PU9平面向量2

平面向量
向量的基本定理 向量的坐标运算
一,平面向量基本定理(向量的分解) 平面向量基本定理(向量的分解)
平面内的任一向量能否用两个不共 线的向量来表示? 线的向量来表示?
r r 如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,
新疆 王新敞
奎屯
那么对于这一个平面内的任一向量 r r r r a, 有且只有一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1 + λ2e2
rr r a, e1, e2唯一确定的数量
uuur
F
2
ur F
uuur
r 设 , e2 r 的向量, 的向量,a
r e1
F
是同一平面内的两个不共线 是这一平面内的任一向量, 是这一平面内的任一向量,
1
uuuu r r OM = λ1e1
uuur r ON = λ2 e2
r r r a = λ1 e1 + λ 2 e 2
平面向量的坐标运算
一,向量坐标的定义
如图,在直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向 r r 相同的两个单位向量 i, j作为基底.
r 任 一 向 a, 平 向 基 定 知 作 个 量 由 面 量 本 理 , r r r 有 只 一 实 x y 使 a = xi + yj. 且 有 对 数,, 得
r 则 ( x, y) 叫 向 a的 标 把 做 量 坐 , r 记 : = ( x, y) 作 a
r λ1e1 r e1
M
r a
r e2
A
r e1
r e2
O
一组基底
r λ2 e2
N
平面向量基本定理(向量的分解) 平面向量基本定理(向量的分解)
r r r a = λ1e1 + λ2e2
(1)一组平面向量的基底可有无数对; 一组平面向量的基底可有无数对; (2)若基底选取不同,则表示同一向量的实 若基底选取不同, 若基底选取不同 数
3)若A = ( x1 , y1 ), B = ( x2 , y2 )
则 AB = ( x2 x1 , y2 y1 )
uuu r 1 uuuu r 例 )若 = (3, 2), = (5, 1 M = M , (1 M N ), P N 2 求 点 标 P 坐 .
解 : 设 P的 坐 标 为 ( x , y )
r r r r r r o C 练习,若 | a |= 9, | b |= 3, < a , b >= 60 , 则a b = ____________ . 27 27 27 27 A) 3 B) 3 C) D) 2 2 2 2
两向量平行的条件
r v r 设向量a = (a1 , a 2 ), b = (b1 , b2 ) ≠ 0 r r 则a // b (a1 , a 2 ) = λ (b1 , b2 )
λ2
=0
uu r
uu r
例1 已知向量 解:
e
1
,e2 C
r r ,求作向量 2.5e1 + 3e2 .
uu r
B
uu r 3e 2
e
2
uu r
A
2.5e1
uu r
O
e
1
D 练习. 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB=2DC,M,N分别是 DC,AB的中点. A
M
C
N
B
uuu uuur r 以 A B , A D 作为一组基底, uuur uuur uuuuu r 将 B C , D C , M N 用这组基底表示出来.
a1 = λb1 即: a 2 = λb2
a1 a 2 a1b2 a 2 b1 = 0或 = b1 b2
r r 例1.若a = (1, x), b = (x,2)共线且方向相同,求x
r r r r 例2.若a = (2,3), b = (4, 1+ y),a / /b, 则y = ______ 7
r r r b = x2 i + y2 j ,
例,已知向量 a=(1,-2),b=(-2,-3)和c=(2,4),求(a b) c. (8,16)
5),两个非零向量的夹角公式
r r 设向量a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) r r r r a b x1 x2 + y1 y2 r = 则 cos < a , b >= r 2 2 2 2 | a || b | x1 + y1 x2 + y2
r r r r 例:已知 a = ( 3 ,1), b = ( 3 ,1),试求 a 与 b 的夹角.
r r 解: < a , b >= cos
( 3)
( ) 3 3 +1 +1
2
2
( 3 )
2
+1
Байду номын сангаас1 = 2
r r ∴< a , b >= 120 o
r 例 ( 3) 已 知 a = ( 1, 2 + r r 求 a与 b的 夹 角 θ .
