海淀区2017-2018第二学期期中高一数学试题及答案doc资料
海淀区-2018学年第二学期期中高一数学试题及答案
海淀区高一年级第二学期期中练习数 学学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. =︒︒+︒︒12sin 18cos 12cos 18sin（ ） A ．21 B ．21-C ．23 D ．23- 2. 在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（ ）A ．43 B ．61C ．21D ．1 3. 函数()sin cos f x x x =的最大值为（ ）A ．1B ．12CD ．324. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（ ） A ．3 B ．6 C． D ．125. 如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．5千米 B． C. 4千米D.6. 如图1，直线EF 将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，//BF 平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立7. 在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．sin sin A C <B ．cos cos AC > C ．tan tan A B <D ．cos cos B C <8. 在ABC ∆中，若2AC =，60B ∠=︒，45A ∠=︒， 点D 为AB 边上的动点，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．存在点D 使得BCD ∆为等边三角形B ．存在点D 使得1cos 3CDA ∠=C ．存在点D 使得:BD DC =D ．存在点D 使得1CD =二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 求值：22cos 15sin 15︒-︒= .ABCDEF1图ACDE F2图A C B 75︒30︒10. 已知tan32α=，则tan α的值为 . 11. 已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 .12. 在△ABC 中，已知60A =︒，a =3b =，则c = .13.若α，β均为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是 .14. 如图，的正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 逆时针旋转θ（0θ>），若旋转后三棱锥111D DC A -与其自身重合，则θ的最小值是 ；三棱锥111D DC A -在此旋转过程中所成几何体的体积为 .三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.16. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD AD =，45ACD ∠=︒，90BCD ∠=︒.（Ⅰ）求证：BC =；（Ⅱ）若AB =BC 的长.17. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，， 侧面底面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点G ，使得平面？并说明理由．18．正四棱锥S ABCD -的展开图如右图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积记为()f α，体积记为()g α．（Ⅰ）求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求()()g f ααa b c ，，为常数；（Ⅲ）试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）()()()海淀区高一年级第二学期期中练习参考答案数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.注：第12题对一个给2分，有错误答案不给分；第14题每空2分。
北京市101中学2017_2018学年高一数学下学期期中试题
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一、选择题共 10 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{an}中，如果 a1+a2=25，a3+a4=45，则 a1=（ ）
则 3a3－3a2=a2－a1，即 3p2－P=0，解得 p= 1 或 p=0. 3
当 p=0 时，an+1=an，这与{an}是递增数列矛盾，
所以 p= 1 . 3
（2）由于{a2n－1}是递增数列，因而 a2n+1－a2n－1>0，
所以（a2n+1－a2n）+（a2n－a2n－1）>0.
因为
1 22n
所以 n≤3，n∈N*.
则 b1=7，b2=13，b3=19.
19. （1）在△ABC 中，∠A=2∠B，∠C= － 3A 且∠A∈（0， ） 2
由正弦定理 2 = a = sin A c sin C
= sin A
2sin A cos A 22
2sin A cos A 22
2 cos A
2，
sin 3A sin A cos A cos A sin A sin A cos A 2sin A cos2 A 4 cos2 A 1
2
2
2
2
22
2
解方程 4cos2 A － 2 cos A －1=0 得 cos A = 2 （舍负），
2
2
22
所以，∠A= ，所以 cos B=
2.
2
2
（2）方法一：cos B= a2 c2 b2 = 3c2 4 ，
北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市海淀十一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京市海淀十一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1．设集合{}|14A x x =<<，{}2|230B x x x =--≤，则()A B =R ð__________． 【答案】{}|34x x <<【解析】∵集合{}{}2|230|13B x x x x x =--=-≤≤≤， ∴{|1B x x =<-R ð或}3x >．又∵{}|14A x x =<<，∴{}()|34A B x x =<<R ð．2．命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是__________．【答案】x ∃∈R ，20x <【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是“x ∃∈R ，20x <”．3．满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有__________个．【答案】3【解析】满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有：{}2,3，{}1,2,3，{}2,3,4， 故共有3个．4．函数y =的定义域为__________． 【答案】[)1,0(0,)-+∞【解析】要使函数有意义，则必须100x x +⎧⎨≠⎩≥， 解得1x -≥且0x ≠，故函数的定义域是[)1,0(0,)-+∞．5．已知函数2()68f x x x =-+，[1,]x a ∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则a 的取值范围是__________．【答案】(]1,3【解析】函数2()68f x x x =-+在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增， ∵函数()f x 在[1,]x a ∈时的最小值为()f a ，∴13a <≤，即a 的取值范围是(]1,3．6．设{}|02A x x =≤≤，{}|12B y y =≤≤，能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是__________．A． B．C． D．【答案】D 【解析】A 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故A 项错误；B 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故B 项错误；C 项．当02x <≤时，任取一个x 值，有两个y 值与之对应，故C 项错误；D 项．在02x ≤≤时，任取一个x 值，在12y ≤≤时总有唯一确定的y 值与之对应，故D 项正确．综上所述．故选D ．7．函数21()1f x x x=-+的零点有__________个． 【答案】1 【解析】函数21()1f x x x=-+的零点个数等价于方程211x x +=解的个数，分别作出21y x =+和1y x=的图象， 由图可知，两函数图象有且只有1个交点， 故函数21()1f x x x=-+的零点有且只有一个．8．51log 33332log 2log 32log 85+-+-=__________．【答案】15-【解析】51log 33332log 2log 32log 85+-+- 5log 3333log 4log 32log 855=-+-⨯34log 85332=⨯-⨯ 3log 115=-15=-．9．已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则p ⌝是q 的__________． 【答案】充分不必要条件【解析】由题意，:1p x ⌝>，:0q x <或1x >， 故p ⌝是q 的充分不必要条件．10．函数()(2)1x f x x x =-≥的最大值为__________． 【答案】2【解析】函数1()111x f x x x ==+--， ∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减，故当2x ≥时，()f x 的最大值为(2)2f =．。
