重庆一中高2009级高三下学期5月月考理科数学试卷

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重庆一中高2009级高一下期数学期末试题

重庆一中高2009级高一下期数学期末试题 2007.7一.选择题.(每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在机读卡相应的位置上．) 1.若cos 0,sin 20θθ><,则角θ的终边位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知点A,B 的坐标分别为(1,2)和(4,2),则向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量坐标是( )A.(3,0)B.(3,5)C.(4,3)-D.(2,3)3.点12,P P 是线段AB 的2个三等分点,若12{,}P PP ∈,则P 分有线段AB的比λ的最大值和最小值分别为( )A.13,4B.13,3C.12,2 D.2, 14.已知方程2(2)50x m x m ++++=有两个正根,则实数m 的取值范围是( ) A.2m ≤- B.4m ≤- C.5m >- D.54m -<≤-5.不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( )A.(1,1)-B.{|1}x x R x ∈≠-且C.{|1}x x <D.{|11}x x x <≠-且6.若a 与b 的夹角为60︒,||2,()(2)2b a b a b =+⋅-=- ,则||a=( ) A.2 B.3 C.5 D.6 7.若,x y 是正数,则2211()()22x y y x+++的最小值是( ) A.3 B.72 C.4 D.928.若不等式240x ax ++≥对一切(0,1]x ∈成立,则a 的最小值( ) A.0 B.3- C.4- D.5- 9.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数,当(0,3)x ∈时,()f x 的图象如图所示,那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是( )A.(3,)(0,1)(,3)22ππ--B.(,1)(0,1)(,3)22ππ--C.(3,1)(0,1)(1,3)--D.(3,)(0,1)(1,3)2π--10.已知,,a b c 是直角三角形的三边，其中c 为斜边，若实数M 使不等式111M a b c a b c++≥++恒成立，则实数M 的最大值是（）A ．6+B ．5+C ．6+D ．9二.填空题.(每小题4分,共24分，把答案填在答卷相应的横线上．)11.已知(cos75,sin75),(cos15,sin15)a b =︒︒=︒︒ ,则||a b -= .12.设向量a 与b 的夹角为θ,且(1,3),2(1,1)a b a =-=-,则cos θ= . 13.在△ABC 中,sin(),sin sin a A B b A B =+=+,则,a b 的大小关系是 . 14.已知α为锐角,并且有2t a n ()3c o s()72ππαβ-+++=,tan()6sin()παπβ+++1- =0,则sin α= .15.不等式22log (2)2x x +-≤的解集是 .16.函数sin(),(0,(,))22y x ππωϕωϕ=+>∈-的最小正周期为π,且其图象关于12x π=对称,则下列结论中:①图象关于直线512x π=对称; ②图象关于点(,0)3π对称; ③在3(,)34ππ上是减函数; ④在(,0)6π-上是增函数.那么所有正确结论的序号是.三.解答题.(共76分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，把答案写在答卷相对应题的方框内)17.(13分)已知点M,N 的坐标分别为2(2cos ,1),(1cos )(,M x N x x a x R +∈a R ∈,a 是常数),且y OM ON =⋅(O 为坐标原点).(1)求y 关于x 的函数关系式()y f x =,并求出()f x 的最小正周期 (6分)；(2)若[0,]2x π∈时,()f x 的最大值为4,求a 的值,并说明此时()f x 的图象可由2sin(2)6y x π=+的图象经过怎样的变换而得到 (7分).18.(13分)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,且4cos 5A =. (1)求2sin cos 22B CA ++的值 (6分)； (2)若2b =, △ABC 的面积S =3,求a 的值 7分).19.(13分) 根据下列条件解关于x 的不等式320ax a x-+>.(1)当1a =时 (6分) ； (2)当a R ∈时(7分)．20.(13分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始赢利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) (6分)? (2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种: (7分)①当年平均赢利达到最大值时,以26万元的价格卖出;②当赢利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算? 请说明理由.21.(12分) 设cos(),sin(),2cos(),2sin()6666a b ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .(1)若向量(27)tb a + 与向量()b ta +的夹角为锐角,求实数t 的取值范围 (6分);(2)当t 在区间(0,1]上变化时,求向量2(m t b a m t+ 为常数,且0m >)的模的最小值 (6分).22.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2*23()n S n n n N =+∈. (1)求{}n a 的通项公式 (4分);(2)已知数列{}n b 满足(21)1bn n a -=. 12...n n T b b b =+++ (8分). (i)证明:2323log 2n n T +> *()n N ∈; (ii)是否存在最大的正数k ,使不等式2213log log n n T k a +≥+, ,对一切*n N ∈都成立? 若存在,求出k 的最大值,若不存在,请说明理由.(2)∵4cos 5A =∴3sin 5A = 113s i n 23225S b c A c =⋅=⋅⋅⋅=∴5c = 22242c o s 425225135a b c b c A =+-⋅=+-⋅⋅⋅=∴a =19.(1)1a =时,而不等式为:320x x -+> 即223(3)(1)0x x x x x x+-+-=> ∴(3,0)(1,)x ∈-+∞(2)2230x ax ax+-> ∵2234(3)x ax a a a +-∆=+的 ①0∆>即0a >或3a <-若0a >时,原不等式的解解为:(,)x a a ∈-+∞若3a >-,则其解为: (,0)()x a a ∈-∞- ②△=0即0a =或3a =- , 0a =时, 0x >, 3a =-时, 0x >且3x ≠ ③△<0 即30a -<<时, 0x >综上知:当30a -<≤时,解集为(0,)+∞. 当3a =-时,解集为{|03}x x x >≠且当0a >时, 解集为(,)a a --+∞ , 3a <-时.解集为:(,0)()a a -∞--20.(1)设n 年后,开始赢利为y 万元. 则2(1)50[124]982409802n n y n n n n -=-+⋅-=-+->101151n ⇒<< ∴317n ≤≤ 于是3n = 即3年后开始赢利(2)方案一:年平均赢利:982404012y n n n =--+≤= 当且仅当7n =时,年平均赢利达到最大,共赢得12726110⨯+=万元方案二:∵22240982(10)102y n n n =-+-=--+当10n =时,102mex y = ∴经过10年共赢利1028110+=万元.比较两种方案,由于方案二用的时间较长 ∴方案一合算.21.(1)∵||1,||2a b == 2c o s [()()]2c o s ()1663a b πππθθ⋅=--+=-= ∴222(27)()2||277||0tb a b ta t b t a b a b t a +⋅+=+⋅+⋅+>221570t t ⇒++> ∴12t >- 或 7t <-又当27tb a + 与b ta +共线时,不满足题意.∴令27tb a + ()b ta λ=+ , 2t ⇒=±∴1(,7)(,()222t ∈-∞--+∞(2)∵222222(2)4||4||m m tb a t b ma b a t t+=+⋅+222164m t m t=++令222164m y t m t=++ (0,1]t ∈ ∵2221648412m t m m m t++≥+=当且仅当2t =(0,1] 即 04m <≤时当且仅当t =时, min 12y m =. 从而min |2|m tb a t +=1> 即4m >时可证222164m y t m t=++ 在(0,1]为减函数从而当1t =时 2min 416y m m =++∴min |2|m tb a t+=22.(1)2n ≥时, 131n n n a S S n -=-=- ∵1n =时, 112a S ==满足上式∴*31()n a n n N =-∈(2)由(1)得:23log 31n nb n =- ∴222363log log ...log 2531n nT n =+++-2363l o g (...)2531n n =⋅- 要证:2323log 2n n T +>即证:22363323log (...)log 25312n n n +⋅>-即:336332(...)25312n n n +⋅>-令3363(...)2531()322n n g n n ⋅-=+∵333633332(...)(1)253132235363()(...)22531n n n g n n n n n g n n ++⋅⋅+-+=⋅+⋅- 3323(33)(33)1323235(32)(35)()3n n n n n n n ++=>=++++++⋅+ ∴(1)()g n g n +>. 即()g n 为增. 从而33()2()(1)152g n g >=>∴336332(...)25312n n n +⋅>- 从而原不等式得证.(3)假设存在最大正数k ,使不等式成立.即23log (32)n T k n ≥+222363log log (...)log 2531n n T n ⇔≥⇔⋅≥-363...n ⋅⇔≤ 由(2)知3363(...)2531()322n n g n n ⋅-=+为增.2732780540k ≤⇒<≤=∴存在最大正数2740k =。

重庆一中高2009级06-07学年9月月考试题——数学

重庆一中高2009级第2006~2007学年度第一次检测题数学说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷50分，第II 卷100分，总分共150分；答题时间120分钟。

