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专题 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)

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北师大版七年级下册数学[《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学[《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《整式的乘除》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、计算下列各题：（1）2334(310)(10)⨯⨯- （2）2332[3()][2()]m n m n +-+（3）26243(2)(3)xy x y -+- （4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+- 【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.【答案与解析】解：（1）2334(310)(10)⨯⨯-323343(10)(10)=⨯⨯18192710 2.710=⨯=⨯． （2）2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =⋅+⋅-⋅+ 661227()4()108()m n m n m n =+⋅+=+．（3）26243(2)(3)xy x y -+- 6661233612(1)2(1)3x y x y =-⋅⋅+-⋅612612612642737x y x y x y =-=．（4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-⋅--⋅⋅+-⋅ 6666649649a a a a =--=-．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．举一反三： 【变式】当41=a ，b ＝4时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值． 【答案】 解：333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ⎛⎫-+-=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭. 2、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm 3，一个体积是480m 3的房间内的空气质量是多少？（保留3个有效数字）【答案与解析】解： ∵ 36383480m 48010cm 4.8010cm =⨯=⨯，∴ 83850.001239 4.810 1.23910 4.810 5.947210(g)-⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯25.947210(kg)=⨯≈25.9510(kg)⨯．【总结升华】当数据太大或太小时，可逐步计算，力求使计算准确无误．举一反三：【变式】计算：（1）73(310)(210)-⨯⨯⨯；（2）423(210)(510)--⨯⨯⨯； （3）62(610)(310)-⨯÷⨯；（4）2332(210)(410)---⨯÷⨯．【答案】解：（1）原式734(32)(1010)610--=⨯⨯⨯=⨯；（2）原式838311(410)(510)(45)(1010)2010-----=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯10210-=⨯； （3）原式6(2)8(63)10210--=÷⨯=⨯； （4）原式66121018101012810 1.281016---⎛⎫=⨯÷⨯=⨯=⨯ ⎪⎝⎭． 类型二、整式的乘除法运算3、解下列方程．（1）2(1)(25)=12x x x x ---（2）3(7)=18(315)x x x x ---【答案与解析】解：（1）222225=12x x x x --+， 3=12x ，=4x ．（2）22213=18315x x x x --+，6=18x ，=3x ．【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次方程的方法求解．4、（2015春•扬州）“若m n a a =（a ＞0且a≠1，m 、n 是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！（1）如果9273x =，求x 的值；（2）如果528162x x ÷=，求x 的值；（3）如果22383515x x x ++-=，求x 的值．【思路点拨】（1）把等号左边的式子利用幂的乘方转化为以3为底数的幂，根据等式的左边=右边，即可求解．（2）把等号左边的式子利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法法则转化为以2为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解；（3）把等号左边的式子利用积的乘方的逆运用转化为以15为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解．【答案与解析】解：（1）()33927333x x x ===， ∴3x =9，解得：x =3．（2）2816x x ÷=()()34222x x ÷=34134522222x x x x -+÷==， ∴1﹣3x +4x =5，解得：x =4．（3）()22223835351515x x x x x ++++-=⨯==，∴x +2=3x ﹣8，解得：x =5．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．举一反三：【变式】（1）已知1227327m m -÷=，求m 的值．（2）已知1020a =，1105b =，求293a b ÷的值． （3）已知23m =，24n =，求322m n -的值．【答案】解：（1）由题意，知312(3)327m m -÷=．∴ 3(1)2333m m --=．∴ 3323m m --=，解得6m =．（2）由已知1020a =，得22(10)20a =，即210400a =．由已知1105b =，得211025b =． ∴ 221101040025a b ÷=÷，即2241010a b -=．∴ 224a b -= ∴ 22222493333381a b a b a b -÷=÷===． （3）由已知23m =，得3227m =．由已知24n =，得2216n =． ∴ 32322722216m n m n -=÷=． 类型三、乘法公式5、对任意整数n ，整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数？为什么？【答案与解析】解：∵(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-，210(1)n -是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．【总结升华】要判断整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．举一反三：【变式】（2015秋•泰州）计算：（1）()225m -+（2）()()()2339a a a +-+【答案】（1）()222542025m m m -+=-+； （2）()()()2339a a a +-+()()2299a a =-+481a =-6、已知3a b +=，4ab =-，求： (1)22a b +；(2)33a b +【思路点拨】在公式()2222a b a ab b +=++中能找到22,,a b ab a b ++的关系. 【答案与解析】解：(1) 222222a b a ab b ab +=++- ()22a b ab =+-∵3a b +=，4ab =-，∴()22232417a b +=-⨯-= (2)333223a b a a b a b b +=+-+ ()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22a b a ab b =+-+()()2[3]a b a b ab =++-∵3a b +=，4ab =-，∴()332333463a b ⎡⎤+=-⨯-=⎣⎦. 【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.。

整式的乘除(北师版)(含答案)

整式的乘除(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：单项式×单项式：_____乘以_____，______乘以_____．单项式÷单项式：_____除以_____，_____除以_____．问题2：单项式×多项式：根据________________，转化为_________．多项式×多项式：根据________________，转化为_________．问题3：多项式÷单项式：借用____________，转化为_________．整式的乘除（北师版）一、单选题(共16道，每道6分)1.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：单项式×单项式遵循的运算法则：系数乘以系数，字母乘以字母．，故选A．试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式2.下列运算错误的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：单项式×单项式遵循的运算法则：系数乘以系数，字母乘以字母．B选项应为，故选B．试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式3.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：单项式×多项式：根据乘法分配律，转化为单×单，然后按照单项式×单项式的运算法则进行计算．，故选D．试题难度：三颗星知识点：单项式乘多项式4.如果长方体长为，宽为，高为，则它的体积是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：长方体的体积＝长×宽×高所以长方体的体积为：故选C．试题难度：三颗星知识点：多项式乘单项式5.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：多项式×多项式：遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式6.下列各式计算结果为的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：多项式×多项式：遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．A选项，故A选项不符合题意；B选项，故B选项不符合题意；C选项，故C选项符合题意；D选项，故D选项不符合题意．故选C．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式7.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：单项式×多项式：根据乘法分配律，转化为单×单．然后按照单项式×单项式的运算法则进行计算．故选A．试题难度：三颗星知识点：合并同类项8.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：多项式×多项式：遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式9.已知，则的值为( )A.1B.-1C.-2D.-3答案：D解题思路：多项式×多项式：遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．根据对应项系数相等，可得，故选D．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式10.，括号里所填的代数式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．设括号里的代数式为M，∴即括号里面的代数式为．故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的除法11.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的除法12.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除13.下列式子：①；②；③；④．其中计算不正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个答案：A解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．①，①不正确；②，②不正确；③，③不正确；④，④正确．故不正确的有①②③，共3个．故选A．试题难度：三颗星知识点：积的乘方14.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的除法15.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的除法16.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：单项式×单项式：_____乘以_____，______乘以_____．单项式÷单项式：_____除以_____，_____除以_____．问题2：单项式×多项式：根据________________，转化为_________．多项式×多项式：根据________________，转化为_________．问题3：利用多项式×多项式运算法则计算．问题4：多项式÷单项式：借用____________，转化为_________．。

新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题

新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题

第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。

整式的乘除(公式)(北师版)(含答案)

整式的乘除(公式)(北师版)(含答案)
故选C．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
6.计算 正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：整式的乘除
7.若 ，则 ( )
A.5 B.-5
C.10 D.-10
答案：D
解题思路：
∵
∴
∴
故选D．
试题难度：三颗星知识点：完全平方式
8.若 ，则 ， 的值分别为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
观察选项中各式的符号特征，满足两数和与两数差的乘积的形式就可以使用平方差公式，从符号特征进行判断．
A选项中， ，
因此可以用平方差公式；
B选项中， ，
因此可以用完全平方公式；
C选项中， ，
因此可以用平方差公式；
D选项中， ，
因此可以用平方差公式．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：平方差公式
A.2，9 B.2，-9
C.-2，9 D.-4，9
答案：C
解题思路：
∵
∴
∴
∴
故选C．
试题难度：三颗星知识点：完全平方式
9.设 ，则 的值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
10.如果 ，则 ， 的值分别是( )
A.2，0 B.4，0
C.2， D.4，
3.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
A选项：等号左边是完全平方差公式的结构
，故A错误；
C选项：括号里首项系数为负，先处理负号，然后利用完全平方公式进行计算．

专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝ ．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝　（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝　；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：　．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。

北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第一章整式的乘除章末复习

北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第一章整式的乘除章末复习

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第一章整式的乘除章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除，主要内容包括整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式、整式的除法等。

这一章是代数学习的重要基础，通过本章的学习，使学生掌握整式的乘除运算，培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数、有理数等基础知识，具备一定的数学运算能力。

但学生在学习整式乘除时，可能会遇到因式分解不彻底、运算顺序混乱等问题。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理清运算思路，提高运算速度和准确性。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握整式的乘除运算方法，能够熟练运用平方差公式、完全平方公式等进行计算。

2.过程与方法：培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力，学会运用整式乘除解决实际问题。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式的乘法、平方差公式、完全平方公式的运用，以及整式的除法。

2.教学难点：整式乘除的运算顺序和运算规律，以及如何灵活运用公式解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用情境教学法，通过生活实例引入整式乘除的概念，激发学生的学习兴趣。

2.运用分组合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

3.采用讲解法、示范法，引导学生理清运算思路，突破教学难点。

4.利用多媒体课件辅助教学，直观展示整式乘除的运算过程，提高学生的理解能力。

六. 说教学过程1.导入：通过生活实例，如计算一块矩形土地的面积，引入整式乘除的概念。

2.新课讲解：讲解整式的乘法、平方差公式、完全平方公式，以及整式的除法。

在讲解过程中，注意引导学生理清运算思路，突破教学难点。

3.课堂练习：布置一些具有代表性的题目，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握情况。

专题1.3 乘法公式【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.3 乘法公式【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.3 乘法公式【十大题型】【北师大版】【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的计算】 (5)【题型4 利用乘法公式求值】 (8)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (10)【题型6 乘法公式的应用】 (13)【题型7 平方差公式的几何背景】 (17)【题型8 完全平方公式的几何背景】 (22)【题型9 乘法公式中的新定义问题】 (28)【题型10 乘法公式的规律探究】 (31)【知识点乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。