北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市十一学校2017-2018学年度第1学段高一学部数学IIA教与学诊断（2017．11）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1.设集合，集合，则________.【答案】【解析】【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【详解】由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.命题：的否定是．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.3.满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.【详解】满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．考点：函数的定义域．视频5.已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.min综上，1<a≤3,故填(1，3].6.设，，能表示从集合到集合的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.【详解】项．当时，，故项错误；项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8.__________．【答案】-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 9.已知条件，条件，则是的__________．【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10.函数的最大值为_________.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.视频二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11.写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．【答案】（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14.若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17.已知函数，则实数的取值范围是_____________。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
北京市师大附中2017_2018学年高一数学下学期期中试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2017-2018学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D错误.故选：C.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.2. 在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（）A. 或B. 或C.D.【答案】D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，，为锐角，.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.详解：，，.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4. 等比数列中，，，的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．5. 不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.考点：分式不等式的解法.视频6. 等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.7. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B．考点：线性规划．8. 的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值.详解：根据题意，、、成等比数列，则，又，则，则.故选：B.点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出、、的关系，进而运用余弦定理求解.9. 数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，，当时，前项和最大.故选：C.点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题.10. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元．设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论.详解：设该设备第n年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用n年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，年平均盈利额，当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11. 数列的前项和为，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：，所以．考点：数列求和．12. 已知中，，，，则等于__________．【答案】【解析】分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口.详解：由题意，，，可知，三角形ABC是直角三角形，.故答案为：2.点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力，属于基础题.13. 若，则的最小值是__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，，当且仅当时取等号，故答案为．考点：基本不等式．14. 等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知，进而计算可得答案.详解：为等比数列，又.，.故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.15. 在中，若，则的形状为___________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，从而得到答案.详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．16. 已知数列的前项的和为，，，满足，则__________．【答案】【解析】分析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，；；；…，累加得：，则，.故答案为：.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解关于的不等式．【答案】当时，为或；当时，为或．【解析】分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．18. 在中，，，点在上，且，．（I）求；（Ⅱ）求，的长．【答案】（I）；（Ⅱ），.【解析】分析：（1）由和诱导公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、AD，在中由余弦定理求出AC的值.详解：（I）∵，且，∴，∴，由得，；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，∴，由正弦定理得，∴，在中，由余弦定理得，∴．点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．19. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（I）求与；（II）设数列满足，求的前项和．【答案】（I），；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（I）∵为等比数列，公比为，，∴，∴，解得，．∵，∴．∴的公差为．∴，．（II）．∴，①∴，②①②得：．∴．点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n}和等比数列{c n}对应项之积组成的数列{a n}，即a n＝b n×c n的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）20. 已知数列满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.详解：数列满足，且，，，又，是首项为2，公比为2的等比数列，，，故答案为：.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用. 21. 在中，，，，则的面积等于__________．【答案】或【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出b的值，再由于b，c 及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.详解：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．22. 甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是__________小时．【答案】【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C、D，如图所示，可知，，当小时时甲乙两船相距最近.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．23. 正数，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．24. 已知数列满足，给出下列命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号__________．【答案】③④【解析】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，由于因此数列一定有最大项，故②不正确；③当时，，，因此数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有③④正确.故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.五、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数．（I）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.详解：（I），，∵，，∴，当且仅当时“”成立，（Ⅱ），，，时，，在递增，∴，解得：，时，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递增，∴成立，综上．点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.26. 在中，、、分别为内角、、的对边，且满足．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案.详解：（I）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，由正弦定理，求得，解得．点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.27. 已知函数，其中，.（I）求的解析式；（Ⅱ）若数列满足，，．求证：.【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（1）由求得、、的值，代入原函数可得函数解析式；（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结合已知放缩得答案.详解：（I）∵，，∴，由，解得．∴，∴；（Ⅱ）证明：由，得，∴，则，∵，则，∴．又∵，∴．∴．点睛：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查数列不等式的证明，把已知递推式灵活变形是关键，是中档题.。