第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在机读卡相应的位置上。

1、集合{1,2,3}的真子集共有（）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个2、由下列各组命题构成“p q 或”，“p q 且”形式的复合命题中，p q 或为真，p q 且为假，非p 为真的是（）A 、*:;:p Q R q N N ⊆=B 、{}{}{}2:,;:|210p a a b q A x ax x ⊆=++=只有一个元素，则10a =或C 、{}{}:0;:0p q ∅⊆∅=D 、:p 平行四边形是正方形；:q 正方形是菱形3、已知集合{{}22|4|,|230M x x N x x x =<=--<，则集合M N =（）A 、{}|2x x <-B 、{}|3x x >C 、{}|12x x -<<D 、{}|23x x <<4、设集合11|,|,6226k k M x x k z N x x k z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则（） A 、M N = B 、M N ⊇ C 、M N ⊆ D 、M N =∅5、不等式220()x x x R --<∈的解集是（）A 、{}|22x x -<<B 、{}|22x x x <->或C 、{}|11x x -<<D 、{}|11x x x <->或6、设p 、q 为简单命题，则“p q 且”为假是“p q 或”为假的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、满足{}12,A B a a =的集合A ，B 的组数为（）A 、5B 、6C 、9D 、108、给出命题：①若2320,12x x x x -+===则或；②若23x -≤≤，则(2)(3)0x x +-≤；③若220,0x y x y ==+=则；④若*,,x y N x y ∈+是奇数，则,x y 中一个是奇数，一个是偶数。

重庆一中高三数学下学期5月月考试题理新人教A版

2012-2013学年重庆一中高三（下）5月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}．B={x|y=log2（3﹣x）}，则C I A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：根据A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}，分别求出A，B集合，再求出C I A，进而求出C I A∩B．解答：解：A={y|y=x2﹣2}=[﹣2，+∝），则C I A=（﹣∝，﹣2）．B={x|y=log2（3﹣x）}=（﹣∝，3），所以C I A∩B=（﹣∝，﹣2）．故选D点评：本题考查了集合的基本运算以及补集的意义，属于基础题型．2．（5分）向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据平行向量满足的条件列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．解答：解：∵=（，tanα），=（cosα，1），∥，∴cosαtanα=sinα=，∵α为锐角，∴cosα==．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平行向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）（2012•唐山二模）的展开式中的常数项是（）A．﹣15 B．15 C．﹣30 D．30考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得12﹣3r=0，则r=4，将r=4代入二项展开式计算可得答案．解答：解：根据题意，有T r+1=（﹣1）r C6r（x2）6﹣r x﹣r=（﹣1）r C6r x12﹣3r，要求常数项，必有12﹣3r=0，则r=4，故常数项为（﹣1）4C64=15，故选择B．点评：本题考查二项式定理的应用，应该牢记二项展开式的通项公式．4．（5分）在等差数列{a n}中每一项均不为0，若a1+a2+…+a2013=ta1007，则t=（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接写出等差数列的前n项和公式，把a1+a2013换为2a1007即可得到答案．解答：解：因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a2+…+a2013=．又a1+a2+…+a2013=ta1007，所以t=2013．故选C．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，含奇数项的等差数列的前n项和等于中间项的乘以项数，是基础题．5．（5分）（2013•江门一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且 n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形考点：两角和与差的正弦函数．分析：根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．解答：解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B点评：在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．7．（5分）（2012•乐山二模）若函数f（x）的导数为f′（x）=﹣x（x+1），则函数f（log a x）（0＜a＜1）的单调减区间为（）A．[﹣1，0] B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求导，再令其小于等于0，解不等式即可解答：解：令函数g（x）=f（log a x）因为f′（x）=﹣x（x+1），根据复合函数求导法则：g′（x）=[﹣log a x（log a x+1）]×令g′（x）=[﹣log a x（log a x+1）]×≤0∵0＜a＜1，∴lna＜0又∵x＞0，即解：log a x（log a x+1）≤0得：﹣1≤log a x≤0∴即函数大单调减区间为[1，]故选C．点评：本题的考点是函数的单调性与导数的关系，主要考查复合函数求导法则，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．8．（5分）（2013•松江区一模）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：选择结构．专题：阅读型；分类讨论．分析：由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．解答：解：由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值又∵输入的x值与输出的y值相等当x≤2时，x=x2，解得x=0，或x=1当2＜x≤5时，x=2x﹣4，解得x=4当x＞5时，x=，解得x=±1（舍去）故满足条件的x值共有3个故选C点评：本题考查的知识点是选择结构，其中分析出函数的功能，将问题转化为分段函数函数值问题，是解答本题的关键．9．（5分）已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=1，则的最小值为（）A．2B．4C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得1=x2+y2+z2+z2≥4，从而有2xyz2≤，当且仅当x=y=z取等号．即可求出答案．解答：解：∵正数x，y，z满足x2+y2+z2=1，∴1=x2+y2+z2+z2≥4∴≤，∴x2•y2•≤，∴2xyz2≤，当且仅当x=y=z取等号．则的最小值为4，故选B．点评：本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．10．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若=（+），且•=0则双曲线的离心率为（）A．B．+1 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：在Rt△PFF′中，OE=OF=c．∵=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=c，∵•=0，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=2a+c在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即（2a+c）2+c2=4c2⇒所以离心率e==+1．故选B．点评：本小题主要考查双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于基础题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）（2009•海淀区一模）在复平面内，复数（a∈R）对应的点位于虚轴上，则a= 0 ．考点：复数代数形式的混合运算．分析：复数对应的点位于虚轴上，就是说复数的实部为0，并且虚部不为0，从而得到答案．解答：解：，复数（a∈R）对应的点位于虚轴上，所以a=0 故答案为：0点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点是一一对应关系，复数分类，是基础题．12．（5分）（2013•丰台区一模）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题．分析：由三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积作和即可．解答：解：由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．事实上，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．PC=．．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．故答案为．点评：本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了三角形的面积，是基础题．13．（5分）（2012•普陀区一模）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108 种．1 2 34 5 67 8 9考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．解答：解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，故答案为：108点评：本题是一个排列组合的应用，考查分别计数原理，考查分类原理，是一个限制元素比较多的题目，解题时注意分类，做到不重不漏，本题是一个中档题．三、选做题（三选二，每题5分，共10分）14．（5分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=2，BC=1，则sin∠DCA= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接BD、OD，由已知中AB是圆O的直径，D为圆O上一点，则∠ADB=90°，结合切割线定理，我们易求出CA的大小，从而得出圆的半径，最后利用直角三角形求出sin∠DCA的值．解答：解：连接BD、OD，如下图所示：由已知中AB为圆O的直径，则∠ADB=90°又∵CD为圆的切线，则CD2=CB•CA，即（2）2=CA，∴CA=4，∴AB=3，得圆的半径r=，在直角△CDO中，则sin∠DCA==．故答案为：点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段，切割线定理，以及解直角三角形等基础知识，属于基础题．15．（5分）（2013•惠州模拟）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为 3 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：应用题；压轴题；选作题；转化思想．分析：首先由极坐标与直角坐标系转换公式，把点A、B的极坐标转化为直角坐标，再在直角坐标系下求三角形的面积．解答：解：由极坐标与直角坐标系转换公式又A、B的极坐标分别为（3，），（4，），可得到A，B的直角坐标分别为，O的坐标不变，则可求的△AOB的面积为 3．故答案为3．点评：此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化公式的记忆与应用，有一定的计算量，在做题时需要很好的理解题意以便解答．16．若不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为空集，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值不等式的几何意义，求解即可．解答：解：因为不等式|x+1|+|x﹣m|＜6的解集为空集，由绝对值的几何意义可知|m+1|≥6，解得m∈（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力．四.解答题.（本大题6个小题，共75分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置）17．（13分）（2009•湖北模拟）已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函数f（x）=（+）•（﹣），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．考点：余弦函数的单调性；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想；综合法．分析：（Ⅰ）首先由向量运算以及三角恒等变换化简f（x）=（+）•（﹣）=﹣cos（2ωx+2φ）+3，再由y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1判断出函数的周期是4，由周期公式求得ω，再由图象过点M（1，），代入求得φ，即得函数f（x）的表达式．（Ⅱ）当﹣1≤x≤1时，代入求得相位的取值范围结合余弦函数的单调性求函数f（x）的单调区间．解答：解：（1）f（x）=（+）•（﹣）==sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ），=﹣cos（2ωx+2φ）+3由题意得周期T==4，故ω=…（4分）又图象过点M（1，），所以=3﹣cos（+2φ）即sin2φ=，而0＜φ＜，所以2φ=∴f（x）=3﹣cos（x+）（2）当﹣1≤x≤1时，﹣≤x+≤∴当﹣≤x+≤0时，即x∈[﹣1，﹣]时，f（x）是减函数当0≤x+≤时，即x∈[﹣，1]时，f（x）是增函数∴函数f（x）的单调减区间是[﹣1，﹣]，单调增区间是[﹣，1]点评：本题考查余弦函数的单调性，求解本题的关键是进行正确的向量的坐标运算与三角恒等变换求出函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求出函数的单调区间．18．（13分）设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束，由互斥，独立事件的概率公式可得；（2）由题意可得ξ=2，3，4，分别可得其概率，可得分布列，可得期望．解答：解：（1）由题意只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束，故可得所求的概率为（2）由题意可得ξ=2，3，4，且，，故ξ的分布列为：ξ 2 3 4P故数学期望点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，以及数学期望的求解，属中档题．19．（13分）（2011•西城区二模）已知函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a 的值．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）首先对函数求导，代入所给的a=2的条件，得到曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex﹣2e，做出切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，﹣2e），表示出三角形的面积．（II）根据函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，得到方程x2﹣ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，根据根与系数的关系，求出a的范围，写出极值，根据极值的积做出结果．解答：解：（Ⅰ），…（3分）当a=2时，，，f（1）=﹣e，所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex﹣2e，…（5分）切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，﹣2e），…（6分）∴所求面积为．…（7分）（Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x2﹣ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（8分）则…（9分）所以a＞4．…（10分）设x1，x2为函数f（x）的极大值点和极小值点，则x1+x2=a，x1x2=a，…（11分）因为f（x1）f（x2）=e5，所以，…（12分）即，，e a=e5，解得a=5，此时f（x）有两个极值点，所以a=5．…（14分）点评：本题看出利用导数求极值和极值存在的条件，本题解题的关键是利用极值存在的条件展开运算，注意题目中出现的一元二次方程根与系数之间的关系．20．（12分）如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若时，求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，可得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．解答：解：（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角．以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．则，因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量，设面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得②，在①②中令，可得x=z=3，故所以二面角A﹣PB﹣D的余弦值点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q（1，）．若分别过椭圆的左右焦点F1，F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1、k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，则由题意解得即可；（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．可得l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x ﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m1与m2的关系，进而得出答案．解答：解：（1）设椭圆方程为，则由题意解得∴椭圆方程为．（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．∴l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得到，∴，．同理，．（*）∵=，，，．又满足k 1+k 2=k 3+k 4． ∴=2m 2﹣，把（*）代入上式化为：﹣．（m 1≠m 2）．化为m 1m 2=﹣2．设点P （x ，y ），则，（x≠±1）化为．由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P 在椭圆上，则存在点M 、N 其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键． 22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n }满足：．（1）求a n 的通项公式；（2）当n≥2时，求证：．考点：数学归纳法；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用已知可得：a 1=2，a 2=3，a 3=4，猜测：a n =n+1．用数学归纳法证明即可；（2）由于a n =n+1，即证：．对k=1，2，…，n﹣2，令，利用导数可得，因此f k （x ）在（1，+∞）上单调递减．由n ﹣k≥2，得f k （n ﹣k ）≤f k （2），即．即ln2lnn≤ln（2+k ）ln （n ﹣k ），k=1，2，…，n ﹣2．进而证明结论．解答：解：（1）a 1=2，a 2=3，a 3=4，猜测：a n =n+1．下用数学归纳法证明：①当n=1时，a 1=1+1=2，猜想成立；②假设当n=k （k≥1）时猜想成立，即a k =k+1，由条件，∴，两式相减得：，则当n=k+1时，，∴a k+1=k+2，即当n=k+1时，猜想也成立．故对一切的n ∈N *，a n =n+1成立．（2）∵a n =n+1，即证：对k=1，2，…，n ﹣2，令，则，显然1＜x ＜x+k ，0＜lnx ＜ln （x+k ），∴xlnx＜（x+k ）ln （x+k ）， ∴，∴f k （x ）在（1，+∞）上单调递减．由n ﹣k≥2，得f k （n ﹣k ）≤f k （2），即．∴ln2lnn≤ln（2+k ）ln （n ﹣k ），k=1，2，…，n ﹣2． ∴=+…+=+…+≤+…+=．即．熟练掌握数学归纳法、构造函数法、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．点评：。