这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1判断运用乘法公式计算的正误】【例1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）计算(x−y+3)(x+y−3)时，下列变形正确的是（）A．[(x−y)+3][(x+y)−3]B．[(x+3)−y][(x−3)+y]C．[x−(y+3)][x+(y−3)]D．[x−(y−3)][x+(y−3)]【答案】D【分析】将(y−3)看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是(y−3)，对照平方差公式变形即可求解．【详解】解：(x−y+3)(x+y−3)=[x−(y−3)][x+(y−3)]，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．【变式1-1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）下列运算正确的是（）A ．(x +y )(−y +x )=x 2−y 2B ．(−x +y )2=−x 2+2xy +y 2C ．(−x−y )2=−x 2−2xy−y 2D ．(x +y )(y−x )=x 2−y 2【答案】A【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、(x +y )(−y +x )=x 2−y 2，故A 正确，符合题意；B 、(−x +y )2=x 2−2xy +y 2，故B 不正确，不符合题意；C 、(−x−y )2=x 2+2xy +y 2，故C 不正确，不符合题意；D 、(x +y )(y−x )=y 2−x 2，故D 不正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式(a +b )(a−b )=a 2−b 2和完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2．【变式1-2】（2023春·天津滨海新·七年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）A ．(x +y)(x−y)B ．(−x +y)(x +y)C ．(−x−y)(−x +y)D ．(x−y)(−x +y)【答案】D【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．【详解】A 、B 、C 选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，D 选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；故选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【变式1-3】（2023春·广东茂名·七年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．A ．x 2−4x−4B ．14+m 2+mC ．a 2+2ab +b 2D ．t 2+4t +4【答案】A【分析】根据a 2±2ab +b 2的形式判断即可；【详解】x 2−4x−4不是完全平方公式，故A 符合题意；14+m 2+m =+m 2，故B 不符合题意；a 2+2ab +b 2=(a +b )2，故C 不符合题意；t2+4t+4=(t+2)2，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．【题型2利用完全平方式确定系数】【例2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是．（只要写出符合条件的一个）【答案】−2a，6a，−34，−3a2．【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，∴这个单项式可以是−2a；∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，∴这个单项式可以是6a；②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，∴这个单项式可以是−34；③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，∴这个单项式可以是−3a2．综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．【变式2-1】（2023春·四川达州·七年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则n m的值为．【答案】4或16【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m 与n 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵x 2+2(m−3)x +1是完全平方式，∴m−3=±1，∴m =4或m =2，∵x +n 与x +2的乘积中不含x 的一次项，(x +n )(x +2)=x 2+(n +2)x +2n ，∴n +2=0，∴n =−2，当m =4，n =−2时，n m =(−2)4=16；当m =2，n =−2时，n m =(−2)2=4，则n m =4或16，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·七年级课时练习）若9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，则k =．【答案】31或−29/−29或31【分析】由9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，得出9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，进而得出−(k−1)=±30，即可求出k 的值．【详解】解：∵9x 2−(k−1)xy +25y 2是关于x 的完全平方式，∴9x 2−(k−1)xy +25y 2=(3x ±5y )2，∴−(k−1)=±30，解得：k =31或−29，故答案为：31或−29【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期中）已知B 是含字母x 的单项式，要使x 2+B +14是完全平方式，那么B = ．【答案】±x 或x 4．【分析】分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时和当B +x 2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．【详解】解：分类讨论：①当x 2+B +14是完全平方式时．∵x 2+B +14=x 2+B +，∴B =±2×x ×12=±x ；②当B +x 2+14是完全平方式时．∵B +x 2+14=B +2×x 2×12+，∴B =x 4．综上可知，B =±x 或x 4．故答案为：±x 或x 4．【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．【题型3 乘法公式的计算】【例3】（2023春·云南昭通·七年级校考期末）计算：(1)(2m−n +3p)(2m +3p +n)；(2)化简求值：(x−3)(x +3)−(x 2−2x +1)，其中x =12．【答案】(1)4m 2+12mp +9p 2−n 2(2)2x−10，−9【分析】（1）先把原式化为[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．【详解】（1）解：原式=[(2m +3p)−n ][(2m +3p)+n ]=(2m +3p)2−n 2=4m 2+12mp +9p 2−n 2；（2）原式=x 2−9−x 2+2x−1=2x−10，当x =12时，原式=1−10=−9．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．(1)1002−98×102；(2)(a+b+3)(a+b−3)；(3)(−2m+3)(−2m−3)；x−2y 2．【答案】(1)4(2)a2+2ab+b2−9(3)4m2−9(4)14x2−2xy+4y2【分析】（1）首先把98×102转化为(100−2)×(100+2)，然后再根据平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；（3）根据平方差公式计算即可；（4）根据完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：1002−98×102=1002−(100−2)×(100+2)=1002−(1002−22)=1002−1002+22=4；（2）解：(a+b+3)(a+b−3)=[(a+b)+3][(a+b)−3]=(a+b)2−32=a2+2ab+b2−9；（3）解：(−2m+3)(−2m−3)=(−2m)2−32=4m2−9；（4x−2y2=14x2−2xy+4y2．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校联考期中）1−1−=．【答案】1528【分析】根据平方差公式得，1−=1−+...1−+=12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．【详解】解：1−==12×32×23×43×34×54...×1314×1514=12×1514=1528，故答案为：1528．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式3-3】（2023春·江西抚州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算：(1)(2m−3n)(−2m−3n)−(2m−3n)2(2)1002−992+982−972+…+22−12．【答案】(1)−8m2+12mn(2)5050【分析】(1)原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；(2)原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2=−8m2+12mn；（2）原式=(100+99)×(100−99)+(98+97)×(98−97)+…+(2+1)×(2−1)=100+99+98+97+96+……+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【题型4利用乘法公式求值】【例4】（2023春·山东济南·七年级统考期末）设a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，∵a2+b2=16，∴(a−b)2+2ab=16，∴ab=6，∴c2=(a−1)(b+1)=ab+a−b−1=6+2−1=7，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．【变式4-1】（2023春·广西贵港·七年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为．【答案】49【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．【详解】解：∵x−y−7=0，∴x−y=7，∴x2−y2−14y=(x+y)(x−y)−14y=7(x+y)−14y=7x +7y−14y =7(x−y )=49．故答案为：49．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．【变式4-2】（2023春·湖南永州·七年级校考期中）（1）已知a +1a =3，求a 2+1a 2的值；（2）已知(a−b )2=9，ab =18，求a 2+b 2的值．【答案】（1）7；（2）45【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵ a 2+1a 2=a−2，a +1a =3，∴原式=32−2=9−2=7；（2）∵(a−b )2=a 2−2ab +b 2，(a−b )2=9，ab =18，∴ 9=a 2−2×18+b 2，解得a 2+b 2=9+2×18=45．【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知m 满足(3m−2015)2+(2014−3m )2=5．(1)求(2015−3m )(2014−3m )的值．(2)求6m−4029的值．【答案】(1)−2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】（1）解：设a =3m−2015，b =2014−3m ，可得a +b =−1，a 2+b 2=5，∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴1=5+2ab，即ab=−2，则(2015−3m)(2014−3m)=(3m−2015)(2014−3m)=−ab=2；（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=(3m−2015)−(2014−3m)=a−b，∵(a−b)2=a2+b2−2ab，∴(6m−4029)2=(a−b)2=a2+b2−2ab=5+4=9，则6m−4029=±3．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【题型5利用面积法验证乘法公式】【例5】（2023春·七年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②D．①②都不能【答案】C【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．【详解】解：在图①中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；在图②中，左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，右边图形中的阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可验证平方差公式，符合题意；故能够验证平方差公式的是：①②，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a−b)2 +4ab的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；B、可以验证(a+b)2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；C、可以验证(a+b)2=(a−b)2+4ab，该选项符合题意；D、可以验证a2=(a−b)2+2ab−b2，即(a−b)2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-2】（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（）A．(a+b)2=a2+2ab+b2B．(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bcC．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcD．(a+b)(a−b)=a2−b2【答案】D【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．【详解】解：等式(a+b)2=a2+2ab+b2是由边长为(a+b)的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；等式(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc是由长为(b+c)，宽为(a+b)的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为(a+b+c)的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；等式(a+b)(a−b)=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．故选D．【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．【变式5-3】（2023春·江西抚州·七年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；（2）应用公式计算：①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；②求20222−2021×2023的值．【答案】（1）(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①27；②1【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；（2）①利用x2+y2=(x+y)2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=(2022−1) (2022+1)=20222−1化简即可．【详解】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为a2，边长为b的正方形的面积为b2，长为a宽为b的长方形的面积为ab，大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，∴(a+b)2=a2+b2+2ab图2中，左边阴影部分的面积为：a2−b2，右边阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∵左右两边的阴影部分面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）①∵x+y=5，xy=−1，∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×(−1)=27；②20222−2021×2023=20222−(2022−1)(2022+1)=20222−(20222−1)=1．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握(a+b)2=a2+b2+2ab，a2−b2=(a+b) (a−b)是解题的关键．【题型6乘法公式的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS 总周长为14米，则m-n的值为（）A．4米B．7米C．5米D．3.5米【答案】B【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，由①可得：m+n=13，∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，∴(m−n)2=49，∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．【变式6-1】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）我们知道，将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．【答案】(1)61(2)800m2【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；(2)设CD=x m，AD=y m,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000,求xy即可.【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,（2）设CD=x m，AD=y m,∵长方形ABCD的周长是120米,∴2(x+y)=120,即x+y=60,又∵两块正方形的面积和为2000平方米，∴x²+y²=2000,=800，∴xy=602−20002答: 长方形ABCD的面积为800平方米.【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）如图，某校一块边长为2a m的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为(a−2b)m的正方形．(0<2b<a)(1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积．(2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？【答案】(1)七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)(2)多8ab m2【分析】（1）根据图形可知：七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−(a−2b)=(a+2b) (m)，可求出对应的长，(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)，即可解答此题．（2）由正方形的面积公式可得到：(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，从而解答此题．【详解】（1）解：（1）因为2a−(a−2b)=(a+2b)(m)，所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为(a+2b)(a−2b)=(a2−4b2)(m2)．（2）因为(a+2b)2−(a−2b)2=a2+4ab+4b2−(a2−4ab+4b2)=8ab(m2)，所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多8ab m2．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·浙江温州·七年级期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a 米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．【答案】(1)2a2+4ab(2)16【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b2=400，进而求得b2 =256，即可求出正方形边长b的值．【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，∴正方形空地ABCD的面积为(2a+b)2，∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2+b2+a2=2a2+b2，∴阴影部分的面积为(2a+b)2−(2a2+b2)=4a2+4ab+b2−2a2−b2=2a2+4ab；（2）解：阴影部分的面积为288平方米，∴2a2+4ab=288，∴a2+2ab=144，∵a+b=20，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=400，∴b2=400−144=256，∵b>0,∴b=16．【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．【题型7平方差公式的几何背景】【例7】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2)，解答下列问题：(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1=______ ，S2=______ ；(不必化简)(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______ ；(3)利用（2）中得到的公式，计算：20232−2022×2024．【答案】(1)a2−b2，(a+b)(a−b)(2)(a+b)(a−b)=a2−b2(3)1【分析】（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=(2023+1)(2023−1)=20232−1，从而简便计算出该题结果．【详解】（1）解：由题意得，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)．故答案为：a2−b2，(a+b)(a−b)；（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为(a+b)(a−b)=a2−b2．故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；（3）解：由（2）中所得乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2可得，20232−2021×2023=20232−(2023+1)×(2023−1)=20232−(20232−1)=20232−20232+1=1．【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．【变式7-1】（2023春·全国·七年级期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解即可；（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式，以此逐步解答即可．【详解】（1）解：图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故选B．（3）解：①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因为2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案为：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，因此264的个位数字为6．答：其结果的个位数字为6．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用和数字类规律，灵活应用平方差公式成为解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m) (a−m)，比较P、Q大小；【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．【答案】（1）−3m2；（2）P<Q；（3）x(x+1)(x−1)=x3−x．【分析】（1）分别用代数式表示图1，图2的面积即可；（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2−b2，图2的面积为(a+b)(a−b)，所以代数恒等式为(a+b)(a−b)=a2−b2；（2）∵P=(a+2m)(a−2m)，Q=(a+m)(a−m)，∴P−Q=(a+2m)(a−2m)−(a+m)(a−m)=a2−4m2−(a2−m2)=−3m2因为m是不为0的有理数，所以−3m2<0，即P−Q<0，所以P<Q；（3）图3中左图的体积为x⋅x⋅x−1×1×x=x3−x，图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，因此体积为(x+1)⋅x⋅(x−1)，所以有x(x+1)(x−1)=x3−x．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．【变式7-3】（2023春·山西大同·七年级统考期中）【实践操作】（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：．【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499×501+1；（4）计算：1−×1−×1−×…×1−×1−【知识迁移】（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：a3−b3=．（结果不需要化简）；(5)(a−b)a2+(a−b)b2+(a−b)ab或【答案】(1)a2−b2；(2)(a−b)(a+b)=a2−b2；(3)250000；(4)20234044(a−b)(a2+b2+ab)【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：(a−b)(a+b)=a2−b2（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500−1，将501拆成500+1即可．（4）利用a2−b2=(a+b)(a−b)将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab (a−b)，恰等于a3−b3．【详解】解：（1）长方形的面积为：2(a−b)(a−b2+b)=(a−b)(a−b+2b)=(a−b)(a+b)=a2−b2；（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：∴(a−b)(a+b)=a2−b2；（3）原式=(500−1)×(500+1)+1=5002-12+1=250000；（4）原式=1−1−=12×32×23×43×34×45×⋯×20202021×20222021×20212022×20232022=12×20232022=20234044；（5）将立体图形分割成三部分，分别为：a2(a−b)、b2(a−b)、ab(a−b)，其和为a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)=a3−b3．故答案为：a2(a−b)+b2(a−b)+ab(a−b)．【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．【题型8完全平方公式的几何背景】【例8】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为；(2)观察图2，三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系是；(3)若x+y=−6，xy=11，则x−y=；（直接写出答案）4【答案】(1)(m−n)2(2)(m+n)2−4mn=(m−n)2(3)±5【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；（2）由（1）中计算过程可得答案；（3）根据（2）中的等式可得答案．【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为(m−n)，则面积为(m−n)2．故答案为：(m−n)2；（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，右边的大正方形面积=(m+n)2，则阴影部分的面积=(m+n)2−4mn，因此三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；故答案为：(m+n)2−4mn=(m−n)2；（3）解：由（2）得(x+y)2−4xy=(x−y)2，=25，∴(x−y)2=(−6)2−4×114∴x−y=±=±5，故答案为：±5．【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．【变式8-1】（2023春·七年级课时练习）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，又因ab=1，所以a2+b2=7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；(2)拓展：若(4−x)x=3，则(4−x)2+x2=______．(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵x+y=8，x2+y2=40，∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)=82−40=64−40=24，∴xy=12．（2）解：设4−x=a，x=b，∴a+b=4−x+x=4，∵(4−x)x=3，∴ab=3，∴(4−x)2+x2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=16−6=10．（3）解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=20，AD=BC=12，∵BE=DF=x，∴FC=DC−DF=20−x，CE=BC−BE=12−x，设FC=20−x=a，CE=12−x=b，∴a−b=20−x−(12−x)=8，∵长方形CEPF的面积为160，∴FC⋅CE=(20−x)(12−x)=ab=160，∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积=CF2+CE2=(20−x)2+(12−x)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=82+2×160=64+320=384，∴图中阴影部分的面积和为384．【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：，方法2：；（2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量关系式是；（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝；【知识迁移】（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积；（2）由阴影部分面积相等可得结果；（3）直接根据（2）的结论代入求值即可；（4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2，方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab；（2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得：102-4×5=（a-b）2，∴（a-b）2=80；（4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）．【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：________﹔【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y=6,xy=11，求(x−y)2的值；4（2）已知a+b=6,ab=7，求a3+b3的值．【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知识迁移]（1）25；（2）90。

