5.5确定二次函数的表达式
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
《确定二次函数的表达式》(优秀教案)
4.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考的能力、勇于创新的精神，以及良好的学习习惯。
重点
难点
1.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
2.灵活选用三种表达形式来确定二次函数的表达式，解决实际问题。
关键
问题
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学生能够在小组内畅所欲言，进行有序有效的交流，并在同伴交流时认真倾听，做好记录；
3.学科长组织组员围绕任务目标热烈讨论，及时进行修改，统一认识，做好展示准备
展示交流
规范评价
15---20
min
创设展示交流情境
1.每个小组上台，按问题顺序进行展示交流，解决问题；
2.要求学生规范上台讲解展示的语言，强调生生互动，激发学生质疑的热情；
《确定二次函数的表达式》课堂学习过程设计
上课
年级
九年级
学科：数学
主题
确定二次函数的表达式
指导教师
学生主持
第几
课时
1
课型
问题综合解决评价课
学习日期
学习
目标
知识技能：
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
过程方法：
3.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
1.学生主持呈现学习目标，学生展读学习目标；
2.学生主持呈现学生生成问题；
3.希望学生能积极进入状态，准备讨论问题。
自主学习
合作讨论
8---12
min
创设讨论
学习情境
1.教师巡回检查指导；
二次函数的几种表达式
x O B
?
感悟与反思:
我感触最深的是……
我感到最困难的是…… 我已领悟到……
谢谢指导!
方法1
x
方法2
y
O
方法3
x
二次函数的几种表达式：
①、 y ax (a 0)
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a( x h) (a 0)
②、 y
④、 y ⑤、 y
2
o
x
a( x h) k (a 0)
2
(顶点式) (一般式)
ax bx c(a 0)
b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点
b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
用心练一练!
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
学以致用：
1﹑有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直 1 角坐标系后，抛物线的解析式为 y＝－ 75 x2－1。 （1）求拱顶离桥面的高度。 （2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。
y
o
x
A
B
学以致用：
2﹑某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷 出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图 建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米， 离地面 40 米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少 3 米？
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ C ） A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
05二次函数三种表达式
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【例题与讲解】1.用一般式确定二次函数的表达式1.1已知二次函数图像经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2），则该二次函数的表达式为 。
1.2如图，平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2，经过点A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点。
（1）求抛物线c bx ax y ++=2的表达式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值。
1.3已知二次函数的图像经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x 轴交于A ，B 两点。
（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P （﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．2.用顶点式确定二次函数的表达式2.1已知抛物线c bx ax y ++=2的图像的顶点为（-2，3），且过点（-1，5），则抛物线的表达式为 。
2.2已知 A(1，0)，B(0，-1)，C(-1；，2)，D(2，-1)，E(4，2)五个点，抛物线，经过其中三个点.(1)求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线上；(2)点A 在抛物线上吗？为什么？(3)求a 和k 的值。
3.用交点式确定二次函数的表达式已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于两点A （1，0），B （3，0）与y 轴相交于点C （0，3），（l ）求抛物线的函数关系式；（2）若点D （4，m ）是抛物线上一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．【课内练习】1.利用平移确定二次函数的表达式已知函数c bx x y ++=2的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图像的表达式为322--=x x y （1）b= ，c= ； （2）求原函数图象的顶点坐标； （3）求两个图象顶点之间的距离。
二次函数求线段最值问题