重庆市届高三下第一次月段考试数学试题(理科)含答案

20XX 年重庆一中高20XX 级高三下期第一次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.已知{}{},|12,|3U R M x x N x x ==-≤≤=≤，则()U C M N = A. {}|123x x x <-<≤或 B. {}|23x x <≤C. {}|123x x x ≤-≤≤或D. {}|23x x ≤≤3.下列说法正确的是A. 1,"1"a R a∈<是"1"a >的必要不充分条件 B. “p q ∧”为真命题是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 命题"x R ∃∈,使得2230"x x ++<的否定是 "x R ∀∈,2230"x x ++>D.命题:",sin cos p x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象A. 关于直线12x π=对称 B. 关于直线512x π=对称 C. 关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A. 2B. 3C. 4D. 56. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 取值范围是A. (]2,4B. ()2,+∞C. (]4,10D. ()4,+∞7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式2148V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2175V L h ≈相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 A. 256 B. 258 C. 253 D.2548.等比数列{}n a 中，181,4a a ==，函数()()()()()123n f x x x a x a x a x a =----，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=A. 1B. 02C. 122D.1529.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为A. 110B. 23C. 13D.1410.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为，若直线y x =与椭圆交于点M,满足122112MF F MF F ∠=∠，则离心率是A. 2B. 1C.D.11.点M 为棱长是的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为A. 2B. 2C. 2D.212.已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()()2111022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是A. 2,2e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1,12e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2,22e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5ax 的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = .14. 已知R α∈，则函数()()()()21sin cos sin f x x x x ααα=-++++的最大值为 .15. 一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左到右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是 .16. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中正确的序号为 .①DMN ∆可能是直角三角形；②三棱锥1A DMN -的体积为定值；③平面DMN ⊥平面11BCC B ；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且cos 2cos C a c B b-=，且 2.a c += （1）求角B;（2）求边长b 的最小值.18.（本题满分12分）某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[]80,90间的矩形的高；（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u 表示分数在[]80,90之间被选上的人数，v 表示分数在之[]90,100间被选上的人数，记变量u v ξ=-，求ξ的分布列和期望.19.（本题满分12分）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于,G H 两点.（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥平面ABCDE ，且PA AE =，求平面PCD 与平面ABF 所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH 的长.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点()1,0F -，过点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于M,N 两点，且 3.MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F -的直线交椭圆于A,B 两点，线段AB 的中为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，若12SS λ=，求λ的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()()22ln .f x c x xc R =-∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1c =，设函数()()g x f x mx =-的图象与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点，且120x x <<，又()y g x '=是()y g x =的导函数，若正常数,a b 满足1,a b b a +=≥，证明：()120g ax bx '+<请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为)c o s s i n a ρθθ-=，曲线2C 的参数方程为sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），且1C 与2C 有两个不同的交点. （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）求实数a 的取值范围.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,1 2.f x x a x g x x =-++=-+（1）解不等式()22g x x <-+；（2）若对任意1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.。

重庆七中高2009级高三下第一次月考题理科数学2009.3

重庆七中高2009级高三下第一次月考题理科数学命题人：杨春树试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卷上填写清楚。