专题1.2 整式的乘除法【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)七年级下册

专题1.2 整式的乘除法【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)七年级下册

专题1.2整式的乘除法【十大题型】【北师大版】【题型1整式乘法中的求值问题】 (1)【题型2整式乘法中的不含某项问题】 (3)【题型3整式乘法中的错看问题】 (5)【题型4整式乘法中的遮挡问题】 (7)【题型5整式乘法的计算】 (8)【题型6整式乘法的应用】 (10)【题型7整式除法的运算与求值】 (14)【题型8整式除法的应用】 (15)【题型9整式乘法中的新定义】 (19)【题型10整式乘法中的规律探究】 (23)【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（）A．7B．﹣7C．8D．﹣9【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd解决此题．【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．∴a＝m﹣n＝8或﹣8．故选：C．【变式1-1】（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k ﹣p）2的值为（）A．98B．49C．14D．7【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即可求出k和p的值，进而即可得出答案．【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，∴k＝13，p＝6，∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，故选：B．【变式1-2】（2022春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx ﹣7，则k的值为（）A．−73B．−23C．43D．23【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k的值．【解答】解：由题意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7，∴x 2+（a ﹣3）x ﹣3a ＝x 2+kx ﹣7，∴﹣3a ＝﹣7，a =73，a ﹣3＝k ，k =73−3=−23．故选：B ．【变式1-3】（2022春•江都区期中）如果（x +a ）（x +b ）＝x 2+mx ﹣12（其中a ，b 都是整数），那么m 可取的值共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．【解答】解：∵（x +a ）（x +b ）＝x 2+mx ﹣12，∴当a ＝1，b ＝﹣12时，m ＝﹣11；当a ＝﹣1，b ＝12时，m ＝11；当a ＝2，b ＝﹣6时，m ＝﹣4；当a ＝﹣2，b ＝6时，m ＝4；当a ＝3，b ＝﹣4时，m ＝﹣1；当a ＝﹣3，b ＝4时，m ＝1；故m 的值共6个．故选：C ．【题型2整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2022秋•黔江区期末）要使（x 2﹣x +5）（2x 2﹣ax ﹣4）展开式中不含x 2项，则a 的值等于（）A ．﹣6B ．6C ．14D ．﹣14【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x 的降序排列，使x 的二次项的系数为0即可．【解答】解：（x 2﹣x +5）（2x 2﹣ax ﹣4）＝2x 4﹣ax 3﹣4x 2﹣2x 3+ax 2+4x +10x 2﹣5ax ﹣20＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，∵展开式中不含x2项，∴a+6＝0，∴a＝﹣6，故选：A．【变式2-1】（2022春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．∵化简后不含有x2项和常数项，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．∴a＝2，m＝3．∵an+mn＝﹣5，∴2n+3n＝﹣5．∴n＝﹣1．∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4×1+9＝﹣4+9＝5．【变式2-2】（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5＝（10+a）x﹣2a+5，由题意得，10+a＝0，解得，a＝﹣10．【变式2-3】（2022春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么a，b一定满足（）A．a＝0且b＝0B．a＝2b C．ab＝0D．�=�2【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．【解答】解：x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4＝x2﹣x2﹣2bx+ax+2ab+4＝（a﹣2b）x+2ab+4，∵多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，∴a﹣2b＝0，即a＝2b，故选：B．【题型3整式乘法中的错看问题】【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-1】（2022春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．【变式3-2】（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2x 2﹣7x +3，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是x 2+2x ﹣3．（1）求（﹣2a +b ）（a +b ）的值；（2）若整式中的a 的符号不抄错，且a ＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a 的符号的计算结果为：（x ﹣a ）（2x +b ）＝2x 2+（﹣2a +b ）x ﹣ab ＝2x 2﹣7x +3，故：对应的系数相等，﹣2a +b ＝﹣7，ab ＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，计算结果为：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ＝x 2+2x ﹣3．故：对应的系数相等，a +b ＝2，ab ＝﹣3，∴−2�+�=−7�+�=2，解得：�=3�=−1，∴（﹣2a +b ）（a +b ）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b ＝﹣1正确的计算结果：（x +3）（2x ﹣1）＝2x 2+5x ﹣3．【题型4整式乘法中的遮挡问题】【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x （﹣2x 2+3x ﹣1）＝6x 3+□+3x ，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（）A ．9x 2B ．﹣9x 2C ．9xD ．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x （﹣2x 2+3x ﹣1）＝6x 3﹣9x 2+3x ，故选：B ．【变式4-1】（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-2】（2022春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写﹣3x3y3．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【变式4-3】（2022秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【题型5整式乘法的计算】【例5】（2022春•冠县期中）计算：（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2（2）（a 2b ）[（ab 2）2+（2ab ）3+3a 2]．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x ﹣2y ）（x +2y ）﹣x +2y +4y 2＝x 2﹣4y 2﹣x +2y +4y 2＝x 2﹣x +2y ；（2）原式＝a 2b （a 2b 4+8a 3b 3+3a 2）＝a 4b 5+8a 5b 4+3a 4b ．【变式5-1】（2022春•西城区校级期中）求（x ﹣1）（2x +1）﹣2（x ﹣5）（x +2）的值，其中x ＝﹣2．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可．【解答】解：（x ﹣1）（2x +1）﹣2（x ﹣5）（x +2）＝2x 2﹣x ﹣1﹣2（x 2﹣3x ﹣10）＝2x 2﹣x ﹣1﹣2x 2+6x +20＝5x +19，把x ＝﹣2代入原式得：原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9．【变式5-2】（2022秋•长宁区校级期中）12�(4−2�)−2（3﹣2x ）（4x +1）．【分析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减．【解答】解：原式=12x •4−12x •2x ﹣2（3•4x +3•1﹣2x •4x ﹣2x •1）＝2x ﹣x 2﹣2（12x +3﹣8x 2﹣2x ）＝2x ﹣x 2﹣24x ﹣6+16x 2+4x ＝15x 2﹣18x ﹣6．【变式5-3】（2022春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x 2（2x ﹣4y ）+2x （x 2﹣xy ）．（2）（3x +2y ）（2x ﹣3y ）﹣3x （3x ﹣2y ）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【题型6整式乘法的应用】【例6】（2022春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7【分析】由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，因此需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．故选：D．【变式6-1】（2022春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了．【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，∵a＞b，∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，∴面积变小了，故选：A．【变式6-2】（2022秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求通道的宽度是多少米？【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可；（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，列出方程求解即可．【解答】解：（1）S通道＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2＝（6ab+5b2）平方米，答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；（2）S草坪＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2＝8a2+10ab+2b2，∵a＝2b，∴8a2+10ab+2b2＝8×（2b）2+10×2b•b+2b2＝32b2+20b2+2b2＝54b2＝162，∴b2＝3，∴b＝±3（负值舍去）（米）．答：通道的宽度是3米．【变式6-3】（2022春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1＜S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，=�+4，∴正方形的边长为4�+164②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m多项式÷多项式：大除法．()()x x x x【题型7整式除法的运算与求值】【例7】（2022•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy +2）（xy ﹣2）﹣2x 2y 2+4]÷xy ，其中x ＝﹣10，�=125．【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．【解答】解：[（xy +2）（xy ﹣2）﹣2x 2y 2+4]÷xy ＝（x 2y 2﹣4﹣2x 2y 2+4）÷xy ＝﹣x 2y 2÷xy ＝﹣xy ，当x ＝﹣10，�=125时，原式＝﹣（﹣10）×125=25．【变式7-1】（2022春•秀洲区校级月考）若等式（6a 3+3a 2）÷（6a ）＝（a +1）（a +2）成立，则a 的值为−45．【分析】根据多项式除以单项式，多项式乘以多项式的法则计算，再解关于a 的方程即可求解．【解答】解：（6a 3+3a 2）÷（6a ）＝（a +1）（a +2）a 2+12a ＝a 2+3a +2，−52a ＝2，解得a =−45．故答案为：−45．【变式7-2】（2022春•萧山区月考）若A 与−12��的积为−4�3�3+3�2�2−12��，则A 为（）A ．﹣8a 2b 2+6ab ﹣1B ．−2�2�2+32��+14C ．8a 2b 2﹣6ab +1D ．2�2�2−32��+1【分析】由题意可得所求的式子为：（−4�3�3+3�2�2−12��）÷（−12��），利用整式的除法的法则进行运算即可．【解答】解：由题意得：（−4�3�3+3�2�2−12��）÷（−12��）＝﹣4a 3b 3÷（−12��）+3a 2b 2÷（−12��）−12��÷（−12��）＝8a 2b 2﹣6ab +1．故选：C ．【变式7-3】（2022·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =(2x 2−4x −1)−(x −1)÷2x=(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：�−52【题型8整式除法的应用】【例8】（2022秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、�2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a•2a•32a+2a•a•�2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-1】（2022春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【分析】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可．【解答】解：根据题意，得纸盒底部长方形的宽为4�2���=4a，∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．故选：D．【变式8-2】（2022春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A÷B＝﹣3xy，可知：（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；【变式8-3】（2022秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为2x2﹣7x+18，余式为﹣41；（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18 (41)故答案为：2x2﹣7x+18，﹣41；（2）由题意得：∵2x 4﹣4x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x ﹣2整除，∴﹣5﹣（a +10）＝0，b +2（a +10）＝0即：a ＝﹣15，b ＝10．【题型9整式乘法中的新定义】【例9】（2022秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：我们将四个有理数a ，b ，c ，d 写成����|的形式，称它为由有理数a ，b ，c ，d 组成的二阶矩阵，a ，b ，c ，d 为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：����|=ad ﹣bc ，对于两个矩阵相加我们定义为：����|+����|=�+��+��+��+�|，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程：2−335|+−2−41−1|=2+(−2)(−3)+(−4)3+15+(−1)|=0−744|=0×4﹣4×（﹣7）＝28．（1）计算17−562|+−151216−8|+−151216−8的值；（2）计算2�−3�+225�−7|+−2�4�+862�+3|+−2�4�+862�+3．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式=17−15−5+126+162−8=2722−6＝2×（﹣6）﹣7×22＝﹣12﹣154＝﹣166；（2）根据题中的新定义得：原式=2�−3−2��+2+4�+8 2+65�−7+2�+3=−35�+1087�−4＝﹣3（7x﹣4）﹣8（5x+10）＝﹣21x+12﹣40x﹣80＝﹣61x﹣68．【变式9-1】（2022秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．（1）3与4或2是关于1的单位数，x﹣3与x﹣4是关于1的单位数．（填一个含x的式子）（2）若A＝3x（x+2）﹣1，�=2(32�2+3�−1)，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．【分析】（1）根据关于1的单位数的定义，计算和确定3与x﹣3的单位数；（2）计算A﹣B，根据关于1的单位数的定义判断．【解答】解：（1）因为4﹣3＝1，3﹣2＝1，所以3与4、2是关于1的单位数．设x﹣3与M是关于1的单位数，即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1所以M＝x﹣4或M＝x﹣2．故答案为：4或2；x﹣4．（2）A与B是关于1的单位数．∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（32x2+3x﹣1）＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2＝1∴A与B是关于1的单位数．【变式9-2】（2022•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：ω（23）＝5．（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝26．（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝19．【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f（23）的值；（2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得k的值，然后即可得到b的值；（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f（m）+f（n）的值．【解答】解：（1）�(23)=23+3211=5．故答案为：5；（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，∴[10�+2(�+1)]+[10×2(�+1)+�]11=8，解得k＝2，∴2（k+1）＝6，∴b＝26．故答案为：26；（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），∴ω（m）+ω（n）=(10�+�)+(10�+�)11+[10(9−�)+(10−�)]+[10(10−�)+(9−�)]11=10�+�+10�+�11+90−10�+10−�+100−10�+9−�11=11�+11�11+209−11�−11�11＝x+y+19﹣x﹣y＝19．故答案为：19．【变式9-3】（2022•渝中区校级模拟）阅读以下材料：材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8＝x4+6x3﹣27x+8解决如下问题：（1）①请任写一对“有缘数对”43和68．②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出这两个两位数．【分析】（1）①根据ac＝bd写出一对“有缘数对”；②根据定义得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），化简得ac＝bd；（2）根据定义列等式，化简解方程可得x的值，可得这两个两位数．【解答】解：（1）①∵43×68＝2924，34×86＝2924，∴43和68是一对“有缘数对”，故答案为：43，68；②“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足：ac＝bd，理由是：由题意得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），100ac+10bc+10ad+bd＝100bd+10bc+10ad+ac，99ac＝99bd，ac＝bd；（2）∵两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，∴（x2+2x+3）•（x2﹣2x+5）＝（x2﹣2x+4）•（x2+2x+5），（x2+2x）（x2﹣2x）+5（x2+2x）+3（x2﹣2x）+15＝（x2﹣2x）（x2+2x）+5（x2﹣2x）+4（x2+2x）+20，x2+2x﹣2x2+4x﹣5＝0，x2﹣6x+5＝0，x＝1或5，当x＝1时，x2+2x+3＝6，x2﹣2x+4＝3，x2﹣2x+5＝4，x2+2x+5＝8，当x＝5时，x2+2x+3＝38，不符合题意，∴这两个两位数分别是63和48．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2022春•江都区期中）探究规律，并回答问题：（1）运用多项式乘法，计算下列各题：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3；（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；（3）根据此规律，直接写出以下结果：①（x+5）（x+7）＝x2+12x+35；②（t+2）（t﹣1）＝t2+t﹣2．【分析】根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可．【解答】解：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3；故答案为：x2+5x+6；x2﹣x﹣6；x2﹣4x+3；（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；故答案为：a+b，ab；（3）①（x+5）（x+7）＝x2+12x+35；②（t+2）（t﹣1）＝t2+t﹣2．故答案为：x2+12x+35；t2+t﹣2．【变式10-1】（2022春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．因为a2+a﹣2＜a2+a（填＜＞、或＝），所以20182019×20182016＜20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．问题解决：化简求代数式的值．（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．【分析】解：（1）根据a2+a＞0，可得a2+a﹣2＜a2+a，从而得到20182019×20182016＜20182017×20182018即可；（2）设a＝m+17.2018,可得（a+5）（a﹣3）﹣（a+3）（a+2），再化简计算即可．【解答】解：由题知：a2+a＞0；∴a2+a﹣2＜a2+a；∴20182019×20182016＜20182017×20182018；故答案为：＜；＜．设a＝m+17.2018,∴原式＝（a+5）（a﹣3）﹣a（a+1)＝a2+2a﹣15﹣a2﹣a＝a﹣15＝m+17.2018﹣15＝m+2.2018，∵m＝2016，∴m+2.2018＝2018.2018．【变式10-2】（2022春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝m n+1﹣1．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n ﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=3101−13−1，=3101−12．【变式10-3】（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝1﹣x n；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝﹣127；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝x2023﹣1．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．【分析】（1）根据所给的等式，不难得出结果；（2）①利用（1）中的结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可；（3）先利用（1）的结论进行求解，再判断其个位数即可．【解答】解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4…∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝1﹣x n；（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝1﹣27＝1﹣128＝﹣127；故答案为：﹣127；（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+ (x2022)＝﹣（1﹣x2023）＝x2023﹣1．故答案为：x2023﹣1；（3）1，理由如下：2100+299+298+…+22+2+1＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+ (2100)＝﹣（1﹣2101）＝2101﹣1．∵21的个位数是2，22的个位数是4，23的个位数是8，24的个位数是6，25的个位数是2，…∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，∵101÷4＝25……1，∴2101的个位数字是2，∴2101﹣1的个位数是1．。

