② rad＝ ×( )° ＝ ( )° . 12 12 π π
1.弧度制 1 360 (1)规定周角的 ____________ 为 1 度的角，记作 1° .用度作为 单位来度量角的单位制叫做角度制． 半径 (2)长度等于 ____________ 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度
1 rad 的角，记作 ____________ ．用弧度作为角的单位来度量角的
π 7π 1.已知 α＝15° ，β＝ ，γ＝1，θ＝105° ，φ＝ ，试比较 α、β、 10 12 γ、 θ、φ 的大小．
π π 解： α＝ 15° ＝ 15× ＝ ， 180 12 π 7 θ＝ 105° ＝ 105× ＝ π. 180 12 π π 7 显然 ＜ ＜ 1＜ π， 12 10 12 故 α＜ β＜ γ＜ θ＝ φ.
方法归纳 (1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据， 其 中应记住关系式： π＝180° ，它能够帮助我们更快、更准确地 进行运算． (2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再 转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如 2 弧度，化为度应是 180 360 2×( )° ＝( )° . π π
单位制称为弧度制．
2.弧度数 正 (1)正角的弧度数是____________ 数，负角的弧度数是 0 负 ____________ 数，零角的弧度数是_________ ． l (2)角 α 的弧度数的绝对值|α|＝ (其中 l 是以角 α 作为圆心角 r 时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)． 3．角度与弧度之间的互化及关系
4．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式： l＝ |α|· r， (r 为圆半径， |α|为圆心角的弧度 l l 数 )，两个变形： |α|＝ ， r＝ . r |α| 1 (2)面积公式： S 扇形 ＝ l· r( r 为扇形半径， l 为扇形的弧长 )， 2 1 两个变形： S 扇形 ＝ |α|· r2， S 2 弧度数 )． 1 l2 (α 为扇形圆心角的 扇形＝ 2|α|
第1章
三角函数
1．1.2
弧度制
第1章
三角函数
学习导航 1.了解弧度制的意义(难点)． 学习 2．理解弧度与角度的换算．(重点) 目标 3．掌握弧长公式和扇形面积公式．(难点) 1.通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以 用不同的单位制来度量，从而引出弧度制． 学法 2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度 指导 与角度换算的关键． 3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制 和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.
3．一钟表的分针长为5 cm，经过40分钟后，分针外端点转
20 π 过的弧长是________cm. 3
π 4 解析： 经过 40 分钟， 分针转过的角是 α＝－4× ＝－ π， 则 l＝ |α|r 3 3 4 20 ＝ 5× π＝ π(cm)． 3 3
4．已知圆内1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所
(1)
(2)
π 解：(1)以 OA 为终边的角为 ＋2kπ(k∈ Z)； 6 2π 以 OB 为终边的角为－ ＋ 2kπ(k∈ Z)． 3 ∴阴影部分内的角的集合为 2π π {α|－ ＋ 2kπ＜ α＜ ＋ 2kπ， k∈ Z}． 3 6 π 2π (2)以 OA 为终边的角为 ＋ 2kπ(k∈ Z)； 以 OB 为终边的角为 3 3 ＋ 2kπ(k∈ Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M1,
π 36° ． 1. 弧度化为角度是________ 5
180 解析：∵1 rad＝( )° ， π π π 180 ∴ rad＝( · )° ＝36° . 5 5 π
32π 3 2．1 920°转化为弧度数为________ ．
π π 32π 解析：∵1° ＝ rad，∴1 920° ＝1 920· rad＝ rad. 180 180 3
终边相同的角和区间角的弧度制表示
(1)设角 α1＝－ 570° ，α2＝ 750° ，将 α1，α2 用弧度 制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限； 10π (2)用弧度制表示第二象限角的集合， 并判断－ 是不是 3 第二象限角． (链接教材 P9 练习 T6)
19π 5π [解 ] (1)∵－570° ＝－ ＝－ 4π＋ ， 6 6 25π π 750° ＝ ＝ 4π＋ .∴ α1 在第二象限， α2 在第一象限． 6 6 π (2)在 [0，2π)范围内，第二象限角 α∈ ( ， π)． 2 ∴终边落在第二象限的所有角可表示为 π {α|2kπ＋ <α<2kπ＋ π， k∈ Z}， 2 10π 2π π 而－ ＝－ 4π＋ ∈ (－ 4π＋ ，－ 4π＋ π)， 3 3 2 10π ∴－ 是第二象限角． 3
方法归纳 熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学 习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内 求具有某种特性的角时， 通常转化为解不等式去求对应的 k 值．注意：用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如 β ＝ 2kπ－60° (k∈ Z)这种写法是不正确的．
2．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终 边落在如图所示阴影部分内的角的集合(不包含边界)．
π 2π (1)度化弧度： 360° ＝ ___________ rad， 180° ＝ ___________ π rad， 1° ＝____________ rad≈0.017 45 rad. 180
180° 360° ，π rad＝ ____________ (2)弧度化度：2π rad＝ __________ ， 180 ( )° π 1 rad＝ ____________ ≈57.30° .
