高三一轮复习导学案58 第10章 第01节——分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数
原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝____________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝____________________种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
[难点正本疑点清源]
1．两个原理的联系与区别
两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事．
2．对两个原理的进一步理解
分类加法计数原理中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分
类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类加法计数原理，否则不可以．
分步乘法计数原理中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤彼此间也不能有重复和遗漏．
1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为________．
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．
3．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．
4．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．
5．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种
题型一分类加法计数原理
例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．
(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
探究提高分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，共有________种不同的取法．
题型二分步乘法计数原理
例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；
(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
题型三两个计数原理的综合应用
例3用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？
探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．
如图所示，将一个四棱锥的
每一个顶点染上一种颜色，并使同一条
棱上的两端异色，如果只有5种颜色可
供使用，求不同的染色方法总数．
11.分类不准、计数原理使用
不当致误
试题：(5分)(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10B．11C．12D．15
学生答案展示 A
审题视角至多有两个对应位置上的数字相同是本题的题眼，可分为0个相同，1个相同，2个相同．
正确答案 B
解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．
(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．
(2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个．
(3)若2个相同，又分为以下情况：
①若位置一与二相同，则信息为：0101；
②若位置一与三相同，则信息为：0011；
③若位置一与四相同，则信息为：0000；
④若位置二与三相同，则信息为：1111；
⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；
⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.
共有6个．
故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.
方法二若0个相同，共有1个；
若1个相同，共有C14＝4(个)；
若2个相同，共有C24＝6(个)．
故共有1＋4＋6＝11(个)．
批阅笔记(1)本题考查的是分类加法计数原理，难度不大，属中档题．
(2)本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况.
方法与技巧
1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．混合问题一般是先分类再分步．
3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．
4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
失误与防范
应用两种原理解题：
(1)分清要完成的事情是什么？
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3)有无特殊条件的限制；
(4)检验是否有重漏．
课时规范训练
(时间：60分钟)
A组专项基础训练题组
一、选择题
1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个
C．174个D．168个
2．如图，A、B、C、D为四个村庄，要
修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，
则不同的修筑方案共有()
A．8种B．12种
C．16种D．20种
3．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是
() A．18 B．10 C．16 D．14
二、填空题
4．现有4种不同颜色要对如图所示的
四个部分进行着色，要求有公共边
界的两块不能用同一种颜色，则不
同的着色方法共有种．
5．如图所示，在连接正八边形的三个
顶点而成的三角形中，与正八边形
有公共边的三角形有个．
6．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
三、解答题
7．如图，用四种不同颜色给图中的
A，B，C，D，E，F六个点涂色，
要求每个点涂一种颜色，且图中
每条线段的两个端点涂不同颜色．
则不同的涂色方法共有多少种？
8．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
B组专项能力提升题组
一、选择题
1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14 C．15 D．21
2．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为() A．25 B．26 C．36 D．37
3．如图，一环形花坛分成A，B，C，D
四块，现有4种不同的花供选种，要
求在每块里种1种花，且相邻的2块
种不同的花，则不同的种法总数为()
A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题
4．某电子元件，是由3个电阻组成的
回路，其中有4个焊点A、B、C、D，
若某个焊点脱落，整个电路就不通，
现在发现电路不通了，那么焊点脱落
的可能情况共有种．
5．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、
每列都没有重复数字，右面是一种填法，则
不同的填写方法共有种．
6．形如45132的数称为“波浪数”，即十位
数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字
大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波
浪数”的个数为________．
7．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有种．
三、解答题
8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？
答案
要点梳理
1．m1＋m2＋…＋m n 2.m1×m2×…×m n
基础自测
1．5 2.32 3.12 4．16 5．C
题型分类·深度剖析
例1解(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种．
(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种．
变式训练150
例2解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；
第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，
即在直线y＝x上的点有6个．
由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
变式训练2解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．
例3解完成这件事可分为3类方法：
第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．
依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；
第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．
依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；
第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类，有3×4×3＝36(个)．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的4位偶数
有48＋36＋36＝120(个)．
变式训练3解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再
分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，
有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，
有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．
方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．
第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．
第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．
课时规范训练
A组
1．C2．C3．D 4．48 5．40 6．2 880
7．解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法；
另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(种)涂法．
所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．
8．解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；
第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，
此时共有1×2＝2(种)；
所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．
B组
1．B2．C3．B4．15 5．12 6．16 7．12
8．解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．
(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．
所以不同的f共有34＝81(个)．
(3)分为如下四类：
第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，
有C24·C12＝12(种)方法；
第三类：A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；
第四类：A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，
有C14·C13＝12(种)方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．。