北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.不等式102x x +≤-解集是( )A. {}12x x -≤≤B. {}12x x -≤<C. {2x x >或}1x ≤-D. {}2x x <『答案』B『解析』根据题意，102x x +≤-可以变形为（x +1）（x ﹣2）≤0且x ﹣2≠0， 解得﹣1≤x ＜2，即不等式的解集为{x |﹣1≤x ＜2}， 故选：B2.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13S =( ) A. 13B. 14C. 26D. 52『答案』C『解析』在等差数列{a n }中，由a 4+a 10＝4，得2a 7＝4，即a 7＝2.∴S 13＝()11371313262a a a+⨯==.故选：C.3.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形D. 不能确定『答案』A『解析』因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<，由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 的又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以π(,π)2∈C ，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A.4.已知直线1l 的方程为3470x y +-=，直线2l 的方程为3410x y ++=，则直线1l 和2l 的距离为( ) A.85B.95C.45D.910『答案』A『解析』∵已知直线l 1的方程为3x +4y ﹣7＝0，直线l 2的方程为3x +4y +1＝0，则直线l1和l 2的距离为d ＝85， 故选：A.5.设某直线的斜率为k ，且k ⎛∈ ⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )A. π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭ B. π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭C. 50ππ,,36π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20ππ,,63π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭『答案』D『解析』直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k ，tan α20,,6ππ3πα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：D6.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一组条件是（ ） A. m n ⊥，m α，n β B. m n ⊥，m αβ=，n β⊂C. m n ，n β⊥，m α⊂D. m n ，m α⊥，n β⊥『答案』C『解析』A 选项中，根据m n ⊥，m α，n β，得到αβ⊥或αβ∥，所以A 错误；B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n β⊂，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为m n ，n β⊥，所以m β⊥. 又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到αβ∥，所以D 错误. 故选：C.7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:①BM ⊥平面ADNE ；②//CN 平面ABFE ；③平面BDM 平面AFN ；④平面BDE ⊥平面NCF .其中正确命题的序号是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④『答案』A『解析』把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD ﹣EFMN ，如图1所示；对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①错误；对于②，平面DCMN ∥平面ABFE ，CN ⊂平面DCMN ， ∴CN ∥平面ABFE ，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ， ∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ， ∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；对于④，如图3所示，同③可得平面BDE ∥平面NCF ，④错误. 综上，正确的命题序号是②③.故选：A8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 83B.23C. 2D. 4『答案』B『解析』由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图是长方体的一部分，由三视图的数据，AB＝BC＝2，P到底面的距离为1，∴该几何体的体积：V＝1122132⨯⨯⨯⨯＝23.故选：B.9.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A. 8B. 12C. 16D. 18『答案』C『解析』根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4＝16故选：D.10.如图，四棱锥S ABCD-的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD且SO=E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保⊥，则动点P的轨迹的周长为( )持PE ACA. B. C. 1+ D. 1+『答案』D『解析』分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EF ∥BD ，EF ⊄平面BDS ，BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，， ∴平面EFG ∥平面BDS ，由AC ⊥BD ，AC ⊥SO ，且AC ∩SO ＝O ， 则AC ⊥平面BDS ， ∴AC ⊥平面EFG ，∴点P 在△EFG 的三条边上；又EF ＝12BD ＝12＝1，FG ＝EG ＝12SB ＝122，∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝故选：D.二､填空题共6小题.11.直线:cos106π-+=l x y 的斜率为________.『答案』2『解析』直线l ：x cos6π﹣y +1＝0，即为直线l ﹣y +1＝0，即为y +1，故『答案』.12.设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________.『答案』64『解析』设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128，∴4q ×4q 2＝128， ∴q 3＝8， ∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64， 故『答案』为：64.13.若0a >，0b >，1a b +=，一定有1144ab ab +≥，()22221144ab ab ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立，请将猜想结果填空:1n nn na b a b+≥________. 『答案』144nn +『解析』由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，一定有ab +1ab ≥4+14，（ab ）2+（1ab ）2≥42+214成立， 可以猜想：1144n n nn n n a b a b +≥+，故『答案』为：144nn +.14.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，1BC =，2AB =，3BB '=，M 为AB 的中点，点P 在线段C M '上，点P 到直线BB '的距离的最小值为________.『答案』2『解析』连接MC ，由BB '∥CC '，BB '⊄平面MCC '，CC '⊂平面MCC '，可得BB '∥平面MCC '，由点P 到直线BB '的距离的最小值为异面直线BB '和直线C 'M 的距离， 即有直线BB '和平面MCC '的距离即为异面直线BB '和MC '的距离， 也即B 到平面MCC '的距离， 过B 在底面AC 内作BH ⊥MC ， 由CC '⊥底面AC ，可得CC '⊥BH ， 即有BH ⊥平面MCC '，由BC ＝BM ＝1，且BC ⊥BA ，可得BH ＝2.故『答案』为：2. 15.已知ABC 中，点()1,1A ，()4,2B ，()4,6C -.则ABC 的面积为________.『答案』10『解析』由两点式的直线BC 的方程为262y --＝444x ---，即为x +2y ﹣8＝0，由点A 到直线的距离公式得BC 边上的高dBC ＝∴△ABC 的面积为1210， 故『答案』为：10.16.已知()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足:22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，+的最大值为________.『解析』设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2）， 由x 12+y 12＝1，x 22+y 22＝1，x 1x 2+y 1y 2＝12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上， 且OA OB ⋅＝1×1×cos ∠AOB ＝12， 即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y ＝1平行， 可设AB ：x +y +t ＝0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d， 可得1，解得t＝2，1+，+故『答案』三､解答题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.等比数列{}n a 中，22a =，748a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m . 解：（1）∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 7＝8a 4. ∴2×q 5＝8×（2×q 2）， 解得q ＝2，当q ＝2时，a n ＝2n ﹣1，∴{a n }的通项公式为，a n ＝2n ﹣1，（2）记S n 为{a n }的前n 项和，a 2＝2，q ＝2， 则a 1＝1，则S n ＝1212n--＝2n ﹣1，由S m ＝63，得S m ＝2m ﹣1＝63，m ∈N ， 解得m ＝6.18.