2021年上海市中考数学模拟试卷(有答案)(Word版)
2021年上海市普陀区中考数学一模试卷(有答案)
2021 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED ∥BC ； B. 当时，能判断ED ∥BC ； C. 当时，不能判断ED ∥BC ； D. 当时，能判断ED ∥BC ；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
上海市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)
上海市2021年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列实数中，有理数是（ ）A. √12B. √13C. √14D. √152.下列单项式中， a 2b 3 的同类项是（ ）A. a 3b 2B. 2a 2b 3C. a 2bD. ab 33.将抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A. 2kg /包B. 3kg /包C. 4kg /包D. 5kg /包5.如图，已知平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，E 为 AB 中点，求 12a +b ⃗ = （ ）A. EC⃗⃗⃗⃗⃗ B. CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.如图，已知长方形 ABCD 中， AB =4,AD =3 ，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点 C,D 与圆A 的位置关系是（ ）A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（共12题；共12分）7.计算：x7÷x2=________．8.已知f(x)=6x，那么f(√3)=________．9.已知√x+4=3，则x=________．10.不等式2x−12<0的解集是________．11.70°的余角是________．12.若一元二次方程2x2−3x+c=0无解，则c的取值范围为________．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________．14.已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过(−1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式________．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．16.如图，已知S△ABDS△BCD =12，则S△BOCS△BCD=________．17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．三、解答题（共7题；共60分）19.计算：912+|1−√2|−2−1×√820.解方程组：{x+y=3x2−4y2=021.已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4，cos∠ABC=45，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23.已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．24.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0),Q(1,4)．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．（1）当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求AD的值；BC（2）若DE=2,OE=3，求CD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】有理数及其分类【解析】【解答】解：A、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数B、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数C、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故答案为：C【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.2.【答案】B【考点】同类项【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a3b2不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3一致，∴2a2b3是a2b3的同类项，符合题意；∵a的指数是2，b的指数是1，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a2b不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是1，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴ab3不是a2b3的同类项，不符合题意；故答案为：B【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可.3.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故答案为：D．【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y 轴的交点改变，据此判断即可.4.【答案】A【考点】条形统计图【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故答案为：A．【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可.5.【答案】A【考点】平面向量【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∴12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗故答案为：A．【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此判断即可.6.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵AD=3<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5∴点C在圆A上故答案为：C【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.二、填空题7.【答案】x5【考点】同底数幂的除法【解析】【解答】∵x7÷x2=x5,故答案为: x5．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.8.【答案】2√3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵f(x)=6x，∴f(√3)==2√3，√3故答案为：2√3．【分析】将x=√3代入，求出函数值即可.9.【答案】5【考点】无理方程【解析】【解答】解：√x+4=3，两边同平方，得x+4=9，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可.10.【答案】x<6【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】2x−12<02x<12x<6故答案为：x<6．【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集.11.【答案】20°【考点】余角、补角及其性质【解析】【解答】70°的余角是90°- 70°= 20°故答案为：20°．【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可.12.【答案】c>98【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，∵a=2，b=−3，c=c，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×2c<0，，解得c>98∴c的取值范围是c>9．8故答案为：c>9．8【分析】由关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，可得△＜0，据此解答即可.13.【答案】38【考点】概率公式【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为 38 ，故答案为： 38 ．【分析】直接利用概率公式计算即可.14.【答案】 y =−2x （ k <0 且 k ≠−1 即可）【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：∵正比例函数 y =kx 经过二、四象限，∴k<0，当 y =kx 经过 (−1,1) 时，k=-1，由题意函数不经过 (−1,1) ，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为： y =−2x (本题答案不唯一，只要 k <0 且 k ≠−1 即可)．【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0， 又不经过 (−1,1) ，可得k≠-1，，据此求解即可（答案不唯一）.15.【答案】 33k 5【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 y =mx +n(5≤x ≤10) ，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：{5m +n =4k 10m +n =k ，解得 {m =−35k n =7k∴ y =−35kx +7k(5≤x ≤10)令 x =8 ，则 y =115k ∴利润= (8−5)×115k =335k【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得.16.【答案】 23【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD∵ S △ABDS △BCD =12 ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE∴S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴ODOB =ADBC=12∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴S△BOCS△DOC =12OB·CF12OD·CF=OBOD=21∴S△BOCS△BCD =23故答案为：23【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12，利用平行线可证△AOD∽△COB可得ODOB =ADBC=12，从而求出S△BOCS△DOC=12OB·CF12OD·CF=OBOD=21，继而得出结论.17.【答案】3√32．【考点】正多边形的性质【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，∴BG=DI= FH= 12，∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = √32，∴AC =AE = CE = √3，∴由勾股定理得：AI= 32，∴S= 3×12×√3×12+12×√3×32=3√32，故答案为：3√32．【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH= 12，AC =AE = CE = √3，AI= 32，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可.18.【答案】2−√2≤d≤1【考点】旋转的性质，四边形-动点问题【解析】【解答】解：如图1，设AD的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，OA=√2．∴点O与正方形ABCD边上的所有点的连线中，OE最小，等于1，OA最大，等于√2．∵OP=2，∴点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在OP上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在OP上时，最小值PA=PO−AO=2−√2．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是2−√2≤d≤1．故答案为：2−√2≤d≤1【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在OP上时，最大值为PE的长，当点A落在OP上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论.三、解答题19.【答案】解：912+|1−√2|−2−1×√8，= √9−(1−√2)−12×2√2，= 3+√2−1−√2，=2．【考点】实数的运算【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可.20.【答案】解：由题意：{x+y=3⋯(1)x2−4y2=0⋯(2)，由方程(1)得到：x=3−y，再代入方程(2)中：得到： (3−y)2−4y 2=0 ，进一步整理为： 3−y =2y 或 3−y =−2y ， 解得 y 1=1 ， y 2=−3 ，再回代方程(1)中，解得对应的 x 1=2 ， x 2=6 ， 故方程组的解为： {x =2y =1 和 {x =6y =−3 ． 【考点】解二元一次方程组【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可. 21.【答案】 （1）∵ AC ⊥BD ， cos ∠ABC =45 ∴ cos ∠ABC =BCAB =45 ∴AB=10∴ AC = √AB 2−BC 2=6 ；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵ BF 为 AD 边上的中线． ∴F 是AD 中点 ∵FG ⊥BD ， AC ⊥BD ∴ FG //AC∴FG 是△ACD 的中位线 ∴FG= 12AC = 3 CG= 12CD =2∴在Rt △BFG 中， tan ∠FBD = FGBG =38+2=310 ． 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1） 利用 cos ∠ABC =BCAB =45可求出AB 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可； （2）过点F 作FG ⊥BD ，由AC ⊥BD 可得FG ∥AC ，可得FG 是△ACD 的中位线，从而可得= 3， =2 ，在Rt △BFG 中，由tan ∠FBD .22.【答案】（1）3月份的百分比= 1−30%−25%=45%三月份共生产的手机数= 80×45%=36（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，由题意可知：1000x−95−1000x=190解得：x=100检验：当x=100时，x⋅(x−95)≠0∴x=100是原分式方程的解．答：5G手机的下载速度为100 MB/秒．【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，根据“下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒”列出方程，求解并检验即可.23.【答案】（1）证明：连结OM,ON，∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，{OM=ONOG=OG，∴RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）设OG 交MN 于E ， ∵RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ， ∴ MG =NG ，∴ ∠GMN =∠GNM ，即 ∠CMN =∠ANM ， ∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中 {CM =AN∠CMN =∠ANM MN =NM ，∴△CMN ≌△ANM ，∴AM =CN,∠AMN =∠CNM ， ∵CN ∥OG ，∴∠CNM =∠GEM =90° ， ∴∠AMN =∠CNM =90° ，∴∠AMN +∠CNM =90°+90°=180° ， ∴AM ∥CN ，∴ACNM 是平行四边形， ∵∠AMN =90° ， ∴四边形ACNM 是矩形．【考点】矩形的判定，圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OM,ON ， 证明RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ，可得MG=NG ， ∠MGO=∠NGO ， MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，24.【答案】 （1）将 P(3,0)、Q(1,4) 两点分别代入 y =ax 2+c ，得 {9a +c =0,a +c =4,解得 a =−12,c =92 ．所以抛物线的解析式是 y =−12x 2+92 ．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ， 作 CH ⊥AB 于H ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴ △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形， ∴ CH =AH =BH =2 ，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，由 P(3,0)、Q(1,4) ，得 {3k +b =0,k +b =4,解得 {k =−2,b =6,∴直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ， 设 A(m,−2m +6) ， ∴ AB =−2m +6 ，所以 CH =BH =AH =−m +3 ．所以 y C =−m +3,x C =−(−m +3−m)=2m −3 ． 将点 C(2m −3,−m +3) 代入 y =−12x 2+92 ， 得 −m +3=−12(2m −3)2+92 ． 