矩阵相关性质
矩阵性质
矩阵可逆的条件：
矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关。
矩阵是正定的条件：
4 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的正惯性指数p= n
5实对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于E.
6.存在可逆矩阵C使A=C T C
矩阵正定的意义：
正定矩阵
（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z T Mz> 0，其中z T表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。
在a充分大时，aE+B为正定矩阵。
（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z T Mz> 0。
其中z T表示z的转置。
对称正定矩阵
设
，若
，对任意的
，都有
，则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵
设
，若
，对任意的
，都有
，则称A为Hermite正定矩阵。
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵基本性质
矩阵的基本性质矩阵A的第A?第A列的元素为A AA。
我们?A A或（A）表?A×A的单位矩阵。
1.矩阵的加减法（1）A=A±A,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：A+A=A+Ab.结合律：(A+A)+A=A+（A+A）c.A+A=Ad.A−A=A2.矩阵的数乘（1）A=A A，各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：A(A+A)=A A+A Ab.矩阵对数的分配律：(A+A)A=A A+A Ac.结合律：(AA)A=A(A A)d.A?A=A3.矩阵的乘法（1）A=A A×A A A×A，左行右列对应元素相乘后求和为C的第A行第A列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有AA=AA=Ab.分配律：A(A+A)=AA+AAc.结合律：(AA)A=A(AA)d.数乘结合律：A(AA)=A(A A)4.矩阵的转置A A, (A A)AA=A AA（1）矩阵的幂：A1=A,A2=AA,…,A A+1=A(A A)（2）矩阵乘法满足的运算法则a. (A A)A=Ab. (A+A)A=A A+A Ac. (A A)A=A(A A)d. (AA)A=A A A A5.对称矩阵：A A=A即a AA=a AA；反对称矩阵：A A=−A即a AA=−a AA （1）设A,A为（反）对称矩阵，则A±A仍是（反）对称矩阵。
（2）设A,A为对称矩阵，则AA或AA仍是对称矩阵的充要条件AA=AA。
（3）设A 为（反）对称矩阵，则A A ，A A 也是（反）对称矩阵。
（4）对任意矩阵A ，则A ≡12(A +A A ),A ≡12(A +A A )分别是对称矩阵和反对称矩阵且A =A +A . （5）(A A )A =A6. Hermite 矩阵：A A =A 即a AA =a AA ̅̅̅̅̅̅̅；反Hermite 矩阵，A A =−A 即a AA =−aAA ̅̅̅̅̅̅̅ a.A A =(A̅)Ab. (A +A )A =A A +A Ac. (A A )A =A ̅̅̅(A A )d. (AA )A =A A A Ae. (A A )A =Af. (A A )−A =(A −A )A （当A矩阵可逆时）7.正交矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是正交矩阵 （1）A −A =A A ∈A A ×A （2）det A =±1（3）AA , AA ∈A A ×A8.酉矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是酉矩阵 （1）A −A =A A ∈A A ×A（2）|det A |=1（3）AA , AA ∈A A ×A （4）A A ∈A A ×A9.正规矩阵：若A A A =A A A ,则A 是正规矩阵；若A A A =AA A ,则A 是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式（1）AA (A )=∑A AA A A =A =∑A A A A =A 为矩阵A 的迹；|A |或det ?(A )为行列式（2）AA (AA )=AA (AA )；注：矩阵乘法不满足交换律 （3）AA (AAA )=AA (AAA )=AA (AAA ) （4）A =AAA ?, A 为酉矩阵，则AA (A )=AA (A ) （5）|A A +AA A |=|A A +A A A | （6）|A A +AA A |=|A A +A A A | （7）|A A |=|A | （8）|A A |=A A |A | （9）|AA |=|A ||A |（10）det ?(A +AA )=det ?(A +AA ) （11）|A |=∏A A A A =A（12）A=log[det(A A+AAA∗)],A=AA A A，则A=∑log(1+AAA A)AA=1其中A A为AA∗奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵A∗（1）设A={A AA}由行列式|A|的代数余子式A AA所构成的矩阵（2）AA∗=A∗A=|A|A12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作A−A,AA−A=A−A A=A;（2）|A|≠0（A为非奇矩阵）时，A−A=A|A|A∗（3）|A|≠0且A≠0，则(A A)−A=1AA−A（4）由AAA−A A−A=A，得(AA)−A=A−A A−A（5）(A A)−A=(A−A)A（6）若|A|≠0，|A−A|=A|A|（7）若A是非奇上（下）三角矩阵，则A−A也上（下）三角矩阵（8）A−A=(A−A)A（9）(A−A+A A A−A A)−A A A A−A=AA A(AAA A+A)−A （10）(A+AA)−A A=A(A+AA)−A（11）Woodbury 恒等式 :(A +AA −A A )−A=A −A −A −A A (A +AA −A A )−A AA −A （12）A −A =A ∧−1A A12.