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos 45B =，3b =. (1)当6A π∠=时，求a 的值；(2)当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值. 解：（1）∵cos 45B =，∴3sin 5B =， 由正弦定理可知：sin sin a bA B=， ∵A ＝30°，∴sin A ＝sin30°＝12， ∴sin 5sin 2b A a B ==； （2）∵1sin 2ABC S ac B =△，△ABC 的面积为3， ∴3310ac =，∴ac ＝10， 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，∴222249210165a c a c =+-⨯⨯=+-，即a 2+c 2＝25， 则（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25+20＝45，故a c +=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==.四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F 为PC 的中点，求证://EF 平面P AD ；(2)求证:平面AFD ⊥平面P AB ；(3)是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.解：(1)因为E ，F 分别为侧棱PB ，PC 的中点，所以//EF BC ，因为//BC AD ，所以//EF AD ，而EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以//EF 平面P AD ；(2)因为平面ABCD ⊥平面P AC ，平面ABCD平面PAC AC =， 且PA AC ⊥，PA ⊂平面P AC ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥.又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面P AB ；(3)在棱PC 上显然存在点F 使得AF PC ⊥.由已知，AB AD ⊥，//BC AD ，1AB BC ==，2AD =.由平面几何知识可得CD AC ⊥.由(2)知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AC A =，所以CD ⊥平面P AC .而AF ⊂平面P AC ，所以CD AF ⊥.又因为CD PC C =，所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2PA =，AC =90PAC ∠=︒，可求得，PC =PF =可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3. 20.如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为()6,8，直线CD 交AB 于点()6,3D ，交x 轴于点()12,0C .(1)求直线CD 的方程；(2)动点P 在x 轴上从点()10,0-出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t .①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA B ∠=∠?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值.解：（1）直线CD 过点C （12，0），D （6，3），直线方程为030y --＝12612x --， 化为一般形式是x +2y ﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ，由DP ∥OB 得，PA AO ＝AD AB ，即6PA ＝38，∴P A ＝94；∴OP＝6﹣94＝154，∴点P（154，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（334，0），∴满足条件的点P坐标为（154，0）或（334，0）；②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，则直线OB的『解析』式为y＝43 x，直线PQ的『解析』式为y＝43x+403，由440332120y xx y⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得48xy=-⎧⎨=⎩，∴Q（﹣4，8）；∴PQ10，∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；此时点M与点P重合，且t＝0；如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣12m+6），则有m2+2162m⎛⎫-+⎪⎝⎭＝102，解得m；∴点Q；设M的横坐标为a，则62a+＝652+或62a+＝652+，解得a或a；又点P是从点（﹣10，0）开始运动，则满足条件的t ； 如图4，当Q 点与C 点重合时，M 点的横坐标为6，此时t ＝16；综上，满足条件的t 值为0，或16，或925+或925-.。
北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含精品解析)
北京市十一学校2017-2018学年度第1学段高一学部数学IIA教与学诊断（2017．11）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1.设集合，集合，则 ________.【答案】【解析】【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【详解】由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.命题：的否定是．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.3.满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.【详解】满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．考点：函数的定义域．视频5.已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，min＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.综上，1<a≤3,故填(1，3].6.设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.【详解】项．当时，，故项错误；项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8.__________．【答案】-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9.已知条件，条件，则是的__________．【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10.函数的最大值为_________.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.视频二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11.写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．【答案】（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14.若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17.已知函数，则实数的取值范围是_____________。
北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市十一学校2017-2018学年度第1学段高一学部数学IIA教与学诊断（2017．11）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1.设集合，集合，则________.【答案】【解析】【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【详解】由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.命题：的否定是．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.3.满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.【详解】满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．考点：函数的定义域．视频5.已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，min ＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.综上，1<a≤3,故填(1，3].6.设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.【详解】项．当时，，故项错误；项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8.__________．【答案】-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9.已知条件，条件，则是的__________．【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10.函数的最大值为_________.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.视频二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11.写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．【答案】（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14.若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17.已知函数，则实数的取值范围是_____________。
北京101中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及答案解析