二次函数求线段最值问题二次函数是高中数学的一个重要内容，本文将会详细介绍二次函数以及如何利用二次函数解决线段最值问题。
一、二次函数的基本概念1.二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向（是向上开口还是向下开口），b决定了二次函数的对称轴，c是二次函数的纵坐标系原点和曲线的纵坐标的距离。
2.二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以画出二次函数的图像。
当a大于0时，二次函数开口向上；当a小于0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴，对称轴的方程是x=-b/2a。
3.二次函数的最值针对二次函数，我们通常关心的是它的最值问题，也就是函数的峰值和谷值。
对于开口向上的二次函数，它的最小值处于对称轴上；对于开口向下的二次函数，它的最大值处于对称轴上。
二、利用二次函数求线段最值的步骤1.确定二次函数的表达式首先，我们需要明确给定线段的条件，确定二次函数的表达式。
例如，给定线段为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是待确定的系数。
2.求二次函数的对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
3.求二次函数的最值通过求解对应二次函数的最值问题，可以得到线段的最值。
需要将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最值对应的纵坐标。
三、例题解析下面通过一个具体的例题，来说明如何利用二次函数求解线段最值的问题。
例题：给定线段y=x^2-4x+5上的点M(-2, 13)，求线段上的最小值。
解析：根据题意，给定线段的二次函数表达式为y=x^2-4x+5。
1.求对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
本题中，a=1，b=-4，所以对称轴的横坐标为x=-(-4)/2*1=2。
2.求最小值线段的最小值处于对称轴上，对应的纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最小值对应的纵坐标。
初中数学_确定二次函数的表达式教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3（1）确定二次函数的表达式教学设计一、教学目标经历用待定系数法求二次函数关系式的过程，加深对二次函数的理解，二、教学重点和难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.三、教学过程（一）复习回顾：1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?（二）初步探索1、已知二次函数2ax y =的图象经过点A （2，-3）、B （3，m ）（1）求a 与m 的值；（2）写出该图象上点B 的对称点的坐标：_________（3）当x_________时，y 随x 的增大而减小（4）当x_________时，y 有最_________值，是_________。
2.已知二次函数c ax y +=2的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求二次函数的表达式3.已知二次函数bx ax y +=2的图象经过点(1,2)、(2,3),求二次函数的表达式.4.已知二次函数c bx x y ++=2图象经过点M (1，—2)、N(—1，6)，求二次函数的表达式.探索1：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？小结：用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.（三）深入探索5.如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其 表达式吗？6.已知二次函数的图象与y 轴的交点的横纵坐标是为1，且经过点M(2,5)、N(-2,13)，（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.（3）求这个二次函数的最大值或最小值。
二次函数表达式的确定(原创)
二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC 的表达式为 ，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。
二次函数解析式的几种表达式
顶点形式
$y = a(x - h)^2 + k$
其中，$(h, k)$为抛物线的顶点坐标。
通过平移标准形式，可以得到顶点形式，便于找到抛物线的顶点和对称 轴。
交点形式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$ 其中，$x_1$、$x_2$为抛物线与x轴的交点坐标。
判别式的应用非常广泛，例如在解一元二次方程、判断二次 函数的图像与x轴的交点个数、判断二次函数的单调性等方面 都有重要应用。
03 二次函数解析式的应用
求最值
顶点式
对于形如$y = a(x - h)^2 + k$的 二次函数，其顶点为$(h, k)$，因 此，该函数在$x = h$处取得最值 $k$。
配方法
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，通过配方可以转 化为顶点式，从而求得最值。
解方程
因式分解法
对于形式较为简单的二次方程，可以 通过因式分解法求解。
公式法
对于一般形式的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可以使用公式法求解。
判断单调性
导数法
求出二次函数的导数，然后判断导数的正负，从而判断函数的单调性。
经济中的供需关系
描述市场需求和供应的变化
在经济学中，二次函数解析式可以用来描述市场需求和供应的变化。通过设定适当的参数，可以模拟市场价格与 需求量或供应量之间的关系。
制定价格策略
企业可以根据市场需求和供应的变化，制定相应的价格策略。通过调整价格，企业可以平衡市场需求和供应，实 现利润最大化。
生活中的最优化问题
顶点坐标
01
确定二次函数的表达式a已知图象上两点求表达式
又抛物线经过x轴上的点_(1_0_,0_),
代入可求出a=_－_112_,
因此该抛物线表达式为
3
•
y=－112(x－4)2＋3
4
•
随堂练习
1.已知二次函数的顶点是 (-1,1),且经过 点(1,-3),求这个二次函数的表达式.