专题1.4 整式的乘除章末题型过关卷(北师大版)(解析版)

专题1.4 整式的乘除章末题型过关卷(北师大版)(解析版)

第1章整式的乘除章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·山东菏泽·七年级统考期末）以下计算正确的是（）A．(−2ab2)3=8a3b6B．3ab+2b=5abC．−(x2)⋅(−2x)3=−8x5−(x2)D．2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3【答案】D【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解；【详解】(−2ab2)3=−8a3b6，故A选项错误；3ab+2b不能合并同类项，故B选项错误；−(x2)⋅(−2x)3=8x5，故C选项错误；2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3，故D选项正确.故选D．【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键．2．（3分）（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）若x m=2，x n=3，则x2m+3n等于（ ）A．6B．13C．36D．108【答案】D【分析】逆用同底数幂乘法的性质和幂的乘方的性质即可求解．【详解】解：∵x m=2，x n=3，∴x2m+3n=x2m·x3n=(x m)2·(x n)3=22×33=108，故选：D【点睛】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方性质得逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）（2022秋·福建宁德·七年级统考期末）下列各式能用平方差公式计算的是（）A．(x−y)(x+y)B．(x+y)(−x−y)C．(x−y)(y−x)D．(x+2y)(x−y)【答案】A【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2对各选项分别进行判断．【详解】A.(x−y)(x+y)=x2−y2，是用平方差公式计算，符合题意B.(x+y)(−x−y)=−(−x−y)(−x−y)，是完全平方公式计算，不符合题意；C.(x−y)(y−x)=−(y−x)(y−x)，是完全平方公式计算，不符合题意；D.(x+2y)(x−y)，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查平方差公式，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．（3分）（2022春·陕西安康·八年级统考期末）长方形的面积为2a2−4ab+2a，长为2a，则它的宽为（）．A．2a2−4ab B．a−2b C．a−2b+1D．2a−2b+1【答案】C【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由题意得：（2a2－4ab+2a）÷（2a）=a－2b+1，∴长方形的面积为2a2－4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a－2b+1，故选：C．【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．5．（3分）（2022秋·甘肃兰州·七年级统考期末）如果3a＝5，3b＝10，那么9a－b的值为()A．12B．14C．18D．不能确定6．（3分）（2022秋·湖南益阳·七年级统考期末）已知a2−a−2=0，则a2+4a2等于（）A．3B．5C．−3D．17．（3分）（2022春·河北邯郸·八年级期末）已知a=(−23)−2，b=(−12021)，c＝（0.8）﹣1，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）（2022春·陕西西安·八年级统考期末）若4x2−2kx+1是完全平方式，则常数k的值为（）A．4B．2C．±4D．±2【答案】D【分析】先将4x2−2kx+1转化成a2±2ab+b2的形式，再计算即可．【详解】解：4x2−2kx+1=(2x)2−2kx+12，∵4x2−2kx+1是完全平方式，∴−2kx=±2×1×2x，∴k=±2，故选D．【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式．9．（3分）（2022春·重庆黔江·八年级统考期末）算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．4D．2【答案】B【分析】先配一个（2-1），则可利用平方差公式计算出原式=264，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解．【详解】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（232-1）×（232+1）+1=264-1+1=264，因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，所以264的个位数是6．故选：B．【点睛】】本题考查了平方差公式,解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．10．（3分）（2022秋·安徽安庆·七年级统考期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2．则S1−S2的值表示正确的是（）A．BE⋅FG B．MN⋅FG C．BE⋅GD D．MN⋅GD 【答案】A【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【详解】解：∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）=（AB-a）•a-（AB-a）（AD-b）=（AB-a）•（a-AD+b）=BE•FG，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·上海静安·六年级上海市民办扬波中学校考期末）计算：(a−b)3⋅(b−a)4=______．（结果用幂的形式表示）【答案】(a−b)7##−(b−a)7【分析】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．【详解】(a−b)3⋅(b−a)4=(a−b)3⋅(a−b)4=(a−b)7故答案为：(a−b)7【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．12．（3分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）已知10x=3,10y=4，则102x+3y=____________．【答案】576【分析】根据同底数幂的乘法逆运算及幂的乘方逆运算进行计算即可．【详解】解：∵10x=3,10y=4，∴102x+3y=102x⋅103y=(10x)2⋅(10y)3=32×43=576故答案为：576．【点睛】本题考查同底数幂的乘法逆运算及幂的乘方逆运算，掌握幂的相关运算法则是解题关键．=_____．13．（3分）（2022春·四川眉山·八年级校联考期末）计算：201722016×2018114．（3分）（2022春·福建福州·八年级统考期末）已知x满足（x﹣2020）2+（3分）（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是____．【答案】4【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．15．（3分）（2022秋·江西吉安·七年级统考期末）若(x−2)x+1=1，则x的值为________．【答案】3或1或-1【分析】分底数为1或-1，指数为0几种情况，分类讨论，列方程求解即可．【详解】解：当x−2=1，解得：x=3，此时(x−2)x+1=1，当x−2=−1，解得：x=1，此时(x−2)x+1=(−1)2=1，当x+1=0，解得：x=−1，此时(x−2)x+1=(−1−2)0=1，综上所述：x的值为：3或1或-1．故答案为：3或1或-1．【点睛】本题考查了乘方的性质、0指数的性质，解题关键是根据底数和指数进行分类讨论，注意：0指数底数不为0．16．（3分）（2022秋·湖南怀化·七年级统考期末）若(a m+1b n+2)⋅(a2n−1b2n)=a5b3，则m−n的值为________．【答案】4【分析】先利用单项式乘单项式法则计算（am+1bn+2）•（a2n-1b2n），再根据等式得到指数间关系，最后求出m-n．【详解】解：∵（am+1bn+2）•（a2n-1b2n）=am+1+2n-1bn+2+2n=am+2nb3n+2，∴am+2nb3n+2=a5b3．∴m+2n=5①，3n=1②．∴①-②，得m-n=5-1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春·辽宁大连·八年级期末）（1+|−13|−3−1．（2）化简：a⋅a5−(a2)3+(−2a3)2【答案】（1）1（2）4a6【分析】（1）先化简格式，再进行加减运算；（2）先算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可．18．（6分）（2022春·全国·八年级期末）（1）已知3×9m×27m=311，求m的值．（2）已知2x+5y−4=0，求4x×32y的值．【答案】（1）m=2；（2）16【分析】（1）利用幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案；（2）由2x+5y−4=0，得出2x+5y=4，再利用幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：（1）∵3×9m×27m=311，∴3×(32)m×(33)m=311，∴3×32m×33m=311，∴32m+3m+1=311，∴2m+3m+1=11，∴m=2；（2）∵2x+5y−4=0，∴2x+5y=4，∴4x×32y=(22)x×(25)y=22x×25y=22x+5y=24=16．【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂乘法，掌握幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．19．（8分）（2022春·河南开封·八年级统考期末）先化简，再求值．（1）−13xy2⋅[xy(2x−y)+2x(xy−y2)]，其中x=−1.5，y=2．（2）已知a2−8a−3=0，求(a−1)(a−3)+(a−5)(a−7)的值．20．（8分）（2022春·全国·八年级专题练习）欢欢与乐乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），欢欢抄成2x （3x＋b），得到的结果为6x2＋4x；乐乐抄成（2x－a）（3x＋b），得到的结果为6x2－5x－6．(1)求出式子中的a、b的值？(2)请计算出原题的正确答案．【答案】(1)a＝3，b＝2(2)6x2+13x+6【分析】（1）由题意得2x（3x＋b）＝6x2＋4x，（2x−a）（3x＋b）＝6x2−5x−6，根据多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则展开后利用对应系数相等，即可求出a、b的值；（2）把a＝3，b＝2代入（2x＋a）（3x＋b）进行计算，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得：2x（3x＋b）＝6x2＋4x，（2x−a）（3x＋b）＝6x2−5x−6，∴6x2＋2bx＝6x2＋4x，6x2−（3a−2b）x−ab＝6x2−5x−6，∴2b＝4，ab＝6，∴a＝3，b＝2．（2）（2x＋3）（3x＋2）＝6x2＋4x＋9x＋6＝6x2＋13x＋6【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式和多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．21．（8分）（2022春·广东惠州·八年级统考期末）若(x2+nx−5)(x2−x−m)的展开式中不含x3，x2项（其中m，n均为常数）．(1)求m，n的值；(2)先化简A=4(m−n)2−(2m+n)(−n+2m)，然后在（1）的条件下，求A的值．【答案】(1)m=−6，n=1(2)5n2−8mn；53【分析】（1）将原式展开合并后，令含x3，x2项的系数之和为0即可求出m与n的值．（2）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．【详解】（1）原式=x4−x3−m x2+n x3−n x2−mnx−5x2+5x+5m=x4+nx3−x3−mx2−nx2−5x2−mnx+5x+5m=x4+(n−1)x3−(m+n+5)x2+(5−mn)x+5m，由題意可知：n−1=0，m+n+5=0，∴m=−6，n=1，（2）原式=4(m2−2mn+n2)−(4m2−n2)=4m2−8mn+4n2−4m2+n2=5n2−8mn，当m=−6，n=1时，原式=5×1−8×(−6)×1=5+48=53．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．22．（8分）（2022春·辽宁大连·八年级期末）（1）如图1，将边长为(a+b)的正方形面积分成四部分，可以验证的乘法公式是______；（填序号）①(a+b)2=a2+2ab+b2；②(a−b)2=a2−2ab+b2③(a+b)(a−b)=a2−b2；④a(a+b)=a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：①已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值；②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB=7，两正方形的面积和S1+S2=23，求△BCD的面积．23．（8分）（2022秋·山东潍坊·七年级统考期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．(1)上述操作能验证的等式是________．A.a2−2ab+b2=(a−b)2B.a2−b2=(a+b)(a−b)C.a2−ab=a(a−b)(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2−4y2=18，x−2y=3，求x+2y．②计算：1−××1−×⋯×1−×。