北京101中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ） A. 5B. 7C. 9D. 102. tan （α－π4）=31，则tan α=（ ）A. 2B. －2C.21D. －21 3. 在△ABC 中，若b cos A =a sin B ，则∠A 等于（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 己知a =5，c =3，cos A =63，则b =（ ） A. 1B. 2C.25D. 65. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A.a 2+3>2aB. a 2+b 2>0C.a 3+b 3≥a 2b +ab 2D. a +a1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n = a 4n －3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ） A. 是等差数列B. 是公比为q 的等比数列C. 是公比为q 4的等比数列D. 既非等差数列也非等比数列7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ） A. 17mB. 16mC. 15mD. 14m8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若6193=S S ，则126S S=（ ） A.101B.103C.105D.107 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A. y =x 3+34xB. y =sin x +xsin 4C. y =log 3 x +log x 81D. y =e x +4e －x10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ） A. 不增不减B. 约增1.4％C. 约减9.2％D. 约减7.8％二、填空题：共6小题.11. △ABC 中，cos A cos B －sin A sin B =－21，则角C 的大小为_______. 12. 已知sin α·cos α=52，则tan α=_________. 13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足对于任意的n ∈N *，a n =31（2+S n ），则数列{a n }的通项为a n =_________. 14. 定义：称np p p n+++ 21为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121-n ，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 15. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A ，B 两地之间的距离，某同学选定了与A ，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A ，AC ，BC ； ②测量∠A ，∠B ，BC ；③测量∠C ，AC ，BC ；④测量∠A ，∠C ，∠B . 其中一定能唯一确定A ，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_______.16. 有纯酒精a （a >1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升. 三、解答题：共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知函数f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－21，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）设α>0，若函数g （x ）=f （x +α）为奇函数，求α的最小值.18. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 3·a 5=112，a 1+a 7=22. （1）求等差数列{a n }的第七项a 7和通项公式a n ；（2）若数列{b n }的通项b n =a n +a n +1，{b n }的前n 项和S n ，写出使得S n 小于55时所有可能的b n 的取值.19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知a =2c . （1）若∠A =2∠B ，求cos B ；（2）若AC =2，求△ABC 面积的最大值.20. 已知数列{a n }满足：a 1=1，|a n +1－a n |=p n ，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和. （1）若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值； （2）若p =21，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式； （3）在（2）的条件下，令c n =n （a n +1－a n ），求数列{c n }的前n 项和T n .【参考答案】一、选择题1. D2. A3. B4. B5. A6. C7. C8. B9. D 10. D 二、填空题 11. 60° 12. 2或5213. （23）n －114. 4n －3.15. ②③16. （1－a 1）8（2－a1）三、解答题17.解：（1）f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－21=sin （2x +π6），T =π，f （x ）单调递增区间为[－π3+k π，π6+k π]（k ∈Z ）. （2）f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－21=sin （2x +π6），g （x ）=f （x +α）=sin[2（x +α）+π6]=sin[2x +（2α+π6）]. 由函数g （x ）=f （x +α）为奇函数，所以g （－x ）=－g （x ）， 即sin[－2x +（2α+π6）]=－sin[2x +（2α+π6）]， 展开整理得cos 2x sin （2α+π6）=0 对∀x ∈R 都成立， 所以sin （2α+π6）=0，即2α+π6=k π，k ∈Z ，且α>0，所以αmin =5π12.18.解：（1）因为{a n }为等差数列，所以a 3+a 5=a 1+a 7=22， 又a 3·a 5=112且d >0，解得a 3=8，a 5=14，则a 7=20. 由⎩⎨⎧=+=+144,8211d a d a 解得a 1=2，d =3，所以a n =3n －1.（2）b n =a n +a n +l =6n +1，S n =2)(1n b b +=3n 2+4n <55， 解得－5<n <311，又n ∈N *，所以n ≤3，n ∈N *. 则b 1=7，b 2=13，b 3=19.19. 解：（1）在△ABC 中，∠A =2∠B ，∠C =π－23A∠且∠A ∈（0，π）， 由正弦定理2=c a =CA sin sin =12cos 42cos22cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos cos 2sin 2cos 2sin223sin sin 22-=+=+=A A A A A A A A A A A A A A A A ， 解方程4cos 22A －2cos 2A－1=0得cos 2A =22（舍负），所以，∠A =π2，所以cos B =22.（2）方法一：cos B =ac b c a 2222-+=222243c c -，S =∆2ABC （21ac sin B ）2=41a 2c 2sin 2B =41a 2c 2（1－cos 2B ）=41×2c 4×42481624c c c -+-=16)12(22--c +8，所以当c 2=12即c =23时，S 2ABC ∆取得最大值为8，此时S =∆ABC 22. 方法二：过点B 作角B 平分线BM ，由角平分线定理，x xAM CM c a 22===，则x =222122-=+. 由阿波罗尼奥斯圆定义，点B 在以内外角平分线的分点M ，N 为直径的圆上， △ABC 面积最大时，点B 最高.根据勾股定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=-222222)2(2)(x R R c x R R c ，所以⎪⎩⎪⎨⎧++=-+-=-,2222,222222222R xR x R c x xR R R c 所以2R 2=22（2+1）xR ，所以R =2（2+1）x =22.所以△ABC 面积最大为22，此时c =23.20.解：（1）因为{a n }是递增数列，所以a n +l －a n =a n +1－a n =p n . 因为a 1=1，a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2=a 1+3a 3， 则3a 3－3a 2=a 2－a 1，即3p 2－p =0，解得p =31或p =0. 当p =0时，a n +1=a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，所以p =31. （2）由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n+1－a 2n －1>0， 所以（a 2n +1－a 2n ）+（a 2n －a 2n －1）>0. 因为n221<1221-n ，所以a 2n +1－a 2n <a 2n －a 2n －1. 所以a 2n －a 2n －1>0， 因此a 2n －a 2n －1=（21）2n －1=22)1(-n.因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n +1－a 2n <0，所以a 2n +1－a 2n =－（21）2n =n n 2122)1(+-. 所以a n +1－a n =n n 2)1(1+-.于是a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=211)21(12111+--⋅+-n =1+21－221+…+2)1(31342)1(-⋅+=-n n所以数列{a n }的通项公式为a n =34+31·12)1(--n n.。
北京海淀十一学校2017年10月2017～2018学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用
2017年10月2017～2018学年度北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.设集合,集合,则 ________.2.命题:2,0x x ∀∈≥R 的否定是 . 3.满足条件的集合有__________个.4.函数y =_________. 5.已知函数,,并且函数的最小值为,则的取值范围是__________.6.设,,能表示从集合到集合的函数关系的是__________.A. B.C. D.7.函数的零点有__________个.8.__________.9.已知条件,条件,则是的__________.10.函数的最大值为_________.11.写出函数的单调递增区间__________.12.若命题“,使得”是假命题,则实数的取值范围为 .13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________.(),；(),；(),；(),.14.若函数(常数,)是偶函数,且它的值域为,则该函数的解析式__________.15.已知奇函数,当时,有,则时,函数__________.16.已知偶函数在区间上单调增加,则满足的的取值范围是__________.17.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是_____________。