整理，得 2m 2−7m +3=0 ． 因式分解，得 (2m −1)(m −3)=0 ．解得 m =12 ，或 m =3 （与点B 重合，舍去）．当 m =12 时， 2m −3=1−3=−2,−m +3=−12+3=52 ． 所以点C 的坐标是 (−2,52) ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将P 、Q 两点坐标代入抛物线解析式中，求出a 、c 的值即可；（2）① 作 CH ⊥AB 于H ．抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ， 可得出 △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形，从而得出CH =AH =BH =2 ， 继而得出点C 到抛物线的对称轴的距离等于1；②先求出直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ， 设A(m,−2m +6) ，可求出点 C(2m −3,−m +3) ，将点C 坐标代入y =−12x 2+92中，可求出m 值，即得点C 坐标.25.【答案】 （1）①由 AD =CD ，得 ∠1=∠2 ． 由 AD//BC ，得 ∠1=∠3 ．因为 BO 是 Rt △ABC 斜边上的中线，所以 OB =OC ．所以 ∠3=∠4 ． 所以 ∠1=∠2=∠3=∠4 ． 所以 △DAC ∽△OBC ．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC =2m3m=23．（2）①如图5，当点E在AD上时，由AD//BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，已知DE=2，所以AE=x−2．已知OE=3，所以AC=6．在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62−(x−2)2=x2−22．解得x=1+√19，或x=1−√19（舍去负值）．②如图6，当点E在CD上时，设AD=CD=x，已知DE=2，所以CE=x−2．设OB=OC=m，已知OE=3，那么EB=m+3．一方面，由△DAC∽△OBC，得DCOC =ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC是公共角，得△EOC∽△ECB．所以EOEC =ECEB=OCCB，所以3x−2=x−2m+3=OCCB．等量代换，得3x−2=x−2m+3=x2m．由3x−2=x2m，得m=x2−2x6．将m=x2−2x6代入3x−2=x−2m+3，整理，得x2−6x−10=0．解得x=3+√19，或x=3−√19（舍去负值）．【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；② 在Rt△BCE中，得出∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m，从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；（2）分两种情况：① 当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2建立方程，求出x值即可；② 当点E在CD上时，设AD=CD=x，设OB=OC=m，由△DAC∽△OBC=ACBC ，据此可得xm=2OCBC，证明△EOC∽△ECB，可得EOEC =ECEB=OCCB，据此可得3x−2=x−2m+3=OCCB，从而得出方程，求出x值即可.。
【2021年】上海市中考数学模拟试题汇编(含答案)
上海市中考数学精选真题预测（含答案）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2的倒数是（ ） A 、 2 B 、 -2 C 、22 D 、 -222、下列算式的运算为2m 的是（ ）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷C 、 21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（ ）A 、 一、二象限B 、 一、三象限C 、 二、三象限D 、 二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ）A 、 1.2与1.3B 、 1.4与1.35C 、 1.4与1.3D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ; ②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ; 这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（ ）A 、 边角边B 、 角边角C 、 角角边D 、 边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ） A 、 1 B 、 3 C 、 5 D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48） 7、计算：（-1）2017+02-4= ；8、函数y =x +2的定义域是 ；9、方程x =-x 的解是 ；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 12、如果点P （m -3，1）在反比例函数xy 1=的图像上，那么m 的值是 ； 13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是 ；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为 ；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DCb →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是 ；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBCA A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）= ；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是 。
2021年上海市中考真题模拟数学试卷(word版 含答案)
2021年上海市中考真题模拟卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --． 2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．2a b b -<-； B ．2a ab <； C ．2ab b <； D ．22a b <． 3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <．4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆 6. 下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形 （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________8、分解因式91024+-x x =__________9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________10．方程2+x =-x 的根是 .11. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示 向量DE 为yx3-112．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ．14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）．15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”）16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是 ．（不写定义域）17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ， 点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ．18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．17题图D C B A A B F 1 第18题图CD E F B 1三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.22.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点． （1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．第21题图第22题图23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ． （1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由． （3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．ABCEG F第23题25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6 cm，BC=8 cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k·AP（k >0），连接PC、PQ．（1）求⊙O的半径长；（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ∽△ABC，且∠ACB=∠CPQ，求k的值.第25题图2021年上海市中考真题模拟卷答案数学学科（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．当2a <- ）A ．2a +；B ．2a -；C ．2a -；D ．2a --． 【答案】D2．如果a b <，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．2a b b -<-；B ．2a ab <；C ．2ab b <；D ．22a b <． 【答案】A3、已知函数(1)2y k x k =-+-(k 为常数)，如果y 随着x 的增大而减小，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k >；B ．1k <；C ．2k >；D ．2k <． 【答案】B4. 一组数据3、3、2、5、8、8的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8 【答案】B5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A. 正五边形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 圆第12题图【答案】D6. 下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）有理数乘以无理数一定是无理数（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形 （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅︒A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知6是2和x 的比例中项，则x =___________ 【答案】189、分解因式91024+-x x =__________ 【答案】（x+1)（x -1)（x+3)（x -3)9、抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是___________ 【答案】（-1、-3）11．方程2+x =-x 的根是 . 【答案】x=-111. 在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 2AD=BD ，a BC =，用向量a 表示 向量DE 为【答案】31 12．如图为二次函数c bx ax y ++=2的图像，它与x 轴交于（-1,0）、（3,0）两点.在下列说法中： ①0<ac ；②抛物线在直线x =2的左侧是下降的；③0>ab .其中正确的说法有【答案】①14．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设向量b AB c AC 2,2==，用向量c b 、表示向量AD = ． 【答案】c b +14．如图，AB 是铁塔，CD 是测角仪，已知测角仪底部C 与铁塔底部B 的距离为m 米，为了测量铁塔的高度，用测角仪测得塔顶A 的仰角为 α，已知测角仪的高CD 为h 米，则铁塔的高度AB = 米（结果用含h m 、、α的代数式表示）． 【答案】m ∙tan α+h15．已知抛物线22(3)1y x =--+，当123x x >>时，1y 2y ．（填“>”或“<”） 【答案】＜16．一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，则y 关于x 的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】x x y 62+=17．如图，已知等腰△ABC ，AD 是底边BC 上的高，AD ：DC =1：3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ， 点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S ∆∆= ． 【答案】453218．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5， AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE ⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△A F 1E ，则B 1D = ．第15题图17题图DCBA ABF 1 第18题图CD EFB 1【答案】58三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：．【模块/考点】实数的运算/零指数幂/负整数指数幂． 【解析】原式32=20.（本题满分10分）解方程组：222221690x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩【模块/考点】代数与方程/二元二次方程组 【解析】解：2222216(4)(4)09(3)(3)0,x xy y x y x y x y x y x y ⎧-+-=-+--=⎪⎨-=+-=⎪⎩ 则原方程可化为：4444,,,30303030x y x y x y x y x y x y x y x y -=--=--=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=-=⎩⎩⎩⎩解这些方程组得： 3636;;;1212x x x x y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩21.（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC =15，cos A =35. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.第21题图【模块/考点】图形与几何/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角形比 【解析】⑴ 12522CD AB ==⑵ ∵DCB DBC ∠=∠ ∴16CE =，则72DE =而252DB = 所以sin ∠DBE =DE DB =72225⨯=72522.(本题满分10分，每小题满分各5分)如图，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点． （1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△ABO 的面积．【模块/考点】函数与分析/一次函数和反比例函数解析式的求法 【解析】解：（1）题意易得一次函数b x y +-=的解析式为：4+-=x y ， ∵点),1(n A 在直线4+-=x y 上，∴3=n ，∴点)3,1(A 将)3,1(A 代入反比例函数xky =， 得3=k ，反比例函数的解析式为：xy 3=.由题意易得方程组解得： )3,1(A 、)1,3(B∴设一次函数4+-=x y 和y 轴的交点为N ，与x 轴交于点M ，. 易知：M （4,0），点N （0，4）， NA ：AB ：BM=1：2：1 ∴S 4442142=⋅⋅⋅==∆∆NOMABO S23.（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ． （1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．【模块/考点】几何与证明/平行线的性质/全等三角形的判定和性质 【解析】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB AC BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒ CD CE =∴△CDE 是等边三角形∴60CDE ABC ∠=∠=︒，CD DE =ABDCEG F第23题第22题图∴DF AB ∥EF AE =，CD DE =∴AE EF CE DE= ∴AF BC ∥∴四边形ABDF 是平行四边形∴AB DF =又∵AB BC =∴BC DF =（2）∵△CDE 是等边三角形∴60CDE DCE ∠=∠=︒，CE CD DE ==又∵BC DF =∴BCE FDC △≌△∴CBE DFC ∠=∠又∵BED FEG ∠=∠∴BDE FGE △∽△∴BD DE FG EG= 又∵CD DE = ，2BD CD =∴2BD GF CD EG== ∴2GF EG =24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣2，0），C （4，0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB 、BC ．（1）求抛物线的解析式（关系式）．