2、每题答案必须填写在答题卷相应的位置，答在试卷上的答案无效。

参考公式：如果事件B A 、互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件B A 、相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n p p C k P --=)1()(一、选择题(本题共10小题，每小题只有一个选项，每题5分，共50分)1、0330sin 的值为（）23212321--、、、、D C B A 2、已知c b a 、、都是实数，则“22bc ac >”是“b a >”的（） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（）A 、①④B 、 ②③C 、②④D 、①③4、某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）种120904556、、、、D C B A5、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)0,3(π平移后，它的一条对称轴是x =6π,则θ的一个可能值是（） A 、125π B 、12π C 、6πD 、32π 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径6、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则=a ( ) A 、2-或2 B 、2321或C 、2或0D 、2-或07、已知变量y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x 则x y的取值范围是（） A 、]6,59[ B 、),6[]59,(+∞-∞C 、),6[]3,(+∞-∞D 、]6,3[8、两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为（） 22212019、、、、D C B A 9、已知平面γβα、、两两垂直，点α∈A ，点A 到γβ、的距离都是3，点P 是α上的动点，且点P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（）33632333、、、、D C B A ---10、函数x x x f 3123)(-+-=的值域是（）]2,1[]23,1[]3,1[]2,1[、、、、D C B A二、填空题(本题共5小题，每题5分，共25分) 11、函数)12(log 31-=x y 的定义域是；12、已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且342a a a 、、成等差数列，则=q __________；13、三棱锥ABC P -的四个顶点点在同一球面上，若⊥PA 底面ABC ，底面ABC 是直角三角形，1,2===BC AC PA ，则此球的表面积为__________；14、已知R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆41)2(22=+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是________；15、设)0(>m m b a 、、为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a ≡；已知19202023202201202221∙++∙+∙++=C C C C a ，)10(mod a b ≡，则满足条件的正整数b 中，最小的两位数是；三、解答题(共6小题， 16-18题每题13分，19-21题12分，共75分) 16、已知函数x x x x x f 22sin sin cos 2cos 3)(++=．（Ⅰ）、求)(x f 的最大值，并求出此时x 的值；（Ⅱ）、写出)(x f 的单调递增区间；17、重庆市在2009年初举行了一次高中数学新课程骨干培训，共邀请了15名使用B A 、两种不同(Ⅰ)、从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？ (Ⅱ)、培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B 版的女教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE ；18、如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，11==AB AA （Ⅰ）、求证：C A 1∥平面D AB 1；（Ⅱ）、求二面角D AB B --1的大小；19、已知kx x x x f ++-=22|1|)(；（Ⅰ）若2=k ，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在)2,0(上有两个解21x x 、，求k 的取值范围；20、已知)0,2(),0,2(21F F -，点P 满足2||||21=-PF PF ，记点P 的轨迹为E ；（Ⅰ）、求轨迹E 的方程；（Ⅱ）、若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于Q P 、两点；①、设点)0,(m M ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0=∙成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由； ②、过Q P 、作直线21=x 的垂线QB PA 、，垂足分别为B A 、，记||||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围；21、已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(1--=n n a a aS （a 为常数，且1,0≠≠a a ）；（Ⅰ）、求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）、设12+=nnn a S b ，若数列}{n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）、在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111+-++=n n n a a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ；求证：312->n T n ；参考答案1、A 2,、B 3、 D 4,、B 5、 D 6、C 7、A 8、B 9、A 10、D 11、(12，1] 12、－12或113、6π 14、2 15、1116解：解：（Ⅰ）x x x x x f 22sin sin cos 2cos 3)(++=22cos 12sin 22cos 13xx x -+++= x x 2cos 2sin 2++=2)42sin(2++=πx当πππk x 2242+=+，即8ππ+=k x )(Z k ∈时，)(x f 取得最大值22+.（Ⅱ）当πππππk x k 224222+≤+≤+-，即883ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈时，所以函数)(x f 的单调递增区间是]8,83[ππππ+-k k )(Z k ∈ 17、解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共215C 种选法， …………………………2分所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是1164215835C C C =． …………………5分 (Ⅱ)由题意得0,1,2ξ=21321526(0)35C P C ξ===； 1121321526(1)105C C P C ξ===；202132151(2)105C C P C ξ===．故ξ的分布列为所以，数学期望2626140123510510515E ξ=⨯+⨯+⨯=． 18、解法一：（Ⅰ）证明：连接。

重庆一中高2009级高三下学期5月月考文科数学试卷

秘密★启用前2009年重庆一中高2009级5月月考数学(文科)试题卷 2009.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果{|1}A x x =>-，那么正确的结论是（） A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．{0}⊂≠AD ．A ∅∈2．sin15sin75等于（） A ．0B ．12CD ．143．已知平面向量(11)(11)a b ==-，，，，则向量1322a b -=（） A ．(21)--，B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，4．设映射2:2f x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(],1-∞ 5．在数列{}n a 中，若212n n n a a a +++=，且12320091005a a a a ta ++++=，则t =（）A ．2007B ．2008C ．2009D ．20106．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（）A ．42105615C C C ⋅B ．33105615C C C ⋅ C ．615615C AD ．42105615A A C ⋅ 7．已知函数2()1(0)xf x e x =-> (e 是自然对数的底数)的反函数为1()f x -，则有（）A ．1()2ln(1)(1)fx x x -=+>- B．1()(1)f x x -=>C．1()(0)f x x -=> D ．1()2ln(1)(0)f x x x -=+>8．半径为1的球面上有三点A 、B 、C ，其中A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，B 、C 两点间的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为（）A.14B.7C.7D.79．已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,4) (B)(-4,4] (C)( -∞,-4)∪[2,+∞) (D)[-4,2) 10．已知3211()(1)(1)132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（）A ．3a b -<-B ．3a b -≤-C ．3a b ->-D ．3a b -≥-二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．10的常数项是（用数字作答）． 12．在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c，已知222a b c +-，则C ∠= ．13．已知实数,x y 满足条件03412x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则11y x ++的最大值为；14．以椭圆两焦点为直径的端点的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于；15．已知函数()sin cos()f x x x t =++为偶函数，且t 满足不等式23400t t --<，则t 的值为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分13分)已知函数22()3sin cos 5cos f x x x x x =++．（Ⅰ）求函数()f x 的周期和最大值；（Ⅱ）已知()5f α=，求tan α的值．B 117．(本题满分13分) 2009年4月22日是第40个“世界地球日” (World Earth Day)，在某校举办的《2009“世界地球日”》知识竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关保护地球知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是3/4，甲、丙两人都．回答．．错．误．的概率是1/12，乙、丙两人都回．．答对．．的概率是1/4． (Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．18．(本题满分13分)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为a ，P 为棱1A B 上的动点．(Ⅰ)当1BP PA =时，求证：PC AB ⊥； (Ⅱ) 若123A P PB =，求二面角P AC B --的大小．19．(本题满分12分)已知函数32()1()f x x ax bx x R =+++∈，函数()y f x =的图像在点(1,(1))P f 的切线方程是4y x =+． (Ⅰ)求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若函数()f x 在区间2,3k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上是单调函数，求实数k 的取值范围．20．(本题满分12分)过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点．(Ⅰ)若切线AP ，AQ 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k ⋅为定值，并求出定值；(Ⅱ) 求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标；(Ⅲ)当||APQ S PQ ∆最小时，求AQ AP ⋅的值．21．(本题满分12分)已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足12122n n n n S S S ---+=+(3)n ≥，令11n n n b a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)令21123222n n n T b b b b -=+⋅+⋅++⋅，求证：①对于任意正整数n ，都有16n T <． ②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在*0n N ∈，使得0n n ≥时，n T m >．2009年重庆一中高2009级5月月考数学(文科)试题卷答案 2009.5一、CDDBC;ACBBA.二、11.210 12. 45 13.414. 1-；15. 23π-或2π或25π三．解答题：16. 解：解：（Ⅰ）()223sin cos 5cos f x x x x x =++2cos 24x x =++ ＝π2sin(2)46x ++．∴周期为22ππ=，最大值为6 ；（Ⅱ）由()5f α=，得223sin cos 5cos 5αααα++=．∴1cos 21cos 2325522ααα-++=．2cos 21αα+=，21cos 2αα=-2cos 2sin ααα⇒=sin 0αα==或tan ，∴tan 0tan αα==或．17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅41)()(121)()(C P B P C P A P ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=-⋅-41)()(121)](1[)](1[C P B P C P A P ∴32)(,83)(==C P B P （2）由（1）41)(1)(=-=A P A P ,31)(1)(=-=B P B P .则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：33135213215()()()483483P P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+18. 解（1）当11=PBPA 时，取AB 的中点D '，连接D P DC '',，因为ABC ∆为正三角形，则ABD C ⊥'，由于P 为B A 1的中点时，A A D P 1//'∵P⊥A A 1平面ABC ,∴⊥'D P 平面ABC , ∴AB PC ⊥.（2）当123A P PB =时，过P 作PD AB ⊥于D ,如图所示，则PD ⊥底面ABC ,过D 作DE AC ⊥于E ,连结PE ，则P EA C ⊥,DEP ∠∴为二面角P ACB --的平面角，又1PD A A ∥,132,,25BD BP AD a DA PA ∴==∴=3sin 60,DE AD ∴=⋅=又13,5PD AA =35PD a ∴=，tan PD PED DE∴∠==60PED ∴∠=, 二面角P AC B --的大小为60.19. 解：(Ⅰ)2()32f x x ax b '=++，在点()()1,1P f 处的切线()()()111y f f x '-=-即()()()111y f x f f ''=+-，故4y x =+与()()()111y f x f f ''=+-表示同一条直线，()()()11114f f f '=⎧⎪∴⎨'-=⎪⎩，()()1115f f '=⎧⎪∴⎨=⎪⎩即23125a b a b ++=⎧⎨++=⎩，58a b =-⎧∴⎨=⎩，()32581f x x x x =-++. (Ⅱ) 由于()()2()31083420f x x x x x '=-+=--=，则43x =或2x =，所以函数)(x f 的单调区间是[)44,,,2,2,33⎛⎤⎡⎤-∞+∞ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故24,,33k k ⎛⎫⎛⎤+⊆-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦或24,,233k k ⎛⎫⎡⎤+⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或[)2,2,3k k ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭2433k ∴+≤或22343k k ⎧+≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或2k ≥，23k ∴≤或43k =或2k ≥，k ∈[)24,2,33⎛⎤⎧⎫-∞+∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.20. 解：（Ⅰ）设过)0,(a A 与抛物线12+=x y 的相切的直线的斜率是k ，则该切线的方程为：()y k x a =-，由()21y k x a y x ⎧=-⎨=+⎩得()210x kx ka -++= ()2241440k ka k ak ∴∆=-+=--=，12,k k 是方程2440k ak --=的解，故124k k =-（Ⅱ）设()()1122,,,P x y Q x y 由于2y x '=，故切线AP 的方程是：()1112y y x x x -=-，又由于A 点在AP 上，则()1112y x a x -=-则()()21111111222221y x a x x a x x a y -=-=-=--，1122y x a ∴=+，同理2222y x a =+则直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2. （Ⅲ）要使||APQ SPQ ∆最小，就是使得A 到直线PQ 的距离最小，而A 到直线PQ的距离221122d ⎛⎫⎫===≥=即212a =时取等号. 设()()1122,,,P x y Q x y 由2221y xa y x =+⎧⎨=+⎩得2210x xa --=，则12122,1x x a x x +==- ()()()()()()121212112222AQ AP x a x a y y x a x a ax ax ⋅=--+=--+++()()()2222212129143414324332a x x a x x a a a a a a =+++++=-++⋅++=+=. 21. 解：(Ⅰ)由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+122122222522221221n n n n n ----=++++=++++++=+()3n ≥检验知1,2n =时，结论也成立故21nn a =+.① 由于()()()()()()1111112121111112222212121212121n n n n n n n n n n n b +--++++-+⎛⎫⋅=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 21123222n n n T b b b b -=+⋅+⋅++⋅223111111112121212122121n n +⎛⎫=-+-++- ⎪++++++⎝⎭1111111.212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭ ②若n T m >，其中10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则有111121221n m +⎛⎫->⎪++⎝⎭，则132116n m +>--，故23log 11016n m ⎛⎫>-->⎪-⎝⎭，取02233log 111log 11616n m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则当0n n ≥时，n T m >. 即1C 到平面PAC 的距离为12a .。