18.设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数,且()10f =,则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________.19.下列几个命题 ①方程有一个正实根,一个负实根,则；②函数是偶函数,但不是奇函数；③命题“若,则”的否命题为“若,则”；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号④命题“,使得”的否定是“,都有”；⑤“”是“”的充分不必要条件.正确的是__________.20.设是整数集的一个非空子集,对于,若,且,则称是的一个“孤立元”.给定,由的个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有__________个.二、解答题21.已知集合,,.()求集合,及.()若,求实数的取值范围. 22.已知,命题对任意,不等式恒成立；命题存在,使得成立.()若为真命题,求的取值范围.()当,若且为假,或为真,求的取值范围.23.已知二次函数()f x 的最小值为1,且()()023f f ==.(1)求()f x 的解析式.(2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调．．．,求实数a 的取值范围. (3)在区间[]1,1-上, ()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方,试确定实数m 的取值范围.24.对,记,函数.(1)求.(2)写出函数的解析式,并作出图像.(3)若关于x 的方程有且仅有3个不等的解,求实数m 的取值范围.(只需写出结论)25.已知函数是定义在上的奇函数,且.()求函数的解析式.()用函数单调性的定义证明在上是增函数.()判断函数在区间上的单调性；(只需写出结论)()根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上,作出在定义域上的示意图.26.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件: ①对任意的,总有；②； ③若,且,则有成立,则称为“友谊函数”.()若已知为“友谊函数”,求的值.()分别判断函数与在区间上是否为“友谊函数”,并给出理由.()已知为“友谊函数”,且,求证:.2017年10月2017～2018学年度北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案1.【试题解析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合B,再求出B 的补集,再由交的运算规则解出A∩(∁R B)即可得出正确选项【试题解答】由题意知B ＝{x |－1≤x ≤3}, 所以∁R B ＝{x |x <－1或x >3}, 所以A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}, 故答案为:.本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是解解题的关键 2.x ∃∈R ,02<x 【试题解析】试题分析:2,0x x ∀∈≥R 是全称命题,其否定为特称命题,故为2,0x x ∀∈≥R .考点:全称命题的否定. 3.3【试题解析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A 和其个数. 【试题解答】 满足条件的集合有:,,,故共有个.故答案为:3本题主要考查集合子集和真子集的定义,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4.[)()1,00,-⋃+∞【试题解析】试题分析:根据题意有10{x x +≥≠,从而求得函数的定义域为[)()1,00,-⋃+∞.考点:函数的定义域.5.【试题解析】是对称轴为x ＝3,开口向上的抛物线,所以在(－∞,3]上递减,[3,＋∞)上递增.又因为x ∈[1,a],min ＝f(a),所以在[1,a]上递减,故a≤3.综上,1<a≤3,故填(1,3]. 6.D【试题解析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解. 【试题解答】项.当时,,故项错误；项.当时,,故项错误；项.当时,任取一个值,有两个值与之对应,故项错误；项.在时,任取一个值,在时总有唯一确定的值与之对应,故项正确.综上所述.故选.故答案为:D本题主要考查函数的定义,意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 7.1【试题解析】分别作出和的图象,观察两函数图像交点的个数即得解.【试题解答】函数的零点个数等价于方程解的个数,分别作出和的图象,由图可知,两函数图象有且只有个交点,故函数的零点有且只有一个.故答案为:1(1)本题主要考查函数的零点问题,意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数,处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程＋图像法.8.－15【试题解析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【试题解答】.故答案为:－15本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9.充分不必要条件【试题解析】先求出和,再利用充要条件的定义判断.【试题解答】由题意,,或,故是的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件(1)本题主要考查充要条件的判断,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件,首先分清条件和结论；然后化简每一个命题,建立命题和集合的对应关系.,；最后利用下面的结论判断:①若,则是的充分条件,若,则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件,若,则是的必要非充分条件；③若且,即时,则是的充要条件.10.2【试题解析】试题分析:,即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值,用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.11.和【试题解析】先化简函数函数得,再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【试题解答】由题意,函数,作出函数的图象如图所示:由图象知,函数的单调递增区间是和.故答案为:和(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.【试题解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点:含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用.13.()【试题解析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【试题解答】对于(),函数的定义域是,函数的定义域是,两个函数定义域不同,故这两个函数不是同一个函数；对于(),函数的定义域是,函数的定义域是或,两个函数的定义域不同,故这两个函数不是同一个函数；对于(),函数,,两个函数的对应关系不相同,故这两个函数不是同一个函数；对于(),函数,定义域为,函数定义域为,两个函数的定义域和对应关系都相同,故这两个函数是同一个函数.综上所述,各组中的两个函数表示同一个函数的是().故答案为:()(1)本题主要考查同一函数的判断方法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同,则两个函数是同一函数.14.【试题解析】利用函数的奇偶性得到或,再利用它的值域为,求出a的值,即得函数的解析式.【试题解答】∵函数是偶函数,∴,即,∴或,又∵函数的值域为,∴,.故该函数的解析式.故答案为:本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.【试题解析】利用代入法求函数的解析式.【试题解答】∵当时,有,∴当时,,有,又∵是奇函数,∴当时,.故答案为:(1)本题主要考查函数解析式的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.【试题解析】先化简不等式为,再利用函数的单调性得到,解不等式即得x 的取值范围.【试题解答】∵是偶函数,∴,∴不等式等价于,又∵在区间上单调递增,∴,解得,故满足的的取值范围是.故答案为:(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题,常用数形结合分析解答,提高解题效率.17.12<<-a 【试题解析】试题分析:由已知,函数在整个定义域上单调递增的,故)()2(2a f a f >-等价于022<-+a a , 解得12<<-a 。
北京四中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷+Word版含答案
北京四中2017-2018学年下学期高一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数表法C. 系统抽样法D. 分层抽样法 2. 下列命题中，正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合 ②梯形的四个顶点在同一平面内 ③三条互相平行的直线必共面 ④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A. 0 B. 1 C. 2D. 33. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.41B.8π C.21 D.4π 4. △ABC 中，若B ＝45°，22,334==c b ，则A ＝ A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75°5. 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a ，乙掷出的点数记为b ，则｜a －b ｜≤1的概率为A.94 B.187 C.92 D.91 6. 若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A. 不存在B. 有无穷多个C. 有且仅有一个D. 不一定存在 7. △ABC 中，若∠ABC ＝4π，3,2==BC AB ，则sin ∠BAC ＝A.1010 B.510 C.10103 D.55 8. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是A.52 B.53 C.54 D.103 9. 某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是［0，5），［5，10），…，［35，40］，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是10. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为A. 0.5小时B. 1小时C. 1.5小时D. 2小时二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。
北京市海淀区2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上.