-(-1)
解：设函数表达y式 a为 (x1)2 1 将（1，- 3）代入函数表达式得： 4a13解a得 1
链接中考（备用）
1.已知二次函数图象的顶点 坐标是(2,3),且经过点(-1,0), 求这个二次函数的表达式.
解:根据顶点(2,3),设y=a(x-2)2+3 又∵图象过点(-1,0) ∴(-1-2)2 a + 3 = 0 解得a= - 1/3
∴这个函数表达式为y=- 1/3 (x-2)2 + 3 一般形式为 y = - 1/3 x2 + 4/3 x + 5/3
a= 2
解这个方程组,得 c=-15 ∴所求一次函数表达式为:y=22x2-1- 5
做一做
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标
为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次
函数的表达式.
解:∵图象与y轴交点纵坐标为1,即c=1,
∴设y=ax²+bx+1
将点(2,5)和(-2,13)分别代入二次函数
1.一个字母系数 + 两个点
2.
解决,您能体会到 求二次函数表达式采用的一般方法是什么? 待定系数法 步骤: 设-列-解-答
(1)设二次函数的表达式； (根据条件可设一般式或顶点式) (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组); (3)解方程(或方程组),求出待定系数； (4)答:写出二次函数的表达式.
二次函数的表达式
如果要求二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 中的a、b、c，至少需要几个点的坐标？
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
巩固练习 课本P23 练
1. 根据下列条件，分别习求出对应的二次函数的表达式．
①已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； ②已知抛物线的顶点是(－1, －2),且过点（1，10）； ③已知抛物线过三点：(0, －2), （1，0）,（2，3）．
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型包括：
1. 确定二次函数的表达式：根据已知条件，如顶点坐标、与x轴的交点坐标等，使用待定系数法求出二次函数的表达式。
2. 二次函数与一元一次方程的关系：根据二次函数图象与x轴的交点，求得一元二次方程的根。
3. 二次函数的增减性：根据二次函数的开口方向以及对称轴，判断函数的增减性。
4. 二次函数图象的平移：通过平移规则，将一个二次函数图象平移到指定位置，再根据平移后的顶点坐标求得新的二次函数表达式。
5. 二次函数的最值问题：根据二次函数的顶点和开口方向，求得函数的最大值或最小值。
6. 二次函数与几何图形的综合题：例如，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，探究四边形ABCP的面积的最大值等。
这些题型涵盖了中考中二次函数的主要考点，可以通过针对性的练习加以掌握。
确定二次函数的表达式
第二章 二次函数2.3 确定二次函数的表达式（1）一、知识点用待定系数法求解二次函数表达式二、教学目标知识与技能：1.能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式.2.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感与态度：1.能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念.2.养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.三、重点与难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.四、引入新课(放幻灯片2、3、4）1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y (k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)设计意图：利用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式.五、探究新知1.初步探究(放幻灯片5）（1）如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为3)4(2+-=x a y ,又∵图象过点（10，0）,∴03)410(2=+-a ,解得 121-=a , ∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . （2）想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？(放幻灯片6）小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.设计意图：以一个推铅球的实际情境引入，教学时要引导学生观察图象中隐含的信息，鼓励他们尝试确定二次函数的表达式.2.初步探究例1 (放幻灯片7）已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.5,2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.3.深入探究（1）已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. (放幻灯片8、9）解法1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，∵图象经过点(2,5)和(-2,13)∴⎩⎨⎧=+-=++,13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y设计意图：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c=1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.（2）想一想(放幻灯片10）在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？六、课堂练习(放幻灯片11)七、课堂小结(放幻灯片12、13）1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.2.用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.3.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）八、课后作业(放幻灯片14)。
确定二次函数的表达式(经典)讲解
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
董经剑5.5-确定二次函数的表达式
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1， 10），（1，4），（2，7）三点，求这个函 数的表达式.
解：设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c 由题意得 解得： a=2, a-b+c=10 b=-3, a+b+c=4 c=5. 4a+2b+c=7 因此，所求二次函数的表达式是： y=2x2-3x+5.