（2）在第一象限外，是否存在点E ，使得以BC 为直角边的△BCE 和Rt△AOB 相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E ，然后直接写出点E 的坐标，并判断是否有满足条件的点E 在抛物线上；若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1：4，并求出此时点D 的坐标．【答案】解：（1）△抛物线经过A （﹣2，0），C（4，0）两点，△，解得．△抛物线的解析式为．（2）要寻找在第一象限外点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似，那么可以通过做BC的垂线，垂足分别为B、C，再根据相似三角形边长成比例求出另一直角边的长度，最后求出点E的坐标．若点B为直角顶点，则点E的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2，2），此时点E不在抛物线上；若点C为直角顶点，则点E的坐标为（﹣4，﹣8）或（2，﹣2），此时点（﹣4，﹣8）在抛物线上．（3）△S△ABC=，S△BCD：S△ABC=1：4，△S△BCD=S△ABC=．如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，），作DE△x轴于点E，则S△BCD=S梯形BOED+S△DCE﹣S△BOC=．即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．△点D的坐标为（1，）或（3，）．25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ．（1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.【模块/考点/题型】图形与几何/圆、相似三角形【解析】（1）联结OC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴OA =OB =OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∠OCB ＝∠OBC ，又∵∠OAC +∠OCA +∠OCB +∠OBC =180°，∴∠OCA +∠OCB =90°．即∠ACB =90°．∵AC =6，BC =8， ∴2210AB AC BC =+=．∴⊙O 的半径为5．（2）过点P 作PD ⊥BC ，垂足为点D ．∵AP =x ，∴BQ =2x ，CQ =8-2x ，PB =10-x ．在Rt △PDB 中，∵sin PD B PB ∠=，∴61010PD x =-． ∴365PD x =-． ∴()113826225y CQ PD x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭()2342240455x x x =-+<< （3）（i ） 当∠PQC =∠B 时，因为∠PQC >∠B ，不合题意，舍去．（ii ）当∠PQC =∠A 时，∠PCQ =∠B ，此时点P 和点O 重合，∴AP = PC =5．∵cos cos PCQ B ∠=∠，∴5810CQ =． ∴254CQ =． 第25题图∴257844 BQ=-=．∴7174520BQkAP==⨯=．。
2021年上海市 数学中考模拟卷 一(含解析)
1 / 14O一、选择题（每小题4分，共24分） 1、下列代数式中，属于分式的是（ ） A ．2x B ．2xC ．2xD ．2x2、一次函数23y x =-+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、据统计，2016年上海市参加中考的人数约为7.7万人，则7.7万用科学记数法表示为（ ） A ．37.710⨯ B ．47.710⨯ C ．50.7710⨯ D ．57.710⨯4、下列说法正确的是（ ）A ．一组数据的平均数和中位数一定相等B ．一组数据的平均数和众数一定相等C ．一组数据的标准差和方差一定不相等D ．一组数据的众数一定等于改组数据中的某个数据5、如果某人沿坡度为1 : 3的斜坡向上行走a 米，那么他上升的高度为（ ） A ．1010a B ．10a C ．3a D ．3a6、一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水 深0.2米，此水管的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米D ．1米二、填空题（每小题4分，共48分） 7、计算()()12x x -+的结果是______． 8、函数134y x x =-+-的定义域为______． 9、不等式组24050x x +>⎧⎨-<⎩的解集是______．模拟卷二ABCDEFO10、若一次函数2y x b =+（b 为常数）的图像经过点（1,5），则b 的值为______． 11、如果关于x 的方程2610x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值为______． 12、已知Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，那么∠B 的正弦值等于 ． 13、李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ．14、如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ．设AB a =，BC b =，那么AD =__________（结果用a 、b 的式子表示）．15、在一个不透明的袋子中，有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同．充分摇匀后，摸出一个球是黑球的概率为______．16、已知在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE // AC ，12AD DB =，DE = 4，那么边 AC 的长为______．17、定义两种新运算“△”和“※”，a △ b =2a ab -，a ※ b =23a b -，则（2△1）△（2※2）的值为______．18、如图，已知AD 是等腰ABC ∆底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC ∆绕着点D 旋转，得DEF ∆，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，那么:=AOF DOC S S ∆∆__________．三、解答题19、（本题满分10分）先化简，再求值：2211211a a a a a +⎛⎫÷+ ⎪++-⎝⎭，其中2sin451a =︒-．ABDC3/ 14AB CEFD20、（本题满分10分）解方程组：2220 23x xy yx y⎧--=⎨+=⎩．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在ABC∆中，D是边BC的中点，E、F分别是BD、AC的中点，且AB = AD，AC = 10，4sin5C=．求：（1）线段EF的长（2）∠B的余弦值．22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50120x≤≤时，具有一次函数的关系，如下表所示．x5080100120y40343026（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费．ABCDFE 23、（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，DF ∥AC ，BD = 2AD ， AE = 2EC ．（1）求证：EF ∥AB ；（2）联结DE ，当∠ADE =∠C 时，求证：AC AB 2=．24、（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =+经过点A （4,0），顶点为B ． （1）求顶点B 的坐标；（2）将这条抛物线向左平移后与y 轴相交于点C ，此时点 A 移动到点D 的位置，且DBA CBO ∠=∠，求平移后抛物 线的表达式．xy5 / 14ABC DH OP25、（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，32cos =∠AOB ． （1）求：公共弦BC 的长度；（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP = x ，BD = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且BDE ∆与BPE ∆相似，求线段AP 的长．中考模拟卷xyBAO ABCABCDE一、选择题（每小题4分，共24分）1、下列各数中，不能被6整除的数是（ ） A ．18B ．12C ．9D ．6【答案】C2、下列二次根式中，与2a 一定是同类二次根式的是（ ） A ．aB ．32aC ．4aD ．28a【答案】B3、数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是（ ） A ．104、103B ．103、101C ．103、102D ．103、103【答案】A4、如图，已知一次函数y = kx + b 的图像经过点A （5,0）与B （0,4-），那么关于x 的不等式kx + b < 0的解集是（ ） A ．x < 5 B ．x > 5 C ．x <4-D ．x >4-【答案】A5、如图，ABC ∆中，AB = 5，BC = 3，AC = 4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则C 的半径为（ ） A ．2.3 B ．2.4 C ．2.5D ．2.6【答案】D6、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE = AD ，联结EB 、EC 、DB ．添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ） A ．AB = BEB ．BE DC ⊥ C ．90ADB ∠=︒D ．CE DE ⊥【答案】B模拟卷一7 / 14次数/次人数/人 48 12 16 15 20 25 30 35二、填空题（每小题4分，共48分）7、如果分式7x x -的值为0，那么x 的值等于 .【答案】78、分解因式：2212x xy y --= . 【答案】()()43x y x y -+9、方程211x x -=-的解是__________. 【答案】1x =10、如果将抛物线21y x x =++向下平移，使它经过点（0,2-），那么所得的新抛物线的解析式是______ . 【答案】22y x x =+- 11、如果反比例函数ky x=的图像经过点A （2 , y 1）与B （3 , y 2），那么12y y 的值等于______.【答案】3212、如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，记OD m =，OF n =，那么OB =______（用向量m 、n 表示）． 【答案】m n --13、在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是 .【答案】1214、在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE // BC ，如果AD = 5，DB = 10，那么:ADE ABC S S ∆∆的值为______． 【答案】1915、为了了解九年级学生的体能情况，体育老师随机抽查了其中的40名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在20~25之间的频率是______．FABCDEOABCDOxy ABC【答案】0.316、如果1O 与内含2O ，124O O =，1O 的半径是3，那么2O 的半径的取值范围是______． 【答案】7r >17、如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知A （1,0），B （0,3），则sin COA ∠=______．【答案】4518、已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，把ABC ∆绕着点C 旋转，使得点A 落在点'A ，点B 落在点'B ．若点'A 在边AB 上，则点B 、'B 的距离为______． 【答案】5【解析】先根据题意画出图形：易得：'AC A C =，'BC B C =，''ACA BCB ∠=∠，∴'ACA ∆∽'BCB ∆，∴''AC AA BC BB =； 由90C ∠=︒，AB = 9，cos A =23，可得AC = 6，35BC =过C 点作CD AB ⊥，易得'8AA =，∴'45BB =．三、解答题19、（本题满分10分）计算：1213332332-⎛⎫-+⎪+⎝⎭（）【答案】3【解析】1213332332-⎛⎫--++⎪+⎝⎭（）13234233=++-=9 / 1420、（本题满分10分）解不等式组：159104122362x x x x x -≤-⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【答案】14x ≤<【解析】由第一个不等式得：55x ≥，解得：1x ≥；由第一个不等式得：()()212312x x x --+>-，整理得：28x <，解得4x <； ∴不等式的解集为：14x ≤<．21、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000 8000 10000 15000 … 成本y （元）28500360004100053500…（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x 取值范围）； （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？ 【答案】（1）5160002y x =+；（2）12800．【解析】（1）设所求一次函数的解析式为y kx b =+（0k ≠），有题意可知：500028500800036000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5216000k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩； ∴所求函数的关系式为5160002y x =+； （2）∵548000160002x =+，∴12800x =． 答：能印该读物12800册．ABCDP N MQHBA CDEF22、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已 知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设 汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到13 1.7） 【答案】（1）36；（2）89． 【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =--=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==，cot 30153DH AH m =⋅︒=， 由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-=-．23、（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AE CE =，以点E 为圆心EA 长为半径作弧交AB 于点D ，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ，联结CD ． 求证：（1）CD AB ⊥；（2）CF FB =． 【答案】见解析【解析】（1）∵,AE ED CE AE ED ===, ∴ ,A EDA EDC ECD ∠=∠∠=∠∵ 180A ECD ADC ∠+∠+∠=︒，即180A ECD EDC EDA ∠+∠+∠+∠=︒ ∴ 2()180A ECD ∠+∠=︒ ∴ 90A ECD ∠+∠=︒∴180()1809090ADC A ECD ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒∴CD AB ⊥（2）联结EF ．∵ED EC =，EF EF =，∴Rt EDF ∆≌ Rt ECF ∆ ∴12DEF CEF DEC ∠=∠=∠，∵12A ADE DEC ∠=∠=∠∴CEF A ∠=∠∴EF ∥AB ，∵EA EC = ∴CF FB =11 / 14A BCDEOxyA BCDEOxyA BCDEOxyP NM图（a ） 图（b ） 图（c ） 24、（本题满分12分，每小题满分各4分）如图（a ），抛物线()263y a x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线DE x ⊥轴，垂足为E ，23AE DE =． （1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且PAC ∆是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b ），求tan PCA ∠的值；（3）如图（c ）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN DM ⊥，交直线DE 于点N ，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E 三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21493y x x =++；（2）1tan 3PCA ∠=；（3）()6323M -+或()6323--．【解析】（1）已知抛物线的顶点()63D --，，则36DE OE ==，， 2393AE DE AE ==∴=，，即()30A -，．将A 点代入抛物线解析式中，得：()23630a -+-=，即13a =，所以抛物线解析式为：()2211634933y x x x =+-=++． （2）设()6P a -，，()()()306009A E C --，，，，，，根据勾股定理得：2222AE PE AC PC ++=，即()22298169a a ++=+-，解得：1a =，()61P ∴-，，10310AP AC ∴=101tan 3310AP PCA AC ∴∠===．（3）设点()()00M a b a b <>，，，分两种情况讨论：（i ）当2NE DE =时，6NE =，即()612N -，，已知()63D -，，则有直线MN 的斜率：166b k a -=+，直线MD 的斜率：236b k a +=+．由于MN DN ⊥，则()()()122636b b k k a -+⋅=+1=-，整理得：22123180a b a b ++-+=①由抛物线的解析式得：21493a a b ++=，整理得：2123270a a b +-+=②由-①②得：29b =，即3b =（负值舍去）， 将3b =代入①得：66a a =-+=--故点()63M -+或()63--；（ii ）当2NE DE =时，32NE =，即362N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，已知()63D --，，则有直线MN 的斜率：1326b k a -=+，直线DM 的斜率：236b k a +=+．由题意得：()()12233216b b k k a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⋅==-+，整理得：2236312022a b b a ++++=， 而2123270a a b +-+=；将两式相减，得：22990b b ++=，解得：12322b b =-=-，（均不符合题意，舍去）． 综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为：()63M -+或()63--．13 / 1425、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）． （1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若 不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．//EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形．（2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==． 由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t -=．5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭． ()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==； （3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高， 则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．A BCDEFmH。