9.已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.
【详解】由题意，圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，
17.已知四棱锥
的底面 是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求 的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形 是菱形，所以
沿对角线 折起，若折叠后平面 ⊥平面 ，
则此时点 之间的距离是__________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，证明 平面 ，得出
，利用勾股定理，即可求
解.
【详解】取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，
因为
为 的中点，所以
，
因为平面
平面 ，平面
【详解】由题意
，
，则
，所以
，
因为
，所以 或 （舍去），
则
，
则
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式 和两角和与差的余弦公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础 题.
海淀区2017-2018学年第二学期数学(文)答案及评分标准word版
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2018.4一. 选择题.二. 填空题.9. 四，2 10. 2 11. (,1][e,)-∞+∞ 12. (0,1)(1,)+∞ 13.333222，， 14. 2 说明：9题，每个空2分，11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分 13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分三. 解答题.15. 解: ( I ) 令242x x -+=，解得11x =- 21x =- …………………2分 因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+， …………………4分其定义域为(0,1x ∈- …………………5分 （II ） 因为2'()344f x x x =--+ …………………7分 令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是()f x在(0,1-+上的唯一的一个极大值， 所以在23x =时，()f x 取得最大值4027. …………………12分16. 证明：（Ⅰ）因为32a =，所以 232222a a a =+=， 所以 22244a a +=，解得 22a =， …………………2分 同理解得 12a =. …………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时， 1n n a a +≤，只需证 1n n a a +- 0 ≤， …………………6分 只需证2+2n n na a a -0≤， …………………8分 只需证 2402n na a -≤,只需证n a ≥ 2 , …………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一, 请老师具体情况具体分析17. 解：（I ）因为2'()3f x x = …………………1分 所以直线l 的斜率'(1)3k f == …………………2分所以直线l 的方程为13(1)y x -=- …………………3分 化简得到 32y x =- …………………4分(Ⅱ) 法一：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩ 所以 332x x =- …………………5分 所以 3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以2'()33g x x =-，令'()0g x =，得到得11x =，21x =- …………………7分 所以,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分 因为1x =-时，(1)40g -=>，而(3)160g -=-<所以()g x 在(,1)-∞-上有一个零点） …………………9分 而1x =时，(1)0g =，所以()g x 在[1,)+∞上只有一个零点又()g x 在(1,1)-上没有零点， …………………10分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 法二：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩所以 332x x =- …………………5分所以 3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以32()22(1)(2)g x x x x x x =--+=-+ …………………8分 令()0g x =，得到11x =，22x =- …………………9分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分18.解：（Ⅰ）因为222222()'()2a x a x a f x x x x x--=-==，其中0x > …………………1分 当0a ≤时，'()0f x ≥对0x >成立所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ …………………3分 当0a >时，令'()0f x =，1x =2x = 则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表 所以函数()f x单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ …………………5分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，当0a ≤时，函数()f x 是单调递增函数， 而注意到(1)10f =>， 但是当0x →时， ()f x →-∞所以函数()f x 在区间(0,1)上存在零点，矛盾 …………………7分 当0a >时，由（Ⅰ）知道，()f x在x 从而()f x在x =2ln (1ln )f a a a a a a a =-=-=-当0f >，即1ln 0a ->，即0e a <<时，函数()f x 没有零点，当0f =时，即e a =时，显然不合题意，当0f <时，因为当x →+∞时， ()f x →+∞ 从而()f x在区间)+∞上存在零点，矛盾综上，实数a 的取值范围是 0e a <<． …………………10分法二：函数()f x 没有零点，等价于方程22ln 0x a x -=无解显然1x =不是零点，所以等价于22ln x a x=无解 …………………7分设2()2ln x g x x=则222224ln 4ln 22(2ln 1)'()'()(2ln )(2ln )(2ln )x x x x x x x x x g x g x x x x -⋅--====，…………………8分 令'()0g x =，则12e x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()g x 在12e x =处取得极小值12g(e )e =， 而当0x →时， ()0g x → 当1x <且1x →时，()g x →-∞ 当1x >且1x →时，()g x →+∞ 当+x →∞时，()+g x →∞综上，实数a 的取值范围是 0e a <<． …………………10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