对角矩阵，矩阵A 为对称矩阵，A 正交矩阵，则A −A AA =AAAA (A A ?,A A )为对角矩阵或A −A AA =A A AA =AAAA (A A ?,A A )=∧，则A =A ∧A A =∑A A A A A A A A A =A ; A −A =A ∧−1A A =∑1A AA A A A A A A =A13.矩阵的导数（1）??A (AA )=?A?A A +A ?A?A （2）??A (A −A )=−A −A ?A?A A −A （3）??A AA |A |=AA (A −A ?A?A ) （4）??AAAAA (AA )=A AA（5）?AA (AA )=A A （6）??A AA (A A A )=A （7）??A AA (A )=A（8）??A AA (AAA A )=A (A +A A ) （9）??A AA |A |=(A −A )A。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
线代矩阵知识点总结
线代矩阵知识点总结一、矩阵的定义与基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个二维数组，其中的元素具有特定的排列方式。
一般地，矩阵的元素用小写字母表示，而矩阵本身用大写字母表示。
例如，一个矩阵A可以表示为：A = [a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n]...[am1, am2, ..., amn]其中，a_ij表示矩阵A的第i行、第j列元素。
2. 矩阵的基本性质（1）相等性：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们具有相同的维度，并且对应位置的元素相等。
（2）加法：两个矩阵A和B的加法定义为它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
即C = A + B。
（3）数量乘法：矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以一个标量k，得到一个新的矩阵B。
即B = kA。
（4）转置：矩阵A的转置是将A的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
（5）逆矩阵：对于方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB = BA = I（单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
二、矩阵的运算与性质1. 矩阵的加法设矩阵A和B是同样维度的矩阵，则它们的加法定义为将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵C。
即C = A + B。
性质：（1）交换律：矩阵加法满足交换律，即A + B = B + A。
（2）结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
（3）零元素：对于任意矩阵A，存在一个全为0的矩阵0，使得A + 0 = 0 + A = A。
2. 矩阵的数量乘法对于矩阵A和标量k，矩阵A的数量乘法定义为将A的每一个元素乘以k，得到一个新的矩阵B。
即B = kA。
性质：（1）分配律：矩阵的数量乘法满足分配律，即k(A + B) = kA + kB。
（2）结合律：矩阵的数量乘法满足结合律，即(k1k2)A = k1(k2A)。
（3）单位元素：对于任意矩阵A，存在一个标量1，使得1A = A。
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵P,Q,使PAQ= B ,则4与B 等价;相似：存在可逆矩阵P,使P-'AP=B,则A 与3相似；合同：存在可逆矩阵c, ^C T AC=B 9则人与3合同.•、相似矩阵的定义及性质 定义1设人3都是〃阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P ・'AP=B,则称3是4的相似矩阵，或 说矩阵A 与3相似，记为A~B ・对A 进行运算P'[AP 称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称 为把A 变成B 的相似变换矩阵.注矩阵相似是-种等价关系.(1) 反身性：A~ A.(2) 对称性：若A 〜3,则3〜A.(3) 传递性：若A 〜B, B~C,则A~C.性质1若A 〜3,则(1) A 7 〜M ：(2) A'1 〜A ：(3) |A-/t£| = |B -/lE|：(4) |A| = |B|:(5) R(A) = R(B)・征值.性质2若A = PBE,则A 的多项式0(A) = P0(B)P“ •推论若A 与对角矩阵八相似，则0(血)丿注(1)与单位矩阵相似的只有它本身:（2）有相同特征多项式的矩阵不-定相似.二、 矩阵可对角化的条件对川阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使P~l AP = A 为对角阵，就称为把方阵A 对 角化。
定理1 "阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）O A 有“个线性无关的特征向量。
推论若〃阶矩阵A 与对角矩阵八=相似，则人，兄2,…，血是A 的畀个特0(A) = "(A)” = P 血)推论如果“阶矩阵A的“个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若A〜A,则A的主对角元素即为A的特征值，如果不计人的扌I#列顺序，则八唯•, 称之为矩阵A的相似标准形。
<2）可逆矩阵P由A的“个线性无关的向量构成。