2021年上海市中考数学模拟试题(一)
2021年上海市中考数学模拟试题（一）（本科目考试时间100分钟，满分150分）一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分）13A 6B 15C 21D 122．已知实数x 、y 满足()()2222135x y x y +++-=，则22x y +的值为（） A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．4或23．为了反映某地的天气变化趋势，最好选择（ ）A ．扇形统计图B ．条形统计图C ．折线统计图D ．以上三种都不行4．已知点P （-1，a ）在反比例函数2y x =的图象上，则a 的值为（） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．25．下列命题中，真命题是（）A ．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形（ ）B ．有两条边相等的平行四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形6．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD ，长AB ＝100米，宽BC ＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线）长为（ ）A ．148米B ．196米C ．198米D ．200米二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：()3232x x y -⋅=_________． 8．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a ⊕b ＝a ×b +2×a ，则 -2⊕3的值为___ 9．已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是_____． 10．k =________，方程()2290x k x --+=有两个相等的实数根． 11．口袋里共有10个球，其中2个红球，4个绿球，其余都是黄球，从口袋中取出一个球，这个球是黄球的概率是____________．12．将二次函数2(2)3y x =-+的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数表达式为_______________．13．有一些乒乓球，不知其数，先取12个做了标记，把它们放回袋中，混合均匀后又取了20个，发现含有2个做标记，可估计袋中乒乓球有________个．14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．15．若a 与e 的方向相反，且长度为5，用e 表示a ，则a =__________．16．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t （分）和离家距离S （米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．17．如图，M 为钝角ABC ∆中BC 边的中点，经过M 的直线MN 将ABC ∆分成了周长相等的两部分．已知6,120AB A ︒=∠=，则MN =_______．18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点E 是AB 边上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 是AB 边上另一动点，连接PD ，PG ，则PD +PG 的最小值为_____．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：12028222|2020-⨯-+．20．解不等式组：263(2)4x x x >-⎧⎨-≤-⎩21．ABC ∆是68,90AB cm BC cm B ==∠=︒，的直角三角形,AB AC 、的中点分别是点M 点N ，动点P 从点B 出发，按箭头方向通过C N 、到M ;以1/cm s 的速度运动，设P 点从B 开始运动的距离为xcm ，ABP △的面积为2ycm 试回答以下问题：(1)P 点从B 出发到M 停止，写出y 与x 的函数关系式并写出x 的取值范围．(2)求出P 点从B 出发后几秒时，14ABP ABC S S ∆∆=22．某商场第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入资金继续进行经营.(1)如果第一年的年利率为p,则第一年年终的总金可用代数式表示为万元.(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点,第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年利率.23．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O 点，若S △AOD :S △DOC ＝2:3，求S △AOB :S △COD ．24．二次函数2y x bx c =-++与x 轴分别交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，直线BC 的解析式为3y x =-+，⊥AD x 轴交直线BC 于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）(,0)M m 为线段AB 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与抛物线及直线BC 分别交于点E 、F ．直线AE 与直线BC 交于点G ，当12EG AG 时，求m 值．25．已知点P 为∠MAN 边AM 上一动点，⊙P 切AN 于点C ，与AM 交于点D （点D 在点P 的右侧），作DF ⊥AN 于F ，交⊙O 于点E ．（1）连接PE ，求证：PC 平分∠APE ；（2）若DE ＝2EF ，求∠A 的度数；（3）点B 为射线AN 上一点，且AB ＝8，射线BD 交⊙P 于点Q ，sin ∠A ＝13．在P 点运动过程中，是否存在某个位置，使得△DQE 为等腰三角形？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说明理由．。
2021年上海市中考数学模拟预测卷(附答案).doc
上海市中考数学模拟预测卷（时间：100分钟，满分析150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、据统计，202X 年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（ ）（A ）8.0016⨯610； （B ）8.0016710⨯； （C ）8100016.8⨯； （D ）9100016.8⨯ 2、下列计算结果正确的是（ ） （A ）824a a a =⋅; （B ）()624a a =; （C ）()222b a ab =; （D ）()222b a b a -=-. 3、下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（ ）（A ）折线图； （B ）扇形图； （C ）统形图； （D ）频数分布直方图。
4、下列问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）（A ）等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高；（B ）等边三角形的面积与它的边长；（C ）长方形的长确定，它的周长与宽；（D ）长方形的长确定，它的面积与宽。
5、如图1，已知321////l l l ，64==DF DE ，，那么下列结论正确的是（ ）（A ）1:1:=EF BC ； （B ）2:1:=AB BC ；（C ）3:2:=CF AD ； （D ）3:2:=CF BE6、如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）（A ）2cm ； （B ）23cm ； （C ）4cm ； （D ）43Cm 。
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、分解因式：=-22mb ma ___________；8、方程x x =+2的根是________；9、不等式组⎩⎨⎧>+>1320-2x x 的解集是_____________； 10、如果关于x 的方程0472=-++a x x 有两个相等的实数根，那么a 的值等于________； 11、函数xx y 41-=的定义域是__________；12、某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是____米；13、一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0,1,3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是________；14、如图2，在四边形ABCD 中，点P N M 、、分别是BD BC AD 、、的中点，如果b DC a BA ==，那么=MN ________________；（用b a 和表示）15、如果某市6月份日平均气温统计如图3所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是________；16、已知点()11y x A ，和点()22y x B ，在反比例函数xk y =的图像上，如果当210x x <<，可得21y y <，那么k ______________；（填“>”、“=”、“”<）17、如图4，点F E 、分别在正方形ABCD 的边BC AB 、上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果35==BF BE ，，那么EF FG :的比值是_______；18、如图5①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边BC AD 和分别交于点E 、点F 。
2021年上海市中考数学仿真押题试卷(word版 含答案)
2021年上海市中考仿真押题卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ）A ．4；B ．6；C ．8；D ．102.如果b a <，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）．(A) c b c a +<+； (B) c b c a +-<+-； (C) bc ac <； (D)cbc a <． 3.如果将抛物线2y x =向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）A ．21y x =-；B ．21y x =+；C ．2(1)y x =-；D ．2(1)y x =+．4. 在防治新冠病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃记作负数，体温正好是37℃的记作0，一位返沪人员在一周内的体温测量结果分别为：（单位：℃）如下：－0.3，＋0.1，-0.5，＋0.1，+0.2，－0.6，-0.4。
那么该人员一周内体温的中位数和众数为（ ）A ．37.1℃，36.6℃ B.36.7℃，37.1℃ C.37.1℃，37.1℃ D.36.7℃，36.6℃5.下列说法中正确的是（）A ．两直线被第三条直线所截得的同位角相等B ．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补C ．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D ．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 6.已知圆的半径为3cm ，圆的半径为7cm ，若圆和圆的公共点不超过1个，则两圆的圆心距不 可能是（ ）A 、0cmB 、4cmC 、8cmD 、12cm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果分式2-3x 有意义，那么x 的取值范围是____________．8．分解因式：24x y y -= ．9. 不等式组1023x x ->⎧⎨≤⎩的解集是_______________．10.如果一个正比例函数的图像过点(2,4)-，那么这个正比例函数的解析式为.11. 如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于 .12.已知函数()xx f -=11，则()=2f ．13．布袋中装有2个红球和7个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．14．某校600名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表的信息，可测得测试分数在60~70分数段的学生有 名． 分数段 60—70 70—80 80—90 90—100 频率0.250.30.2515.已知G 是△ABC 重心，设 A B =a，AC= b，那么AG ＝ （用 a、b表示）16.如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 海里（结果保留根号）．P 402A P 30°B ABBH17.在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AB 上一点（不与A 、B 重合），以点A 为圆心，AE 为半径作A ⊙，如果C ⊙与A ⊙外切，那么C ⊙的半径r 的取值范围是 ．18.如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和边BC 分别交于点E 、点F ，然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”，如图②，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，当“折痕△BEF ”面积最大时，点E 的坐标为三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分） 计算 30tan 321238)2010(2+⎪⎭⎫⎝⎛+-+---.20.（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=--40222y x y xy x ②①21.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，10AB AC ==，35sinC =，点D 是BC 上一点，且DC AC =． （1）求BD 的长；（2）求tan BAD ∠．22. （本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量。
上海市2021年中考数学考前模拟试卷(含解析)