重庆一中2009年高三2月月考试题数学理科试题2009.2

重庆一中2009年高三2月月考试题数学（理科）2009.2第一部分选择题(共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. M={ x ︱x 2-5 x +4<0},N={ x ︱124x x ++->},则MN= ( )A. { x ︱24x <<}B. { x ︱1 1.5x <<}C. { x ︱12x -<<}D. { x ︱2.54x <<}2. n = ( )A ．1B ．0C ．12D ．不存在 3. 已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线。

下列命题中不正确的是( )A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β 4. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、4、10项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 ( ) A ．3 B ．2 C.13D ．125. 非零不共线向量OA 、OB ，且2OP =x OA +y OB ,若PA =λAB （λ∈R ），则点Q （x,y ）的轨迹方程是 ( )A ．x+y-2=0B ．2x+y-1=0C ．x+2y-2=0D ．2x+y-2=06.⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=)1(2)24()1()(x x ax a x f x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．（1，+∞） B ．[4,8) C ．（4,8）7. 正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为AB 中点，沿CM 、CN 分别将三角形CDM 和△CBN 折起，使 CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P ，设T 为PM 的中点，则异面直线CT 与PN 所成的角为（）A.300B.450C.600D.9008. 如果圆x 2+y 2=k 2至少覆盖函数f(x)=3sinkx π的图象的一个最大值与一个最小值，则k 的取值范围是 ( )A.|k|≥3B.|k|≥2C.|k|≥1D.1≤|k|≤29. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（2，+∞）D ．),2[+∞10. 已知)(2),1(,3)(3x f y m m x x x f =-≠-=可作曲线过点的三条切线，则m 的取值范围是 ( )A ．（－2，3）B ．（－3，－2）C ．（－1，1）D ．（－7，－2）第二部分非选择题(共100分)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 函数22,(1)y x x x =-<的反函数为 .12. 已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC 的外接圆半径R=，且bcosC=(2a-c)cosB ，则b= .13. 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，则tan()αβ+= .14. 设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22[(2)]2logx y z +-=的最小值 . 15. 一组数列如下表第一行1第二行 2 4 第三行 2 3 4 第四行 8 16 32 64 第五行 5 6 7 8 9 第六行 128 256 512 1024 2048 4096…………………现用,i j a 表示第i 行的第j 个数，则2,1n a ＝ .16. 已知函数()f x 是定义域为R 的周期为3的奇函数，且当(0,1.5x ∈时2()ln(1)f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[0,6]上的解的个数是 .三、解答题(本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 17．（本小题满分13分）已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-，a b ⊥.(1)求θ；（2）求f(x)= sin(2)2sin()cos()44x x x ππθ+++-在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.18．（本小题满分13分）如图，已知ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， D 是AC 的中点，∠C 1DC=60°。

重庆一中高三下学期第一次月考(数学理)