把•个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的和似矩阵实对称矩阵是•类特殊的矩阵，它们•定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得P~l AP = A.更可找到正交可逆矩阵7\使和T_1AT = A定理2实对称矩阵的特征值为实数。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。
我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。
1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。
2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。
3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。
二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
下面我们将详细介绍这些运算。
1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。
其中加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。
同样地，减法也满足交换律和结合律。
3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。
数乘也满足结合律和分配律。
4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。
三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。
1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。
矩阵性质资料
矩阵的减法运算
矩阵减法示例
• 二阶矩阵减法：[[1, 2], [3, 4]] - [[5, 6], [7, 8]] = [[-4, -4], [-4, -4]] • 三阶矩阵减法：[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] - [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] = [[-8, -6, -4], [-2, 0, 2], [4, 6, 8]]
矩阵的Cholesky分解
Cholesky分解定义
• 将对称正定矩阵A分解为下三角矩阵L的转置与L的乘积 • L为下三角矩阵
Cholesky分解的应用
• 求解线性方程组Ax = b时，可以先对对称正定矩阵A进 行Cholesky分解，然后通过前向消元法求解 • Cholesky分解可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式
CREATE TOGETHER
DOCS
DOCS SMART CREATE
矩阵性质与应用
01
矩阵的基本概念与性质
矩阵的定义与表示
矩阵的定义
• 由一组数组成的矩形阵列 • 每个元素都有一个确定的位置 • 矩阵的行数和列数相等称为方阵
矩阵的表示
• 用方括号包围的元素列表 • 元素之间用逗号分隔 • 矩阵的大小用行数和列数表示
矩阵的乘法运算
矩阵乘法定义
• 矩阵A乘以矩阵B的每个元素是矩阵A的行与矩阵B的列对应元素相乘的和 • 结果矩阵的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数
矩阵乘法示例
• 二阶矩阵乘法：[[1, 2], [3, 4]] * [[5, 6], [7, 8]] = [[19, 22], [43, 50]] • 三阶矩阵乘法：[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] * [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]] = [[30, 24, 18], [84, 69, 54], [138, 114, 90]]
矩阵的基本性质与变换
矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。
矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。
以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。
加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。
减法运算的定义与加法类似。
2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。
即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有方阵才存在逆矩阵。
二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。
1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。
矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。
2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。
矩阵运算法则及性质
矩阵运算法则及性质
1、⽅形矩阵A对应的⾏列式|A|⽤于判断矩阵是否为奇异矩阵，若|A|⾮0，则矩阵为⾮奇异矩阵，若|A|=0，则A为奇异矩阵。
2、|AB| = |A||B|
3、A的伴随矩阵AdjA的求法：
4、A的逆矩阵的求法：
5、系数矩阵加⼀列右端项的矩阵叫增⼴矩阵，英⽂叫做augmented matrix，记作：(A|B)
6、矩阵转置相关运算：
7、矩阵乘以常数的运算
8、矩阵分块后满⾜矩阵乘法规则
9、三种矩阵初等⾏（列）变换：对调两⾏（列）；以不为0的数字k乘以某⾏（列）；不为0的k乘以某⾏（列）再加到另⼀⾏（列）上。