解析：首先求出圆的半径 r＝ ，再利用弧长公式求弧长． 1 sin 2
1
角度与弧度的互化
(1)将下列各角度化成弧度：①1 080° ，②－750° ； 7π 5 (2)将下列各弧度化成角度：①－ ，② . 9 12 (链接教材 P8 例 1、例 2)
[解 ]
π (1)① 1 080° ＝1 080× rad＝ 6π rad， 180
π 25π ②－750° ＝－750× rad＝－ rad. 180 6 7π 7π 180 (2)①－ rad＝－ ×( )° ＝－140° ， 9 9 π 5 5 180 75 ② rad＝ ×( )° ＝ ( )° . 12 12 π π
1.弧度制 1 360 (1)规定周角的 ____________ 为 1 度的角，记作 1° .用度作为 单位来度量角的单位制叫做角度制． 半径 (2)长度等于 ____________ 的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度
1 rad 的角，记作 ____________ ．用弧度作为角的单位来度量角的
π 7π 1.已知 α＝15° ，β＝ ，γ＝1，θ＝105° ，φ＝ ，试比较 α、β、 10 12 γ、 θ、φ 的大小．
π π 解： α＝ 15° ＝ 15× ＝ ， 180 12 π 7 θ＝ 105° ＝ 105× ＝ π. 180 12 π π 7 显然 ＜ ＜ 1＜ π， 12 10 12 故 α＜ β＜ γ＜ θ＝ φ.
方法归纳 (1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据， 其 中应记住关系式： π＝180° ，它能够帮助我们更快、更准确地 进行运算． (2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再 转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如 2 弧度，化为度应是 180 360 2×( )° ＝( )° . π π
单位制称为弧度制．
2.弧度数 正 (1)正角的弧度数是____________ 数，负角的弧度数是 0 负 ____________ 数，零角的弧度数是_________ ． l (2)角 α 的弧度数的绝对值|α|＝ (其中 l 是以角 α 作为圆心角 r 时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)． 3．角度与弧度之间的互化及关系
4．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式： l＝ |α|· r， (r 为圆半径， |α|为圆心角的弧度 l l 数 )，两个变形： |α|＝ ， r＝ . r |α| 1 (2)面积公式： S 扇形 ＝ l· r( r 为扇形半径， l 为扇形的弧长 )， 2 1 两个变形： S 扇形 ＝ |α|· r2， S 2 弧度数 )． 1 l2 (α 为扇形圆心角的 扇形＝ 2|α|
第1章
三角函数
1．1.2
弧度制
第1章
三角函数
学习导航 1.了解弧度制的意义(难点)． 学习 2．理解弧度与角度的换算．(重点) 目标 3．掌握弧长公式和扇形面积公式．(难点) 1.通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以 用不同的单位制来度量，从而引出弧度制． 学法 2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度 指导 与角度换算的关键． 3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制 和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.
3．一钟表的分针长为5 cm，经过40分钟后，分针外端点转
20 π 过的弧长是________cm. 3
π 4 解析： 经过 40 分钟， 分针转过的角是 α＝－4× ＝－ π， 则 l＝ |α|r 3 3 4 20 ＝ 5× π＝ π(cm)． 3 3
4．已知圆内1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所
(1)
(2)
π 解：(1)以 OA 为终边的角为 ＋2kπ(k∈ Z)； 6 2π 以 OB 为终边的角为－ ＋ 2kπ(k∈ Z)． 3 ∴阴影部分内的角的集合为 2π π {α|－ ＋ 2kπ＜ α＜ ＋ 2kπ， k∈ Z}． 3 6 π 2π (2)以 OA 为终边的角为 ＋ 2kπ(k∈ Z)； 以 OB 为终边的角为 3 3 ＋ 2kπ(k∈ Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为 M1,
π 36° ． 1. 弧度化为角度是________ 5
180 解析：∵1 rad＝( )° ， π π π 180 ∴ rad＝( · )° ＝36° . 5 5 π
32π 3 2．1 920°转化为弧度数为________ ．
π π 32π 解析：∵1° ＝ rad，∴1 920° ＝1 920· rad＝ rad. 180 180 3
终边相同的角和区间角的弧度制表示
(1)设角 α1＝－ 570° ，α2＝ 750° ，将 α1，α2 用弧度 制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限； 10π (2)用弧度制表示第二象限角的集合， 并判断－ 是不是 3 第二象限角． (链接教材 P9 练习 T6)
19π 5π [解 ] (1)∵－570° ＝－ ＝－ 4π＋ ， 6 6 25π π 750° ＝ ＝ 4π＋ .∴ α1 在第二象限， α2 在第一象限． 6 6 π (2)在 [0，2π)范围内，第二象限角 α∈ ( ， π)． 2 ∴终边落在第二象限的所有角可表示为 π {α|2kπ＋ <α<2kπ＋ π， k∈ Z}， 2 10π 2π π 而－ ＝－ 4π＋ ∈ (－ 4π＋ ，－ 4π＋ π)， 3 3 2 10π ∴－ 是第二象限角． 3
方法归纳 熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学 习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内 求具有某种特性的角时， 通常转化为解不等式去求对应的 k 值．注意：用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如 β ＝ 2kπ－60° (k∈ Z)这种写法是不正确的．
2．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终 边落在如图所示阴影部分内的角的集合(不包含边界)．
π 2π (1)度化弧度： 360° ＝ ___________ rad， 180° ＝ ___________ π rad， 1° ＝____________ rad≈0.017 45 rad. 180
180° 360° ，π rad＝ ____________ (2)弧度化度：2π rad＝ __________ ， 180 ( )° π 1 rad＝ ____________ ≈57.30° .