秘密★启用前重庆一中高三下期第一次月考数学试题卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.(每小题5分,共50分)1.已知集合11{1,1},{|24,}2xM N x x Z+=-=<<∈,则M N=( )A.{1,1}- B.{0} C.{1}- D.{1,0}-2.已知等差数列{}na,满足211836,24a a a+==,则5a等于( )A.6B.8C.10D.123.下列函数()f x中,满足“对任意12,(0,)x x∈+∞,当12x x<时,都有1()f x>2()f x”的是( )A.1()f xx=B.2()(1)f x x=- C.()xf x e= D.()ln(1)f x x=+4.已知(0,1),)a b x==,向量a与b的夹角为3π,则x的值为( ) A.3±B. C.9± D.35.已知直线l、m、n,平面α、β有以下命题:①若,l m l n⊥⊥且,m nα⊂,则lα⊥;②若//,//m nαα且,m nβ⊂,则//αβ;③若,l lαβ⊥⊥,则//αβ;④若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ. 则正确命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.函数2()sin cos f x x x x =在区间[,]42ππ上的最大值是( )A.1B.12C.1D.327.已知()y f x =为奇函数,当(0,2)x ∈时,1()ln ()2f x x ax a =-≥,当(2,0)x ∈- 时,()f x 的最小值为1,则a 的值等于( )A.12B.1C.32 D.28.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F,右准线为l ,A 、B 是椭圆上两点,且|AF|:|BF|＝3:2.直线AB 与l 交于点C,则B 分有向线段AC所成的比为( )A.12B.2C.23D.329.已知函数2()(1)([0,1])f x m x n x =--∈的反函数为1()fx -,且m 为函数()ln g x x =与函数21(1)(1)()243(1)x x h x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩的交点个数,lim x n →-∞=,则函数12[()]y f x -=的值域是( )A.[0,1]B.[1,1C.1D. 10.对于各数互不相等的正数数组(12,,...,n i i i )(n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p qi i <,则称“pi 与q i”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1234(,,,a a a a ,5)a 的“顺序数”是4,则54321(,,,,)a a a a a 的“顺序数”是( )A.7B.6C.5D.4二.填空题.(每小题5分,共25分)11.复数311i i --的虚部是 .12.Rt △ABC 的三个顶点都在半径为13的球面上,若球心为O,Rt △ABC 两直角边的长分别为5和12,则三棱锥O —ABC 的体积为 .13.6个人站成一排,其中甲乙不相邻且均不在两端的排法有种(用数字作答). 14.已知实数,x y 满足222log (23)1log log x y x y ++=++,则xy 的最小值是 .15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线24y cx =于点P,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为 .三.解答题.(共75分)16.(13分)已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c .且222()tan b c a A +-=. (1)求角A 的大小;(2)求sin(10)[110)]A A +︒⋅-︒的值.17.(13分)上海世博会开幕之前,某调查公司调查了重庆市某单位3位员工参观世博会意愿及消费习惯,并得到结论如右表所示. (1)求这3位员工中至少有2位员工参观世博会的概率;(2)记这3位员工参观世博会消费总金额为随机变量ξ(元),求ξ的分布列及数学期望.18.(13分)已知函数32()ln(1)()f x ax x x a R =-++∈,在1x =处的切线与直线3250x y -+=平行.(1)当[0,)x ∈+∞时,求()f x 的最小值;(2)求证:33331231...ln(1)234n n n -++++<+(2n ≥且n N ∈).19.(12分)已知正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中AA1=2AB,E 、F 、M 分别为CC1、BC 、A1D1中点.(1)求证:AE//面BC1M; (2)求二面角F —ED —A 的余弦值.20.(12分)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于A 、B 两点.O 为坐标原点.(1)过点A 作抛物线的切线交y 轴于点C,求线段AC 中点M 的轨迹方程;(2)若1l 倾斜角为30°,则在抛物线准线2l上是否存在点E,使得△ABE 为正三角形,若存在,求出E 点坐标,若不存在,说明理由.21.(12分)对于数列{}n x 满足1(2)x a a =>,21(1,2,...)2(1)nn n x x n x +==-.(1)求证:12(1,2,3,...)n n x x n +<<=;D(2)若3a ≤,{}n x 前n 项和为n S ,求证:2(1,2,...)2n aS n n <+=重庆一中高三下期第一次月考数学试题答案（理科）二.填空题.(每小题5分,共25分)11. 1- 12. 13. 144 14. 92 15.三.解答题.(共75分)16.解:(1)由已知:2cos tan 2sin bc A A bc A ⋅==∴sin 2A =∴锐角△ABC ∴3A π=(2)原式=sin 70(150)sin 70︒⋅-︒==2cos(5060)2cos110sin 70sin 70cos50cos50︒+︒︒︒︒⋅=︒︒=2sin 20cos 20sin 401cos50sin 40-︒︒-︒==-︒︒17.解:记“员工1, 2, 3参加世博会”分别为事件A,B,C 则:(1)1()()()()P P A B C P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2221221221212()(1)(1)(1)()32332332323=⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅+⋅= (2)ξ可能取0, 3000, 4000, 6000, 7000, 10000E ξ=600018.解:(1)由已知21()321f x ax x x '=-++同时13(1)3222l f a k '=-+== ∴1a =∴3232213(1)()ln(1),()32011x x f x x x x f x x x x x +-'=-++=-+=>++∴()f x 在[0,)+∞上↑ ∴min [()](0)0f x f ==(2)令1x n =. 则:1()0f n > ∴32111ln(1)0n n n -++>即:311ln(1)n nn -<+ ∴331121ln(1),ln(1)......2233<+<+∴333121111...ln(1)ln(1)...ln(1)2323n n n -+++<+++++ 3411ln(...)ln ln(1)232n n n n ++=⋅=<+∴不等式成立.19.法一:(1)证:E,F 为CC1,BC 中点⇒EF//BC1⇒EF//面BC1M F,M 为BC, A1D1中点⇒AF//C1M ⇒AF//面BC1M ⇒面AEF//面BC1M ⇒AE//面BC1M(2)分别取AE,ED 中点O,O′.连结FO, CO′,OO′则OO′1//2=AD //=FC ∴平行四边形FCO′O ∴FO//CO′∵EC=CE ∴CO′⊥ED⇒CO′⊥面AEDAD ⊥面CD D1C1⇒AD ⊥CO′ ⇒FO ⊥面AED∵OO′⊥ED. 连结O′F. 则O′F ⊥ED ∴∠OO′F 为二面角F —ED —A 平面角, 不妨设AB=1 AA′=2在Rt △FOO′中,OO′=12AD=12, AF=AE=,∴FO=2∴tan ∠OO′F=FOOO =' ∠OO′F=∴二面角为法二:建立如图坐标系,不妨设AA1=2AB=4.则AE=(2,2,2)(1)设平面BC1M 的法向量为a,则:110(2,1,1)0BC a a C M a ⎧⋅=⎪⇒=--⎨⋅=⎪⎩∵0AE a ⋅= ∴AE a ⊥ ∴AE//面BC1M(2)同理,可解得面ADE 的法向量(0,1,1)b =-面FED 的法向量(2,1,1)c =--∴cos(,)||||c d c a c d ⋅===显然二面角F —ED —A 为锐二面角∴二面角F —ED —A 为.D20.(1)设211(,)2x A x p ,A 点处切线斜率11()x k f x p '== ∴直线方程为:2111()2x x y x x p p -=- 令2102x x y p =⇒=- 即21(0,)2x c p - ∴AC 中点(,)M x y 满足02A Cy y y +==又∵A,B 为l 与抛物线交点 ∴10x ≠ ∴102M x x =≠∴M 点轨迹方程为0(0)y x =≠ (2)假设存在符合题意的点E.由已知1:2p l y x -= 联立抛物线方程有:22)2px p x =+∴220x px p =-=∴12x x ==故3(,),,)62p A p B p ∵△ABE 为正△∴3AE k =-∴AE:)6p y x p -=即6p y x =- 准线2:2p l y =-∴()2pE -欲使△ABE 为正△,则BE k 不存在. 即B E x x =不符合∴不存在符合条件的点E.21.(数学归纳法)先证:2n x >.∵当1n =时,12x a =>成立假设n k =时,2k x >.则:221[(1)1]12(1)21k k k k k x x x x x +-+==⋅--111[(1)2]42212k k x x =-++>⨯=-∴2n x >又:21(2)2(1)2(1)n n n n n n n n x x x x x x x x +--=-=<-- ∴1nn x x +> 综上知:12n n x x +<<(2)221(2)222(2)2(1)2(1)2(1)n n n n n n n n x x x x x x x x +---=-==⋅----∵123n x x <≤≤ ∴211111[1](1)2(1)21224n n n x x x -=-≤⋅-=-- ∴112(2)4n n x x +-≤- ∴111112()(2)()(2)44n n n x x a ---≤⋅-=⋅-∴1111142(2)()(2)(2)(2)14314nni n i i i S n x a a a -==-=-≤⋅-<-⋅=--∑∑ ∵4516(2)0326a a a ---=< ∴4(2)32aa -<∴22n a S n -<即 22n aS n <+。