10、⾏阶梯型矩阵：可以画出⼀条阶梯线，线的下⽅全为0，且每个阶梯之后⼀⾏，台阶数即为⾮零⾏的⾏数。
如下图，3个⾏阶梯的下⽅，全部为0。
11、⾏最简型矩阵，左上⾓是单位阵，是⾏阶梯型矩阵的更简形式：
12、通过增⼴矩阵求解AX=B问题，通过将矩阵(A,B)化为⾏最简型(E,X)，可以求解此问题。
13、⾼斯消元法/⾼斯-若尔当消元法：我们可以利⽤类似12的⽅式求解齐次线性⽅程组(B=0，将A化为最简形)及⾮齐次线性⽅程组(B!=0)。
⽽对于XA=B的问题，我们需要将(A/B)做初等列变换。
13、通过将矩阵化为⾏最简形，得到矩阵的秩R(A)，其值等于最简形中⾮0⾏的⾏数。
14、关于⽅程组：若⽅程的个数多于未知数的个数，称为“超定⽅程组”；右侧全为0的⽅程组（齐次线性⽅程组）总有解，全零解为平凡解，⾮零解为⾮平凡解；
15、由矩阵分块法可知，⾮满秩矩阵总可以分块为左上⾓的矩阵块A，右上⾓矩阵块B，以及左右下⾓两个矩阵块O，则矩阵对应的⾏列式，值为0。
矩阵及其性质知识点及题型归纳总结
矩阵及其性质知识点及题型归纳总结
1. 矩阵基本概念
- 矩阵是一个二维数组，由行和列组成。
- 矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
2. 矩阵的性质和运算
- 矩阵的转置：交换矩阵的行和列, 记作A^T。
- 矩阵的加法：对应位置元素相加。
- 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素乘以一个数。
- 矩阵的乘法：满足左乘法则和右乘法则。
- 矩阵的逆：对于可逆方阵，存在逆矩阵使得矩阵乘法满足乘法逆的要求。
3. 矩阵的特殊类型和性质
- 单位矩阵：一个方阵的主对角线上元素为1，其他元素为0。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
- 对角矩阵：只有主对角线上元素非零，其他元素为0。
- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身。
- 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0。
- 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0。
4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵的基本运算：加法、数乘、乘法和转置操作。
- 矩阵的性质判断：检查矩阵是否为对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
- 矩阵的逆和行列式：求逆矩阵、计算行列式的值等。
- 矩阵的方程求解：解线性方程组、求矩阵的特征值和特征向量等。
以上是矩阵及其性质的基本知识点及题型归纳总结。
通过掌握这些知识，你将能够更好地理解和应用矩阵在数学和工程等领域的相关问题。
矩阵的概念与性质
矩阵的概念与性质矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、物理学等领域。
它是一种由数值排列成的矩形阵列。
在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念以及其一些重要的性质。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列数值组成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个数值称为元素，表示为aij，其中i表示元素所在的行号，j表示元素所在的列号。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：[ a11 a12 ][ a21 a22 ][ a31 a32 ]二、矩阵的类型根据矩阵的性质，可以将矩阵分为以下几种类型：1. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵，通常用0表示。
2. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
例如，一个3行3列的方阵可以表示为：[ a11 a12 a13 ][ a21 a22 a23 ][ a31 a32 a33 ]3. 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。
例如，一个3行3列的对角矩阵可以表示为：[ a11 0 0 ][ 0 a22 0 ][ 0 0 a33 ]4. 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵称为单位矩阵。
单位矩阵通常表示为I。
5. 转置矩阵：将矩阵的行列互换得到的矩阵称为转置矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵表示为AT。
三、矩阵的性质矩阵具有许多重要的性质，下面我们将介绍几个常见的性质：1. 加法性质：对于两个同型矩阵A和B，它们的和矩阵C等于对应元素相加得到的矩阵。
即C = A + B。
2. 数乘性质：矩阵A的每个元素都乘以一个标量k得到的矩阵称为矩阵的数乘。
即kA。
3. 乘法性质：对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，它们可以相乘得到一个新的矩阵C。
即C = AB。
4. 逆矩阵：如果一个方阵A存在一个矩阵B，满足AB = BA = I，那么矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
只有可逆矩阵才能求逆矩阵。
5. 矩阵的转置性质：对于矩阵A，它的转置矩阵AT的转置矩阵等于A。
矩阵所有知识点总结
矩阵所有知识点总结1. 矩阵的定义在数学中，矩阵通常表示为一个由 m 行 n 列元素组成的矩形数组，如下所示：-$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$$a_{ij}$$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