2021年中考数学考前模拟卷一、选择题:（本大题共6小题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在相应位置上】1．(本题4分)在平面直角坐标系中，已知点()2,3P -和点()2,1Q -，经过点P 的直线l y ⊥轴，R 是直线l 上的一个动点，当线段QR 的长度最短时，点R 的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()1,2--C ．()2,1--D ．()2,32．(本题4分)二次函数2(2)1y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(2, 1)B ．(-2, 1)C ．(2, -1)D ．(-2, -1) 3．(本题4分)如图，六边形的内角都相等，，则下列结论成立的个数是①；②；③；④四边形是平行四边形；⑤六边形即是中心对称图形，又是轴对称图形（ ）A ．B ．C ．D ．4．(本题4分)为了估计池塘中鱼的数量，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归池塘，过了一段时间，他再从池塘中随机打捞60条鱼，发现其中有15条鱼有记号，则池塘中鱼的条数约为（ ）A ．300B ．400C ．600D ．8005．(本题4分) 下列运算正确的是（ ）．A ．a 6÷a 3=a 2B ．5a 2﹣3a 2=2aC ．（a 3）3=a 9D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 26．(本题4分) ）A B C D 二、填空题:（本大题共12题,每题4分,满分48分)【请将结果直接填入相应位置】7．(本题4分)如图，梯形ABCD 中，AD∥BC ，∥A ＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB ：BC ＝_____．8．(本题4分)写出一个不过原点，且y 随x 的增大而增大的函数_________.9．(本题4分)计算：x 3•x 2＝_____．10．(本题4分)若多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于36︒，那么这个多边形的内角和等于________°．11．(本题4分)已知()23f x x x =+，那么()2f -=______．12．(本题4分)关于x 的方程（m ﹣5）x 2﹣3x ﹣1=0有两个实数根，则m 满足_____．13．(本题4分)如图所示，某城市公园的雕塑由3个直径为1 m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为____m ．(结果精确到0．1 m)14．(本题4分)如果向量c 与单位向量e 方向相反，且长度为2，那么向量c ＝_____(用单位向量e 表示)． 15．(本题4分)如果八折购买一本书，比九折购买少2元，那么这本书的原价是___________元． 16．(本题4分)一只不透明的袋子中装有三只形状一样的小球，它们的标号分别是1,2,3，从中摸出1个小球，标号为奇数的概率是_________17．(本题4分)分解因式：4x 2－y 2＝________________．18．(本题4分)已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接,,AE BE DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若1AE AP ==，PB =PD 的长为________．三、解答题:(本大题共7题，满分78分)19．(本题10分)（1）计算：cos60°﹣tan30°+tan60°﹣2sin 245°；（2）解方程：2（x ﹣3）2＝x （x ﹣3）．20．(本题10分)计算：√−641253−(438−1)23×(8116)−12+(√2−1)221．(本题10分)如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、C 、D 三点的圆O 交AB 于点E ，连接DE 、CE ，∥BCE ＝∥CDE ．（1）求证：直线BC 为圆O 的切线；（2）猜想AD 与CE 的数量关系，并说明理由；（3）若BC ＝2，∥BCE ＝30°，求阴影部分面积．22．(本题10分)在∥ABC 中，∥ABC=45 ，BD∥AC 于点D ，过点C 作CE∥AB 于点E ，交BD 于点F （1）依题意补全图形（2）求证：∥ABD=∥ACE（3）求证：EF=AE23．(本题12分)小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O-A-B-C 和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式；（3）若设两人在路上相距不超过0.4千米时称为可以“互相望见”，则小聪和小明可以“互相望见”的时间共有多少分钟？24．(本题12分)如图，BD是∥O的直径，BA是∥O的弦，过点A的切线CF交BD延长线于点C．（∥）若∥C＝25°，求∥BAF的度数；（∥）若AB＝AC，CD＝2，求AB的长．25．(本题14分)如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）过点A 作//AP CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A ，M ，G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似？若存在，直接写出M 点的坐标；否则，请说明理由．参考答案1．D【解析】∥点()2,3P -，经过点P 的直线l y ⊥轴，∥直线l 为：3y =的直线，由题意可知：QR l ⊥时，QR 最短，∥此时R 点横坐标与Q 点相同，纵坐标与P 点相同，即()2,3R ，故选：D ．2．A【解析】二次函数y=（x ﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（2，1）．故选A ．3．D【解析】∥六边形ABCDEF 的内角都相等，∥∥EFA=∥FED=∥FAB=∥ABC=120°，∥∥DAB=60°，∥∥DAF=60°，∥∥EFA+∥DAF=180°，∥DAB+∥ABC=180°，∥AD∥EF∥CB ，故②正确，∥∥FED+∥EDA=180°，∥∥EDA=∥ADC=60°，∥∥EDA=∥DAB ，∥AB∥DE ，故①正确，∥∥FAD=∥EDA ，∥CDA=∥BAD ，EF∥AD∥BC ，∥四边形EFAD ，四边形BCDA 是等腰梯形，∥AF=DE ，AB=CD ，∥AB=DE ，∥AF=CD ，故③正确，连接CF 与AD 交于点O ，连接DF 、AC 、AE 、DB 、BE ．∥∥CDA=∥DAF ，∥AF∥CD ，AF=CD ，∥四边形AFDC 是平行四边形，故④正确，同法可证四边形AEDB 是平行四边形，∥AD 与CF ，AD 与BE 互相平分，∥OF=OC ，OE=OB ，OA=OD ， ∥六边形ABCDEF 既是中心对称图形，故⑤正确，故选D ．4．B【解析】设鱼塘中约有x 条鱼，由题意可得：1001560x =，解得：400x =，即鱼塘中大约有400条鱼. 故选B.5．C【解析】A 选项利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，原式应等于a 6−3=a 3；B 选项合并同类项时，把系数合并，字母及字母指数不变，原式应等于2a 2；C 选项利用幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，原式=a 9，正确；D 选项完全平方式展开是三项，故错误．所以本题选C ．6．C【解析】符合定义的只有C 项，所以答案选择C 项.7【解析】解：如图连接EC ，设AB ＝a ，BC ＝b 则CD ＝2b ．由题意四边形ABCE 是矩形，∥CE ＝AB ＝a ，∥A ＝∥AEC ＝∥CED ＝90°，∥∥BCF ＝∥DCF ＝∥D ，又∥∥BCF+∥DCF+∥D ＝180°，∥∥D ＝60°， ∥3sin 2CED CD ， ∥322a b ， ∥3AB aBC b ， ∥:3:1AB BC．8．答案不唯一，如：21y x =-.【解析】由题意可知，这样的函数有很多，如：一次函数：21y x =-.故答案为：本题答案不唯一，如：21y x =-.9．x 5【解析】解：原式＝x 5．故答案是：x 5．10．1440【解析】∥多边形外角和为360°，每个内角相等，∥每个外角也相等，即为36°，每个内角为180°-36°=144°；∥边数n=360°÷36°=10，∥内角和为：144°×10=1440°；故答案为1440．11．2-【解析】把2x =-代入()23f x x x =+得()22(2)3(2)2f -=-+⨯-=-．故答案为：2-．12．m≥114且m≠5． 【解析】解：根据题意得m ﹣5≠0且()()()234510m =---⨯-≥，解得114m ≥且m≠5． 故答案为: 114m ≥且m≠5． 13．1．9【解析】如图，三个等圆的圆心分别为A. B. C ，过A 作AD∥BC 于D ，交地面于E ，交A 于F ，则∥ABC 为等边三角形，且边长为1m ，AD ∴==1 1.9m.EF ∴=≈ 所以雕塑的最高点到地面的距离为1.9m.故答案为：1.9.14．﹣2e【解析】解：∥c 的长度为2，向量e 是单位向量，∥a ＝2e ，∥c 与单位向量e 的方向相反，∥c ＝﹣2e ．故答案为﹣2e ．15．20【解析】解：设原价为x 元，由题意得：0.9x -0.8x=2解得x=20．故答案为20．16．23【解析】根据题意可得：标号为奇数的有1，3两个球，共3个球， 从中随机摸出一个小球，其标号为奇数的概率是：23. 故答案是：2.17．【解析】4x 2－y 2＝()222x y -=18．2【解析】证明：∥AE∥AP∥∥EAP=90°∥在正方形ABCD 中.∥∥BAD=90°， AB=AD∥∥EAB=∥DAP又∥AE=AP ，AB=AD∥∥APD∥∥AEB∥PD=EB ，∥APD=∥AEB又∥AE∥AP ，AE=AP=1∥∥APE=45°=∥AEP ，∥∥APD=∥AEB=135°∥∥PEB=∥AEB -∥AEP=90°即∥PEB 是直角三角形、由勾股定理得:2EB === ∥EB=PD=219．（1）132-；（2）x 1＝3，x 2＝6．【解析】解：（1）原式＝2111212322332⎛⎫-+⨯=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）移项，得：2（x ﹣3）2﹣x （x ﹣3）＝0，即（x ﹣3）（2x ﹣6﹣x ）＝0，∥x ﹣3＝0或x ﹣6＝0，解得：x 1＝3，x 2＝6．20．65−2√2 【解析】解：原式=−45−94×49+2−2√2+1=65−2√2.21．（1）见解析；（2）AD ＝EC ，理由见解析；（3）23π-【解析】（1）证明：作直径CH ，连接EH ．∥CH 是直径，∥∥CEH ＝90°，∥∥ECH+∥EHC ＝90°，∥∥BCE ＝∥EDC ，∥EDC ＝∥EHC ，∥∥BCE+∥ECH ＝90°，∥BC∥CH ，∥BC 是∥O 的切线；（2）解：猜想：AD ＝EC ．理由：∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AE∥CD ，∥∥AED ＝∥CDE ，∥AD EC =，∥AD ＝EC ；（3）解：连接OA ，OD ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥BC ＝AD ＝2，AB∥DC ，∥∥AED ＝∥CDE ，∥∥BCE ＝∥CDE ＝∥AED ＝30°，∥∥AOD ＝2∥AED ＝60°，∥OA ＝OD ，∥∥AOD 是等边三角形，∥OA ＝OD ＝AD ＝2，∥S 阴＝S 扇形OAD ﹣S ∥AOD＝226022360π⋅＝23π22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】解：（1）如图所示，CE 即为所求；（2）BD AC ⊥于点D ，过点C 作CE AB ⊥于点E ， 90A ABD A ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD ACE ∴∠=∠；（3）45ABC ∠=︒，CE AB ⊥，CE BE ∴=，()BEF CEA ASA ∴∆≅∆，EF AE ∴=．23．(1）20，0.2；；（2）s=115t ．；（3）6分钟. 【解析】（1）由题意，得小聪在图书馆查阅资料的时间为20分钟．小聪返回学校的速度为4÷20=0.2千米/分钟．故答案为20，0.2；（2）设小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数表达式为s=kt ，由题意，得 4=60k ，解得：k=115． ∥所求函数表达式为s=115t ． （3）小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，两人相距0.4千米时，0.4÷（0.2-115）=3； 当小聪从图书馆返回时：设直线BC 的解析式为s=k 1t+b ，由题意，得11440060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：11512k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝∥直线BC 的函数式为：s ＝−15t+12． 当小聪、小明在相遇之前，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时，(−15t+12)- 115t=0.4，解得t=872； 当小聪、小明在相遇之后，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时，115t -(−15t+12)=0.4，解得t=932． ∥所以两人可以“互相望见”的时间为：932-872=3（分钟） 综上可知，两人可以“互相望见”的总时间为3+3=6（分钟）．24．（∥）57.5°；（∥）AB =【解析】解：（∥）连接OA ，AD ，∥CF 是∥O 的切线，∥OA∥CF ，∥∥OAC ＝90°，∥∥C ＝25°，∥∥COA ＝65°，∥∥COA ＝∥B ＋∥OAB ，OA ＝OB ，∥∥B ＝∥OAB ，∥∥OAB ＝32.5°，∥∥BAF ＝∥OAF ﹣∥OAB ＝90°﹣32.5°＝57.5°；（∥）∥AB ＝AC ，∥∥B ＝∥C ，∥∥COA ＝2∥B ，∥3∥C ＝90°，∥∥C ＝30°，∥OA ＝12OC ，∥OA ＝OD ，∥2,CD DO OA AC ====，∥AB AC ==25．（1）(1,0)A -；(1,0)B ；(0,1)C - （2）4（3）存在；(2,3)-，47,39⎛⎫ ⎪⎝⎭，(4,15)【解析】解：（1）令y ＝0，得x 2−1＝0，解得x ＝±1，令x ＝0，得y ＝−1，∥A （−1，0），B （1，0），C （0，−1）；（2）∥OA ＝OB ＝OC ＝1，∥∥BAC ＝∥ACO ＝∥BCO ＝∥CBO ＝45°．∥AP∥CB ，∥∥PAB ＝∥CBO ＝45°．过点P 作PE∥x 轴于E ，则∥APE 为等腰直角三角形，令OE ＝a ，则PE ＝a ＋1，∥点P 在抛物线y ＝x 2−1上，∥a ＋1＝a 2−1．解得a 1＝2，a 2＝−1（不合题意，舍去）．∥PE ＝3．∥四边形ACBP 的面积S ＝12AB•OC ＋12AB•PE ＝12×2×1＋12×2×3＝4； （3）假设存在，∥∥PAB ＝∥BAC ＝45°，∥PA∥AC ，∥MG∥x 轴于点G ，∥∥MGA ＝∥PAC ＝90°在Rt∥AOC 中，OA ＝OC ＝1，∥AC在Rt∥PAE 中，AE ＝PE ＝3，∥AP ＝设M 点的横坐标为m ，则M （m ，m 2−1），①点M 在y 轴左侧时，则m ＜−1．（∥）当∥AMG∥∥PCA 时，有AG CA ＝MG CA． ∥AG ＝−m−1，MG ＝m 2−1．2， 解得m 1＝−1（舍去）m 2＝23（舍去）； （∥）当∥MAG∥∥PCA 时有或AG CA ＝MG PA，2， 解得：m 1＝−1（舍去）m 2＝−2．②点M 在y 轴右侧时，则m ＞1，（∥）当∥AMG∥∥PCA 时有AG PA ＝MG CA，∥AG ＝m ＋1，MG ＝m 2−1， ∥2， 解得m 1＝−1（舍去）m 2＝43． ∥M （43，79）； （∥）当∥MAG∥∥PCA 时有AG CA ＝MG PA ，2． 解得：m 1＝−1（舍去）m 2＝4，∥M （4，15）．∥存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∥PCA 相似， M 点的坐标为（−2，3），（43，79），（4，15）．。
【中考冲刺】2021年上海市静安区中考数学模拟试卷(附答案)
先过 作 交 于 点，根据题意求出 和 ，由 面积公式求出 ，再根据旋转的性质得 ， ，由 ，则 ，并求出 ，利用对顶角相等得 ，则 ，最后根据相似三角形性质可得
【详解】
过 作 交 于 点，
，
，
设 ， ，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
，
由 旋转而得，
， ，
，
， ，
， ，
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
∴DG= BC=4，
∴AG=2DG=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．
16．6
【分析】
先设DE=x，CE=y根据线段数量关系得出AD=DE+CE=x+y，由相似三角形对应线段成比例得到关于x，y的二元一次方程组，解得x即可求解．
∴ ，
故选：C．
【点睛】
此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．
6．B
【分析】
此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【详解】
解：根据题意作图如下：
由题意知：AB=m，∠A= ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【中考冲刺】2021年上海市普陀区中考数学模拟试卷(附答案)
