中考数学精品复习专题突破【1】规律探索型问题(含答案)

专题跟踪突破一 规律探索型问题

一、选择题(每小题6分，共30分)

1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37

＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( C )

A ．0

B ．1

C ．3

D ．7

2．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( B )

A ．31

B ．46

C ．51

D ．66

3．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( D )

A .

B .

C .

D .

4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( C )

A ．22

B ．24

C ．26

D ．28

5．(2014·内江)如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2

＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n .△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 为( D ) A .n ＋12n ＋1 B .n 3n －1

C .n 22n －1

D .n 22n ＋1

二、填空题(每小题6分，共30分)

6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，9

36，…，它们是按一定规律排列的，

那么这一组数的第n 个数是__2n －1

（n ＋1）__．

7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由__3n ＋1__个▲组成．

8．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P 1，第2次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n ，则点P 3的坐标是__(8，3)__；点P 2014的坐标是__(5，0)__．

9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第n(n 是整数，且n ≥3)行从左到右数第n －2个数是．(用含n 的代数式表示)

10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于__n 2＋4n__．(用n 表示，n 是正整数)

三、解答题(共40分)

11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.

(1)求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L ；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N ＝82，L ＝38，求S 的值．

解：(1)观察图形，可得S ＝3，N ＝1，L ＝6

(2)根据格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 中的S ，N ，L 的值可得，⎩⎪⎨

⎪⎧4a ＋b ＝1，

1＋6a ＋b ＝3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，

∴S ＝N ＋12L －1，将N ＝82，L ＝38代入可得S ＝82＋1

2

×38－1＝100

12．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？

(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．

解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6＝3×2，第二个图需棋子9＝3×3，第三个图需棋子12＝3×4，第四个图需棋子15＝3×5，∴第五个图需棋子3×6＝18.答：第5个图形有18颗黑色棋子 (2)由(1)可得，第n 个图需棋子3(n ＋1)颗，设第n 个图形有2013颗黑色棋子，则3(n ＋1)＝2013，解得n ＝670.答：第670个图形有2013颗黑色棋子

13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算．

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少

行的点数的和吗？

如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ，可以发现．

2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＋[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1]．

把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n ＋1，整个式子等于n(n ＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ＝1

2

n(n ＋1)， 这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是1

2

n(n ＋1)．

下列用一元二次方程解决上述问题：

设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有1

2

n(n ＋1)

整理这个方程，得n 2＋n －600＝0， 解方程得n 1＝24，n 2＝－25.

根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300. 请你根据上述材料回答下列问题：

(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

解：(1)由题意可得n （n ＋1）

2＝600，整理得n 2＋n －1200＝0，此方程无正整数解，所

以，三角点阵中前n 行的点数的和不可能是600

(2)由题意可得2＋4＋6＋…＋2n ＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝2×n （n ＋1）

2＝n(n ＋1)；依题

意，得n(n ＋1)＝600，整理得n 2＋n －600＝0，(n ＋25)(n －24)＝0，∴n 1＝－25，n 2＝24，∵n 为正整数，∴n ＝24.故n 的值是24