当 m = n 时，矩阵称为方阵。
2. 矩阵的运算矩阵具有加法、数乘、矩阵乘法等运算规则，下面分别介绍这些运算规则。
2.1 矩阵的加法设有两个 m 行 n 列的矩阵 A 与 B，则它们的和记为 A + B，其定义为：-$$A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$$2.2 矩阵的数乘设有一个 m 行 n 列的矩阵 A 与一个实数 k，则它们的数乘记为 kA，其定义为：-$$kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} &\cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots &ka_{mn} \end{bmatrix}$$2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，两个矩阵 A 与 B 的乘积为一个 m 行 n 列的矩阵 C，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。
矩阵基本性质总结
矩阵基本性质总结矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本性质是研究和理解矩阵的重要前提。
本文将对矩阵的基本性质进行总结和讨论。
一、矩阵的定义及表示方式矩阵是由m行n列元素排列成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
其中，m代表矩阵的行数，n代表矩阵的列数。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。
二、矩阵的运算性质1. 矩阵的加法：对应元素相加若A和B为同型矩阵，即行数和列数相同，那么它们可以相加。
相加的结果为一个同型矩阵C，C的每个元素等于A和B对应元素的和。
2. 矩阵的数乘：每个元素乘以同一个数若A为一个矩阵，k为一个实数，那么A与k的乘积为一个与A同型的矩阵，其中每个元素等于A中对应元素乘以k。
3. 矩阵的乘法：行乘列得到新矩阵两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
乘积矩阵C的行数等于第一个矩阵A的行数，列数等于第二个矩阵B的列数。
乘积矩阵C的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置：行变列，列变行若矩阵A的行数为m，列数为n，那么A的转置矩阵记作A^T，行数变为n，列数变为m，且A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
三、矩阵的特殊矩阵性质1. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
2. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，用0表示。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵，记作I。
4. 对角矩阵：只在主对角线上有非零元素的矩阵称为对角矩阵。
5. 可逆矩阵：若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。
四、矩阵的基本性质1. 矩阵的加法和乘法满足结合律、交换律和分配律。
2. 矩阵的转置运算满足(A^T)^T=A，(A+B)^T=A^T+B^T，(kA)^T=k(A^T)，(AB)^T=B^T*A^T。
3. 若A是方阵，则A与单位矩阵的乘积等于A本身，即AI=IA=A。
深入了解矩阵的性质及计算方法
04 矩阵的应用
在线性方程组中的应用
在线性方程组中的应用：矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵运算可以求解线性方程组
根据矩阵的特殊性质选择计算方法，如对角矩阵可以使用特征值分解
结合实际应用场景选择计算方法，如机器学习算法中常用奇异值分解
利用矩阵的性质简化计算
利用矩阵的行简化计算 利用矩阵的列简化计算 利用矩阵的转置简化计算 利用矩阵的逆简化计算
利用计算机软件进行矩阵运算
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MATL AB：一款强大的数学 计算软件，支持矩阵运算
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性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质，如相似矩阵具有相同的特征多项式和特 征值，矩阵可对角化的充分必要条件是其所有特征值都是实数等。
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应用：特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、控制理论、信号处 理等。
矩阵的秩
定义：矩阵的秩是其行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数
矩阵的性质及计算方 法
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目录 /目录
01
矩阵的基本性 质
02
特殊类型的矩 阵
03
矩阵的计算方 法
04
矩阵的应用
05
矩阵的运算技 巧
矩阵的基本运算和性质
矩阵的基本运算和性质矩阵是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于数学、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，旨在帮助读者理解和应用矩阵。
一、矩阵的基本定义和表示方法在开始讨论矩阵的运算和性质之前，首先应了解矩阵的基本定义和表示方法。
矩阵是一个按照矩形排列的数表，它由m行n列的元素组成。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B等，而矩阵的元素一般用小写字母表示，例如a、b等。