专题1.3 乘法公式【九大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.3 乘法公式【九大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.3 乘法公式【九大题型】【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】 (1)【题型2 利用完全平方式确定系数】 (3)【题型3 乘法公式的运算】 (4)【题型4 利用乘法公式求值】 (6)【题型5 利用面积法验证乘法公式】 (7)【题型6 乘法公式的应用】 (9)【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】 (12)【题型8 整式乘法中的新定义问题】 (17)【题型9 整式乘法中的规律探究】 (20)【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2022春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．故选：C ．【变式1-1】（2022春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．（﹣x +2y ）（x ﹣2y ）B ．（3x ﹣5y ）（﹣3x ﹣5y ）C ．（1﹣5m ）（5m ﹣1）D ．（a +b ）（b +a ）【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；B 、﹣5y 是相同的项，互为相反项是3x 与﹣3x ，符合平方差公式的要求；C 、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；D 、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；故选：B ．【变式1-2】（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A 、结果是y 2﹣x 2，故本选项不符合题意；B 、结果是x 2﹣2xy +y 2，故本选项不符合题意；C 、结果是x 2+2xy +y 2，故本选项不符合题意；D 、结果是x 2﹣y 2，故本选项符合题意.【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A ．（a ﹣b ）（﹣b ﹣a ）B ．（﹣n 2﹣m 2）（m 2+n 2）C ．(−12p +q)(q +12p)D ．（2x ﹣3y ）（2x +3y ）【分析】A 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；B 、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；C 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；D 、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．【解答】解：A 、原式＝b 2﹣a 2，本选项不合题意；B 、原式＝﹣（m 2+n 2）2，本选项符合题意；C、原式＝q2−1p2，本选项不合题意；4D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．【题型2 利用完全平方式确定系数】【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A．1个B．2个C．3个D．5个【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x，同时还应看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x4后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个．16等5个．【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x416故选：D．【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．【解答】解：∵2x＝2×1•x，∴k＝12＝1，故选A．【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）A．0B．﹣5或7C．7D．9【分析】根据完全平方式的定义解决此题．【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．∵9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12．∴﹣（K﹣1）＝±6．当﹣（K﹣1）＝6时，K＝﹣5．当﹣（K﹣1）＝﹣6时，K＝7．综上：K＝﹣5或7．故选：B ．【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成（ ）A ．a ＜b ＜cB ．（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2＝0C ．c ＜a ＜bD ．a ＝b ≠c【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝（a +b +c ）]2，化简有ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，那么就有（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a ＝b ＝c ．故选答案B ．【解答】解：原式＝3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ），∵（x +a ）（x +b ）+（x +b ）（x +c ）+（x +c ）（x +a ）是完全平方式，∴3x 2+2（a +b +c ）x +（ab +bc +ac ）＝+a +b +c ）]2，∴ab +bc +ac =13（a +b +c ）2=13（a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ），∴ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2，∴2（ab +bc +ac ）＝2（a 2+b 2+c 2），即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2＝0，∴a ﹣b ＝0，b ﹣c ＝0，c ﹣a ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选：B ．【题型3 乘法公式的运算】【例3】（2022春•龙胜县期中）计算：（1−152）×（1−162）×（1−172）×…×（1−1992）×（1−11002）的结果是（ ）A ．101200B ．101125C ．101100D ．1100【分析】根据a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案．【解答】解：原式＝（1−15）×（1+15）×（1−16）×（1+16）×（1−17）×（1+17）×…×（1−199）×（1+199）×（1−1100）×（1+1100）=45×65×56×76×67×87×⋯×9899×10099×99100×101100=45×101100=101125．故选：B．【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x ＝1，y＝2．【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，＝5x2﹣5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．【变式3-2】（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【解答】解：（1）20192﹣2018×2020＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20192﹣（20222﹣1）＝1；（2）112+13×66+392＝112+13×2×3×11+392＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【变式3-3】（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）＝…＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1．【题型4 利用乘法公式求值】【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a 2﹣b 2＝16，（a +b ）2＝8，则ab 的值为（ ）A ．−32B ．32C ．﹣6D ．6【分析】根据a 2﹣b 2＝16得到（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，再由（a +b ）2＝8，求出（a ﹣b ）2＝32，最后根据ab 【解答】解：∵a 2﹣b 2＝16，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝16，∴（a +b ）2（a ﹣b ）2＝256，∵（a +b ）2＝8，∴（a ﹣b ）2＝32，∴ab ==8−324=−6，故选：C ．【变式4-1】（2022春•姜堰区校级月考）已知4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，求（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2的值．【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵4m +n ＝90，2m ﹣3n ＝10，∴（m +2n ）2﹣（3m ﹣n ）2＝[（m +2n ）+（3m ﹣n ）][（m +2n ）﹣（3m ﹣n ）]＝（4m +n ）（3n ﹣2m ）＝﹣900．【变式4-2】（2022春•双峰县期中）若x 、y 满足x 2+y 2=54，xy =−12，求下列各式的值．（1）（x +y ）2（2）x 4+y 4．【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝x 2+y 2+2xy =54−1=14；（2）∵x 2+y 2=54，xy =−12，∴原式＝（x 2+y 2）2﹣2x 2y 2=2516−12=1716．【变式4-3】（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝2021，那么（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2的值为（ ）A ．4046B ．2023C ．4042D ．4043【分析】利用完全平方公式变形即可．【解答】解：∵（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，∴a 2+b 2＝（a ﹣b ）2+2ab ．∴（2022﹣m ）2+（2022﹣m ）2＝[（2022﹣m ）﹣（2022﹣m ）]2+2×（2022﹣m ）（2022﹣m ）＝4+2×2021＝4046．故选：A ．【题型5 利用面积法验证乘法公式】【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【变式5-1】（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公式是（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案．【解答】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，由面积之间的关系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选：C．【变式5-2】（2022春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选：D．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a）B．x2+2ax＝x（x+2a）C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故选：A．【题型6 乘法公式的应用】【例6】（2022春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ）A．9cm2B．（6a﹣9）cm2C．（6a+9）cm2D．（6a+21）cm2【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案．【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故选：D．【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【分析】设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．【变式6-2】（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）A．16B．14C．12D．10【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可．【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x﹣y），∵每个小长方形③的面积均为16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，∴x2﹣y2＝16，∴x2＝16+y2∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，∵大长方形的面积为100，∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，∴4x2﹣y2＝100，∴4（16+y2）﹣y2＝100，∴y2＝12，即标号为②的正方形的面积为y2＝12．故选：C．【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可．【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米．【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　；（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相应的字母．【分析】（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．【解答】解：（1）．（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S1＝a2﹣b2；S2=12（3）拼成的图形如下图所示：【变式7-1】（2022春•西城区校级期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2　．（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）如图所示：故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．【变式7-2】（2022春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=11，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似地，2用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　；（4）已知a+b＝3，ab＝1【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，=14．∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×112（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．9．【变式7-3】（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果　证明上述速算方法的正确性．【分析】（1）利用面积法即可解决问题；（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；拓展应用：模仿例题计算57×53即可；探究规律，利用规律解决问题即可；【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；【题型8 整式乘法中的新定义问题】【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A，B，C，若A+B+C可以写成（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式x2，4和m是完全搭配项，则m可能是　4x或﹣4x或116x 4　．（写出所有情况）【分析】分为三种情况：①m 为第二项时，②当m 为第一项时，根据完全平方式求出m 即可．【解答】解：①x 2±4x +4，此时m ＝±4x ，②（14x 2）2+x 2+4，此时m ＝（14x 2）2=116x 4，故答案为：4x 或﹣4x 或116x 4．【变式8-1】（2022春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）是，理由如下：∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k +2）2﹣（2k ）2＝（2k +2+2k ）（2k +2﹣2k ）＝2（4k +2）＝4（2k +1），∴“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k +1，2k ﹣1，则（2k +1）2﹣（2k ﹣1）2＝8k ，而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【变式8-2】（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可；（2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判断即可．【解答】解：（1）奇异数可以为32，40；（2）不是奇异数，理由为：假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，可设（n+2）2﹣n2＝6050，分解因式得：2（2n+2）＝6050，解得：n＝1511.5，可得n不是奇数，不符合题意，则偶数6050不是奇异数．【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．对于“智慧数”，有如下结论：①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝　4（k﹣1）　．∴都是“智慧数”．（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有大于5而小于20的“非智慧数”；（2）根据①②可判断出在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数“．从而根据循环规律判断出结果．【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧数是除4以外，所有4的正整数倍数．根据①，除去奇数：7，9，11，13，15，17，19；根据②，除去4的正整数倍数：8，12，16．则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6，10，14，18．（2）在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3．当k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数”．∴在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”．∵100＝1+3×33，∴4×（33+1）＝136．又∵136后面的3个“智慧数”为137，139，140，∴从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140．【题型9 整式乘法中的规律探究】【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）DA．22019﹣1B．﹣22019﹣1C．22019−13【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再计算所给式子．【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=故选：D．【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题．（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×　3　；②92﹣　7　2＝8×4；③　112　﹣92＝8×5；④132﹣　11　2＝8×　6　；…（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？【分析】（1）观察算式，补全空白即可；（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用平方差公式证明即可．【解答】解：（1）观察下列算式：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…故答案为：3，7，112，11，6；（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n•2＝8n，所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得证．【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n=n(n1)，关于这个公式的推导方法，有很多，2比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，．把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n1)2用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值．【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03＝3﹣3+1，23﹣13＝3×22﹣3×2+1，33﹣23＝3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，n（n+1）（2n+1）．即12+22+32+42+…+n2==16【变式9-3】（2022春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝　a2﹣1　；（a﹣1）（a2+a+1）＝　a3﹣1　；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝　a4﹣1　；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝　a100﹣1　（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，∴a6＝1．。