绝密★启用前【中考冲刺】2021年上海市普陀区中考数学模拟试卷（附答案）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A ．2y ax bx c =++ B ．211y x =+ C ．(1)y x x =+D ．22(2)y x x =+-2．如果点()3,A m 在x 轴上，那么点(2,3)B m m +-所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为（ ）A ．23B C D 4．在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是直线1x =-D ．与y 轴的交点是(0,1)5．已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（ ） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量 C ．||2||b a =D ．12a b =-6．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA ODOB OC=，由此推得的正确结论是（ ）A ．OA ABOD CD=B ．OA ADOC BC=C ．OB ABOD CD=D ．AB ADCD BC=二、填空题 7．已知52x y =，那么x y x y+=-__________． 8．如果正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，那么y 的值随着x 的值增大而__________．（填“增大”或“减小”）9．沿着x 轴正方向看，如果抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是__________．10．二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为__________．11．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(1,0)A ，那么(1)f -__________0．（填“>”、“<”或“=”）12．在△ABC 中，AB BC CA ++＝_____．13．如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．如果12AB =，6AE =，2EC =，那么AD 的长等于__________．14．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD BD =，12CE AB =，AD 与CE 交于点F ，如果6AB =，那么CF 的长等于__________．15．如图，小明在教学楼AB 的楼顶A 测得：对面实验大楼CD 的顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β，如果教学楼AB 的高度为m 米，那么两栋教学楼的高度差CH 为__________米．16．如图，ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒，如果:1:2BD DC =，2AD =，那么DE 的长等于__________．17．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH 的面积是4，sin 10GBC ∠=，那么大正方形ABCD 的面积等于__________．18．如图，在ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折得到AFE △，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果:3:2BE EC =，那么:AF FG 的值等于__________．三、解答题19．计算：22cos302sin 452sin 60tan 45︒-︒+︒+︒．20．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）． 21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数6y x=的图像与一次函数1y kx =-的图像相交于横坐标为3的点A ．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如图，已知点B 在这个一次函数图像上，点C 在反比例函数6y x=的图像上，直线BC//x 轴，且在点A 上方，并与y 轴相交于点D ．如果点C 恰好是BD 的中点，求点B 的坐标．22．如图，在ABC 中，BC 上的一点D 在边AB 的垂直平分线上，2AB BD BC =⋅．（1）求证：B C ∠=∠；（2）如果AB =，10BC =，求cos ADC ∠的值．23．已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BDDF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．24．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ． ①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．25．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．参考答案1．C 【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠，则y 是x 的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解： 2y ax bx c =++，当0a =时，y 不是x 的二次函数，故A 错误；211y x =+，y 不是x 的二次函数，故B 错误； (1)y x x =+，即2y x x =+，y 是x 的二次函数，故C 正确；22(2)y x x =+-，即44y x =+，y 不是x 的二次函数，故D 错误；故选：.C 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．D 【分析】先根据点()3,A m 在x 轴上可得m=0，然后确定B 的坐标,最后根据B 的坐标确定B 所在的象限即可． 【详解】解：∵点()3,A m 在x 轴上 ∴m=0∴(2,3)B -，即点B 在第四象限． 故答案为D ． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A 点的位置确定m 的值成为解答本题的关键． 3．A 【分析】根据在直角三角形中，正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，得 sin A ＝23BC AB ＝， 故选A ． 【点睛】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键. 4．B 【分析】根据函数y=a （x-h ）2的性质逐项排查即可． 【详解】解：∵2(1)y x =--∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x 轴上，对称轴为直线x=1，与y 轴交点为（0，-1），所以A 、C 、D 选项错误，B 选项正确， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数y=a （x-h ）2的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关键． 5．B 【分析】根据向量的有关定义和运算分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确； B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误； C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确； D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确． 故答案为：B ．【点睛】本题考查了向量的相关应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则． 6．A 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠AOB 与∠DOC 是对顶角 ∴∠AOB=∠DOC 又∵OA ODOB OC=， ∴△AOB ∽△DOC ， ∴OA ABOD CD=． 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．73【分析】 由52x y =，设()50x k k =≠，则2y k =，再把,x y 的值代入代数式即可得到答案． 【详解】 解：52x y =， ∴ 设()50x k k =≠，则2y k =，52775233x y k k k x y k k k ++∴===--， 故答案为：7.3【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例的问题是解题的关键． 8．增大 【分析】根据题目信息，正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，可得k 的值大于0，即可得出结论． 【详解】根据正比例函数的性质可知，如果正比例函数y=kx 的图像经过第一、三象限，那么k>0， 那么y 的值随自变量x 的值增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题． 9．2a > 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则20a ->，然后解不等式即可． 【详解】∵抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴20a ->，解得2a >． 故答案为：2a >． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口． 10．(1,2)-- 【分析】先将二次函数224y x x =+化成顶点式，然后直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵()2224212y x x x =+=-+∴此函数224y x x =+图像的顶点坐标为(1,2)--． 故答案为(1,2)--． 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．11．>【分析】根据二次函数的图象得出对称轴的范围，再根据对称性即可得出答案．【详解】解：由题可知，因为二次函数的对称轴在0和0.5之间，且二次函数经过A ()1,0∴二次函数在x 轴的另一点在0和-0.5之间，∴f(-1)>0，故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂二次函数的图是解题的关键．12．0．【分析】由在△ABC 中，根据三角形法则即可求得AB +BC 的值，则可求得答案．【详解】∵0AB BC CA AC CA ++=+=．故答案为：0．【点睛】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．13．4【分析】先求出AC 的长，然后再说明△ABC ∽△AED ，最后运用相似三角形的性质列方程求解即可．【详解】解：∵6AE =，2EC =，∴AC=AE+EC=8∵AED B ∠=∠，∠A=∠A∴△ABC ∽△AED∴AD AE AC AB =,即6812AD =，解得AD=4． 故答案为4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得△ABC ∽△AED 是解答本题的关键． 14．2【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点E 为斜边AB 的中点，推出DE 为Rt ABC △的中位线，通过ACF DEF 可得出最终结果． 【详解】 解：CD BD =，∴点D 为BC 边的中点， ABC 为直角三角形，12CE AB ==3， ∴点E 为斜边AB 的中点，如图，连接DE ，DE 为Rt ABC △的中位线，则//DE AC 且12DE AC =， ACF DEF ∴，∴12DE EF AC CF ==， 已知CE=3，∴CF=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，还涉及中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，做出辅助线证明相似求解是解决本题的关键．15．tan tan m αβ【分析】连接AC ，由题意知四边形ABCH 是矩形，则DH=AB=m ，利用Rt △ADH 得到tan DH DAH AH ∠=，推出tan m AH β=，再根据Rt △ACH 中tan CH CAH AH∠=，即可求出答案．【详解】连接AC ， 由题意知四边形ABCH 是矩形，则DH=AB=m ，在Rt △ADH 中，∠DAH=β，tan DH DAH AH ∠=， ∴tan m AH β=， 在Rt △ACH 中，∠CAH=α，tan CH CAH AH ∠=， ∴tan tan tan tan m m CH ααββ=⋅=， 故答案为：tan tan m αβ． ．【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题中的仰角和俯角，构建直角三角形利用锐角三角函数解决问题是解题的关键．16．43【分析】根据题推断出△ABD ∽△DCE ，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵B BAD ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠，60ADE B ∠=︒=∠，∴BAD CDE ∠=∠，又∵60B C ∠=∠=︒，∴△ABD ∽△DCE ， ∴AB AD DC DE=， ∵ABC 为等边三角形，:1:2BD DC =， ∴23DC BC =，即：23DC AB =， ∵2AD =， ∴24233AD DC DE AB ==⨯=， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练根据等边三角形的性质推理出相似三角形，再运用性质求解是解题关键．17．10【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解．【详解】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2，设BF=x ，BG=2+x ，∵△BGC ≌△AFB ， ∴CG=BF=x ，∵sin ∠GBC=10CG BC =∴= 由勾股定理得:222(2)10x x x ++=解得：x=1或x=﹣12（舍去）大正方形ABCD 的面积=210BC =故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键．18．214【分析】由轴对称的性质可得：BEA FEA ∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，结合平行四边形的性质，结合:3:2BE EC =，设3,BE k =则2EC k =，证明5BC AD DE k ===，再证明ADG DFG ∽△△，可得：5522AD DG AG k DF FG DG k ====，求解：25,52FG DG AG DG ==，从而可得答案．【详解】 解： ≌ABE AFEBEA FEA ∴∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，ABCD//AD BC ∴，AD BC =，B ADC ∠=∠，BEA DAE FEA ∴∠=∠=∠AD DE ∴=:3:2BE EC =∴ 设3,BE k =则2EC k =，5BC AD DE k ∴===，2DF k ∴=，DFG AFE ∠=∠，DFG ADG ∴∠=∠，DGF AGD ∠=∠，ADG DFG △∽△，5522AD DG AG k DF FG DG k ∴====， 25,52FG DG AG DG ∴==， 254AG FG ∴=， 2544AG FG FG --∴=， 214AF FG ∴=， 故答案为：21.4 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．192- 【分析】根据cos30=°=sin 60︒，sin 45=︒，tan 451︒=求解即可． 【详解】解：原式1222=-⨯+112=-+-22=-． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值． 20．（1）8BF =；（2）4b ，332b a -【分析】（1）先证△CEG ∽△CBA ，再证△ECG ∽△EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）∵AB ∥GE ，∴∠B=∠DEC ，∵∠ACB=∠ACB ，∴△CEG ∽△CBA ， ∴1=2AG BE GC CE =， ∴CE=2BE=4，同理△ECG ∽△EFD ， ∴1=2DG FC GE CE =， ∴CE=2FC=4，∴FC=2，∴BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b =，由（1）可知BE=CF=12EC ， ∴22EC BE b ==，CF b =，∴4BF BE EC CF b =++= ，∵EG a = ， ∴1122GD EG a ==， ∴32ED EG CD a =+=， ∵23EF EC CF b b b =+=+=， ∴332DF EF ED b a =-=-． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．21．（1）1y x =-；（2）(4,3)B【分析】（1）先将点A 的坐标求出来，然后代入一次函数表达式求解即可；（2）根据题意设出C 、B 两点的坐标，将B 点坐标代入一次函数中即可求出最终结果．【详解】解：（1）点A 在反比例函数图像上且横坐标为3，则(3,2)A ， 由题意，得312k -=，1k ∴=，∴一次函数解析式1y x =-；（2）设6,C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 62,B x x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又点B 在一次函数图像上，621x x∴=-，解得2x =或32x =-（舍去）． (4,3)B ∴．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，难度一般，熟练掌握一次函数与反比例函数综合题的处理方法，能够设出点通过未知数求解是解决本题的关键．22．（1）见解析；（2）1cos 4ADC ∠=【分析】（1）由2AB BD BC =⋅，得出AB BC BD AB=，可证得ABD BCA △∽△，进而证得BAD C ∠=∠，再根据线段垂直平分线的性质可推得BAD B =∠∠，根据等量代换即可解得；（2）作DE ⊥AB 于E ，由AH 垂直平分BC ，求出BE AE ==，5BH CH ==，由勾股定理求出AH ，设DH x =，则5BD AD x ==-，再由勾股定理求出AD ，然后由三角函数定义即可得出结果．【详解】解：（1）证：2AB BD BC =⋅，AB BC BD AB∴=， 又B B ∠=∠，ABD BCA ∴△∽△，BAD C ∴∠=∠，又DE 是AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，BAD B ∴∠=∠，B C ∴∠=∠．（2）作ED 垂直平分AB ，AH 垂直平分BCBE AE ∴==5BH CH ==，在Rt ABH △中，AH ===在Rt ADH 中，设DH x =，则5BD AD x ==-2215(5)x x +=-1x =4AD ∴=1cos 4ADC ∴∠=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角函数的定义，难度不大，正确做出辅助线是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证；（2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BCADB DBC ∠=∠∴ABD C ∠=∠∴ABD DCB △∽△，又∵AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BD DF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∴90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∴45ADB BDF ∠==︒AE BD ⊥，∴90∠=︒AED ∴cos45DE DF DA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△DCB EFD ∴△∽△DC BC EF DF∴= DF DC EF BC ∴⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（1）(0,1)A ，21212y x x =-+；（2）①(1,0)C -，(6,7)D ；②P 坐标为1229,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线21y ax bx =++与y 轴的交点是当x=0时，求y 的值即可，根据顶点坐标(2,1)B -设顶点式：2(2)1y a x =--，再将点(0,1)A 代入即可求解；（2）①根据90CAB ∠=︒，先求出C 的坐标，根据待定系数法求出直线AC 的解析式，联立直线与抛物线即可得D 点坐标；②先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，根据相似的性质即可求解．