矩阵的表示方法有多种，其中最常见的是用方括号将矩阵的元素排列起来。
例如：A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]其中A是一个3行3列的矩阵，a11、a12等表示矩阵A的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法只能对应位置的元素进行相加，也就是说，如果两个矩阵具有相同的行数和列数，则可以将它们对应位置的元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个相同维数的矩阵A和B，其加法和减法运算的规则如下：A +B = [a11 + b11, a12 + b12; a21 + b21, a22 + b22]A -B = [a11 - b11, a12 - b12; a21 - b21, a22 - b22]2. 矩阵的数乘和数除矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数，矩阵的数除是指将矩阵的每个元素除以一个常数。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，其数乘和数除运算的规则如下：kA = [ka11, ka12; ka21, ka22]A/k = [a11/k, a12/k; a21/k, a22/k]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘并相加得到结果。
例如，对于两个矩阵A和B，其乘法运算的规则如下：C = AB其中，C为一个m行n列的矩阵，其元素cij可以通过下面的公式计算得到：cij = a[i1]*b[1j] + a[i2]*b[2j] + ... + a[in]*b[nj]4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到一个新的矩阵。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等多个学科中发挥着重要的作用。
矩阵的性质和运算是我们研究和应用矩阵的基础，本文将详细介绍矩阵的性质和运算，使读者对矩阵有更加深入的理解。
一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
一个矩阵有m行和n列，我们通常以大写字母表示矩阵，如A、B等。
1.2 矩阵的维度如果一个矩阵有m行和n列，我们称其为m×n维矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
特殊地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们称其为方阵。
1.3 矩阵的元素矩阵中的每个数称为一个元素，我们通常用小写字母表示矩阵中的元素。
例如，矩阵A的第i行、第j列的元素用aij表示。
1.4 矩阵的转置对于一个m×n维矩阵A，将其行与列互换得到的n×m维矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。
即A的第i行第j列的元素aij在AT中就是第j行第i列的元素。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B。
矩阵A +B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的和。
即(A + B)ij = Aij + Bij。
2.2 矩阵的减法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的差记作A - B。
矩阵A - B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的差。
即(A - B)ij = Aij - Bij。
2.3 矩阵的数乘对于一个维度为m×n的矩阵A和一个实数或复数c，我们可以将A的每个元素都乘以c得到一个新的矩阵cA。
即(cA)ij = c·Aij。
2.4 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
要使得两个矩阵A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。
如果A是一个m×n维矩阵，B是一个n×p维矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p维矩阵。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
矩阵相似的性质
矩阵相似的性质
矩阵相似是数学中一种概念，它表示两个矩阵之间的关系。
它涉及到矩阵之间的线性变换，它可以将一个矩阵变换成另一个矩阵。
通常情况下，一个矩阵多么相似取决于一系列规则，这些规则决定了线性变换的行为。
例如，如果我们知道两个矩阵A和B的对角元素都相等，则这两个矩阵相似，并且矩阵A和B的匹配可以定义为对角元素的相等。
有时，变换的元素范围不止于对角元素，也可能是整行或者整列，例如，如果一个矩阵A的每一行都被另一个矩阵B每一行中某一项元素所替代，则两个矩阵相似，而此种变换称为行变换。
它也可以涉及到列变换、行和列的交换等等，而矩阵的相似性也可表示为它们的乘积的精确值或近似值。
在一个简单的实现中，矩阵的相似性可以由矩阵内元素的相对位置和大小表示，因此可以得到一个矩阵与另一个矩阵符合程度的数值。
另外，矩阵相似度也可以从矩阵元素的标识中推导出来。
这一思想，也就是矩阵相似性，是非常实用的方法，可以在不同场景中使用，如计算机视觉技术、计算机图形学以及机器学习算法中，可以用来比较两个矩阵，矩阵相似性的比较结果的应用可以有助于提高一些学习和分类的精准度。
也是用来计算向量之间的距离，常用于聚类算法中。
总的来说，矩阵相似性作为一种数学概念，提供了多种用途，它可以用来比较矩阵之间的差异，也可以用来指导机器学习并选择有效策略，这是从数学抽象到应用技术上真正体现出其中的精髓所在。
矩阵基本性质
矩阵的基本性质矩阵A的第A第A列的元素为A AA。
我们A A或（A）表A×A的单位矩阵。