5.5 确定二次函数的表达式
阳谷县西湖中学 董经剑
1
1.二次函数的表达式有哪几种形式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k 2.如何确定一次函数的表达式？
5.5 确定二次函数的表达式
3
1.利用待定系数法确定二次函数的表达式； 2.知道给定不共线的三点的坐标可以确定一 个二次函数.
【例1】二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），
并且图象经过点（2，3）.求这个函数的表达式.
解：因为二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6）， 所以，可以设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-6， 由题意得，
3=a(2+1)2-6，
解得a=1. 所以，这个二次函数的表达式为y=(x+1)2-6
已知抛物线的顶点为(1，3),与y轴交点
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经
过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三
点.求该抛物线的表达式.
y
A
C
O
B
x
通过这节课的学习,把你的收获分享给大家吧！
1.你学会了哪些还有哪些疑惑？
习题5.5；
付出定有回报，努力就有收获。 同学们扬起你们理想的风帆，带上你们的智慧， 迈向明天------
确定二次函数表达式
§确定二次函数的表达式（2）授课时间：年月日星期课型：审核：学习目标：1、用含有三个未知数的一般式求二次函数表达式。
2、用交点式求二次函数表达式。
学习重点：二次函数的三种表达式学习难点：用交点式求二次函数表达式。
学习过程：一、导学：1、二次函数的一般式为_______________ _2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为____________二、自学：已知一个二次函数的图像经过（-1,10），（1,4），（2，7）三点，试确定这个二次函数的表达式，并求出它的对称轴和顶点坐标。
总结：一般情况下，若知道图象上三个点的坐标，则可设二次函数表达式为三、互学：1、一个二次函数的图像经过A（0,1），B（1,2），C（2，1）三点，试确定这个二次函数的表达式，你有几种方法？2、已知抛物线与x轴的交点A（-3,0）,B(1,0)且过点C（0,3）, 试确定这个二次函数的表达式，你有几种方法？结论：若知道抛物线与X轴的两个交点坐标为（x1,0）,(x2,0), 则可设二次函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2)3、已知二次函数的图象如图所示，且点（3，-2）在图象上。
求它的解析式和顶点坐标；知识总结：二次函数解析式的三种表示方式(1)已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________(2)已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________(3)已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________四、测学：1、课本45页的随堂练习：2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。
求a、b、c。
3．抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式。
五、思学：二次函数解析式的三种表示方式(1)已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________(2)已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________(3)已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________。
确定二次函数的表达式
5.5确定二次函数的表达式设计：刘蕾蕾 审核：王海涛 编号：40 时间：12.20学习目标：1、会利用待定系数法确定二次函数的表达式.（重点）2、选择恰当的方法来确定二次函数的表达式.（难点） 一、复习回顾：1、二次函数表达式的一般形式为_________ ___，其顶点坐标为 .2、二次函数c bx ax y ++=2的图象的顶点坐标为（h ，k ），那么它的表达式可表示成____ ______. 3、二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点为)0,(),0,(21x x ，那么它的表达式可表示成____ __ .二、自学探究（自学课本43至44页，探究确定二次函数的表达式的方法） 类比求一次函数的表达式（待定系数法），独立解决下列问题： 例1：已知二次函数的图象过点（0,2），（1,0）和（-2,3），求这个函数的表达式。
随堂练习：已知二次函数的图象经过（0,2） （1,0） 和（-2,3），求这个函数的表达式。
总结：方法一：已知抛物线经过 ＿＿ 个已知点的坐标，我们选设二次函数的一般式＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿。
三、合作学习：例2：已知二次函数的顶点坐标为（-1，-6），并且该图象过点（2,3），求这个二次函数的表达式。
随堂练习：已知抛物线的顶点坐标是（-1，-2），且图象还过点（1,10），求这个二次函数的表达式。
总结：方法二：已知抛物线的＿＿ 和抛物线上另外一个点的坐标，通常选设二次函数的顶点式＿＿＿＿＿＿ ＿。
例3：一抛物线与x 轴交于（0，1）与（0，5）两点，且过点（--3，0），求此函数关系式。
随堂练习：已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）总结：方法三：已知抛物线与x 轴的 个交点的坐标和图象上另外一点的坐标，通常设二次函数的交点式： 。
四、继续探讨，加油啊！（变式训练）1、某抛物线是将抛物线y=ax 2向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3，-3），求抛物线的表达式。
确定二次函数表达式
利用顶点式求二次函数的表达式
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
④a用数值换掉，写出函数表达式.