重庆市第一中学高三下学期第二次月考(5月)数学(理)试题

重庆市第一中学高三下学期第二次月考（5月）试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}44|{≤≤-=x x A ，}032|{2>-+=x x x B ，则=B A （）A ．)1,3(-B ．)3,1(-C ．]4,1()3,4[ --D ．]4,3()1,4[ -- 2．已知i 为虚数单位，则复数ii+-12对应复平面上的点在第（）象限 A ．一 B ．二 C ．第三 D ．四 3．已知平面向量2||||==b a ，且b b a ⊥+)2(，则向量b a ,的夹角为（） A ．65π B ．32π C ．3π D ．6π 4．已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若305=S ，则=+42a a （） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 5．若将函数x x f 2cos 21)(=的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（） A ．)0,12(π B ．)0,6(π C ．)0,3(π D ．)0,2(π6．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．5B ．213 C ．7 D ．2157．已知9.14.04.0,9.1log ,9.1===c b a ，则（）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．在ABC ∆中，点D 为边BC 的中点，点E 为AC 上任意一点，则ABC ∆的面积不大于CDE ∆的面积的6倍的概率为（） A.61 B.31 C. 32 D. 65 9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式函数++=--11)(n n n n x a x a x f 01a x a ++写为=+++++=++++=------01231201211))(()()(a x a a x a x a a a x a x a x f n n n n n n n n 0121)))(((a x a x a x a x a n n n +++++=-- ，即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值.若输入1,4,6,4,143210=====a a a a a 及0x ，运行程序可以输出16，则0x 的值为（）A ．3-B ．1或3-C ．1D ．2或2-11．如图，F 为抛物线y x 22=的焦点，直线3+=kx y （0>k ）与抛物线相交于B A ,两点，若四边形AOFB 的面积为7，则=k （）A ．21 B ．23 C ．3029 D ．2143 12．已知关于x 的方程为)3(12)3(2222--=--x m e ex x x（其中R m ∈），则此方程实根的个数为（） A ．2 B ．2或3 C ．3 D ．3或4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则离心率为 .14．已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤+-≥+-0401202y x y x y x ，则y x z 23-=的最小值为 .15．高三即将毕业之际，5名学生邀请两位老师站成一排合影留念，则两位老师不相邻且都不站在两端的方法种数为 .16．已知n S 为正项数列}{n a 的前n 项和，)(12+∈+=N n a a S nn n ，记数列}{2n S 的前n 项和为n T ，则nT n 55+的最小值为 . 三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)cos ,(A a m =，)cos ,3(C c b n -=，且满足n m //.（1）求A cos 的值；（2）若边BC 上的高为22，且ABC ∆的面积为2，求c b +.18．如图，边长为3的正方形ABCD 所在的平面与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB AE ⊥，设AN AB MD EM 3,2==.（1）求证：//MN 平面BEC ；（2）求二面角B MC E --的余弦值.19．随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查了50个人，并把调查结果制成下表：（1）把年龄在)45,15[称为中青年，年龄在)75,45[称为中老年，请根据上表完成22⨯列联表，是否有%95以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？（2）若分别从年龄在)25,15[、)65,55[的被调查者中各随机选取2人进行调查，记选中的4人中使用手机支付的人数记为ξ，求ξE .附：可能用到的公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=)(2m K P ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 m2.7063.8415.0246.6357.87920．已知过椭圆C ：14222=+b y x 的右焦点F 作直线l 与圆O ：)0(22>=+r r y x 相切于点M ，1||=FM ，椭圆C 上的点与圆O 上的点的最小距离为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点F 的直线与椭圆C 交于Q P ,两点，若点)0,2(-不在以PQ 为直径的圆的内部，求OPQ ∆的面积的取值范围.21．已知函数1)1(43ln )221()(22++-+-=x a x x x x x f . （1）若)(x f 在),1(+∞为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当11<<-a 时，函数)(x f 在),1(+∞上的最小值为)(a g ，求)(a g 的值域.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==t m y tx （t 为参数，R m ∈），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)0(cos 23322πθθρ≤≤-=.（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为22，求m 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|3|||2)(-+=x x x f .（1）求不等式34)(+->x x f 的解集A ；（2）设A c b a ∈,,，集合}6)(|{≥∈=x f A x B 中的最小元素为p ，若p abc =，求证：)111(33cb a pc b a ++≤++.参考答案一、选择题：题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项CDBDACCCABAC二、填空题：13．5 14．7- 15．1440 16．1511 三、解答题：17．解：（1）n m //A c b C a cos )3(cos -=⇒A CBC A cos )sin sin 3(cos sin -=⇒即A B C A C A cos sin 3sin cos cos sin =+，即A B C A cos sin 3)sin(=+ 所以A B B cos sin 2sin =所以31cos =A . （2）由31cos =A 322sin =⇒A 由122221=⇒=⋅=∆a a S ABC 再由32sin 21=⇒==∆bc A bc S ABC 由余弦定理：3121222⋅-+=bc c b 即338)(12=+⇒-+=c b bc c b . 因为3=+c b ，3=bc ，所以事实上上述数据无法构成三角形，故无解.18．解：（1）证明：过M 作DC MF //交CE 于F ，连接MF ，BF ，因为DC MF //，MD EM 2=，所以MFDC 32又AN AB 3=，所以NBDC 32，故MF NB所以四边形NBFM 为平行四边形，故BF MN //而⊂BF 平面BEC ，⊄MN 平面BEC ，所以//MN 平面BEC .（2）以A 为原点，AD AB AE ,,为z y x ,,轴正方向，建立空间直角坐标系，则)2,0,1(),3,3,0(),0,3,0(),0,0,3(M C B E ，故)1,3,1(-=MC ，)3,3,3(-=EC ，设平面EMC 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎨⎧=++-03z y x ⇒平面EMC 的一个法向量为)1,0,1(=n ，又)1,3,1(-=MC ，)3,0,0(=BC ，设平面BMC 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎩⎨⎧==++-03z z y x ⇒平面BMC 的一个法向量为)0,1,3(=m ，故10531023||||cos =⨯=⋅=m n m n θ，从而求二面角B MC E --的余弦值为1053.19．（1）22⨯列联表如图所示841.3463.323180011731650112743020)824(1005022283020)1081220(50222<≈=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K没有%95以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联. （2）ξ的取值为0，1，2，3，4则有109)0(25232523=⋅==C C C C P ξ，100362)1(2523251312=⨯⋅==C C C C C P ξ， 100422)2(25131225131225232522=⋅+⨯⋅==C C C C C C C C C C P ξ，100122)3(2522251312=⨯⋅==C C C C C P ξ，1001)4(25222522=⋅==C C C C P ξ 从而ξ的分布列为故581001412342236190=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .20．解：（1）11||22=-⇒=r c FM 又12-=-r b ，解之得2,2,1===c b r则椭圆C 的方程为12422=+y x （2）①若PQ 的斜率不存在时，则可知PQ ：2=x ，由对称性，不妨设)1,2(),1,2(-Q P ，此时2||=PQ ，2=∆OPQ S②若PQ 的斜率存在时，则可设直线PQ 为)2(-=x k y ，设),(),,(2211y x Q y x P联立椭圆C 的方程12422=+y x 可得04424)21(2222=-+-+k x k x k 则0)1(162>+=∆k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2221222121442124k k x x k k x x （*）又点)0,2(1-F 不在以PQ 为直径的圆的内部0)2)(2(0212111≥+++⇔≥⋅⇔y y x x Q F P F ，即0)1(2))(1(2)1(2212212≥+++-++k x x k x x k ，将（*）代入上式，化简整理得712≥k 12)1(412141||1||222222++=++⋅+=∆⋅+=k k k k k a k PQ 又点O 到PQ 的距离21|2|kk d +=)2,98[)12(414122)12()1(22||21222222∈+-=++=⋅=∆k k k k d PQ S POQ综上，)2,98[∈∆POQ S .21．解：（1）a x x x a x x x x f ≥-+-⇒≥--+-=32ln )2(032ln )2()('在),1(+∞上恒成立，设)(033ln )('32ln )2()(x F xx x x F x x x x F ⇒>-+=⇒-+-=在),1(+∞为增函数；1-≤a （2）023ln )(''032ln )2()('>-+=⇒≥--+-=x x x x f a x x x x f ，可得32ln )2()('--+-=a x x x x f 在),1(+∞上是增函数，又01)1('<--=a f ，01)2('>+-=a f ，则存在唯一实数)2,1(∈m ，使得0)('=m f 即032ln )2(=--+-a m m m则有)(0)('),1[x f x f m x ⇒<⇒∈在],1(m 上递减；)(0)('),[x f x f m x ⇒>⇒+∞∈在),[+∞m 上递增；故当m x =时，)(x f 有最小值1)1(43ln )221()(22++-+-=m a m m m m m f 则)(x f 的最小值1)1(43ln )221()(22++-+-=m a m m m m a g ，又32ln )2(-+-=m m m a ，令)2,1(,32ln )2()(∈-+-=m m m m m a ，求导得023ln )('>-+=m m m a ，故)(m a 在)2,1(∈m 上递增，而1)2(,1)1(=-=a a ，故)1,1(-∈a 可等价转化为)2,1(∈m故求)(x f 的最小值)(a g 的值域，可转化为：求1245ln 21)(22++--=m m m m m h 在)2,1(∈m 上的值域. 易得1245ln 21)(22++--=m m m m m h 在)2,1(上为减函数，则其值域为)47,2ln 2(-. 22．解：（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为0=+-m y x ，由曲线2C 的极坐标方程得],0[,3cos 23222πθθρρ∈=-，∴曲线2C 的直角坐标方程为)10(1322≤≤=+y y x . （2）设曲线2C 上任意一点P 为],0[),sin ,cos 3(πααα∈，则点P 到曲线1C 的距离为2|)6cos(2|2|sin cos 3|m m d ++=+-=πααα ∵],0[πα∈，∴]23,1[)6cos(-∈+πα，]3,2[)6cos(2-∈+πα，当03<+m 时，43-=+m ，即34--=m ；当02>-m 时，42=-m ，即6=m ，∴34--=m 或6=m .23．解：（1）原不等式等价于34|3|||2+->-+x x x ，当0<x 时，3433+->+-x x ，解得∅∈x ；当30≤≤x 时，343+->+x x ，解得]3,0(∈x ；当3>x时，3433+->-x x ，解得),3(+∞∈x .综上解集),0(+∞=A .（2）),3[}6)(|{+∞=≥∈=x f A x B ，故3=abc ，且0,,>c b a ，则待证不等式等价于 )(3333c b a cb a ++≥++（*）又c c abc ca bc ba 32233=⋅≥+=+，同理，a cb 3233≥+，b ac 3233≥+，三式累加得（*）式.。

【数学】重庆一中2009届高三上学期12月月考试题(数学理)