专题1.5 整式的乘除全章五类必考压轴题(解析版)

专题1.5 整式的乘除全章五类必考压轴题(解析版)

专题1.5 整式的乘除全章五类必考压轴题【北师大版】1．已知4x =a,2y =b,8z =ab ，那么x ，y ，z 满足的等量关系是（ ）A ．2x +y =zB ．xy =3zC ．2x +y =3zD ．2xy =z【分析】根据题意得出22x =a,2y =b ，则23z =22x ×2y =22x +y 即可求解．【详解】解：∵4x =a,2y =b,8z =ab∴22x =a,2y =b ，∴23z =22x ×2y =22x +y∴3z =2x +y ，故选：C ．2．已知100a =20，1000b =50，则a +32b−32的值是（ ）A ．0B ．52C ．3D ．92【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：∵100a =20，1000b =50，∴(102)a ⋅(103)b =20×50，∴102a ⋅103b =1000，∴102a +3b =103，∴2a +3b =3，∴a +32b =32，∴a +32b−32=0，故选：A ．3．若x ，y 均为实数，43x =2021,47y =2021，则x y xy =_______．【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出43xy ⋅47x y =2021x +y ，再根据积的乘方法则得出43xy ⋅47xy =(43×47)xy =2021xy ，得出xy =x +y ，从而求出答案．【详解】解：∵43x =2021,47y =2021，∴43xy⋅47xy=(43x)y⋅(47y)x=2021y×2021x=2021x+y；又∵43xy⋅47xy=(43×47)xy=2021xy，∴2021x+y=2021xy∴xy=x+y，∴x yxy=14．我们知道下面的结论，若a m=a n(a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n+1，②p+n=2m+4，③m2−mp+3n=0，其中正确的是___________．（填编号）【分析】由2n=6=2×3=2×2m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=23×3=23×2m=2m+3，得出p=m+3，进而得出p=n+2，进一步对m+p，p+n，m2−mp+3n代入计算，即可得出答案．【详解】解：∵2n=6=2×3=2×2m=2m+1，∴n=m+1，∵2p=24=23×3=23×2m=2m+3，∴p=m+3，∴p=n+2，∴m+p=m+n+2=n+n+1=2n+1，∴①符合题意；∵p+n=m+3+m+1=2m+4，∴②符合题意；∵m2−mp+3n=(n−1)2−(n−1)(n+2)+3n=4n−1，∴③不符合题意，故答案为：①②．5．比较下列各题中幂的大小：（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;（3）已知P=999999,Q=119990，比较P、Q的大小关系;（4）(−2)234_______5100（填“>”“<”或“=”）.【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由(−2)234=(27)33×8>12533×5=5100易得结果.【详解】（1)因为a=(34)31=3124，b=(33)41=3123，c=(32)61=3122，所以a>b>c．(2)因为255=(25)11=3211，344=(34)11=8111，533=(53)11=12511，622=(62)11=3611，3211< 3611<8111<12511，所以255<622<344<533．(3)因为PQ =999999÷119990=999999×990119=99×119999×990119=1，所以P=Q.(4)因为(−2)234=(27)33×8>12533×5=5100，所以(−2)234>5100．6．由幂的运算法则逆向思维可以得到a m+n=a m⋅a n，a mn=(a m)n，a m b m=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果．请解决以下问题：(1)计算：52020×(15)2018；(2)若3×9m×27m=311，求m的值；(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定a，b，c，d的大小关系．【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．【详解】（1）解：52020×=52018×52×=5××25=1×25=25故答案为：25；（2）∵3×9m×27m=311，∴3×(32)m×(33)m=311，∴3×32m×33m=311，即31+2m+3m=311，∴1+2m+3m=11，解得m=2；（3）由题可得：a=255=(25)11=3211，b=344=(34)11=8111，c=533=(53)11=12511，d=622= (62)11=3611，∵32<36<81<125，∴3211<3611<8111<12511，即a<d<b<c．7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a＞0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log(M·N)=log a M+log a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)．理由如下：设log a M=m，log a N=n，所以M=a m，N=a n，所以MN=a m a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M+N)，又因为m+n=log a M+log a N，所以log a(MN)=log a M+log a N．解决以下问题：（1）将指数53=125转化为对数式：．（2）仿照上面的材料，试证明：log a MN=log a M-log a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)（3）拓展运用：计算log32+log318-log34=．【分析】（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；（2）先设log a M=x，log a N=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a x，N=a y，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a（M•N）=log a M+log a N和log a MN=log a M-log a N的逆用，将所求式子表示为：log3（2×18÷4），计算可得结论．【详解】（1）∵一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=log a N．∴3=log5125，故答案为：3=log5125；（2）证明：设log a M=x，log a N=y∴M=a x，N=a y，∴M N =a xa y=a x−y，由对数的定义得log a MN=x−y又∵x−y=log a M−log a N，∴log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)（3）log32+log318-log34=log3（2×18÷4）= log39=2.故答案为：2.1．关于x的三次三项式A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B=x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e=6；③a+b+c=9；A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将x=1和x=2代入即可判断③．【详解】解：∵A=5x3−6x2+10，B=x2+ex+f，∴A+B=4x3−6x6+10+x2+ex+f=5x6−5x2+ex+f+10，∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，∴f+10=8，解得：f=−10，说法①正确；A⋅B=(5x3−7x2+10)(x2+ex+f)=6x5+5ex5+5fx3−3x4−6ex4−6fx2 +10x3+10ex+10f=5x5+(2e−6)x4+(3f−6e)x3+(10−3f)x2+10ex+10f，∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，∴5e−3=0，解得e=1.7，说法②错误；A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d，当x=1时，d=5−5+10=9，当x=2时，a+b+c+d=4×23−4×22+10=26，则a+b+c=17，说法③错误．故选：B．2．已知(x2−ax2+bx+2)(2x2−3x+5)的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为______．【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得2−2a=0，−3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．【详解】解：(x2−ax2+bx+2)(2x2−3x+5)=2x4−3x3+5x2−2ax4+3ax3−5ax2+2bx3−3bx2+5bx+4x2−6x+10=(2−2a)x4+(−3+3a+2b)x3 +(5−5a−3b+4)x2+(5b−6)x+10根据题意，展开式中不含三次项和四次项，∴2−2a=0，−3+3a+2b=0，解得a=1，b=0，∴5−5a−3b+4=5−5×1−3×0+4=4，5b−6=5×0−6=−6，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为−6，∴展开式中二次项和一次项的系数之和为4+(−6)=−2．3．若x2+2−3x+q的积中不含x项与x3项，(1)求p、q的值；(2)求代数式−2p2q2+(3pq)3+p2022q2024的值．【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x3项可知x项与x3项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；（2）由（1）中p、q的值得pq=−1，将原式整理变形成(−2p⋅pq)2+(3pq)3+(pq)2022q2，再将p、q、pq 的值代入计算即可．【详解】（1）解：x2+2−3x+q=x4+(p−3)x3+q−3p−2+(1+pq)x−13q，∵积中不含x项与x3项，∴1+pq=0p−3=0，∴p=3q=−13．（2）解：由（1）得pq=−1，−2p2q2+(3pq)3+p2022q2024=(−2p⋅pq)2+(3pq)3+(pq)2022q2=(2×3)2+(−3)3+(−1)2022−=36−27+19=919．4．（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4t t s、t的值取值有无关系；（2）已知多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，试求a b的值；（3）已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．【分析】（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；（3）由题意得2x2+3x−k=(2x−5)(x+m)，进而即可求解．【详解】解：（1）(s−2t)(s+2t+1)+4t t+＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．故代数式(s−2t)(s+2t+1)+4t t+s的取值有关系，与t的取值无关系；（2）∵（ax−b）（2x2−x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，又∵多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，∴a b=(−1)2=1；（3）∵二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，∴2x2+3x−k=(2x−5)(x+m)=2x2+2mx−5x−5m，∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一个因式为：x+4．5．给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的附属系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对a，b，c的附属多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的附属系数对为_________；(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对1，−2，4的附属多项式的差中不含一次项，求a的值．【分析】（1）根据新定义进行求解即可；（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可．【详解】（1）根据题意可得，多项式3x2+2x−1的附属系数对为3，2，−1，故答案为：3，2，−1；（2）根据题意得，有序实数对2，a，1所对应的多项式为2x2+ax+1，有序实数对1，−2，4所对应的多项式为x2−2x+4，∵两个多项式的差中不含一次项，∴2x2+ax+1−(x2−2x+4)=2x2+ax+1−x2+2x−4=x2+(a+2)x−3，∴a+2=0，∴a=−2．1．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．①将多项式(a2−1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)n−1；四个结论错误的有（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，计算出(a2−1)进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出(a2+2a)以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出(a2+2a+1)进行4次操作后所得多项式，再把a=2代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出(a−1)进行n次操作后所得多项式规律，即可判定④．【详解】解：(a2−1)第1次操作后，得(a2−1)(a+1)=a3+a2−a−1，(a2−1)第2次操作后，得(a3+a2−a−1)(a+1)=a4+2a3−2a−1，∴(a2−1)第2次操作后所得多项式项数是4，故①错误；(a2+2a)第1次操作后，得(a2+2a)(a+1)=a3+3a2+2a，(a2+2a)第2次操作后，得(a3+3a2+2a)(a−1)=a4+2a3−a2−2a，(a2+2a)第3次操作后，得(a4+2a3−a2−2a)(a+1)=a5+3a4+a3−3a2−2a，∴将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为1+3+1−3−2=0故②正确；(a2+2a+1)第1次操作后，得(a2+2a+1)(a−1)=a3+a2−a−1，(a2+2a+1)第2次操作后，得(a3+a2−a−1)(a+1)=a4+2a3−2a−1，(a2+2a+1)第3次操作后，得(a4+2a3−2a−1)(a+1)=a5+3a4+2a3−2a2−3a−1，(a2+2a+1)第4次操作后，得(a5+3a4+2a3−2a2−3a−1)(a+1)=a6+4a5+5a4−5a2−4a−1，当a=2时，a6+4a5+5a4−5a2−4a−1=26+4×25+5×24−5×22−4×2−1=243，故③正确；(a−1)第1次操作后，得(a−1)(a+1)，(a−1)第2次操作后，得(a−1)(a+1)(a+1)=(a−1)(a+1)2，(a−1)第3次操作后，得(a−1)(a+1)2(a+1)=(a−1)(a+1)3(a−1)第4次操作后，得(a−1)(a+1)3(a+1)=(a−1)(a+1)4…(a−1)第n次操作后，得(a−1)(a+1)n，故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6的展开式中，从左起第四项是____________．(a+b)0=1 (1)(a+b)1=a+b (11)(a+b)2=a2+2ab+b2 (121)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (1331)(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4··14641【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和；②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案．【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，∴(a+b)5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，∴(a+b)6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，∴(a+b)6展开式左起第四项是20a3b3．故答案为：20a3b3．3．观察下列各式及其展开式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，⋯⋯请你猜想(2x−1)8的展开式中含x2项的系数是（）A．224B．180C．112D．48【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是1，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解．【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，二次幂时的系数：121三次幂时的系数：1331四次幂时的系数：14641五次幂时的系数：15101051六次幂时的系数：1615201561七次幂时的系数：172135352171八次幂时的系数：18285670562881∴含x2项的系数是28×22×(−1)6=28×4×1=112，故选：C．4．阅读下列材料，完成相应任务．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…完成下列任务：(1)写出(a+b)5的展开式．(2)计算：75+5×74×(−6)+10×73×(−6)2+10×72×(−6)3+5×7×(−6)4+(−6)5．【分析】（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得(a+b)5的展开式；（2）利用（1）中展开式，设a=7，b=−6，从而可得答案．【详解】（1）解：∵(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，令a=7，b=−6，∴75+5×74×(−6)+10×73×(−6)2+10×72×(−6)3+5×7×(−6)4+(−6)5=(7−6)5=1．5．观察下列各式：(x−1)(x+1)=x2−1(x−1)(x2+x+1)=x3−1(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1(1)根据以上规律，则(x−1)(x6+x5+x4+x3+x3+x+1)=___________．(2)你能否由此归纳出一般规律(x−1)(x n+x n−1+⋯+x+1)=___________．(3)根据以上规律求32022+32021+32020+⋯+32+3+1的值．【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；（2）根据给出式子的规律即可得出结果；（3）根据（2）中的规律计算即可；【详解】（1）∵(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，∴(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7−1；故答案是：x7−1．