1.矩阵的加减法（1）A=A±A,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：A+A=A+Ab.结合律：(A+A)+A=A+（A+A）c.A+A=Ad.A−A=A2.矩阵的数乘（1）A=A A，各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：A(A+A)=A A+A Ab.矩阵对数的分配律：(A+A)A=A A+A Ac.结合律：(AA)A=A(A A)d.A?A=A3.矩阵的乘法（1）A=A A×A A A×A，左行右列对应元素相乘后求和为C的第A行第A列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有AA=AA=Ab.分配律：A(A+A)=AA+AAc.结合律：(AA)A=A(AA)d.数乘结合律：A(AA)=A(A A)4.矩阵的转置A A, (A A)AA=A AA（1）矩阵的幂：A1=A,A2=AA,…,A A+1=A(A A)（2）矩阵乘法满足的运算法则a. (A A)A=Ab. (A+A)A=A A+A Ac. (A A)A=A(A A)d. (AA)A=A A A A5.对称矩阵：A A=A即a AA=a AA；反对称矩阵：A A=−A即a AA=−a AA （1）设A,A为（反）对称矩阵，则A±A仍是（反）对称矩阵。
（2）设A,A为对称矩阵，则AA或AA仍是对称矩阵的充要条件AA=AA。
（3）设A 为（反）对称矩阵，则A A ，A A 也是（反）对称矩阵。
（4）对任意矩阵A ，则A ≡12(A +A A ),A ≡12(A +A A )分别是对称矩阵和反对称矩阵且A =A +A . （5）(A A )A =A6. Hermite 矩阵：A A =A 即a AA =a AA ̅̅̅̅̅̅̅；反Hermite 矩阵，A A =−A 即a AA =−aAA ̅̅̅̅̅̅̅ a.A A =(A̅)Ab. (A +A )A =A A +A Ac. (A A )A =A ̅̅̅(A A )d. (AA )A =A A A Ae. (A A )A =Af. (A A )−A =(A −A )A （当A矩阵可逆时）7.正交矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是正交矩阵 （1）A −A =A A ∈A A ×A （2）det A =±1（3）AA , AA ∈A A ×A8.酉矩阵：若A A A =A A A =A ,则A ,(A )∈A A ×A 是酉矩阵 （1）A −A =A A ∈A A ×A（2）|det A |=1（3）AA , AA ∈A A ×A （4）A A ∈A A ×A9.正规矩阵：若A A A =A A A ,则A 是正规矩阵；若A A A =AA A ,则A 是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式（1）AA (A )=∑A AA A A =A =∑A A A A =A 为矩阵A 的迹；|A |或det ?(A )为行列式（2）AA (AA )=AA (AA )；注：矩阵乘法不满足交换律 （3）AA (AAA )=AA (AAA )=AA (AAA ) （4）A =AAA ?, A 为酉矩阵，则AA (A )=AA (A ) （5）|A A +AA A |=|A A +A A A | （6）|A A +AA A |=|A A +A A A | （7）|A A |=|A | （8）|A A |=A A |A | （9）|AA |=|A ||A |（10）det ?(A +AA )=det ?(A +AA ) （11）|A |=∏A A A A =A（12）A=log[det(A A+AAA∗)],A=AA A A，则A=∑log(1+AAA A)AA=1其中A A为AA∗奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵A∗（1）设A={A AA}由行列式|A|的代数余子式A AA所构成的矩阵（2）AA∗=A∗A=|A|A12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作A−A,AA−A=A−A A=A;（2）|A|≠0（A为非奇矩阵）时，A−A=A|A|A∗（3）|A|≠0且A≠0，则(A A)−A=1AA−A（4）由AAA−A A−A=A，得(AA)−A=A−A A−A（5）(A A)−A=(A−A)A（6）若|A|≠0，|A−A|=A|A|（7）若A是非奇上（下）三角矩阵，则A−A也上（下）三角矩阵（8）A−A=(A−A)A（9）(A−A+A A A−A A)−A A A A−A=AA A(AAA A+A)−A （10）(A+AA)−A A=A(A+AA)−A（11）Woodbury 恒等式 :(A +AA −A A )−A=A −A −A −A A (A +AA −A A )−A AA −A （12）A −A =A ∧−1A A12.对角矩阵，矩阵A 为对称矩阵，A 正交矩阵，则A −A AA =AAAA (A A ?,A A )为对角矩阵或A −A AA =A A AA =AAAA (A A ?,A A )=∧，则A =A ∧A A =∑A A A A A A A A A =A ; A −A =A ∧−1A A =∑1A AA A A A A A A =A13.矩阵的导数（1）??A (AA )=?A?A A +A ?A?A （2）??A (A −A )=−A −A ?A?A A −A （3）??A AA |A |=AA (A −A ?A?A ) （4）??AAAAA (AA )=A AA（5）?AA (AA )=A A （6）??A AA (A A A )=A （7）??A AA (A )=A（8）??A AA (AAA A )=A (A +A A ) （9）??A AA |A |=(A −A )A。
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相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则A 与B 相似； 合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，则A 与B 合同.