2008年重庆一中高2009级月考考试数学（理科）试题卷 2008.12.数学试题共3页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题：每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N =（）A.{}1>x x B.{}11<<-x x C.{}1<x x D.∅2. 已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（） A. 2211aba b < B.22a b ab < C. 22a b < D.baa b < 3. “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 5．若数列{a n }是公比的绝对值小于1的无穷等比数列，且a 1+a 2+a 3=78，a 1 · a 2 · a 3=164，则此数列所有项之和为（）A ．12 B ．12- C ．18D ．1 6．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1BC ．2D ．47. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e8．已知2222221,2,2a b b c c a +=+=+=，则ab bc ac ++的最小值是（）A.12--C.12-D. 9. 已知函数(21)y f x =+是定义在R 上的奇函数，()y g x =是()y f x =的反函数，则()()g x g x +-的值为（）A ．2B ．0C ．1-D ．不能确定10. 设集合{(,)|02,02}A x y x y =≤≤≤≤与集合{(,)|10,2,4}B x y x y y x =≤≥≤-是直角坐标平面上xOy 上的点集，则集合12121122{(,)|(,),(,)}22x x y y C x y A x y B ++=∈∈所成图形的面积是（） A.6 B.7 C.8 D.9二．本大题共4小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷相应的横线上.11.不等式(311)(sin 2)0x x --->的解集是．12．把直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后所得的直线方程为 .13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．14. 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为 .15.函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中,0m n >，则21m n+的最小值为 .16.若直线20kx y --=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 .三．解答题：本大题共6小题，共74分。

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重庆一中高2009级高三下期5月月考数学（理科）试题卷 2009.5第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题 10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2．我市某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生 1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（）A ．180B ．240C ．480D ．720 3．曲线sin 2(0,0)y M x N M N ω=+>>在区间[0,]πω上截直线4y =与2y =-所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是（） A ．1,3N M => B ．1,3N M =≤ C ．32,2N M => D ．32,2N M =≤ 4．已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是（）5．下列四个条件中，p 是q 的必要不充．．．．分．条件的是（） A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22abq > C ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < D ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x++> 6．设),4,3,2( =n a n 是nx )3(-的展开式中x 的一次项的系数，则239239333a a a +++ 的值是（） A ．17B ．16C ．15D ．1527．设A B 、两地位于北纬α的纬线上，且两地的经度差为90︒，若地球的半径为R 千米，且时速为20千米的轮船从A 地到B 地最少需要60Rπ小时，则α为（）D .()f x 的图象 A .(1)f x -的图象 B .()f x -的图象 C .()f x 的图象A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 8．已知圆22:8O x y +=，点(2,0)A ，动点M 在圆上，则OMA ∠的最大值为（）A ．4πB ．6π C ．3π D ．3arccos 49．已知)(x f 为定义在(3,3)-上的可导奇函数．．．．．,且)()(x f x f '<（其中()f x '是)(x f 的导函数）对于(3,3)x ∈-恒成立,则()0f x >的解集为（）A.(1,3)B.(0,3)C.(3,1)--D. (3,0)- 10．抛物线22(0)y px p =>过焦点的弦AB ，过该弦端点,A B 的两条切线的交点为Q ，则ABQ ∆的面积的最小值为（）A ．22p B ．24p C ．22p D ．2p第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。

11．在等比数列{}n a 中，且2461a a a ⋅⋅=，则35a a =___________。

12．已知函数2,0()1,0ab x f x x x x x x ⎧+>⎪=+⎨⎪+≤⎩在R 上连续，则a b -=_________________。

13．三棱锥P ABC -中，⊥PA 平面ABC ，2,90===︒=∠AP AC AB BAC ，D 为AB中点，E 为BC 中点，则点D 到直线PE 的距离等于________________。

14．在同一平面内，已知(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，且0OA OB ⋅=。

若(cos ,3sin ),(cos ,3sin )OA OB ααββ''==，则A OB ''∆的面积等于________________。

15．有机化学中一烷烃起始物的分子结构式是,将其中的所有氢原子用甲基取代得到：,再将其中的12个氢原子全部用甲基代换,如此循环以至无穷,球形烷烃分子由小到大成一系列,则在这个系列中,由小到大第n 个分子中含有的碳原子的个数是____________________。

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。

16．（13分）在ABC ∆中，已知1AB AC ⋅=，2AB BC ⋅=-。

（1）求AB ；（2）求证：tan 2tan A B =。

17．（13分）设点(,)a b 是区域6000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机整．点．（整点是指横、纵坐标都为整数的点）。

（1）已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率；（2）设区域6000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机整点(,)a b 的横、纵坐标之和构成随机变量ξ，求ξ的分布列与期望。

18．（13分）如图，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1,2AB AD ==，60,1,ADC AF ∠==M 是线段 EF 的中点。

（1）求证：AC BF ⊥；（2）求二面角A FD B --的大小；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照M E C →→的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥 P BFD -的体积的最小值。

19．（12分）若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线l y kx b =+：为()f x 和()g x 的“分界直线”，已知2(),()2ln h x x x e x ψ==（其中e 为自然对数的底数）。

（1）求()()()F x h x x ψ=-的极值；（2）函数()h x 和()x ψ是否存在分界直线？若存在，求出此分界直线方程；若不存在，请说明理由。

20．（12分）已知圆22:8O x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线:l 4x =-为准线的椭圆。

（1）求椭圆的标准方程；（2）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于,P Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（3）如图所示，在（2）的条件下，若直线PQ 与椭圆C 交于,G H 两点。

试问在x 轴上是否存在定点(,0)D n ，使GD HD ⋅恒为定值λ？若存在，求出点D 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。

21．（12分）设数列*1221{}1,221()n n n n a a a a a a n n N ++= ==+-+∈满足，。

（1）求证：12n n n a a n ++=+；（2）设()ln f x x = ，求证：11()()1()2n n n n n f a f a a a ++->-。

重庆一中高2009级高三下期5月月考考试数学（理科）试题参考答案1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D11. 1 12. 2 13.630 14. 32 15. 1231n -⋅-16．解：（1）∵BC AC AB =-，∴2()||2AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=-=⋅-=-，∵1AB AC ⋅=，∴2||3AB =, ||3AB =即AB （2）由1,2AB AC AB BC ⋅=⋅=-，得||||cos 1AB AC A ⋅=…………① ||||cos()2AB BC B π⋅-=-，即||||cos 2AB BC B ⋅=…………②由①②得||cos 1cos 2||AC A B BC ⋅=，由正弦定理||sin sin ||AC BA BC =，∴sin cos tan 1sin cos tan 2B A B A B A ⋅==，即证。

17．解：（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2ab x =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当0a >且a b ab≤≤2,12即。

依条件可知试验的全部结果为60(,)0,0,a b a b a a Z b b Z ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪>∈⎩⎩⎭，即(1,1),(1,2),,(1,5);(2,1),(2,2),,(2,4);(3,1),(3,2),(3,3);(4,1),(4,2);(5,1)共15个整点。

所求事件为800,(,)0,20a b a a Z a b b b Z a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>∈⎪⎪⎪⎨⎨⎬>∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭，即(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1)共5个整点，∴所求事件的概率为13P =。

（2）随机变量ξ的取值有：2，3，4，5，6。

ξ的随机分布列为：随机变量ξ的期望345142345615151515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

18．解法一：（1）易求AC =2BAC ACD π∠=∠=，由三垂线定理知：AC BF ⊥。

（2）法一：易求BD BF DF ==由勾股定理知090BFD ∠=，设点A 在面BFD 内的射影为O，过A 作AG DF ⊥于G ，连结DO ，则AGO ∠为二面角A FD B --的平面角。

在ADF ∆中由面积法易求AG =，由体积法求得点A 到面BFD 的距离是 AO =，所以sin AGO ∠=，所以求二面角A FD B --的大小为。

法二：易求BDBF DF ==由勾股定理知090BFD ∠=，过A 作AG DF ⊥于G ，又过G 作//GHBF 交BD 于H ，连结AH 。

则易证AGH ∠为二面角A FD B --的平面角。

在ADF ∆中由面积法易求AG =，从而DG =于是45DG DF =，所以 15GH BH BD ===在BAD ∆中由余弦定理求得cos ABD ∠=。

再在BAH ∆中由余弦定理求得21225AH =。

最后在AGH ∆中由余弦定理求得cos AGH ∠=，所以求二面角A FD B --的大小为（3）设AC 与BD 交于O ，则OF//CM ，所以CM//平面FBD ，当P 点在M 或C 时，三棱锥P —BFD 的体积的最小。