2011年成人高考专升本高数试题及答案

2011年成人高考专升本高数试题及答案

一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若(),,2y xy y x y x f +=-+则()=

y x f ,1()2x x y -． 2．=→x n i s x in s x x 1

lim 200．

3．设322++=ax x y 在1=x 处取得极小值，则a =4-．

4．设向量,23a i j b j k =-=-+

， 则a b ⋅= 2．

5．=+⎰2

01x dt t dx d 212x x +．

二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．

6．函数()41

922-+-=x x x f 的定义域是 [ C ]

（A ）

()()∞+-∞-,22, ； （B ）()()3,22,3 --； （C ）)([]3,22,3 --； （D ）]()[()∞+--∞-,32,23, ．

7．曲线

26322-+=x x y 上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标是 [ B ] （A ）)15,3(； （B ）)1,3(； （C ）)15,3(-； （D ）)1,3(-．

8．设cos(2)z x y =-，则z y

∂∂等于 [ D] （A ）sin(2)x y --； （B ）2sin(2)x y --；

（C ）sin(2)x y -； （D ）2sin(2)x y -。

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ]

（A ）A x y =，[]2,1-∈x ； （B ）)1ln(x y +=，[]1,1-∈x ；

（C ） x y 1

=，[]1,1-∈

x ； （D ）)1ln(2x y +=，[]3,0∈x . 10．无穷级数()

∑∞=-14/51

1n n n [ A ]

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛；

（C ）发散； （D ）敛散性不能确定．

三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本题满分7分）

计算定积分1

230(1)x x dx

+⎰． 解： 原式 = 1

23201(1)(1)2

x d x ++⎰ = 1

04

2)1(81+x =

158

12．（本题满分7分）

设()()20061()f x x g x =-, 其中)(x g 在 1=x 处连续，且1)1(=g ，求)1(f '． 解：1)1()(lim )1('1--=→x f x f f x 20061(1)()lim 1

x x g x x →-=- 200520041(1)(1)()lim 1

x x x x x g x x →-++++=- 200520041

lim(1)()x x x x g x →=++++ 2006= 13．（本题满分8分）

求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的平面图形的面积．

解：24,

(0)4,(3)2y x y y '''=-+==- ∴在(0,3)-处的切线方程为43y x =-

在(3,0)处的切线方程为

26y x =-+ 两条切线的交点为3(,3)2

从而所求平面图形的面积可表示为 3322230243(43)26(43)S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦⎰

⎰7 分 3

3

222

302(69)x dx x x dx =+-+⎰⎰

94

= 14．（本题满分8分）

求微分方程2(6)20y x dy ydx -+=的通解．

解：原方程可变形为

32

dx y x dy y -=- 则33()2

dy dy y y y x e e dy C ---⎰⎰=-+⎰ 2

3333

1()()222y y y y dy C y C Cy y -=-⋅+=+=+⎰。 15．（本题满分8分）

计算⎰⎰-D y y d x d e 2，其中D 是以)0,0(O ，)1,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形闭区域．

解：原式 ⎰⎰-=100

2y y dx e dy ⎰-=102dy y e y ⎰-=10222

1dy e y ⎰--=10221y de 21

12y

e -=- )1(2

11--=e 16．（本题满分8分）

求二元函数y x y xy x z 39422--++=的极值． 解：先解方程组241041830z x y x z x y y

∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=∂⎪⎩ 可得驻点31(,)1010

分别求二阶偏导数：222222,4,18z z z x x y y

∂∂∂===∂∂∂∂ 在点31(

,)1010

处，20,4,18A B C =>==，2200AC B -=> (,)z x y ∴在点31(,)1010处有极小值310-． 17．（本题满分7分）

求微分方程3()0(0)x y dy ydx y -+=>的通解．

解：原方程可变形为21dx x y dy y

+= 则微分方程的通解为1

1

2()dy dy y y x e y e dy C -⎰⎰=+⎰

324111()()44y C y ydy C y C y y y

=⋅+=+=+⎰ 18．（本题满分7分）

设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰⎰+=

（1）2)(-≤'x F ； （2）方程0)(=x F 在(),a b 内有且仅有一个实根。 证明：1．依题意有：()()()

x f x f x F 1+=' ()()()()()

210

,0≥-+-='-∴>-∴

2．因为()()

()()⎰⎰==b a a b dt t f b F dt t f a F ,1 所以()()()().01<⋅=⋅⎰⎰dt t f dt t f b F a F b a a

b 由罗尔定理方程至少有一实根。

又据1结论知()()x F x F ∴<',0在（a , b ）上单调递减。

故原方程在（a , b ）内有且仅有一个实根。