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）(2)代：）
解：将点（2 , 3），（-1，3）代入
解得
∴二次函数的表达式为 y＝x2－x＋1.
①设函数表达式为 y=ax2+bx+c（某项系数已知）；②代入两点的坐标，得到一个方程（组）；③解方程（组），得到待定系数的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的步骤：
的部分对应值如下表：
利用一般式求二次函数的表达式
例1.（1）已知二次函数y=x2+bx+1的图象经过点(2, 3)， 求这个二次函数的表达式.
将点(2，3)代入y＝x2＋bx＋1，得 3=4+2b+1解得: b=－1∴二次函数的表达式为 y＝x2－x＋1.
解：
（2）已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(2, 3)和（-1,3）， 求这个二次函数的表达式.
将点(0 ,1)代入 y=a(x-8)2+9，得 1=a(0-8)2+9. 解得
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(a≠0)
若经过点（-1,0），则___________ a-b+c=0
a+b+c=0 若当x=1时，y=0，则_____
c=-3 若经过点（0,-3），则___________ 16a+4b+c=5 若经过点（4,5），则___________
b 若对称轴为直线x=1，则___________ 2 a =1
二次函数常用的两种解析式 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0)
已知三个点坐标，即三对对应值，选择一般式
顶点式
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
4a+b=2 16a+4b=8 a-b=3 a-b=3 已知一个二次函数的图象过点（ 0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
依题意得
c=-3 16a+4b+c=5
b =1 2a
二次函数图象如图所示， (1)直接写出点的坐标；（2）求这个二次函数 的解析式
8 6 4 2
2 4
－4
A
B
－2
C
－2 －4
再次总结：求二次函数解析式时 图象过普通三点: 常设一般式 已知顶点坐标: 常设顶点式
根据条件求出下列二次函数解析式：
（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；
O
8米
A x
B
O8米
A x
O
y
1 2 y - x 3 .2 5
x
3.2
B
8米
A
1 2 y x 5
y
C M B
8米
3.2 N
x
A
解： 设所求的二次函数为
y=ax2+bx+c
∵图象过（0,-3） ∴c=-3 ∵ 图象过（4,5） （－1, 0）
∴
16a+4b-3=5 a-b-3=0
解得
∴所求二次函数为
y=x2-2x-3
一、设 1 a= 二、代 2 b= 三、解 四、还原
1.已知二次函数的图象过（0，2）、（2，-4）、 （-1，2）三点，求这个二次函数的表达式． 2.已知抛物线经过A，B，C三点，当x ≥0时，其 图象如右下图所示.求该抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=a(x-h)2+k
(a≠0)
4 ， -3 若顶点坐标是（-3,4）, 则h=_____,k=______ 2+4 a ( x+3 ) 代入得 y=______________
若对称轴为直线x=1，则h= _________ 1
2+k a ( x 1) 代入得y=______________
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 思考：怎样设二次函数关系式
解： 设所求的二次函数为 y=a(x-1)2+k
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
（2）求如图所示的抛物线解析式
O －1 －1
2
数学是来源于生活又服务于生活的.
小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛 物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０ 米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多 少？
M
N
３．２米
８米
y
1 y - ( x - 4) 2 3.2 5
y
BC3.2源自3.2y B （0，3）
（-3，0） C
O
A(1，0) x
最低点为（ x=1，y最值 1， =--4 4）
已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
2-4 y=a ( x 1) 解： 设所求的二次函数为
把点( 0,-3)代入得 a-4=-3,
∴ a=1
∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4