【详解】解：（1）当x=0时，y=1∵顶点(2,1)B -2(2)1y a x ∴=--，将(0,1)A 代入得：1=4a-1解得：a=122211(2)12122y x x x ∴=--=-+ （2）如图：设直线AB 的解析为:y=kx+1，将B(2,-1)代入得:-1=2k+1解得：k=-1∴y=-x+1当y=0时，x=1∴Q(1,0)故△AOQ 是等腰直角三角形∴∠BAO=45°①90CAB ∠=︒45CAO CAB BAO ∴∠=∠-∠=︒1OC OA ∴==:1AC l y x =+2161212y x x y x x =+⎧⎪∴⇒=⎨=-+⎪⎩或0（舍）， (6,7)D ∴ ②1tan tan tan 3DAP ADB BCQ ∠=∠==∠ DAP BCQ ∴∠=∠:25BD l y x =-，:21AP y l x =+设(,21)P m m +，AP =，AD =CB =2CQ =1）若ADP CBQ △∽△AD AP CB CQ =⇒=125m =，1229,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2）若ADP CQB △∽△2AD AP CQ CB =⇒= 6m =．此时点P 横向移动距离大于点B 最大横向移动距离（舍）综上，点P 坐标为1229,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，以及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．25．（1）见解析；（2）3cot 61x ADG x -∠=-；（3）92-． 【分析】（1）证明ADF ABE △∽△，根据相似的性质即可求解；（2）作GH CF ⊥于点H ，得到13GH FH FG CE FC FE ===，进而得到33x GH -=，313x FH +=，613x DH DF FH -=-=，根据余切定义即可求解； （3）根据FGD AFE ∠=∠，得到 FAD ADG ∠=∠，进而得到1cot cot FAD BAE x ∠=∠=，根据（2）结论得到关于x 方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=∠ADF=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠EAD=90°，∵AE ⊥AF ，∴∠EAD+∠FAD=90°，∴∠BAE=∠DAF ，∴ADF ABE △∽△，AD DF AB BE∴=； （2）由（1）可得3DF x =，作GH CF ⊥于点H ，∴GH ∥EC ，∴△FGH ∽△FEC ， ∴13GH FH FG CE FC FE ===， 33x GH -∴=，313x FH +=， 613x DH DF FH -=-=， 3cot cot 61GH x ADG HGD DH x -∴∠=∠==-；（3）如图，∵FGD AFE ∠=∠，∴AF ∥GD ，∴ FAD ADG ∠=∠， ∴1cot cot FAD BAE x ∠=∠=， 由（2）得3cot 16x ADG x-∠=-， 1316x x x-∴=-，解得1x =（大于3．舍去）2x =，BE ∴的长为92-．【点睛】本题考查了相似三角形，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，根据题意证明ADF ABE △∽△，理解余切的定义，并构造方程是解题关键．。
【中考冲刺】2021年上海市宝山区中考数学模拟试卷(附答案)
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
3．D
【分析】
先证明：四边形 是平行四边形，可得 ，利用 ，再求解 ，再证明 ，利用相似三角形的性质求解 ，再利用线段的和差可得答案．
【详解】
解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了线段的中点定义，注意向量的方向及运算法则．
5．A
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：
故答案为：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
16．6
【分析】
设正方形铁皮的边长为x，证明△AEF∽△DBG，得到 ， ，求解即可．
【详解】
设正方形铁皮的边长为x，
∵ ，
∴∠A+∠B= ，
在正方形 中，EF=DG=FG=x，∠EFG=∠DGF= ,
∴∠AFE=∠BGD= ，
∴∠A+∠AEF= ,
∴∠AEF=∠B，
∴△AEF∽△DBG，
∴ ，
∴ ，
A． B．抛物线的对称轴为直线
C． D．点 和 在拋物线上，则
二、填空题
7．已知 ，那么 ________．
8．已知线段 厘米， 厘米，那么线段 和 的比例中项 的长度为______厘米．
9．如果线段 的长为2，点 是线段 的黄金分割点，那么较短的线段 ______．
【中考冲刺】2021年上海市杨浦区中考数学模拟试卷(附答案)
别落在点6、G处，如果BB出AC,联结Cb交边AB于点D那么—的值为・
三、解答题
in■丄皆tan260°-2sin30°
4cos"45° +cot30
20.已知一个二次函数的图像经过点A（—1,0）、3（0,3）、C（2,3）.
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点Pg」）、。*））在这个二次函数图像上，且兀v0,那么儿
(1)如果点D为边BC的中点，求ZDAB的正切值;
(2)当点F在边AC上时，设CD = x, CF = y，求y关于x的函数解析式及定义域;
(3)联结£＞尸如果与△4GE相似，求线段CD的长.
顶点G、尸分别在边AC.BC上，点D、E在斜边43上，那么正方形DEFG的边长
17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形•如图，已知在对余四边形
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3
ABCD +, AB = 10, BC = 12, CD=5,tanB = -,那么边4£）的长为
18.如图，己知在'ABC中，ZB=45°, ZC二60。，将△ABC绕点A旋转，点B、C分
（1）如果点p与点c重合，求线段4P的长；
（2）如果抛物线经过原点，点0是抛物线上一点，tanZOPe = 3,求点0的坐标;
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求加的取值范围・
25・如图，己知在R仏ABC中，ZACB =90°,AC = BC = 4,点D为边BC上一动 点(与点E、C不重合)，点E为边AB上一点，AEDB=ZADC,过点E作EF丄AD,垂足为点G,交射线4C于点F.
绝密★启用前
【中考冲刺】
案）
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2021年上海市九年级中考数学模拟试卷
上海中考数学模拟试卷一、选择题（每题4分） 1. 下列计算正确的是（ ）A. 633a a a =+B.()623a a = C. 326a a a =÷ D.()33ab ab =2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）3. 如果,b a <那么下列结论一定成立的是（ ）A. b a +>+-11B.b a ->-22 C . 2b ab < D. 22b a <4. 某校男子篮球队10名队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，将他们投中的次数进行统计，制成下表：那么这10名队员投中次数组成一组数据中，众数和中位数分别为（ ） A. 7,7 B. 3,7.5 C. 8,7.5 D. 8, 85. 如果ABCD 的对角线相交于点,O 那么下列条件中，能判断ABCD 为菱形的是（ ） A. OCD OAB ∠=∠ B. OBC OAB ∠=∠ C. ODC OAB ∠=∠ D. OAD OAB ∠=∠6. 已知),(),,(222111y x P y x P 是抛物线ax ax y 42-=图像上的两个点，则下列命题正确的是（ ）A. 如果,21y y =那么21x x =；B. 如果2221->-x x ，那么21y y >；.C 如果2221-=-x x ，那么21y y =； D. 如果2221->-x x ，那么21y y <；二、填空题（每题4分） 7. 计算：ab b a 262÷=_______. 8. 已知12)(+=x x f ，那么)2(-f =_________. 9. 方程x x =-2的解为__________.10. 如果关于x 的方程062=+-m x x 有实根，那么实数m 的取值范围是________.11. 一个口袋内装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球(除编号外都相同),从中随机摸出一个球，那么摸出编号为素数的球的概率是________.12. 将抛物线22+=x y 向左平移3个单位，再向下平移1个单位后，那么所得新抛物线的解析式为___________.13. 如图，已知AD 是ABC ∆的中线，如果a AB =，b AD =，那么向量AC 用b a 与表示为________.14. 某商店共有80件某型号衬衫，先以每件150元的标牌价出售，在售出若干件后，剩余衬衫全部按标牌价的8折售完，途中折线OAB 反映了该型号衬衫的营业收入y(元）与售出衬衫n(件）之间的函数关系的特征，根据图像所提供的信息，该型号衬衫按标牌价售出的件数为____件.15. 我国古代著作《四元玉鉴》以七言诗的形式记载了一个名为“买椽多少”的数学问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几珠椽，每珠脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价格为6210文，如果每珠椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，试问6210文能买多少珠椽？如果设这批椽的数量为x 珠，那么可得方程为________.16. 将一副直角三角板),456090(o o o EF BC F C FDE A ，两条斜边分别为，，=∠=∠=∠=∠按图中所示位置摆放，点D 在边AB 上，且BC EF //，那么ADF ∠等于_______度.17. 如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，1=AD ，过点B 作CD BE ⊥于E,联结AE ，若C AEB ∠=∠，且,2tan =C 那么AE 的长是_________.18. 如图，等边ABC 的边长为6，点D 在边AC 上，1=AD ，线段PQ 在边AB 上运动(AQ AP >),且1=PQ ，有下列结论：①BCP AQD ∆∆与可能相似；②以P 为圆心，PC 为半径的圆与以点A 为圆心，AD 为半径的圆，可能内切； ③以D 为圆心，DC 为半径的圆与以点Q 为圆心，QP 为半径的圆，可能外切； 其中，所有正确结论的序号是_____________.三、解答题19. （本题满分10分）计算：1o 021)145sin 2()(2312-+----+π.20. （本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+--=-0320222y y x xy x21.（本题满分10分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分）如图，已知OM,点∠上，,AMON在射线AB⊥点B为垂足.ON（1）求作：OB延长线上一点P,使点P到MAB∠的两边ABAM,的距离相等（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）（2）在（1）条件下，如果APBAO=+;AB∠2，求证:PB=O∠22.（本题满分10分）某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购了乙品牌的文具盒，乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数量．23. （本题满分10分，每小题6分） 如图，D O BC A 是弦的中点，是劣弧BC 上一点，半径OA 与线段BC 交于点E ，已知OA =7，BC=10.（1）求线段OD 的长；（2）当4:5:=BE OE 时，求OED ∠的余弦值.24. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－2，5)，与x 轴相交于B (－1，0)，C (3，0)两点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC 'D ，若点C '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式．xyAB CD C'OxyAB CDC'O25. 如图，在ABC Rt ∆中，o 90=∠ACB ，8,6==CB CA ，AD 是三角形的角平分线；E 是边AC 上的动点，BE CP ⊥于P ,交AB 于F ，CF BE ,分别交AD 于N M 、. （1）如果PMN ∆是等腰三角形，求CE 的长；（2）以C 为圆心，CD 长为半径作C ，在以A 为圆心，AF 为半径作,A A C 如果与相切，求CE 的长;（3）在点E 运动过程中，PMN ∆是否可能与ABC ∆相似？如果能相似，求此时AF 的长；如果不能相似，请说明理由.。
2021年上海市普陀区中考数学一模试卷(有答案)
2021 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED ∥BC ； B. 当时，能判断ED ∥BC ； C. 当时，不能判断ED ∥BC ； D. 当时，能判断ED ∥BC ；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
2021年上海市中考数学模拟预测试题(附答案)
上海市中考数学模拟预测试题（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．考试中不能使用计算器．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列计算中，正确的是 ……………………………………………………………………（ ▲ ）(A)336a a a +=(B)326a a a ⋅=(C)329()a a -=(D)236()a a -=-2．下列说法不一定．．．成立的是 …………………………………………………………………（ ▲ ） (A)若a b >，则a c b c +>+ (B)若a c b c +>+，则a b >(C)若a b >，则22ac bc >(D)若22ac bc >，则a b >3．抛物线281y x x =--的对称轴为 …………………………………………………………（ ▲ ）(A)直线4x =(B)直线4x =-(C)直线8x =(D)直线8x =-4．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 …………………………………………（ ▲ ）(A)16 (B)13(C)12 (D)235．如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为…………（ ▲ ）(A)2、3π(B)π、23π(D)43π6．下列判断错误的是 …………………………………………………………………………（ ▲ ）(A)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 (B)对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (C)对角线相等的四边形是矩形(D)对角线互相平分的四边形是平行四边形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．购买单价为a 元的笔记本3本和单价为b 元的铅笔5支应付款 ▲ 元． 8．分解因式：228x x --= ▲ ．5题图）9x 的解为 ▲ ． 10．函数y =的定义域为 ▲ ．11．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是▲ ．12．如果一个正比例函数的图像过点(2,4)-，那么这个正比例函数的解析式为 ▲ ． 13．崇明县校园足球运动正在蓬勃发展，已知某校学生“足球社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“足球社团”成员年龄的中位数是 ▲ 岁．14．如图，在已知的ABC ∆中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD AC =，50A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ▲ ．15．已知一斜坡的坡比为1:2，坡角为α，那么sin α= ▲ ． 16．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，AD b =，如果用向量a 、b 表示向量BC ，那么BC = ▲ ．17．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为 “协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 ▲ ．18．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转60°，得到MNC ∆，连接BM ，那么BM 的长是 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：11231271)2-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（第14题图）ABCD NM（第16题图）（第18题图）ABCMN20．（本题满分10分）解方程组：2221320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+(0)k ≠的图像经过(0,2)A -,(1,0)B 两点，与反比例函数my x=(0)m ≠的图像在第一象限内交于点M ， 若OBM ∆的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P 是x 轴正半轴上一点且90AMP ∠=︒，求点P 的坐标．22．