则:
r r r 证明: a = x1 i + y1 j Q
2
a b = x1 x 2 + y1 y 2
r2 = x1 x2 i + x1 y2 i j + x2 y1 i j + y1 y2 j
= x1 x2 + y1 y2
1 0 0 1
r r r r r r ∴ ar b = ( x1 ir r1 j ) ( x2r + y2 j ) +y i r
1 1 则 ( x 3, y + 2) = ( 8,1) = ( 4, ) 2 2 3 ∴P(1 ) , 2
例,已知向量 a=(0,0),b=(-1,2)和c=(1,3),试用基底a,b表示 向量c. 解:设 c=λa+b,其中λ,
∈R
5 2 解得:λ = , = 3 3
∴λ(1,1) + (1,2) = (1,3)
r v r r v r 例2,已知a,b 都是非零向量,且(a + 3b )与(7 a 5b )垂直, r v r r v r (a 4b )与(7 a 2b )垂直,求向量a,b 的夹角.
r r2 v r r r2 r v (a + 3b ) (7 a 5b ) = 0 7 a + 16a b 15b = 0 r r2 r v r r v r 2 (a 4b ) (7 a 2b ) = 0 7 a 30a b + 8b = 0 r r r v 1 r 2 代入得:a |=| b | | a b = b 2 r v r v a b 1 ∴ cos < a , b >= r v = | a || b | 2
λ1
, λ2 是否相同? 可以不同,也可以相同) 是否相同? 可以不同,也可以相同) ( a = 0 ,则有且只有 :λ = 1
(3)特别的,若 特别的, 特别的
r r r 0 = 0×e1 + 0×e2 r r (4)特别的,若 a 与 e1 共线,则有, = 0 特别的, 共线,则有, 特别的 λ 2 r r r 使得: r 使得 a = λ e + 0×e = λ e 1 1 2 1 1
r r 注:i , j 叫做坐标平面内的一组基底; r r r r a = xi + yj 叫做i 与j 的一个线性组合.
注意:
r 1) a相 的 量 坐 也 ( x, y) 与 等 向 的 标 为
r r r 2) 特 别 的 : i = (1, 0 ), j = ( 0 , 1), = ( 0 , 0 ) 0
5 2 ∴c = a + b 3 3
练习1,已知点P(3,2)是联结两点A(2,y)和B(x,6)的线段 AB的中点,则 x=_________,y=__________. 4 2 解:由线段中点的坐标公式:
2 + x 2 =3 x = 4, y = 2 y+6 = 2 2
练习2,若x轴上一点P到点A(1,3)的距离等于到点B(5,2)的 距离,则P点的坐标是__________. 19
r r 例 (2 ) 已 知 a = (2 , 3), b = ( 2 , 4 ), r r r r 则 ( a + b) a b) = _ _ _ _ _ _ _ _ . (
r r r r 法 : b = (0, 7), a b = (4, 1 一 a+ ) r r r r ∴ a + b ( b = 0× 4 + 7× (1 = 7. ) ( )a )
r 3 ), b = (1,1),
r r 1)a b =1+ 3, r r 2)| a | | b |= 2 4 + 2 3 = 2(1+ 3), r r ab 1 o o o 3)cosθ = r r = ,Q0 ≤θ ≤180 ,∴θ = 60 . | a | | b | 2
r r r r D 练习,若向量a = (2 3 ,6), b = (3,- 3 ), 则 < a , b >= ____________ A)30o B)45o C)60 o D)90 o
AB ⊥ CD 1 (4) + 2 y = 0 ∴y =2
例1,已知向量a=(3,-4),向量b//a 且|b|=2,求向量b的坐标.
r v v r Q b // a ,∴ λ , 使得b = λa v ∴ b = λ (3,4) v 2 2 2 ∴| b |= 9λ + 16λ = 2 λ = ± 5 v 6 8 6 8 ∴ b = ( , )or ( , ) 5 5 5 5
2. 如图,已知梯形ABCD, AB//CD,且AB= 2DC,M,N分 别是DC,AB的中点.