（2）根据题意得：(x−1)(x n+x n−1+⋯+x+1)=x n+1−1；故答案是：x n+1−1；（3）∵(3−1)(32022+32021+32020+⋯+32+3+1)=32023−1，．∴32022+32021+32020+⋯+32+3+1=32023−126．（1）计算并观察下列各式：第1个：(a−b)(a+b)= ；第2个：(a−b)(a2+ab+b2)= ；第3个：(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)= ；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+a2b n−3+ab n−2+b n−1)= ；（3）利用（2）的猜想计算：2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1= ．（4）拓广与应用：3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1= ．【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；（2）由（1）中计算得出相应规律即可；（3）利用（2）中所得规律求解即可；（4）根据（2）中所得规律计算即可．【详解】解：（1）(a−b)(a+b)=a2−b2；(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3；(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4；故答案为：a2−b2，a3−b3，a4−b4；（2）根据（1）中规律得：(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+a2b n−3+ab n−2+b n−1)=a n−b n，故答案为：a n−b n；（3）2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1=(2−1)(2n−1+2n−2+2n−3+⋯+23+2+1)=2n−1n=2n−1故答案为：2n−1．（4）3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1=12(3−1)(3n−1+3n−2+3n−3+⋯+33+3+1)=12×(3n −1n )=3n −12，故答案为：3n −12．1．已知：(x +y )2=12，(x−y )2=4，则x 2+3xy +y 2的值为_____．【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得x 2+y 2的值，将其相减得到代xy 的值，继而代入x 2+3xy +y 2，即可得解【详解】解：∵ (x +y )2=12，(x−y )2=4，①②∴x 2+2xy +y 2=12①x 2−2xy +y 2=4② ，②＋①得：x 2+y 2=8，①－②得：xy =2，∴ x 2+3xy +y 2=(x 2+y 2)+3xy =8+3×2=14，故答案为：142．已知1b −1a =8−c ab ，ab +bc +2b +c 2+25=0，则b a 的值为______．【分析】由1b −1a =8−c ab可得a +c =8+b ，将ab +bc +2b +c 2+25=0转化后再代入计算可求解a ，b ，c 的值，进而可求解．【详解】∵1b −1a =8−c ab，∴a +c =8+b ，∵ab +bc +2b +c 2+25=0，∴b(a +c)+2b +c 2+25=0，∴b(8+b)+2b +c 2+25=0，∴b 2+10b +25+c 2=0，∴(b +5)2+c 2=0，∴b +5=0，c =0，∴b =−5，∴a =3，∴b a =−53，故答案为：−533．已知a ，b ，c 满足：a 2+2b =7，b 2−2c =−1，c 2−6a =−17，则13a +b +3c 的值等于______．【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a 、b 、c 的值，代入即可求出式子的值．【详解】解：∵a 2+2b =7，b 2−2c =−1，c 2−6a =−17，∴a 2+2b +b 2−2c +c 2−6a =−11，∴a 2−6a +9+b 2+2b +1+c 2−2c +1=0，∴(a−3)2+(b +1)2+(c−1)2=0，∴a−3=0，b +1=0，c−1=0，∴a =3，b =−1，c =1，∴13a +b +3c =13×3−1+3×1=3，故答案为：3．4．已知a−b =4时，多项式ab +c 2的值为−4，则ab a 2b 2c 2的值为( )A ．−1B ．−12C ．−13D ．0【分析】根据已知条件得出(b +2)2≤0，又(b +2)2≥0，进而得出b =−2，a =2,c =0，进而即可求解．【详解】解：∵a−b =4时，多项式ab +c 2的值为−4，∴a =b +4，ab +4=−c 2∴ab +4≤0即(b +4)b +4≤0∴b 2+4b +4≤0即(b +2)2≤0，又∵(b +2)2≥0∴b =−2∴a =−2+4=2，∴ab =−4，c =0∴ab a 2b 2c 2=−444=−12，故选：B ．5．已知有理数a ，b ，c 满足a−b +c−3=0，a 2+b 2+c 2−3=0，则a 3+b 3+c 3−2022=（ ）A ．−2019B ．−2020C ．−2021D ．−2022【分析】由(a−b +c)2=a 2+b 2+c 2−2ab +2ac−2bc 得2ab−2ac +2bc =−6，再求得(a +b)2+(b +c)2+(a−c)2=0得a =−b =c ，进一步求出a =1，b =−1，c =1即可求解．【详解】解：∵a−b +c−3=0，a 2+b 2+c 2−3=0，∴a−b +c =3，a 2+b 2+c 2=3，∵(a−b +c)2=a 2+b 2+c 2−2ab +2ac−2bc ，∴9=3−2ab +2ac−2bc ，整理，得2ab−2ac +2bc =−6，∴(a +b)2+(b +c)2+(a−c)2=2(a 2+b 2+c 2)+(2ab−2ac +2bc)=6−6=0，∵(a +b)2≥0，(b +c)2≥0，(a−c)2≥0，∴a +b =0，b +c =0，a−c =0，∴a =−b =c ，∴a−b +c =a +a +a =3，∴a =1，∴b =−1，c =1，把a =1，b =−1，c =1代入a 3+b 3+c 3−2022得：原式=13+(−1)3+13−2022=1−1+1−2022=−2021，故选：C ．6．已知a =2020m +2021n +2020，b =2020m +2021n +2021，c =2020m +2021n +2022，那么a 2+b 2+c 2−ab−bc−ca 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．1010【分析】分别求出a−b 、b−c 、c−a 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完成．【详解】解：∵a =2020m +2021n +2020，b =2020m +2021n +2021，c =2020m +2021n +2022，∴a−b =−1，b−c =−1，c−a =2，∴a 2+b 2+c 2−ab−bc−ca =12(2a 2+2b 2+2c 2−2ab−2bc−2ca )=12(a 2−2ab +b 2+b 2−2bc +c 2+c 2−2ca +a 2)=a−b )2+(b−c )2+(c−a )2=−1)2+(−1)2+22=3故选：B．7．已知：x+y=5，xy=3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．【分析】①利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为x2+5xy+y2=(x+y)2+3xy进行求解即可；②先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到x2+y2=19，x2y2=9，再根据x4+y4=x2+y22−2x2y2进行求解即可．【详解】解：①∵x+y=5，xy=3，∴x2+5xy+y2=(x+y)2+3xy=52+3×3=34；②∵x+y=5，xy=3，∴x2+y2=(x+y)2−2xy=52−2×3=19，x2y2=(xy)2=9∴x4+y4=x2+y22−2x2y2=192−2×9=343．8．阅读下列材料，完成后面的任务．完全平方公式的变形及其应用我们知道，完全平方公式有：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：①a2+b2=(a+b)2−2ab；②a2+b2=(a−b)2+2ab；③a2+b2a+b)2+(a−b)2；④ab a+b)2−(a−b)2．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．例如：已知x+y=3，x−y=1，求x2+y2的值．×(32+12)=5．解：x2+y2x+y)2+(x−y)2=12任务：(1)已知x+y=5，x−y=3，则xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y2=25，求(x−y)2的值．【分析】（1）根据已知ab=a+b)2−(a−b)2，即可解得．（2）根据已知a2+b2a+b)2+(a−b)2，即可解得．【详解】（1）∵ab=a+b)2+(a−b)2，×(52−32)=4．∴xy=x2+y2=x+y)2−(x−y)2=14（2）∵x2+y2x+y)2+(x−y)2，∴252+(x−y)2，50=49+(x−y)2，∴(x−y)2=1．1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：_________；方法2：__________．(2)请你直接写出三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系．(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和(m−n)2的值．②已知(x−2021)2+(x−2023)2=34，求(x−2022)2的值．【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；（3）①由（2）的关系可得(m+n)2=m2+n2+2mm，进而求解即可；②设x−2021=a，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，依题意，得a2+(a−2)2=34，∴a2+a2−4a+4=34，利用整体思想求解即可．【详解】（1）阴影两部分求和为：a2+b2；用总面积减去空白部分面积为：(a+b)2−2ab，故答案为：a2+b2；(a+b)2−2ab；（2）由题意得，(a +b)2=a 2+b 2+2ab ；（3）①由（2）得(m +n)2=m 2+n 2+2mm ，∴25=20+2mn ，解得mn =2.5，∴(m−n)2=m 2+n 2−2mn =15，②设x−2021=a ，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，依题意，得a 2+(a−2)2=34，∴a 2+a 2−4a +4=34，可求得a 2−2a =15.由整体思想，得(x−2022)2=(a−1)2=a 2−2a +1=15+1=16．2．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S 1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S 2．（1）用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2；（2）若a−b =8，ab =13，求S 1+S 2的值；（3）用a 、b 的代数式表示S 3；并当S 1+S 2=34时，求出图③中阴影部分的面积S 3．【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；（2）根据S 1+S 2=a 2−b 2+2b 2−ab =a 2+b 2−ab ，将a -b ＝8，ab ＝13代入进行计算即可；（3）根据S 3=a 2+b 2−12b (a +b )−12a 2=12(a 2+b 2−ab )和 S 1+S 2=a 2+b 2−ab =34，可求得图 ③中阴影部分的面积 S 3．【详解】解：（1）由图可得，S 1=a 2−b 2， S 2=2b 2−ab ．（2）∵a−b =8，ab =13∴S 1+S 2=a 2−b 2+2b 2−ab =a 2+b 2−ab =(a−b )2+ab =82+13=64+13=77所以S 1+S 2的值为77．（3）由图可得：S 3=a 2+b 2−12b (a +b )−12a 2=12(a 2+b 2−ab )∵S 1+S 2=a 2+b 2−ab =34∴S 3=12×34=17所以图③中阴影部分的面积S3为17．3．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；(3)由公式变形(x−y)2=(x+y)2−4xy，再整体代入计算即可；(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）∵图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，∴(a+b)2=(a−b)2+4ab，故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；（3）利用（2）的结论，可知(x−y)2=(x+y)2−4xy，∵x＋y＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，∵内部9块的面积分别为：a2,b2,c2,ab,ab,ac,ac,bc,bc，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，∴x=3,y=3,z=10，即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，画图如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a＋b）3，分割成8个“小块”的体积分别为：a3,b3,a2b,a2b,a2b,ab2,ab2,ab2，∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=(m2+2m+1) (m2−2m+1)，Q=(m2+m+1)(m2−m+1)，比较P、Q大小．（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式，计算P-Q的差即可；（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2-b2，图2是长为a+b，宽为a-b的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，∵m是不为0的有理数，∴-3m2＜0，即P-Q＜0，∴P＜Q；（3）图3左图的体积为x•x•x-1×1×x=x3-x，图3右图是长为x+1，宽为x，高为x-1的长方体，因此体积为（x+1）•x•（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）．．5．若x满足(7−x)(x−4)=2，求(x−7)2+(4−x)2的值：解：设7−x=a, x−4=b，则(7−x)(x−4)=ab=2，a+b=(7−x)+(x−4)=3所以(x−7)2+(4−x)2=(7−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×2=5请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足(8−x)(x−3)=3，求(8−x)2+(x−3)2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．【分析】（1）设8−x=a,x−3=b，从而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得(x−2)(x−5)=28，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．【详解】（1）设8−x=a,x−3=b，则ab=3,a+b=5，所以(8−x)2+(x−3)2=a2+b2，=(a+b)2−2ab，=52−2×3，=19；（2）由题意得：MF=DE=x−2,DF=x−5，DE⋅DF=(x−2)(x−5)=28，因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，所以阴影部分的面积为MF2−DF2=(x−2)2−(x−5)2，设x−2=m,x−5=n，则mn=28,m−n=3，所以(m+n)2=(m−n)2+4mn=32+4×28=121，由平方根的性质得：m+n=11或m+n=−11<0（不符题意，舍去），所以(x−2)2−(x−5)2=m2−n2，=(m+n)(m−n)，=11×3，=33，故阴影部分的面积为33．6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为(a+b+c)2，利用分割法求解正方形的面积为：a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc，再整体代入即可得到答案；（4）由题意可得，所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab，再利用整式的乘法运算法则计算：(5a+7b)(9a+4b)，由面积相等可得x,y,z的值，从而可得答案．【详解】解：（1）∵正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.故答案为:∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.（2）证明：(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2,=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.（3）∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2ac−2bc=102−2(ab+ac+bc)=100−2×35,=30.故答案为:30（4）由题可知，所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab∵(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab∴x=45,y=28,z=83∴x+y+z=45+28+83=156故答案为：1567．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解决该问题时，采用了以下解法：解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．(1)请补全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．类比研究(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；（2）由（1）的步骤进行求解即可；（3）根据题干的步骤反向求解即可；（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；【详解】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．（3）设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．（4）∵DE=x−1，DG=x−3∴S四边形MEDQ=DE2=(x−1)2，S四边形NGDH=DG2=(x−3)2，S四边形PQDH=DE⋅DG=(x−3)(x−1)=10∵(x−3)(1−x)=−10，(x−3)+(1−x)=−2∴S四边形MEDQ+S四边形NGDH=(x−1)2+(x−3)2=(1−x)2+(x−3)2=[(1−x)+(x−3)]2−2(x−3)(1−x)= (−2)2−2×(−10)=22阴影部分的面积为：S四边形MEDQ+S四边形NGDH+2S四边形PQDH=(x−1)2+(x−3)2+2(x−3)(x−1)=24+20=44．。