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海淀区高一年级第二学期期中练习数 学 2018.4学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. =︒︒+︒︒12sin 18cos 12cos 18sin（ ）A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2. 在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（ ）A ．43 B ．61C ．21D ．1 3. 函数()sin cos f x x x =的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为 （ ）A ．3B ．6C ．62D ．125. 如图，飞机飞行的航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，在A 处测得目标C 的俯角为30︒，飞行10千米到达B 处，测得目标C 的俯角为75︒，这时B 处与地面目标C 的距离为（ ）A ．5千米B ．52千米 C. 4千米 D. 42千米31111正（主）视图侧（左）视图俯视图AB 75︒30︒6. 如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，//BF 平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立7. 在ABC ∆中，A B C <<，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．sin sin A C <B ．cos cos AC > C ．tan tan A B <D ．cos cos B C <8. 在ABC ∆中，若2AC =，60B ∠=︒，45A ∠=︒， 点D 为AB 边上的动点，则下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．存在点D 使得BCD ∆为等边三角形B ．存在点D 使得1cos 3CDA ∠=C ．存在点D 使得:2:3BD DC =D ．存在点D 使得1CD =二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 求值：22cos 15sin 15︒-︒= . 10. 已知tan32α=，则tan α的值为 . 11. 已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 . 12. 在△ABC 中，已知60A =︒，7a =，3b =，则c = .13.若α，β均为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是 .14. 如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 逆时针旋转θ（0θ>），若旋转后三棱锥111D DC A -与其自身重合，则θ的最小值是 ；三棱锥111D DC A -在此旋转过程中所成几何体的体积为 .ABCDE F2图ABCDEF1图三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.16. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD AD =，45ACD ∠=︒，90BCD ∠=︒.（Ⅰ）求证：BC =；（Ⅱ）若AB =BC 的长.17. 如图，四棱柱的底面是平行四边形，， 侧面底面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点G ，使得平面？并说明理由．18．正四棱锥S ABCD -的展开图如右图所示，侧棱SA 长为1，记ASB α∠=，其表面积1111ABCD A B C D -ABCD AC CB ⊥11B BCC ⊥ABCD ,E F 1,AB C D //EF 11B BCC EF AC ⊥EF AC ⊥11C D GFE C 1D 1B 1A 1DCB A记为()f α，体积记为()g α．（Ⅰ）求()f α的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求()()g f αα，其中a b c ，，为常数；（Ⅲ）试判断()()g f αα是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）S S S SDCBA ()()()海淀区高一年级第二学期期中练习参考答案数 学 2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.注：第12题对一个给2分，有错误答案不给分；第14题每空2分。
三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分. 15.（本小题11分） 解：（Ⅰ）由()2sin (cos sin )1f x x x x =-+22sin cos 2sin 1x x x =-+sin 2cos 2x x =+ ……………………………4分π)4x +. ……………………………6分2πT πω==，所以()f x 的最小正周期为π ………………………………7分（Ⅱ） 因为π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以π3π2,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以[]20,π4x π+∈. ………………………………9分当ππ2=42x +，即π=8x 时，()f x 在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ………11分16. （本小题11分） 解：（Ⅰ）在△ACD 中，45ACD ∠=︒，由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD=∠∠， …………………2分sin sin sin 2AD ADC AC ADCACD ⋅∠===⋅∠∠所以.………3分 在△BCD 中，90BCD ∠=︒，则sin BC BD BDC =⋅∠ . …………………6分 因为πBDC ADC ∠+∠=，2BD AD =，所以sin 2sin BC BD BDC AD ADC =⋅∠=⋅∠=. …………………7分即BC =.（Ⅱ）在△ABC 中，135ACB ACD BCD ∠=∠+∠=︒，BC =由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠. ……………………9分即)22252(52AC AC AC =+-⨯= ……………………10分因为0,AC >所以1,AC BC ==. ……………………11分 17. （本小题11分） （Ⅰ）证明： 方法一：取1CC 中点M ，连接FM ，BM ． 在△1CC D 中，因为,F M 分别为11,C D C C 中点， 所以//FM CD ，12FM CD =.在平行四边形中，因为//CD AB ，E 为AB 中点， 所以//FM EB ，FM EB =. 所以四边形FMBE 是平行四边形. 所以//EF BM .又因为BM ⊂平面，EF ⊄平面，ABCD 11B BCC 11B BCC MABCDA 1B 1D 1C 1EF所以//EF 平面． ………………………………4分 方法二：取CD 中点M ，连接FM ，EM ． 在△1CC D 中，因为,F M 分别为1,C D CD 中点， 所以1//FM CC .在平行四边形中，,E M 分别为,AB CD 中点， 所以//EM CB .又因为EM FM M =I ，,EM FM ⊂平面EFM ，1,CC CB ⊂平面11B BCC ， 所以平面//EFM 平面11B BCC . 又因为EF ⊂平面EFM ，所以//EF 平面11B BCC ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面平面 ，平面11B BCC ∩平面ABCD BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面11B BCC . 因为BM ⊂平面， 所以AC BM ⊥. 又因为//EF BM ，所以EF AC ⊥． ………………………………8分 （Ⅲ）在线段不存在点使得平面. ……………………………9分假设存在点使得平面， 因为11C D ⊂平面， 所以11C D .而AC 与11C D 不垂直，矛盾.所以在线段不存在点使得平面. ……………………………11分 18．（本小题11分） 解：11B BCC ABCD 11B BCC ⊥ABCD 11B BCC EF P AC ⊥11C D G P AC ⊥11C D G 11C D G AC ⊥EF P AC ⊥11C D G M ABCDA 1B 1D 1C 1EF（Ⅰ）因为正四棱锥S ABCD -中，1SA SB ASB α==∠=，，所以()4SAB f S α∆=+S 四边形ABCB 214sin 2SA SB ASB AB =⨯⋅⋅⋅∠+22 2sin 2cos SA SB SA SB ASB α=++-⋅⋅∠2sin 22cos αα=+-，其中π(0 )2α∈，． ………………………………4分 （Ⅱ）设正方形ABCD 中心为点O ，则2211(22cos )1cos 22OA AB αα==-=-．所以在Rt SOA △中，222cos SO SA OA α=-=．所以11()(22cos 33ABCD g S SO αα=⋅⋅=-正方形．……………………………8分所以()()g f αα=法一：222sin ()1122()332sin cos 2sin cos sin 22222g f ααααααα==++，所以22sin cos ()111cos cos 2()9921sin 12sin cos22g f ααααααααα⎛⎫-==⋅⋅ ⎪+⎝⎭+.所以())()2g f απαα=<<． ………………………………10分 法二：222()1(1cos )cos 1(1cos )cos ()922sin 2cos 2sin cos 18(1sin )(1cos )g f αααααααααααα⎛⎫--=⋅= ⎪+--+-⎝⎭，所以())()2g f απαα=<<． ………………………………10分 （Ⅲ）()()g f αα有最大值，无最小值． ………………………………11分。