（本题满分10分，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65° PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张． （1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．1.41≈, 1.73≈）．23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知正方形ABCD 的对角线相交于点O ，CAB ∠的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，作BH AF ⊥，垂足为H ，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G 、P ．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）已知，一条抛物线的顶点为(1,4)E -，且过点(3,0)A -，与y 轴交于点C ，点D 是这条抛物线上一点，它的横坐标为m ，且31m -<<-，过点D 作DK x ⊥轴，垂足为K ，DK 分别交线段AE 、AC 于点G 、H ．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH HK =；（3）当CGH ∆是等腰三角形时，求m 的值．（第23题图）（第24题图）25．（本题满分14分，其中第(1)小题4分，第(2)、(3)小题各5分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，8BC =，过线段BO 上一动点D ，作AD BC ⊥交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH AO ⊥，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH BD =；（2）设BD x =，BE BF y ⋅=，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当FAE ∆与FBG ∆相似时，求BD 的长度．（第25题图1）ABDOE HFC（第25题图2）CODB GAFHE答案及评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2.C ； 3.A ； 4.B ； 5.D ； 6.C 二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分）7．35a b +； 8．(4)(2)x x -+； 9．x =2； 10．x ＞3； 11．1k <； 12．2y x =-； 13． 14； 14．105°；15．516．a b 22-； 17． 8或10； 18三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=3421+-………………………………………………8分=4 ………………………………………………………………2分 20． 解：由②得：20x y -=，0x y -= ………………………………………2分原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21x y x y +=⎧⎨-=⎩ …………………………………2分解得原方程组的解为1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………6分21.解：（1）∵一次函数y =kx +b （k ≠0）的图像经过A （0，﹣2），B （1，0）两点 ∴02k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得22k b =⎧⎨=-⎩…………………………………………1分∴一次函数的解析式为22y x =- ………………………………………1分 设点M 的坐标为(,22)x x -∵△OBM 的面积是2，M 在第一象限内∴11(22)22x ⨯⨯-= 3x =………………………………………………………………1分∴(3,4)M ……………………………………………………………………1分∵点M （3,4）在反比例函数my x=（m ≠0）的图像上 ∴12m =∴反比例函数的解析式为12y x=…………………………………………1分 （2）∵(0,2)A -，(1,0)B ，(0,0)O ，(3,4)M ∴1OB =AB == ………………………………………………1分MB ==…………………………………………1分 ∵∠AOB=∠AMP=90° ∠OBA=∠MBP∴△OAB ∽△MPB …………………………………………………………1分 ∴OB ABBM BP=∴BP=10 ………………………………………………………………………1分 ∴P （11,0） …………………………………………………………………1分 22．（1）100；6010t + …………………………………………………………各2分 （2）过O 作OH ⊥PQ ，垂足为H ∴∠OHP=90°由题意得∠OPH=65°-20°=45°…………………………………………1分∴cos 2PH OPH OP ∠==sin 2OH POH OP ∠== ∵OP=200（千米）∴OH PH ==（千米） ………………………………………2分∴20t ==（小时） ………………………………………1分此时半径为6010130.5+⨯≈（千米） ……………………………1分 ∵台风中心与城市的最短距离为1412100≈（千米）又∵141＞130.5∴这股台风不会侵袭这座海滨城市． …………………………………1分23． （1）∵四边形ABCD 是正方形，∴12OA AC =，12OB BD =，AC BD =，∠AOE=∠BOG=90° ……………1分 ∴OA=OB …………………………………………………………………………1分∵BH⊥AF， ∴∠AHG=90°，∴∠GAH+∠AGH=90°………………………………………………………………1分 ∵∠BOG=90°∴∠OBG+∠AGH =90°，∴∠GAH=∠OBG ……………………………………………………………………1分 ∴△OAE≌△OBG（ASA ） ……………………………………………………………1分 ∴AE=BG ………………………………………………………………………………1分 （2）∵△OAE≌△OBG ∴OG=OE ∴OG OEAO AO=……………………………………………………………………1分 ∵四边形ABCD 是正方形∴AB=BC ，∠ABC=∠BCD=90°，AB ∥CD ∴PC CG PCAB AG BC==……………………………………………………………1分 ∵∠AHG=∠ABC=90°∴∠FAB+∠ABH=∠CBP+∠ABH=90°∴∠FAB=∠CBP ……………………………………………………………………1分 ∵AF 平分∠CAB ∴∠FAC=∠FAB∴∠FAC=∠CBP ……………………………………………………………………1分 ∴tan ∠FAC=tan ∠CBP 又∵∠AOE=∠BCP=90°∴tan ∠FAC=OE OA ，tan ∠CBP=PCBC∴OE PCOA BC =………………………………………………………………………1分 ∴OG CG AO AG= ∴GO AG CG AO = ……………………………………………………………1分 24．（1）解： ∵抛物线的顶点为E (1,4)-∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++ （0a ≠） ……………………2分 又∵抛物线过点A (3,0)- ∴440a +=1a =- ………………………………………………………………1分 ∴这条抛物线的解析式为2(1)4y x =-++ ………………………………1分 （2）∵A (3,0)-，E (1,4)-，C (0,3)∴直线AE 的解析式为26y x =+ ； 直线AC 的解析式为3y x =+ ∵D 的横坐标为m ，DK ⊥x 轴∴(,26)G m m +…………………………………………………………………1分(,3)H m m +……………………………………………………………………1分∵ K (,0)m ∴3GH m =+，3HK m =+ ……………………………1分 ∴GH HK = ……………………………………………………………………1分 （3）∵C （0,3），(,26)G m m +，(,3)H m m + 1° 若CG=CH ，则22)32(++m m =22m m +解得11m =-，23m =-都是原方程的解，但不合题意舍去．所以这种情况不存在。
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2021年上海市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．下列实数中，无理数是（）A．0 B．C．﹣2 D．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，﹣2，是有理数，数无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0【分析】根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．4．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（）A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：0，1，2，5，6，6，8，位于中间位置的数为5，故中位数为5，数据6出现了2次，最多，故这组数据的众数是6，中位数是5，故选C．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．菱形B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；B、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．计算：2aa2= 2a3．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2aa2=2×1aa2=2a3．故答案为：2a3．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．不等式组的解集是x＞3 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，则不等式组的解集为x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．方程=1的解是x=2 ．【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．【解答】解：，两边平方得，2x﹣3=1，解得，x=2；经检验，x=2是方程的根；故答案为x=2．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10．如果反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．故答案为：减小．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是40.5 微克/立方米．【分析】根据增长率问题的关系式得到算式50×（1﹣10%）2，再根据有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解．【解答】解：依题意有50×（1﹣10%）2=50×0.92=50×0.81=40.5（微克/立方米）．答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．故答案为：40.5．【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握增长率问题的关系式．12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是．【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： =．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．13．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1 ．，∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，故答案为：y=2x2﹣1．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．14．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是120 万元．【分析】利用一月份的产值除以对应的百分比求得第一季度的总产值，然后求得平均数．【解答】解：第一季度的总产值是72÷（1﹣45%﹣25%）=360（万元），则该企业第一季度月产值的平均值是×360=120（万元）．故答案是：120．【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．15．如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设=， =，那么向量用向量、表示为+2．【分析】根据=+，只要求出即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴==，∴ED=2AE，∵=，∴=2，∴=+=+2．【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45 ．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是8＜r＜10 ．【分析】先计算两个分界处r的值：即当C在⊙A上和当B在⊙A上，再根据图形确定r的取值．【解答】解：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，⊙A的半径为：AC=AD=4，⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；如图2，当B 在⊙A 上，⊙B 与⊙A 内切时，⊙A 的半径为：AB=AD=5，⊙B 的半径为：r=2AB=10；∴⊙B 的半径长r 的取值范围是：8＜r ＜10．故答案为：8＜r ＜10．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和点与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆内切时，两圆的圆心连线过切点，注意当C 在⊙A 上时，半径为3，所以当⊙A 半径大于3时，C 在⊙A 内；当B 在⊙A 上时，半径为5，所以当⊙A 半径小于5时，B 在⊙A 外．18．我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6= ．【分析】如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接EC ．易知BE 是正六边形最长的对角线，EC 的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC 是直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接EC ．易知BE 是正六边形最长的对角线，EC 的正六边形的最短的对角线，∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，∴∠OEC=∠OCE=30°，∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形，∴=cos30°=，=，∴λ6故答案为．【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．计算： +（﹣1）2﹣9+（）﹣1．【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．【解答】解：原式=3+2﹣2+1﹣3+2=+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．解方程：﹣=1．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x=x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根，∴原方程的解为x=﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．21．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得===，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB===3，∴sinB===．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴===，∴==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE===5．【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；【解答】解：（1）设y=kx+b，则有，解得，∴y=5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD 是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c 可求得c的值；（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的纵坐标为﹣．将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（2）如图2中，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=OA=，∴AD==，∴BC=AC=2AD=．（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．∵△DAO∽△DBA，∴==，∴==，∴AD=，AB=，∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1S3，∵S2=ADOH，S1=S△OAC=ACOH，S3=CDOH，∴（ADOH）2=ACOH CDOH，∴AD2=ACCD，∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，∴（）2=（﹣），整理得x2+x﹣1=0，解得x=或，经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，∴OD=．【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。