专题2.1 整式的乘除章末重难点突破训练卷(北师大版)(原卷版)

专题2.1 整式的乘除章末重难点突破训练卷(北师大版)(原卷版)

第1章整式的乘除章末重难点突破训练卷【北师大版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；③（a3）2＝a5；④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．其中运算正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．（3分）（2020春•锦江区校级期中）今年肆虐全球的新冠肺炎（COVID﹣19）被世界卫生组织（WHO）标识为“全球大流行病”，它给全球人民带来了巨大的灾难．冠状病毒的直径约80﹣120nm，1nm为十亿分之一米，即10﹣9m．将120nm用科学记数法表示正确的是（）米．A．1.2×10﹣7B．1.2×10﹣8C．120×10﹣9 D．12×10﹣83．（3分）（2019秋•花都区期末）若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（）A．3x+2B．x+2C．3xy+2D．xy+24．（3分）（2020春•天宁区期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c=(−13)−2，d=(−15)0，则a、b、c、d的大小关系是（）A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b5．（3分）（2020秋•邓州市期中）郑州市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（）A．3a米B．（3a+1）米C．（3a+2b）米D．（3ab2+b2）米6．（3分）（2020春•东阳市期末）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝6C．m＝﹣2，n＝﹣4D．m＝﹣3，n＝﹣67．（3分）（2020秋•安居区期中）若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±28．（3分）（2020秋•浦东新区期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定9．（3分）（2020春•东阿县期末）如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（）A．①②③④B．①③C．①④D．①③④10．（3分）（2020春•楚雄州期末）我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（）A ．10B ．12C ．9D ．8第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得 分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•东阿县期末）若2m ＝8，2n ＝32，则22m +n ﹣4＝ ．12．（3分）（2020秋•江夏区期末）若2（x +1）﹣1与3（x ﹣2）﹣1的值相等，则x ＝ ．13．（3分）（2020秋•长兴县月考）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x+y 2错抄成乘以x2，结果得到（x 2﹣xy ），则正确的计算结果是 ． 14．（3分）（2020春•东平县期末）若x 2+2kx +116是一个完全平方式，则k ＝ ． 15．（3分）（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为 ．16．（3分）（2020春•宁德期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为 ．评卷人得 分三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2020春•绍兴期中）计算：（1）（3a﹣1）（3a+1）﹣（a﹣4）2．（2）（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）．18．（8分）（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．19．（8分）（2020春•渝中区校级期中）先化简，再求值：求（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）（x+2y）的值，其中x、y满足（x﹣2）2+|y−12|＝0．20．（8分）（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．21．（10分）（2020春•洪泽区期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）请比较S1和S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．22．（10分）（2020秋•南通期中）阅读下列材料若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝13请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．。

北师七年级下册整式的乘除专题.doc

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平方差公+ b)(ci — b)—。

之—Z?2完全平方公± bV = a2 ± lab + b2北师七年级下册整式的乘除专题知识点一：整式乘法及乘法公式知识点二：蓦的运算m-i-n m n同底数幕的乘法法则：a m-a''=a m+n，逆用：" 寸同底数幕的除法法则：a m^a n =a m~'1,逆用：。

=«mn _ / w\慕的乘方法则：(/')"=/"', 逆用：—I J “积的乘方法则：(a-b)n=a n-b n ,逆用:*七”=(耻)一、逆运算例题1：已知3"' = 4,3" = 5,求32"*”的值练习1：1)、若苛”=8,,贝g a2m =若x-x3-x2m^ =x l\则粗=2)、如果一2农2乂口= —8*/,则口内应填的代数式是()(A)6n3(8)4/ (C)—6n3(Z))4m2n33)、要使(F+ax+lX —6舟)的展开式中不含尤4的项，则。

应等于()(A)6 (3) — 1 (C)| (D)0o4)、若3*=4, 9>=7,则的值为( )4 7 2(A)y ㈤才(0-3 (叫5)、一个正方形的边长增加了3 cm,它的面积增加了51 cm2,这个正方形原来的边长是( ) (A)5 cm (B)6 cm (Q7 cm (D)8 cm6)已知22x83=2〃，则n的值为.7)、已知。

口=15,口4=3,求4的值是8)、若2x+v=3,则4次2七.9)、已知y j!+1y^2.,那么的值是 .10)、已知(f=5,a y=4,求下列各式的值：(l)『+y. (2)o2'-3v11）、某同学做作业时计算一个多项式乘以a-b + c时，因为粗心看错了，算成了加上Z + c,得到的结果是2a-2。

,那么正确计算应该是怎么样的?请你帮他改正.12）、已知多项式2P-4^2—1除以一个多项式&得商式为2x,余式为x-1,求这个多项式A二、整体思想例2： 1)计B：(~a+b-c)(a + b-c)2),已^a + b = 5,ab = 3求a2+b2的值练习2：1)、已知疽一。

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专题 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

【例1】（2019•黔东南州期中）下列运算正确的是（ ）A ．x 2+x 3＝x 5B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6C ．x 2•x 3＝x 6D ．x 6÷x 2＝x 3【变式1-1】（2019•蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）A．3x3•2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4yC．（2x2）3＝6x6D．x5÷x＝2x4【变式1-2】（2019•淄博期中）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2【变式1-3】（2019春•成安县期中）下列运算正确的是（）A．（﹣2ab）•（﹣3ab）3＝﹣54a4b4B．5x2•（3x3）2＝15x12C．（﹣0.16）•（﹣10b2）3＝﹣b7D．（2×10n）（×10n）＝102n【考点2 因式分解的概念】【方法点拨】因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

【例2】（2019春•莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【变式2-1】（2019春•邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【变式2-2】（2019秋•西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣1＝x（x﹣）【变式2-3】（2019春•瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【考点3 幂的混合运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.【例3】（2019春•铜山区期中）计算：（1）（y2）3÷y6•y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2【变式3-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【变式3-2】（2019秋•资中县月考）计算：（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4（2）x6÷x3•x2+x3•（﹣x）2．【变式3-3】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2【考点4 幂的逆向运算】【例4】（2019春•茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．（1）求x2m的值；（2）求x m+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．【变式4-1】（2019春•天宁区校级期中）根据已知求值：（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．【变式4-2】（2019春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）【变式4-3】（2019春•盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【考点5 整式化简求值】【例5】（2018春•高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【变式5-1】（2018秋•南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【变式5-2】（2019春•成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【变式5-3】（2019春•青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【考点6 分解因式】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。

而且一定要把各因式分解到不能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.【例6】（2019秋•惠民县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2．【变式6-1】（2019春•娄底期中）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【变式6-2】（2018春•临清市期末）因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）【变式6-3】（2019秋•和平区期末）分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【考点7 利用因式分解求值】【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【变式7-1】（2019秋•崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【变式7-2】（2019秋•西城区校级期中）已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【变式7-3】利用分解因式求值．（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．【考点8 利用乘法公式求值】【例8】（2019春•新津县校级月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．【变式8-1】（2019春•杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【变式8-2】（2019春•邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【变式8-3】（2019春•杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【考点9 因式分解探究题】【例9】（2018秋•江汉区校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．【变式9-1】（2017春•靖江市校级期中）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3问题：（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？【变式9-2】（2019春•上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x2﹣4．解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x ﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．（1）求上述式子中m，n的值；（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．【变式9-3】（2018秋•雨花区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．【考点10 乘法公式探究题】【例10】（2019春•东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．【变式10-1】（2019春•牟定县校级期末）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．方法一：；方法二：；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式10-2】（2018春•怀远县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【变式10-3】（2019春•槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；方法1；方法2．（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

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