一、相似矩阵的定义及性质
定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系. （1）反身性：A A ~.
（2）对称性：若B A ~，则A B ~.
（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则
（1）T
T
B A ~； （2）11~--B A
；
（3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =.
推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λn λλλO
2
1相似，则n λλλ,,,21Λ是A 的n 个特征值.
性质2 若1
-=PBP A ，则A 的多项式1
)()(-=P B P A φφ.
推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则
1
211
)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ=P P P P A n λφλφλφφφO
. 注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件
对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。
定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。
推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯
一，称之为矩阵A 的相似标准形。
（2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 三、实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1
.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T 1
定理2 实对称矩阵的特征值为实数。
定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。
又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
定理3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。
定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无
关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。
定理5：（实对称矩阵必可对角化）
对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。
其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。
定义2 若二次型Ax x f T
=，则对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵，也把f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型f 的秩.
推理 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正. 定理3 对称矩阵A 正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即
011>a ，
022
21
1211>a a a a ，0,1111>nn
n n
a a a a Λ
M M
ΛΛ； 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正 1.设A 为正定阵，则*
1
,,A A A T
-均为正定矩阵；
2.设B A ,均为正定矩阵，则B A +也是正定矩阵. 四、如果n 阶矩阵A 与B 相似，那么A 与B 的特征值相同吗？ 答 一定相同。
因为它们有相同的特征多项式。
证明 A Θ与B 相似，即存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1
，
E A E A P P E A P P E P AP P E B λλλλλ-=-=-=-=-∴----1111)()(
但务必注意：
1. 即使A 与B 的特征值都相同，A 与B 也未必相同。
2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。
五、判断矩阵A 是否可对角化的基本方法有哪些？ 答 常有如下四种方法。
（1）判断A 是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。
（2）求A 的特征值，若n 个特征值互异，则A 一定可对角化。
（3）求A 的特征向量，若有n 个线性无关的特征向量，则A 可对角化，否则不可对角化。
（4）方阵A 可对角化的充要条件是A 的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。
一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。
六、已知n 阶方阵A 可对角化，如何求可逆矩阵P ，使得?),,,(diag 211
n AP P λλλΛ=-
答 若n 阶方阵A 可对角化时，则求可逆矩阵P 的具体步骤为： （1）求出A 的全部特征值s λλλ,,,21Λ；
（2）对每个)1(s i i ≤≤λ，求齐次方程组0)(=-x E A i λ的基础解系，得n 个线性无关的特征向量n αααΛ,,21；
（3）令),,,(21n P αααΛ=，则),,,(211
n diag AP P λλλΛ=Λ=-，其中
n λλλ,,,21Λ为n ααα,,,21Λ对应的特征值。
七、对于实对称矩阵A ，如何求正交矩阵P ，使AP P 1
-为对角阵？
答 若A 为n 阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P ，使AP P 1
-为对角阵。
可按以下步骤求出正交矩阵P 。
（1）求出方阵A 的全部特征值s λλλ,,,21Λ，其中重根数分别为s k k k ,,,21Λ。
（2）对每一个i λ求出齐次线性方程组0)(=-x E A i λ的基础解系
s i ik i i ,,2,1,,,,21ΛΛ=ααα。
（3）将s i ik i i ,,2,1,,,,21ΛΛ=ααα正交化（若1=i k ，则只须单位化）得正交单位特征向量组：n p p p Λ,,21。
令),,,(21n p p p P Λ=
（4）⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-n AP P λλλ 211
O
，其中λ是特征向量i p 所对应的特征值。
九、如何判断一个二次型Ax x f T
=是正定的？
答 判别二次型Ax x f T
=正定性的方法通常有 （1）用定义，
（2）f 的标准形中的n 个系数全为正， （3）对称矩阵A 的特征值全大于0， （4）正惯性指数n p =，
（5）计算矩阵A 的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。
十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？ 答 如果存在可逆矩阵P ，使，则称矩阵A 与B 合同。
合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：
如果矩阵A 与矩阵E 合同，则A 为正定矩阵。
合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1。
显然，若P 为正交矩阵，则1-=P P T ，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1
，此时A 与Λ相似，A 与Λ合同。